Signaux physiques (PCSI)/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2ème partie

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Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2ème partie
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Chapitre no 34
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 1ère partie
Chap. suiv. :Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre
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Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un quadripôle linéaire en régime sinusoïdal forcé, propriétés fondamentales d'une fonction de transfert « dépendante de la sortie » mais « indépendante de l'entrée »[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un quadripôle linéaire en régime sinusoïdal forcé, propriétés fondamentales d'une fonction de transfert “ dépendante de la sortie ” mais “ indépendante de l'entrée ” » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Diagramme de Bode associé à une fonction de transfert harmonique, courbe de gain et courbe de phase[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « Diagramme de Bode associé à une fonction de transfert harmonique, courbe de gain et courbe de phase » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Différentes fonctions de transfert du 1er ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F.[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « Différentes fonctions de transfert du 1er ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F. » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Différentes fonctions de transfert du 2ème ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F.[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une fonction de transfert du 2ème ordre[modifier | modifier le wikicode]

     Une fonction de transfert est dite du « 2ème ordre »[1] quand, écrite sous forme d'un quotient irréductible de polynômes en, le « dénominateur est un polynôme de degré » ;

     la fonction de transfert sera dite « sous forme normalisée » si le « monôme de degré 0 de est », ainsi une fonction de transfert du « 2ème ordre » s'écrit, « sous forme normalisée », selon

«»[2] avec «», «» et « polynôme de degré , ou »[3].

     Remarque : si le quadripôle ne contient que des « conducteurs ohmiques, bobines et condensateurs », le cœfficient « est , homogène à une constante de temps » et le cœfficient « est aussi , homogène à un carré de constante de temps »[4], on pose alors «» avec définissant la « pulsation propre » du système[5] ainsi que «» avec définissant le « facteur de qualité » du système[6] et la fonction de transfert du « 2ème ordre » peut se réécrire sous forme normalisée selon

«» avec «», «» et « polynôme de degré , ou »[7] ou encore,
en introduisant la « pulsation réduite » se réécrire sous forme normalisée «»[8] ;
la forme canonique réduite d'une fonction de transfert du « 2ème ordre » est donc
« caractérisée par le dénominateur ».

Fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en intensité du courant traversant le conducteur ohmique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la réponse en intensité du courant traversant le conducteur ohmique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable[modifier | modifier le wikicode]

     Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f[9]. de pulsation , « la tension instantanée complexe imposée au série étant »
         Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f. de pulsation , avec « la tension efficace complexe associée ».

     De façon à faire apparaître un transfert de tension plus exactement une amplification complexe en tension en sortie ouverte nous étudions la « réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante », réponse en qui est , de facteur multiplicatif , à l'intensité du courant traversant le conducteur ohmique ou le série en sortie ouverte, l'amplification complexe en tension «»[10] s'obtenant par pont diviseur de tension[11] en sortie ouverte[12] selon « »[10] ou, en multipliant haut et bas par , la forme normalisée usuelle[13] de l'amplification complexe en tension aux bornes du conducteur ohmique en sortie ouverte

«»[10] ;

     introduisant la « pulsation propre »[14] et le « facteur de qualité » du série ainsi que la « pulsation réduite »,
     introduisant on obtient, en « remplaçant par », la « forme canonique réduite et normalisée usuelle[13] de l'amplification complexe en tension aux bornes du conducteur ohmique en sortie ouverte » « »[10],[14] soit,
     introduisant on obtient, en « reconnaissant en l'inverse du facteur de qualité », la « forme canonique réduite et normalisée de l'amplification complexe en tension aux bornes du conducteur ohmique en sortie ouverte écrite sous sa forme usuelle[13] »

«»[8] ;
« le numérateur de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte du série est
sous forme usuelle[13], un monôme en de degré ».

Définition d'une fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Grandeurs canoniques : l'identification du dénominateur de la fonction de transfert écrite sous sa forme normalisée usuelle[13] avec caractérisant un 2ème ordre dans laquelle « est la pulsation réduite », « définissant la pulsation propre » et « le facteur de qualité » du système, permet d'évaluer
     Grandeurs canoniques : la « pulsation propre » par d'où «» et
     Grandeurs canoniques : le « facteur de qualité » par d'où «».

     Réécriture de la fonction de transfert : avec l'introduction de ces deux grandeurs canoniques et celle de la pulsation réduite , la fonction de transfert « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16] se réécrit sous forme canonique réduite usuelle[13] selon

«»[8],[17] avec
« de même homogénéité que le transfert harmonique »,
« définissant la pulsation réduite sans dimension » et
            « définissant le facteur de qualité également sans dimension ».

Autre exemple, filtre de Wien : « R1 série C1 » en série avec « R2 parallèle C2 », sortie ouverte aux bornes de « R2 parallèle C2 » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f[9]. de pulsation , « la tension instantanée complexe d'entrée étant » avec « la tension efficace complexe d'entrée », « étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T[18]. »[11],[19] et « l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte » avec « la tension efficace complexe de sortie ouverte »[10] ;

     on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P[20]. constitué du P.D.T[18]. alimenté en entrée sous et en sortie ouverte aux bornes de l'association «» c'est-à-dire «»[10] que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T[18]. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée »[10],[12] soit « »[10] donnant, en multipliant haut et bas par , l'amplification complexe en tension cherchée «»[10] soit, en développant le dénominateur puis en regroupant les termes,

«»[10]
correspondant effectivement à un 2ème ordre « du type réponse en d'un série
soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ».

     Détermination des grandeurs caractéristiques du filtre de Wien[21] :

  • « pulsation propre » par identification du cœfficient de du dénominateur soit «» d'où «»,
  • « facteur de qualité » par identification du cœfficient de du dénominateur soit «» d'où « » et
  • « facteur » par identification du cœfficient de du numérateur soit «» d'où «».

Rappel des propriétés de la « réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Les propriétés étant les mêmes que celles du filtre prototype « réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable » et leur démonstration se faisant de la même façon, nous vous renvoyons au paragraphe « établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), fréquence de résonance en intensité, nullité du déphasage à la résonance en intensité » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en les rappelant succinctement ci-dessous :

Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Se situant en B.F[24]. si «» ce qui est « approximativement réalisé si »[25],
           Se situant en B.F. si «» nous obtenons l'« équivalent B.F[24]. de la fonction de transfert selon »[26] et
           Se situant en B.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à B.F[24]. » dont nous tirons le « gain en dB à B.F[24]. » équation de la droite croissante de pente avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[27] se confond à B.F[24]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote B.F[24]. » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F[24]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à B.F[24]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote B.F[24]. » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F[24]. »[23] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à B.F[24]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote B.F[24]. »[23].
Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Se situant en H.F[28]. si «» ce qui est « approximativement réalisé si »[29],
           Se situant en H.F. si «» nous obtenons l'« équivalent H.F[28]. de la fonction de transfert selon »[26] et
           Se situant en H.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à H.F[28]. » dont nous tirons le « gain en dB à H.F[28]. » équation de la droite décroissante de pente avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[27] se confond à H.F[28]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote H.F[28]. » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à H.F[28]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à H.F[28]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote H.F[28]. » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à H.F[28]. »[23] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à H.F[28]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote H.F[28]. »[23].

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

Tracé en traits pleins de la courbe de gain du diagramme de Bode[27] d'un 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16] et en tiretés de celle de son diagramme asymptotique dans le cas d'un facteur de qualité et d'un cœfficient

     On trace d'abord les asymptotes B.F[24]. de pente et H.F[28]. de pente « se coupant en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite de résonance et d'ordonnée »[30], l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode[27] asymptotique en tiretés ci-contre ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode[27] en traits pleins ci-contre se confondant avec celle du diagramme de Bode[27] asymptotique en tiretés ci-contre sauf sur « un intervalle de un peu moins d'une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de résonance », il suffit de positionner le « point d'abscisse [31] et d'ordonnée [32] au-dessus du point d'intersection des deux asymptotes » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode[27] ci-contre correspond à un exemple pour lequel le facteur de qualité vaut et le cœfficient de du monôme du numérateur de la fonction de transfert vaut

     Remarques : en partant de la forme canonique réduite pratique[22] de la fonction de transfert, on obtient l'« équation de la courbe de gain du diagramme de Bode[27] sous la forme » montrant
     Remarques : l'invariance du gain en dB lors du changement de en ou,
     Remarques : l'invariance du gain en dB lors du changement de en , ce qui établit que
     Remarques : la courbe de gain du diagramme de Bode[27] est invariante par symétrie axiale relativement à la droite ;
     Remarques : le maximum de la courbe de gain du diagramme de Bode[27] étant sur l'axe de symétrie et
     Remarques : les fréquences de coupure à étant définies par la « même valeur du gain »[33], on en déduit :
     Remarques : « les points de la courbe de gain du diagramme de Bode[27] correspondant aux deux fréquences de coupure à sont symétriques relativement à l'axe de symétrie » et par conséquent
     Remarques : « les fréquences de coupure à ont des logarithmes opposés »[34].

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

     Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase et pour cela il est intéressant de prendre la fonction de transfert réduite sous sa forme canonique pratique[22] «» dont on tire la phase « »[23] qui est une fonction de  ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où « est » ;

Tracé en traits pleins de la courbe de phase du diagramme de Bode[27] d'un 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16] et en tiretés de celle de son diagramme asymptotique dans le cas d'un facteur de qualité et d'un cœfficient

     on trace ensuite les asymptotes B.F[24]. de pente nulle et de valeur et H.F[28]. de pente nulle et de valeur , l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme de Bode[27] asymptotique en tiretés ci-contre ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode[27] en traits pleins ci-contre se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode[27] asymptotique en tiretés ci-contre sauf sur « un intervalle de plus d'une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de résonance »[35], il suffit de positionner le « point d'abscisse [31] à l'ordonnée » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière »[36] ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode[27] ci-contre correspond à celle associée à l'exemple dont on a tracé la courbe de gain pour lequel le facteur de qualité vaut et le cœfficient de du monôme du numérateur de la fonction de transfert

     Remarque : à partir de l'équation de la courbe de phase du diagramme de Bode[27] d'un 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16] « »[23], on remarque que
     Remarque : l'expression devient son opposée lors du changement de en ou,
     Remarque : l'expression devient son opposée lors du changement de en , d'où
     Remarque : la courbe de phase du diagramme de Bode[27] est invariante par symétrie centrale de centre si est ou de centre si est .

Interprétation de « l'équivalent B.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo-dérivateur »[modifier | modifier le wikicode]

     À B.F[24]. c'est-à-dire si la pulsation réduite « est à » ou si la pulsation « est à » ou encore si la fréquence « est à »,
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à » ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par ,
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à »[8] et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension »
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à » dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon

«» ;

     or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f[9]. « multiplier la grandeur instantanée complexe par » est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » d'où «» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales

«» si «».

     En conclusion, à B.F[24]. soit pratiquement «», on observe un fonctionnement « dérivateur » [37] du système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16], cela se manifeste par
           En conclusion, à B.F. soit pratiquement «», on observe une « fonction de transfert à » ou
           En conclusion, à B.F. soit pratiquement «», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente ».

Interprétation de « l'équivalent H.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo intégrateur »[modifier | modifier le wikicode]

     À H.F[28]. c'est-à-dire si la pulsation réduite « est à » ou si la pulsation « est à » ou encore si la fréquence « est à »,
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à » ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par ,
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à »[8] et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension »
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à » dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon

«» ;

     or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f[9]. « multiplier la grandeur instantanée complexe par » est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » et que « diviser la grandeur instantanée complexe par » correspond à « prendre la primitive temporelle de valeur moyenne nulle » [38] d'où «» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales

«» si «».

     En conclusion, à H.F[28]. soit pratiquement «», on observe un fonctionnement « intégrateur » [37] du système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16], cela se manifeste par
           En conclusion, à H.F. soit pratiquement «», on observe une « fonction de transfert à » ou
           En conclusion, à H.F. soit pratiquement «», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente ».

Fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable[modifier | modifier le wikicode]

     Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f[9]. de pulsation , « la tension instantanée complexe imposée au série étant »
         Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f. de pulsation , avec « la tension efficace complexe associée ».

     Nous étudions la « réponse en tension aux bornes du condensateur du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante », et pour cela
     Nous considérons l'amplification complexe en tension en sortie ouverte «»[10] s'obtenant par pont diviseur de tension[11] en sortie ouverte[12] selon « »[10] ou, en multipliant haut et bas par , la forme normalisée usuelle[13] de l'amplification complexe en tension aux bornes du condensateur en sortie ouverte

«»[10] ;

     introduisant la « pulsation propre »[14] et le « facteur de qualité » du série ainsi que la « pulsation réduite »,
     introduisant on obtient, en « remplaçant par », la « forme canonique réduite et normalisée usuelle[13] de l'amplification complexe en tension aux bornes du condensateur en sortie ouverte » « »[10],[14] soit,
     introduisant on obtient, en « reconnaissant en l'inverse du facteur de qualité », la « forme canonique réduite et normalisée de l'amplification complexe en tension aux bornes du condensateur en sortie ouverte écrite sous sa forme usuelle[13] »

«»[8] ;
« le numérateur de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte du série est
sous forme usuelle[13], un monôme en de degré c'est-à-dire une constante ».

Définition d'une fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uC d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Grandeurs canoniques : l'identification du dénominateur de la fonction de transfert écrite sous sa forme normalisée usuelle[13] avec caractérisant un 2ème ordre dans laquelle « est la pulsation réduite », « définissant la pulsation propre du système » et « le facteur de qualité » du système, permet d'évaluer
     Grandeurs canoniques : la « pulsation propre » par d'où «» et
     Grandeurs canoniques : le « facteur de qualité » par d'où «» ;

     Réécriture de la fonction de transfert : avec l'introduction de ces deux grandeurs canoniques et celle de la pulsation réduite , la fonction de transfert « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16] se réécrit sous forme canonique réduite usuelle[13],[39] selon

«»[8] avec
pour « transfert statique [40] de même homogénéité que le transfert harmonique »,
« définissant la pulsation réduite sans dimension » et
            « définissant le facteur de qualité également sans dimension ».

Autre exemple : « L série r » (c'est-à-dire une bobine réelle) en série avec « R parallèle C », sortie ouverte aux bornes de « R parallèle C » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f[9]. de pulsation , « la tension instantanée complexe d'entrée étant » avec « la tension efficace complexe d'entrée », « c'est-à-dire l'impédance complexe de la bobine réelle étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T[18]. »[11],[19] et « l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte » avec « la tension efficace complexe de sortie ouverte »[10] ;

     on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P[20]. constitué du P.D.T[18]. alimenté en entrée sous et en sortie ouverte aux bornes de l'association «» c'est-à-dire «»[10] que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T[18]. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée »[10],[12] soit « »[10] donnant, en multipliant haut et bas par , l'amplification complexe en tension cherchée « » soit, en divisant haut et bas par pour obtenir une forme normalisée

« »[10]
correspondant effectivement à un 2ème ordre « du type réponse en d'un série
soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ».

     Détermination des grandeurs caractéristiques du filtre :

  • « pulsation propre » par identification du cœfficient de du dénominateur soit «» d'où «»,
  • « facteur de qualité » par identification du cœfficient de du dénominateur soit «» d'où « » et
  • « transfert statique » par identification du terme constant du numérateur soit «».

Rappel des propriétés de la « réponse en uC d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Les propriétés étant les mêmes que celles du filtre prototype « réponse en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable » et leur démonstration se faisant de la même façon, nous vous renvoyons au paragraphe « établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en charge (ou tension aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), résonance en charge (sous condition de facteur de qualité suffisant) pour une fréquence inférieure à la fréquence propre, nature du filtre suivant le facteur de qualité » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en les rappelant succinctement ci-dessous :

Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uC d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uC d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Se situant en B.F[24]. si «» ce qui est « approximativement réalisé si »[25],
           Se situant en B.F. si «» nous obtenons l'« équivalent B.F[24]. de la fonction de transfert selon »[26] et
           Se situant en B.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à B.F[24]. » dont nous tirons le « gain en dB à B.F[24]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[27] se confond à B.F[24]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote B.F[24]. » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F[24]. » équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à B.F[24]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote B.F[24]. » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F[24]. »[42] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à B.F[24]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote B.F[24]. »[42].
Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uC d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Se situant en H.F[28]. si «» ce qui est « approximativement réalisé si »[29],
           Se situant en H.F. si «» nous obtenons l'« équivalent H.F[28]. de la fonction de transfert selon »[26] et
           Se situant en H.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à H.F[28]. » dont nous tirons le « gain en dB à H.F[28]. » équation de la droite décroissante de pente avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[27] se confond à H.F[28]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote H.F[28]. » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est » , la « phase à H.F[28]. »[43] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à H.F[28]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote H.F[28]. »[43] ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est » , la « phase à H.F. » équation de la droite parallèle coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à H.F[28]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote H.F[28]. ».

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

Tracé en traits de couleur de la courbe de gain des diagrammes de Bode[27] d'un 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16] suivant la valeur du facteur de qualité en rouge, en vert, en bleu, le transfert statique y valant , celle de leur diagramme asymptotique commun étant tracée en traits noirs gras

     On trace d'abord les asymptotes B.F[24]. de pente nulle et H.F[28]. de pente « se coupant en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite propre[44] », l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode[27] asymptotique en traits noirs gras ci-contre ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode[27] en traits de couleur ci-contre se confondant avec celle du diagramme de Bode[27] asymptotique en traits noirs gras ci-contre sauf sur « un intervalle de un peu moins d'une décade de part et d'autre de la fréquence réduite propre », il suffit, pour obtenir un tracé de la courbe de gain de ce diagramme de Bode[27], de positionner le « point d'abscisse [31] et d'ordonnée [45], au-dessus du point d'intersection des deux asymptotes » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » en utilisant
             la courbe de gain du diagramme de Bode l'absence de résonance si ou
             la courbe de gain du diagramme de Bode la présence                    si , la fréquence réduite de résonance étant d'autant plus proche de en lui restant inférieure que est grand ;

     la courbe de gain des diagrammes de Bode[27] ci-contre correspond à des exemples pour lesquels le transfert statique et le facteur de qualité vaut

  • « donnant une résonance aiguë avec une fréquence réduite de résonance », la courbe en rouge correspondant à un passe-bande,
  • « donnant une résonance floue avec une fréquence réduite de résonance », la courbe en vert correspondant à un passe-bande très peu sélectif et
  • « avec absence de résonance », la courbe en bleu correspondant à un passe-bas.


Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

Tracé en traits de couleur de la courbe de phase des diagrammes de Bode[27] d'un 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16] suivant la valeur du facteur de qualité en rouge, en vert, en bleu, le transfert statique y valant , celle de leur diagramme asymptotique commun étant tracée en traits noirs gras

     Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase, l'expression de cette dernière ayant été obtenue au paragraphe « rappel des propriétés de la réponse en uC d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » plus haut dans ce chapitre en prenant l'argument de la fonction de transfert écrite selon «» et ayant donné «» avec «»[42] établissant que la phase est une fonction de  ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où « est » ;

     on trace ensuite les asymptotes B.F[24]. de pente nulle et de valeur et H.F[28]. de pente nulle et de valeur , l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme de Bode[27] asymptotique en traits noirs gras ci-contre ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode[27] en traits de couleur ci-contre se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode[27] asymptotique en traits noirs gras ci-contre sauf sur « un intervalle de plus d'une décade de part et d'autre de la fréquence réduite propre »[35], il suffit de positionner le « point d'abscisse [31] à l'ordonnée » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière »[36] ;

     la courbe de phase des diagrammes de Bode[27] ci-contre correspond à celle associée aux exemples dont on a tracé la courbe de gain pour lequel le transfert statique vaut , le facteur de qualité vaut

  • « avec une variation très rapide autour de la fréquence réduite propre », en couleur rouge,
  • « avec une variation moins rapide autour de la fréquence réduite propre et une approche plus lente des asymptotes », en couleur verte et
  • « avec une variation à peine plus rapide autour de la fréquence réduite propre qu'elle n'est au voisinage des asymptotes », en couleur bleue

Interprétation de « l'équivalent H.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo-double-intégrateur »[modifier | modifier le wikicode]

     À H.F[28]. c'est-à-dire si la pulsation réduite « est à » ou si la pulsation « est à » ou encore si la fréquence « est à »,
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à » ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par ,
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à »[8] et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension »
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à » d'où la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon

«» ;

     or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f[9]. « multiplier la grandeur instantanée complexe par » est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle », que « diviser la grandeur instantanée complexe par » correspond à « prendre la primitive temporelle de valeur moyenne nulle » [38] et que « diviser la grandeur instantanée complexe par » revient à « prendre successivement deux fois de suite la primitive temporelle de valeur moyenne nulle »[46] d'où «» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales

«» si «».

     En conclusion, à H.F[28]. soit pratiquement «», on observe un fonctionnement « double-intégrateur » [37] du système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16], cela se manifeste par
           En conclusion, à H.F. soit pratiquement «», on observe une « fonction de transfert à » ou
           En conclusion, à H.F. soit pratiquement «», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente ».

Fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en tension aux bornes de bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable (traitée en exercice)[modifier | modifier le wikicode]

     Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f[9]. de pulsation , « la tension instantanée complexe imposée au série étant »
          Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f. de pulsation , avec « la tension efficace complexe associée ».

     Nous étudions la « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante », et pour cela
     Nous considérons l'amplification complexe en tension en sortie ouverte «»[10] s'obtenant par pont diviseur de tension[11] en sortie ouverte[12] selon « »[10] ou, en multipliant haut et bas par , la forme normalisée usuelle[13] de l'amplification complexe en tension aux bornes de la bobine parfaite en sortie ouverte

«»[10] ;

     introduisant la « pulsation propre »[14] et le « facteur de qualité » du série ainsi que la « pulsation réduite »,
     introduisant on obtient, en « remplaçant par », la « forme canonique réduite et normalisée usuelle[13] de l'amplification complexe en tension aux bornes de la bobine parfaite en sortie ouverte » « »[10],[14] soit,
     introduisant on obtient, en « reconnaissant en l'inverse du facteur de qualité », la « forme canonique réduite et normalisée de l'amplification complexe en tension aux bornes du condensateur en sortie ouverte écrite sous sa forme usuelle[13] »

«»[8] ;
« le numérateur de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte du série est
sous forme usuelle[13], un monôme en de degré ».

Définition d'une fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uL d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Grandeurs canoniques : l'identification du dénominateur de la fonction de transfert écrite sous sa forme normalisée usuelle[13] avec caractérisant un 2ème ordre dans laquelle « est la pulsation réduite », « définissant la pulsation propre du système » et « le facteur de qualité » du système, permet d'évaluer
     Grandeurs canoniques : la « pulsation propre » par d'où «» et
     Grandeurs canoniques : le « facteur de qualité » par d'où «» ;

     Réécriture de la fonction de transfert : avec l'introduction de ces deux grandeurs canoniques et celle de la pulsation réduite , la fonction de transfert « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16] se réécrit sous forme canonique réduite usuelle[13] selon

«»[8] avec
«[47] de même homogénéité que le transfert harmonique »,
« définissant la pulsation réduite sans dimension » et
            « définissant le facteur de qualité également sans dimension ».

