Signaux physiques - bis (PCSI)/Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe

**Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe**
Leçon : Signaux physiques - bis (PCSI)

Chapitre n^o 2
Chap. préc. :	Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux
Chap. suiv. :	Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques - bis (PCSI) : Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe
Signaux physiques - bis (PCSI)/Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Exemple de circuit linéaire dans lequel le G.B.F. impose une tension sinusoïdale, réponse transitoire, régime sinusoïdal forcé (r.s.f.)[modifier | modifier le wikicode]

Exemple de circuit linéaire dans lequel le G.B.F. impose une tension sinusoïdale d'amplitude et de fréquence fixées[modifier | modifier le wikicode]

L'exemple choisi est un $\;R\,L\,C\;$ série ^[1] branché, à travers un « montage suiveur » ^[2], aux bornes d'un générateur de fonctions $\;{\big (}$ voir schéma ci-dessous ${\big )}\;$ permettant de sélectionner la forme sinusoïdale de la f.e.m., sa fréquence ainsi que son amplitude ^[3]^, ^[4] ou sa valeur efficace ^[5]^, ^[6] $\;{\big (}$ on vérifiera l'absence de composante continue ${\big )}$ ;

on se propose de déterminer la réponse en $\;u_{C}(t)\;$ tension aux bornes du condensateur du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à la tension sinusoïdale $\;u_{g}(t)\;$ de fréquence $\;f\;$ et de valeur efficace $\;U_{g}\;$ toutes deux fixées c.-à-d. d'expression instantanée $\;u_{g}(t)=$ $U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{g}\right)\;$ où $\;\omega \;$ est la pulsation liée à la fréquence $\;f\;$ par $\;\omega =2\,\pi \;f$ ;

on détermine l'équation différentielle en $\;u_{C}(t)\;$ tension aux bornes du condensateur du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à la tension sinusoïdale $\;u_{g}(t)\;$ par application de la loi de maille, soit, après normalisation,

«

\;{\ddot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {R}{L}}\,{\dot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {1}{L\,C}}\,u_{C}(t)={\dfrac {1}{L\,C}}\,u_{g}(t)\;

» ou
«

\;{\ddot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {R}{L}}\,{\dot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {1}{L\,C}}\,u_{C}(t)={\dfrac {1}{L\,C}}\,U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{g}\right)\;

».

Réponse transitoire en tension aux bornes du condensateur du « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et fréquence fixées[modifier | modifier le wikicode]

La réponse transitoire d'une équation différentielle linéaire hétérogène à excitation sinusoïdale de fréquence $\;f$ est la somme de la solution « libre » de l'équation différentielle correspondante homogène et de la solution « forcée sinusoïdale de même fréquence $\;f\;$ » ^[7] de l'équation différentielle hétérogène ^[8] ;

faisant la réduction canonique de l'équation différentielle linéaire hétérogène en $\;u_{C}(t)\;$ tension aux bornes du condensateur d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à la tension sinusoïdale $\;u_{g}(t)=$ $U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{g}\right)$ , on obtient, avec

la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ » et
le « facteur de qualité $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\;C\;\omega _{0}}}\;$ » ^[9]

la forme canonique suivante « $\;{\ddot {u_{C}}}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,{\dot {u_{C}}}(t)+\omega _{0}^{2}\,u_{C}(t)=\omega _{0}^{2}\,U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{g}\right)\;$ » ;

la réponse transitoire s'écrit alors « $\;u_{C}(t)=u_{C,\,l}(t)+u_{C,\,f}(t)\;$ » avec « la solution libre $\;u_{C,\,l}(t)\;$ qui s'amortit en quelques $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}={\dfrac {Q}{\omega _{0}}}\;$ » et « la solution forcée sinusoïdale explicitée selon $\;u_{C,\,f}(t)=$ $U_{c}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)\;$ » où $\;U_{c}\;$ est la grandeur efficace et $\;\varphi _{c}\;$ la phase à l'origine de la tension aux bornes du condensateur, ces deux grandeurs dépendant, a priori, de $\;R$ , $\;L$ , $\;C$ , $\;\omega$ , $\;U_{g}$ , $\;\varphi _{g}$ et restant à déterminer.

Amortissement très rapide de la solution libre, notion de régime sinusoïdal forcé (r.s.f.)[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'exemple considéré ci-dessus la constante de temps $\;\tau \;$ intervenant dans la réduction canonique est « toujours petite » ^[10] même si l'inductance propre utilisée est relativement grande et la résistance relativement petite, ceci a donc pour conséquence l'amortissement de la solution libre au bout d'une « durée toujours petite, quelques $\;\tau \;$ » $\;{\big (}$ au plus en pratique $\;10\,\tau \;$ ^[11]^, ^[12] ${\big )}\;$ et par suite, on peut estimer que la réponse transitoire se confondant très rapidement avec la réponse sinusoïdale forcée, il est légitime de ne considérer que cette dernière en négligeant la phase transitoire ;

faire ceci c'est se placer d'emblée en « régime sinusoïdal forcé » ou « r.s.f. » et c'est que nous ferons systématiquement à l'exception de cas très particuliers.

Détermination de la réponse en tension aux bornes du condensateur du « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et fréquence fixées en « r.s.f. »[modifier | modifier le wikicode]

Il faut donc déterminer la valeur efficace $\;U_{c}\;$ ainsi que la phase à l'origine $\;\varphi _{c}\;$ de la réponse $\;u_{C,\,f}(t)\;$ et pour cela on pourrait reporter $\;u_{C,\,f}(t)=$ $U_{c}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)\;$ dans l'équation différentielle puis faire l'identification pour tout $\;t\;\ldots \;$

ce n'est pas ce que nous ferons car ce serait trop laborieux et pour dissuader d'avoir envie de faire ce traitement, nous allons l'amorcer ci-dessous, en commençant par le calcul des dérivées temporelles de la réponse et la décomposition en composantes paire $\;\cos \!\left(\omega \,t\right)\;$ et impaire $\;\sin \!\left(\omega \,t\right)\;$ de toutes les grandeurs sinusoïdales pour identification :

$\;u_{C,\,f}(t)=U_{c}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)=U_{c}\,{\sqrt {2}}\,\left[\cos \!\left(\omega \,t\right)\,\cos(\varphi _{c})-\sin \!\left(\omega \,t\right)\,\sin(\varphi _{c})\right]$ ,
$\;{\dot {u}}_{C,\,f}(t)=-U_{c}\,{\sqrt {2}}\;\omega \,\sin \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)=-U_{c}\,{\sqrt {2}}\;\omega \,\left[\sin(\varphi _{c})\,\cos \!\left(\omega \,t\right)+\cos(\varphi _{c})\,\sin \!\left(\omega \,t\right)\right]$ ,
$\;{\ddot {u}}_{C,\,f}(t)=-U_{c}\,{\sqrt {2}}\;\omega ^{2}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)=-U_{c}\,{\sqrt {2}}\;\omega ^{2}\,\left[\cos \!\left(\omega \,t\right)\,\cos(\varphi _{c})-\sin \!\left(\omega \,t\right)\,\sin(\varphi _{c})\right]\;$ et
$\;u_{g}(t)=U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{g}\right)=U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\left[\cos \!\left(\omega \,t\right)\,\cos(\varphi _{g})-\sin \!\left(\omega \,t\right)\,\sin(\varphi _{g})\right]$ ;

reportant dans l'équation différentielle en séparant composantes paire et impaire, on obtient :

$\;\succ \;$ pour la composante paire $\;U_{c}\left[-\omega ^{2}\,\cos(\varphi _{c})-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\;\omega \,\sin(\varphi _{c})+\omega _{0}^{2}\,\cos(\varphi _{c})\right]=U_{g}\,\cos(\varphi _{g})\;$ ^[13] et

$\;\succ \;$ pour la composante impaire $\;U_{c}\left[\omega ^{2}\,\sin(\varphi _{c})-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\;\omega \,\cos(\varphi _{c})-\omega _{0}^{2}\,\sin(\varphi _{c})\right]=-U_{g}\,\sin(\varphi _{g})\;$ ^[13] ;

on résout alors ce système aux deux inconnues $\;U_{c}\;$ et $\;\varphi _{c}\;$ ^[14] $\;\ldots \;$ en conservant une valeur positive pour $\;U_{c}\;$ et la détermination principale ^[15] pour $\;\varphi _{c}$ $\;\ldots \;$ mais ce n'est pas la méthode à utiliser car beaucoup trop laborieux $\;\ldots$

Notion d'électricité « complexe » associée au r.s.f., lois de Kirchhoff en complexe[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la méthode « des complexes » de recherche de la réponse sinusoïdale forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à une excitation sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

Pour cela $\;{\big (}$ re ${\big )}$ voir le paragraphe « exposé de la méthode des complexes pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Application de la méthode « des complexes » à la détermination de la réponse en tension aux bornes du condensateur du « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et fréquence fixées en « r.s.f. »[modifier | modifier le wikicode]

