« Repérage et coordonnées/Distance » : différence entre les versions

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Version du 1 janvier 2007 à 10:44

Modèle:CoursMathsCollège

Repères

Définition

Un repère du plan est constitué de trois points (O, I, J) non alignés. Le point O est l'origine du repère. Les points I et J fixent les unités en abscisses et en ordonnées.

Exemple :

Un repère n'a pas forcément des axes perpendiculaires

Définition

Quand les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal.
Quand les axes sont perpendiculaires et qu'en plus les unités sont les mêmes, OI = OJ = 1, le repère est dit orthonormé

Exemple : Les axes sont perpendiculaires, les unités sont les mêmes en absisses et en ordonnées. Les points I et J ne sont pas nommés, ils correspondent à la valeur 1.

Coordonnées du milieu d'un segment

Théorème

Soient deux points $A(x_{A};y_{A})\,$ et $B(x_{B};y_{B})\,$ , alors les coordonnées du milieu M du segment [AB] sont données par les formules :

x_{M}={\frac {x_{A}+x_{B}}{2}}\ ,\ y_{M}={\frac {y_{A}+y_{B}}{2}}

Exemple : Dans le repère ci-dessous, calculons les coordonnées du milieu M de [AB].

x_{M}={\frac {3,5+(-2)}{2}}={\frac {1,5}{2}}=0,75

y_{M}={\frac {2+1,5}{2}}={\frac {3,5}{2}}=1,75

Exercice : Calculer les coordonnées des milieux N de [BD] et P de [AO].

Distance dans un repère orthonormé

Théorème

Soient dans un repère orthonormé deux points $A(x_{A};y_{A})\,$ et $B(x_{B};y_{B})\,$ , alors la distance entre A et B est donnée par la formule :

AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}

Exemple : Dans le repère orthonormé ci-dessous, calculons la distance AB :

$AB={\sqrt {(-2-3,5)^{2}+(1,5-2)^{2}}}={\sqrt {(-5,5)^{2}+(-0,5)^{2}}}={\sqrt {30,25+0,25}}={\sqrt {31}}\approx 5,6\ unit{\acute {e}}s$ Attention : Ce résultat est en unités, et chaque unité vaut deux carreaux, donc si on veut AB en carreaux, il faut multiplier ce résultat par 2. Mais quand on demande la distance AB et que l'on ne précise pas, il faut la donner en unités, et non en carreaux ou en cm.

Exercice : Calculer (en unités) les distances AC, BC, AO.

@@ Ligne 24 : / Ligne 24 : @@
 '''Exemple''' : Dans le repère ci-dessous, calculons les coordonnées du milieu M de [AB].
-<center>[[Image:Coordonnées.PNG|200px]]</center>
+<center>[[Image:Coordonnées.PNG]]</center>
 <center><math> x_M=\frac{3,5+(-2)}{2}=\frac{1,5}{2}=0,75</math></center>
 <center><math> y_M=\frac{2+1,5}{2}=\frac{3,5}{2}=1,75</math></center>
+'''Exercice''' : Calculer les coordonnées des milieux N de [BD] et P de [AO].
 ==Distance dans un repère orthonormé==
 {{Théorème|contenu=
 Soient dans un '''repère orthonormé''' deux points <math>A(x_A ; y_A)\,</math> et <math>B(x_B ; y_B)\,</math>, alors la distance entre A et B est donnée par la formule :
@@ Ligne 38 : / Ligne 41 : @@
 '''Exemple''' :
 Dans le repère orthonormé ci-dessous, calculons la distance AB :
-<center>[[Image:Coordonnées.PNG|200px]]</center>
+<center>[[Image:Coordonnées.PNG]]</center>
 <math>AB=\sqrt{(-2-3,5)^2+(1,5-2)^2}=\sqrt{(-5,5)^2+(-0,5)^2}=\sqrt{30,25+0,25}=\sqrt{31}\approx 5,6 \ unit\acute{e}s</math>
 '''Attention''' : Ce résultat est en unités, et chaque unité vaut deux carreaux, donc si on veut AB en carreaux, il faut multiplier ce résultat par 2. Mais quand on demande la distance AB et que l'on ne précise pas, il faut la donner en unités, et non en carreaux ou en cm.
-'''Exercice''' : Calculer (en unités) les distances AC, AD, BC, BD, AO, BO, CO, DO.
+'''Exercice''' : Calculer (en unités) les distances AC, BC, AO.