En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, lien avec la réponse en tension aux bornes du condensateur[modifier | modifier le wikicode]
On considère un série soumis à la tension de sortie d'un « montage suiveur » alimenté en entrée par une tension sinusoïdale délivrée par un générateur B.F[1]. dont on règle la f.e.m. efficace à une valeur constante [2] et dont on peut faire varier la fréquence , la phase dépendant du choix de l'origine des temps et étant notée [3] ;
on se propose de déterminer, en régime sinusoïdal forcé, la tension aux bornes de la bobine en supposant que l'on puisse négliger sa composante résistive [4], ce qui a pour conséquence que cette tension peut être notée «», puis on se propose d'étudier la variation de sa valeur efficace ainsi que de sa phase initiale en fonction de la fréquence, on se propose de déterminer une résonance éventuelle ainsi que on se propose de déterminer la valeur de la fréquence de résonance quand celle-ci est possible et enfin on se propose de déterminer la nature du filtre.
Dans un 2nd temps on se propose de déterminer le lien entre la tension aux bornes de la bobine et la tension aux bornes du condensateur [5] pour déduire, des propriétés de cette dernière étudiées en cours, celles de la tension aux bornes de la bobine parfaite établies dans un 1er temps directement.
Réponse efficace complexe en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension efficace complexe de module constant, la fréquence f = ω/(2π) du régime étant variable[modifier | modifier le wikicode]
Déterminer la réponse instantanée complexe en « tension aux bornes de la bobine parfaite » du série ci-dessus, en fonction de ses grandeurs caractéristiques, de la pulsation imposée par le générateur et de la tension instantanée complexe de la sortie du montage suiveur[2] ;
en déduire la réponse efficace complexe en « tension aux bornes de la bobine parfaite » en fonction des grandeurs caractéristiques du série, de la pulsation et de la tension efficace complexe de la sortie du montage suiveur[2].
Solution
Bien sûr il convient de refaire un schéma en complexe.
Soit « la tension instantanée imposée au série » et soit « la tension instantanée aux bornes de la bobine parfaite », on leur associe les grandeurs instantanées complexes «» avec « la valeur efficace complexe correspondante » et on leur associe les grandeurs instantanées complexes «» avec « la valeur efficace complexe correspondante » ;
« étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un P.D.T[6]. dont la tension instantanée complexe d'entrée est » nous en déduisons «»[7] soit, en valeurs efficaces complexes, «» et, en multipliant haut et bas par pour obtenir une forme « usuelle »[8],
«».
Réduction canonique de la réponse efficace complexe en tension aux bornes de la bobine parfaite[modifier | modifier le wikicode]
Rappeler les expressions des grandeurs canoniques du série « pulsation propre et facteur de qualité » et
en déduire la forme canonique « usuelle »[8] normalisée[9] de la réponse efficace complexe en fonction de la pulsation ou
en déduire la forme canonique réduite « usuelle »[10] normalisée[11] de la réponse efficace complexe [12] en fonction de la pulsation réduite .
Solution
On utilise les 2èmes grandeurs canoniques relatives au série,
la « pulsation propre » ,
le « facteur de qualité »,
et on définit la pulsation réduite ou fréquence réduite par «» ;
on élimine d'abord au profit de en reportant dans l'expression de soit «»[12] et finalement, en reconnaissant dans l'inverse du facteur de qualité,
Déduire, de ce qui précède, l'expression de la tension efficace aux bornes de la bobine parfaite en fonction de la pulsation réduite .
Solution
La tension efficace aux bornes de la bobine parfaite se détermine en prenant le module de la tension efficace complexe correspondante soit
«».
Phase à l'origine de la tension aux bornes de la bobine parfaite du R L C série[modifier | modifier le wikicode]
Déduire, de même, l'expression de la phase à l'origine de la tension instantanée aux bornes de la bobine parfaite en fonction de la pulsation réduite .
Solution
La phase à l'origine de la tension instantanée aux bornes de la bobine parfaite se détermine en prenant l'argument de la tension efficace complexe correspondante soit
en mettant en facteur dans le complexe dont on cherche l'argument dans la dernière expression de façon à ce que le facteur restant ait une partie réelle positive plus exactement égale à et par conséquent ait un argument se mettant sous forme d'un soit
Recherche d'une éventuelle résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite du R L C série[modifier | modifier le wikicode]
On se propose de chercher une éventuelle résonance en mais le numérateur de dépendant de , il nous faut chercher une forme canonique « pratique » correspondant à un numérateur constant en divisant haut et bas par le numérateur de façon à ce que ;
on vérifiera alors que peut être identifié à où est la fonction dont on a étudié la variation lors de l'étude d'une éventuelle résonance en charge du série[16] ;
introduisant pour plus de simplicité lors de l'exposé, rappeler la variation de suivant la valeur du facteur de qualité et
introduisant pour plus de simplicité lors de l'exposé, dans le cas où acquiert une valeur extrémale, l'expression de rendant extrémale ainsi que la valeur de cet extremum ;
en déduire la variation de suivant la valeur du facteur de qualité et
en déduire dans le cas où il y a résonance, l'expression de la pulsation réduite de résonance [17] ainsi que la valeur maximale de notée .
