« Continuité et variations/Langage de la continuité » : différence entre les versions
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Version du 2 décembre 2008 à 10:16
Définition de la continuité
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.
- f est continue en a si sa limite en a est égale à sa valeur en a:
- f est continue sur I si f est continue en tout a appartenant à I.
- Cette situation s'oppose à la suivante : une fonction f est discontinue en un point a si la courbe de f présente une "coupure" en x=a qui oblige à "lever le crayon" pour parcourir la courbe.
Continuité des fonctions usuelles
La dérivabilité est un critère utile de continuité pour les fonctions usuelles.
Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.
Si f est dérivable en a alors f est continue en a.
Remarque:
- La réciproque est fausse : la fonction racine carrée est continue en 0 mais non dérivable en 0.
Théorème
- Les fonctions polynômes, exponentielle, sinus et cosinus sont continues sur .
- Les sommes, différences, produits, quotients et composées des fonctions précédentes
sont continues sur les intervalles qui forment leur ensemble de définition.
La fonction partie entière
Définition
La fonction partie entière est définie sur en remarquant que pour tout réel x il existe un unique entier n tel que : . alors E(x)=n
La fonction partie entière n'est pas continue sur car elle présente des discontinuités pour tous les entiers.