En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 2ème partie Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 2ème partie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Filtre passe-bas du 2ème ordre, détermination de la réponse à un échelon de tension et à une tension périodique non sinusoïdale à partir de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]
On se propose d'étudier un montage dont l'amplification complexe en tension en électricité complexe associée au r.s.f[1]. est
«»,
et étant les valeurs de capacité de deux condensateurs parfaits, la résistance d'un conducteur ohmique, « la tension instantanée complexe associée à la tension instantanée sinusoïdale imposée à l'entrée du montage d'entrée » et « la tension instantanée complexe associée à la tension instantanée sinusoïdale recueillie à la sortie du montage, étant la tension efficace complexe de sortie ».
Montrer que l'amplification complexe en tension du filtre peut être réduite de façon canonique selon «» et Expliciter les grandeurs canoniques «», «» et «».
Solution
Les deux formes «» et «» étant normalisées, on identifie
« les termes en du dénominateur » soit «»
«» ainsi que
« les termes en du même dénominateur » soit «»
«» et
« les termes constants du numérateur » soit «»
«».
Déduction de l'équation différentielle à laquelle obéit la tension instantanée de sortie[modifier | modifier le wikicode]
Déduire, de l'amplification complexe en tension du filtre «», l'équation différentielle vérifiée par la tension instantanée de sortie en régime quelconque.
Solution
À partir de «» on obtient, en égalant le produit des extrêmes et des moyens dans la 2ème égalité, «» ou, À partir de «» on obtient, en sachant que «» ainsi que «», «» soit enfin, À partir de «» on obtient, en normalisant «»[2], de partie réelle égale à
«», qui est l'« équation différentielle cherchée du circuit considéré »[3].
Description de la solution libre de l'équation différentielle à laquelle obéit la tension instantanée de sortie[modifier | modifier le wikicode]
La solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre hétérogène étant la solution générale de l'équation différentielle précédente rendue homogène c'est-à-dire, La solution libre en notant la solution libre , cette dernière est solution générale de l'équation «»,
décrire la solution libre on précisera les différentes allures possibles de cette solution suivant les valeurs de .
Solution
La solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre hétérogène «» La solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre hétérogène étant la solution générale de «» La solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre hétérogène s'obtient par résolution de l'équation caractéristique «»[4],[5] de discriminant réduit «» soit, la discussion suivante en fonction des valeurs de «» :
« si », l'équation caractéristique ayant deux racines réelles distinctes «», « si », conduit à une solution apériodique libre «»[6], « si », conduit à une solution apériodique libre « et étant des constantes réelles quelconques,
« si », l'équation caractéristique ayant une racine réelle double «», « si », conduit à une solution apériodique critique libre «»[7] « si », conduit à une solution apériodique critique libre « et étant des constantes réelles quelconques et
« si », l'équation caractéristique ayant deux racines complexes conjuguées «» écrites encore selon « si », l'équation caractéristique ayant deux racines complexes conjuguées «» avec « « si », l'équation caractéristique ayant deux racines complexes conjuguées «» avec «appelée pseudo pulsation », « si », conduit finalement à une solution pseudo périodique libre «»[8], « si », conduit à une solution pseudo périodique libre « et étant des constantes réelles quelconques.
Sachant qu'on applique un échelon de tension d'amplitude «» à l'entrée du filtre à partir de «»[9], donner, en les justifiant par utilisation de propriétés de la fonction de transfert, les valeurs
de la réponse initiale en sortie «» du filtre à cet échelon c'est-à-dire la valeur de «» et
celle finale en sortie «» du filtre à cet échelon c'est-à-dire la valeur de « notée, par abus, » ;
On sait que, d'une part, ce qui traduit la continuité de en , l'excitation[11] étant en effet discontinue de 1ère espèce et cette discontinuité se reportant sur la dérivée 2nde de et entraînant la continuité de la dérivée 1ère de et celle de la fonction ;
on sait que, d'autre part, «»[12] soit
On sait que, d'autre part, «» étant la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre hétérogène au bout d'une durée infinie pendant laquelle le régime libre s'est amorti, c'est-à-dire que est la solution forcée.
Suite de la construction du cas particulier m = 2-1/2 pour un encadrement donné de la fréquence propre[modifier | modifier le wikicode]
Dans le cadre du lien entre les capacités «» et «» permettant d'obtenir «», on veut faire varier la fréquence propre «» entre «» et «», Dans le cadre du lien entre les capacités «» et «» permettant d'obtenir «», déterminer entre quelles limites, exprimées en fonction de «», doit-on choisir «» ?
Solution
Ayant établi, dans la solution de la question « Réduction canonique de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. » plus haut de cet exercice, Ayant établi, l'expression de la pulsation propre «» en fonction de «», «» et «» soit «», on en déduit Ayant établi, celle de la fréquence propre «» selon «» ou, compte-tenu de «» nécessaire pour obtenir «», Ayant établi, celle de la fréquence propre «» «» ;
pour que l'encadrement de «» soit «» il faut encadrer «» selon «»[15] ou pour que l'encadrement de «» soit «» il faut encadrer «» selon «» dans lequel « est en » et « en » soit encore, pour que l'encadrement de «» soit «» il faut encadrer «» selon «» dans lequel « est en » et « en »[16].