L'application de la méthode « des complexes » à la recherche de la solution sinusoïdale forcée $\;u_{C,\,f}(t)$ , tension aux bornes du condensateur du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale $\;u_{g}(t)\;$ de fréquence $\;f\;$ ${\big (}$ ou de pulsation $\;\omega =2\,\pi \,f{\big )}\;$ et valeur efficace $\;U_{g}\;$ ${\big (}$ ou d'amplitude $\;U_{g,\,{\text{max}}}=U_{g}\,{\sqrt {2}}{\big )}\;$ fixées, c.-à-d. une tension fournie par le générateur de fonctions monté aux bornes du $\;R\,L\,C\;$ série égale à $\;u_{g}(t)=U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{g}\right)$ , nous conduit à
L'application de la méthode « des complexes » à déterminer la tension $\;u_{C,\,f}(t)=$ $U_{c}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)\;$ en introduisant les grandeurs instantanées complexes associées aux tensions sinusoïdales précédentes après avoir, auparavant, établi l'équation différentielle en $\;u_{C}(t)\;$ par application de la loi de maille ^[16] ce qui donne, après normalisation, « $\;{\ddot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {R}{L}}\,{\dot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {1}{L\,C}}\,u_{C}(t)=$ ${\dfrac {1}{L\,C}}\,u_{g}(t)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ », ou encore, après réduction canonique « $\;{\ddot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,{\dot {u}}_{C}(t)+\omega _{0}^{2}\,u_{C}(t)=\omega _{0}^{2}\,u_{g}(t)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)_{\text{réd. canon.}}\;$ » avec la « pulsation propre du $\;R\,L\,C\;$ série $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ » et le « facteur de qualité $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}$ $={\dfrac {1}{R\;C\;\omega _{0}}}\;$ » ^[9] ;

on définit donc « la tension instantanée complexe intervenant dans l'excitation $\;{\underline {u_{g}}}(t)={\underline {U}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ » ^[17] dans laquelle « $\;{\underline {U}}=U\,\exp \!\left(j\,\varphi _{g}\right)\;$ ^[17] est la tension efficace complexe associée » ^[18] et

on définit donc « la réponse forcée instantanée complexe $\;{\underline {u_{C,\,f}}}(t)={\underline {U_{c}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ » ^[17]^, ^[19] dans laquelle « $\;{\underline {U_{c}}}=U_{c}\,\exp \!\left(j\,\varphi _{c}\right)\;$ ^[17] est la tension efficace complexe associée » ^[18] puis

on utilise la propriété de dérivation temporelle des grandeurs instantanées complexes équivalente à celle de multiplication par $\;j\,\omega \;$
on utilise la propriété pour transformer l'« équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)_{\text{réd. canon.}}\;$ » en « $\;{\mathcal {P}}\!\left(j\,\omega \right)\;{\underline {U_{c}}}=\omega _{0}^{2}\;{\underline {U_{g}}}\;$ » ^[20] où « $\;{\mathcal {P}}\!\left(j\,\omega \right)=\left(j\,\omega \right)^{2}+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,\left(j\,\omega \right)+\omega _{0}^{2}\;$ est le polynôme caractéristique de cette équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)_{\text{réd. canon.}}\;$ », polynôme caractéristique que l'on peut réécrire sous la forme algébrique suivante « $\;{\mathcal {P}}\!\left(j\,\omega \right)=\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)+j\,{\dfrac {\omega _{0}\,\omega }{Q}}\;$ » ^[21] ;

dans le cas d'un circuit oscillant amorti $\;{\big (}$ C.O.A. ${\big )}$ $\;{\big (}$ c.-à-d. dans lequel $\;R\neq 0{\big )}\;$ tel que la fréquence imposée soit quelconque ou
dans le cas d'un circuit oscillant non amorti $\;{\big (}$ C.O.N.A. ${\big )}$ $\;{\big (}$ c.-à-d. dans lequel $\;R=0{\big )}\;$ tel que la fréquence imposée soit différente de la fréquence propre du C.O.N.A. ^[22] $\;{\big (}$ soit $\;\omega \neq \omega _{0}{\big )}$ ,

dans le cas d'un circuit oscillant le polynôme caractéristique ne s'annulant pas, on peut inverser l'équation algébrique pour en déduire la « tension efficace complexe associée à la réponse forcée complexe cherchée $\;{\underline {U_{c}}}={\dfrac {\omega _{0}^{2}}{{\mathcal {P}}\!\left(j\,\omega \right)}}\;{\underline {U_{g}}}={\dfrac {\omega _{0}^{2}}{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)+j\,{\dfrac {\omega _{0}\,\omega }{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;$ » ;

dans le cas d'un circuit oscillant on en déduit la « réponse forcée sinusoïdale $\;u_{C,\,f}(t)=U_{c}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)\;$ » avec

la « tension efficace associée $\;U_{c}={\big \vert }\,{\underline {U_{c}}}\,{\big \vert }={\dfrac {\omega _{0}^{2}}{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+{\dfrac {\omega _{0}^{2}\,\omega ^{2}}{Q^{2}}}}}\;U_{g}={\dfrac {Q^{2}\;\omega _{0}^{2}}{Q^{2}\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega _{0}^{2}\,\omega ^{2}}}\;U_{g}\;$ » et
la « phase à l'origine associée $\;\varphi _{c}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {U_{c}}}\right]=\varphi _{g}-\mathrm {arg} \!\left[\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)+j\,{\dfrac {\omega _{0}\,\omega }{Q}}\right]=\varphi _{g}-\mathrm {arg} \!\left\lbrace j\,{\dfrac {\omega _{0}\,\omega }{Q}}\left[1-j\,Q\left({\dfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\right]\right\rbrace \;$ » ^[23] soit « $\;\varphi _{c}=\varphi _{g}-{\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[Q\left({\dfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\right]\;$ ».

Notion d'électricité « complexe » associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

Bien que cette méthode « des complexes » pour la recherche de la solution sinusoïdale forcée d'une équation différentielle à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale soit relativement simple, nous allons rendre son utilisation encore plus simple en introduisant une électricité « complexe » ^[24] associée au domaine du r.s.f. ^[25] de l'électricité $\;\ldots$

Cette électricité « complexe » dont les parties réelle et imaginaire sont deux faces d'un même problème, avec pour seul changement l'utilisation de fonction cosinus ou sinus, est rendue possible parce que

« la partie réelle $\;{\big (}$ ou imaginaire ${\big )}\;$ d'une somme de complexes est égale à la somme des parties réelles $\;{\big (}$ ou imaginaires ${\big )}\;$ de chaque complexe »,
« la dérivation temporelle se réduit à une multiplication par $\;j\;\omega \;$ » et
« la prise de primitive à valeur moyenne nulle se réduit à une division par $\;j\;\omega \;$ » ^[26],

ceci entraînant qu'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale se réduit à une relation de proportionnalité du type $\;{\mathcal {P}}\!\left(j\,\omega \right)\;{\underline {y}}(t)={\underline {e}}(t)\;$ où « $\;{\mathcal {P}}\!\left(j\,\omega \right)\;$ est le polynôme caractéristique de l'équation non normalisée déduite de la loi de maille ^[16] » $\;\ldots$

L'électricité « complexe » transforme donc un problème d'analyse « recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale » en un problème d'algèbre élémentaire dans le domaine complexe « résolution d'une équation du type $\;a\;x=b\;$ » $\;\ldots$

Dans tous les paragraphes qui suivent nous formalisons cette électricité « complexe » ^[27] associée au r.s.f. ^[25].

Grandeurs instantanées et efficaces (tension, intensité, f.e.m. ou c.e.m.) en électricité « complexe » associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

À toute grandeur instantanée $\;{\big (}$ tension, intensité, f.e.m. ou c.e.m. ${\big )}\;$ définie dans un dipôle « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}u(t)=U\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{u})\\i(t)=I\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{i})\\e(t)=E\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{e})\\\eta (t)=I_{0}\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{\eta })\end{array}}\right\rbrace \;$ » en r.s.f. ^[25], on associe la grandeur instantanée complexe dans ce dipôle « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\\{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t))\\{\underline {e}}(t)={\underline {E}}\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t))\\{\underline {\eta }}(t)={\underline {I_{0}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t))\end{array}}\right\rbrace \;$ » en électricité « complexe » associée au r.s.f. ^[25], ainsi que la grandeur efficace complexe correspondante « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {U}}=U\,\exp(j\,\varphi _{u})\\{\underline {I}}=I\,\exp(j\,\varphi _{i})\\{\underline {E}}=E\,\exp(j\,\varphi _{e})\\{\underline {I_{0}}}=I_{0}\,\exp(j\,\varphi _{\eta })\end{array}}\right\rbrace \;$ » ;

de ces dernières on en déduit les grandeurs efficaces et les phases à l'origine correspondantes du r.s.f. ^[25] respectivement

« la grandeur efficace en prenant le module, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}U={\big \vert }\,{\underline {U}}\,{\big \vert }\\I={\big \vert }\,{\underline {I}}\,{\big \vert }\\E={\big \vert }\,{\underline {E}}\,{\big \vert }\\I_{0}={\big \vert }\,{\underline {I_{0}}}\,{\big \vert }\end{array}}\right\rbrace \;$ » et
« la phase à l'origine en prenant l'argument, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi _{u}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {U}}\right]\\\varphi _{i}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I}}\right]\\\varphi _{e}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {E}}\right]\\\varphi _{\eta }=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I_{0}}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ ».

