Signaux physiques (PCSI)/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 1ère partie

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Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un quadripôle linéaire en régime sinusoïdal forcé, propriétés fondamentales d'une fonction de transfert « dépendante de la sortie » mais « indépendante de l'entrée »

Rappel des choix de convention d'un quadripôle linéaire en A.R.Q.S.

En complexe associée au r.s.f. : convention générateur de la sortie du réseau dipolaire "source + réseau quadripolaire", convention récepteur de l'entrée du réseau dipolaire "réseau quadripolaire + charge"

     Déjà traité dans le paragraphe « notion de réseau quadripolaire et conventions d'entrée et de sortie » du chap.$23$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans le cadre quelconque de l'A.R.Q.S., repris ici dans celui de l'électricité complexe associée au r.s.f. ; ci-contre schéma retranscrit en électricité complexe associée au r.s.f. avec explication ci-dessous :

• le choix de la convention d'entrée est fait de façon à ce que la source soit en convention générateur, le réseau dipolaire sur lequel la source est fermée, c'est-à-dire constitué du Q.L.P.  fermé sur le récepteur et vu des bornes d'entrée $($en bleu ci-contre$)$ étant en convention récepteur,
• le choix de la convention de sortie est fait de façon à ce que le récepteur $($encore appelé « charge »$)$ soit en convention récepteur, le réseau dipolaire alimentant la « charge » c'est-à-dire constitué du Q.L.P. alimenté par la source et vu des bornes de sortie $($en rouge ci-contre$)$ étant en convention générateur ;

     conventions d'écriture des grandeurs « tension ou intensité de courant » :

• une tension d'entrée de valeur moyenne nulle $($c'est-à-dire sans composante permanente, par exemple purement sinusoïdale$)$ est notée $u_e(t)$, on a donc «$⟨u_e(t)⟩=0$»,
• dans le cas où la tension d'entrée est purement sinusoïdale, sa valeur efficace est notée $U_e$, on a donc dans ce cas «$u_e(t)=$ $U_e\sqrt{2}\cos (\omega t+{\phi }_{u_e})$»,
• une tension d'entrée dépendant du temps et a priori de valeur moyenne non nulle $($c'est-à-dire avec composante permanente$)$ est notée $u_E(t)$ et correspond à «$⟨u_E(t)⟩\ne 0$»,
• une tension d'entrée ne dépendant pas du temps $($donc en régime permanent$)$ est notée $U_E$, on a donc «$u_E(t)=U_E+u_e(t)$» avec «$⟨u_E(t)⟩=U_E$ puisque $⟨u_e(t)⟩=0$».

Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un Q.L.P. fermé sur une « charge » et alimenté en entrée par une « source fonctionnant en r.s.f. »

     Après avoir introduit les grandeurs instantanées complexes associées aux grandeurs instantanées sinusoïdales $($ainsi que les grandeurs efficaces complexes et les impédances complexes des D.P.L.$)$, une fonction de transfert harmonique $\underset{\_}{H}(j\omega )$ du Q.L.P. fermé sur une « charge d'impédance complexe $\underset{\_}{Z_u}(j\omega )$» est définie par

«$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{y_s}(t)}{\underset{\_}{x_e}(t)}=\frac{\underset{\_}{Y_s}(j\omega )}{\underset{\_}{X_e}}$» où
«$\underset{\_}{y_s}(t)$ est la tension instantanée complexe de sortie ou l'intensité instantanée complexe du courant de sortie »,
«$\underset{\_}{x_e}(t)$ est la tension instantanée complexe d'entrée ou l'intensité instantanée complexe du courant d'entrée »,
«$\underset{\_}{Y_s}(j\omega )$ est la tension efficace complexe de sortie ou l'intensité efficace complexe du courant de sortie » et
«$\underset{\_}{X_e}$ est la tension efficace complexe d'entrée ou l'intensité efficace complexe du courant d'entrée » ;

• « le module de la fonction de transfert définit son gain noté $G(\omega )$» soit «$G(\omega )=|\underset{\_}{H}(j\omega )|=\frac{Y_s(\omega )}{X_e}$»,
• « l'argument de la fonction de transfert définit sa phase notée $\phi (\omega )$» soit «$\phi (\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{H}(j\omega )]={\phi }_{y_s}(\omega )-{\phi }_{x_e}$» et
• « la forme trigonométrique de la fonction de transfert $\underset{\_}{H}(j\omega )$» s'écrit «$\underset{\_}{H}(j\omega )=G(\omega )\exp [j\phi (\omega )]$».

Représentation symbolique du transfert par schéma unifilaire

Représentation du transfert d'un Q.L.P. par schéma unifilaire $($avec chaîne de rétroaction en tiretés rouges$)$

     Voir ci-contre : une grandeur d'entrée $($tension ou intensité de courant$)$ $x_e(t)$ est imposée au Q.L.P. qui la transforme en grandeur de sortie $($tension ou intensité de courant$)$ $y_s(t)$.

     Remarques : Bien entendu les flèches sur le fil d'entrée ou sur celui de sortie ne veulent absolument pas dire qu'il y a « circulation de la grandeur » $($ce serait totalement stupide pour une tension$)$ mais signifient qu'il y a, provenant de la source, « apport de l'information $x_e(t)$» au Q.L.P. puis, provenant du Q.L.P., « restitution de l'information transformée $y_s(t)$» au récepteur situé en aval du Q.L.P. ;

     Remarques : la transformation effectuée par le Q.L.P. peut être « voulue » $($on veut empêcher certaines fréquences de passer $\dots$ et si le but recherché est atteint c'est parfait$)$ ou « une conséquence de la mauvaise qualité du Q.L.P. » $($existence de défauts qu'il faut donc chercher à éliminer$)$ ;

     Remarques : il est possible d'ajouter une « chaîne de rétroaction » $($en tiretés rouges sur le schéma unifilaire$)$ dans le but de stabiliser $($ou déstabiliser$)$ le signal de sortie, pour cela on renvoie à l'entrée un signal dépendant du signal de sortie et, ce signal renvoyé à l'entrée subissant de nouveau le transfert engendre une stabilisation $($ou une déstabilisation$)\dots$

Les quatre fonctions de transfert harmoniques

Amplification complexe en tension

     À partir de la tension d'entrée et la tension de sortie $($en r.s.f.$)$ on définit l'« amplification complexe en tension » «$\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{u_s}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}=\frac{\underset{\_}{U_s}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}$» sans unité :

• son module définit le « gain en tension » «$G(\omega )=|\underset{\_}{A}(j\omega )|=\frac{U_s(\omega )}{U_e}$» et
• son argument, l'« avance de phase de la tension de sortie sur la tension d'entrée » «$\phi (\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{A}(j\omega )]={\phi }_{u_s}(\omega )-{\phi }_{u_e}$».

Amplification complexe en courant

     À partir de l'intensité du courant d'entrée et celle du courant de sortie $($en r.s.f.$)$ on définit l'« amplification complexe en courant » «$\underset{\_}{A_i}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{i_s}(t)}{\underset{\_}{i_e}(t)}=\frac{\underset{\_}{I_s}(j\omega )}{\underset{\_}{I_e}}$» sans unité :

• son module définit le « gain en courant » «$G_i(\omega )=|\underset{\_}{A_i}(j\omega )|=\frac{I_s(\omega )}{I_e}$» et
• son argument, l'« avance de phase de l'intensité du courant de sortie sur celle du courant d'entrée » «${\phi }_i(\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{A_i}(j\omega )]={\phi }_{i_s}(\omega )-{\phi }_{i_e}$».

Transimpédance complexe

     À partir de l'intensité du courant d'entrée et la tension de sortie $($en r.s.f.$)$ on définit la « transimpédance complexe » «$\underset{\_}{Z_t}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{u_s}(t)}{\underset{\_}{i_e}(t)}=\frac{\underset{\_}{U_s}(j\omega )}{\underset{\_}{I_e}}$» en $\Omega$ :

• son module définit la « transimpédance » «$Z_t(\omega )=|\underset{\_}{Z_t}(j\omega )|=\frac{U_s(\omega )}{I_e}$» en $\Omega$ et
• son argument, l'« avance de phase de la tension de sortie sur l'intensité du courant d'entrée » «${\phi }_{Z_t}(\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{Z_t}(j\omega )]={\phi }_{u_s}(\omega )-{\phi }_{i_e}$».

Transadmittance complexe

     À partir de la tension d'entrée et l'intensité du courant de sortie $($en r.s.f.$)$ on définit la « transadmittance complexe » «$\underset{\_}{Y_t}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{i_s}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}=\frac{\underset{\_}{I_s}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}$» en $S$ :

• son module définit la « transadmittance » «$Y_t(\omega )=|\underset{\_}{Y_t}(j\omega )|=\frac{I_s(\omega )}{U_e}$» en $S$ et
• son argument, l'« avance de phase de l'intensité du courant de sortie sur la tension d'entrée » «${\phi }_{Y_t}(\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{Y_t}(j\omega )]={\phi }_{i_s}(\omega )-{\phi }_{u_e}$».

Propriétés fondamentales d'une fonction de transfert harmonique d'un Q.L.P. fermé sur une « charge » et alimenté en entrée par une « source fonctionnant en r.s.f. »

     Il sera aisé de vérifier les propriétés énoncées ci-dessous sur tous les exemples traités en cours et en exercices :

• « toute fonction de transfert d'un Q.L.P. fermé sur une charge est indépendante du dipôle source situé en amont de l'entrée », c'est-à-dire du générateur de fonctions de modèle générateur de tension $\{\underset{\_}{e_g}(t),\underset{\_}{z_g}(j\omega )\}$ $[$ou du générateur de fonctions de modèle générateur de courant $\{\underset{\_}{{\eta }_g}(t),\underset{\_}{z_g}(j\omega )\}]$, en effet ce qui importe c'est la tension instantanée complexe d'entrée $\underset{\_}{u_e}(t)$ et non la façon dont cette tension est construite à l'aide de la source,
• « toute fonction de transfert d'un Q.L.P. fermé sur une charge est dépendante du dipôle d'utilisation situé en aval de la sortie », c'est-à-dire de la charge $\underset{\_}{Z_u}(j\omega )$, en effet il est évident que l'amplification complexe en tension $($ou la transimpédance complexe$)$ en dépend puisque son absence ou présence modifie la tension instantanée complexe de sortie $\{$de même l'amplification complexe en courant $($ou la transadmittance complexe$)$ en dépend puisque son absence ou présence modifie l'intensité instantanée complexe du courant de sortie$\}$ ; il est donc impératif pour pouvoir évaluer la fonction de transfert de connaître la « charge » placée en sortie.

     Remarques : seules l'amplification complexe en tension et la transimpédance complexe ont un intérêt en sortie ouverte en effet, en sortie ouverte $\underset{\_}{i_s}(t)=0$ entraîne la nullité des deux autres et

     Remarques : seules l'amplification complexe en courant et la transadmittance complexe ont un intérêt en sortie court-circuitée en effet, en sortie court-circuitée $\underset{\_}{u_s}(t)=0$ entraîne la nullité des deux autres.

Diagramme de Bode associé à une fonction de transfert harmonique, courbe de gain et courbe de phase

Définition du gain en dB

     Le gain $G(\omega )$ associé à une fonction de transfert $\underset{\_}{H}(j\omega )$ étant défini par $G(\omega )=|\underset{\_}{H}(j\omega )|$, le gain en dB $G_{dB}(\omega )$ l'est par :

• «$G_{dB}(\omega )=20\log [G(\omega )]=20\log |\underset{\_}{H}(j\omega )|$ pour les deux fonctions de transfert sans unité » $($à savoir l'amplification complexe en tension et l'amplification complexe en courant$)$,
• «$G_{dB}(\omega )=20\log \left[\frac{G(\omega )}{G_{\text{réf}}}\right]=20\log \left[\frac{|\underset{\_}{H}(j\omega )|}{G_{\text{réf}}}\right]$ pour les deux fonctions de transfert avec unité » où $G_{\text{réf}}$ est un gain de référence exprimée dans la même unité que la fonction de transfert considérée $($à savoir par exemple $G_{\text{réf}}=1\Omega$ pour la transimpédance complexe et $G_{\text{réf}}=1S$ pour la transadmittance complexe$)$.