Détermination des grandeurs caractéristiques du filtre construit précédemment et de fréquence propre 2,0 kHz[modifier | modifier le wikicode]
Dans le cadre du lien entre les capacités «» et «» permettant d'obtenir «» et Dans le cadre de celui entre la capacité «» et la résistance «» pour que «», on impose une fréquence propre «»,
préciser :
l'allure de la courbe de gain du diagramme de Bode[17] asymptotique on vérifiera que l'allure tracée est bien celle d'un « passe-bas » du 2ème ordre,
la valeur de la fréquence de coupure à ainsi que sa position sur la courbe de gain du diagramme de Bode[17] aysmptotique,
les pentes des asymptotes de cette courbe de gain du diagramme de Bode[17] aysmptotique et
Ayant reconnu la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f[1]. d'un filtre du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »[20], nous en déduisons
la courbe de gain du diagramme de Bode[17] asymptotique de ce filtre[21] représentée ci-contre on vérifie que la courbe de gain diagramme de Bode[17] asymptotique de ce filtre a correspond bien à un « passe-bas » du 2ème ordre ;
de «c'est-à-dire le cœfficient d'amortissement usuellement noté » on tire le facteur de qualité «»[22] dont la valeur correspond à une résonance du filtre du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » pour la fréquence nulle[23] ; de «on en déduit la réécriture de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f[1]. pour ce facteur de qualité «» d'où un gain «» ; de « on en déduit la pulsation de coupure à «» étant définie par «» nous en déduisons «» soit «» d'où l'expression de la fréquence de coupure à «» s'identifiant à la fréquence propre ;
l'équivalent B.F[24]. pratiquement obtenu pour de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f[1]. pour ce facteur de qualité étant «» [13] d'où l'équation de l'asymptote B.F[24]. de la courbe de gain du diagramme de Bode[17] «» ou
l'équivalent H.F[26]. pratiquement obtenu pour de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f[1]. pour ce facteur de qualité étant «» [13] d'où l'équation de l'asymptote H.F[26]. de la courbe de gain du diagramme de Bode[17] «» ou
de plus on vérifie que « les deux asymptotes de la courbe de gain du diagramme de Bode[17] se coupent en », « étant aussi la fréquence de coupure à » ;
l'équivalent B.F[24]. pratiquement obtenu pour de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f[1]. pour ce facteur de qualité étant «» [13] d'où l'équation de l'asymptote B.F[24]. de la courbe de phase du diagramme de Bode[17] «» ou
l'équivalent H.F[26]. pratiquement obtenu pour de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f[1]. pour ce facteur de qualité étant «» [13],[27] d'où l'équation de l'asymptote H.F[26]. de la courbe de phase du diagramme de Bode[17] «» ou
Préciser le comportement équivalent en B.F[24]. ou H.F[26]. du filtre[28].
Solution
À B.F[24]. pratiquement obtenu pour la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f[1]. pour ce facteur de qualité est «»[13] le filtre laisse passer un signal sinusoïdal sans atténuation ni déphasage, il se comporte donc comme un « passe-tout »[29] à B.F[24]. ;
à H.F[26]. pratiquement obtenu pour la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f[1]. pour ce facteur de qualité est «»[13] le filtre intègre deux fois successivement un signal sinusoïdal c'est-à-dire qu'il donne en sortie la primitive de valeur moyenne nulle de la primitive de valeur moyenne nulle de l'entrée sinusoïdale[30], il se comporte en « double intégrateur »[29] à H.F[26]..
Réponse du filtre construit précédemment et de fréquence propre 2,0 kHz à divers signaux périodiques de fréquence 1,5 kHz[modifier | modifier le wikicode]
À l'entrée du filtre construit précédemment et de fréquence propre on impose un signal d'entrée périodique de fréquence «» ; À l'entrée du filtre construit précédemment et de fréquence propre on se propose de déterminer la réponse du filtre suivant la forme du signal d'entrée en introduisant, en 1ère approximation, un « intervalle quasi-passant »[31] avant d'affiner en tenant compte de la différence de gain
Représenter, sur un même diagramme temporel, le signal d'entrée sinusoïdal à valeur moyenne nulle[32] et la réponse de ce filtre d'abord avec la notion d'« intervalle quasi-passant »[31] puis en affinant en tenant compte de la différence de gain.
Solution
Comme «» le signal d'entrée sinusoïdal à valeur moyenne nulle[32] ayant une fréquence «» dans l'« intervalle quasi-passant »[31] est transmis sans déformation et quasiment sans atténuation d'où «» en absence supposée de déphasage[33] ; l'oscillogramme bien que demandé n'a pas été tracé et est à ajouter sans difficultés apparentes.
Réponse du filtre à un signal d'entrée créneau symétrique pair à valeur moyenne non nulle[modifier | modifier le wikicode]
Représenter, sur un même diagramme temporel, le signal d'entrée créneau symétrique[34] à valeur moyenne positive[35] pair[36] telle que les valeurs de palier soient et la réponse de ce filtre d'abord avec la notion d'« intervalle quasi-passant »[31] puis en affinant en tenant compte de la différence de gain.