Lois de Kirchhoff en électricité « complexe » associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

On rappelle que les lois de Kirchhoff ^[28] sont l'ensemble des lois de mailles et de nœuds d'un circuit.

     On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. ^[25] $\;{\big (}$ après avoir défini un sens $\;+\;$ de tension « physique » ^[29] sur la maille ${\big )}\;$
            On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\succ \;$ « en tensions instantanées complexes $\;\sum \limits _{k}{\underline {u_{k}}}(t)=0\;$ » ou,
            On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\color {transparent}{\succ }\;$ en divisant les deux membres par $\;{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)$ ,
            On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\succ \;$ « en tensions efficaces complexes $\;\sum \limits _{k}{\underline {U_{k}}}=0\;$ » ^[30] ;
            On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. la loi de maille en tensions instantanées complexes se justifie par le fait que sa partie réelle $\;{\big (}$ ou imaginaire ${\big )}\;$ donne la loi de maille « physique » « $\;\sum \limits _{k}u_{k}(t)=0\;$ ».

     On définit la loi de nœud en électricité « complexe » associée au r.s.f. ^[25] $\;{\big (}$ après avoir défini les sens $\;+\;$ d'intensité de courant « physique » ^[29] sur les fils arrivant au nœud ou en partant ${\big )}\;$
            On définit la loi de nœud en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\succ \;$ « en intensités instantanées complexes des courants $\;\sum \limits _{k\,{\text{arrivant}}}^{\text{au nœud}}{\underline {i_{k}}}(t)=\sum \limits _{l\,{\text{partant}}}^{\text{du nœud}}{\underline {i_{l}}}(t)\;$ » ou,
            On définit la loi de nœud en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\color {transparent}{\succ }\;$ en divisant les deux membres par $\;{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)$ ,
            On définit la loi de nœud en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\succ \;$ « en intensités efficaces complexes des courants $\;\sum \limits _{k\,{\text{arrivant}}}^{\text{au nœud}}{\underline {I_{k}}}=\sum \limits _{l\,{\text{partant}}}^{\text{du nœud}}{\underline {I_{l}}}\;$ » ^[31] ;
            On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. la loi de nœud en intensités instantanées complexes des courants se justifie par le fait que sa partie réelle $\;{\big (}$ ou imaginaire ${\big )}\;$ donne la loi de nœud « physique » « $\;\sum \limits _{k\,{\text{arrivant}}}^{\text{au nœud}}i_{k}(t)=\sum \limits _{l\,{\text{partant}}}^{\text{du nœud}}i_{l}(t)\;$ ».

Lois d'Ohm de l'électricité « complexe » applicables aux D.P.L. au sens de l'A.R.Q.S. étudiés en r.s.f., notion d'impédances complexes et d'admittances complexes, cas d'un conducteur ohmique, d'un condensateur (parfait) et d'une bobine (parfaite)[modifier | modifier le wikicode]

Introduction : transformation du “ lien d'équation différentielle à cœfficients réels constants entre tension aux bornes d'un D.P.L. et intensité de courant le traversant du r.s.f. ” en “ loi d'Ohm de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. ”, notion d'« impédance complexe du D.P.L. utilisé en r.s.f. »[modifier | modifier le wikicode]

Considérons un D.P.L. ^[32] fonctionnant en r.s.f. ^[25] avec le choix de convention récepteur on a, par exemple,

une relation du type $\;u(t)=a\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+b\;i(t)\;$ ^[33] ou
une relation du type $\;i(t)=\alpha \;{\dfrac {du}{dt}}(t)+\beta \;u(t)\;$ ^[33] ou
une association plus complexe $\;\Gamma \;{\dfrac {du}{dt}}(t)+\Theta \;u(t)=\mathrm {A} \;{\dfrac {di}{dt}}(t)+\mathrm {B} \;i(t)\;$ ^[33] ;

quand on passe en électricité « complexe », on obtient sur chacun des exemples précédents

une relation du type $\;{\underline {u}}(t)=a\;{\dfrac {d{\underline {i}}}{dt}}(t)+b\;{\underline {i}}(t)\;$ ^[33] soit, après explicitation des dérivées, « $\;{\underline {u}}(t)=\left(j\,\omega \,a+b\right){\underline {i}}(t)\;$ » ^[34] ou
une relation du type $\;{\underline {i}}(t)=\alpha \;{\dfrac {d{\underline {u}}}{dt}}(t)+\beta \;{\underline {u}}(t)\;$ ^[33] soit, après explicitation des dérivées, « $\;{\underline {i}}(t)=\left(j\,\omega \,\alpha +\beta \right){\underline {u}}(t)\;$ » ^[34] ou
une association plus complexe $\;\Gamma \;{\dfrac {d{\underline {u}}}{dt}}(t)+\Theta \;{\underline {u}}(t)=\mathrm {A} \;{\dfrac {d{\underline {i}}}{dt}}(t)+\mathrm {B} \;{\underline {i}}(t)\;$ ^[33] soit, après explicitation des dérivées, « $\;\left(j\,\omega \,\Gamma +\Theta \right){\underline {i}}(t)=$ $\left(j\,\omega \,\mathrm {A} +\mathrm {B} \right){\underline {u}}(t)\;$ » ^[34] ;

quand on passe en électricité « complexe », soit, dans tous les cas, une relation de proportionnalité entre tension instantanée complexe et intensité instantanée complexe c.-à-d.
quand on passe en électricité « complexe », soit, dans tous les cas, une loi d'Ohm ^[35] de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. ^[25], le cœfficient multipliant l'intensité instantanée complexe pour donner la tension instantanée complexe définissant l'impédance complexe du D.P.L. ^[32] étudié en électricité complexe associée au r.s.f. ^[25] selon

\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {i}}(t)}}={\dfrac {\underline {U}}{\underline {I}}}\;

^[36] soit, sur les trois exemples ci-dessus

$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )=b+j\,a\,\omega \;$ pour le 1^er exemple,
$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{\beta +j\,\alpha \,\omega }}\;$ pour le 2^ème et
$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\dfrac {\mathrm {B} +j\,\mathrm {A} \,\omega }{\Theta +j\,\Gamma \,\omega }}\;$ pour le 3^ème $\;\ldots$

     L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. ^[25] sera donc de déterminer l'impédance complexe du D.P.L. ^[32] $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )\;$ équivalent intervenant dans le problème et une fois évaluée
           L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera donc d'en tirer les informations de sa 2^ème définition « $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\dfrac {\underline {U}}{\underline {I}}}={\dfrac {U}{I}}\,\exp \!\left[j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]\;$ » ou,
           L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera donc en définissant l'impédance du D.P.L. ^[32] en r.s.f. ^[25] par $\;Z(\omega )={\dfrac {U}{I}}\;$ exprimée en $\;\Omega$ ,
           L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera donc d'en tirer les informations de sa 3^ème définition « $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )=Z(\omega )\;\exp \!\left[j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]\;$ » :
           L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera donc $\succ \;$ en prenant le module de $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )\;$ $\Rightarrow$ « $\;Z(\omega )=\vert {\underline {Z}}(j\,\omega )\vert \;$ c.-à-d. l'impédance du D.P.L. ^[32] en r.s.f. ^[25] » ou « le rapport de la tension efficace aux bornes du D.P.L. ^[32] sur l'intensité efficace du courant le traversant » et
           L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera donc $\succ \;$ en prenant l'argument de $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )\;$ $\Rightarrow$ « $\;\varphi _{u}-\varphi _{i}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]\;$ c.-à-d. l'avance de phase de la tension aux bornes du D.P.L. ^[32] sur l'intensité du courant le traversant ».