Autre exemple : « R1 série C » en série avec « R2 parallèle L », sortie ouverte aux bornes de « R2 parallèle L » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f[9]. de pulsation , « la tension instantanée complexe d'entrée étant » avec « la tension efficace complexe d'entrée », « étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T[18]. »[11],[19] et « l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte » avec « la tension efficace complexe de sortie ouverte »[10] ;

     on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P[20]. constitué du P.D.T[18]. alimenté en entrée sous et en sortie ouverte aux bornes de l'association «» c'est-à-dire «»[10] que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T[18]. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée »[10],[12] soit « »[10] donnant, en multipliant haut et bas par , l'amplification complexe en tension cherchée « » soit, en divisant haut et bas par pour obtenir une forme normalisée

« »[10]
correspondant effectivement à un 2ème ordre « du type réponse en d'un série
soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ».

     Détermination des grandeurs caractéristiques du filtre :

  • « pulsation propre » par identification du cœfficient de du dénominateur soit «» d'où «»,
  • « facteur de qualité » par identification du cœfficient de du dénominateur soit «» d'où « » et
  • « cœfficient de du numérateur » par identification du cœfficient de du numérateur soit «» d'où « ».

Rappel des propriétés de la « réponse en uL d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Les propriétés étant les mêmes que celles du filtre prototype « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable » et leur démonstration se faisant de la même façon, nous vous renvoyons à l'exercice « réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, lien avec la réponse en tension aux bornes du condensateur » de la série dans le cadre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en les rappelant succinctement ci-dessous :

  • il y a résonance conditionnelle en grandeur de sortie du système pour une fréquence de résonancesupérieure à sa fréquence propre « si » et, « si », le gain est une fonctionde la fréquence ; pour établir ceci il faut mettre le gain sous la forme «» avec «»[48] et étudier la variation de avec en calculant sa dérivée relativement à , la variation de relativement à étant alors l'inverse de celle obtenue relativement à , revoir la question « recherche d'une éventuelle résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite du R L C série » de l'exercice de la série dans le cadre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la valeur du gain pour la fréquence propre étant « », le gain à la résonance en grandeur de sortie si est «» ;
  • la phase à la résonance en grandeur de sortie si n'est pas une valeur remarquable, la phase s'obtenant à partir de la forme canonique usuelle dans le dénominateur de laquelle on a mis en facteur pour que l'autre facteur ait une partie réelle positive[41] soit « » «» avec « »[49], la valeur de la phase pour la fréquence propre étant «»[49], revoir la question « phase à l'origine de la tension aux bornes de la bobine parfaite du R L C série » de l'exercice de la série dans le cadre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
  • le filtre est un passe-haut pour une faible valeur du facteur de qualité pour et
    le filtre est un passe-bande pour une valeur notable du facteur de qualité pour avec une fréquence de résonance supérieure à la fréquence propre, résonance d'autant plus aiguë queest grand, la fréquence de résonance tendant vers la fréquence propre pour les grandes valeurs du facteur de qualité simultanément à l'acuité de la résonance tendant vers ,
    le filtre est un passe-revoir la question « nature du filtre suivant le facteur de qualité (de la réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série) » de l'exercice de la série dans le cadre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »,
    le filtre est un passe-par contre le comportement à grand facteur de qualité n'ayant pas été abordé dans l'exercice « précité » de la série dans le cadre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » mais les propriétés étant semblables à celles obtenues pour la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante, elles peuvent être admises sans difficulté sachant que les démonstrations laborieuses pourraient être aisément faites par analogie

Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uL d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uL d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Se situant en B.F[24]. si «» ce qui est « approximativement réalisé si »[25],
           Se situant en B.F. si «» nous obtenons l'« équivalent B.F[24]. de la fonction de transfert selon »[26] et
           Se situant en B.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à B.F[24]. » dont nous tirons le « gain en dB à B.F[24]. » équation de la droite croissante de pente avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[27] se confond à B.F[24]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote B.F[24]. » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F[24]. » équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à B.F[24]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote B.F[24]. » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F[24]. »[49] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à B.F[24]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote B.F[24]. »[49].
Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uL d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Se situant en H.F[28]. si «» ce qui est « approximativement réalisé si »[29],
           Se situant en H.F. si «» nous obtenons l'« équivalent H.F[28]. de la fonction de transfert selon »[26] et
           Se situant en H.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à H.F[28]. » dont nous tirons le « gain en dB à H.F[28]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[27] se confond à H.F[28]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote H.F[28]. » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est » , la « phase à H.F[28]. »[50] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à H.F[28]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote H.F[28]. »[50] ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est » , la « phase à H.F. » équation de la droite parallèle coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à H.F[28]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote H.F[28]. ».

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

Tracé en traits de couleur de la courbe de gain des diagrammes de Bode[27] d'un 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16] suivant la valeur du facteur de qualité en rouge, en vert, en bleu, le cœfficient de du numérateur y valant , celle de leur diagramme asymptotique commun étant tracée en traits noirs gras

     On trace d'abord les asymptotes B.F[24]. de pente et H.F[28]. de pente nulle « se coupant en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite propre[51] », l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode[27] asymptotique en traits noirs gras ci-contre ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode[27] en traits de couleur ci-contre se confondant avec celle du diagramme de Bode[27] asymptotique en traits noirs gras ci-contre sauf sur « un intervalle de un peu moins d'une décade de part et d'autre de la fréquence réduite propre », il suffit, pour obtenir un tracé de la courbe de gain de ce diagramme de Bode[27], de positionner le « point d'abscisse [31] et d'ordonnée [52], au-dessus du point d'intersection des deux asymptotes » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » en utilisant
             la courbe de gain du diagramme de Bode l'absence de résonance si ou
             la courbe de gain du diagramme de Bode la présence                    si , la fréquence réduite de résonance étant d'autant plus proche de en lui restant supérieure que est grand ;

     la courbe de gain des diagrammes de Bode[27] ci-contre correspond à des exemples pour lesquels le cœfficient de du numérateur et le facteur de qualité vaut

  • «  donnant une résonance aiguë avec une fréquence réduite de résonance », la courbe en rouge correspondant à un passe-bande,
  • «  donnant une résonance floue avec une fréquence réduite de résonance », la courbe en vert correspondant à un passe-bande très peu sélectif et
  • «  avec absence de résonance », la courbe en bleu correspondant à un passe-haut.


Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

Tracé en traits de couleur de la courbe de phase des diagrammes de Bode[27] d'un 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16] suivant la valeur du facteur de qualité en rouge, en vert, en bleu, le cœfficient de du numérateur y valant , celle de leur diagramme asymptotique commun étant tracée en traits noirs gras

     Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase, l'expression de celle-ci ayant été obtenue au paragraphe « rappel des propriétés de la réponse en uL d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » plus haut dans ce chapitre en prenant l'argument de la fonction de transfert écrite selon « » et ayant donné « » avec « »[49] établissant que la phase est une fonction de  ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où est  ;

     on trace ensuite les asymptotes B.F[24]. de pente nulle et de valeur et H.F[28]. de pente nulle et de valeur , l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme de Bode[27] asymptotique en traits noirs gras ci-contre ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode[27] en traits de couleur ci-contre se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode[27] asymptotique en traits noirs gras ci-contre sauf sur « un intervalle de plus d'une décade de part et d'autre de la fréquence réduite propre »[35], il suffit de positionner le « point d'abscisse [31] à l'ordonnée » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière »[36] ;

     la courbe de phase des diagrammes de Bode[27] ci-contre correspond à celle associée aux exemples dont on a tracé la courbe de gain pour lequel le cœfficient de du numérateur vaut , le facteur de qualité vaut

  • « avec une variation très rapide autour de la fréquence réduite propre », en couleur rouge,
  • « avec une variation moins rapide autour de la fréquence réduite propre et une approche plus lente des asymptotes », en couleur verte et
  • « avec une variation à peine plus rapide autour de la fréquence réduite propre qu'elle n'est au voisinage des asymptotes », en couleur bleue

Interprétation de l'« équivalent B.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo-double-dérivateur »[modifier | modifier le wikicode]

     À B.F[24]. c'est-à-dire si la pulsation réduite « est à » ou si la pulsation « est à » ou encore si la fréquence « est à »,
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à » ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par ,
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à »[8] et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension »
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à » d'où la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon

«» ;

     or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f[9]. « multiplier la grandeur instantanée complexe par » est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » et que « multiplier la grandeur instantanée complexe par » correspond à « effectuer une dérivation temporelle seconde » d'où «» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales

«» si «».

     En conclusion, à B.F[24]. soit pratiquement «», on observe un fonctionnement « double-dérivateur » [37] du système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[16], cela se manifeste par
           En conclusion, à B.F. soit pratiquement «», on observe une « fonction de transfert à » ou
           En conclusion, à B.F. soit pratiquement «», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente ».

En complément, fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en tension aux bornes de l'ensemble condensateur - bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », notion de coupe-bande (ou réjecteur de fréquences)[modifier | modifier le wikicode]

Réponse en tension aux bornes de l'ensemble « condensateur - bobine parfaite » d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable[modifier | modifier le wikicode]

     Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f[9]. de pulsation , « la tension instantanée complexe imposée au série étant »
         Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f. de pulsation , avec « la tension efficace complexe associée ».

     Nous étudions la « réponse en tension aux bornes de l'ensemble « bobine parfaite – condensateur » du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » et
     Nous considérons l'amplification complexe en tension en sortie ouverte «»[10].

Établissement de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de l'ensemble « condensateur - bobine parfaite » d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable[modifier | modifier le wikicode]

     L'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de l'ensemble « bobine parfaite – condensateur » d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable «»[10] s'obtient par pont diviseur de tension[11] en sortie ouverte[12] « »[10] soit, en multipliant haut et bas par la forme normalisée usuelle[13] de l'amplification complexe en tension aux bornes de l'ensemble « bobine parfaite – condensateur » en sortie ouverte

«»[10] ;

     introduisant la « pulsation propre »[14] et le « facteur de qualité » du série ainsi que la « pulsation réduite »,
     introduisant on obtient, en remplaçant « remplaçant par », la « forme canonique réduite et normalisée usuelle[13] de l'amplification complexe en tension aux bornes de l'ensemble “ bobine parfaite – condensateur ” en sortie ouverte » «»[14] soit,
     introduisant on obtient, en « reconnaissant en l'inverse du facteur de qualité », la « forme canonique réduite et normalisée de l'amplification complexe en tension aux bornes de l'ensemble “ bobine parfaite – condensateur ” en sortie ouverte écrite sous sa forme usuelle[13] »

«»[8] ;
« le numérateur de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte du série est
sous forme usuelle[13], un polynôme en de degré sans terme du 1er degré ».
Propriétés du système « condensateur - bobine parfaite » d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable découlant de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes du système[modifier | modifier le wikicode]

     Contrairement aux exemples précédents de pont diviseur de tension[11] construit à l'aide d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable, exemples ayant été étudiés en cours ou en exercices et pour lesquels un simple rappel suffisait, celui de pont diviseur de tension de sortie aux bornes de l'ensemble « bobine parfaite – condensateur » n'ayant pas été antérieurement examiné, il est donc nécessaire de commencer par rechercher ses propriétés

Existence d'antirésonance de la tension aux bornes du système « condensateur - bobine parfaite » pour la fréquence propre du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable quel que soit le facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]

     De «» on déduit que « le numérateur s'annule pour », correspondant à un « minimum du gainà valeur nullepour la fréquence propre »,
     De «» on déduit que « la tension aux bornes de l'association série “ bobine parfaite – condensateur ” » entre en « antirésonance » [53] pour la fréquence propre,
                                                                                 on déduit que le minimum étant à valeur nulle ; il y a donc disparition du signal de sortie pour la fréquence propre.

Variation du gain en tension du système « condensateur - bobine parfaite » du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante en fonction de la fréquence, nature « coupe-bande » du filtre, bande non passante à -3dB et acuité de l'antirésonance[modifier | modifier le wikicode]

     Pour une information plus complète il convient d'obtenir le sens de variation du gain, cette recherche étant simplifiée à partir d'une forme canonique pratique[22] de la fonction de transfert, nécessitant,

  • dans un 1er temps, de diviser haut et bas par «»[10] puis,
  • dans un 2ème temps, transformer le terme du dénominateur autre que  en divisant haut et bas par  «»
    d'où la forme canonique pratique[22] de cette fonction de transfert
    «»[10].