On rappelle la réponse fréquentielle[37] d'un signal créneau symétrique[34] pair[36] d'amplitude et de valeur moyenne nulle[32] : «»[38].
Solution
Compte-tenu du fait que le signal d'entrée créneau symétrique[34] pair[36] est telle que les valeurs de palier sont , on en déduit la « valeur moyenne positive[35]» ainsi que l'« amplitude du signal d'entrée créneau symétrique[34] pair[36] de valeur moyenne nulle[32]».
La composante permanente du signal d'entrée passe sans aucune déformation d'où «»[39] ;
l'harmonique fondamental d'amplitude «» du signal d'entrée étant de fréquence «» située dans l'« intervalle quasi-passant »[31] est transmis sans déformation et, en 1ère approximation, sans atténuation d'où «» en absence supposée de déphasage[33] et, l'harmonique fondamental de façon plus approfondie tenant compte du gain réel du filtre et de sa phase à la fréquence «» [33], l'amplitude complexe de la réponse de l'harmonique fondamental s'exprime selon «» soit une amplitude de l'harmonique fondamental de la réponse et un déphasage de avec l'harmonique fondamental du signal d'entrée ;
l'harmonique de rang d'amplitude «» du signal d'entrée étant de fréquence «» dans l'« intervalle quasi-non passant »[40] est bloqué en 1ère approximation d'où «»[41],[42] et, l'harmonique de rang de façon plus approfondie tenant compte du gain réel du filtre et de sa phase à la fréquence «» [41], l'amplitude complexe de la réponse de l'harmonique de rang s'exprime selon «» soit une amplitude de l'harmonique de rang de la réponse et un déphasage de avec l'harmonique de rang du signal d'entrée[43] ;
l'harmonique de rang d'amplitude «» du signal d'entrée étant de fréquence «» située dans l'« intervalle quasi-non passant »[40] est bloqué en 1ère approximation d'où «»[44],[45], l'harmonique de rang de façon plus approfondie tenant compte du gain réel du filtre et de sa phase à la fréquence «» [44], l'amplitude complexe de la réponse de l'harmonique de rang s'exprime selon «» soit une amplitude de l'harmonique de rang de la réponse et un déphasage de avec l'harmonique de rang du signal d'entrée ;
tous les harmoniques de rang du signal d'entrée sont bloqués par le filtre tout comme l'harmonique de rang .
Ci-dessus à droite l'oscillogramme du signal d'entrée en noir et celui du signal de sortie en magenta figure aussi en bleu la superposition de la composante permanente et de l'harmonique fondamental du signal de sortie à l'exclusion de tout autre harmonique, on vérifie facilement que l'on peut considérer en 1ère approximation que seules ces deux composantes sont essentielles.
Réponse du filtre à un signal d'entrée triangulaire symétrique pair à valeur moyenne nulle[modifier | modifier le wikicode]
Représenter, sur un même diagramme temporel, le signal d'entrée triangulaire symétrique[34] pair[46] de valeurs de crête et la réponse de ce filtre d'abord avec la notion d'« intervalle quasi-passant »[31] puis en affinant en tenant compte de la différence de gain.
On rappelle la réponse fréquentielle[37] d'un signal triangulaire symétrique[34] pair[46] d'amplitude et de valeur moyenne nulle[32] : «»[47].
Solution
L'harmonique fondamental d'amplitude «» du signal d'entrée étant de fréquence «» située dans l'« intervalle quasi-passant »[31] est transmis sans déformation et, en 1ère approximation, sans atténuation d'où «» en absence supposée de déphasage[33] et, L'harmonique fondamental de façon plus approfondie tenant compte du gain réel du filtre et de sa phase à la fréquence «» [33], l'amplitude complexe de la réponse de l'harmonique fondamental s'exprime selon «» soit une amplitude de l'harmonique fondamental de la réponse et un déphasage de avec l'harmonique fondamental du signal d'entrée d'entrée[48] ;
l'harmonique de rang d'amplitude «» du signal d'entrée étant de fréquence «» située dans l'« intervalle quasi-non passant »[40] est bloqué en 1ère approximation d'où «»[41],[45] et, l'harmonique de rang de façon plus approfondie tenant compte du gain réel du filtre et de sa phase à la fréquence «» [41], l'amplitude complexe de la réponse de l'harmonique de rang s'exprime selon «» soit une amplitude de l'harmonique de rang de la réponse et un déphasage de avec l'harmonique de rang du signal d'entrée[43] ;
tous les harmoniques de rang du signal d'entrée sont bloqués par le filtre tout comme l'harmonique de rang .
Ci-dessus à droite l'oscillogramme du signal d'entrée en noir et celui du signal de sortie en magenta seul l'harmonique fondamental du signal de sortie suffit pour engendrer le signal de sortie.
Préciser l'avantage du filtre passe-bas du 2ème ordre étudié dans cet exercice sur un filtre passe-bas du 1er ordre de même fréquence de coupure à .