Notion d'« admittance complexe d'un D.P.L. utilisé en r.s.f. »[modifier | modifier le wikicode]

De même qu'en régime permanent après avoir défini la résistance d'un récepteur obéissant à la loi d'Ohm ^[35], on a introduit son inverse la conductance ainsi que la loi d'Ohm ^[35] correspondante,
De même qu'en régime sinusoïdal forcé $\;{\big (}$ r.s.f. ${\big )}$ , on introduit l'« admittance complexe du D.P.L. ^[32] étudié en électricité complexe associée au r.s.f. ^[25] noté $\;{\underline {Y}}(j\,\omega )\;$ » comme l'inverse de l'impédance complexe $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )\;$ du D.P.L. ^[32] soit

«

\;{\underline {Y}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Z}}(j\,\omega )}}\;

» dont on déduit
«

\;{\underline {Y}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {i}}(t)}{{\underline {u}}(t)}}={\dfrac {\underline {I}}{\underline {U}}}\;

» ^[36] c.-à-d.
une « 2^ème forme de la loi d'Ohm ^[35] en électricité complexe associée au r.s.f. ^[25] » ou,
en définissant l'« admittance du D.P.L. ^[32] en r.s.f. ^[25] par

\;Y(\omega )={\dfrac {1}{Z(\omega )}}={\dfrac {I}{U}}\;

exprimée en

\;S\;

»,
«

\;{\underline {Y}}(j\,\omega )=Y(\omega )\,\exp \!\left[-j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]\;

»

« le module de l'admittance complexe donnant l'admittance du dipôle » soit « $\;{\big \vert }\,{\underline {Y}}(j\,\omega )\,{\big \vert }=Y(\omega )={\dfrac {I}{U}}\;$ » et
« son argument donnant l'opposé de l'avance de phase de la tension sur l'intensité » soit « $\;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]=-\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\;$ » ^[37].

Représentation des D.P.L. en électricité « complexe » associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

Comme ces derniers suivent, en électricité « complexe » associée au r.s.f. ^[25], la loi d'Ohm ^[35], on les représente par un rectangle en indiquant leur impédance complexe à côté du rectangle $\;{\big [}$ ne pas oublier de représenter les flèches tension et courant pour préciser la convention choisie $\;{\big (}$ jusqu'ici c'est la convention récepteur qui a été choisie ^[38] ${\big )}{\big ]}$ .

Conducteur ohmique de résistance R[modifier | modifier le wikicode]

« Loi d'ohm en r.s.f. » ^[25] « $\;u_{R}(t)=R\;i_{R}(t)\;$ » $\Leftarrow$ « loi d'ohm en électricité complexe associée au r.s.f. » ^[25] « $\;{\underline {u_{R}}}(t)=R\;{\underline {i_{R}}}(t)\;$ » ou « $\;{\underline {U_{R}}}=R\;{\underline {I_{R}}}\;$ » ^[36] d'où
« Loi d'ohm en r.s.f. » « $\;\color {transparent}{u_{R}(t)=R\;i_{R}(t)}\;$ » $\color {transparent}{\Leftarrow }$ en introduisant l'impédance complexe $\;{\underline {Z_{R}}}\;$ ou l'admittance complexe $\;{\underline {Y_{R}}}$ :

l'« impédance complexe du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ vaut $\;{\underline {Z_{R}}}=R\;$ » ^[39] dont on tire

$\;\succ \;$ l'« impédance du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ » valant « $\;Z_{R}={\big \vert }\,{\underline {Z_{R}}}\,{\big \vert }=R={\dfrac {U_{R}}{I_{R}}}\;$ » et
$\;\succ \;$ l'« avance de phase de $\;u_{R}(t)\;$ sur $\;i_{R}(t)\;$ » valant « $\;\left(\varphi _{u_{R}}-\varphi _{i_{R}}\right)=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{R}}}\right]=0\;$ », la tension aux bornes du conducteur ohmique est toujours en phase avec l'intensité du courant le traversant ;

l'« admittance complexe du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ vaut $\;{\underline {Y_{R}}}={\dfrac {1}{R}}=G\;$ » ^[40] dont on tire

$\;\succ \;$ l'« admittance du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ » valant « $\;Y_{R}={\big \vert }\,{\underline {Y_{R}}}\,{\big \vert }={\dfrac {1}{R}}={\dfrac {I_{R}}{U_{R}}}\;$ » c.-à-d. égale à sa conductance et
$\;\succ \;$ l'« avance de phase de $\;u_{R}(t)\;$ sur $\;i_{R}(t)\;$ » valant « $\;\left(\varphi _{u_{R}}-\varphi _{i_{R}}\right)=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Y_{R}}}\right]=0\;$ », la tension aux bornes du conducteur ohmique est toujours en phase avec l'intensité du courant le traversant.

Bobine parfaite d'inductance propre L[modifier | modifier le wikicode]

« Loi “ physique ” en r.s.f. » ^[25] « $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ » $\Leftarrow$ « loi en électricité complexe associée au r.s.f. » ^[25] « $\;{\underline {u_{L}}}(t)=L\;{\dfrac {d{\underline {i_{L}}}}{dt}}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\underline {u_{L}}}(t)=L\left(j\,\omega \right){\underline {i_{L}}}(t)\;$ » ou « $\;{\underline {U_{L}}}=L\left(j\,\omega \right){\underline {I_{L}}}\;$ » ^[36] d'où
« Loi “ physique ” en r.s.f. » « $\;\color {transparent}{u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)}\;$ » $\color {transparent}{\Leftarrow }$ en introduisant l'impédance complexe $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )\;$ ou l'admittance complexe $\;{\underline {Y_{L}}}(j\,\omega )$ :

l'« impédance complexe de la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ » vaut « $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\;L\;\omega \;$ » ^[41] dont on tire

$\;\succ \;$ l'« impédance de la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ » valant « $\;Z_{L}(\omega )={\big \vert }\,{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )\,{\big \vert }=L\;\omega ={\dfrac {U_{L}}{I_{L}}}\;$ » ${\big [}$ exemple une bobine d'inductance propre $\;L=$ $0,1\,H\;$ fonctionnant sous une fréquence de $\;50\,Hz\;$ a une impédance $\;Z_{L}=0,1\times (2\;\pi \times 50)\simeq 31,4\;\Omega$ , si l'intensité efficace du courant la traversant est de $\;100\,mA\;$ la tension efficace à ses bornes sera $\;\simeq 3,14\,V$ , ces deux grandeurs étant mesurées à l'aide de multimètres en fonctionnement alternatif ${\big ]}\;$ et
$\;\succ \;$ l'« avance de phase de $\;u_{L}(t)\;$ sur $\;i_{L}(t)\;$ » valant « $\;\left(\varphi _{u_{L}}-\varphi _{i_{L}}\right)=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )\right]={\dfrac {\pi }{2}}\;$ », la tension aux bornes d'une bobine parfaite est toujours en quadrature avance sur l'intensité du courant la traversant $\;{\big (}$ à l'oscilloscope la tension aux bornes de la bobine parfaite ^[42] serait un quart de période en avance sur la tension aux bornes d'un conducteur ohmique en série permettant d'observer l'intensité du courant la traversant ${\big )}$ ;

l'« admittance complexe de la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ » vaut « $\;{\underline {Y_{L}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}=-j\,{\dfrac {1}{L\,\omega }}\;$ » ^[43] dont on tire

$\;\succ \;$ l'« admittance de la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ » valant « $\;Y_{L}(\omega )={\big \vert }\,{\underline {Y_{L}}}(j\,\omega )\,{\big \vert }={\dfrac {1}{L\,\omega }}={\dfrac {I_{L}}{U_{L}}}\;$ » c.-à-d. l'inverse de l'impédance et
$\;\succ \;$ l'« avance de phase de $\;u_{L}(t)\;$ sur $\;i_{L}(t)\;$ » valant « $\;\left(\varphi _{u_{L}}-\varphi _{i_{L}}\right)=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Y_{L}}}(j\,\omega )\right]=-\mathrm {arg} \!\left[-j\,{\dfrac {1}{L\,\omega }}\right]={\dfrac {\pi }{2}}\;$ » ^[44], la tension aux bornes d'une bobine parfaite est toujours en quadrature avance avec l'intensité du courant la traversant.

Représentation d'une bobine parfaite d'auto-inductance $\;L\;$ en électricité « complexe » associé au r.s.f. ^[25] de fréquence $\;f\;$ ${\big (}$ ou de pulsation $\;\omega {\big )}$ : par un rectangle en mettant à côté du rectangle $\;j\,L\,\omega$ .

