En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dispositif expérimental mettant en évidence le phénomène d'interférences de deux ondes mécaniques sur une cuve à ondes[modifier | modifier le wikicode]
Le plateau supérieur au fond transparent, contient le liquide en général de l'eau à la surface duquel sont produites des ondes dites de surface ; l'éclairage, au-dessus de l'appareil, projette l'image de la surface du liquide sur l'écran dépoli vertical de la face avant de la cuve, grâce à un miroir placé à sous la cuve transparente ; cet éclairage [1] est rendu stroboscopique[2] grâce à un disque rotatif, disposant de deux fentes, placé entre la lampe et la surface du liquide, il permet ainsi, lorsque le disque n'est pas débrayé, d'observer au ralenti le phénomène de propagation des ondes de surface ;
les vibrations peuvent être produites par une pointe vibrante venant frapper la surface du liquide, la position de la surface frappée étant alors la source d'une « onde progressive sinusoïdale de surface » [3] de fréquence égale à la fréquence du vibreur, cette dernière étant réglée par le boîtier de commande ;
pour obtenir deux sources vibrant à la même fréquence on peut utiliser deux pointes vibrantes mues par un même vibreur venant frapper la surface du liquide en deux positions différentes ; comme elles sont mues par le même vibreur, elles sont nécessairement synchronesmême fréquence et en phase si les pointes affleurent la surface libre en même temps ;
dans ce cas l'éclairage stroboscopique permet d'étudier le phénomène de superposition des deux ondes de surface, phénomène trop rapide pour une observation directe.
Remarque
Les vibrations peuvent aussi être produites par un « jet d'air alimenté par une pompe et effleurant la surface du liquide » si l'on souhaite une seule source ; si l'on souhaite deux sources synchrones nécessaires à l'étude des phénomènes d'interférences, on peut utiliser l'« association de deux canules alimentées en air par un même tuyau, chaque canule effleurant la surface du liquide à un endroit différent » ; un générateur « pneumatique » [4] permet alors de régler la fréquence des vibrations transmises par le courant d'air pulsé.
Deux perturbations sinusoïdales sont produites en deux points et de la cuve à ondes ; en chaque point atteint par ces deux ondes ces dernières se superposent et s'additionnent algébriquement on dit qu'elles « interfèrent ».
Ci-contre un schéma où figurent les rides circulaires issues de chaque source vibrante rides pouvant être rendues d'apparence fixe par strosboscopie ainsi que Ci-contre un schéma où figurent leur superposition constructive on parle d'interférence constructive matérialisée par les lignes rouges [5] et Ci-contre un schéma où figurent leur superposition destructive on parle d'interférence destructive matérialisée par les lignes vertes [6].
On peut observer des lignes d'amplitude maximale en rouge, lorsque les ondes arrivent en phase : la « différence de marche entre ces deux ondes en un point » [7] définie par [8] est un multiple de la longueur d'onde condition pour que les ondes soient en phase, et l'amplitude résultante est double de celle d'une onde seule [9].
On observe également des lignes « neutres » en vert, lorsque les deux ondes arrivent en opposition de phase : la « différence de marche entre ces deux ondes en un point » [7] définie par [8] est alors égale à une demi-longueur d'onde à un multiple de longueurs d'onde près condition pour que les ondes soient en opposition de phase, sur ces lignes d'interférence destructive, l'eau est au repos [9].
On établit que ces lignes, ou « franges » d'interférence sont des hyperboles de foyers et [10].
Les ondes émises par les sources synchrones et étant respectivement « et » [11] se propagent chacune, pour atteindre un point quelconque de la surface du liquide, suivant une direction différente et tout en agissant suivant une même direction à la surface du liquide [12] ;
au point et à l'instant , avec « pulsation spatiale commune » [13], « étant la longueur d'onde commune », l'onde issue de et celle issue de s'écrivent respectivement «» dans laquelle « et sont respectivement l'amplitude de chaque onde au point » [14], « et étant la distance séparant ce dernier de chaque source » ;
les ondes agissant suivant une même direction transversale peuvent s'ajouter scalairement et on en déduit l'onde résultante au point et à l'instant , «» ou, avec «» pour simplifier l'écriture, «» ;
Soient « et » les ondes émises par les sources synchrones et supposées vibrant en phase ;
au point et à l'instant , les ondes issues de et de s'écrivant respectivement «» dans laquelle « et sont l'amplitude de chaque onde en », « et la distance séparant ce dernier de chaque source », « et la pulsation spatiale et la longueur d'onde communes », au point et à l'instant , les ondes issues de et de se superposent en donnant l'onde résultante «» dans laquelle «» ou, la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation étant une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation , au point et à l'instant , les ondes issues de et de se superposent en donnant l'onde résultante «» ; la détermination de l'amplitude résultante à l'aide du diagramme de Fresnel [15]voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel » plus haut dans ce chapitre ou de l'amplitude complexe voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe » plus haut dans ce chapitre nous a fourni «».
Cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux de même amplitude[modifier | modifier le wikicode]
L'application de la formule «» dans le cas particulier où on néglige l'affaiblissement des amplitudes des ondes individuelles avec la distance parcourue, ce qui correspond à «», donne «» ;
Détermination directe de l'amplitude résultante dans le cas de même amplitude
Quand les deux ondes interférant sont de même amplitude, il est souhaitable de déterminer l'amplitude résultante directement par diagramme de Fresnel [15] ou par amplitude complexe comme indiqué ci-dessous :
par diagramme de Fresnel [15]représenté ci-contre : il y a deux cas à considérer suivant que est ou à [21] mais dans les deux cas on obtient un losange dont on cherche à déterminer la longueur de la diagonale ; pour cela on utilise le fait que les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu, qu'elles sont et que chacune d'entre elles est bissectrice des angles dont elles joignent les sommets, ce qui permet de trouver : si [22], où «» ; si [22], , où et d'où finalement «» [23] ;
par amplitude complexe : prenant le module de l'amplitude complexe nous obtenons [24] ou, le 1er facteur de l'expression prise en module étant de module et le 2nd se transformant grâce à l'une des formules d'Euler [25],[26] «».
Les ondes en interfèrent de façon « constructive » si l'amplitude résultante y est maximale et ceci est réalisé pour Les ondes en interfèrent de façon « constructive » si «, » [27], correspondant à des ondes « en phase » [28] ; Les ondes en interfèrent de façon « constructive » l'amplitude résultante vaut alors «».
Les ondes en interfèrent de façon « destructive » si l'amplitude résultante y est minimale et ceci est réalisé pour Les ondes en interfèrent de façon « destructive » si «, » [27], c.-à-d. pour des ondes « en opposition de phase » [28] ; Les ondes en interfèrent de façon « destructive » l'amplitude résultante vaut alors «» correspondant à l'absence de mouvement.
Variation de l'amplitude d'une O.P.H. dans un milieu bidimensionnel (ou tridimensionnel) non absorbant[modifier | modifier le wikicode]
Dans une propagation unidimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude d'une O.P.H. [29] reste constante », ceci correspondant au fait que la « puissance transportée demeurant constante du fait de l'absence d'absorption reste localisée dans un même espace à savoir le voisinage immédiat du point » [30] ;
dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, la puissance transportée reste constante mais la puissance émise par la source à l'instant se retrouvant localisée sur le « cercle d'onde cercle de rayon à l'instant [31] » c.-à-d. « sur un espace dont l'expansion avec », on en déduit que dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, « la puissance transportée par unité de longueur du cercle d'onde comme [32] » et par suite que dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude de l'O.P.H. [29]comme[33] » ;
dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, la puissance transportée reste constante mais la puissance émise par la source à l'instant se retrouvant localisée sur la « sphère d'onde sphère de rayon à l'instant [34] » c.-à-d. « sur un espace dont l'extension avec », on en déduit que dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, la « puissance transportée par unité de surface de la sphère d'onde comme [35] » et par suite que dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude de l'O.P.H. [29]comme[36] ».
Cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux d'amplitudes différentes[modifier | modifier le wikicode]
Les ondes émises par les sources synchrones et , supposées vibrant en phase, s'écrivent « et » avec «» ; Les ondes émises par les sources synchrones et , supposées vibrant elles induisent au point et à l'instant , des ondes s'exprimant selon «» dans laquelle « et sont l'amplitude de chaque onde en » [37], « et la distance séparant ce dernier de chaque source », « et la pulsation spatiale et la longueur d'onde communes » ; Les ondes émises par les sources synchrones et , supposées vibrant ces ondes en se superposant donnent l'onde résultante « c.-à-d. » dans laquelle «» ; la détermination de l'amplitude résultante à l'aide du diagramme de Fresnel [15]voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel » plus haut dans ce chapitre ou de l'amplitude complexe voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe » plus haut dans ce chapitre «» [38].
Les ondes en interfèrent de façon « constructive » si l'amplitude résultante y est maximale et ceci est réalisé pour Les ondes en interfèrent de façon « constructive » si «, » [27] correspondant à des ondes « en phase » [28] ; Les ondes en interfèrent de façon « constructive » l'amplitude résultante vaut alors «» soit, dans le cas où on néglige l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source », «».
Les ondes en interfèrent de façon « destructive » si l'amplitude résultante y est minimale et ceci est réalisé pour Les ondes en interfèrent de façon « destructive » si «, » [27], correspondant à des ondes « en opposition de phase » [28] ; Les ondes en interfèrent de façon « destructive » l'amplitude résultante vaut alors «» soit, dans le cas où on néglige l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source », «».
La différence de marche au point entre les ondes issues des deux sources ponctuelles synchrones et est la différence de parcours entre ces deux ondes au point à partir de leurs sources respectives c.-à-d.
«» avec et ; la différence de marche s'exprime en .
L'ordre d'interférences au point entre les ondes issues des deux sources ponctuelles synchrones et est le « nombre réel » mesurant la différence de marche au point entre ces deux ondes en unité « longueur d'onde » c.-à-d.
«», l'ordre d'interférences est « sans unité ».
Expression du déphasage en fonction de la différence de marche ou de l'ordre d'interférences[modifier | modifier le wikicode]
La condition en termes de déphasage mathématique[27] étant «» se réécrit «» soit
la condition d'interférences constructives en termes de différence de marche «» [40] ou encore « la différence de marche doit être un multiple “ entier relatif ” de longueur d'onde ».
La condition en termes de déphasage mathématique[27] « ou » se réécrit « ou » soit
la condition d'interférences destructives en termes de différence de marche «» [41] ou encore « la différence de marche doit être égale à une demi-longueur d'onde augmentée d'un multiple “ entier relatif ” de longueur d'onde ».
Une frange d'interférences constructives étant l'ensemble des points tel que «, étant un entier relatif fixé », Une frange d'interférences constructives est une « branche d'hyperbole de foyers et » [10]à l'exception de la « frange d'interférences constructives à différence de marche nulle ou à ordre d'interférences nul» laquelle est la « médiatrice de » ;
une frange d'interférences destructives étant l'ensemble des points vérifiant «, étant un entier relatif fixé », une frange d'interférences destructives est aussi « branche d'hyperbole de foyers et » [10].
Nature des surfaces équiphases (ou de même état vibratoire) lors d'une propagation tridimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : Dans le cas d'une propagation tridimensionnelle, un ensemble de points à différence de marche fixée ou à ordre d'interférences fixé étant une surface et non plus une courbe, on ne parle plus de « frange d'interférences » mais de « surface équiphase [42] d'interférences ».
Exposé : Une surface équiphase [42] d'interférences constructives étant l'ensemble des points tel que «, étant un entier relatif fixé », Exposé : Une surface équiphase d'interférences constructives est une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers et » [43]à l'exception de la « surface équiphase [42] d'interférences constructives à différence de marche nulle ou à ordre d'interférences nul» laquelle est le « plan médiateur de » ;
Exposé : une surface équiphase [42] d'interférences destructives étant l'ensemble des points vérifiant «, étant un entier relatif fixé », Exposé : une surface équiphase d'interférences destructives est aussi une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers et » [43].
Remarque : Toute coupe d'une surface équiphase [42] d'interférences constructives ou destructives par un plan quelconque contenant les sources et , c.-à-d. , définissant une frange d'interférences constructives ou destructives du plan est une « branche d'hyperbole du plan de foyers et » [10]à l'exception de la « frange d'interférences constructives à différence de marche nulle ou à ordre d'interférences nul» laquelle est la « médiatrice de »[44].