     Le gain s'écrit donc «»[10] faisant apparaître le « paramètre grandeur de »[54] d'où
                                                                                                                             Le gain s'écrit donc la réécriture du gain selon «»[10]
                                                                                                                             Le gain s'écrit donc permettant de faire une étude semblable à celle utilisée pour la réponse en  :

      pour « de à » « de à » « de à » « de à », le « dénominateur de de à » d'où
      pour « de à » « de à » ;

      pour « de à » « de à » « de à » « de à », le « dénominateur de de à » d'où
      pour « de à » « de à » ;

     en résumé, « le gain est puis de part et d'autre de son minimum obtenu pour la fréquence propre, minimum à valeur nulle », « les gains à B.F[24]. et à H.F[28]. étant égaux à » ;

ce filtre définit un coupe-bandeou réjecteur de fréquences de « fréquence d'antirésonance[53] égale à sa fréquence propre » ;

     en résumé « les fréquences de coupures à sont situées de part et d'autre de » et
     en résumé « le domaine passant à » [55] étant «» ne permet pas de définir une « bande passante à » [56] mais
           en résumé « le domaine passant à » étant «» autorise la définition d'une « bande non passante à » définie comme la largeur de l'intervalle non passant
           en résumé « le domaine passant à » étant «» autorise la définition d'une « bande non passante à » «» ;

     en résumé d'une part « les fréquences réduites de coupures à sont définies par » avec «» et
     en résumé d'autre part «» d'où
     en résumé d'autre part l'équation en suivante «» se réduisant en « » ou «» c'est-à-dire les mêmes équations que celles recherchant les fréquences réduites de coupure à du filtre passe-bande du 2ème ordre voir les paragraphes « fréquences de coupure à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » et « bande passante à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », on en déduit donc que

« la bande non passante à » vaut «»,
d'où l'« acuité de l'antirésonance[53] »,
« l'intervalle non passant étant d'autant plus étroit [57] que le facteur de qualité est élevé ».
Variation de la phase du système « condensateur - bobine parfaite » du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante en fonction de la fréquence, discontinuité de la phase lors du passage par la fréquence d'antirésonance de la tension aux bornes du système, valeurs particulières de la phase pour les fréquences de coupure à -3dB[modifier | modifier le wikicode]

     La « phase du système “ condensateur - bobine parfaite ” d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et en sortie ouverte »[10] se détermine, en fonction de la « fréquence réduite », en prenant l'argument de la forme canonique pratique[22] de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte « »[10] soit « »[10] et finalement

«»[10]
« est une fonction de »[54].

     D'une part, de «»[10] on déduit que « est une fonction de »[58] donc
     D'une part, de «» on déduit que « est une fonction de [54] et

     d'autre part [10] « n'est pas définie pour c'est-à-dire pour la pulsation réduite propre » et
           d'autre part « ne peut pas être définie pour » car elle y est discontinue de 1ère espèce[59] en effet
           d'autre part « ne peut pas être définie pour » « si » et par suite «» et
           d'autre part « ne peut pas être définie pour » « si » et par suite «».

     Finalement « sur la phase de à » et
     Finalement « sur la phase de à » ;

     enfin pour les pulsations réduites de coupure à , la « phase vaut »[10],[60].

Définition d'un coupe-bande du 2ème ordre « du type réponse en uL, C d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Grandeurs canoniques : l'identification du dénominateur de la fonction de transfert écrite sous sa forme normalisée usuelle[13] avec caractérisant un 2ème ordre dans laquelle « est la pulsation réduite », « définissant la pulsation propre » et « le facteur de qualité » du système, permet d'évaluer
     Grandeurs canoniques : la « pulsation propre » par d'où «» et
     Grandeurs canoniques : le « facteur de qualité » par d'où «».

     Réécriture de la fonction de transfert : avec l'introduction de ces deux grandeurs canoniques et celle de la pulsation réduite , la fonction de transfert « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » se réécrit sous forme canonique réduite usuelle[13] selon

«»[8] avec
« le transfert statique [61] de même homogénéité que le transfert harmonique »,
« définissant la pulsation réduite sans dimension » et
« le facteur de qualité également sans dimension ».

Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uL, C d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uL, C d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Se situant en B.F[24]. si «» ce qui est « approximativement réalisé si »[25],
           Se situant en B.F. si «» nous obtenons l'« équivalent B.F[24]. de la fonction de transfert selon »[26] et
           Se situant en B.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à B.F[24]. » dont nous tirons le « gain en dB à B.F[24]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[27] se confond à B.F[24]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote B.F[24]. » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F[24]. » équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à B.F[24]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote B.F[24]. » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F[24]. »[62] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à B.F[24]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote B.F[24]. »[62].
Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en uL, C d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Se situant en H.F[28]. si «» ce qui est « approximativement réalisé si »[29],
           Se situant en H.F. si «» nous obtenons l'« équivalent H.F[28]. de la fonction de transfert selon »[26] et
           Se situant en H.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à H.F[28]. » dont nous tirons le « gain en dB à H.F[28]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[27] se confond à H.F[28]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote H.F[28]. » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la «phase à H.F[28]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à H.F[28]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote H.F[28]. » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à H.F[28]. »[63] équation de la droite parallèle coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[27] se confond à H.F[28]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[27] admet pour « équation de l'asymptote H.F[28]. »[63].

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode[27] d'un 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour un transfert statique et un facteur de qualité

     Ci-contre la courbe de gain du diagramme de Bode[27] d'un 2ème ordre du « type réponse en tension aux bornes de l'ensemble “ condensateur - bobine parfaite ” d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable » avec un « transfert statique »[64] et un « facteur de qualité »[65] ;

     en plus des asymptotes B.F[24]. et H.F[28]. d'« équation commune », on observe
     en plus une asymptote parallèle à l'axe des gains en dB d'« équation » traduisant l'« existence d'une antirésonance[53] à gain nul ou à gain en dB infini» ;
     on vérifie la nature du filtre « coupe-bande ou réjecteur de fréquences» sur la courbe de gain du diagramme de Bode[27] ci-contre ;

     avec ce facteur de qualité les fréquences réduites de coupure à valent
     avec ce facteur de qualité «»[66] et
     avec ce facteur de qualité «»[66],
     avec ce facteur de qualité la bande non passante à en fréquence réduite étant

«»[67] ;

     avec ce facteur de qualité on vérifie l'expression de l'« acuité de l'antirésonance[53] ».

     Remarques : en partant de la forme canonique réduite pratique[22] de la fonction de transfert «», on obtient l'« équation de la courbe de gain du diagramme de Bode[27] sous la forme » montrant
     Remarques : l'invariance du gain en dB lors du changement de en ou,
     Remarques : l'invariance du gain en dB lors du changement de en , ce qui établit que
     Remarques : la courbe de gain du diagramme de Bode[27] est invariante par symétrie axiale relativement à la droite ;
     Remarques : les fréquences de coupure à étant définies par la « même valeur du gain »[33], on en déduit :
     Remarques : « les points de la courbe de gain du diagramme de Bode[27] correspondant aux deux fréquences de coupure à sont symétriques relativement à l'axe de symétrie » et par conséquent
     Remarques : « les fréquences de coupure à ont des logarithmes opposés »[68].

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode[27] d'un 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour un transfert statique et un facteur de qualité

     Ci-contre la courbe de phase du diagramme de Bode[27] d'un 2ème ordre du « type réponse en tension aux bornes de l'ensemble “ condensateur - bobine parfaite ” d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable » avec un « transfert statique »[64] et un « facteur de qualité »[65] ;

     en plus des asymptotes B.F[24]. et H.F[28]. d'« équation commune », on observe
     en plus une « discontinuité de 1ère espèce »[59] de saut égal à lors de l'antirésonance[53] de gain de valeur nulle pour la fréquence réduite propre .

     Remarques : Avec un transfert statique négatif, la courbe de phase serait celle tracée ci-contre après une translation de parallèlement à l'axe des phases dans le sens croissant de ce dernier, ainsi
     Remarques : Avec un transfert statique négatif, la phase à la fréquence serait égale à et
           Remarques : Avec un transfert statique négatif, celle à la fréquence serait égale à  ;

     Remarques : à partir de l'« équation de la courbe de phase du diagramme de Bode[27] de la fonction de transfert de forme canonique réduite pratique[22] à savoir »[62],[63], on peut faire les constatations suivantes :
     Remarques : l'expression devient son opposée lors du changement de en ou,
                                                  Remarques : l'expression devient son opposée lors du changement de en , ce qui établit que
     Remarques : la courbe de phase du diagramme de Bode[27] est invariante par symétrie centrale relativement au point si est ou
           Remarques : la courbe de phase du diagramme de Bode est invariante par symétrie centrale relativement au point si est .

Système du 1er ordre fondamental et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « Système du 1er ordre fondamental et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Système du 1er ordre non fondamental avec transfert statique nul et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « Système du 1er ordre non fondamental avec transfert statique nul et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdall » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Système du 2ème ordre « du type réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante » et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la définition de la réponse fréquentielle d'un filtre linéaire à un signal sinusoïdal de pulsation ω[modifier | modifier le wikicode]

     Définition donnée dans le paragraphe « Réponse fréquentielle d'un filtre linéaire à un signal sinusoïdal de pulsation ω » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » et rappelée ci-dessous :

     Étant donné un filtre linéaire de fonction de transfert et un signal sinusoïdal de pulsation variable et de valeur efficace fixée, on appelle

« réponse fréquentielle de ce filtre au signal sinusoïdal de valeur efficace complexe »,
l'« ensemble des valeurs efficaces complexes du signal de sortie c'est-à-dire ».

Réponse fréquentielle d'un système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante » à un signal sinusoïdal de pulsation ω[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension de valeur efficace constante »[16] « » avec « homogène au transfert harmonique multiplié par un temps », de « pulsation propre » et de « facteur de qualité sans dimension »,
     l'équation différentielle en associée au signal instantané complexe d'entrée se retrouve
     l'équation différentielle en à partir de la fonction de transfert en égalant les extrêmes et les moyens «» d'une part et
     l'équation différentielle en à partir de la fonction de transfert en remplaçant la « multiplication par » par la « dérivation temporelle » et
     l'équation différentielle en à partir de la fonction de transfert en remplaçant la « multiplication par » par la « dérivation temporelle seconde » d'autre part d'où
     l'équation différentielle en «» soit,
     l'équation différentielle en en revenant aux grandeurs sinusoïdales et en ordonnant, «»[69],[70].

     La « réponse fréquentielle du filtre du 2ème ordre “ du type réponse en d'un série soumis à une tension de valeur efficace constante ”[16] au signal sinusoïdal de pulsation variable et de valeur efficace fixée[71] est l'« ensemble des valeurs efficaces complexes du signal de sortie » soit

«».