Condensateur parfait de capacité C[modifier | modifier le wikicode]

« Loi “ physique ” en r.s.f. » ^[25] « $\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$ » $\Leftarrow$ « loi en électricité complexe associée au r.s.f. » ^[25] « $\;{\underline {i_{C}}}(t)=C\;{\dfrac {d{\underline {u_{C}}}}{dt}}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\underline {i_{C}}}(t)=C\left(j\,\omega \right){\underline {u_{C}}}(t)\;$ » ou « $\;{\underline {I_{C}}}=C\left(j\,\omega \right){\underline {U_{C}}}\;$ » ^[36] d'où
« Loi “ physique ” en r.s.f. » « $\;\color {transparent}{i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)}\;$ » $\color {transparent}{\Leftarrow }$ en introduisant l'impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\;$ ou l'admittance complexe $\;{\underline {Y_{C}}}(j\,\omega )$ :

l'« impédance complexe du condensateur parfait de capacité $\;C\;$ » vaut « $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}=-j\,{\dfrac {1}{C\,\omega }}\;$ » ^[45] dont on tire

$\;\succ \;$ l'« impédance du condensateur parfait de capacité $\;C\;$ » valant « $\;Z_{C}(\omega )={\big \vert }\,{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\,{\big \vert }={\dfrac {1}{C\;\omega }}={\dfrac {U_{C}}{I_{C}}}\;$ » ${\bigg [}$ exemple un condensateur de capacité $\;C=$ $10\,\mu F\;$ fonctionnant sous une fréquence de $\;50\,Hz\;$ a une impédance $\;Z_{C}={\dfrac {1}{10\,10^{-6}\times (2\;\pi \times 50)}}\simeq 318\;\Omega$ , si l'intensité efficace du courant la traversant est de $\;100\,mA\;$ la tension efficace à ses bornes sera $\;\simeq 31,8\,V$ , ces deux grandeurs étant mesurées à l'aide de multimètres en fonctionnement alternatif ${\bigg ]}\;$ et
$\;\succ \;$ l'« avance de phase de $\;u_{C}(t)\;$ sur $\;i_{C}(t)\;$ » valant « $\;\left(\varphi _{u_{C}}-\varphi _{i_{C}}\right)=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\right]=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$ » ^[46], la tension aux bornes d'un condensateur parfait est toujours en quadrature retard avec l'intensité du courant la traversant $\;{\big (}$ à l'oscilloscope la tension aux bornes du condensateur parfait serait un quart de période en retard sur la tension aux bornes d'un conducteur ohmique en série permettant d'observer l'intensité du courant la traversant ${\big )}$ ;

l'« admittance complexe du condensateur parfait de capacité $\;C\;$ » vaut « $\;{\underline {Y_{C}}}(j\,\omega )=j\,C\,\omega \;$ » ^[47] dont on tire

$\;\succ \;$ l'« admittance du condensateur parfait de capacité $\;C\;$ » valant « $\;Y_{C}(\omega )={\big \vert }\,{\underline {Y_{C}}}(j\,\omega )\,{\big \vert }=C\,\omega ={\dfrac {I_{C}}{U_{C}}}\;$ » c.-à-d. l'inverse de l'impédance et
$\;\succ \;$ l'« avance de phase de $\;u_{C}(t)\;$ sur $\;i_{C}(t)\;$ » valant « $\;\left(\varphi _{u_{C}}-\varphi _{i_{C}}\right)=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Y_{C}}}(j\,\omega )\right]=-\mathrm {arg} \!\left[j\,C\,\omega \right]=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$ », la tension aux bornes d'un condensateur parfait est toujours en quadrature retard avec l'intensité du courant la traversant.

Représentation d'un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ en électricité « complexe » associé au r.s.f. ^[25] de fréquence $\;f\;$ ${\big (}$ ou de pulsation $\;\omega {\big )}$ : par un rectangle en mettant à côté du rectangle $\;{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$ .

Comportement équivalent à B.F. et à H.F. d'un condensateur (parfait) et d'une bobine (parfaite)[modifier | modifier le wikicode]

Comportement équivalent à B.F.[modifier | modifier le wikicode]

Quand « $\;f\rightarrow 0\;$ » $\;{\big (}\omega =2\;\pi \;f\rightarrow 0{\big )}$ , l'impédance complexe d'un condensateur parfait « $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\rightarrow \infty \;$ » et
Quand « $\;\color {transparent}{f\rightarrow 0}\;$ » $\;\color {transparent}{{\big (}\omega =2\;\pi \;f\rightarrow 0{\big )}}$ , l'impédance compl celle d'une bobine parfaite « $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega \rightarrow 0\;$ » d'où :

à B.F. un condensateur parfait est équivalent à un interrupteur ouvert $\;{\big (}$ en accord avec le fait que la limite du r.s.f. ^[25] à B.F. est le régime forcé permanent d'où aucun courant ne traversant l'isolant du condensateur ${\big )}\;$ et
à B.F. une bobine parfaite est équivalente à un court-circuit $\;{\bigg (}$ en accord avec le fait que la limite du r.s.f. ^[25] à B.F. est le régime forcé permanent d'où aucune tension aux bornes de la bobine car $\;{\dfrac {dI}{dt}}=0{\bigg )}$ .

Comportement équivalent à H.F.[modifier | modifier le wikicode]

Quand « $\;f\rightarrow \infty \;$ », $\;{\big (}\omega =2\;\pi \;f\rightarrow \infty {\big )}$ , l'impédance complexe d'un condensateur parfait « $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\rightarrow 0\;$ » et
Quand « $\;\color {transparent}{f\rightarrow \infty }\;$ » $\;\color {transparent}{{\big (}\omega =2\;\pi \;f\rightarrow \infty {\big )}}$ , l'impédance compl celle d'une bobine parfaite « $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega \rightarrow \infty \;$ » d'où :

à H.F. un condensateur parfait est équivalent à un court-circuit et
à H.F. une bobine parfaite est équivalente à un interrupteur ouvert.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