Solution
Dans le « filtre passe-bas du 2ème ordre étudié dans cet exercice, la pente de l'asymptote H.F[26]. de la courbe de gain diagramme de Bode[17] étant de » alors que Dans le « filtre passe-bas du 2ème ordre étudié dans cet exercice, « celle de l'asymptote H.F[26]. de la courbe de gain diagramme de Bode[17] d'un passe-bas du 1er ordre est de »[49] c'est-à-dire que l'asymptote H.F[26]. de la courbe de gain diagramme de Bode[17] d'un passe-bas du 2ème ordre étant deux fois plus pentue que celle de la courbe de gain diagramme de Bode[17] d'un passe-bas du 1er ordre, les harmoniques que l'on souhaite éliminer dans le signal de sortie sont d'amplitude plus rapidement dans le cas d'un 2ème ordre que dans celui d'un 1er ordre, d'où
l'utilisation d'un 2ème ordre permet une meilleure performance dans l'élimination des harmoniques.
Réponse, à un échelon de tension, d'un circuit « non réel » (circuit dans lequel on impose la nullité des résistance des fils de connexion alors qu'il n'y a pas de résistances devant lesquelles celle des fils est négligeable) obtenue exclusivement par utilisation du r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]
On considère le circuit « non réel »[50] ci-contre composé de deux D.P.L[51]. montés en série,
le D.L.P[51]. étant constitué d'un conducteur ohmique de résistance en sur un condensateur parfait de capacité , « la tension instantanée aux bornes de ce D.L.P[51]. étant notée »[52] et
le D.L.P[51]. constitué d'un conducteur ohmique de résistance en sur un condensateur parfait de même capacité , « la tension instantanée aux bornes de ce D.L.P[51]. étant notée »[52] ;
aux bornes de l'association série de ces deux D.P.L[51]. on applique l'« ensemble constitué d'une source de tension parfaite de f.e.m. et d'un interrupteur montés en série, initialement ouvert étant fermé à » c'est-à-dire qu'on impose, à partir de , un « échelon de tension d'amplitude noté »[52] étant l'échelon unité ou fonction de Heaviside[53][54].
Remarque : le circuit ainsi construit est effectivement « non réel »[50] car, dans la « maille reliant les deux condensateurs à l'association série source de tension parfaite de f.e.m. et interrupteur » les seuls éléments résistifs, c'est-à-dire les fils de connexion, sont considérés de résistance nulle.
Détermination de la réponse en u1(t) à l'échelon de tension E Y(t) du circuit « non réel » construit précédemment, réponse obtenue exclusivement par utilisation du r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]
On se propose de déterminer la réponse en à l'échelon de tension [54] du circuit « non réel »[50] présenté en introduction « en utilisant exclusivement le fonctionnement en r.s.f[1]. » et pour cela
on demande d'établir successivement, « après avoir remplacé l'échelon de tension [54] par une source de tension sinusoïdale parfaite de f.e.m. instantanée à laquelle on associe la f.e.m. instantanée complexe telle que » le « remplacement de la tension instantanée par la tension sinusoïdale forcée à laquelle on associe la tension instantanée complexe avec la tension efficace complexe » :
on demande d'établir successivement, l'amplification complexe en tension «» puis, d'en déduire
on demande d'établir successivement, l'équation différentielle en dans le cas où le circuit « non réel »[50] est de nouveau soumis à l'échelon de tension [54], suivi de
on demande d'établir successivement, la solution libre de l'équation différentielle en dans le cas où le circuit « non réel »[50] est soumis à l'échelon de tension [54]on déterminera l'équation caractéristique de l'équation différentielle par propriétés de l'amplification complexe en tension «» avant de résoudre classiquement cette équation caractéristique puis d'en déduire la solution libre , ensuite
on demande d'établir successivement, la réponse forcée du circuit « non réel »[50] à l'échelon de tension [54] par propriétés de l'amplification complexe en tension «», après
on demande d'établir successivement, la valeur initiale de la réponse en du circuit « non réel »[50] à l'échelon de tension [54] par propriétés de l'amplification complexe en tension «», et enfin
on demande d'établir successivement, la réponse à l'échelon de tension [54] du circuit « non réel »[50] explicitée en fonction des données.
En déduire l'« intensité du courant délivré par l'échelon de tension [54] »[55] du circuit « non réel »[50] et commenter.
Solution
Il convient tout d'abord de représenter le circuit « non réel »[50] ci-dessus « en électricité complexe associée au r.s.f[1]. »[56] en remplaçant Il convient tout d'abord de représenter le circuit « non réel » « l'échelon de tension [54] par une source de tension parfaite de f.e.m. instantanée complexe associée à la f.e.m. instantanée sinusoïdale », Il convient tout d'abord de représenter le circuit « non réel » « chaque condensateur de capacité par un rectangle à côté duquel on indique leur impédance complexe commune » ainsi que Il convient tout d'abord de représenter le circuit « non réel » « les tensions instantanées par les tensions instantanées complexes associées aux tensions instantanées sinusoïdales forcées avec les tensions efficaces complexes correspondantes ».
Détermination de l'amplification complexe en tension «» : on reconnaît un P.D.T[57]. en électricité complexe associée au r.s.f[1]. « alimenté en entrée par la f.e.m. instantanée complexe » et « en sortie ouverte aux bornes du D.P.L[51]. d'impédance complexe [58] ou » avec pour D.P.L[51]. d'attaque[59], le D.P.L[51]. d'impédance complexe [58] ou » d'où la tension instantanée complexe en sortie ouverte du P.D.T[57]. alimenté en entrée par «»[60] «».