Remarque : Toute coupe d'une surface équiphase [42] d'interférences constructives ou destructives par un plan quelconque à la droite contenant les sources et , c.-à-d. , définissant une frange d'interférences constructives ou destructives du plan est une « cercle du plan centré sur la droite contenant et » [45].
La condition en termes de déphasage mathématique[27] « ou » se réécrit « ou » soit
la condition d'interférences destructives en terme d'ordre d'interférences «» [41] ou encore « l'ordre d'interférences doit être égal à un demi augmenté d'un “ entier relatif ” ».
Échelle de longueur du phénomène d'interférences et notion d'interfrange dans le plan d'observation, échelle angulaire[modifier | modifier le wikicode]
Observation dans un plan transversal situé à une distance finie « d » des sources, cas où le plan d'observation est éloigné des sources[modifier | modifier le wikicode]
On suppose que les sources synchrones et en phase et sont à une distance «» l'une de l'autre et que le plan transversal d'observation, au plan vertical contenant les deux sources, en est séparé d'une distance «» ; on appelle le milieu de , étant l'intersection de la « médiatrice horizontale de » [50] avec la « droite d'observation » [51] ; on repère le phénomène d'interférences le long de cette droite d'observation orientée selon [52], le point où on observe les interférences étant d'abscisse ;
partant de où on observe une vibration d'amplitude maximale, on remarque en se déplaçant le long de dans le sens de ce dernier que l'amplitude de vibration jusqu'à un point sans vibration, puis jusqu'à où la vibration est de nouveau d'amplitude maximale etc. « étant successivement les traces des franges d'interférences constructives d'ordre sur la droite d'observation » [53] et « les traces des franges d'interférences destructives d'ordre sur la droite d'observation » [54] ;
les positions successives où on observe une interférence constructive sont-elles réparties régulièrement ? La réponse est « NON » mais les positions successives où on observe une interférence constructive sont-elles réparties régulièrement ? « elles le sont néanmoins pratiquement si la distanceet que l'on observe en restant au voisinage dec.-à-d. avec», nous nous plaçons pour la suite dans les conditions d'observation suivantes «».
Évaluation de la différence de marche pour une observation éloignée des sources[modifier | modifier le wikicode]
Tout d'abord on évalue le carré de chaque distance aux sources soit «» puis, formant la différence, on obtient «» [55] ; ensuite la différence de marche s'évalue par , soit «» dans la mesure où et sont des infiniment petits de même ordre un, le produit des deux est un infiniment petit d'ordre deux [56] et par suite, pour déterminer le terme prépondérant de , il suffira de chercher le terme prépondérant de ; on poursuit en évaluant le terme prépondérant de sachant que «», d'où «» ; pour terminer on reporte le terme prépondérant de dans l'expression de soit finalement
«» comme « est un infiniment petit d'ordre un » «».
Remarque : il était possible de déterminer directement la différence de marche en formant le D.L. [57] de «» à l'ordre un des « infiniment petits ou » [58] soit « à l'ordre un en ou » [59] d'où soit finalement «».
Position des points d'interférences constructives (ou d'interférences destructives)[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : Par abus on pourra entendre « positions des franges » mais dans l'expérience de la cuve à ondes il ne s'agit que de l'intersection des franges et de la droite d'observation.
Exposé : Le « point d'interférences constructives d'ordre [60] a pour abscisse » telle que la différence de marche correspondante vaut «» soit «» on remarque que ces points sont « régulièrement répartis », séparés les uns des autres de la longueur ;
Exposé : le « point d'interférences destructives d'ordre [60] a pour abscisse » telle que la différence de marche correspondante vaut «» soit «» on remarque que ces points sont séparés des points d'interférences constructives les plus proches de[61] d'une part et d'autre part « régulièrement répartis », séparés les uns des autres de la longueur.
Échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation, notion d'interfrange[modifier | modifier le wikicode]
Ayant remarqué que les points d'interférences constructives sont « régulièrement répartis » dans le plan d'observation et qu'il en est de même des points d'interférences destructives, la distance séparant deux points d'interférences constructives consécutifsou deux points d'interférences destructives consécutifs définit l'« échelle de longueur caractérisant le phénomène d'interférences dans ce plan d'observation et s'écrit ».
