« Fondements des mathématiques/Preuve naturelle de la cohérence de l'arithmétique formelle » : différence entre les versions

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On ne peut pas traduire le principe d’induction complète par une seule formule de l’arithmétique formelle parce que l’univers arithmétique est réduit aux nombres. Quand on dit, pour tout x, dans l’arithmétique formelle, cela veut dire, pour tout nombre x. On ne peut donc pas dire, pour toute propriété P des nombres. Pour résoudre ce problème, il faut alors traduire le principe d’induction complète par un schéma d’axiomes, un cadre formel qui détermine un nombre infini de formules qui sont toutes adoptées comme axiomes. Il y a autant d’axiomes d’induction complète qu’il y a de prédicats arithmétiques.
 
Soit P(x, y1, ..., yn) un prédicat qui contient x, y1, ...., yn comme variables libres, et elles seulement. La formule suivante est un axiome.
 
Pour tous y1, ...., yn,
*si P(0, y1, ..., yn),
*et si pour tout x, si P(x, y1, ..., yn), alors P(sx, y1, ..., yn)
alors pour tout z, P(z, y1, ..., yn)
 
AF est l’ensemble de tous les axiomes cités jusqu’ici et de toutes leurs conséquences logiques par les règles du calcul des prédicats du premier ordre, que l’on peut exposer par la méthode de la déduction naturelle. Ces axiomes sont identiques ou équivalents à ceux de Peano.
Il est vrai dans VAF0 pour la même raison que AF14.
 
Supposons que l’un des axiomes qui traduisent le principe d’induction complète soit faux dans VAF0. Cela veut dire qu’il y a un prédicat P(x, y1, ...., yn) et des nombres c1, ...., cn , tels qu’on ait à la fois (i), (ii) et (iii) .
 
(i) P(0, c1, ...., cn)
 
(ii) Pour tout x, si P(x, c1, ...., cn) alors P(sx, c1, ...., cn)
 
(iii) non (pour tout z, P(z, c1, ...., cn))
 
(iii) équivaut à il existe un z tel que non P(z, c1, ...., cn). Soit c ce nombre. P(c, c1, ...., cn) serait donc faux dans VAF0 mais une suite de c déductions à partir de P(0, c1, ...., cn) avec (ii) suffit pour prouver que P(c, c1, ...., cn) est vrai. Il faut donc rejeter l’hypothèse que l’un des axiomes qui traduisent le principe d’induction complète est faux.
 
Cela termine cette preuve de la cohérence de AF. Elle revient principalement à dire que tous les axiomes de l’arithmétique sont évidemment vrais pour les nombres entiers, ce qui n’est pas vraiment une nouvelle extraordinaire. Mais cette preuve est importante parce qu’elle prouve qu’on peut prouver la cohérence des axiomes, et donc plus généralement, la fiabilité des principes.
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