Équation différentielle endans le cas du circuit « non réel »[50] soumis à l'échelon de tension[54] : à partir de «» on obtient, en égalant le produit des extrêmes et des moyens, «» ou, en sachant que «»[61], «» ou, en normalisant «»[2], de partie imaginaire égale à «»[61], soit finalement, avec «»[54], l'« équation différentielle en du circuit “ non réel ”[50] soumis à l'échelon de tension [54] »[3] :
Solution libre de l'équation différentielle endans le cas du circuit « non réel »[50] : la détermination de la solution libre «» de l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1er ordre rendue homogène[63] «» nécessitant de « résoudre l'équation caractéristique associée » et pour cela, de commencer par déterminer cette dernière en remarquant Solution libre l'équivalence de la méthode de son obtention laquelle consiste à chercher une solution de la forme et de celle de la détermination de la réponse instantanée complexe associée au r.s.f[1]. du circuit « non réel »[50] soumis à une f.e.m. instantanée complexe consistant à chercher une solution dont nous déduisons «» et étant des polynômes en l'amplification complexe en tension , Solution libre le 1er membre de l'équation caractéristique étant identique au dénominateur de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f[1]. à condition de « substituer par »[64] d'où
l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre hétérogène : ou ou «» soit, après normalisation de l'équation caractéristique «»[65] ;
Solution libre de la solution de l'équation caractéristique «» on en déduit la solution libre «» avec ou, Solution libre de la solution de l'équation caractéristique «» on en déduit la solution libre «» en posant «» avec .
Réponse forcéedu circuit « non réel »[50] à l'échelon de tension[54] : la solution forcée de l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1er ordre hétérogène à excitation[11] constante « pour » peut être déterminée en utilisant les propriétés de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f[1]. du circuit « non réel »[50] «» suivant «»[12] soit «»[66].
Valeur initialede la réponse endu circuit « non réel »[50] à l'échelon de tension[54] : le circuit étant « non réel »[50], la continuité de la tension aux bornes des condensateurs lors de la discontinuité de l'échelon de tension en est inapplicableen effet l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1er ordre en hétérogène, écrite pour tout , «» étant d'excitation[11] discontinue de 2ème espèce[67], on induit que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation[11] se reporte sur la dérivée de plus haut ordre et qu'à chaque prise de primitive ce numéro diminue de un tant que le numéro n'est pas atteint[68] ou stagne à la valeur si le numéro est atteint[68][69] c'est-à-dire que est discontinue de 2ème espèce[67] et est discontinue de 1ère espèce[70], dans la mesure où les condensateurs sont initialement déchargés c'est-à-dire, entre autres, «», nous pouvons affirmer «» de valeur restant à déterminer et pouvant l'être par utilisation des propriétés de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f[1]. du circuit « non réel »[50] «» suivant
Réponsedu circuit « non réel »[50] à l'échelon de tension[54] : la solution de l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1er ordre hétérogène «» étant la somme de la solution forcée «» et de la solution libre «» avec «» et «, constante d'intégration à déterminer à l'aide de la C.I[73]. »[74] soit «» dans laquelle la C.I[73]. s'écrit » d'où la réponse du circuit « non réel »[50] à l'échelon de tension [54] pour ,
«discontinue de 1ère espèce[70]» avec « constante de temps d'établissement du régime forcé ».
L'« intensité du courant délivré par l'échelon de tension [54] »[55] du circuit « non réel »[50] étant, selon la loi des nœuds, la somme de l'« intensité du courant traversant le conducteur ohmique du D.P.L[51]. [75]c'est-à-dirediscontinue de 1ère espèce[70]» et de l'« intensité du courant chargeant le condensateur du même D.P.L[51]. [75] c'est-à-dire discontinue de 2ème espèce[67]», nous en déduisons la « discontinuité de 2ème espèce[67] de» l'« intensité du courant délivré par l'échelon de tension [54] » du circuit « non réel »[50] prenant une valeur infinie à l'instant de fermeture de l'interrupteur entraîne vraisemblablement le claquage de l'interrupteur, la destruction des fils de connexion, celle de la source de tension et de l'isolant des condensateurs Si toutefois aucune destruction ne se manifestait ce qui est peu réaliste nous obtiendrions soit finalement
« pour » avec « constante de temps d'établissement du régime forcé ».
Détermination de la réponse en u1(t) à l'échelon de tension E Y(t) du circuit « non réel » construit précédemment, réponse obtenue par utilisation des lois de Kirchhoff et les propriétés des régimes transitoires en A.R.Q.S.[modifier | modifier le wikicode]
On se propose de retrouver la réponse en à l'échelon de tension [54] du circuit « non réel »[50] présenté en introduction « en utilisant les lois de Kirchhoff[76] et les propriétés des régimes transitoires en A.R.Q.S[77]. » et pour cela
on demande d'établir directement : l'équation différentielle en du circuit « non réel »[50] soumis à l'échelon de tension [54] par utilisation des lois de Kirchhoff[76], suivi de
on demande d'établir directement : la solution libre de l'équation différentielle en du circuit « non réel »[50] soumis à l'échelon de tension [54]on déterminera directement l'équation caractéristique de l'équation différentielle avant de résoudre classiquement cette équation caractéristique puis d'en déduire la solution libre , ensuite
on demande d'établir directement : la réponse forcée du circuit « non réel »[50] à l'échelon de tension [54]on déterminera directement la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène, après
on demande d'établir directement, la valeur initiale de la réponse en du circuit « non réel »[50] à l'échelon de tension [54] par étude directe du circuit à , et enfin
on demande d'établir directement, la réponse à l'échelon de tension [54] du circuit « non réel »[50] explicitée en fonction des données vérifier qu'on obtient le même résultat qu'à la question précédente.