Interfrange
On appelle « interfrange », usuellement notée «», la distance séparant des positions successives de même état d'interférence, elle s'identifie donc à l'échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation soit
«».
Échelle angulaire du phénomène d'interférences, lien avec l'échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation[modifier | modifier le wikicode]
On peut définir l'inclinaison de la direction relativement à celle de et c'est en fonction de ce « paramètre angulaire » [62] que nous devons évaluer la différence de marche ;
on en déduit la différence de marche «» ou encore «» dans la mesure où et sont des infiniment petits de même ordre un, le produit des deux est un infiniment petit d'ordre deux [56] le terme prépondérant de suffit à la détermination du terme prépondérant de ;
on poursuit en évaluant le terme prépondérant de sachant que «» [64] soit, en mettant en facteur le terme prépondérant dans les expressions de et de , «» d'où «» ; pour terminer on reporte le terme prépondérant de dans l'expression de soit finalement
«» comme « est un infiniment petit d'ordre un » «».
Remarque : Il était possible de déterminer directement la différence de marche en formant le D.L. [57] de «» à l'ordre un de l'« infiniment petit » [65] soit « à l'ordre un en » [59] et, en faisant la différence de ces deux D.L. [57] à l'ordre un en , «» soit finalement, en observant que «» «»,
«».
Détermination de la direction des points d'interférences : Le point d'interférences constructives d'ordre[60] est donc « dans la direction » telle que la « différence de marche » d'où «» ou, avec ,
Détermination de la direction des points d'interférences : le point d'interférences destructives d'ordre[60] est « dans la direction » telle que la « différence de marche » soit «» ou, avec ,
Détermination de la direction des points d'interférences : Ayant remarqué que les points d'interférences constructives ont des directions régulièrement réparties et qu'il en est de même des points d'interférences destructives, l'écart angulaire séparant deux directions d'interférences constructives consécutivesou deux directions d'interférences destructives consécutives définit l'« échelle angulaire caractérisant le phénomène d'interférences et s'écrit étant en ».
Lien entre les échelles angulaire et de longueur dans le plan d'observation du phénomène d'interférences : De la relation liant et définie dans le plan d'observation situé à la distance du plan vertical des deux sources et , «» ou, avec , « étant en » [67], on en déduit le « lien entre l'échelle angulaireet l'échelle de longueur dans le plan d'observationdu phénomène d'interférences à savoir » que l'on peut réécrire selon
Modifications par rapport aux interférences de deux ondes mécaniques sur une cuve à ondes[modifier | modifier le wikicode]
Le milieu de propagation étant maintenant tridimensionnel et supposant toujours la propagation linéaire et non dispersive, le phénomène d'interférences est visible dans tout l'espace et les lieux d'observation des interférences constructivesou destructives ne sont plus des courbes comme cela était dans un milieu bidimensionnel mais des surfaces ;
on peut aisément prolonger en adaptant si besoin est tout ce qui a été vu lors de l'étude des interférences de deux ondes mécaniques sur la surface du liquide de la cuve à ondes.
La superposition, en et à l'instant , de deux ondes acoustiques issues des deux sources et synchrones et en phase, «» et «» [68] avec «», « étant la pulsation spatiale » et « les distances respectives séparant des sources et », La superposition, donne une onde résultante «» avec «» [69],[70] La superposition, donne une onde résultante où le déphasage est lié à la différence de marche selon «» ou La superposition, donne une onde résultante où le déphasage est lié à l'ordre d'interférences selon «».
Conditions équivalentes d'interférences constructives : la 2ème condition se réécrivant «» soit encore, pour entier relatif fixé [71], «», on en déduit que la surface d'interférences constructives d'ordre est une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers et » [43], la surface d'interférences constructives d'ordre étant le plan médiateur de .
Conditions équivalentes d'interférences destructives : la 2ème condition se réécrivant «» soit, pour entier relatif fixé [72],[73], «», on en déduit que la surface d'interférences destructives d'ordre est aussi une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers et » [43].
