Leçons de niveau 14

Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : signaux périodiques

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Filtrage linéaire : signaux périodiques
Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : signaux périodiques
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Méthode des trois ampèremètres[modifier | modifier le wikicode]

Montage utilisant trois ampèremètres parfaits et un conducteur ohmique étalon de résistance pour déterminer le facteur de puissance d'un D.P.L. [1] ainsi que la puissance électrique moyenne qu'il consomme en r.s.f. [2]

     On veut déterminer le facteur de puissance d'un D.P.L. [1] alimenté en r.s.f. [2] de pulsation et d'impédance complexe non connue , en utilisant trois ampèremètres supposés parfaits c.-à-d. d'impédance quasi-nulle et un conducteur ohmique étalon de résistance .

     Pour cela on réalise le montage ci-contre où les ampèremètres mesurent les intensités efficaces

  • « du courant traversant l'association parallèle du D.P.L. [1] et du conducteur ohmique étalon »,
  • « du courant traversant le D.P.L. [1] » et
  • « du courant traversant le conducteur ohmique étalon ».

Détermination du facteur de puissance du D.P.L. et de la puissance électrique moyenne qu'il consomme en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer le facteur de puissance du D.P.L. [1] d'impédance non connue en fonction de , et  ;

     en déduire la puissance électrique moyenne consommée par ce dipôle en fonction de , , et .

Application à une installation E.D.F.[modifier | modifier le wikicode]

     Un abonné de l'E.D.F. qui impose des tensions de valeur efficace et de fréquence branche

  • soit une lampe traversée par un courant d'intensité efficace ,
  • soit un moteur à caractère inductif traversé par un courant d'intensité efficace ,
  • soit les deux en parallèle, l'ensemble étant traversé par un courant d'intensité efficace  ;

     en utilisant ce qui précède la lampe jouant le rôle du conducteur ohmique étalon calculer le facteur de puissance du moteur, puis
     en utilisant ce qui précède la lampe jouant le rôle du conducteur ohmique étalon calculer les puissances électriques moyennes consommées respectivement par la lampe et le moteur ;

     quel est le facteur de puissance de l'installation en pleine charge [7] ?

Adaptation d'impédances[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un générateur de tension sinusoïdale de fréquence représenté par le modèle générateur de tension f.e.m. efficace complexe , impédance interne complexe [11] alimentant un D.P.L. [1] caractérisé par son impédance complexe [11], et [11] étant réglables.

Évaluation de l'intensité efficace du courant traversant le D.P.L.[modifier | modifier le wikicode]

     Faire un schéma de situation et

     évaluer l'intensité efficace du courant traversant le D.P.L. [1] en fonction de , , [11], et [11].

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L.[modifier | modifier le wikicode]

     En déduire la puissance électrique moyenne absorbée par le D.P.L. [1] d'utilisation en fonction des mêmes grandeurs que précédemment.

Condition d'adaptation d'impédances du D.P.L. et de la partie passive du générateur[modifier | modifier le wikicode]

     On dit qu'il y a adaptation d'impédance du D.P.L. [1] sur le générateur si l'impédance complexe du D.P.L. [1] est liée à l'impédance complexe interne du générateur telle que la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. [1] est maximale ;

     quelles doivent être les valeurs à donner à et [11] pour que la puissance électrique moyenne absorbée par le dipôle soit maximale on précisera le lien entre [11] et [11].

Calcul de la puissance moyenne et du facteur de puissance d'une installation parallèle (lampes et moteur) connaissant la tension efficace et les caractéristiques énergétiques des différents dipôles, puis ajout d'un condensateur en parallèle pour « relever » le facteur de puissance[modifier | modifier le wikicode]

     Une installation électrique comprend, montés en parallèle et fonctionnant sous une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence  :

  • lampes de puissance électrique moyenne chacune et
  • un moteur électrique de rendement [15], de puissance mécanique récupérable et de facteur de puissance [16].

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge ainsi que son facteur de puissance[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge [7] ainsi que

     Déterminer son facteur de puissance.