Solution
Détermination de l'équation différentielle endu circuit « non réel »[50] soumis à l'échelon de tension[54] par utilisation des lois de Kirchhoff[76] : loi de nœud bornant le D.P.L[51]. : «»[55],[75] dans laquelle «»[75] et «»[75] «», loi de nœud bornant le D.P.L[51]. : «»[55],[75] avec «»[78] et «»[78] «», loi de maille principale[79] : ou «» «», report de dans : «» ou, en regroupant les termes dépendant de et ceux dépendant de , «», élimination de l'intensité entre les lois de nœuds explicitées en fonction de c'est-à-dire et : «» ou, en regroupant les termes dépendant de et ceux dépendant de , «» soit enfin, en ordonnant et normalisant
Solution libre de l'équation différentielle endans le cas du circuit « non réel »[50] : la détermination de la solution libre «» de l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1er ordre rendue homogène[63] «» nécessite de « résoudre l'équation caractéristique associée »[81] de solution «» Solution libre de cette dernière on en déduit la solution libre «» avec constante d'intégration ou Solution libre de cette dernière on en déduit la solution libre «» avec et « constante de temps d'amortissement du régime libre ».
Réponse forcéedu circuit « non réel »[50] à l'échelon de tension[54] : la solution forcée de l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1er ordre hétérogène à excitation[11] constante « pour » est cherchée sous forme constante même forme que l'excitation[11] d'où «» «».
Valeur initialede la réponse endu circuit « non réel »[50] à l'échelon de tension[54] : le circuit étant « non réel »[50], la continuité de la tension aux bornes des condensateurs lors de la discontinuité de l'échelon de tension en est inapplicableen effet l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1er ordre en hétérogène, écrite pour tout , «» étant d'excitation[11] discontinue de 2ème espèce[67], on induit que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation[11] se reporte sur la dérivée de plus haut ordre et qu'à chaque prise de primitive ce numéro de un tant que le numéro n'est pas atteint[68] ou stagne à la valeur si le numéro est atteint[68][69] c'est-à-dire que est discontinue de 2ème espèce[67] et est discontinue de 1ère espèce[70], dans la mesure où les condensateurs sont initialement déchargés c'est-à-dire, entre autres, « et », nous pouvons affirmer «» et, pour une raison tout à fait similaire «», ces deux valeurs initiales restant à déterminer ; Valeur initialeaprès une phase « pré-initiale »[82]quasi-instantanée[82] de charge des condensateurs à courant d'intensité infinie pendant laquelle les résistances aux bornes des condensateurs ne jouent aucun rôle en effet, pour cette phase « pré-initiale »[82] de durée de charge des condensateurs infiniment petite[82], il n’y a aucune résistance au passage du courant dans les fils de connexion en série avec les condensateurs et dans ceux reliant l'échelon de tension aux deux D.P.L[51]. et , alors qu’il y en a à travers les conducteurs ohmiques de ces deux D.P.L[51]. et pas de courant « pré-initial »[82] dans ces derniers qui peuvent donc être supprimés dans cette phase « pré-initiale »[82] ; Valeur initialepour déterminer les tensions « initiales » aux bornes des condensateurs c'est-à-dire «» et «», cet « instant initial » s'identifiant à l'instant de fin de la phase « pré-initiale »[82] de charge des condensateurs à courant d'intensité infinie, phase dans laquelle les conducteurs ohmiques ne jouant aucun rôle sont supprimés, nous constatons que le circuit à se réduit, en absence des conducteurs ohmiques, aux « deux condensateurs de même capacité soumis à la source de tension parfaite de f.e.m. » et les condensateurs étant identiques et initialement déchargés nous en déduisons
«».
Réponsedu circuit « non réel »[50] à l'échelon de tension[54] : la solution de l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1er ordre hétérogène «» étant la somme de la solution forcée «» et de la solution libre «» avec «» et «, constante d'intégration à déterminer à l'aide de la C.I[73]. »[74] soit «» dans laquelle la C.I[73]. s'écrit » d'où la réponse du circuit « non réel »[50] à l'échelon de tension [54] pour ,
«discontinue de 1ère espèce[70]» avec « constante de temps d'établissement du régime forcé » C.Q.F.V[83]..
↑ 2,0 et 2,1 On rappelle que la normalisation d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants consiste à imposer au cœfficient de la plus haute dérivée d'être égal à «», alors que la normalisation d'une fonction de transfert écrite sous sa forme canonique usuelle c'est-à-dire sous forme d'un quotient irréductible de polynômes en consiste à imposer au terme constant du dénominateur d'être égal à «», ce qui correspond, en terme d'équation différentielle, à imposer au cœfficient de la fonction d'être égal à «», ces deux normalisations n'étant donc pas en accord ce qui n'est a posteriori nullement gênant.