On peut utiliser le dispositif expérimental schématisé ci-contre :
deux émetteurs d'ultrasons alimentés par le même générateur de signaux sinusoïdaux réglé sur la fréquence et écartés l'un de l'autre d'une distance envoient des ondes acoustiques ultrasonores dans l'espace situé devant eux,
ces ondes pouvant être captées par un récepteur d'ultrasons situé à une distance des émetteurs ;
un dispositif non représenté permet le déplacement transversal du récepteur c.-à-d. parallèlement à la droite joignant les deux émetteurs et un dispositif non représenté permet de repérer sa position sur une règle graduée fixe longue de ;
le récepteur, captant le signal résultant, le transforme en tension sinusoïdale de même fréquence dont l'amplitude est mesurée par un oscilloscope numérique, cette tension étant à l'amplitude du signal résultant [74].
On appelle le milieu du segment joignant les deux émetteurs et On appelle la position centrale du récepteur, c.-à-d. l'intersection de la médiatrice du segment joignant les deux émetteurs avec le rail permettant de déplacer le récepteur, comme indiqués sur le schéma du paragraphe « dispositif expérimental » plus haut dans ce chapitre ;
quand le récepteur est en position centrale on observe des interférences constructives maximum d'amplitude puis en déplaçant le récepteur d'un côté de puis de l'autre, on observe une alternance « interférences destructives minimum d'amplitude interférences constructives » repérées par la mesure de l'amplitude de la tension enregistrée par l'oscilloscope simultanément au repérage de la position du récepteur ;
on résume ces résultats sur un diagramme où est en abscisse et en ordonnée voir ci-contre :
entre et on observe huit interfranges d'où soit «» ;
de et de on en déduit le rapport «» ; si on admet la validité de la formule théorique «» [75] on peut déduire de la valeur expérimentale de l'interfrange, la longueur d'onde des ondes acoustiques ultrasonores «» ;
on peut alors évaluer la célérité des ondes ultrasonores par «» d'où on peut alors évaluer la célérité des ondes ultrasonores «» à comparer à « à » soit le même résultat à près.
↑ Produite par une lampe alimentée en « courant continu » au sens historique c.-à-d. « courant permanent » courant non alternatif afin d'éviter le phénomène stroboscopique que créerait un courant alternatif de fréquence .
↑ La stroboscopie étant un moyen d'étudier « au ralenti » voire « à l'immobilité apparente » des mouvements périodiques rapides en utilisant la persistance rétinienne de l'œil de durée approximative de ; on peut ainsi observer l'immobilité respectivement le ralenti d'un mouvement périodique rapide si la période des éclairs produits par l'éclairage stroboscopique est égale à respectivement très légèrement différente de la période du mouvement ou est égale à respectivement très légèrement différente d'un multiple entier de la période du mouvement ; pour que la persistance rétinienne joue un rôle il est nécessaire que chaque image imprimée sur la rétine soit encore présente lors de l'arrivée de l'image suivante c.-à-d. que la période des éclairs produits par éclairage stroboscopique soit inférieure à ou que sa fréquence soit supérieure à .
↑ Onde transversale encore qualifiée de circulaire car la célérité de propagation étant isotrope, les lignes d'onde lignes de même phase sont des cercles on parle de lignes d'onde pour une propagation dans un milieu bidimensionnel et de surfaces d'onde pour une propagation dans un milieu tridimensionnel.
↑ Se dit de machine fonctionnant à l'air comprimé.
↑ Sur ces lignes les points de la surface du liquide vibrent avec un maximum d'amplitude ; si l'éclairage strosboscopique fige leur mouvement sur une crête d'amplitude maximale, cette dernière joue le rôle de système convergent pour la lumière c.-à-d. de dioptre convergent voir le paragraphe « dioptre » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », lequel se comporte quasiment comme une lentille biconvexe voir le paragraphe « exemple de systèmes dioptriques centrés : les lentilles sphériques (exemples de lentilles convergentes) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », leur position apparaît alors très lumineuse alors qu'un si l'éclairage strosboscopique figeant leur mouvement sur un creux d'amplitude maximale, ce dernier joue le rôle de système divergent pour la lumière c.-à-d. de dioptre divergent voir le paragraphe « dioptre » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », lequel se comporte quasiment comme une lentille biconcave voir le paragraphe « exemple de systèmes dioptriques centrés : les lentilles sphériques (exemples de lentilles divergentes) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », leur position apparaît sombre.