↑ Mais cela aurait pu être n'importe quelle association de conducteurs ohmiques, de condensateurs et de bobines $\;\ldots$
↑ Voir le paragraphe « utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F. » du chap. $24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ On rappelle que c'est l'amplitude de la f.e.m. qui peut être fixée, l'amplitude de la tension dépendant alors de l'intensité du courant délivré c.-à-d. du circuit aux bornes duquel le générateur est branché ;
l'amplitude de la tension délivrée par le G.B.F. restera constante, compte-tenu de la résistance de sortie de ce dernier, si la chute ohmique dans la résistance de sortie peut être négligée devant la f.e.m. ou, si ceci n'est pas réalisé, en plaçant entre le générateur et le circuit étudié un montage suiveur $\;{\big [}$ revoir les propriétés d'un montage suiveur dans le paragraphe « utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F. » du chap. $24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}\;$ ${\big (}$ qui est l'option choisie ici ${\big )}$ .
↑ Plus exactement la tension de crête à crête $\;U_{c.c.}\;$ qui est le double de l'amplitude.
↑ Revoir le paragraphe « définition de la grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative » du chap. $24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Pour cela il faut au préalable sélectionner $\;V_{RMS}\;$ ${\big (}$ c.-à-d. « root mean square » signifiant « moyenne quadratique » ${\big )}\;$ en appuyant avec insistance sur le bouton de sélection d'amplitude $\;{\big (}$ on supprime ce choix en réappuyant avec insistance ${\big )}$ ; on rappelle que la tension efficace est liée à l'amplitude pour un signal sinusoïdal par $\;U_{g}={\dfrac {U_{g,\,{\text{max}}}}{\sqrt {2}}}$ , la valeur efficace étant notée par une lettre majuscule avec un indice minuscule $\;{\big (}$ ce qui permet de la distinguer d'une éventuelle composante continue notée avec une lettre majuscule et un indice majuscule ${\big )}$ .
↑ En effet la solution particulière de l'équation hétérogène est choisie de même forme que l'excitation $\;{\big (}$ à condition que cette forme particulière soit possible, ce qui est pratiquement toujours réalisé ${\big )}\;$ c.-à-d. sinusoïdale de même fréquence $\;f$ .
↑ Voir le paragraphe « rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ns ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^9,0 et ^9,1 On privilégie toujours le facteur de qualité $\;Q\;$ relativement au cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ en régime sinusoïdal, on rappelle le lien entre les deux $\;Q={\dfrac {1}{2\;\sigma }}$ .
↑ La résistance la plus faible possible est celle de la bobine $\;R=r_{B}\simeq 10\,\Omega \;$ et l'inductance propre la plus grande s'obtient avec introduction du noyau ferromagnétique $\;L\simeq 1\,H\;$ d'où $\;\tau _{\text{max}}\simeq 0,1\,s$ $=100\,ms\;$ qui est donc la valeur la plus grande disponible pratiquement.
↑ Revoir le paragraphe « critère de l'établissement pratique d'une des réponses forcées du R L C série » du chap. $1$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
↑ Avec $\;\tau \leqslant 0,1\,s\;$ l'amortissement de la solution libre se fait en moins d'une seconde.
↑ ^13,0 et ^13,1 Après simplification par $\;{\sqrt {2}}$ .
↑ On peut par exemple expliciter $\;\cos(\varphi _{c})\;$ et $\;\sin(\varphi _{c})\;$ en fonction des données et de $\;U_{c}\;$ puis éliminer $\;\varphi _{c}\;$ par $\;\cos ^{2}(\varphi _{c})+\sin ^{2}(\varphi _{c})=1\;$ ce qui permettrait d'obtenir $\;U_{c}\;$ en fonction des données, le report dans les expressions de $\;\cos(\varphi _{c})\;$ et $\;\sin(\varphi _{c})\;$ assurant la détermination de $\;\varphi _{c}$ .
↑ C.-à-d. appartenant à l'intervalle $\;\left]-\pi \;;\,+\pi \right]$ .
↑ ^16,0 et ^16,1 Mais dans un exemple de dipôles en parallèle ce serait par loi de nœud et dans des cas plus compliqués ce serait les deux avec élimination intermédiaire qui peut nécessiter une ou deux dérivations temporelles.
↑ ^17,0 ^17,1 ^17,2 et ^17,3 En électricité on note l'unité imaginaire par $\;j\;$ et non $\;i$ , cette dernière notation étant réservé à l'intensité, on a donc les propriétés de $\;j\;$ suivantes à savoir $\;j=\exp \!\left(j\,{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$ et $\;j^{2}=-1\;\ldots$
Pour le complexe noté $\;j\;$ en mathématique $\;{\big (}$ qui pourrait intervenir dans l'électricité triphasée ${\big )}\;$ on le noterait, si besoin était, sous sa forme trigonométrique à savoir $\;\exp \!\left(j\;{\dfrac {2\,\pi }{3}}\right)$ .
↑ ^18,0 et ^18,1 On introduit les grandeurs efficaces complexes $\;{\underline {G}}\;$ à la place des amplitudes complexes $\;{\underline {G_{m}}}$ , le lien existant entre elles étant $\;{\underline {G}}={\dfrac {\underline {G_{m}}}{\sqrt {2}}}\;$ soit un même argument égal à la phase à l'origine de la grandeur instantanée sinusoïdale $\;g(t)\;$ et des modules représentant respectivement la grandeur efficace $\;G\;$ et l'amplitude $\;G_{m}$ .
↑ Qui est la solution instantanée complexe de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;\;{\dfrac {d^{2}{\underline {u_{C}}}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\,{\dfrac {d{\underline {u_{C}}}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\,C}}\,{\underline {u_{C}}}(t)={\dfrac {1}{L\,C}}\,{\underline {u_{g}}}(t)\;$ dont $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ est la partie réelle ou,
Qui est la solution instantanée compl sous forme canonique $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)_{\text{réd. canon.}}\;\;{\dfrac {d^{2}{\underline {u_{C}}}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,{\dfrac {d{\underline {u_{C}}}}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,{\underline {u_{C}}}(t)=\omega _{0}^{2}\,{\underline {u_{g}}}(t)\;$ dont $\;\left({\mathfrak {1}}\right)_{\text{réd. canon.}}\;$ est la partie réelle.
↑ Obtenue en utilisant la propriété de dérivation temporelle dans le 1^er membre de l'équation différentielle, en factorisant ce dernier par $\;{\underline {u_{C,\,f}}}(t)\;$ et en divisant les deux membres par $\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ pour obtenir une équation algébrique dans laquelle le temps n'intervient plus.
↑ Ne s'annulant jamais si $\;Q\;$ est fini $\;{\big (}$ c.-à-d. si $\;R\neq 0{\big )}\;$ mais pouvant s'annuler dans le cas d'un $\;L\,C\;$ série $\;{\big (}$ c.-à-d. si $\;R=0\;$ correspondant à $\;Q=\infty {\big )}\;$ dans l'hypothèse où la fréquence imposée par le générateur de fonctions est égale à la fréquence propre du $\;L\,C\;$ série $\;{\big (}$ c.-à-d. si $\;\omega =\omega _{0}{\big )}$ .
↑ Circuit Oscillant Non Amorti.
↑ On rappelle que l'argument d'un complexe peut se mettre sous la forme d'un $\;\arctan()\;$ à condition que sa partie réelle soit positive $\;{\big [}$ voir le paragraphe « détermination de l'argument (d'un complexe écrit sous sa forme algébrique) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , le signe de la partie réelle de $\;\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)+j\,{\dfrac {\omega _{0}\,\omega }{Q}}\;$ étant conditionnel avec celui de la partie imaginaire positif, on effectue la mise en facteur par « $\;j\;$ fois la partie imaginaire » pour que la partie réelle de l'autre facteur soit $\;1$ $\;\ldots$
↑ Au sens où les grandeurs introduites sont complexes $\;\ldots \;$
   ne pas perdre de vue que ces grandeurs complexes n'ont aucun sens physique direct et que,
   ne pas perdre de vue que en ce qui concernent les grandeurs instantanées complexes, ce sont leurs parties réelle ou imaginaire qui ont une signification physique alors que,
   ne pas perdre de vue que en ce qui concernent les valeurs efficaces complexes ce sont leurs module et argument qui en ont une $\;\ldots$
↑ ^25,00 ^25,01 ^25,02 ^25,03 ^25,04 ^25,05 ^25,06 ^25,07 ^25,08 ^25,09 ^25,10 ^25,11 ^25,12 ^25,13 ^25,14 ^25,15 ^25,16 ^25,17 ^25,18 ^25,19 ^25,20 ^25,21 ^25,22 ^25,23 ^25,24 ^25,25 et ^25,26 Régime Sinusoïdal Forcé.
↑ Il faut préciser « à valeur moyenne nulle » pour éliminer la constante additive associée à toute prise de primitive $\;\ldots$
↑ Le qualificatif « complexe » donné dans ce cours à l'électricité associée au r.s.f. n'est pas codifié, la plupart des utilisateurs parle simplement de « r.s.f. » pour cette électricité « complexe » sans faire de distinction $\;{\big (}$ mais uniquement dans le langage heureusement ${\big )}\;$ entre les grandeurs sinusoïdales ayant un sens physique et les grandeurs instantanées complexes dont seule la partie réelle ou imaginaire a une signification physique.
↑ Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887) est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande $\;{\big (}$ prussienne ${\big )}\;$ du XIX^ème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec Robert Wilhelm Bunsen (1811 - 1899) chimiste allemand, de la spectroscopie qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.
↑ ^29,0 et ^29,1 Sens $\;+\;$ défini avant le passage aux grandeurs instantanées complexes d'où le qualificatif « physique », il ne peut pas s'agir d'un sens $\;+\;$ de tension $\;{\big (}$ ou d'intensité ${\big )}\;$ instantanées complexes bien sûr, le corps des complexes $\;\mathbb {C} \;$ n'étant pas ordonné !
↑ Mais attention la loi de maille n'est a priori pas valable en tensions efficaces $\;{\big (}$ même en tenant compte du sens de tension relativement au sens $\;+{\big )}\;$ car pour qu'elle le soit il faudrait que les tensions sinusoïdales soient en phase ou en opposition de phase, ce qui n'est réalisable que dans un circuit où les seuls dipôles passifs linéaires sont des conducteurs ohmiques donc sans aucune bobine et sans aucun condensateur.
↑ Mais attention la loi de nœud n'est a priori pas valable en intensités efficaces $\;{\big (}$ même en tenant compte du sens des courants relativement au sens $\;+\;$ choisi sur les fils ${\big )}\;$ car pour qu'elle le soit il faudrait que les intensités sinusoïdales soient en phase ou en opposition de phase, ce qui n'est réalisable que dans un circuit où les seuls dipôles passifs linéaires sont des conducteurs ohmiques donc sans aucune bobine et sans aucun condensateur.
↑ ^32,00 ^32,01 ^32,02 ^32,03 ^32,04 ^32,05 ^32,06 ^32,07 ^32,08 et ^32,09 Dipôle Passif Linéaire.
↑ ^33,0 ^33,1 ^33,2 ^33,3 ^33,4 et ^33,5 Avec possibilité de dérivée temporelle du 2^ème ordre ou plus.
↑ ^34,0 ^34,1 et ^34,2 Avec possibilité de polynôme de 2^ème degré en $\;j\,\omega \;$ ou plus.
↑ ^35,0 ^35,1 ^35,2 ^35,3 et ^35,4 Georg Simon Ohm (1789 - 1854) physicien allemand essentiellement connu pour sa découverte de la loi qui porte maintenant son nom.
↑ ^36,0 ^36,1 ^36,2 ^36,3 et ^36,4 La 2^ème définition résultant de la simplification haut et bas par $\;{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)$ .
↑ C'est bien sûr aussi l'avance de phase de l'intensité sur la tension mais par la suite on privilégie l'avance de phase de la tension sur l'intensité $\;\ldots$
↑ Le choix d'une convention générateur aurait induit un signe $\;-\;$ dans l'expression de la loi d'Ohm de l'électricité « complexe » associée au r.s.f..
↑ Car $\;{\underline {Z_{R}}}={\dfrac {{\underline {u_{R}}}(t)}{{\underline {i_{R}}}(t)}}={\dfrac {\underline {U_{R}}}{\underline {I_{R}}}}$ .
↑ Car $\;{\underline {Y_{R}}}={\dfrac {1}{\underline {Z_{R}}}}={\dfrac {{\underline {i_{R}}}(t)}{{\underline {u_{R}}}(t)}}={\dfrac {\underline {I_{R}}}{\underline {U_{R}}}}$ .
↑ Car $\;{\underline {Z_{L}}}={\dfrac {{\underline {u_{L}}}(t)}{{\underline {i_{L}}}(t)}}={\dfrac {\underline {U_{L}}}{\underline {I_{L}}}}$ .
↑ C.-à-d. encore la tension aux bornes de la bobine réelle si la chute de tension due à la partie résistive de la bobine peut être négligée.
↑ Car $\;{\underline {Y_{L}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {{\underline {i_{L}}}(t)}{{\underline {u_{L}}}(t)}}={\dfrac {\underline {I_{L}}}{\underline {U_{L}}}}$ .
↑ On pouvait encore l'obtenir par $\;\left(\varphi _{u_{L}}-\varphi _{i_{L}}\right)=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Y_{L}}}(j\,\omega )\right]=-\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}\right]\;$ et utiliser le fait que l'argument d'un quotient est la différence des arguments en écrivant que $\;\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}\right]=$ $\mathrm {arg} \!\left[1\right]-\mathrm {arg} \!\left[j\,L\,\omega \right]=0-{\dfrac {\pi }{2}}\;\ldots$
↑ Car $\;{\underline {Z_{C}}}={\dfrac {{\underline {u_{C}}}(t)}{{\underline {i_{C}}}(t)}}={\dfrac {\underline {U_{C}}}{\underline {I_{C}}}}$ .
↑ On pouvait encore l'obtenir par $\;\left(\varphi _{u_{C}}-\varphi _{i_{C}}\right)=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\right]=\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\right]\;$ et utiliser le fait que l'argument d'un quotient est la différence des arguments en écrivant que $\;\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\right]=$ $\mathrm {arg} \!\left[1\right]-\mathrm {arg} \!\left[j\,C\,\omega \right]=0-{\dfrac {\pi }{2}}\;\ldots$
↑ Car $\;{\underline {Y_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {{\underline {i_{C}}}(t)}{{\underline {u_{C}}}(t)}}={\dfrac {\underline {I_{C}}}{\underline {U_{C}}}}$ .