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante » à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle[modifier | modifier le wikicode]

     Connaissant la « réponse fréquentielle dont la forme trigonométrique s'écrit », on obtient
     Connaissant la « réponse temporelle » en « revenant à la grandeur sinusoïdale associée à la grandeur instantanée complexe » selon

«» avec
                      «» où
                                                                                                             « est le gain du filtre » et
                              «» où
                                                                                                                               « est la phase du filtre » ;

     il est intéressant de « comparer cette réponse temporelle au signal d'entrée » suivant la valeur de la pulsation de ce dernier
     il est intéressant connaissant le diagramme de Bode[27], la « pulsation propre », le « facteur de qualité » ainsi que le « gain à la résonance »[72] du filtre :

     il est intéressant « à B.F[24]. c'est-à-dire si », l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant » nous en déduisons
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », son « équivalent en équation différentielle » établissant que
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », la réponse temporelle est égale à la dérivée du signal d'entrée multipliée par le cœfficient[73],
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », le système du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension de valeur efficace constante »[16] étant en effet équivalent, à B.F[24]., à un circuit pseudo-dérivateur[74],
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », en accord avec l'existence d'une asymptote B.F[24]. de la courbe de gain du diagramme de Bode[27] de pente,

     il est intéressant « à H.F[28]. c'est-à-dire si », l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant »[72] nous en déduisons
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », son « équivalent en équation différentielle » ou,
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », en prenant les primitives de valeur moyenne nulle de chaque membre «» puis, de nouveau,
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », en prenant les primitives de valeur moyenne nulle de chaque membre «» ou encore
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », en prenant les primitives de valeur moyenne nulle de chaque membre «»[72]
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », la réponse temporelle est égale à la primitivede valeur moyenne nulledu signal d'entrée au facteur multiplicatif près[72],[75],
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », le système du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension de valeur efficace constante »[16] étant en effet équivalent, à H.F[28]., à un circuit pseudo-intégrateur[76],
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », en accord avec l'existence d'une asymptote H.F[28]. de la courbe de gain du diagramme de Bode[27] de pente,

     il est intéressant « à fréquence voisine de la fréquence propre c'est-à-dire si » ou ou encore, « en travaillant à près », c'est-à-dire les deux inéquations ou en utilisant la fréquence réduite et en normalisant les inéquations soit enfin, «» les valeurs limites de cette zone de résonance étant «» et «» dans la mesure où « est à » ce qui est usuellement réalisé dès lors qu'on s'intéresse à un passe-bande[77],
     il est intéressant « à fréquence voisine de la fréquence propre l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant »[72] nous en déduisons
     il est intéressant « à fréquence voisine de la fréquence propre son « équivalent en équation différentielle » ou,
     il est intéressant « à fréquence voisine de la fréquence propre en prenant les primitives de valeur moyenne nulle de chaque membre «» ou encore
     il est intéressant « à fréquence voisine de la fréquence propre en prenant les primitives de valeur moyenne nulle de chaque membre «»[72] établissant que
     il est intéressant « à fréquence voisine de la fréquence propre la réponse temporelle est approximativement égale au signal d'entréeou à son opposémultiplié par le gain maximal du filtre[78],[79].

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante » à une somme finie de signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes à partir des réponses fréquentielles de chaque composante de la somme finie de signaux[modifier | modifier le wikicode]

Rappel du théorème de superposition[modifier | modifier le wikicode]

     Théorème mentionné dans le paragraphe « enoncé du théorème de superposition » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » et rappelé ci-dessous :

     Dans une équation différentielle linéaire dont l'excitation est une somme d'excitations distinctes, « la réponse forcée de l'équation différentielle à l'excitation somme est la somme des réponses forcées de l'équation différentielle à chaque excitation prise individuellement ».

Réponse temporelle d'un système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante » à une somme finie de signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes à partir des réponses fréquentielles de chaque composante de la somme finie de signaux[modifier | modifier le wikicode]

     Le système étant linéaire, on peut lui appliquer le théorème de superposition[80] et
     Le système étant linéaire, on en déduit que « la réponse temporelle à une somme finie de signaux sinusoïdaux est la somme des réponses temporelles à chaque signal sinusoïdal pris individuellement » pour chacune de ces dernières on peut appliquer les résultats du paragraphe « détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 2ème ordre “ du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante ” à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle »

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante » à un signal périodique non sinusoïdal à partir des réponses fréquentielles de chaque harmonique du signal[modifier | modifier le wikicode]

Obtention de la réponse fréquentielle du filtre à un signal d'entrée périodique non sinusoïdal et rappel de la méthode à utiliser pour en déduire la réponse temporelle[modifier | modifier le wikicode]

     On associe au signal périodique d'entrée de fréquence sa représentation fréquentielle [81] et

     on applique de nouveau le théorème de superposition[80], chaque harmonique du signal d'entrée donnant en sortie l'harmonique de même fréquence et de valeur efficace complexe « », la composante permanente[82] du signal de sortie étant nulle par absence de transfert statique du filtre soit «»,
            on applique de nouveau le théorème de superposition, l'« ensemble définissant la réponse fréquentielle du système linéaire au signal d'entrée périodique non sinusoïdal » ;

            on applique de nouveau le théorème de superposition, il reste alors à effectuer une synthèse de Fourier[83] pour obtenir la réponse temporelle du système au signal d'entrée à partir de sa réponse fréquentielle et nous allons le faire sur un exemple « un signal créneau symétrique » :

Synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal triangulaire symétrique d'entrée[modifier | modifier le wikicode]

Superposition du créneau d'entrée en noir de fréquence et de la sortie d'un passe-bande du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension de valeur efficace constante »[16], de fréquence propre , de facteur de qualité et de cœfficient [84] en fonctionnement dérivateur[74] en rouge avec une amplification d'un facteur

     Rappel de la représentation fréquentielle d'un signal créneau symétrique de valeur moyenne nulle, d'amplitudeet de fréquence[85] : «»[86] soit une lente en de la valeur efficace des harmoniques suivant le rang ; on estime qu'il faut superposer tous les harmoniques jusqu'au rang pour reconstituer approximativement le signal créneau voir le paragraphe « nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »

     Choix du filtre et ses propriétés : nous choisissons un passe-bande du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension de valeur efficace constante »[16], de fréquence propre , de facteur de qualité et de cœfficient de du numérateur de la fonction de transfert écrite sous sa forme canonique réduite usuelle[13] conduisant à un gain à la résonance « »[87],
     Choix du filtre et ses propriétés : la « zone dérivative » s'étend pratiquement sur l'intervalle «»[74],
     Choix du filtre et ses propriétés : la « zone intégrative » s'étend pratiquementsur l'intervalle «»[76] et
     Choix du filtre et ses propriétés : l'« intervalle passant à » s'étendant sur «»[88],[89],
     Choix du filtre et ses propriétés : la « bande passante à » valant «».

     Condition de fréquence pour obtenir le signal dérivé du créneau en sortie[90] : les harmoniques nécessaires à la constitution du signal dérivé du créneau doivent être dans la zone dérivative c'est-à-dire que le 300ème harmonique doit y être[91] soit «» ou encore «» voir ci-contre avec «»[92] ;

           Condition de fréquence pour obtenir le signal dérivé du créneau en sortie : remarque : on y observe un phénomène de Gibbs[93] lors de la tentative de reconstitution de chaque discontinuité de 2ème espèce[94] du signal de sortie et de façon plus marquée que pour une discontinuité de 1ère espèce[59] lorsque le pic de Dirac[95] est orienté vers le haut on observe un retrait très important vers le haut le pic devant être infini et un dépassement de vers le bas, le phénomène de Gibbs[93] étant inversé pour le pic de Dirac[95] orienté vers le bas.

Superposition du créneau d'entrée en noir de fréquence et de la sortie d'un passe-bande du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension de valeur efficace constante »[16], de fréquence propre , de facteur de qualité et de cœfficient [84] en fonctionnement intégrateur[76] en rouge avec une amplification d'un facteur
Superposition du créneau d'entrée en noir de fréquence et de la sortie d'un passe-bande du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension de valeur efficace constante »[16], de fréquence propre , de facteur de qualité et de cœfficient [84] en fonctionnement détecteur d'harmonique fondamental en rouge

     Condition de fréquence pour obtenir un signal triangulaire en sortie[96] : les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal triangulaire[97] doivent être dans la zone intégrative[76] c'est-à-dire qu'il suffit que le 1er harmonique y soit puisque le 3ème est de fréquence plus élevée soit «»[98] voir ci-contre à gauche avec «»[99] ;
           Condition de fréquence pour obtenir un signal triangulaire en sortie : remarque : on y observe le phénomène de Gibbs[93] lors de la tentative de reconstitution de chaque pointe du signal de sortie on rappelle qu'une pointe de signal correspond à une discontinuité de 1ère espèce[59] de la dérivée de ce dernier, ce phénomène se manifestant par un plus ou moins grand arrondi à la place de la pointe si le tronquement de la synthèse de Fourier[83] se faisait à un rang plus élevé, cela ne ferait pas disparaître le phénomène de Gibbs[93] mais limiterait l'étendue spatiale de l'arrondi.

     Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique fondamental du signal créneau en sortie : l'harmonique fondamental du signal créneau étant de fréquence alors que l'harmonique suivant, c'est-à-dire celui de rang , de fréquence , il est souhaitable de choisir
     Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique fondamental « égale à la fréquence de résonance » de façon que la fréquence de l'harmonique fondamental soit au centre de l'intervalle passant à «»[100] en constatant que la fréquence de l'harmonique de rang , c'est-à-dire , est hors de l'intervalle passant à , de même que les fréquences de tous les autres harmoniques puisque de fréquence supérieure ;
     Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique fondamental avec ce choix de fréquence «» on observe ainsi en sortie l'harmonique fondamental du créneau d'amplitude voir ci-dessous à gauche.

     Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique de rangdu signal créneau en sortie : l'harmonique fondamental du signal créneau étant de fréquence , l'harmonique de rang est de fréquence , il est souhaitable de choisir
     Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique de rang « égale à la fréquence de résonance » soit « » de façon que la fréquence de l'harmonique de rang soit au centre de l'intervalle passant à c'est-à-dire au centre de «»[100], la fréquence de l'harmonique fondamental égale à étant alors hors de l'intervalle passant à ainsi que la fréquence de l'harmonique de rang égale à et tous les autres harmoniques de rang supérieur puisque de fréquence supérieure ;

     Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique de rang on observe en sortie l'harmonique de rang du créneau d'amplitude voir ci-dessous à droite où on constate, néanmoins, que la sortie pratique n'est pas composée du seul harmonique de rang , l'harmonique fondamental y apparaissant affecté d'un gain faible conduisant à une légère transmission du filtre, de même les harmoniques de rang supérieur à essentiellement y apparaissant également affecté d'un gain d'autant plus faible donc bloquant d'autant mieux l'harmonique correspondant que le rang est élevé[101].
     Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique de rang Remarques :

Superposition du créneau d'entrée en noir de fréquence et de la sortie d'un passe-bande du 2ème ordre « du type réponse en d'un série soumis à une tension de valeur efficace constante »[16], de fréquence propre , de facteur de qualité et de cœfficient [84] en fonctionnement détecteur de l'harmonique de rang en rouge

Ci-contre à droite nous constatons qu'un facteur de qualité ne permet pas d'obtenir en signal de sortie l'harmonique de rang pur mais que les deux harmoniques fondamental et de rang créent une distorsion dans le signal de sortie ;
Ci-contre à droite comment modifier le filtre pour qu'en sortie, on obtienne l'harmonique de rang sans la distorsion observée ?
Ci-contre à droite Cela étant dû au gain trop important obtenu aux fréquences de ces harmoniques voisins il faut augmenter l'acuité de la résonance en utilisant un facteur de qualité plus grand, par exemple
Ci-contre à droite en prenant et [84] pour que le gain à la résonance reste égal à et que l'on puisse comparer facilement, le gain pour l'harmonique fondamental devenant égal à une influence de l'harmonique fondamental sur le signal de sortie devenue quasi-inexistante[102] et le gain pour l'harmonique de rang devenant égal à aussi une influence de l'harmonique de rang sur le signal de sortie devenue quasi-inexistante[103]

     Tentative d'observation des autres harmoniques : pour observer, en sortie, l'« harmonique de rang »[104], il est souhaitable de choisir
     Tentative d'observation des autres harmoniques : la fréquence de ce dernier égale à la fréquence de résonance soit «» «» comme fréquence du signal créneau mais
     Tentative d'observation des autres harmoniques : il faut aussi s'assurer que les harmoniques de rang immédiatement inférieur et supérieur, de fréquences respectives «» et « » soient en dehors de l'intervalle passant à , ce qui, en supposant ce dernier centré sur la fréquence de résonance[105], nécessite que l'écart de fréquences entre l'harmonique de rang immédiatement inférieur ou supérieur et de l'harmonique observée en sortie soit de valeur absolue supérieure à c'est-à-dire

     Tentative d'observation des autres harmoniques : «» ou soit encore «» réalisé « si » et

     Tentative d'observation des autres harmoniques : «» ou soit encore «» réalisé « si »,

     Tentative d'observation des autres harmoniques : donnant numériquement c'est-à-dire qu'en théorie les harmoniques du créneau jusqu'au rang inclus peuvent être visualisés seuls en sortie sans que les fréquences de l'harmonique de rang précédent ou suivant soient simultanément dans l'intervalle passant à en fait nous ne sommes pas du tout assez sélectif en considérant un intervalle passant à en dehors de cet intervalle le gain n'étant que n'est pas nécessairement suffisamment petit pour considérer le blocage de l'harmonique dont la fréquence est hors de cet intervalle[106].