↑ 3,0 et 3,1 En effet l'équation différentielle d'un circuit étant indépendante de la forme de l'excitation, celle trouvée établie en r.s.f. régime sinusoïdal forcé garde la même forme pour n'importe quelle excitation imposée.
↑ On note «» l'inconnue de l'équation caractéristique c'est d'ailleurs la notation usuelle utilisée en mathématique car «» est déjà utilisé pour représenter le signal de sortie.
↑ Ne pas oublier qu'une inversion dans inverse le sens d'une inégalité.
↑ En effet il faut « diviser chaque membre par pour que soit en » et « multiplier chaque membre par pour que soit en » étant initialement en , le fait de la mettre en multiplie le dénominateur de chaque membre extrême des inégalités par et nécessite, pour que le résultat de l'encadrement de soit inchangé, de multiplier le numérateur de chaque membre extrême des inégalités par .
↑ Voir le paragraphe « tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode (d'un 2ème ordre “ du type réponse en uC d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante) » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » de fréquence , la courbe de gain du diagramme de Bode asymptotique y étant représentée en trait gras noir et étant indépendante du facteur de qualité lié au cœfficient d'amortissement lequel est noté dans cet exercice par .
↑ En effet le facteur de qualité se déduit du cœfficient d'amortissement par «».
↑ Voir la note « 100 » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », les résultats d'un 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » étant les mêmes que ceux d'un 2ème ordre « réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante ».
↑ 25,025,125,2 et 25,3 Quand on change de variable, passant de à , les fonctions , , , , et deviennent des fonctions composées, on devrait donc écrire ou ou ou ou ou et si on veut les considérer comme fonctions de changer de notation en écrivant ou ou ou ou et ; néanmoins par abus usuel de physique, on nomme les fonctions de et de par la même lettre car les valeurs de la fonction considérée restent les mêmes d'où ou ou ou ou ou simplement notées ou ou ou ou .
↑ L'argument d'un nombre négatif étant , nous choisissons en étudiant la variation de la phase de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. pour ce facteur de qualité à savoir la phase de «» soit, avec , «» laquelle est une fonction de et donc de en effet la fonction est une fonction de , la dérivée valant .
↑ C.-à-d. préciser s'il est équivalent à un intégrateur, un dérivateur ou autre
↑ 31,031,131,231,331,431,5 et 31,6 L'intervalle de fréquences correspondant à un passage du signal avec un gain est qualifié de « quasi-passant » appellation personnelle, on considère, dans un 1er temps, que tout signal sinusoïdal dont la fréquence est dans cet intervalle « quasi-passant » passe le filtre avec un gain .
↑ 34,034,134,234,334,434,534,6 et 34,7 Un signal alterné c'est-à-dire périodique avec une alternance positive et une négative est dit « symétrique » si la durée de l'alternance positive est égale à celle de l'alternance négative.
↑ 35,035,1 et 35,2 C.-à-d. avec ajout de tension de décalage positive.
↑ 36,036,136,236,3 et 36,4 Dans la mesure où le 1er palier haut du signal créneau symétrique est un segment ayant l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, le signal créneau symétrique est pair car sa valeur sur est égale à celle sur et les paliers bas situés immédiatement de part et d'autre de ce 1er palier haut c'est-à-dire sur et sont également symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
↑ Revoir le paragraphe « exemple d'un signal créneau symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité étant à rectifier car le créneau y était impair alors qu'ici il y est pair tous les harmoniques impairs sont nuls et les harmoniques pairs se calculent selon un créneau symétrique pair correspondant à un palier haut de valeur sur et un palier bas de valeur sur soit ou, après simplfication évidente puis, en utilisant « valant pour pair et pour c'est-à-dire impair», «» et, comme «» ; pour conclure il convient de déterminer l'amplitude complexe des harmoniques selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1er au 2nd développement en série de Fourier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » laquelle appliquée ici donne, pour , d'où «» et par suite «».
↑ Une composante permanente étant un harmonique de fréquence nulle.
↑ 40,040,1 et 40,2 L'intervalle de fréquences correspondant à un passage du signal avec un gain est qualifié de « quasi-non passant » appellation personnelle, on considère, dans un 1er temps, que tout signal sinusoïdal dont la fréquence est dans cet intervalle « quasi-non passant » passe le filtre avec un gain nul donc est bloqué.
↑ Le gain étant petit mais restant encore notable peut difficilement être considéré comme nul, de même le déphasage est suffisamment important pour être utilisé..
↑ 43,0 et 43,1 En effet l'amplitude complexe de l'harmonique de rang du signal d'entrée étant «», quand est impair il faut ajouter à la phase de l'harmonique du signal de sortie correspondant.
↑ 45,0 et 45,1 Le gain étant petit avec une amplitude de l'harmonique d'entrée également petite, peut assez facilement être considéré comme nul, par contre le déphasage est suffisamment important pour être utilisé.