↑ Sur ces lignes les points de la surface du liquide ne vibrent pratiquement pas, leur position apparaît d'une luminosité uniforme et réduite.
↑ 7,0 et 7,1 C.-à-d. la différence de distance parcourue au point considéré par chaque onde depuis l'émission par la source correspondante ; ici ce sera la différence de marche de l'onde issue de sur l'onde issue de .
↑ 9,0 et 9,1 À condition que les amplitudes des ondes au point soient les mêmes ; si les distances et restent voisines l'une de l'autre, ce sera quasiment le cas, mais si les distances deviennent assez différentes alors l'onde la plus éloignée de sa source aura une amplitude plus faible que l'onde la plus proche de sa source, ceci étant dû au fait que l'amplitude d'une onde circulaire est inversement proportionnelle à c.-à-d. à la racine carrée de la distance séparant la source du point atteint effet d'« étalement » de la puissance transportée par l'onde avec la distance parcourue depuis la source : la puissance émise par une onde se retrouve intégralement sur la ligne d'onde de longueur et la puissance est proportionnelle au carré de l'amplitude .
↑ 10,010,110,2 et 10,3 Une hyperbole de « foyers et , points distants de », est l'« ensemble des points du plan tel que où », l'excentricité de l'hyperbole étant définie par «» ; l'hyperbole possède un axe de symétrie appelé « axe focal » et un centre de symétrie , milieu de , les deux points de l'hyperbole appartenant à l'axe focal définissent les sommets de cette dernière et sont à la distancedu centre, enfin l'hyperbole possède deux asymptotes passant par et situées symétriquement relativement à l'axe focal ; ceci constitue la définition « bifocale » d'une hyperbole, cas particulier de coniques vues dans le paragraphe « définition bifocale d'une hyperbole » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Bien sûr on aurait pu prendre une forme en cosinus au lieu d'une forme en sinus ; les sources étant supposées vibrer en phase, le choix d'une phase initiale nulle n'est rien d'autre que le choix d'une origine des temps « celle-ci correspondant aux points et au repos ».
↑ Ou norme commune des vecteurs d'onde seule la norme est commune car la direction d'un vecteur d'onde étant la direction de propagation et celle-ci différant suivant la source, les vecteurs d'onde sont différents on peut écrire «» et «».
↑ On rappelle que l'amplitude d'une onde circulaire dépend du point atteint car théoriquement, elle est inversement proportionnelle à c.-à-d. à la racine carrée de la distance séparant la source du point atteint, ceci résultant d'un effet d'« étalement » de la puissance transportée par l'onde avec la distance parcourue depuis la source : la puissance émise par une onde se retrouvant uniformément dispersée sur la ligne d'onde de longueur soit une puissance reçue au point à , celle-ci étant proportionnelle au carré de l'amplitude, on en déduit bien que est à .
↑ 15,015,115,215,315,415,5 et 15,6Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.
↑ Le diagramme de Fresnel doit être effectivement refait pour en déduire l'amplitude et la phase initiale de l'onde résultante, il ne suffit pas d'appliquer simplement les formules établies dans le paragraphe référencé.
↑ 18,0 et 18,1 Sa détermination n'est toutefois pas utile pour l'explication des interférences, elle est donnée à titre documentaire.
↑ Le calcul par amplitude complexe doit être effectivement refait suivi de prise de module et d'argument pour en déduire l'amplitude et la phase initiale de l'onde résultante, il ne suffit pas d'appliquer simplement les formules établies dans le paragraphe référencé.
↑ Cette dernière modification obtenue en utilisant la formule de trigonométrie appliquée avec ; bien que cette dernière expression ait l'avantage d'être linéaire, il n'est pas utile de l'utiliser pour la suite de l'étude.
↑ Nous considérons les déterminations principales de chaque angle c.-à-d. la détermination , la différence de ces déterminations appartient alors à et la valeur absolue de la différence .
↑ 22,0 et 22,1 On suppose , mais le problème est évidemment symétrique par permutation des indices.
↑Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps.
↑ 27,027,127,227,327,427,527,6 et 27,7 Ceci étant le déphasage que je qualifie de « mathématique », pour le distinguer du déphasage réel le seul observable que je qualifie de « physique ».
