Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle

Exercice 1

ƒ est la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :

pour tout $x\in [0;+\infty [,~f(x)=-x+{\frac {5}{2}}-e^{-x}$.

1. Étudier les variations de ƒ.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.

3. Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$ dont on donnera une équation.

4. Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.

5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.

Solution

1. Étudier les variations de ƒ.

ƒ est dérivable sur $[0;+\infty [$ et, pour tout $x\in [0;+\infty [$ :

$f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1$

Or, pour tout $x\in [0;+\infty [,~e^{-x}\leq 1$ donc $f'(x)\leq 0$

On en déduit que ƒ est décroissante.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.

• $\lim _{x\to +\infty }-x+{\frac {5}{2}}=-\infty$
• $\lim _{x\to +\infty }e^{-x}=0$

Donc $\lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty$

3. Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$

On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :

• une partie affine : $x\mapsto -x+{\frac {5}{2}}$
• une partie qui tend vers 0 : $x\mapsto e^{-x}$

Si on pose $g:x\mapsto -x+{\frac {5}{2}}$, définie sur $\mathbb {R}$ et de représentation graphique ${\mathcal {D}}$, on a :

$\lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0$

Donc ${\mathcal {C}}$ a pour asymptote la droite ${\mathcal {D}}$ d'équation $y=-x+{\frac {5}{2}}$

4. Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.

Pour tout $x\in [0;+\infty [,f(x)-g(x)=-e^{-x}$, grandeur négative.

Donc ${\mathcal {C}}$ est en-dessous de son asymptote ${\mathcal {D}}$

5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.

D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 est :

${\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=-2+{\frac {5}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}-x+2+e^{-2}x-2e^{-2}\\&=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+{\frac {5}{2}}\\\end{aligned}}$

Donc la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+{\frac {5}{2}}$

 

Exercice 2

ƒ est la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :

pour tout $x\in [0;+\infty [,~f(x)=2x-{\frac {5}{2}}+2e^{-x}$.

1. Étudier les variations de ƒ.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.

3. Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$ dont on donnera une équation.

4. Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.

5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.

'Solution'

1. Étudier les variations de ƒ.

ƒ est dérivable sur $[0;+\infty [$ et, pour tout $x\in [0;+\infty [$ :

$f'(x)=2+2\times (-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})$

Or, pour tout $x\in [0;+\infty [,~e^{-x}\leq 1$ donc $f'(x)\geq 0$

On en déduit que ƒ est croissante.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.

• $\lim _{x\to +\infty }2x-{\frac {5}{2}}=+\infty$
• $\lim _{x\to +\infty }2e^{-x}=0$

Donc $\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty$

3. Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$

On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :

• une partie affine : $x\mapsto 2x-{\frac {5}{2}}$
• une partie qui tend vers 0 : $x\mapsto 2e^{-x}$

Si on pose $g:x\mapsto 2x-{\frac {5}{2}}$, définie sur $\mathbb {R}$ et de représentation graphique ${\mathcal {D}}$, on a :

$\lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0$

Donc ${\mathcal {C}}$ a pour asymptote la droite ${\mathcal {D}}$ d'équation $y=2x-{\frac {5}{2}}$

4. Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.

Pour tout $x\in [0;+\infty [,f(x)-g(x)=2e^{-x}$, grandeur positive.

Donc ${\mathcal {C}}$ est au-dessus de son asymptote ${\mathcal {D}}$

5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.

D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 est :

${\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=2\times 2-{\frac {5}{2}}+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2)\\&={\frac {3}{2}}+2e^{-2}+2((1-e^{-2})x-2(1-e^{-2}))\\&=-{\frac {5}{2}}+6e^{-2}+2(1-e^{-2})x\\\end{aligned}}$

Donc la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=2(1-e^{-2})x-{\frac {5}{2}}+6e^{-2}$

 

Exercice 3

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

1. $f_{1}:x\mapsto (3x-2)e^{x}$

2. $f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{-x}}}$

3. $f_{3}:x\mapsto 3xe^{-3x}$

'Solution'

Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur $\mathbb {R}$.

1. $f_{1}:x\mapsto (3x-2)e^{x}$

• Cette fonction se dérive comme un produit.
  • On pose pour tout $x\in \mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto (3x-2)$ et $v:x\mapsto e^{x}$
  • Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto e^{x}$
  • Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{1}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^{x}$

2. $f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{-x}}}$

• Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
  • On remarque que pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{2}(x)={\frac {x^{2}}{e^{-x}}}=x^{2}e^{x}$
  • On pose pour tout $x\in \mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto x^{2}$ et $v:x\mapsto e^{x}$
  • Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 2x$ et $v':x\mapsto e^{x}$
  • Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^{2}+2x)e^{x}=x(x+2)e^{x}$

3. $f_{3}:x\mapsto 3xe^{-3x}$

Là encore, il y a de multiples façons de calculer la dérivée de ƒ₃. Nous en présenterons deux.

• Méthode 1 : Elle utilise les propriétés algébriques de l'exponentielle
  • On pose pour tout $x\in \mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto 3x$ et $v:x\mapsto e^{-3x}$
  • On remarque que pour tout $x\in \mathbb {R} ,~v(x)=e^{-3x}=(e^{x})^{-3}$
  • Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto -3\exp '(x)\times (e^{x})^{-4}=-3e^{x}e^{-4x}=-3e^{-3x}$
  • Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=((-3)\cdot 3x-3)e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}$

• Méthode 2 : Elle repose sur ce théorème de niveau 11
  • On pose pour tout $x\in \mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto 3x$ et $v:x\mapsto e^{-3x}$
  • Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto -3e^{-3x}$
  • Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=((-3)\cdot 3x-3)e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}$

 

Exercice 4

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

1. $f(x)=(5x-2)e^{-x}\,$

2. $f(x)={\frac {x^{2}}{e^{x}}}\,$

3. $f(x)=3xe^{-4x}\,$

Dans les exemples suivants, le calcul repose sur ce théorème de niveau 11.

4. $f(x)=e^{2x+3}\,$

5. $f(x)=3e^{-4x}\,$

6. $f(x)=xe^{2x-1}\,$

7. $f(x)=3xe^{\frac {x}{2}}\,$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 5

Pour tout réel $\lambda >0$, on note $f_{\lambda }$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f_{\lambda }(x)={\frac {e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}}{2\lambda }}$

1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de $f_{\lambda }$ pour $\lambda =0,5$ et pour $\lambda =3$.

2. Démontrer que $f_{\lambda }$ est paire, c'est-à-dire pour tout x :

$f_{\lambda }(-x)=f_{\lambda }(x)\,$.

3. Étudier les variations de $f_{\lambda }$ et déterminer sa limite en $+\infty$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}