Cas d'un système linéaire à plusieurs étages, cas particulier d'étages identiques en r.s.f. et intérêt de la notion d'impédance complexe itérative[modifier | modifier le wikicode]

Système linéaire à plusieurs étages[modifier | modifier le wikicode]

Quadripôle linéaire passif à trois étages montés en cascade[107] en complexe associé au r.s.f[9]. de fréquence alimenté en entrée par une source de tension et fermé en sortie sur une charge avec choix des conventions d'entrée et de sortie à chaque étage

     Supposons trois Q.L.P[20]. montés en cascade[107] voir schéma ci-contre et
     considérons l'« amplification complexe en tension » ; nous pouvons écrire formellement «» soit, en introduisant les amplifications complexes de chaque étage «», «» et « » selon

«» mais

     cette écriture ne correspond pas à une simplification contrairement à ce qu'elle pourrait laisser croire !

Simplification apparente mais, sauf cas très particulier, complication réelle[modifier | modifier le wikicode]

     Cette simplification apparente n'est en fait qu'un leurre dans le cas général, en effet pour envisager le calcul par cette démarche il faut :

  • « calculer » ce qui se fait sans difficulté apparente car le 3ème étage est fermé sur une impédance complexe connue, puis
  • « calculer » mais pour cela il faut d'abord déterminer l'impédance complexe sur laquelle ce 2ème étage se ferme c'est-à-dire l'« impédance complexe d'entrée du 3ème étage », cette impédance complexe jouant le rôle d'impédance complexe d'utilisation du 2ème étage pour l'évaluation de et enfin
  • « calculer » mais pour cela il faut d'abord déterminer l'impédance complexe sur laquelle ce 1er étage se ferme c'est-à-dire l'« impédance complexe d'entrée du 2ème étage », cette impédance complexe jouant le rôle d'impédance complexe d'utilisation du 1er étage pour l'évaluation de , ce dernier calcul étant le plus compliqué compte-tenu de la vraisemblable complication de .

     On termine alors en formant le produit «» pour obtenir .

Impédance(s) complexe(s) itérative(s) d'un Q.L.P.[modifier | modifier le wikicode]

Notion non explicite dans le programme de physique de PCSI, à considérer comme complément.

Définition de l'impédance complexe itérative (ou des impédances complexes itératives) d'un Q.L.P.[modifier | modifier le wikicode]

Exemple de calcul de l'impédance complexe itérative d'un pont diviseur de tension avec les deux résistances égales[modifier | modifier le wikicode]

     Bien sur il convient d'ajouter un schéma de situation du P.D.T[18]. en r.s.f[9].,[11] avec pour D.P.L[110]. d'attaque[111] et pour D.P.L[110]. aux bornes duquel se situe la sortie du P.D.T[18]. un conducteur ohmique de même résistance .

     La sortie du pont étant fermée sur [108], l'« impédance complexe d'entrée est »[108] soit, après simplification évidente

«»[108] ;

     l'« impédance complexe itérative [108] est donc une valeur de [108] solution de »[108] ou «»[108] soit encore
           l'« impédance complexe itérative est donc une solution de l'équation du 2ème degré en [108] «»[108] de discriminant d'où
           l'« impédance complexe itérative est donc un ensemble de deux solutions réelles «»[112] dont


           l'« impédance complexe itérative est donc un ensemble de deux solutions réelles l'une est résistive «»[113] et


           l'« impédance complexe itérative est donc un ensemble de deux solutions réelles l'autre est équivalente à une résistance négative «»[114].

Système linéaire à plusieurs étages identiques, le dernier étage étant fermé sur son impédance complexe itérative[modifier | modifier le wikicode]

     Bien sur il convient d'ajouter un schéma de situation du système linéaire à plusieurs étages identiques en r.s.f[9]., le dernier étage étant fermé sur son impédance complexe itérative [108].

     On considère donc une succession de mêmes Q.L.P.[20] « en cascade » [107], telle que le dernier étage soit fermé sur son impédance complexe itérative [108] et
     on se propose de déterminer l'amplification complexe en tension de la chaîne des étages en cascade fermé sur l'impédance complexe itérative du dernier étage en utilisant la décomposition en amplification complexe en tension de chaque étage nous faisons l'exposé ci-dessous en prenant , la généralisation à quelconque se faisant sans difficulté :

  • soit « l'amplification complexe en tension du 3ème étage fermé sur son impédance complexe itérative »[108],
  • pour évaluer « l'amplification complexe en tension du 2ème étage fermé sur l'impédance complexe d'entrée du 3ème étage »[108], il faut évaluer cette dernière laquelle, par définition de l'impédance complexe itérative du 3ème étage, est égale [108] ; « le 2ème étage étant identique au 3ème a donc même impédance complexe itérative »[108] et « le 2ème étage étant fermé sur son impédance complexe itérative [108] a pour amplification complexe en tension la même expression que le 3ème soit » et enfin
  • pour évaluer « l'amplification complexe en tension du 1er étage fermé sur l'impédance complexe d'entrée du 2ème étage »[108], il faut évaluer cette dernière laquelle, par définition de l'impédance complexe itérative du 2ème étage, est égale [108] ; « le 1er étage étant identique au 2ème a donc même impédance complexe itérative »[108] et « le 1er étage étant fermé sur son impédance complexe itérative [108] a pour amplification complexe en tension la même expression que le 2ème ou le 3ème soit ».

     On termine alors en formant le produit «» et on obtient «» ; la généralisation à quelconque est aisée et donne