↑ La puissance transportée par unité de surface de sphère d'onde étant au carré de l'amplitude, si la puissance comme , l'amplitude comme .
↑ Si on néglige l'« étalement » de la puissance transportée par les ondes avec la distance parcourue depuis leur source on a et dont on déduit ; si on tient compte de cet « étalement » on a aussi sauf cas très particulier où on observe un effet local de compensation.
↑ Ce résultat s'appliquant encore au cas de sources synchrones et en phase émettant des signaux de même amplitude mais dans un milieu bidimensionnel ou tridimensionnel en tenant compte de l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source ».
↑ Attention le signe «» n'apparaît que si on détermine le décalage de l'onde sur l'onde dans les trois définitions « déphasage, différence de marche et ordre d'interférences » on peut bien sûr changer les trois simultanément et définir le décalage de l'onde sur l'onde .
↑ 40,0 et 40,1 On a posé pour simplifier le résultat.
↑ 41,0 et 41,1 On a posé pour simplifier le résultat.
↑ 42,042,142,242,342,4 et 42,5 Appellation personnelle pour traduire un même état vibratoire dans un phénomène d'interférences.
↑ En effet, la frange d'interférences constructives ou destructives du plan se confond avec la méridienne contenue dans ce plan engendrant, par révolution autour de , la surface équiphase d'interférences constructives ou destructives c.-à-d. engendrant la « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers et correspondante » ou le plan médiateur de quand la différence de marche est nulle.
↑ En effet, la frange d'interférences constructives ou destructives du plan se confond avec le parallèle au sens géographique contenue dans ce plan correspondant à une coupe de la surface équiphase d'interférences constructives ou destructives c.-à-d. une coupe de la « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers et selon un plan à l'axe de révolution ».
↑ La médiatrice de contenue dans la surface du liquide est encore la frange principale d'interférences constructives c.-à-d. la frange d'ordre d'interférences nul.
↑ C.-à-d. la trace du plan d'observation sur la surface de la cuve à ondes.
↑ Le sens de , rapporté par translation sur la droite , étant de vers .
↑ Et « les traces des franges d'interférences constructives d'ordre en se déplaçant dans l'autre sens sur la droite d'observation ».
↑ Et « les traces des franges d'interférences destructives d'ordre en se déplaçant dans l'autre sens sur la droite d'observation ».
↑ 55,0 et 55,1 Le caractère « observation éloignée des sources » c.-à-d. « et » n'ayant pas encore été utilisé, ceci est donc valable quel que soit .
↑ Par rapport aux infiniment petits d'ordre un « et », « et » sont des infiniment petits d'ordre deux mais la formation des D.L. de et de on les considère d'ordre un
↑ L'infiniment petit «» étant d'ordre deux devra donc être éliminé
↑ 66,0 et 66,1 En effet, quand un angle exprimé en est petit, .
↑ En effet, quand un angle exprimé en est petit, .
↑ On aurait pu conserver la forme sinusoïdale des ondes, ce choix étant a priori arbitraire.
↑ Les amplitudes et les phases initiales dépendant du point mais la dépendance est volontairement omise pour simplifier l'écriture.
↑ On rappelle que si l'on tient compte de l'étalement de l'onde avec la distance à la source, l'amplitude d'une onde tridimensionnelle varie comme et non comme comme c'est le cas pour une onde bidimensionnelle.
↑ Lequel n'est rien d'autre que l'ordre d'interférences.
↑ Lequel n'est rien d'autre que la partie entière de l'ordre d'interférences.
↑ À ne pas confondre avec l'ordre d'interférences tronqué à l'unité ; en effet si les deux sont confondus pour un nombre positif, ce n'est pas le cas pour un nombre négatif par exemple a pour partie entière et pour valeur tronquée à l'unité .
↑ Le récepteur utilisé ici donne une réponse au signal acoustique, il n'en est pas de même de l'oreille qui donne une réponse à l'énergie moyenne reçue c.-à-d. au carré de l'amplitude du signal à condition bien sûr que le signal soit dans le domaine audible, ce qui n'est évidemment pas le cas ici.
↑ Cette formule est valable si et , or si le rapport autorise de considérer à près, Cette formule est valable si et , or si le rapport l'application de la condition est plus que douteuse aux extrémités de la règle graduée.