↑ 46,046,1 et 46,2 Le signal triangulaire symétrique est pair si la pente sur est égale à l'opposé de la pente sur , les segments et étant symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
↑ Revoir le paragraphe « exemple d'un signal triangulaire symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité étant à rectifier car le triangulaire y était impair alors qu'ici il y est pair tous les harmoniques impairs sont nuls et les harmoniques pairs se calculent selon avant de poursuivre déterminons l'expression algébrique du signal «» en effet la valeur absolue de la pente est d'où ou, en faisant le « changement de variable dans la 2ème intégrale » on obtient et , les bornes inférieure et supérieure devenant et la 2ème intégrale est l'opposé de la 1ère multipliée par soit «» ; cette dernière intégrale s'intègre « par parties » cette méthode est exposée succinctement dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » : si on doit « calculer en connaissant une primitive de notée », on peut écrire «», en effet et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment, en posant et par conséquent soit, avec en effet , d'où «» ; par report on en déduit «» ; si est pair, le cœfficient et par suite ; par report on en déduit «» ; si est impair, le cœfficient et par suite soit finalement par report on en déduit « pour » et, comme nous en déduisons «».
pour conclure il convient de déterminer l'amplitude complexe des harmoniques selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1er au 2nd développement en série de Fourier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » laquelle appliquée ici donne, pour , d'où «» et par suite «».
↑ En effet l'amplitude complexe de l'harmonique de rang du signal d'entrée étant «», il faut ajouter à la phase de l'harmonique du signal de sortie correspondant.
↑ 52,052,1 et 52,2 Les tensions aux bornes des D.P.L. et étant comptées positivement de la droite vers la gauche et celle aux bornes de l'« association série source de tension parfaite de f.e.m. et interrupteur » comptée positivement dans le même sens si cet ensemble monté série est considéré en sur l'« association série des deux D.P.L. et »
↑Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom encore appelée échelon ou marche utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
↑ 63,0 et 63,1 « Rendue homogène » est mis entre parenthèses car une solution est dite libre dans la mesure où l'équation différentielle à cœfficients réels constants dont elle est solution, quel que soit l'ordre de l'équation, est rendue homogène.
↑ Identique à un facteur multiplicatif près dépendant de la façon dont l'équation différentielle est normalisée relativement à la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f..
↑ Bien sûr cette équation caractéristique s'obtenant beaucoup plus rapidement à partir de l'équation différentielle, cette méthode n'a qu'un intérêt formel ou, s'il est demandé de déterminer la réponse indicielle d'un circuit connaissant la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. du circuit sans déterminer l'équation différentielle
↑ Bien sûr cette solution forcée s'obtenant beaucoup plus rapidement à partir de l'équation différentielle, cette méthode n'a qu'un intérêt formel ou, s'il est demandé de déterminer la réponse forcée d'un circuit connaissant la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. du circuit sans déterminer l'équation différentielle
↑ Bien sûr ce n'est pas la seule façon d'obtenir «» mais c'est la façon la plus en phase avec les exigences du programme de physique de P.C.S.I. ; la seule autre façon dans la mesure où l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1er ordre en du circuit « non réel » a été obtenue par utilisation de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. de ce circuit « non réel » et non par utilisation successive des lois de Kirchhoff consiste à « intégrer au sens des distributions l'équation différentielle en du circuit « non réel », écrite pour tout entre et » à savoir «» ou «» voir la note « 62 » plus haut dans cet exercice «» en effet toute primitive au sens des distributions d'une grandeur discontinue de 1ère espèce est discontinue de 0ème espèce c'est-à-dire continue d'où «». Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887) est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande prussienne du XIXème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec Robert Whilhelm Bunsen (1811 - 1899) chimiste allemand, de la spectroscopie qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.
↑ 75,075,175,275,375,4 et 75,5 Le sens du courant traversant le conducteur ohmique du D.P.L. est choisi pour que ce dernier soit en convention récepteur, ainsi que le sens du courant chargeant le condensateur du D.P.L. choisi pour utiliser la convention récepteur.
↑ 76,076,1 et 76,2Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887) est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande prussienne du XIXème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec Robert Whilhelm Bunsen (1811 - 1899) chimiste allemand, de la spectroscopie qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.
↑ 78,0 et 78,1 Le sens du courant traversant le conducteur ohmique du D.P.L. est choisi pour que ce dernier soit en convention récepteur, ainsi que le sens du courant chargeant le condensateur du D.P.L. choisi pour utiliser la convention récepteur.
↑ La maille principale étant celle contenant successivement l'échelon de tension, le condensateur du D.P.L. et celui du D.P.L. orientée dans le sens contraire des courants.
↑ On rappelle que la normalisation d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants consiste à imposer au cœfficient de la plus haute dérivée d'être égal à «».
↑ Pour mémoire l'équation caractéristique se déduit de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1er ordre homogène en remplaçant «nla dérivée de la fonction recherchée par » et « la fonction recherchée par ».
↑ 82,082,182,282,382,482,5 et 82,6 L'appellation personnelle « pré-initial(e) » signifiant « antérieur(e) à l'instant usuellement considéré comme l'instant initial à savoir », la phase correspondante étant « non réelle » au sens où la nullité des résistance des fils de connexion est imposée alors qu'il n'y a pas de résistances devant lesquelles celle des fils est négligeable et de durée infiniment petiteconséquence de la circulation d'un courant d'intensité infinie.