«».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. On parle encore, pour le réseau dipolaire formé du « quadripôle alimenté en entrée par une source et vu de sa sortie », dont la fonction de transfert quand la sortie est fermée sur une charge est du « 2ème ordre », de « système du 2ème ordre ».
  2. La raison du terme au lieu de est qu'il s'écrit aussi .
  3. Non divisible par .
  4. Dans ce cas, on parle de système « stable », ce qui signifie que la solution de l'équation différentielle associée à la fonction de transfert ne diverge pas quand en effet ;
       la détermination de l'équation différentielle associée à s'obtenant en utilisant la méthode exposée dans le paragraphe « réponse fréquentielle d'un système linéaire du 2ème ordre “ du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante ” à un signal sinusoïdal de pulsation ω (équation différentielle) » plus loin dans ce chapitre ou, en notant et en remplaçant la « multiplication par » par la « dérivation temporelle » ainsi que la « multiplication par » par la « dérivation temporelle seconde », «» d'où, en repassant aux grandeurs physiques et en ordonnant «», la solution s'écrit, d'après le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », « » dans laquelle est la solution forcée c'est-à-dire une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène choisie, quand cela est possible, de même forme que le 2nd membre ou excitation et la solution libre c'est-à-dire la solution générale de l'équation différentielle homogène voir le paragraphe « recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre homogène avec terme du 1er ordre en f(x) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » nécessitant de résoudre l'équation caractéristique «» voir le paragraphe « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre homogène avec terme du 1er ordre en f(x) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » de « discriminant » « » solution libre s'amortissant si et sont les exponetielles sont condition nécessaire pour que le système du 2ème ordre soit stable ;
       dans ce qui suit nous n'envisagerons que des systèmes stables.
  5. Évidemment homogène à une pulsation.
  6. Grandeur sans dimension.
  7. Non divisible par .
  8. 8,00 8,01 8,02 8,03 8,04 8,05 8,06 8,07 8,08 8,09 8,10 8,11 et 8,12
       Quand on change de variable, passant de à , les fonctions et deviennent des fonctions composées, on devrait donc écrire ainsi que ou,
       Quand on change de variable, si on veut les considérer comme fonctions de , changer de notation en écrivant ou  ;
       Quand on change de variable, néanmoins par abus on nomme les fonctions de et de par la même lettre car les valeurs de la fonction considérée restent les mêmes d'où simplement notée et simplement notée .
  9. 9,00 9,01 9,02 9,03 9,04 9,05 9,06 9,07 9,08 9,09 9,10 9,11 9,12 et 9,13 Régime Sinusoïdal Forcé.
  10. 10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 10,10 10,11 10,12 10,13 10,14 10,15 10,16 10,17 10,18 10,19 10,20 10,21 10,22 10,23 10,24 10,25 10,26 10,27 10,28 10,29 10,30 10,31 10,32 10,33 10,34 10,35 10,36 10,37 10,38 10,39 10,40 10,41 et 10,42 L'indice «» signifiant « à vide » étant utilisé « en sortie ouverte ».
  11. 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 et 11,8 Voir le paragraphe « présentation du P.D.T. en électricité complexe associée au r.s.f. » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  12. 12,0 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 et 12,6 Voir le paragraphe « le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par ue(t) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  13. 13,00 13,01 13,02 13,03 13,04 13,05 13,06 13,07 13,08 13,09 13,10 13,11 13,12 13,13 13,14 13,15 13,16 13,17 13,18 13,19 13,20 13,21 13,22 13,23 13,24 13,25 13,26 13,27 13,28 et 13,29 La forme d'une fonction de transfert du 2ème ordre est dite « usuelle » appellation personnelle quand son dénominateur, une fois toute simplification effectuée, est un polynôme de degré en ou , c'est cette forme qui permet de s'assurer que le système étudié est effectivement du 2ème ordre.
  14. 14,0 14,1 14,2 14,3 14,4 14,5 14,6 et 14,7 On rappelle que est équivalent à .
  15. 15,0 15,1 15,2 et 15,3 On rappelle que nous nous limitons aux fonctions de transfert du 2ème ordre de système stable c'est-à-dire que, le cœfficient de dans le polynôme situé au dénominateur étant positif, on peut le remplacer par ainsi que le cœfficient de aussi positif dans le même polynôme situé au dénominateur, peut être remplacé par .
  16. 16,00 16,01 16,02 16,03 16,04 16,05 16,06 16,07 16,08 16,09 16,10 16,11 16,12 16,13 16,14 16,15 16,16 16,17 16,18 16,19 16,20 16,21 16,22 16,23 16,24 16,25 et 16,26 L'appellation « du type réponse en d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » est personnelle.
  17. Dans le cas où ce serait exactement la réponse en tension ouverte aux bornes du conducteur ohmique du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, le cœfficient serait égal à .
  18. 18,00 18,01 18,02 18,03 18,04 18,05 18,06 18,07 18,08 18,09 et 18,10 Pont Diviseur de Tension.
  19. 19,0 19,1 et 19,2 C.-à-d. l'impédance complexe par laquelle le sens du courant d'entrée pénètre dans le P.D.T., ou encore l'impédance complexe qui n'est pas celle aux bornes de laquelle se situe la sortie du P.D.T..
  20. 20,0 20,1 20,2 20,3 20,4 20,5 20,6 et 20,7 Quadripôle Linéaire Passif.
  21. Max Wien (1866 - 1938) physicien allemand à qui on doit l'oscillateur à pont de Wien en et le "Löschfunkensender" un générateur d'oscillations électromagnétiques légèrement amorties entre et  ; il eut l'idée d'un amplificateur électronique qu'il ne réalisa pas faute de moyens ce fût William Hewlett (1913 - 2001), ingénieur américain en électronique, cofondateur de Hewlett-Packard, qui le réalisa en .
  22. 22,0 22,1 22,2 22,3 22,4 22,5 22,6 22,7 et 22,8 La forme d'une fonction de transfert du 2ème ordre est dite « pratique » appellation personnelle quand elle est mise sous une forme telle que l'étude du gain associé est rendue la plus simple possible, le plus souvent cela correspond à un numérateur de fonction de transfert constant.
  23. 23,0 23,1 23,2 23,3 23,4 23,5 23,6 23,7 et 23,8 L'argument d'un nombre négatif étant , nous choisissons la valeur lors de l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite de façon à garder une continuité de la phase relativement à et cette étude nous fera choisir voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode » plus loin dans ce chapitre.
  24. 24,00 24,01 24,02 24,03 24,04 24,05 24,06 24,07 24,08 24,09 24,10 24,11 24,12 24,13 24,14 24,15 24,16 24,17 24,18 24,19 24,20 24,21 24,22 24,23 24,24 24,25 24,26 24,27 24,28 24,29 24,30 24,31 24,32 24,33 24,34 24,35 24,36 24,37 24,38 24,39 24,40 24,41 24,42 24,43 24,44 24,45 24,46 24,47 24,48 24,49 24,50 24,51 24,52 24,53 24,54 24,55 24,56 24,57 24,58 24,59 24,60 24,61 24,62 et 24,63 Basse Fréquence.
  25. 25,0 25,1 25,2 et 25,3 En effet, dans le dénominateur du gain à savoir dans lequel « on factorise par le terme prépondérant à B.F. » ce qui donne « », « nécessite pour être réalisé à moins de près » soit «» ce qui, dans l'hypothèse où serait grand, donnerait «».
  26. 26,0 26,1 26,2 26,3 26,4 26,5 26,6 et 26,7 On rappelle que dans une somme de deux complexes, l'un est négligeable relativement à l'autre si le module du premier l'est par rapport au module du second.
  27. 27,00 27,01 27,02 27,03 27,04 27,05 27,06 27,07 27,08 27,09 27,10 27,11 27,12 27,13 27,14 27,15 27,16 27,17 27,18 27,19 27,20 27,21 27,22 27,23 27,24 27,25 27,26 27,27 27,28 27,29 27,30 27,31 27,32 27,33 27,34 27,35 27,36 27,37 27,38 27,39 27,40 27,41 27,42 27,43 27,44 27,45 27,46 27,47 27,48 27,49 27,50 27,51 27,52 27,53 27,54 27,55 27,56 27,57 27,58 27,59 27,60 27,61 27,62 27,63 27,64 27,65 27,66 27,67 27,68 27,69 27,70 27,71 27,72 27,73 27,74 27,75 27,76 27,77 27,78 27,79 27,80 27,81 27,82 27,83 27,84 27,85 27,86 27,87 27,88 27,89 27,90 27,91 27,92 27,93 27,94 27,95 27,96 27,97 et 27,98 Hendrik Wade Bode (1905 - 1982) est un ingénieur, chercheur et inventeur américain d'origine néerlandaise qui a été un pionnier de la régulation moderne et des télécommunications ; il a révolutionné ces domaines dans leurs contenus mais aussi dans leurs méthodes d'application plus particulièrement connu pour avoir mis au point le diagramme de Bode qui constitue une méthode de représentation de l'amplitude et de la phase d'un système.
  28. 28,00 28,01 28,02 28,03 28,04 28,05 28,06 28,07 28,08 28,09 28,10 28,11 28,12 28,13 28,14 28,15 28,16 28,17 28,18 28,19 28,20 28,21 28,22 28,23 28,24 28,25 28,26 28,27 28,28 28,29 28,30 28,31 28,32 28,33 28,34 28,35 28,36 28,37 28,38 28,39 28,40 28,41 28,42 28,43 28,44 28,45 28,46 28,47 28,48 28,49 28,50 28,51 28,52 28,53 28,54 28,55 28,56 28,57 28,58 28,59 28,60 et 28,61 Haute Fréquence.
  29. 29,0 29,1 29,2 et 29,3 En effet, dans le dénominateur du gain à savoir dans lequel « on factorise par le terme prépondérant à H.F. » ce qui donne « », « équivalent à nécessite pour être réalisé à moins de près » soit «» ce qui, dans l'hypothèse où serait grand, donnerait « ou ».
  30. La propriété que les asymptotes se coupent en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite de résonance se vérifie aisément grâce aux équations des asymptotes B.F. « » et H.F. «», l'ordonnée du point d'intersection étant «».
  31. 31,0 31,1 31,2 31,3 31,4 et 31,5 Ou d'abscisse si l'axe des abscisses est celui des fréquences et non des fréquences réduites.
  32. En effet on rappelle que .
  33. 33,0 et 33,1 Voir la 1ère définition d'une fréquence de coupure à dans le paragraphe « fréquences de coupure à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  34. Ce qu'on a établi dans le paragraphe « de détermination directe de la bande passante à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » où on a démontré que «».
  35. 35,0 35,1 et 35,2 En fait en dehors de ces deux décades de fréquences centrées sur la fréquence réduite propre, la confusion est très grossière sur la 1ère décade en deçà ou au-delà de cet intervalle et bonne à partir de la 2ème décade
  36. 36,0 36,1 et 36,2 En pensant à raccorder les asymptotes et le point d'abscisse aux niveaux et au lieu de et comme dans le cas de la courbe de gain ou raccorder les asymptotes et le point d'abscisse aux niveaux et au lieu de et comme dans le cas de la courbe de gain.
  37. 37,0 37,1 37,2 et 37,3 Qualifié de « pseudo » car conditionnel en fréquence.
  38. 38,0 et 38,1 En effet on prend la primitive purement sinusoïdale donc de valeur moyenne nulle.
  39. 39,0 et 39,1 Et aussi « pratique » dans la mesure où le numérateur de la fonction de transfert est une constante
  40. Dans le cas où ce serait exactement la réponse en tension ouverte aux bornes du condensateur du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, le transfert statique serait .
  41. 41,0 et 41,1 Condition pour que l'argument d'un complexe s'exprime sous la forme d'un arctangente, voir le paragraphe « détermination de l'argument (d'un complexe sous forme algébrique) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  42. 42,0 42,1 42,2 42,3 et 42,4 L'argument d'un nombre négatif étant , nous choisissons la valeur lors de l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite de façon à garder une continuité de la phase relativement à et cette étude nous fera choisir voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode » plus loin dans ce chapitre.
  43. 43,0 et 43,1 L'argument d'un nombre négatif étant , nous choisirons la valeur lors de l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite de façon à garder une continuité de la phase relativement à et cette étude nous fera choisir voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode » plus loin dans ce chapitre.
  44. La propriété que les asymptotes se coupent en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite propre se vérifie aisément grâce aux équations des asymptotes B.F. et H.F. .
  45. En effet on rappelle que .
  46. En effet on prend une 1ère primitive purement sinusoïdale donc de valeur moyenne nulle puis une primitive de cette dernière purement sinusoïdale donc de valeur moyenne nulle.
  47. Dans le cas où ce serait exactement la réponse en tension ouverte aux bornes la bobine parfaite du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, le cœfficient de du numérateur serait égal à .
  48. Pour obtenir cela on divise l'expression du gain haut et bas par .
  49. 49,0 49,1 49,2 49,3 et 49,4 L'argument d'un nombre négatif étant , nous choisissons la valeur lors de l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite de façon à garder une continuité de la phase relativement à et cette étude nous fera choisir voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode » plus loin dans ce chapitre.
  50. 50,0 et 50,1 L'argument d'un nombre négatif étant , nous choisirons la valeur lors de l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite de façon à garder une continuité de la phase relativement à et cette étude nous fera choisir voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode » plus loin dans ce chapitre.
  51. La propriété que les asymptotes se coupent en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite de résonance se vérifie aisément grâce aux équations des asymptotes B.F. et H.F. .
  52. En effet on rappelle que .
  53. 53,0 53,1 53,2 53,3 53,4 et 53,5 Une grandeur entre en antirésonance si sa valeur efficace associée est minimale.
  54. 54,0 54,1 et 54,2 En effet établit que est une fonction de .
  55. Ici on ne peut pas parler d'intervalle passant car il s'agit de la réunion de deux intervalles.
  56. Qui serait définie comme la somme des largeurs de chaque intervalle passant, la largeur du 2ème intervalle passant étant infinie.
  57. Un réjecteur de fréquences de qualité doit sélectionner avec précision la fréquence ou la zone de fréquences à rejeter, il est donc souhaitable que l'antirésonance soit aiguë.
  58. étant une fonction de son argument et ce dernier une fonction de .
  59. 59,0 59,1 59,2 et 59,3 Revoir le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  60. En effet les pulsations réduites de coupure à étant déterminées par les équations «» revoir le paragraphe « variation du gain en tension du système “ condensateur - bobine parfaite ” du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante en fonction de la fréquence, nature coupe-bande du filtre, bande non passante à -3dB et acuité de l'antirésonance » plus haut dans le chapitre.
  61. Dans le cas où ce serait exactement la réponse en tension ouverte aux bornes de l'association “ bobine parfaite - condensateur ” du série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, le transfert statique serait égal à .
  62. 62,0 62,1 et 62,2 L'argument d'un nombre négatif étant , nous choisirons la valeur lors de l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite de façon à garder une continuité de la phase relativement à sur l'intervalle et cette étude nous fera choisir voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode » plus loin dans ce chapitre.
  63. 63,0 63,1 et 63,2 L'argument d'un nombre négatif étant , nous choisirons la valeur lors de l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite de façon à garder une continuité de la phase relativement à sur l'intervalle et cette étude nous fera choisir voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode » plus loin dans ce chapitre.