     Remarque : le choix du facteur $20$ introduit dans la définition du gain en décibels pour les quatre fonctions de transfert résulte
     Remarque : de l'expression de la puissance électrique moyenne $⟨{𝒫}_{e,r,R}(t)⟩$ reçue par un conducteur ohmique de résistance $R$ en fonction de la tension efficace $U$ aux bornes de ce dernier ou de l'intensité efficace $I$ du courant le traversant soit $⟨{𝒫}_{e,r,R}(t)⟩=R{I}^2=\frac{U^2}{R}$ et
     Remarque : de la définition du gain en puissance électrique moyenne en décibels reçue par un conducteur ohmique de résistance $R$ «$G_{dB,⟨{𝒫}_{e,r,R}⟩}=10\log \left[G_{⟨{𝒫}_{e,r,R}⟩}\right]$» ;

     Remarque : or un gain en tension efficace aux bornes d'un conducteur ohmique de résistance $R$ $($ou un gain en intensité efficace de courant traversant le conducteur ohmique de résistance $R)$ de valeur $\frac{1}{10}$ conduisant à un gain en puissance électrique moyenne reçue par le conducteur ohmique de résistance $R$ de valeur $\frac{1}{100}$,
     Remarque : la définition du gain en puissance électrique moyenne en décibels reçue par ce conducteur ohmique de résistance $R$ $\Rightarrow$ $G_{dB,⟨{𝒫}_{e,r,R}⟩}=-20dB$, le choix du facteur $20$ dans celle du gain en décibels en tension efficace aux bornes de ce conducteur ohmique de résistance $R$ $($ou dans celle du gain en décibels en intensité efficace de courant traversant ce conducteur ohmique de résistance $R)$ $\Rightarrow$ $G_{dB,U}=-20dB$ $($ou $G_{dB,I}=-20dB)$ c'est-à-dire que les trois gains en décibels $($en puissance électrique moyenne, en tension efficace et en intensité efficace de courant$)$ ont la même valeur en décibels.

Définition du diagramme de Bode associé à la fonction de transfert H(jω) = G(ω) e^[jφ(ω)], courbe de gain et courbe de phase

     Le diagramme de Bode associé à la fonction de transfert $\underset{\_}{H}(j\omega )=G(\omega )\exp [j\phi (\omega )]$ est l'ensemble des deux courbes suivantes en échelle semi-logarithmique :

• la courbe de gain qui est le graphe de $G_{dB}(f)$ en fonction de la fréquence $f$ $[$par prolongement on appelle encore « courbe de gain » le graphe de $G_{dB}(\omega )$ en fonction de la pulsation $\omega$ ou le graphe de $G_{dB}(x)$ en fonction de la fréquence réduite $x=\frac{f}{f_0}$ où $f_0$ est une fréquence caractéristique du transfert$]$ et
• la courbe de phase qui est le graphe de $\phi (f)$ en fonction de la fréquence $f$ $[$par prolongement on appelle encore « courbe de phase » le graphe de $\phi (\omega )$ en fonction de la pulsation $\omega$ ou le graphe de $\phi (x)$ en fonction de la fréquence réduite $x=\frac{f}{f_0}$, $f_0$ étant la même fréquence caractéristique du transfert que précédemment$]$.

     Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences : Une « décade » de l'axe des fréquences en échelle logarithmique est l'intervalle entre une fréquence quelconque $f_1$ et la fréquence dix fois plus grande $f_2=10f_1$, toutes les décades ont donc la même largeur en échelle logarithmique car $\log (f_2)-\log (f_1)=\log (10f_1)-\log (f_1)=\log (10)=1$ ;

          Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences : ainsi entre $100Hz$ et $1MHz=10010^{4}Hz$ il y a « quatre décades » $($comme il y a « quatre décades » entre $50Hz$ et $500kHz=5010^{4}Hz)$ ;

          Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences : remarque : notez aussi qu'entre les fréquences $f_1$ et $f_2>f_1$ il y a «$\log \left(\frac{f_2}{f_1}\right)$ décade » $($en particulier entre $f_1$ et $2f_1$ il y a «$\log (2)\simeq 0,3$décade » $)$.

Différentes fonctions de transfert du 1^er ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F.

Définition d'une fonction de transfert du 1^er ordre

     Une fonction de transfert $\underset{\_}{H}(j\omega )$ est dite du « 1^er ordre » quand, écrite sous forme d'un quotient irréductible de polynômes en$j\omega$, le « dénominateur $\underset{\_}{D}(j\omega )$ est un polynôme de degré $1$» ;

     la fonction de transfert sera dite « sous forme normalisée » si le « monôme de degré $0$ de $\underset{\_}{D}(j\omega )$ est $1$», ainsi une fonction de transfert du « 1^er ordre » s'écrit, « sous forme normalisée », selon

«$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{N}(j\omega )}{1+j\alpha \omega }$» avec «$\alpha \in {ℝ}^{\ast }$» et «$\underset{\_}{N}(j\omega )$ polynôme de degré $0$ ou $1$».

     Remarque : si le quadripôle ne contient que des « conducteurs ohmiques, bobines et condensateurs », le cœfficient «$\alpha$ est $>0$» et homogène à une constante de temps, on pose alors «$\alpha =\tau$» et la fonction de transfert du « 1^er ordre » peut se réécrire sous forme normalisée selon

«$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{N}(j\omega )}{1+j\tau \omega }$» avec «$\tau \in {ℝ}^{+\ast }$» et «$\underset{\_}{N}(j\omega )$ polynôme de degré $0$ ou $1$» ou,
en posant «${\omega }_0=\frac{1}{\tau }\in {ℝ}^{+\ast }$» se réécrire sous forme normalisée «$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{N}(j\omega )}{1+j\frac{\omega }{{\omega }_0}}$» ou encore,
en introduisant la « pulsation réduite $x=\frac{\omega }{{\omega }_0}=\tau \omega$» se réécrire sous forme normalisée «$\underset{\_}{H}(jx)=\frac{\underset{\_}{N}(jx)}{1+jx}$».

Fonction de transfert du 1^er ordre fondamental

Définition d'une fonction de transfert du 1^er ordre fondamental

     Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre fondamental » ssi «$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{H_0}{1+j\tau \omega }$» avec «$\tau \in {ℝ}^{+\ast }$ homogène à un temps » et «$H_0\in {ℝ}^{\ast }$ de même homogénéité que le transfert harmonique », $H_0$ définissant le transfert statique ou

          Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre fondamental » ssi «$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{H_0}{1+j\frac{\omega }{{\omega }_0}}$» avec «${\omega }_0\in {ℝ}^{+\ast }$ homogène à une pulsation » et «$H_0\in {ℝ}^{\ast }$ de même homogénéité que le transfert harmonique », $H_0$ définissant le transfert statique ou enfin

          Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre fondamental » ssi «$\underset{\_}{H}(jx)=\frac{H_0}{1+jx}$» avec «$x=\frac{\omega }{{\omega }_0}=\tau \omega \in {ℝ}^{+}$ pulsation réduite sans dimension » et «$H_0\in {ℝ}^{\ast }$ de même homogénéité que le transfert harmonique », $H_0$ définissant le transfert statique.

Exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_e(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de C » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

     Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f. de pulsation $\omega$, « la tension instantanée complexe d'entrée étant $\underset{\_}{u_e}(t)=$ $\underset{\_}{U_e}\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$» avec «$\underset{\_}{U_e}=$ $U_e\exp \left(j{\phi }_{u_e}\right)$ la tension efficace complexe d'entrée », «$R$ étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T. » et «$\underset{\_}{Z_C}(j\omega )$ $=\frac{1}{jC\omega }$ l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte $\underset{\_}{u_{s,v}}(t)=\underset{\_}{U_{s,v}}\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$» avec «$\underset{\_}{U_{s,v}}=U_{s,v}\exp \left(j{\phi }_{u_{s,v}}\right)$ la tension efficace complexe de sortie ouverte » ;

     on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous $u_e(t)=U_e\sqrt{2}\cos (\omega t+{\phi }_{u_e})$ et en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité $C$ c'est-à-dire «$\underset{\_}{A_v}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{u_{s,v}}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}=\frac{\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}$» que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée $\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )$ $=\frac{\underset{\_}{Z_C}(j\omega )}{R+\underset{\_}{Z_C}(j\omega )}\underset{\_}{U_e}$» soit «$\underset{\_}{A_v}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}=$ $\frac{\frac{1}{jC\omega }}{R+\frac{1}{jC\omega }}$» donnant, en multipliant haut et bas par $jC\omega$, l'amplification complexe en tension cherchée

«$\underset{\_}{A_v}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}=\frac{1}{1+jRC\omega }$» correspondant effectivement à un 1^er ordre fondamental
de « transfert statique $A_{v,0}=1$», de « constante de temps ${\tau }_v=RC$» ou de « pulsation particulière ${\omega }_{0,v}=\frac{1}{{\tau }_v}=\frac{1}{RC}$».

Nature du filtre et fréquence de coupure à –3dB

     Le gain associé à la fonction de transfert d'un 1^er ordre fondamental s'écrivant «$G(x)=|\underset{\_}{H}(jx)|=\frac{\left|H_0\right|}{|1+jx|}=\frac{\left|H_0\right|}{\sqrt{1+x^2}}$» est une fonction $\searrow$ de $x$, $\searrow$ de $\left|H_0\right|$ jusqu'à $0$, il s'agit donc d'un passe-bas dans la mesure où il existe « nécessairement »  une « fréquence de coupure à $-3dB$ de fréquence réduite $x_c$ correspondant à $G(x_c)=\frac{\left|H_0\right|}{\sqrt{2}}$ » soit, avec $G(x_c)=\frac{\left|H_0\right|}{\sqrt{1+x_c^2}}$ l'équation $1+x_c^2=2$ ou $x_c^2=1$ et, $x_c$ étant nécessairement $>0$,

la « valeur de la fréquence réduite de coupure à $-3dB$ est $x_c=1$» ou encore,
la « valeur de la pulsation de coupure à $-3dB$ est ${\omega }_c={\omega }_0=\frac{1}{\tau }$».

     En conclusion tout système du 1^er ordre fondamental est un « passe-bas », la « pulsation de coupure à $-3dB$ étant ${\omega }_0=\frac{1}{\tau }$», l'« intervalle passant en fréquences est $[0,f_0=\frac{{\omega }_0}{2\pi }]$» et la « bande passante à $-3dB$ $B.P{.}_{-3dB}=f_0$».

     Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous $u_e(t)=U_e\sqrt{2}\cos (\omega t+{\phi }_{u_e})$ et
               Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité $C$,
               Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. c'est un « passe-bas » de « fréquence de coupure à $-3dB$ : $f_{0,v}=\frac{{\omega }_{0,v}}{2\pi }=\frac{1}{2\pi {\tau }_v}=\frac{1}{2\pi RC}$» soit, avec $R=1k\Omega$ et $C=1\mu F$, une fréquence de coupure à $-3dB$ : $f_{0,v}\simeq 160Hz$ d'où un intervalle passant en fréquences $[0,160Hz]$.

Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 1^er ordre fondamental et conséquences

Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 1^er ordre fondamental et conséquences

     Se situant en B.F. si «$x\ll x_c=1$» ce qui est « réalisé à moins de $1\mathrm{\%}$ près si $x\lesssim \frac{x_c}{10}=\frac{1}{10}$»,
           Se situant en B.F. si «$x\ll x_c=1$» nous obtenons l'« équivalent B.F. de la fonction de transfert selon $\underset{\_}{H}(jx)=\frac{H_0}{1\cancel{+jx}}\sim H_0$» et
           Se situant en B.F. si «$x\ll x_c=1$» nous en déduisons :

• en en prenant le module, le « gain à B.F. $G_{B.F.}\sim \left|H_0\right|$» dont nous tirons le « gain en dB à B.F. $G_{dB,B.F.}\sim 20\log \left[\right|H_0\left|\right]$» $($équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à B.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $G_{dB,\text{asymptote}B.F.}=$ $20\log \left[\right|H_0\left|\right]$» et
• en en prenant l'argument
  en en prenant l'argument $\succ$« dans la mesure où $H_0$ est $>0$», la « phase à B.F. ${\phi }_{B.F.}\sim 0$» $($équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à B.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. ${\phi }_{\text{asymptote}B.F.}=0$» ou
  en en prenant l'argument $\succ$« dans la mesure où $H_0$ est $<0$», la « phase à B.F. ${\phi }_{B.F.}\sim \pi$» $($équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à B.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. ${\phi }_{\text{asymptote}B.F.}=\pi$».

Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 1^er ordre fondamental et conséquences

     Se situant en H.F. si «$x\gg x_c=1$» ce qui est « réalisé à moins de $1\mathrm{\%}$ près si $x\gtrsim 10x_c=10$»,
           Se situant en H.F. si «$x\gg x_c=1$» nous obtenons l'« équivalent H.F. de la fonction de transfert selon $\underset{\_}{H}(jx)=\frac{H_0}{\cancel{1+}jx}\sim \frac{H_0}{jx}$» et
           Se situant en H.F. si «$x\gg x_c=1$» nous en déduisons :

• en en prenant le module, le « gain à H.F. $G_{H.F.}\sim \frac{\left|H_0\right|}{x}$» dont nous tirons le « gain en dB à H.F. $G_{dB,H.F.}\simeq 20\log \left[\right|H_0\left|\right]-20\log (x)$» $($équation de la droite décroissante de pente $-20dB/\text{décade}$ avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à H.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $G_{dB,\text{asymptote}H.F.}=$ $20\log \left[\right|H_0\left|\right]-20\log (x)$» et
• en en prenant l'argument
  en en prenant l'argument $\succ$« dans la mesure où $H_0$ est $>0$», la « phase à H.F. ${\phi }_{H.F.}\sim -\frac{\pi }{2}$» $($équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. ${\phi }_{\text{asymptote}H.F.}=-\frac{\pi }{2}$» ou
  en en prenant l'argument $\succ$« dans la mesure où $H_0$ est $<0$», la « phase à H.F. ${\phi }_{H.F.}\sim \pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$» $($équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. ${\phi }_{\text{asymptote}H.F.}=\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$».

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode

Tracé en rouge de la courbe de gain du diagramme de Bode d'un 1^er ordre fondamental et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un $RC$ série avec sortie ouverte aux bornes de $C$

     On trace d'abord les asymptotes B.F. $($de pente nulle$)$ et H.F. $($de pente $-20dB/\text{décade})$ « se coupant en un point d'abscisse $x_0=1$ égale à la fréquence réduite de coupure à $-3dB$», l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode asymptotique $($en vert ou bleu ci-contre$)$ ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode $($en rouge ci-contre$)$ se confondant avec celle du diagramme de Bode asymptotique $($en vert ou bleu ci-contre$)$ sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à $-3dB$», il suffit de positionner le « point d'abscisse $x_0$ $=1$ $3dB$ au-dessous de l'asymptote B.F. » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par $u_e(t)$, constitué de $RC$ série en sortie ouverte aux bornes de $C$ pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «$R=1k\Omega$ et $C=15,9nF$» conduisant à une « fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=\frac{1}{2\pi RC}\simeq 10^{4}Hz=10kHz$», nous en déduisons les propriétés suivantes $($vérifiées à $1\mathrm{\%}$ près$)$ :
     La courbe de gain « les fréquences $f\lesssim \frac{f_0}{10}=1kHz$ de signaux d'entrée sinusoïdaux se retrouvent en sortie sans modification » et
     La courbe de gain « les fréquences $f\gtrsim 10f_0=100kHz$ de signaux d'entrée sinusoïdaux sont absents en sortie » $\dots$

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode

     Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «$\phi (x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[H_0\right]-\arctan (x)=\left\{\begin{array}{c}-\arctan (x)\text{si }{H}_0>0\\ \pi -\arctan (x)\text{si }{H}_0<0\end{array}\right\}$» qui est une « fonction $\searrow$ de $x$» ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où «$H_0$ est $>0$» ;

Tracé en rouge de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre fondamental et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un $RC$ série avec sortie ouverte aux bornes de $C$

     on trace ensuite les asymptotes B.F. $($de pente nulle et de valeur $0)$ et H.F. $($de pente nulle et de valeur $-\frac{\pi }{2})$, l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme de Bode asymptotique $($en vert ou bleu ci-contre$)$  ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode $($en rouge ci-contre$)$ se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode asymptotique $($en vert ou bleu ci-contre$)$ sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à $-3dB$», il suffit de positionner le « point d'abscisse $x_0=1$ à l'ordonnée $-\frac{\pi }{4}$» puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par $u_e(t)$, constitué de $RC$ série en sortie ouverte aux bornes de $C$ pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les mêmes valeurs «$R=1k\Omega$ et $C=15,9nF$» que celles utilisées pour la courbe de gain conduisant à une « fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=\frac{1}{2\pi RC}\simeq 10^{4}Hz=10kHz$» ;
     la courbe de phase on y a également représenté en tiretés rouges une schématisation de la courbe de phase du diagramme de Bode en la supposant « linéaire entre $\frac{f_0}{10}$ et $10f_0$ depuis l'asymptote B.F. jusqu'à l'asymptote H.F. et confondue avec les asymptotes au-delà de ces fréquences ».

Interprétation de « l'équivalent H.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo intégrateur »

     À H.F. c'est-à-dire si la pulsation réduite «$x=\tau \omega$ est $>$ à $10$» ou si la pulsation «$\omega$ est $>$ à $\frac{10}{\tau }=10{\omega }_0$» ou encore si la fréquence «$f=\frac{\omega }{2\pi }$ est $>$ à $10\frac{{\omega }_0}{2\pi }=10f_0$»,
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\underset{\_}{H}(jx)\sim \frac{H_0}{jx}$» ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par $x=\tau \omega$,
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\underset{\_}{H}(j\omega )\sim \frac{H_0}{\tau }\frac{1}{j\omega }$» et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension $\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{u_s}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}$»
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{u_s}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}\sim \frac{A_0}{\tau }\frac{1}{j\omega }$» dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon

«$\underset{\_}{u_s}(t)\sim \frac{A_0}{\tau }\frac{\underset{\_}{u_e}(t)}{j\omega }$» ;

     or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f. « multiplier la grandeur instantanée complexe par $j\omega$» est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » et que « diviser la grandeur instantanée complexe par $j\omega$» correspond à « prendre la primitive temporelle de valeur moyenne nulle »  d'où «$\underset{\_}{u_s}(t)\sim \frac{A_0}{\tau }{\int }^t\underset{\_}{u_e}(t^{\prime })d{t}^{\prime }$» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales

«$u_s(t)-u_s(0)\simeq \frac{A_0}{\tau }{\int }_0^t{u}_e(t^{\prime })d{t}^{\prime }=A_{0}2\pi f_0{\int }_0^t{u}_e(t^{\prime })d{t}^{\prime }$» si «$f>10f_0$».

     En conclusion, à H.F. soit pratiquement «$f>10f_0$», on observe un fonctionnement « intégrateur »  du système linéaire du 1^er ordre fondamental, cela se manifeste par
          En conclusion, à H.F. soit pratiquement «$f>10f_0$», on observe une « fonction de transfert $\propto$ à $\frac{1}{j\omega }$» ou
          En conclusion, à H.F. soit pratiquement «$f>10f_0$», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente $-20dB/\text{décade}$».

Gain statique et bande passante à –3dB dans l'exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_e(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de C » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension », influence d'une charge résistive en aval de la sortie

     Rappel de l'amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous$u_e(t)$et en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité$C$ : «$\underset{\_}{A_v}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{u_{s,v}}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}=$ $\frac{\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}=\frac{1}{1+jRC\omega }$», son gain statique valant «$G_{0,v}=\left|A_{0,v}\right|=1$ » et sa bande passante à $-3dB$ $($c'est-à-dire la largeur, en fréquences, de l'intervalle passant à $-3dB)$ «$B.P{.}_{-3dB,v}$ $=f_{0,v}=\frac{{\omega }_{0,v}}{2\pi }=\frac{1}{2\pi {\tau }_v}=\frac{1}{2\pi RC}$», nous en déduisons

le produit « gain statique*bande passante à $-3dB$» en sortie ouverte «$G_{0,v}\times B.P{.}_{-3dB,v}=\frac{1}{2\pi RC}$».

     Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous$u_e(t)$et
                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. en sortie aux bornes du condensateur de capacité$C$fermée sur une charge résistive de résistance$R_u$ : nous allons établir que la nature du filtre reste la même avec une $\searrow$ du gain statique et une $\nearrow$ de la bande passante à $-3dB$, le produit « gain statique*bande passante à $-3dB$» gardant la même valeur que celle en sortie ouverte ;

                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation du P.D.T. en complexe alimenté en entrée par $\underset{\_}{u_e}(t)$, ayant pour D.P. d'attaque le conducteur ohmique de résistance $R$, lequel est en série avec le condensateur de capacité $C$ quand la sortie aux bornes de ce dernier est ouverte, de tension instantanée complexe de sortie $\underset{\_}{u_s}(t)$ quand celle-ci est fermée sur la charge de résistance d'utilisation $R_u$ ;
                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. nous pouvons alors reconnaître un P.D.T. en complexe alimenté en entrée par $\underset{\_}{u_e}(t)$, ayant pour D.P. d'attaque $R$ « en série avec l'association $C\parallel R_u$ d'impédance complexe $\underset{\_}{Z_{C\parallel R_u}}(j\omega )=\frac{R_u\frac{1}{jC\omega }}{R_u+\frac{1}{jC\omega }}=\frac{R_u}{1+j{R}_{u}C\omega }$» et en sortie ouverte aux bornes de cette association et
                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. nous obtenons «$\underset{\_}{u_s}(t)=\frac{\underset{\_}{Z_{C\parallel R_u}}(j\omega )}{R+\underset{\_}{Z_{C\parallel R_u}}(j\omega )}\underset{\_}{u_e}(t)=\frac{\frac{R_u}{1+j{R}_{u}C\omega }}{R+\frac{R_u}{1+j{R}_{u}C\omega }}\underset{\_}{u_e}(t)$» ou, en multipliant haut et bas par $1+j{R}_{u}C\omega$ et après regroupement de termes, «$\underset{\_}{u_s}(t)=\frac{R_u}{R+R_u+jR{R}_{u}C\omega }\underset{\_}{u_e}(t)$» donnant, après normalisation, l'amplification complexe en tension recherchée «$\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{u_s}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}=\frac{\underset{\_}{U_s}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}$ $=\frac{\frac{R_u}{R+R_u}}{1+j\frac{R{R}_u}{R+R_u}C\omega }$» correspondant effectivement à un 1^er ordre fondamental donc à un « passe-bas » dont nous tirons

• le « gain statique $G_{0,R_u}=\left|A_0\right|=\frac{R_u}{R+R_u}<1=G_{0,v}$» et
• la « bande passante à $-3dB$ $B.P{.}_{-3dB,R_u}=f_{0,R_u}=\frac{1}{2\pi {\tau }_{R_u}}=\frac{1}{2\pi \frac{R{R}_u}{R+R_u}C}=\frac{1}{2\pi RC}\frac{R+R_u}{R_u}>\frac{1}{2\pi RC}=B.P{.}_{-3dB,v}$» ;

                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. formant le produit « gain statique*bande passante à $-3dB$» $\Rightarrow$ «$G_{0,R_u}\times B.P{.}_{-3dB,R_u}=\frac{R_u}{R+R_u}\times \frac{1}{2\pi RC}\frac{R+R_u}{R_u}=$ $\frac{1}{2\pi RC}$» c'est-à-dire qu'on vérifie l'indépendance de ce produit par rapport à la résistance d'utilisation soit

«$G_{0,R_u}\times B.P{.}_{-3dB,R_u}=G_{0,v}\times B.P{.}_{-3dB,v}$»,
une diminution de la résistance d'utilisation s'accompagnant d'une dégradation simultanée
de la bande passante à $-3dB$ $($celle-ci augmentant$)$ et du gain statique $($celui-ci diminuant$)$.

Fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul

Définition d'une fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul

     Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul » ssi «$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{j\beta \omega }{1+j\tau \omega }$» avec «$\tau \in {ℝ}^{+\ast }$ homogène à un temps » et «$\beta \in {ℝ}^{\ast }$ d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps », le transfert statique étant effectivement nul ou

          Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul » ssi «$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{j\beta \omega }{1+j\frac{\omega }{{\omega }_0}}$» avec «${\omega }_0\in {ℝ}^{+\ast }$ homogène à une pulsation » et «$\beta \in {ℝ}^{\ast }$ d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps », le transfert statique étant effectivement nul ou enfin

          Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul » ssi «$\underset{\_}{H}(jx)=\frac{j\alpha x}{1+jx}$» avec «$x=\frac{\omega }{{\omega }_0}=$ $\tau \omega \in {ℝ}^{+}$ pulsation réduite sans dimension » et «$\alpha =\frac{\beta }{\tau }=\beta {\omega }_0\in {ℝ}^{\ast }$ de même homogénéité que le transfert harmonique », le transfert statique étant effectivement nul.

Exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_e(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de R » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

     Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f. de pulsation $\omega$, « la tension instantanée complexe d'entrée étant $\underset{\_}{u_e}(t)=$ $\underset{\_}{U_e}\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$ avec $\underset{\_}{U_e}=U_e\exp \left(j{\phi }_{u_e}\right)$ la tension efficace complexe d'entrée », «$\underset{\_}{Z_C}(j\omega )=\frac{1}{jC\omega }$ étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T. » et «$R$ l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte $\underset{\_}{u_{s,v}}(t)=\underset{\_}{U_{s,v}}\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$» avec «$\underset{\_}{U_{s,v}}=U_{s,v}\exp \left(j{\phi }_{u_{s,v}}\right)$ la tension efficace complexe de sortie ouverte » ;

     on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous $u_e(t)=U_e\sqrt{2}\cos (\omega t+{\phi }_{u_e})$ et en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance $R$ c'est-à-dire «$\underset{\_}{A_v}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{u_{s,v}}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}=\frac{\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}$» que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée $\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )=\frac{R}{R+\underset{\_}{Z_C}(j\omega )}\underset{\_}{U_e}$» soit «$\underset{\_}{A_v}(j\omega )=$ $\frac{\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}=\frac{R}{R+\frac{1}{jC\omega }}$» donnant, en multipliant haut et bas par $jC\omega$, l'amplification complexe en tension cherchée

«$\underset{\_}{A_v}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}=$ $\frac{jRC\omega }{1+jRC\omega }$» correspondant effectivement à un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul
de « constante de temps ${\tau }_v=RC$» ou de « pulsation particulière ${\omega }_{0,v}=\frac{1}{{\tau }_v}=\frac{1}{RC}$» et de « cœfficient ${\beta }_v=RC={\tau }_v$» ou «${\alpha }_v=\frac{{\beta }_v}{{\tau }_v}=1$».

Nature du filtre et fréquence de coupure à –3dB

     Le gain associé à la fonction de transfert d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul s'écrivant «$G(x)=|\underset{\_}{H}(jx)|=\frac{\left|\alpha \right|x}{|1+jx|}=\frac{\left|\alpha \right|x}{\sqrt{1+x^2}}$» ou, en divisant haut et bas par $x$ pour obtenir un numérateur constant, «$G(x)=\frac{\left|\alpha \right|}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$» est une fonction $\searrow$ de $\frac{1}{x^2}$ donc $\nearrow$ de $x$, $\nearrow$ de $0$ jusqu'à $\left|\alpha \right|$, il s'agit donc d'un passe-haut dans la mesure où il existe « nécessairement »  une « fréquence de coupure à $-3dB$ de fréquence réduite $x_c$ correspondant à $G(x_c)=\frac{\left|\alpha \right|}{\sqrt{2}}$ » soit, avec $G(x_c)=\frac{\left|\alpha \right|}{\sqrt{1+\frac{1}{x_c^2}}}$ l'équation $1+\frac{1}{x_c^2}=2$ ou $x_c^2=1$ et, $x_c$ étant nécessairement $>0$,

la « valeur de la fréquence réduite de coupure à $-3dB$ est $x_c=1$» ou encore,
la « valeur de la pulsation de coupure à $-3dB$ est ${\omega }_c={\omega }_0=\frac{1}{\tau }$».

     En conclusion tout système du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul est un « passe-haut », la « pulsation de coupure à $-3dB$ étant ${\omega }_0=\frac{1}{\tau }$», l'« intervalle passant en fréquences est $[f_0=\frac{{\omega }_0}{2\pi },+\mathrm{\infty }[$» et la bande non passante à $-3dB$ $B.n.P{.}_{-3dB}=f_0$».

     Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous $u_e(t)=U_e\sqrt{2}\cos (\omega t+{\phi }_{u_e})$ et
               Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance $R$,
               Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. c'est un « passe-haut » de « fréquence de coupure à $-3dB$ : $f_{0,v}=\frac{{\omega }_{0,v}}{2\pi }=\frac{1}{2\pi {\tau }_v}=\frac{1}{2\pi RC}$» soit, avec $R=1k\Omega$ et $C=1\mu F$, une fréquence de coupure à $-3dB$ : $f_{0,v}\simeq 160Hz$ d'où un intervalle passant en fréquences $[160Hz,+\mathrm{\infty }[$.

Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquences

Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquences

     Se situant en B.F. si «$x\ll x_c=1$» ce qui est « réalisé à moins de $1\mathrm{\%}$ près si $x\lesssim \frac{x_c}{10}=\frac{1}{10}$»,
           Se situant en B.F. si «$x\ll x_c=1$» nous obtenons l'« équivalent B.F. de la fonction de transfert selon $\underset{\_}{H}(jx)=\frac{j\alpha x}{1\cancel{+jx}}\sim j\alpha x$» et
           Se situant en B.F. si «$x\ll x_c=1$» nous en déduisons :

• en en prenant le module, le « gain à B.F. $G_{B.F.}\sim \left|\alpha \right|x$» dont nous tirons le « gain en dB à B.F. $G_{dB,B.F.}\simeq 20\log \left[\right|\alpha \left|\right]+20\log (x)$» $($équation de la droite croissante de pente $+20dB/\text{décade}$ avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à B.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $G_{dB,\text{asymptote}B.F.}=20\log \left[\right|\alpha \left|\right]+20\log (x)$» et
• en en prenant l'argument
  en en prenant l'argument $\succ$« dans la mesure où $\alpha$ est $>0$», la « phase à B.F. ${\phi }_{B.F.}\sim +\frac{\pi }{2}$» $($équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à B.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. ${\phi }_{\text{asymptote}B.F.}=+\frac{\pi }{2}$» ou
  en en prenant l'argument $\succ$« dans la mesure où $\alpha$ est $<0$», la « phase à B.F. ${\phi }_{B.F.}\sim -\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}$» $($équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à B.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. ${\phi }_{\text{asymptote}B.F.}=-\frac{\pi }{2}$».

Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquences

     Se situant en H.F. si «$x\gg x_c=1$» ce qui est « réalisé à moins de $1\mathrm{\%}$ près si $x\gtrsim 10x_c=10$»,
           Se situant en H.F. si «$x\gg x_c=1$» nous obtenons l'« équivalent H.F. de la fonction de transfert selon $\underset{\_}{H}(jx)=\frac{j\alpha x}{\cancel{1+}jx}\sim \alpha$» et
           Se situant en H.F. si «$x\gg x_c=1$» nous en déduisons :

• en en prenant le module, le « gain à H.F. $G_{H.F.}\sim \left|\alpha \right|$» dont nous tirons le « gain en dB à H.F. $G_{dB,H.F.}\simeq 20\log \left[\right|\alpha \left|\right]$» $($équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à H.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $G_{dB,\text{asymptote}H.F.}=$ $20\log \left[\right|\alpha \left|\right]$» et
• en en prenant l'argument
  en en prenant l'argument $\succ$« dans la mesure où $\alpha$ est $>0$», la « phase à H.F. ${\phi }_{H.F.}\sim 0$» $($équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. ${\phi }_{\text{asymptote}H.F.}=0$» ou
  en en prenant l'argument $\succ$« dans la mesure où $\alpha$ est $<0$», la « phase à H.F. ${\phi }_{H.F.}\sim -\pi$» $($équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. ${\phi }_{\text{asymptote}H.F.}=-\pi$».

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode

Tracé en rouge de la courbe de gain du diagramme de Bode d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un $RC$ série avec sortie ouverte aux bornes de $R$

     On trace d'abord les asymptotes B.F. $($de pente $+20dB/\text{décade})$ et H.F. $($de pente nulle$)$ « se coupant en un point d'abscisse $x_0=1$ égale à la fréquence réduite de coupure à $-3dB$», l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode asymptotique $($en vert ou bleu ci-contre$)$ ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode $($en rouge ci-contre$)$ se confondant avec celle du diagramme de Bode asymptotique $($en vert ou bleu ci-contre$)$ sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à $-3dB$», il suffit de positionner le « point d'abscisse $x_0$ $=1$ $3dB$ au-dessous de l'asymptote H.F. » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par $u_e(t)$, constitué de $RC$ série en sortie ouverte aux bornes de $R$ pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «$R=1k\Omega$ et $C=15,9nF$» conduisant à une « fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=\frac{1}{2\pi RC}\simeq 10^{4}Hz=10kHz$», nous en déduisons les propriétés suivantes $($vérifiées à $1\mathrm{\%}$ près$)$ :
     La courbe de gain « les fréquences $f\gtrsim 10f_0=100kHz$ de signaux d'entrée sinusoïdaux se retrouvent en sortie sans modification et
     La courbe de gain « les fréquences $f\lesssim \frac{f_0}{10}=1kHz$ de signaux d'entrée sinusoïdaux sont absents en sortie » $\dots$

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode

     Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «$\phi (x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[j\alpha x\right]-\arctan (x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}-\arctan (x)\text{si }\alpha >0\\ -\frac{\pi }{2}-\arctan (x)\text{si }\alpha <0\end{array}\right\}$» qui est une « fonction $\searrow$ de $x$» ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où «$\alpha$ est $>0$» ;

Tracé en rouge de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un $RC$ série avec sortie ouverte aux bornes de $R$

     on trace ensuite les asymptotes B.F. $($de pente nulle et de valeur $\frac{\pi }{2})$ et H.F. $($de pente nulle et de valeur $0)$, l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme asymptotique $($en vert ou bleu ci-contre$)$ ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode $($en rouge ci-contre$)$ se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode asymptotique $($en vert ou bleu ci-contre$)$ sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à $-3dB$», il suffit de positionner le « point d'abscisse $x_0=1$ à l'ordonnée $+\frac{\pi }{4}$» puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par $u_e(t)$, constitué de $RC$ série en sortie ouverte aux bornes de $R$ pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les mêmes valeurs «$R=1k\Omega$ et $C=15,9nF$» que celles utilisées pour la courbe de gain conduisant à une « fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=\frac{1}{2\pi RC}\simeq 10^{4}Hz=10kHz$» ;
     la courbe de phase on y a également représenté en tiretés rouges une schématisation de la courbe de phase du diagramme de Bode en la supposant « linéaire entre $\frac{f_0}{10}$ et $10f_0$ depuis l'asymptote B.F. jusqu'à l'asymptote H.F. et confondue avec les asymptotes au-delà de ces fréquences ».

Interprétation de « l'équivalent B.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo dérivateur »

     À B.F. c'est-à-dire si la pulsation réduite «$x=\tau \omega$ est $<$ à $\frac{1}{10}$» ou si la pulsation «$\omega$ est $<$ à $\frac{1}{10\tau }=\frac{{\omega }_0}{10}$» ou encore si la fréquence «$f=\frac{\omega }{2\pi }$ est $<$ à $\frac{{\omega }_0}{20\pi }=\frac{f_0}{10}$»,
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\underset{\_}{H}(jx)\sim j\alpha x$» ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par $x=\tau \omega$,
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\underset{\_}{H}(j\omega )\sim \alpha \tau j\omega$» et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension $\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{u_s}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}$»
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{u_s}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}\sim \alpha \tau j\omega$» dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon

«$\underset{\_}{u_s}(t)\sim \alpha \tau j\omega \underset{\_}{u_e}(t)$» ;

     or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f. « multiplier la grandeur instantanée complexe par $j\omega$» est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » d'où «$\underset{\_}{u_s}(t)\sim \alpha \tau \frac{d\underset{\_}{u_e}}{dt}(t)$» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales

«$u_s(t)\sim \alpha \tau \frac{d{u}_e}{dt}(t)=\frac{\alpha }{2\pi f_0}\frac{d{u}_e}{dt}(t)$» si «$f<\frac{f_0}{10}$».

     En conclusion, à B.F. soit pratiquement «$f<\frac{f_0}{10}$», on observe un fonctionnement « dérivateur »  du système linéaire du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul, cela se manifeste par
          En conclusion, à BH.F. soit pratiquement «$f<\frac{f_0}{10}$», on observe une « fonction de transfert $\propto$ à $j\omega$» ou
          En conclusion, à BH.F. soit pratiquement «$f<\frac{f_0}{10}$», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente $+20dB/\text{décade}$».

Gain à H.F. et bande non passante à –3dB dans l'exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_e(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de R » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

     Rappel de l'amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous$u_e(t)$et en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance$R$ : «$\underset{\_}{A_v}(j\omega )=$ $\frac{\underset{\_}{u_{s,v}}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}=\frac{\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}=\frac{jRC\omega }{1+jRC\omega }$», son gain à H.F. valant «$G_{H.F.,v}=\left|{\alpha }_v\right|=1$ et sa bande non passante à $-3dB$ $($c'est-à-dire la largeur, en fréquences, de l'intervalle non passant à $-3dB)$ «$B.n.P{.}_{-3dB,v}$ $=f_{0,v}=\frac{{\omega }_{0,v}}{2\pi }=\frac{1}{2\pi {\tau }_v}=\frac{1}{2\pi RC}$», nous en déduisons

le produit « gain H.F.*bande non passante à $-3dB$» en sortie ouverte «$G_{H.F.,v}\times B.n.P{.}_{-3dB,v}=\frac{1}{2\pi RC}$».

     Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous$u_e(t)$et en sortie aux bornes du conducteur ohmique de résistance$R$fermée sur une charge résistive de résistance$R_u$ : nous allons établir que la nature du filtre reste la même avec un maintien du gain à H.F. et une $\nearrow$ de la bande non passante à $-3dB$, le produit « gain H.F.*bande non passante à $-3dB$» étant aussi plus grande que celle en sortie ouverte ;

                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation du P.D.T. en complexe alimenté en entrée par $\underset{\_}{u_e}(t)$, ayant pour D.P. d'attaque le condensateur de capacité $C$, lequel est en série avec le conducteur ohmique de résistance $R$ quand la sortie aux bornes de ce dernier est ouverte, de tension instantanée complexe de sortie $\underset{\_}{u_s}(t)$ quand celle-ci est fermée sur la charge de résistance d'utilisation $R_u$ ;
                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. nous pouvons alors reconnaître un P.D.T. en complexe alimenté en entrée par $\underset{\_}{u_e}(t)$, ayant pour D.P. d'attaque d'impédance complexe $\underset{\_}{Z_C}(j\omega )=\frac{1}{jC\omega }$ « en série avec l'association $R\parallel R_u$ d'impédance complexe $R\parallel R_u=$ $\frac{R{R}_u}{R+R_u}$» et en sortie ouverte aux bornes de cette association et
                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. nous obtenons «$\underset{\_}{u_s}(t)=\frac{R\parallel R_u}{\underset{\_}{Z_C}(j\omega )+R\parallel R_u}\underset{\_}{u_e}(t)=\frac{\frac{R{R}_u}{R+R_u}}{\frac{1}{jC\omega }+\frac{R{R}_u}{R+R_u}}\underset{\_}{u_e}(t)$» ou, en multipliant haut et bas par $j(R+R_u)C\omega$ et après regroupement de termes, «$\underset{\_}{u_s}(t)=\frac{jR{R}_{u}C\omega }{R+R_u+jR{R}_{u}C\omega }\underset{\_}{u_e}(t)$» donnant, après normalisation, l'amplification complexe en tension recherchée «$\underset{\_}{A}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{u_s}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}=$ $\frac{\underset{\_}{U_s}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}=\frac{j\frac{R{R}_u}{R+R_u}C\omega }{1+j\frac{R{R}_u}{R+R_u}C\omega }$» correspondant effectivement à un 1^er ordre non fondamental à transfert nul donc à un « passe-haut » dont nous tirons

• le « gain à H.F. $G_{H.F.,R_u}=\frac{|{\beta }_{R_u}|}{{\tau }_{R_u}}=1=G_{0,v}$» et
• la « bande non passante à $-3dB$ $B.n.P{.}_{-3dB,R_u}=f_{0,R_u}=\frac{1}{2\pi {\tau }_{R_u}}=\frac{1}{2\pi \frac{R{R}_u}{R+R_u}C}=\frac{1}{2\pi RC}\frac{R+R_u}{R_u}>\frac{1}{2\pi RC}=B.n.P{.}_{-3dB,v}$» ;

                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. formant le produit « gain H.F.*bande non passante à $-3dB$» $\Rightarrow$ «$G_{H.F.,R_u}\times B.n.P{.}_{-3dB,R_u}=1\times \frac{1}{2\pi RC}\frac{R+R_u}{R_u}=$ $\frac{1}{2\pi RC}\frac{R+R_u}{R_u}>\frac{1}{2\pi RC}$» c'est-à-dire qu'on vérifie la dépendance de ce produit par rapport à la résistance d'utilisation soit

«$G_{H.F.,R_u}\times B.n.P{.}_{-3dB,R_u}>G_{H.F.,v}\times B.n.P{.}_{-3dB,v}$»,
une diminution de la résistance d'utilisation s'accompagnant d'une dégradation de la bande non passante à $-3dB$ $($celle-ci augmentant) mais
une diminution de la résistance d'utilisation s'accompagnant d'une conservation du gain H.F. $($celui-ci restant égal à $1)$.                                        

Fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul

Définition d'une fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul

     Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul » ssi «$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{H_0+j\beta \omega }{1+j\tau \omega }$» avec «$\tau \in {ℝ}^{+\ast }$ homogène à un temps », «$H_0\in {ℝ}^{\ast }$ définissant le transfert statique de même homogénéité que le transfert harmonique » et «$\beta \in {ℝ}^{\ast }$ d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps » ou

          Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul » ssi «$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{H_0+j\beta \omega }{1+j\frac{\omega }{{\omega }_0}}$» avec «${\omega }_0\in {ℝ}^{+\ast }$ homogène à une pulsation », «$H_0\in {ℝ}^{\ast }$ définissant le transfert statique de même homogénéité que le transfert harmonique » et «$\beta \in {ℝ}^{\ast }$ d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps » ou enfin

          Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul » ssi «$\underset{\_}{H}(jx)=\frac{H_0+j\alpha x}{1+jx}$» avec «$x=\frac{\omega }{{\omega }_0}=$ $\tau \omega \in {ℝ}^{+}$ pulsation réduite sans dimension », «$H_0\in {ℝ}^{\ast }$ définissant le transfert statique et $\alpha =\frac{\beta }{\tau }=\beta {\omega }_0\in {ℝ}^{\ast }$ tous deux de même homogénéité que le transfert harmonique ».

Exemple : Pont diviseur de tension en sortie ouverte constitué de « R', R et C en série » avec « sortie aux bornes de "R C série" » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

     Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f. de pulsation $\omega$, « la tension instantanée complexe d'entrée étant $\underset{\_}{u_e}(t)=$ $\underset{\_}{U_e}\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$ avec $\underset{\_}{U_e}=$ $U_e\exp \left(j{\phi }_{u_e}\right)$ la tension efficace complexe d'entrée », «$R^{\prime }$ étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T. » et «$\underset{\_}{Z_C}(j\omega )$ $=\frac{1}{jC\omega }$ en série avec $R$ l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte $\underset{\_}{u_{s,v}}(t)=$ $\underset{\_}{U_{s,v}}\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$» avec «$\underset{\_}{U_{s,v}}=U_{s,v}\exp \left(j{\phi }_{u_{s,v}}\right)$ la tension efficace complexe de sortie ouverte » ;

     on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous $u_e(t)=U_e\sqrt{2}\cos (\omega t+{\phi }_{u_e})$ et en sortie ouverte aux bornes du « dipôle $RC$ série d'impédance complexe $\underset{\_}{Z_{R\text{série}C}}(j\omega )=R+\frac{1}{jC\omega }=\frac{1+jRC\omega }{jC\omega }$» c'est-à-dire «$\underset{\_}{A_v}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{u_{s,v}}(t)}{\underset{\_}{u_e}(t)}=\frac{\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}$» que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée $\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )=$ $\frac{\underset{\_}{Z_{R\text{série}C}}(j\omega )}{R^{\prime }+\underset{\_}{Z_{R\text{série}C}}(j\omega )}\underset{\_}{U_e}$» soit «$\underset{\_}{A_v}(j\omega )=$ $\frac{\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}=\frac{\frac{1+jRC\omega }{jC\omega }}{R^{\prime }+\frac{1+jRC\omega }{jC\omega }}$» donnant, en multipliant haut et bas par $jC\omega$, l'amplification complexe en tension cherchée

«$\underset{\_}{A_v}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{U_{s,v}}(j\omega )}{\underset{\_}{U_e}}=$ $\frac{1+jRC\omega }{1+j(R+R^{\prime })C\omega }$» correspondant effectivement à un 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul
de « constante de temps ${\tau }_v=(R+R^{\prime })C$» ou de « pulsation particulière ${\omega }_{0,v}=\frac{1}{{\tau }_v}=\frac{1}{(R+R^{\prime })C}$»,
de « transfert statique $H_{0,v}=1$» et de « cœfficient ${\beta }_v=RC$» ou «${\alpha }_v=\frac{{\beta }_v}{{\tau }_v}=\frac{R}{R+R^{\prime }}$».

Méthode d'étude à adopter pour le tracé du diagramme de Bode d'une fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul

     La méthode d'étude consiste à « considérer la fonction de transfert comme le produit de deux fonctions de transfert $\underset{\_}{H}(jx)=\underset{\_}{H_1}(jx)\times \underset{\_}{H_2}(jx)$» dont « l'une $\underset{\_}{H_1}(jx)$ est celle correspondant à un 1^er ordre fondamental pour laquelle toutes les propriétés sont connues » et dont « l'autre $\underset{\_}{H_2}(jx)$ est la seule restant à étudier » ;

     une fois le produit formé et l'étude de la fonction de transfert $\underset{\_}{H_2}(jx)$ réalisée, nous en déduisons :

• en en prenant le module «$|\underset{\_}{H}(jx)|=|\underset{\_}{H_1}(jx)|\times |\underset{\_}{H_2}(jx)|$» ou «$G(x)=G_1(x)\times G_2(x)$» soit finalement «$G_{dB}(x)=G_{1,dB}(x)+G_{2,dB}(x)$» permettant d'« obtenir la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert $\underset{\_}{H}(jx)$ en ajoutant, points par points, la courbe de gain des diagrammes de Bode de chaque fonction de transfert $\underset{\_}{H_1}(jx)$ et $\underset{\_}{H_2}(jx)$» et
• en en prenant l'argument «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{H}(jx)]=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{H_1}(jx)]+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{H_2}(jx)]$» soit finalement «$\phi (x)={\phi }_1(x)+{\phi }_2(x)$» permettant d'« obtenir la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction de transfert $\underset{\_}{H}(jx)$ en ajoutant, points par points, la courbe de phase des diagrammes de Bode de chaque fonction de transfert $\underset{\_}{H_1}(jx)$ et $\underset{\_}{H_2}(jx)$» ;

     pour mettre la fonction de transfert $\underset{\_}{H}(jx)=\frac{H_0+j\alpha x}{1+jx}$ sous forme du produit de fonctions précédemment décrit, on met $H_0$ en facteur dans le numérateur soit $\underset{\_}{H}(jx)=\frac{H_0[1+j\frac{\alpha }{H_0}x]}{1+jx}$ permettant de réécrire «$\underset{\_}{H}(jx)=\underset{\_}{H_1}(jx)\times \underset{\_}{H_2}(jx)$» avec «$\underset{\_}{H_1}(jx)=\frac{H_0}{1+jx}$» $($c'est-à-dire un 1^er ordre fondamental$)$ et «$\underset{\_}{H_2}(jx)=1+j\frac{\alpha }{H_0}x$» $($c'est-à-dire la fonction restant à étudier$)$.

Étude de la fonction « partielle » de transfert H₂(jx)

     Pour étudier la fonction « partielle » de transfert $\underset{\_}{H_2}(jx)=1+j\frac{\alpha }{H_0}x$, il convient d'introduire une « pulsation réduite caractéristique $x_2$ pour laquelle la partie imaginaire $\frac{\alpha }{H_0}{x}_2$ a la même valeur absolue que la partie réelle $1$» soit «$x_2=\left|\frac{H_0}{\alpha }\right|$» ;

     avec cette introduction, la fonction « partielle » de transfert $\underset{\_}{H_2}(jx)=1+j\frac{\alpha }{H_0}x$ peut se réécrire, suivant les signes comparés de $H_0$ et $\alpha$ :

«$\underset{\_}{H_2}(jx)=1+j\frac{x}{x_2}$ si $H_0$ et $\alpha$ sont de même signe » et
«$\underset{\_}{H_2}(jx)=1-j\frac{x}{x_2}$ si $H_0$ et $\alpha$ sont de signe contraire ».

Équivalents B.F. et H.F. de la fonction « partielle » de transfert H₂(jx) et conséquences

Équivalents B.F. de la fonction « partielle » de transfert H₂(jx) et conséquences

     À B.F. c'est-à-dire si «$x\ll x_2$», « réalisé à moins de $1\mathrm{\%}$ près si $x\lesssim \frac{x_2}{10}$»,
           Se situant en B.F. si «$x\ll x_2$» nous obtenons l'« équivalent B.F. de la fonction partielle de transfert selon $\underset{\_}{H_2}(jx)=1\cancel{\pm j\frac{x}{x_2}}$ soit «$\underset{\_}{H_2}(jx)$ $\sim 1$» et
           Se situant en B.F. si «$x\ll x_2$» nous en déduisons :

• en en prenant le module, le « gain à B.F. $G_{2,B.F.}\sim 1$» dont nous tirons le « gain en dB à B.F. $G_{2,dB,B.F.}\simeq 0$» $($équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à B.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $G_{2,dB,\text{asymptote}B.F.}=0$» et
• en en prenant l'argument, la « phase à B.F. ${\phi }_{2,B.F.}\sim 0$» $($équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à B.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. ${\phi }_{2,\text{asymptote}B.F.}$ $=0$».