Signaux physiques - bis (PCSI)

Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillat. mécan. amort. par frott. visqu.

Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes

[1] Mais cela aurait pu être n'importe quelle association de conducteurs ohmiques, de condensateurs et de bobines $\;\ldots$

[montage_suiveur-2] Voir le paragraphe « utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F. » du chap. $24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[3] On rappelle que c'est l'amplitude de la f.e.m. qui peut être fixée, l'amplitude de la tension dépendant alors de l'intensité du courant délivré c.-à-d. du circuit aux bornes duquel le générateur est branché ;
l'amplitude de la tension délivrée par le G.B.F. restera constante, compte-tenu de la résistance de sortie de ce dernier, si la chute ohmique dans la résistance de sortie peut être négligée devant la f.e.m. ou, si ceci n'est pas réalisé, en plaçant entre le générateur et le circuit étudié un montage suiveur $\;{\big [}$ revoir les propriétés d'un montage suiveur dans le paragraphe « utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F. » du chap. $24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}\;$ ${\big (}$ qui est l'option choisie ici ${\big )}$ .

[4] Plus exactement la tension de crête à crête $\;U_{c.c.}\;$ qui est le double de l'amplitude.

[5] Revoir le paragraphe « définition de la grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative » du chap. $24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[6] Pour cela il faut au préalable sélectionner $\;V_{RMS}\;$ ${\big (}$ c.-à-d. « root mean square » signifiant « moyenne quadratique » ${\big )}\;$ en appuyant avec insistance sur le bouton de sélection d'amplitude $\;{\big (}$ on supprime ce choix en réappuyant avec insistance ${\big )}$ ; on rappelle que la tension efficace est liée à l'amplitude pour un signal sinusoïdal par $\;U_{g}={\dfrac {U_{g,\,{\text{max}}}}{\sqrt {2}}}$ , la valeur efficace étant notée par une lettre majuscule avec un indice minuscule $\;{\big (}$ ce qui permet de la distinguer d'une éventuelle composante continue notée avec une lettre majuscule et un indice majuscule ${\big )}$ .

[7] En effet la solution particulière de l'équation hétérogène est choisie de même forme que l'excitation $\;{\big (}$ à condition que cette forme particulière soit possible, ce qui est pratiquement toujours réalisé ${\big )}\;$ c.-à-d. sinusoïdale de même fréquence $\;f$ .

[8] Voir le paragraphe « rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ns ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[lien_entre_Q_et_sigma-9] 9,0 et ^9,1 On privilégie toujours le facteur de qualité $\;Q\;$ relativement au cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ en régime sinusoïdal, on rappelle le lien entre les deux $\;Q={\dfrac {1}{2\;\sigma }}$ .

[10] La résistance la plus faible possible est celle de la bobine $\;R=r_{B}\simeq 10\,\Omega \;$ et l'inductance propre la plus grande s'obtient avec introduction du noyau ferromagnétique $\;L\simeq 1\,H\;$ d'où $\;\tau _{\text{max}}\simeq 0,1\,s$ $=100\,ms\;$ qui est donc la valeur la plus grande disponible pratiquement.

[11] Revoir le paragraphe « critère de l'établissement pratique d'une des réponses forcées du R L C série » du chap. $1$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

[12] Avec $\;\tau \leqslant 0,1\,s\;$ l'amortissement de la solution libre se fait en moins d'une seconde.

[simplification_par_racine_de_2-13] 13,0 et ^13,1 Après simplification par $\;{\sqrt {2}}$ .

[14] On peut par exemple expliciter $\;\cos(\varphi _{c})\;$ et $\;\sin(\varphi _{c})\;$ en fonction des données et de $\;U_{c}\;$ puis éliminer $\;\varphi _{c}\;$ par $\;\cos ^{2}(\varphi _{c})+\sin ^{2}(\varphi _{c})=1\;$ ce qui permettrait d'obtenir $\;U_{c}\;$ en fonction des données, le report dans les expressions de $\;\cos(\varphi _{c})\;$ et $\;\sin(\varphi _{c})\;$ assurant la détermination de $\;\varphi _{c}$ .

[15] C.-à-d. appartenant à l'intervalle $\;\left]-\pi \;;\,+\pi \right]$ .

[ou_de_noeud-16] 16,0 et ^16,1 Mais dans un exemple de dipôles en parallèle ce serait par loi de nœud et dans des cas plus compliqués ce serait les deux avec élimination intermédiaire qui peut nécessiter une ou deux dérivations temporelles.

[unité_imaginaire_en_électricité-17] 17,0 ^17,1 ^17,2 et ^17,3 En électricité on note l'unité imaginaire par $\;j\;$ et non $\;i$ , cette dernière notation étant réservé à l'intensité, on a donc les propriétés de $\;j\;$ suivantes à savoir $\;j=\exp \!\left(j\,{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$ et $\;j^{2}=-1\;\ldots$
Pour le complexe noté $\;j\;$ en mathématique $\;{\big (}$ qui pourrait intervenir dans l'électricité triphasée ${\big )}\;$ on le noterait, si besoin était, sous sa forme trigonométrique à savoir $\;\exp \!\left(j\;{\dfrac {2\,\pi }{3}}\right)$ .

[grandeur_efficace_complexe-18] 18,0 et ^18,1 On introduit les grandeurs efficaces complexes $\;{\underline {G}}\;$ à la place des amplitudes complexes $\;{\underline {G_{m}}}$ , le lien existant entre elles étant $\;{\underline {G}}={\dfrac {\underline {G_{m}}}{\sqrt {2}}}\;$ soit un même argument égal à la phase à l'origine de la grandeur instantanée sinusoïdale $\;g(t)\;$ et des modules représentant respectivement la grandeur efficace $\;G\;$ et l'amplitude $\;G_{m}$ .

[19] Qui est la solution instantanée complexe de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;\;{\dfrac {d^{2}{\underline {u_{C}}}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\,{\dfrac {d{\underline {u_{C}}}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\,C}}\,{\underline {u_{C}}}(t)={\dfrac {1}{L\,C}}\,{\underline {u_{g}}}(t)\;$ dont $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ est la partie réelle ou,
Qui est la solution instantanée compl sous forme canonique $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)_{\text{réd. canon.}}\;\;{\dfrac {d^{2}{\underline {u_{C}}}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,{\dfrac {d{\underline {u_{C}}}}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,{\underline {u_{C}}}(t)=\omega _{0}^{2}\,{\underline {u_{g}}}(t)\;$ dont $\;\left({\mathfrak {1}}\right)_{\text{réd. canon.}}\;$ est la partie réelle.