Solution
Pour obtenir une forme canonique « pratique »[18] de la tension efficace aux bornes de la bobine parfaite « on divise haut et bas par » ce qui revient, en ce qui concerne le dénominateur, à diviser l'ensemble des termes sous le radical par et donc le terme par , d'où la forme canonique « pratique »[18] «» ou encore
« si le terme constant est strictement positif » soit «», la dérivée «» et étant une fonction de , on en déduit que « est une fonction de »[20] soit enfin que « est une fonction de » donc
En conclusion pour «», « la tension instantanée aux bornes de la bobine parfaite entre en résonance en la fréquence réduite » c'est-à-dire en la fréquence , avec «»[24].
Montrer que le filtre est un « passe-haut ou un passe-bande »[25] suivant la valeur du facteur de qualité ;
on rappellera comment on pourrait déterminer la condition sur pour que ce soit un passe-bande mais sans refaire le calcul effectué en cours.
Solution
Si , il n'y a pas de résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite, la réponse efficace en étant d'une valeur à B.F[1]. jusqu'à une limite à H.F[26]., nous en déduisons la nature « passe-haut »[25] du filtre et
si , il y a résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite, la réponse efficace en étant d'abord à partir d'une valeur à B.F[1]. puis jusqu'à une limite à H.F[26]., nous en déduisons la nature « passe-bande ou passe-haut »[25] du filtre suivant l'existence ou non d'une fréquence finie de coupure haute à ;
si , la condition pour qu'il existe une fréquence finie de coupure haute à étant «» avec la valeur de la réponse efficace à la résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite «», se réécrit «» ce qui, étant exactement la même équation en que celle obtenue lors de l'écriture de la condition pour qu'il existe une fréquence de coupure basse non nulle à pour le filtre « réponse en tension aux bornes du condensateur »[27], conduit à la même solution c'est-à-dire que « la condition pour qu'il existe une fréquence finie de coupure haute à est » ; si , en conclusion de cette étude « si »[28] la réponse en tension efficace aux bornes de la bobine parfaite d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « passe-haut »[25] et si , en conclusion de cette étude « si »[28] c'est un « passe-bande »[25].
Finalement « pour un facteur de qualité restant faible »[28] la réponse en tension efficace aux bornes de la bobine parfaite d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « passe-haut »[25] alors que Finalement « pour un facteur de qualité plus grand »[28] c'est un « passe-bande »[25],[29].
Tracé de la courbe de valeur efficace en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante imposée par le générateur en fonction de la fréquence réduite[modifier | modifier le wikicode]
Compte-tenu de la variation établie dans une question précédente, tracer les différents types de courbes possibles de valeur efficace en tension aux bornes de la bobine parfaite en fonction de la fréquence réduite.
Solution
Voir ci-contre la superposition des tracés de la réponse en tension efficace aux bornes de la bobine parfaite d'un « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité
donnant une absence de résonance,
donnant une résonance limite en «»,
donnant une résonance qualifiée de « floue » en «» et
donnant une résonance qualifiée de « modérément aiguë » en «».
Tracé de la courbe d'avance de phase de la tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série sur la tension sinusoïdale de valeur efficace constante imposée par le générateur en fonction de la fréquence réduite[modifier | modifier le wikicode]
Tracer l'allure de la courbe d'avance de phase de la tension aux bornes de la bobine parfaite sur la tension imposée par le générateur en fonction de la fréquence réduite.
Solution
Voir ci-contre la superposition des tracés de l'avance de phase de la tension aux bornes de la bobine parfaite d'un « série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité
donnant une variation lente et assez régulière du déphasage,
donnant une variation légèrement plus rapide qu'aux faibles valeurs du facteur de qualité, variation du déphasage restant assez régulière,
donnant une variation modérément rapide au voisinage de la fréquence réduite propre avec toutefois une variation restant notable mais plus faible en dehors et
donnant une variation relativement rapide au voisinage de la fréquence réduite propre et relativement lente en dehors.