Équivalents H.F. de la fonction « partielle » de transfert H₂(jx) et conséquences

     À H.F. c'est-à-dire si «$x\gg x_2$», « réalisé à moins de $1\mathrm{\%}$ près si $x\gtrsim 10x_2$»,
           Se situant en H.F. si «$x\gg x_2$» nous obtenons l'« équivalent H.F. de la fonction partielle de transfert selon $\underset{\_}{H_2}(jx)=\cancel{1}\pm j\frac{x}{x_2}$ soit «$\underset{\_}{H_2}(jx)$ $\sim \pm j\frac{x}{x_2}$» et
           Se situant en H.F. si «$x\gg x_2$» nous en déduisons :

• en en prenant le module, le « gain à H.F. $G_{2,H.F.}\sim \frac{x}{x_2}$» dont nous tirons le « gain en dB à H.F. $G_{2,dB,H.F.}\simeq 20\log \left[\frac{x}{x_2}\right]$» $($équation de la droite croissante de pente $+20dB/\text{décade}$ avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à H.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $G_{2,dB,\text{asymptote}H.F.}$ $=20\log (x)-20\log (x_2)$» et
• en en prenant l'argument,
  en en prenant l'argument $\succ$« dans la mesure où $H_0$ et $\alpha$ sont de même signe », la « phase à H.F. ${\phi }_{2,H.F.}\sim +\frac{\pi }{2}$» $($équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. ${\phi }_{2,\text{asymptote}H.F.}=+\frac{\pi }{2}$» ou
  en en prenant l'argument $\succ$« dans la mesure où $H_0$ et $\alpha$ sont de signe contraire », la « phase à H.F. ${\phi }_{2,H.F.}\sim -\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}$» $($équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.$)$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. ${\phi }_{2,\text{asymptote}H.F.}$ $=-\frac{\pi }{2}$».

Tracé de la courbe de gain de son diagramme de Bode

     Le tracé $($en bleu$)$ est visible dans le paragraphe « superposition de la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H₂(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H₁(jx) du 1^er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de gain pour obtenir la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul » plus loin dans ce chapitre ;
     Le tracé $($en bleu$)$ la courbe de gain du diagramme de Bode envisagée correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par $u_e(t)$, constitué de $R^{\prime }$, $R$ et $C$ en série en sortie ouverte aux bornes de $RC$ série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «$R^{\prime }=10k\Omega$,$R=$ $0,5k\Omega$ et $C=15,9nF$» conduisant à «$H_{0,v}=1$ et ${\alpha }_v=$ $\frac{R}{R+R^{\prime }}=\frac{1}{21}$ soit $x_2=\frac{H_{0,v}}{{\alpha }_v}=21$ ou, avec $f_0=\frac{1}{2\pi (R+R^{\prime })C}\simeq 1kHz$ $($fréquence de coupure à $-3dB$ de l'autre facteur du 1^er ordre fondamental$)$, $f_2=x_2{f}_0\simeq 21kHz$ c'est-à-dire la fréquence caractéristique de la fonction partielle de transfert $\underset{\_}{H_2}(jx)$» ;

     Le tracé $($en bleu$)$ on trace d'abord les asymptotes B.F. $($de pente nulle$)$ et H.F. $($de pente $+20dB/\text{décade})$ « se coupant en un point d'abscisse $x_2$», l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme asymptotique ;

     Le tracé $($en bleu$)$ on trace la courbe de gain $($laquelle n'a pas été tracée$)$ se confondrait avec celle du diagramme asymptotique sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence $f_2$», il suffirait alors de positionner le « point d'abscisse $x_2$ $3dB$ au-dessus de l'asymptote B.F. » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière ».

Tracé de la courbe de phase de son diagramme de Bode

     Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «$\phi (x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[1\pm j\frac{x}{x_2}]=\left\{\begin{array}{c}\arctan \left(\frac{x}{x_2}\right)\text{si }{H}_0\alpha >0\\ -\arctan \left(\frac{x}{x_2}\right)\text{si }{H}_0\alpha <0\end{array}\right\}$» qui est une « fonction croissante de $x$ si $H_0\alpha$ est $>0$ ou
                                                                                 Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «$\phi (x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[1\pm j\frac{x}{x_2}]$» qui est une « fonction décroissante de $x$ si $H_0\alpha$ est $<0$» ;
     dans la suite nous nous plaçons dans le cas où «$H_0\alpha$ est $>0$».

     Le tracé $($en bleu$)$ est visible dans le paragraphe « superposition de la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H₂(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H₁(jx) du 1^er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de phase pour obtenir la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul » plus loin dans ce chapitre ;
     Le tracé $($en bleu$)$ la courbe de phase du diagramme de Bode envisagée correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par $u_e(t)$, constitué de $R^{\prime }$, $R$ et $C$ en série en sortie ouverte aux bornes de $RC$ série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «$R^{\prime }=10k\Omega$,$R=$ $0,5k\Omega$ et $C=15,9nF$» conduisant à «$H_{0,v}=1$ et ${\alpha }_v=$ $\frac{R}{R+R^{\prime }}=\frac{1}{21}$ soit $x_2=\frac{H_{0,v}}{{\alpha }_v}=21$ ou, avec $f_0=\frac{1}{2\pi (R+R^{\prime })C}\simeq 1kHz$ $($fréquence de coupure à $-3dB$ de l'autre facteur du 1^er ordre fondamental$)$, $f_2=x_2{f}_0\simeq 21kHz$ c'est-à-dire la fréquence caractéristique de la fonction partielle de transfert $\underset{\_}{H_2}(jx)$» ;

     Le tracé $($en bleu$)$ on trace d'abord les asymptotes B.F. $($de pente nulle et de valeur nulle$)$ et H.F. $($de pente nulle et de valeur $+\frac{\pi }{2})$, l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme asymptotique ;

     Le tracé $($en bleu$)$ on trace la courbe de phase $($laquelle n'a pas été tracée$)$ se confondrait avec celle du diagramme asymptotique sauf, de façon très approximative, sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence $f_2$», il suffirait donc de positionner le « point d'abscisse $x_2$ à l'ordonnée $\frac{\pi }{4}$» puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière ».

Superposition de la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction « partielle » de transfert H₂(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction « partielle » de transfert H₁(jx) du 1^er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de gain pour obtenir la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul écrit sous forme de produit de deux fonctions de transfert dont l'une est un 1^er ordre fondamental puis par ajout point par point des courbes de gain de leur diagramme de Bode respectif

     Le tracé $($ci-contre$)$ de la courbe de gain du diagramme de Bode d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul correspond à celui associé à l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par $u_e(t)$, constitué de $R^{\prime }$, $R$ et $C$ en série en sortie ouverte aux bornes de $RC$ série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «$R^{\prime }=10k\Omega$,$R=$ $0,5k\Omega$ et $C=15,9nF$» conduisant à «$H_{0,v}=1$ et ${\alpha }_v=$ $\frac{R}{R+R^{\prime }}=\frac{1}{21}$ $\Rightarrow$ $x_2=\frac{H_{0,v}}{{\alpha }_v}=21$.

     On trace, en vert, la courbe de gain du diagramme asymptotique de Bode du 1^er ordre fondamental «$\underset{\_}{H_1}(jx)=\frac{H_0}{1+jx}$» composée

• de son asymptote B.F. d'« équation $G_{dB,1,\text{asymptote}B.F.}=20\log \left[\right|H_0\left|\right]=0$» et
• de son asymptote H.F. d'« équation $G_{dB,1,\text{asymptote}H.F.}=20\log \left[\right|H_0\left|\right]-20\log (x)=-20\log (x)$»,

     On trace, en vert, les deux asymptotes se coupant au point d'abscisse $x_0=1$ ou $f_0=\frac{1}{2\pi (R+R^{\prime })C}\simeq 1kHz$ $($fréquence de coupure à $-3dB$ de ce 1^er ordre fondamental$)$, puis

     on trace, en bleu, celle du diagramme asymptotique de Bode de la fonction « partielle » de transfert $\underset{\_}{H_2}(jx)=1+j\frac{\alpha }{H_0}x$ composée

• de son asymptote B.F. d'« équation $G_{dB,2,\text{asymptote}B.F.}=0$» et
• de son asymptote H.F. d'« équation $G_{dB,2,\text{asymptote}H.F.}=20\log (x)-20\log (x_2)=20\log (x)-20\log (21)$»,

     on trace, en bleu, les deux asymptotes se coupant au point d'abscisse $x_2=21$ ou $f_2=x_2{f}_0\simeq 21kHz$ $($fréquence caractéristique de cette fonction partielle de transfert$)$, ensuite

     on obtient, en rouge, une approximation de la courbe de gain du diagramme de Bode du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul «$\underset{\_}{H}(jx)=\underset{\_}{H_1}(jx)\times \underset{\_}{H_2}(jx)$»
     on obtient, en ajoutant les deux précédentes point par point ce qui donne «$G_{dB,\text{approximatif}}(x)\simeq$ $\left\{\begin{array}{cc}0& \text{si }x\in [0,x_0=1]\\ -20\log (x)& \text{si }x\in [x_0=1,x_2=21]\\ -20\log (21)\simeq -26,4& \text{si }x\in [x_2=21,+\mathrm{\infty }[\end{array}\right\}$» et enfin, on affine,

     on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en $x_0=1$ $($ou $f_0\simeq 1kHz)$ le gain en dB est «$3dB$ au-dessous » ainsi
     on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en $x_2=21$ $($ou $f_2\simeq 21kHz)$                il est «$3dB$ au dessus » et,
     on termine le tracé de la courbe, en tiretés rouges, en raccordant les parties rectilignes de l'approximation de la courbe situées de chaque côté de l'un et l'autre point de « façon régulière ».

     Propriété : on constate qu'il s'agit d'un passe-bas de fréquence réduite de coupure à $-3dB$ égale à $x_0=1$ $[$la raison étant que $x_2$ est assez nettement supérieure à $x_0=1$$]$.

Superposition de la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction « partielle » de transfert H₂(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction « partielle » de transfert H₁(jx) du 1^er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de phase pour obtenir la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul écrit sous forme de produit de deux fonctions de transfert dont l'une est un 1^er ordre fondamental puis par ajout point par point des courbes de phase de leur diagramme de Bode respectif

     Le tracé $($ci-contre$)$ de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul correspond à celui associé à l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par $u_e(t)$, constitué de $R^{\prime }$, $R$ et $C$ en série en sortie ouverte aux bornes de $RC$ série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «$R^{\prime }=10k\Omega$,$R=$ $0,5k\Omega$ et $C=15,9nF$» conduisant à «$H_{0,v}=1$ et ${\alpha }_v=$ $\frac{R}{R+R^{\prime }}=\frac{1}{21}$ $\Rightarrow$ $x_2=\frac{H_{0,v}}{{\alpha }_v}=21$.

     On trace, en vert, la courbe de phase du diagramme asymptotique de Bode du 1^er ordre fondamental «$\underset{\_}{H_1}(jx)=\frac{H_0}{1+jx}$» composée

• de son asymptote B.F. d'« équation ${\phi }_{1,\text{asymptote}B.F.}=0$» et
• de son asymptote H.F. d'« équation ${\phi }_{1,\text{asymptote}H.F.}=-\frac{\pi }{2}$»,

     On trace, en vert, les deux asymptotes parallèles étant raccordée selon une schématisation linéaire passant par le point d'abscisse $x_0=1$ ou $f_0=\frac{1}{2\pi (R+R^{\prime })C}\simeq 1kHz$, d'ordonnée $-\frac{\pi }{4}$ $(f_0$ étant la fréquence de coupure à $-3dB$ de ce 1^er ordre fondamental$)$, le segment de droite de schématisation joignant le point $(\frac{x_0}{10}=\frac{1}{10},0)$ ou $(\frac{f_0}{10}\simeq 100Hz,0)$ au point $(10x_0=10,-\frac{\pi }{2})$ ou $(10f_0\simeq 10kHz,-\frac{\pi }{2})$, puis

     on trace, en bleu, celle du diagramme asymptotique de Bode de la fonction « partielle » de transfert $\underset{\_}{H_2}(jx)=1+j\frac{\alpha }{H_0}x$ composée

