Anneau (mathématiques)/Définitions

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Anneau

Définition

On appelle anneau (unitaire, ou unifère) , tout triplet $(A,+,\cdot )$ constitué d’un ensemble $A$ et de deux lois de composition internes $+$ et $\cdot$ sur $A$ qui vérifient :

• $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
• la loi $\cdot$ est associative ;
• elle admet un élément neutre dans $A$ ;
• elle est distributive par rapport à $+$ :

  $\forall a,b,c\in A\qquad (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\quad {\text{et}}\quad c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b$.

L'anneau est dit commutatif si, de plus, la loi $\cdot$ est commutative.

Début de l'exemple

Exemples

• L'ensemble $\mathbb {Z}$ des entiers relatifs, muni de l'addition et la multiplication usuelles, est un anneau commutatif unifère.
• Tout corps commutatif aussi.
• Les polynômes à coefficients dans un anneau $A$ forment un anneau, noté traditionnellement $A[X]$.

Fin de l'exemple

Sous-anneau

Définition

Un sous-anneau d'un anneau $(A,+,\cdot )$ est une partie $B$ de $A$ telle que :

• $(B,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$ ;
• $B$ est stable par $\cdot$ ;
• L'élément neutre de $(A,\cdot )$ appartient à $B$.

Tout sous-anneau hérite d’une structure d'anneau.

Idéaux

Définition

Soit $\ (A,+,\cdot )$ un anneau et $I\subset A$.

• $\ I$ est un idéal à gauche de $\ A$ si, et seulement si :
  • $\left.{\begin{array}{l}0\in I\\\forall x,y\in I,x+y\in I\\\forall x\in I,-x\in I\end{array}}\right\rbrace$ i.e. $\ (I,+)$ est un sous groupe additif de $\ (A,+)$
  • $\forall x\in I,\forall \lambda \in A,\lambda \cdot x\in I$.
• I est un idéal à droite de $\ A$ si, et seulement si :
  • $\left.{\begin{array}{l}0\in I\\\forall x,y\in I,x+y\in I\\\forall x\in I,-x\in I\end{array}}\right\rbrace$ i.e. $\ (I,+)$ est un sous groupe additif de $\ (A,+)$
  • $\forall x\in I,\forall \lambda \in A,x\cdot \lambda \in I$.
• $\ I$ est un idéal bilatère de $\ A$ si et seulement s'il est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite de $\ A$.

Remarque

Dans le cas des anneaux commutatifs, les trois types d'idéaux sont confondus.

Anneau intègre

Définition

Un anneau commutatif $A$ est dit intègre s'il n'est pas réduit à $\{0\}$ et s'il ne possède pas de diviseurs de zéro i.e. $\forall (a,b)\in A^{2}\quad ab=0\Rightarrow a=0$ ou $b=0$.