Lien entre les tensions efficaces complexes aux bornes de la bobine parfaite et du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable et conséquences[modifier | modifier le wikicode]
Rappeler l'expression de la tension efficace complexe [30] aux bornes du condensateur du série précédent en fonction de la pulsation ou fréquence réduite [31] et
vérifier le lien suivant entre les tensions efficaces complexes aux bornes de la bobine parfaite et du condensateur du série excité sinusoïdalement pour une même pulsation réduite
en déduire les conséquences sur la variation de connaissant la variation de ainsi que en déduire celles sur la variation de connaissant la variation de .
Solution
La tension efficace complexe aux bornes du condensateur du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante s'écrivant «» et celle aux bornes de la bobine du même série soumis à la même tension sinusoïdale de valeur efficace constante «»[34], nous transformons «» en divisant haut et bas par soit «» ;
remplaçant par dans l'expression de «» on trouve «» d'où remplaçant par dans l'expression de «» on trouve «»[32] laquelle, comparée à «», permet de trouver le lien cherché à savoir
En prenant le module de la relation ci-dessus on en déduit «», le module du conjugué étant égal au module du complexe, c'est-à-dire que l'« on obtient la variation de connaissant celle de en transformant en son inverse » d'où :
« si », « variation monotone de » entraînant une « variation monotone de », « le domaine des B.F[1]. passant devenant le domaine des H.F[26]. passant » ;
« si », existence d'une « résonance de pour » correspondant à une « résonance de pour » ;
« si », « nature passe-bas[35] de la réponse en » se transformant en « passe-haut[25] de la réponse en » et
« si », « nature passe-bande[35] de la réponse en à fréquence de résonance inférieure à la fréquence propre » se transformant en « passe-bande[25] de la réponse en à fréquence de résonance supérieure à la fréquence propre » ;
si on adopte une échelle logarithmique pour l'axe des fréquences réduites, « la transformation de en correspond au changement de en » et on en déduit que « les courbes de valeurs efficaces tracées en “ échelle semi-logarithmique ” [36] sont symétriques l'une de l'autre relativement à l'axe c'est-à-dire l'axe de l'échelle logarithmique ».
En prenant l'argument de la relation «»[32]l'argument du conjugué étant opposé à l'argument du complexe on en déduit «»[37] ou encore En prenant l'argument de la relation «» l'argument du conjugué étant opposé à l'argument du complexe on en déduit «», c'est-à-dire que l'« on obtient la variation de connaissant celle de en transformant en son inverse et en prenant l'opposé du transformé de » d'où :
le « domaine des B.F[1]. à déphasage nul pour » devient le « domaine des H.F[26]. à déphasage nul pour » ;
le « domaine des H.F[26]. à déphasage égal à pour » devient le « domaine des B.F[1]. à déphasage égal à pour » ;
si on adopte une échelle logarithmique pour l'axe des fréquences réduites, « la transformation de en correspond au changement de en » et on en déduit que les « courbes de déphasage tracées en “ échelle semi-logarithmique ” [36] sont symétriques l'une de l'autre relativement au centre ou sur papier semi-logarithmique » ;
en fait cette « propriété de symétrie centrale en échelle logarithmique » est peu utilisée car la propriété énoncée ci-après est nettement plus intéressante : en fait cette « propriété de symétrie centrale en échelle logarithmique » est peu utilisée de « avec » on déduit «» et, en en prenant l'argument «»[13] soit «» pour que la phase à l'origine ait la plus petite valeur absolue ; en fait cette « propriété de symétrie centrale en échelle logarithmique » est peu utilisée « la courbe de déphasage de la tension aux bornes de la bobine parfaite se déduit de celle de déphasage de la tension aux bornes du condensateur par translation de parallèlement à l'axe des phases » indépendamment de la nature logarithmique ou linéaire de l'échelle des fréquences réduites.
Réponse en iR(t) d'une association parallèle R L soumise, à travers un condensateur de capacité C, à une f.e.m. sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence choisie[modifier | modifier le wikicode]
On considère le circuit ci-contre constitué d'une « association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance et d'une bobine parfaite d'inductance propre » montée en série avec un condensateur de capacité ; On considère le circuit il est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale dont on néglige l'impédance de sortie et de « f.e.m. ».
Détermination du générateur de Norton équivalent à l'ensemble générateur de fonction en série avec le condensateur de capacité C[modifier | modifier le wikicode]
Déterminer le générateur de Norton[38] équivalent au D.A.L[39]. comprenant le générateur en série avec le condensateur et
tracer le schéma équivalent.
