Leçons de niveau 13

Similitude/Devoir/Complexes, suites et similitudes

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Complexes, suites et similitudes
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Devoir no1
Leçon : Similitude

Ce devoir est de niveau 13.

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On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal.

— Ⅰ —


 On prend d'affixes .

On fixe deux réels : et et pour tout , on définit le point à partir des points et par :
et .
On obtient ainsi une suite de points .
Pour tout , on note l'affixe du vecteur et l'affixe du point .
Calculez .

2°  a)  Montrez que pour tout , .

b)  Déduisez-en, pour tout , l'expression de en fonction de , et .
c)  Dans cette question, on suppose et .
Calculez pour et pour et placez les points en prenant 8 cm pour unité de longueur.
— Ⅱ —

Dans toute la suite du problème, on suppose .

 Pour tout , exprimez en fonction de et , déduisez-en que pour tout .

 On rappelle que pour tout nombre complexe ,

.
Calculez, pour tout , en fonction de , et .

 On note le point d'affixe et, pour tout , l'affixe du vecteur .

a)  Calculez en fonction de , et .
b)  Démontrez que le module de tend vers quand tend vers et interprétez géométriquement ce résultat.

4°  a)  Établissez qu'il existe un nombre complexe tel que pour tout .

b)  En interprétant géométriquement la relation précédente, déterminez une similitude directe telle que pour tout ,
.
Précisez le centre, le rapport et l'angle de cette similitude.

 Dans cette question, on suppose à nouveau que et .

a)  Calculez et placez sur la figure précédemment tracée.
b)  Indiquez une construction géométrique simple de connaissant et et placez les points sur la figure.