[20] Obtenue en utilisant la propriété de dérivation temporelle dans le 1^er membre de l'équation différentielle, en factorisant ce dernier par $\;{\underline {u_{C,\,f}}}(t)\;$ et en divisant les deux membres par $\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ pour obtenir une équation algébrique dans laquelle le temps n'intervient plus.

[21] Ne s'annulant jamais si $\;Q\;$ est fini $\;{\big (}$ c.-à-d. si $\;R\neq 0{\big )}\;$ mais pouvant s'annuler dans le cas d'un $\;L\,C\;$ série $\;{\big (}$ c.-à-d. si $\;R=0\;$ correspondant à $\;Q=\infty {\big )}\;$ dans l'hypothèse où la fréquence imposée par le générateur de fonctions est égale à la fréquence propre du $\;L\,C\;$ série $\;{\big (}$ c.-à-d. si $\;\omega =\omega _{0}{\big )}$ .

[C.O.N.A.-22] Circuit Oscillant Non Amorti.

[23] On rappelle que l'argument d'un complexe peut se mettre sous la forme d'un $\;\arctan()\;$ à condition que sa partie réelle soit positive $\;{\big [}$ voir le paragraphe « détermination de l'argument (d'un complexe écrit sous sa forme algébrique) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , le signe de la partie réelle de $\;\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)+j\,{\dfrac {\omega _{0}\,\omega }{Q}}\;$ étant conditionnel avec celui de la partie imaginaire positif, on effectue la mise en facteur par « $\;j\;$ fois la partie imaginaire » pour que la partie réelle de l'autre facteur soit $\;1$ $\;\ldots$

[24] Au sens où les grandeurs introduites sont complexes $\;\ldots \;$
ne pas perdre de vue que ces grandeurs complexes n'ont aucun sens physique direct et que,
ne pas perdre de vue que en ce qui concernent les grandeurs instantanées complexes, ce sont leurs parties réelle ou imaginaire qui ont une signification physique alors que,
ne pas perdre de vue que en ce qui concernent les valeurs efficaces complexes ce sont leurs module et argument qui en ont une $\;\ldots$

[r.s.f.-25] 25,00 ^25,01 ^25,02 ^25,03 ^25,04 ^25,05 ^25,06 ^25,07 ^25,08 ^25,09 ^25,10 ^25,11 ^25,12 ^25,13 ^25,14 ^25,15 ^25,16 ^25,17 ^25,18 ^25,19 ^25,20 ^25,21 ^25,22 ^25,23 ^25,24 ^25,25 et ^25,26 Régime Sinusoïdal Forcé.

[26] Il faut préciser « à valeur moyenne nulle » pour éliminer la constante additive associée à toute prise de primitive $\;\ldots$

[27] Le qualificatif « complexe » donné dans ce cours à l'électricité associée au r.s.f. n'est pas codifié, la plupart des utilisateurs parle simplement de « r.s.f. » pour cette électricité « complexe » sans faire de distinction $\;{\big (}$ mais uniquement dans le langage heureusement ${\big )}\;$ entre les grandeurs sinusoïdales ayant un sens physique et les grandeurs instantanées complexes dont seule la partie réelle ou imaginaire a une signification physique.

[Kirchhoff-28] Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887) est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande $\;{\big (}$ prussienne ${\big )}\;$ du XIX^ème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec Robert Wilhelm Bunsen (1811 - 1899) chimiste allemand, de la spectroscopie qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.

[sens_+_physique-29] 29,0 et ^29,1 Sens $\;+\;$ défini avant le passage aux grandeurs instantanées complexes d'où le qualificatif « physique », il ne peut pas s'agir d'un sens $\;+\;$ de tension $\;{\big (}$ ou d'intensité ${\big )}\;$ instantanées complexes bien sûr, le corps des complexes $\;\mathbb {C} \;$ n'étant pas ordonné !

[30] Mais attention la loi de maille n'est a priori pas valable en tensions efficaces $\;{\big (}$ même en tenant compte du sens de tension relativement au sens $\;+{\big )}\;$ car pour qu'elle le soit il faudrait que les tensions sinusoïdales soient en phase ou en opposition de phase, ce qui n'est réalisable que dans un circuit où les seuls dipôles passifs linéaires sont des conducteurs ohmiques donc sans aucune bobine et sans aucun condensateur.

[31] Mais attention la loi de nœud n'est a priori pas valable en intensités efficaces $\;{\big (}$ même en tenant compte du sens des courants relativement au sens $\;+\;$ choisi sur les fils ${\big )}\;$ car pour qu'elle le soit il faudrait que les intensités sinusoïdales soient en phase ou en opposition de phase, ce qui n'est réalisable que dans un circuit où les seuls dipôles passifs linéaires sont des conducteurs ohmiques donc sans aucune bobine et sans aucun condensateur.

[D.P.L.-32] 32,00 ^32,01 ^32,02 ^32,03 ^32,04 ^32,05 ^32,06 ^32,07 ^32,08 et ^32,09 Dipôle Passif Linéaire.

[possibilité_de_deuxième_ordre_ou_plus-33] 33,0 ^33,1 ^33,2 ^33,3 ^33,4 et ^33,5 Avec possibilité de dérivée temporelle du 2^ème ordre ou plus.

[possibilité_de_deuxième_degré_ou_plus-34] 34,0 ^34,1 et ^34,2 Avec possibilité de polynôme de 2^ème degré en $\;j\,\omega \;$ ou plus.

[Ohm-35] 35,0 ^35,1 ^35,2 ^35,3 et ^35,4 Georg Simon Ohm (1789 - 1854) physicien allemand essentiellement connu pour sa découverte de la loi qui porte maintenant son nom.

[simplification_par_l'exponentielle_du_temps-36] 36,0 ^36,1 ^36,2 ^36,3 et ^36,4 La 2^ème définition résultant de la simplification haut et bas par $\;{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)$ .

[37] C'est bien sûr aussi l'avance de phase de l'intensité sur la tension mais par la suite on privilégie l'avance de phase de la tension sur l'intensité $\;\ldots$

[38] Le choix d'une convention générateur aurait induit un signe $\;-\;$ dans l'expression de la loi d'Ohm de l'électricité « complexe » associée au r.s.f..

[39] Car $\;{\underline {Z_{R}}}={\dfrac {{\underline {u_{R}}}(t)}{{\underline {i_{R}}}(t)}}={\dfrac {\underline {U_{R}}}{\underline {I_{R}}}}$ .

[40] Car $\;{\underline {Y_{R}}}={\dfrac {1}{\underline {Z_{R}}}}={\dfrac {{\underline {i_{R}}}(t)}{{\underline {u_{R}}}(t)}}={\dfrac {\underline {I_{R}}}{\underline {U_{R}}}}$ .

[41] Car $\;{\underline {Z_{L}}}={\dfrac {{\underline {u_{L}}}(t)}{{\underline {i_{L}}}(t)}}={\dfrac {\underline {U_{L}}}{\underline {I_{L}}}}$ .

[42] C.-à-d. encore la tension aux bornes de la bobine réelle si la chute de tension due à la partie résistive de la bobine peut être négligée.

[43] Car $\;{\underline {Y_{L}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {{\underline {i_{L}}}(t)}{{\underline {u_{L}}}(t)}}={\dfrac {\underline {I_{L}}}{\underline {U_{L}}}}$ .

[44] On pouvait encore l'obtenir par $\;\left(\varphi _{u_{L}}-\varphi _{i_{L}}\right)=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Y_{L}}}(j\,\omega )\right]=-\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}\right]\;$ et utiliser le fait que l'argument d'un quotient est la différence des arguments en écrivant que $\;\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}\right]=$ $\mathrm {arg} \!\left[1\right]-\mathrm {arg} \!\left[j\,L\,\omega \right]=0-{\dfrac {\pi }{2}}\;\ldots$

[45] Car $\;{\underline {Z_{C}}}={\dfrac {{\underline {u_{C}}}(t)}{{\underline {i_{C}}}(t)}}={\dfrac {\underline {U_{C}}}{\underline {I_{C}}}}$ .

[46] On pouvait encore l'obtenir par $\;\left(\varphi _{u_{C}}-\varphi _{i_{C}}\right)=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\right]=\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\right]\;$ et utiliser le fait que l'argument d'un quotient est la différence des arguments en écrivant que $\;\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\right]=$ $\mathrm {arg} \!\left[1\right]-\mathrm {arg} \!\left[j\,C\,\omega \right]=0-{\dfrac {\pi }{2}}\;\ldots$

[47] Car $\;{\underline {Y_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {{\underline {i_{C}}}(t)}{{\underline {u_{C}}}(t)}}={\dfrac {\underline {I_{C}}}{\underline {U_{C}}}}$ .

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