Choix du condensateur à mettre en parallèle sur l'installation en pleine charge pour « relever » son facteur de puissance[modifier | modifier le wikicode]

     Pour que l'installateur ne soit pas en infraction vis à vis du distributeur qui exige que le facteur de puissance de toute installation soit [24], l'installateur met, en parallèle sur l'installation, un condensateur de capacité adaptée.

     Déterminer les valeurs possibles de capacité de condensateur à mettre en parallèle sur l'installation précédente pour que le critère imposé par le distributeur soit réalisé.

Chute de tension en ligne entre l'installation et le distributeur, minimisation des pertes en ligne[modifier | modifier le wikicode]

     Une installation électrique comprend, montés en parallèle et fonctionnant sous une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence  :

  • lampes de puissance électrique moyenne de chacune et
  • un moteur électrique de rendement [15], de puissance mécanique récupérable et de facteur de puissance [16].

     On peut établir que l'intensité efficace complexe traversant l'installation en pleine charge [7] est en [28].

     L'installation précédente est reliée à l'usine productrice d'électricité par une ligne équivalente à la fréquence de à un conducteur ohmique de résistance en série avec une bobine parfaite d'inductance propre de réactance .

Détermination de la tension efficace imposée par l'usine productrice d'électricité pour que la tension efficace aux bornes de l'installation soit celle indiquée[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer la tension efficace délivrée par l'usine productrice d'électricité pour que celle aux bornes de l'installation en pleine charge soit .

Proportion de puissance électrique moyenne perdue dans la ligne sur la puissance électrique moyenne consommée dans l'installation en pleine charge, influence du facteur de puissance de cette dernière[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne en fonction de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge , de la tension efficace aux bornes de l'installation , du facteur de puissance de l'installation en pleine charge et de la résistance de la ligne puis

     montrer l'intérêt de « relever » le facteur de puissance c.-à-d. d'avoir un facteur de puissance plus grand à puissance électrique moyenne consommée égale et tension efficace inchangée ; quel facteur de puissance serait idéal pour que les pertes soient les plus faibles possibles.

Influence des divers facteurs pour diminuer au maximum la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne[modifier | modifier le wikicode]

     Comment le distributeur peut-il agir sur les autres facteurs ou pour diminuer au maximum les pertes en ligne ?

Puissance électrique moyenne consommée dans un pont d'impédances[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pont d'impédances en r.s.f. [2] soumis à une tension instantanée d'entrée entre et et de sortie entre et fermée sur un conducteur ohmique de résistance , les D.P.L. [1] du pont étant respectivement à partir de et dans le sens horaire, un condensateur de capacité , une bobine d'auto-inductance , puis les deux mêmes dans le même ordre

     On considère le pont d'impédances ci-contre fonctionnant en r.s.f. [2] sous une tension instantanée d'entrée entre et égale à la f.e.m. instantanée sinusoïdale du générateur de fonction supposé parfait [34], la sortie du pont entre et étant fermée sur un conducteur ohmique de résistance  ;

     le pont est constitué des D.P.L. [1] numérotés de à à partir de dans le sens trigonométrique direct ou anti-horaire suivants :

  • une bobine parfaite d'inductance propre ,
  • un condensateur parfait de capacité ,
  • une bobine parfaite de même inductance propre et
  • un condensateur parfait de même capacité .

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. (réseau dipolaire linéaire passif) formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. [35] formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique et représenté ci-contre, en fonction de , , , et [36].

Recherche d'une condition sur la fréquence pour que la puissance électrique moyenne consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique soit extrémale (par résonance ou anti-résonance)[modifier | modifier le wikicode]

     Pour quelle valeur de la puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. [35] formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique est-elle extrémale ?

     Préciser alors sa valeur ;

     s'agit-il de résonance de puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. [35] c.-à-d. d'un maximum de ou

     s'agit-il d'antirésonance de puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. [35] c.-à-d. d'un minimum de on discutera suivant les valeurs de  ?