Solution
On considère le circuit représenté en complexe ci-contre, alimenté par un générateur de tension de « f.e.m. instantanée complexe »[40], les impédances complexes de la bobine parfaite et du condensateur étant respectivement «» et «» ;
le générateur de tension en série avec le condensateur ayant pour modèle générateur de Thévenin[41] complexe « une source de tension parfaite de f.e.m. instantanée complexe en série avec un D.P[42]. d'impédance complexe », il suffit de prendre le modèle générateur de Norton[38] complexe équivalent à savoir « une source de courant parfaite de c.e.m. instantanée complexe en parallèle avec le D.P[42]. d'impédance complexe » ;
le tracé du schéma équivalent est à faire par soi-même, on aboutit à
« un alimenté par la source de courant parfaite de Norton[38] complexe de c.e.m. instantané complexe ».
Condition de fréquence pour que le courant d'intensité iR(t) soit indépendant de R et interprétation[modifier | modifier le wikicode]
En déduire la condition pour que l'intensité du courant dans le conducteur ohmique de résistance soit indépendante de cette dernière et
l'interpréter simplement.
Solution
L'intensité instantanée complexe du courant dans le conducteur ohmique de résistance peut être déterminée par « P.D.C[43]. en sortie court-circuitée court-circuit en série avec le conducteur ohmique alimenté par le c.e.m. instantané complexe » soit, en associant d'impédance complexe équivalente , l'intensité instantanée complexe du courant dans le conducteur ohmique «»[44] et finalement, en réduisant les étages,
«» indépendante de si «» soit «» ou «».
Interprétation : on sait que l'intensité du courant traversant , et en série alimenté par une tension sinusoïdale de valeur efficace constante entre en résonance pour et que les tensions aux bornes de et se compensent ;
Interprétation : par dualité « série parallèle »[45], la tension aux bornes de , et en parallèle[46] alimenté par une intensité de courant sinusoïdal de valeur efficace constante[47] entre en résonance pour [48] et les intensités des courants traversant et se compensent[49] d'où l'intensité du courant traversant l'ensemble est donc nulle[50] ;
Interprétation : la conséquence est que le c.e.m. instantané qui ne dépend évidemment pas de est le courant qui traverse le conducteur ohmique et par suite Interprétation : la conséquence est que l'intensité du courant traversant le conducteur ohmique ne dépend pas de uniquement pour la pulsation particulière .
Sous la condition de fréquence précédemment trouvée, évaluation de la valeur efficace et de la phase à l'origine de iR(t)[modifier | modifier le wikicode]
Sachant que la condition précédente est réalisée, calculer la valeur efficace et la phase à l'origine de l'intensité du courant dans le conducteur ohmique de résistance pour les valeurs numériques suivantes , et .
Solution
L'intensité instantanée complexe s'écrivant, à la pulsation particulière , selon «» peut se réécrire «»[51] ;
on en déduit l'intensité efficace complexe «» dont on tire
la valeur efficace «» soit numériquement en ou «» et
la phase initiale «» ;
en conclusion l'intensité instantanée du courant traversant le conducteur ohmique s'écrit
la tension instantanée de sortie du montage suiveur est égale à la tension d'entrée de ce montage c'est-à-dire la tension instantanée imposée par le générateur et
l'intensité instantanée du courant d'entrée du montage suiveur est nulle l'entrée du montage est donc équivalente à un interrupteur ouvert le courant délivré par le générateur étant d'intensité nulle, la tension instantanée aux bornes du générateur est sa tension à vide c'est-à-dire la f.e.m. instantanée du générateur dont la valeur efficace est fixée dans le cas d'un régime sinusoïdal forcé d'où,
d'après la 1ère propriété, la tension instantanée imposée ausérie branchée à la sortie du montage suiveur est, dans le cas d'un régime sinusoïdal forcé, de valeur efficace fixée égale à la f.e.m. efficace imposée par le générateur et ceci bien que l'intensité instantanée du courant traversant lesérie ne soit pas nulle, ce dernier étant intégralement fourni par l'alimentation stabilisée du montage suiveur si le générateur était branché directement aux bornes du série, le courant d'intensité instantanée traversant ce dernier serait alors fourni par le générateur dont seule la f.e.m. instantanée peut être fixée indépendamment du dipôle entre ses bornes, la tension instantanée entre ses dernières étant avec la résistance de sortie du générateur varierait suivant la valeur d'intensité du courant délivré d'où l'impossibilité d'avoir une valeur efficace de tension aux bornes du série constante dans le cas d'un régime sinusoïdal forcé.
↑ En ayant choisi une expression en cosinus pour la tension délivrée par le générateur B.F..