  64. 64,0 et 64,1 C'est le transfert statique de la réponse en tension de sortie ouverte de l'ensemble « condensateur - bobine parfaite » d'un série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée.
  65. 65,0 et 65,1 Le choix d'un facteur de qualité faible est fait pour que la zone rejetée soit différente d'une raie, ce qu'on observerait avec un facteur de qualité grand.
  66. 66,0 et 66,1 Calcul identique à celui exposé dans le paragraphe « de détermination des fréquences de coupure à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  67. Calcul identique à celui exposé dans le paragraphe « détermination directe de la bande passante à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  68. Ce qu'on peut vérifier en formant d'où les fréquences réduites étant inverses l'une de l'autre ont des logarithmes opposés.
  69. La convention de normalisation de la fonction de transfert « cœfficient de degré du dénominateur égal à » ne correspond pas à celle de normalisation de l'équation différentielle « cœfficient de la dérivée de plus haut ordre égal à », mais cela n'est nullement gênant.
  70. On rappelle qu'en terme d'équation différentielle l'excitation est le 2nd membre de l'équation différentielle quand celle-ci est normalisée ce qui n'est pas le cas ici et non le signal d'entrée du filtre même si on trouve parfois cette confusion par abus.
  71. Voir le paragraphe « rappel de la définition de la réponse fréquentielle d'un filtre linéaire à un signal sinusoïdal de pulsation ω » plus haut dans ce chapitre.
  72. 72,0 72,1 72,2 72,3 72,4 et 72,5 Avec «» la réécriture de la fonction de transfert sous sa forme canonique réduite usuelle «» voir le paragraphe « définition d'une fonction de transfert du 2ème ordre “ du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” pour l'amplification complexe en tension » plus haut dans ce chapitre.
  73. Ce qu'on retrouve à partir de l'équivalent B.F. de la fonction de transfert de gain et de phase , une dérivée ayant une valeur efficace multipliée par et étant en quadrature avance sur la fonction dont c'est la dérivée.
  74. 74,0 74,1 et 74,2 Voir le paragraphe « interprétation de l'équivalent B.F. de la fonction de transfert : circuit pseudo dérivateur (concernant la fonction de transfert du 2ème ordre du type réponse en R d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante) » plus haut dans ce chapitre.
  75. Ce qu'on retrouve à partir de l'équivalent H.F. de la fonction de transfert de gain et de phase , une primitive de valeur moyenne nulle ayant une valeur efficace divisée par et étant en quadrature retard sur la fonction dont c'est la primitive.
  76. 76,0 76,1 76,2 et 76,3 Voir le paragraphe « interprétation de l'équivalent H.F. de la fonction de transfert : circuit pseudo intégrateur (concernant la fonction de transfert du 2ème ordre du type réponse en R d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante) » plus haut dans ce chapitre.
  77. En effet les valeurs limites que nous noterons respectivement et pour simplifier les notations obéissent aux équations «» ou, en divisant par pour la 1ère et par pour la 2nde, «» lesquelles étant des équations identiques à celles de détermination des fréquences réduites de coupure à à condition de remplacer par donnent les solutions «» et «» revoir le paragraphe de détermination des « fréquences de coupure à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
       pour conclure vérifions que l'approximation supprimant le terme sous le radical est correcte à près pour , en effet ce terme est alors en utilisant le D.L. à l'ordre un en de voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » alors que, avec , l'autre terme hors radical suivant est effectivement supérieur au terme négligé
  78. En effet ont pour valeur absolue et suivant le signe de ou de la réponse temporelle s'identifie approximativement au signal d'entrée ou à son opposé au facteur multiplicatif près.
  79. Ce qui est un moyen pratique d'amplifier un signal.
  80. 80,0 et 80,1 Voir le paragraphe « rappel du théorème de superposition » plus haut dans ce chapitre.
  81. étant l'éventuelle composante permanente et la valeur efficace complexe de l'harmonique de rang de fréquence .
  82. Encore qualifiée de « continu(e) » par les électriciens ce qui n'est évidemment pas au sens de « continuité de fonction » utilisé en mathématiques.
  83. 83,0 et 83,1 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur
  84. 84,0 84,1 84,2 84,3 et 84,4 Le cœfficient est le facteur multiplicatif de dans le numérateur de la fonction de transfert écrite sous sa forme canonique réduite usuelle.
  85. Revoir le paragraphe « exemple d'un signal créneau symétrique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité ne correspondant qu'à l'amplitude des harmoniques devant être complétées pour donner l'amplitude complexe des harmoniques selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1er au 2nd développement en série de Fourier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  86. On rappelle que dans la représentation fréquentielle on donne la valeur efficace complexe et non l'amplitude complexe de chaque harmonique d'où la différence par rapport aux évaluations faites dans le paragraphe « exemple d'un signal créneau symétrique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  87.  Par exemple un série avec sortie ouverte aux bornes de , le transfert étant l'amplification complexe en tension avec «, et » « », le « cœfficient étant égal à » et le « gain à la résonance valant ».
  88. En effet en utilisant le D.L. à l'ordre un en de voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit en ou finalement «» et
       En effet en ou finalement «».
  89. Dans l'intervalle passant à le gain n'est pas constant il varie entre et alors que
       dans la zone résonante précédemment introduite voir le paragraphe « détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 2ème ordre “ du type réponse en uR d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante ” à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle » dans lequel on a établi que et il reste voisin de .
  90. Un signal dérivé du créneau est nul partout sauf aux instants de discontinuité de 1ère espèce du créneau voir la note « 59 » plus haut dans ce chapitre, où la dérivée au sens des distributions est
       Un signal dérivé du créneau est un pic de Dirac d'impulsion égale au double de l'amplitude du créneau si le saut de discontinuité est positif et
       Un signal dérivé du créneau est l'opposé d'un pic de Dirac d'impulsion égale au double de l'amplitude du créneau si le saut de discontinuité est négatif voir le paragraphe « modélisation de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en pic de Dirac de tension d'impulsion E » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » l'impulsion du pic de Dirac est le double de l'amplitude du créneau car le saut de discontinuité de 1ère espèce du créneau est  ;
       ce signal dérivé du créneau ayant un motif possédant deux discontinuités de 2ème espèce inversées voir le paragraphe « discontinuité de 2ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pourrait être appelé « double pic de Dirac inversé séparé de » appellation personnelle.
       Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en  : voir la note « 95 » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.
  91. Pour tenter de reconstituer le signal dérivé d'un créneau à partir de sa représentation fréquentielle, signal dérivé appelé « double pic de Dirac inversé séparé de » appellation personnelle, le tronquement de sa synthèse de Fourier doit être fait au moins à un rang dix fois plus élevé que celui nécessaire à la synthèse de Fourier d'un créneau et comme ce dernier est le tronquement pour la synthèse de Fourier d'un « double pic de Dirac inversé séparé de » doit être fait au moins au rang généralisation de la propriété liant un signal et son signal dérivé vue dans le paragraphe « nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique (à retenir) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en ce qui concerne le lien entre signaux triangulaire et créneau.
  92. Avec une fréquence on trouve une amplitude des pics de sortie ce qui est déjà petit par exemple avec on aurait une amplitude du créneau de sortie de auquel risque de se superposer des parasites d'amplitude certes plus faible mais absolument pas négligeables ;
       avec , dix fois plus d'harmoniques seraient dans le zone dérivative mais l'amplitude du signal de sortie serait fois plus faible car le gain B.F. du filtre est à la fréquence du signal et par suite le signal serait inobservable car d'amplitude trop faible d'une part et totalement noyé dans les parasites d'autre part.
  93. 93,0 93,1 93,2 et 93,3 Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903) physico-chimiste mathématicien américain, a appliqué la thermodynamique dans la chimie physique, la rendant ainsi raisonnée et rigoureuse ;
                                      avec James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais et Ludwig Eduard Boltzmann (1844 - 1906) physicien et philosophe autrichien, il est l'un des fondateurs de la mécanique statistique qui explique les lois de la thermodynamique à l'aide des propriétés statistiques des grands ensembles des particules ;
                                      en mathématiques il est aussi, avec Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, l'un des fondateurs de l'analyse vectorielle ;
                                      l'observation connue sous le nom « phénomène de Gibbs » a été découvert en par Henry Wilbraham (1825 - 1883) mathématicien anglais et redécouvert par J.W.Gibbs en , c'est ce dernier qui trouva la cause mathématique de ce phénomène que l'on observe lors de l'étude des séries et transformées de Fourier.
  94. Revoir le paragraphe « discontinuité de 2ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  95. 95,0 et 95,1 Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
       Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique connu sous le nom de mécanique ondulatoire ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en et connue sous le nom chat de Schrödinger.
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
       Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en pour la création d'une forme de mécanique quantique connue sous le nom de mécanique matricielle, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue.
       Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields équivalent du prix Nobel en mathématiques en pour ses travaux sur la théorie des distributions sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité
  96. Un signal triangulaire symétrique est le signal primitive de valeur moyenne nulle du signal créneau symétrique.
  97. On estime qu'il faut superposer les harmoniques jusqu'au rang pour constituer approximativement le signal triangulaire voir le paragraphe « nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  98. Là encore en pratique cette condition est trop restrictive, avec une fréquence inférieure néanmoins sans excès à on observe aussi un triangulaire en sortie sans trop de distorsion.
  99. Avec une fréquence on trouve une amplitude des pics de sortie faible mais sans excès par exemple avec on aurait une amplitude du triangulaire de sortie de  ;
       avec , dix fois plus d'harmoniques seraient dans le zone intégrative mais l'amplitude du signal de sortie serait fois plus faible car le gain B.F. du filtre est à la fréquence du signal et par suite le signal serait peu observable car d'amplitude faible d'une part et noyé dans les parasites d'autre part.
  100. 100,0 et 100,1 On choisit que l'harmonique à observer en sortie soit au centre de l'intervalle passant à pour qu'il soit, en sortie, multiplié par un facteur constant égal au gain maximal c'est-à-dire ici .
  101. Bien que la fréquence de l'harmonique fondamental ne soit pas dans l'intervalle passant à à savoir «», le gain de cet harmonique étant égal à donne une composante de sortie sinusoïdale de fréquence et d'amplitude représentant un peu plus de de l'amplitude du signal de sortie de fréquence  ;
       bien que la fréquence de l'harmonique de rang c'est-à-dire ne soit pas dans l'intervalle passant à à savoir «», le gain de cet harmonique étant égal à donne une composante de sortie sinusoïdale de fréquence et d'amplitude représentant un peu plus de de l'amplitude du signal de sortie de fréquence
  102. Plus exactement, si on compare à ce qu'on obtenait avec un facteur de qualité et pour que le gain à la résonance soit égal à la contribution de l'harmonique fondamental a été divisée par deux voir la note « 101 » plus haut dans ce chapitre.
  103. Plus exactement, si on compare à ce qu'on obtenait avec un facteur de qualité et pour que le gain à la résonance soit égal à la contribution de l'harmonique de rang a été divisée par deux voir la note « 101 » plus haut dans ce chapitre.
  104. La valeur est retirée car son cas a déjà été traité.
  105. Ce qui n'est pas exact car les fréquences réduites de coupure à sont et l'intervalle passant à est centré sur qui ne peut être confondu avec que si le facteur de qualité est suffisamment grand.
  106. L'harmonique de sortie de rang étant d'amplitude l'amplitude de l'harmonique du créneau d'entrée de rang étant , voir le paragraphe « exemple d'un signal créneau symétrique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »,
       l'harmonique de sortie de rang a, dans le cas où sa fréquence est égale à la borne inférieure de l'intervalle passant à , une amplitude égale à laquelle, comparée à , a un 1er facteur plus grand et un 2nd plus petit d'où la nécessité de diminuer le 1er facteur et
       l'harmonique de sortie de rang a, dans le cas où sa fréquence est égale à la borne supérieure de l'intervalle passant à , une amplitude égale à laquelle, comparée à , a ses deux facteurs plus petits sans pour cela impliquer une différence notable d'où la nécessité de diminuer le 1er facteur, le 2ème étant caractéristique du créneau et non du filtre
  107. 107,0 107,1 et 107,2 Pour que les Q.L.P. soient en cascade il faut que la sortie du 1er Q.L.P. soit l'entrée du 2ème, que la sortie du 2ème soit l'entrée du 3ème, etc. , le nème étant fermé sur une charge d'impédance complexe .
  108. 108,00 108,01 108,02 108,03 108,04 108,05 108,06 108,07 108,08 108,09 108,10 108,11 108,12 108,13 108,14 108,15 108,16 108,17 108,18 108,19 108,20 et 108,21 Bien sûr les impédances complexes dépendent usuellement de mais pour simplifier les notations, on ne le précise pas ici.
  109. En effet l'impédance complexe d'entrée du Q.L.P. fermé sur l'impédance complexe d'utilisation dépend du Q.L.P. mais aussi de l'impédance complexe d'utilisation d'où est une équation en », les solutions étant les valeurs de l'impédance complexe itérative.
  110. 110,0 et 110,1 Dipôle Passif Linéaire.
  111. C.-à-d. le D.P.L. par laquelle le sens du courant d'entrée pénètre dans le P.D.T., ou encore le D.P.L. qui n'est pas celui aux bornes duquel se situe la sortie du P.D.T..
  112. Les deux racines sont de signe contraire car leur produit est égal à .
  113. Dans laquelle on reconnaît, en facteur de , le « nombre d'or ».
  114. Ce dipôle ne peut être construit à l'aide uniquement de conducteurs ohmiques, de condensateurs et de bobines mais peut être simulé à l'aide d'un montage électronique utilisant un A.O. amplificateur opérationnel alimenté par une A.S. alimentation stabilisée, utilisant des conducteurs ohmiques bien choisis et positionnés, le montage étant appelé « montage à résistance négative ».