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 et 1,23 Dipôle Passif Linéaire.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 et 2,8 Régime Sinusoïdal Forcé.
  3. 3,0 3,1 et 3,2 En effet on choisit la phase à l'origine de la tension commune à ajouter sur le schéma en respectant une convention récepteur la phase à l'origine de l'intensité du courant traversant le conducteur ohmique est aussi nulle d'après la loi d'Ohm.
  4. 4,0 et 4,1 Plus précisément c'est le cosinus de l'avance de phase de la tension commune sur l'intensité du courant traversant le D.P.L. d'impédance qui nous intéresse mais est l'opposé de la phase à l'origine de l'intensité.
  5. 5,0 et 5,1 On rappelle que est, en physique, le complexe conjugué de .
  6. En utilisant la formule d'Euler relative au cosinus ou, en adoptant la notation de l'électricité pour l'imaginaire unité, .
       Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps.
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 et 7,9 C.-à-d. quand tous les éléments de l'installation fonctionne simultanément.
  8. On ne pouvait pas appliquer la formule trouvée à la question précédente, ne connaissant pas .
  9. 9,0 et 9,1 La puissance électrique moyenne consommée par deux dipôles en parallèle est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque dipôle voir le paragraphe « utilisation de la propriété “ la puissance électrique moyenne consommée par une association série est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque élément de l'association ” (remarque) » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  10. On pouvait déterminer le facteur de puissance comme dans la 1ère question de l'exercice en cherchant à évaluer à partir de la loi des nœuds en valeurs efficaces complexes, la connaissance de du moteur ainsi que son caractère inductif la tension aux bornes du moteur est en avance de phase sur l'intensité du courant qui le traverse soit permettent de trouver « en » d'où «» et par suite le facteur de puissance de l'installation en pleine charge vaut «».
  11. 11,00 11,01 11,02 11,03 11,04 11,05 11,06 11,07 11,08 11,09 et 11,10 Usuellement les impédances complexes dépendent de la pulsation par l'intermédiaire de leur réactance, pour simplifier la notation nous ne précisons pas directement la dépendance.
  12. 12,0 et 12,1 Claude Servais Mathias Pouillet (1790 - 1868) physicien et homme politique français, on lui doit essentiellement des travaux portant sur la compressibilité des gaz et sur les lois expérimentales relatives à l'intensité du courant électrique dans un circuit fermé il sut préciser la notion de résistance électrique, montrer que les générateurs sont composés d'une force électromotrice pure et d'une résistance intérieure et il établit la loi qui porte son nom.
  13. 13,0 et 13,1 La loi de Pouillet en complexe s'applique pour déterminer l'intensité instantanée ou efficace complexe du courant circulant dans un circuit série ne comprenant que des D.L. dipôles linéaires en électricité complexe associée au même r.s.f. c.-à-d. que les sources de tension doivent correspondre à la génération de f.e.m. instantanées complexes de même pulsation, elle résulte de l'application de la loi des mailles en complexe avec choix du sens de f.e.m. complexe dans le sens du courant en accord avec l'algébrisation habituelle et s'énonce « en valeurs instantanées complexes » ou « en valeurs efficaces complexes » à retenir et à savoir utiliser sans hésitation exposée une 1ère fois dans le paragraphe « exemple d'utilisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. : pont de type Wheatstone en r.s.f. » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  14. 14,0 et 14,1 Voir le paragraphe « autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'impédance complexe du D.P.L. » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  15. 15,0 et 15,1 Le rendement d'un moteur électrique est le rapport entre la puissance mécanique récupérable et la puissance électrique moyenne consommée par le moteur.
  16. 16,0 16,1 et 16,2 On admet qu'un moteur est inductif ce qui veut dire que sa réactance est inductive, en effet un moteur électrique fonctionne grâce aux phénomènes d'induction dont nous étudierons l'effet moteur dans les sous paragraphes du paragraphe « moment vectoriel du couple électromagnétique agissant sur l'aiguille aimantée dans un champ magnétique dépendant du temps, “ explication de l'effet moteur du champ magnétique tournant agissant sur une aiguille aimantée ” : principe du moteur synchrone » du chap. de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) ».
  17. 17,0 et 17,1 La phase à l'origine de la tension commune ayant été choisie nulle soit .
  18. 18,0 et 18,1 L'intensité du courant traversant le moteur étant retard de phase de sur la tension commune, le moteur étant inductif, elle est donc égale à .