↑ La résistance de la bobine est faible , la composante résistive de la bobine sera approximativement négligeable devant sa composante inductive si l'intensité du courant la traversant reste faible simultanément à une variation notable de cette dernière, ce qui est quasiment toujours vérifié.
↑ Pour visualiser celle-ci à l'oscilloscope il faut bien sûr permuter la bobine et le condensateur pour qu'une des bornes de ce dernier soit reliée à la masse du montage.
↑ 8,0 et 8,1 C.-à-d. sous forme d'un quotient irréductible de polynômes en .
↑ C.-à-d. telle que le monôme de degré du polynôme en du dénominateur est .
↑ C.-à-d. sous forme d'un quotient irréductible de polynômes en où est la pulsation réduite.
↑ C.-à-d. telle que le monôme de degré du polynôme en du dénominateur est , étant la pulsation réduite.
↑ 12,0 et 12,1 Bien que l'on ne considère plus la variation de la tension efficace complexe aux bornes de la bobine parfaite du série selon la même variable ayant été remplacée par et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation .
↑ On a choisi dans le 1er terme pour que l'argument final ait la plus petite valeur absolue.
↑ Ce qui n'est pas une surprise dans la mesure où la tension aux bornes de la bobine parfaite est en quadrature avance sur l'intensité du courant, conséquence de dont on déduit «» soit, avec «» ainsi que dans lequel on utilise pour obtenir «» et par suite «».
↑ 18,0 et 18,1 Une forme canonique est dite « pratique » quand elle est mise sous forme d'un quotient non nécessairement de polynômes en avec un numérateur indépendant de .
↑ Il s'agissait de la dérivée de relativement à mais peu importe le nom donné à la variable
↑ et variant en sens contraire car est une fonction de .
↑ 21,0 et 21,1 étant toujours positive, sa variation est de même sens que celle de .
↑ et variant en sens contraire, quand de à correspondant à une décroissance de , on a une décroissance de quand de à c'est-à-dire une croissance de quand de à ; et variant en sens contraire, quand de à correspondant à une croissance de , on a une croissance de quand de à c'est-à-dire une décroissance de quand de à ; on vérifie donc bien que passe par un minimum en .
↑ 25,025,125,225,325,425,525,625,7 et 25,8 La notion de filtrage sera vue de façon plus approfondie dans le chap. intitulé « filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2ème partie » de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » mais dès à présent on précise les notions intuitives de « passe-bande » et de « passe-haut » ; on parle de « passe-bande » quand la réponse est d'amplitude « notable » à préciser sur un intervalle de fréquences de largeur finie à borne inférieure non nulle et qu'elle peut être « négligée » à préciser en dehors ; on parle de « passe-haut » quand la réponse est d'amplitude « notable » à préciser sur un intervalle de fréquences de largeur infinie à borne inférieure non nulle et qu'elle peut être « négligée » à préciser en dehors.
↑ 28,028,128,2 et 28,3 La valeur étant la valeur approchée de dont il faut retenir qu'elle existe en étant un peu plus grande que .
↑ Mais nettement moins intéressant que le passe-bande constitué de la réponse en intensité du courant traversant le série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante car la fréquence de résonance dépend du facteur de qualité, ce qui est un handicap à son utilisation.
↑ Bien que l'on ne considère pas la variation de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur du série selon la variable , celle-ci ayant été remplacée par , il ne peut s'agir de la même fonction mais la valeur restant la même et l'usage en physique étant que nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction, nous conservons la même notation pour la fonction, quelle que soit la variable ou .
↑ 35,0 et 35,1 La notion de filtrage sera vue de façon plus approfondie dans le chap. intitulé « filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2ème partie » de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » mais dès à présent on précise les notions intuitives de « passe-bande » et de « passe-bas » ; on parle de « passe-bande » quand la réponse est d'amplitude « notable » à préciser sur un intervalle de fréquences de largeur finie à borne inférieure non nulle et qu'elle peut être « négligée » à préciser en dehors ; on parle de « passe-bas » quand la réponse est d'amplitude « notable » à préciser sur un intervalle de fréquences de largeur finie à borne inférieure nulle et qu'elle peut être « négligée » à préciser en dehors.
↑ 36,0 et 36,1 C.-à-d. échelle logarithmique pour l'axe des fréquences réduites et échelle linéaire pour l'axe des valeurs efficaces ou l'axe des déphasages.
↑ La valeur efficace complexe de la f.e.m. est réelle car la phase initiale de la f.e.m. sinusoïdale est nulle.
↑Léon Charles Thévenin (1857 - 1926) ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « théorème portant son nom » énoncé en .