Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle

Exercice 1

f est la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :

$f(x)=x-{\frac {1}{2}}+e^{-x}$.

1° Étudier les variations de f.

2° Étudier la limite de f en $+\infty$.

3° Démontrer que la courbe représentative C de f admet une asymptote oblique D dont on donnera une équation. 4° Étudier les positions relatives de C et D.

Exercice 2 : Quelque dérivées de fonctions de la forme $e^{ax+b}$

Calculer la fonction dérivée des fonctions f suivantes.

a) $f(x)=(5x-2)e^{-x}\,$

b) $f(x)={\frac {x^{2}}{e^{x}}}\,$

c) $f(x)=3xe^{-4x}\,$

Dans les exemples suivants, le calcul repose sur ce théorème de niveau 11.

d) $f(x)=e^{2x+3}\,$

e) $f(x)=3e^{-4x}\,$

f) $f(x)=xe^{2x-1}\,$

g)$f(x)=3xe^{\frac {x}{2}}\,$

Exercice 3

Pour tout réel $\lambda >0$, on note $f_{\lambda }$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f_{\lambda }(x)={\frac {e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}}{2\lambda }}$

1° Tracer sur calculatrice la courbe représentative de $f_{\lambda }$ pour $\lambda =0,5$ et pour $\lambda =3$.

2° Démontrer que $f_{\lambda }$ est paire, c'est-à-dire pour tout x :

$f_{\lambda }(-x)=f_{\lambda }(x)\,$.

3° Étudier les variations de $f_{\lambda }$ et déterminer sa limite en $+\infty$.