• de son asymptote B.F. d'« équation ${\phi }_{2,\text{asymptote}B.F.}=0$» et
• de son asymptote H.F. d'« équation ${\phi }_{2,\text{asymptote}H.F.}=+\frac{\pi }{2}$»,

     on trace, en bleu, les deux asymptotes parallèles étant raccordée selon une schématisation linéaire passant par le point d'abscisse $x_2=21$ ou $f_2=x_2{f}_0\simeq 21kHz$, d'ordonnée $+\frac{\pi }{4}$ $(f_2$ étant la fréquence caractéristique de cette fonction partielle de transfert$)$, le segment de droite de schématisation joignant le point $(\frac{x_2}{10}\simeq 2,1;0)$ ou $(\frac{f_2}{10}\simeq 2,1kHz;0)$ au point $(10x_2\simeq 210;+\frac{\pi }{2})$ ou $(10f_0\simeq 210kHz;+\frac{\pi }{2})$, ensuite

     on obtient, en rouge, une approximation de la courbe de phase du diagramme de Bode du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul «$\underset{\_}{H}(jx)=\underset{\_}{H_1}(jx)\times \underset{\_}{H_2}(jx)$»
     on obtient, en ajoutant les deux précédentes point par point ce qui donne «${\phi }_{\text{approximatif}}(x)\simeq$ $\left\{\begin{array}{cc}0& \text{si }x\in [0;\frac{x_0}{10}=0,1]\\ -\frac{\pi }{2}\frac{\log (x)-log(0,1)}{2}& \text{si }x\in [\frac{x_0}{10}=0,1;\frac{x_2}{10}\simeq 2,1]\\ -\frac{\pi }{2}\frac{\log (2,1)-log(0,1)}{2}\simeq -\frac{\pi }{2}0,66& \text{si }x\in [\frac{x_2}{10}\simeq 2,1;10x_0=10]\\ \frac{\pi }{2}\frac{\log (210)-log(x)}{2}& \text{si }x\in [10x_0=10;10x_2\simeq 210]\\ 0& \text{si }x\in [10x_2\simeq 210;+\mathrm{\infty }[\end{array}\right\}$» et enfin, on affine $\{$à considérer comme complément, cette amélioration $($nécessaire$)$ du tracé résultant du fait que $x_2\simeq 21$ n'est pas $>$ à $100$ fois $x_0=1$$\}$,

     on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en $\frac{x_0}{10}=0,1$ $($ou $\frac{f_0}{10}=100Hz)$ la courbe de phase du diagramme de Bode du 1^er ordre fondamental «$\underset{\_}{H_1}(jx)=\frac{H_0}{1+jx}$» ne se confond pas exactement avec son équivalent B.F. $\{$la confusion se faisant plutôt à $\frac{x_0}{100}=0,01$ $($ou $\frac{f_0}{100}=10Hz\left)\right\}$,
     on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en $\frac{x_2}{10}\simeq 2,1$ $($ou $\frac{f_2}{10}\simeq 2,1kHz)$ la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert «$\underset{\_}{H_2}(jx)=$ $1+j\frac{x}{x_2}$» ne se confond pas exactement avec son équivalent B.F. $\{$la confusion se faisant plutôt à $\frac{x_2}{100}\simeq 0,21$ $($ou $\frac{f_2}{100}\simeq 210Hz\left)\right\}$,
     on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en $10x_0=10$ $($ou $10f_0=10kHz)$ la courbe de phase du diagramme de Bode du 1^er ordre fondamental «$\underset{\_}{H_1}(jx)=\frac{H_0}{1+jx}$» ne se confond pas exactement avec son équivalent H.F. $\{$la confusion se faisant plutôt à $100x_0=100$ $($ou $100f_0=100kHz\left)\right\}$,
     on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en $10x_2\simeq 210$ $($ou $10f_2\simeq 210kHz)$ la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert «$\underset{\_}{H_2}(jx)=$ $1+j\frac{x}{x_2}$» ne se confond pas exactement avec son équivalent H.F. $\{$la confusion se faisant plutôt à $100x_2\simeq 2100$ $($ou $100f_2\simeq 2,1MHz\left)\right\}$,

     on obtient, le tracé de la courbe $\Rightarrow$ entre $\frac{x_0}{100}=0,01$ et $\frac{x_2}{100}\simeq 0,21$ $($ou $\frac{f_0}{100}=10Hz$ et $\frac{f_2}{100}\simeq 210Hz)$, la courbe de phase est au-dessous de celle trouvée par schématisation linéaire,
     on obtient, le tracé de la courbe $\Rightarrow$ entre $\frac{x_2}{100}\simeq 0,21$ et $\frac{x_2}{10}\simeq 2,1$ $($ou $\frac{f_2}{100}\simeq 210Hz$ et $\frac{f_2}{10}\simeq 2,1kHz)$, la courbe de phase est au-dessus de celle trouvée par schématisation linéaire,
     on obtient, le tracé de la courbe $\Rightarrow$ entre $\frac{x_2}{10}\simeq 2,1$ et $10x_1=10$ $($ou $\frac{f_2}{10}\simeq 2,1kHz$ et $10f_1=10kHz)$, la courbe de phase ne reste pas stationnaire contrairement à celle trouvée par schématisation linéaire,
     on obtient, le tracé de la courbe $\Rightarrow$ entre $10x_1=10$ et $x_2\simeq 21$ $($ou $10f_1=10kHz$ et $f_2\simeq 21kHz)$, la courbe de phase est au-dessus de celle trouvée par schématisation linéaire,
     on obtient, le tracé de la courbe $\Rightarrow$ entre $x_2\simeq 21$ et $100x_1=100$ $($ou $f_2\simeq 21kHz$ et $100f_1=100kHz)$, la courbe de phase est au-dessus de celle trouvée par schématisation linéaire,
     on obtient, le tracé de la courbe $\Rightarrow$ entre $100x_1=100$ et $100x_2\simeq 2100$ $($ou $100f_1=100kHz$ et $100f_2\simeq 2,1MHz)$, la courbe de phase initialement au-dessus passe au-dessous de celle trouvée par schématisation linéaire ;

     on obtient, le tracé affiné de la courbe n'étant en fait pas représenté mais remplacé, en tiretés rouges, par celui de cette courbe de phase du diagramme de Bode du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul du même exemple, l'étude étant faite directement et le tracé obtenu par utilisation d'un calculateur.

Nature du filtre et fréquence de coupure à -3dB

     Suivant la position de la fréquence réduite $x_2=\frac{|H_0|}{|\alpha |}$ caractéristique de la fonction « partielle » de transfert $\underset{\_}{H_2}(jx)=1\pm j\frac{x}{x_2}$ relativement à la fréquence réduite de coupure à $-3dB$, $x_0=1$ de l'autre facteur du 1^er ordre fondamental $\underset{\_}{H_1}(jx)=\frac{H_0}{1+jx}$, le système du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul de fonction de transfert $\underset{\_}{H}(jx)=\underset{\_}{H_1}(jx)\underset{\_}{H_2}(jx)$ est un « passe-bas » ou un « passe-haut » ou encore un « passe-tout », plus précisément :

• si $x_2>x_0=1$ le gain H.F. $G_{H.F.}=\frac{|H_0|}{x_2}$ étant inférieur au gain statique $G_0=|H_0|$ avec une $\searrow$ du gain au sens large, le filtre sera un passe-bas s'il existe une fréquence réduite de coupure à $-3dB$, $x_c$ définie par $G(x_c)=\frac{|H_0|}{\sqrt{2}}$ et, pour que celle-ci existe, il est « nécessaire » que $\frac{|H_0|}{\sqrt{2}}>G_{H.F.}=\frac{|H_0|}{x_2}$ c'est-à-dire que $x_2>\sqrt{2}$ alors que
• si $x_2<x_0=1$ le gain H.F. $G_{H.F.}=\frac{|H_0|}{x_2}$ étant supérieur au gain statique $G_0=|H_0|$ avec une $\nearrow$ du gain au sens large, le filtre sera un passe-haut s'il existe une fréquence réduite de coupure à $-3dB$, $x_c$ définie par $G(x_c)=\frac{G_{H.F.}}{\sqrt{2}}=\frac{|H_0|}{x_2\sqrt{2}}$ et, pour que celle-ci existe, il est « nécessaire » que $\frac{|H_0|}{x_2\sqrt{2}}>G_0=|H_0|$ c'est-à-dire que $x_2<\frac{1}{\sqrt{2}}$.

     En conclusion suivant la position de $|\alpha |$ relativement à $|H_0|$ la nature du filtre est :

• un « passe-bas » si «$x_2>\sqrt{2}$ $\iff$ $|H_0|>\sqrt{2}|\alpha |$»,
• un « passe-haut » si «$x_2<\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\iff$ $|H_0|<\frac{|\alpha |}{\sqrt{2}}$» et
• un « passe-tout » si «$\frac{1}{\sqrt{2}}⩽x_2⩽\sqrt{2}$ $\iff$ $\frac{|\alpha |}{\sqrt{2}}⩽|H_0|⩽\sqrt{2}|\alpha |$».

     Détermination de la fréquence réduite de coupure à$-3dB$pour un passe-bas : nous supposons donc $x_2>\sqrt{2}$ $\iff$ $|H_0|>\sqrt{2}|\alpha |$ et l'équation définissant la fréquence réduite de coupure à $-3dB$ étant «$G(x_c)=$ $\frac{|H_0|}{\sqrt{2}}$ avec $G(x)=|\underset{\_}{H}(jx)|=\frac{|H_0|}{\sqrt{1+x^2}}\sqrt{1+\frac{x^2}{x_2^2}}$» elle se réécrit «$\frac{1+\frac{x_c^2}{x_2^2}}{1+x_c^2}=\frac{1}{2}$» ou $2+2\frac{x_c^2}{x_2^2}=1+x_c^2$ $\Rightarrow$ $x_c^2(1-\frac{2}{x_2^2})=1$ soit finalement

«$x_c=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{x_2^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2{\alpha }^2}{H_0^2}}}$» ;

     Détermination de la fréquence réduite de coupure à$-3dB$pour un passe-bas : pour «$x_2\gg x_0=1$» on vérifie que «$x_c=\frac{1}{\sqrt{1\cancel{-\frac{2}{x_2^2}}}}\simeq 1=x_0$».
     Détermination de la fréquence réduite de coupure à$-3dB$pour un passe-haut : nous supposons donc $x_2<\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\iff$ $|H_0|<\frac{|\alpha |}{\sqrt{2}}$ et l'équation définissant la fréquence réduite de coupure à $-3dB$ étant «$G(x_c)=$ $\frac{|H_0|}{x_2\sqrt{2}}$ avec $G(x)=|\underset{\_}{H}(jx)|=\frac{|H_0|}{\sqrt{1+x^2}}\sqrt{1+\frac{x^2}{x_2^2}}$» elle se réécrit «$\frac{1+\frac{x_c^2}{x_2^2}}{1+x_c^2}=\frac{1}{2x_2^2}$» ou $2x_2^2+2x_c^2=$ $1+x_c^2$ $\Rightarrow$ $x_c^2=1-2x_2^2$ soit finalement

«$x_c=\sqrt{1-2x_2^2}=\sqrt{1-\frac{2H_0^2}{{\alpha }^2}}$» ;

     Détermination de la fréquence réduite de coupure à$-3dB$pour un passe-haut : pour «$x_2\ll x_0=1$» on vérifie que «$x_c=\sqrt{1\cancel{-2x_2^2}}\simeq 1=x_0$».

Étude directe

Ce n'est pas la bonne méthode car trop longue mais il faut aussi savoir l'utiliser.

     Il s'agit de déterminer la nature du filtre directement sans écrire la fonction de transfert comme le produit de deux fonctions de transfert et
     Il s'agit de déterminer la nature du filtre directement pour cela on explicite le « module de $\underset{\_}{H}(jx)$» définissant le gain «$G(x)=\frac{|H_0|\sqrt{1+\frac{x^2}{x_2^2}}}{\sqrt{1+x^2}}$»,
     Il s'agit de déterminer la nature du filtre directement pour cela la variation de ce dernier nécessitant d'étudier la fonction de $x^2$ «$g(x^2)=\frac{1+\frac{x^2}{x_2^2}}{1+x^2}$» et
     Il s'agit de déterminer la nature du filtre directement pour cela la variation de ce dernier nécessitant d'évaluer sa dérivée relativement à $x^2$ «$\frac{dg}{d{x}^2}(x^2)=\frac{(1+x^2)\frac{1}{x_2^2}-(1+\frac{x^2}{x_2^2})}{{(1+x^2)}^2}=\frac{\frac{1}{x_2^2}-1}{{(1+x^2)}^2}$» qui est $\left\{\begin{array}{c}<0\text{si }{x}_2>1\\ \text{ou}\\ >0\text{si }{x}_2<1\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ le gain «$G(x)=\frac{|H_0|\sqrt{1+\frac{x^2}{x_2^2}}}{\sqrt{1+x^2}}$»

• est $\searrow$ si $x_2>1$, en étant un passe-bas dans la mesure où $x_2$ est nettement supérieure à $1$ ou
• est $\nearrow$ si $x_2<1$, en étant un passe-haut dans la mesure où $x_2$ est nettement inférieure à $1$.

     Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, on étudie les équivalents B.F. réalisé si $x\lesssim \frac{1}{10}inf(1,\frac{|H_0|}{|\alpha |}=x_2)$ et donnant «${\underset{\_}{H}}_{B.F.}(jx)$ $\sim \frac{H_0\cancel{+j\alpha x}}{1\cancel{+jx}}=H_0$» puis
           Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, on étudie les équivalents H.F. réalisé si $x\gtrsim 10sup(1,\frac{|H_0|}{|\alpha |}=x_2)$ et donnant «${\underset{\_}{H}}_{H.F.}(jx)\sim$ $\frac{\cancel{H_0+}j\alpha x}{\cancel{1+}jx}=\alpha$»,
           Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, on évalue les gains linéaires suivis des gains en décibels pour chaque équivalent B.F. et H.F. puis
           Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, on trace le diagramme asymptotique en reliant les asymptotes de façon quasi-linéaire sur l'intervalle $[1,x_2]$ $\{$ou $[x_2,1]\}$, ensuite
           Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, on obtient le tracé de la courbe de gain en tenant compte qu'en $x=1$ et en $x=x_2$ le gain en dB est $\simeq 3dB$ au-dessous $($ou au-dessus$)$ de la valeur du gain en dB de l'asymptote aboutissant à la fréquence réduite considérée et
           Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, on obtient le tracé de la courbe de gain en raccordant « de façon régulière » les points de la courbe de gain de fréquence $x=1$ et $x=x_2$ respectivement à l'asymptote la plus proche et à la partie linéaire joignant les deux asymptotes.

     Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, on commence par déterminer le sens de variation, relativement à $x$, de la phase définie selon «$\phi (x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[H_0+j\alpha x]-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[1+jx]=$ $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[H_0\right]+\arctan \left[\frac{\alpha x}{H_0}\right]-\arctan (x)$» ou «$\phi (x)=\left\{\begin{array}{ccc}& \arctan \left[\frac{\alpha x}{H_0}\right]-\arctan (x)& \text{si }{H}_0>0\\ \pm \pi +& \arctan \left[\frac{\alpha x}{H_0}\right]-\arctan (x)& \text{si }{H}_0<0\end{array}\right\}$» et pour cela
           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, on commence par d'évaluer le signe de la dérivée de la phase relativement à $x$ «$\frac{d\phi }{dx}(x)=\frac{\frac{\alpha }{H_0}}{1+\frac{{\alpha }^2{x}^2}{H_0^2}}-\frac{1}{1+x^2}$ laquelle s'écrit encore $\frac{d\phi }{dx}(x)=\frac{\frac{\alpha }{H_0}(1+x^2)-(1+\frac{{\alpha }^2{x}^2}{H_0^2})}{(1+\frac{{\alpha }^2{x}^2}{H_0^2})(1+x^2)}=\frac{(\frac{\alpha }{H_0}-1)(1-\frac{\alpha }{H_0}{x}^2)}{(1+\frac{{\alpha }^2{x}^2}{H_0^2})(1+x^2)}$» soit

           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, $\succ$« si $\frac{\alpha }{H_0}>1$» le « signe de $\frac{d\phi }{dx}(x)$ est celui de $1-\frac{\alpha }{H_0}{x}^2$» c'est-à-dire «$\frac{d\phi }{dx}(x)\left\{\begin{array}{cc}>0& \text{si }x<\sqrt{\frac{H_0}{\alpha }}=\sqrt{x_2}\\ <0& \text{si }x>\sqrt{\frac{H_0}{\alpha }}=\sqrt{x_2}\end{array}\right\}$» correspondant à «$\phi (x)\nearrow$ sur $[0,\sqrt{\frac{H_0}{\alpha }}=\sqrt{x_2}]$ puis $\searrow$ sur $[\sqrt{\frac{H_0}{\alpha }}=\sqrt{x_2},+\mathrm{\infty }[$ » et

           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, $\succ$« si $\frac{\alpha }{H_0}<1$» le « signe de $\frac{d\phi }{dx}(x)$ est celui de $\frac{\alpha }{H_0}{x}^2-1$» c'est-à-dire
           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, $\succ$ $▸$« si $0<\frac{\alpha }{H_0}<1$», «$\frac{d\phi }{dx}(x)\left\{\begin{array}{cc}>0& \text{si }x>\sqrt{\frac{H_0}{\alpha }}=\sqrt{x_2}\\ <0& \text{si }x<\sqrt{\frac{H_0}{\alpha }}=\sqrt{x_2}\end{array}\right\}$» correspondant à «$\phi (x)\searrow$ sur $[0,\sqrt{\frac{H_0}{\alpha }}=\sqrt{x_2}]$ puis $\nearrow$ sur $[\sqrt{\frac{H_0}{\alpha }}=\sqrt{x_2},+\mathrm{\infty }[$ »,
           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, $\succ$ $▸$« si $\frac{\alpha }{H_0}<0$», «$\frac{d\phi }{dx}(x)<0\mathrm{\forall }x$» correspondant à «$\phi (x)\searrow$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$» ;

           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, on poursuit en déterminant les équivalents B.F. et H.F. de la phase à partir de ceux de la fonction de transfert soit
           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, on poursuit $\succ$équivalent B.F. «${\underset{\_}{H}}_{B.F.}(jx)\sim \alpha$» réalisé si «$x\lesssim \frac{1}{10}inf(1,\frac{|H_0|}{|\alpha |}=x_2)$» $\Rightarrow$ l'asymptote B.F. «${\phi }_{\text{asymptote}B.F.}=$ $\left\{\begin{array}{cc}0& \text{si }{H}_0>0\\ \pm \pi & \text{si }{H}_0<0\end{array}\right\}$»,
           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, on poursuit $\succ$équivalent H.F. «${\underset{\_}{H}}_{B.F.}(jx)\sim H_0$» réalisé si «$x\gtrsim 10sup(1,\frac{|H_0|}{|\alpha |}=x_2)$» $\Rightarrow$ l'asymptote H.F. «${\phi }_{\text{asymptote}H.F.}$ $=\left\{\begin{array}{cc}0& \text{si }\alpha >0\\ \pm \pi & \text{si }\alpha <0\end{array}\right\}$» ;

           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, pour le tracé effectif de la courbe de phase dans le cas particulier où $0<H_0<\alpha$ $($correspondant à un passe-bas$)$, voir la courbe en tiretés rouge dans le paragraphe « superposition de la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H₂(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H₁(jx) du 1^er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de phase pour obtenir la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul » plus haut dans ce chapitre, le tracé dans les autres cas pouvant être obtenu de la même façon par utilisation d'un calculateur.

Différentes fonctions de transfert du 2^ème ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F.

     Voir le paragraphe « Différentes fonctions de transfert du 2^ème ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F. » du chap.$34$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Système du 1^er ordre fondamental et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal

Réponse fréquentielle d'un filtre linéaire à un signal sinusoïdal de pulsation ω

Réponse fréquentielle d'un filtre linéaire à un signal sinusoïdal de pulsation ω

     Étant donné un filtre linéaire de fonction de transfert $\underset{\_}{H}(j\omega )$ et
     Étant donné un signal sinusoïdal de pulsation $\omega$ variable et de valeur efficace $X_e$ fixée,
     on appelle « réponse fréquentielle de ce filtre au signal sinusoïdal de valeur efficace complexe $\underset{\_}{X_e}$»,
     On appelle l'« ensemble des valeurs efficaces complexes du signal de sortie » soit ${\{\underset{\_}{Y_s}(j\omega )=\underset{\_}{H}(j\omega )\underset{\_}{X_e}\}}_{\mathrm{\forall }\omega }$.

Réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω

     Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1^er ordre fondamental «$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{y_s}(t)}{\underset{\_}{x_e}(t)}=\frac{H_0}{1+j\tau \omega }$»
     Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1^er ordre fondamental avec «$H_0\in {ℝ}^{\ast }$ homogène au transfert harmonique et $\tau \in {ℝ}^{+\ast }$ homogène à un temps »,
     l'équation différentielle en $\underset{\_}{y_s}(t)$ associée au signal instantané complexe d'entrée $\underset{\_}{x_e}(t)$ se retrouve
     l'équation différentielle en $\underset{\_}{y_s}(t)$ à partir de la fonction de transfert en égalant les extrêmes et les moyens «$(1+j\tau \omega )\underset{\_}{y_s}(t)=H_0\underset{\_}{x_e}(t)$» d'une part et
     l'équation différentielle en $\underset{\_}{y_s}(t)$ à partir de la fonction de transfert en remplaçant la « multiplication par $j\omega$» par la « dérivation temporelle » d'autre part d'où
     l'équation différentielle en $\underset{\_}{y_s}(t)$ «$(1+\tau \frac{d}{dt})\underset{\_}{y_s}(t)=H_0\underset{\_}{x_e}(t)$» soit,
     l'équation différentielle en $\underset{\_}{y_s}(t)$ en revenant aux grandeurs sinusoïdales, «$\tau \frac{d{y}_s}{dt}(t)+y_s(t)=H_0{x}_e(t)$».

     La « réponse fréquentielle du filtre du 1^er ordre fondamental de fonction de transfert $\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{H_0}{1+j\tau \omega }$ au signal sinusoïdal de pulsation $\omega$ variable et de valeur efficace $X_e$ fixée » est

l'« ensemble des valeurs efficaces complexes du signal de sortie » c'est-à-dire
«${\{\underset{\_}{Y_s}(j\omega )=\underset{\_}{H}(j\omega )\underset{\_}{X_e}=\frac{H_0}{1+j\tau \omega }\underset{\_}{X_e}\}}_{\mathrm{\forall }\omega }$».

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle

     Connaissant la « réponse fréquentielle $\underset{\_}{Y_s}(j\omega )=\underset{\_}{H}(j\omega )\underset{\_}{X_e}$ dont la forme trigonométrique s'écrit $\underset{\_}{Y_s}(j\omega )=Y_s(\omega )\exp [j{\phi }_s(\omega )]$», on obtient
     Connaissant la « réponse temporelle $y_s(t)$» en « revenant à la grandeur sinusoïdale associée à la grandeur instantanée complexe $\underset{\_}{y_s}(t)=\underset{\_}{Y_s}(j\omega )\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$» selon

«$y_s(t)=Y(\omega )\sqrt{2}\cos [\omega t+{\phi }_s(\omega )]$» avec
                      «$Y(\omega )=|\underset{\_}{H}(j\omega )\underset{\_}{X_e}|=G(\omega )X_e$» où
                                                                                                             «$G(\omega )=|\underset{\_}{H}(j\omega )|$ est le gain du filtre » et
                              «${\phi }_s(\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{H}(j\omega )\underset{\_}{X_e}]=\phi (\omega )+{\phi }_e$» où
                                                                                                                               «$\phi (\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{H}(j\omega )]$ est la phase du filtre » ;

     il est intéressant de « comparer cette réponse temporelle $y_s(t)=Y(\omega )\sqrt{2}\cos [\omega t+{\phi }_s(\omega )]$ au signal d'entrée $x_e(t)=X_e\sqrt{2}\cos (\omega t+{\phi }_e)$» suivant la valeur de la pulsation de ce dernier
     il est intéressant connaissant le diagramme de Bode et la pulsation de coupure à $-3dB$ «${\omega }_0=\frac{1}{\tau }$» du filtre :

     il est intéressant $\succ$« à B.F. c'est-à-dire si $\omega \lesssim \frac{{\omega }_0}{10}$», l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant $\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{H_0}{1\cancel{+j\tau \omega }}\sim H_0$» nous en déduisons
           il est intéressant $\succ$« à B.F. c'est-à-dire si $\omega \lesssim \frac{{\omega }_0}{10}$», son « équivalent en équation différentielle $\cancel{\tau \frac{d{y}_s}{dt}(t)+}{y}_s(t)=H_0{x}_e(t)$» établissant que
           il est intéressant $\succ$« à B.F. c'est-à-dire si $\omega \lesssim \frac{{\omega }_0}{10}$», la réponse temporelle est égale au signal d'entrée multiplié par le transfert statique,

     il est intéressant $\succ$« à H.F. c'est-à-dire si $\omega \gtrsim 10{\omega }_0$», l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant $\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{H_0}{\cancel{1+}j\tau \omega }\sim \frac{H_0}{j\tau \omega }$» nous en déduisons
           il est intéressant $\succ$« à H.F. c'est-à-dire si $\omega \gtrsim 10{\omega }_0$», son « équivalent en équation différentielle $\tau \frac{d{y}_s}{dt}(t)\cancel{+y_s(t)}=H_0{x}_e(t)$» ou «$y_s(t)=\frac{H_0}{\tau }{\int }_0^t{x}_e(t^{\prime })d{t}^{\prime }$» établissant que
           il est intéressant $\succ$« à H.F. c'est-à-dire si $\omega \gtrsim 10{\omega }_0$», la réponse temporelle est égale à la primitive$($de valeur moyenne nulle$)$du signal d'entrée multipliée par le taux horaire de transfert statique $\frac{H_0}{\tau }$,
           il est intéressant $\succ$« à H.F. c'est-à-dire si $\omega \gtrsim 10{\omega }_0$», le système du 1^er ordre fondamental étant en effet équivalent, à H.F., à un circuit pseudo-intégrateur,
           il est intéressant $\succ$« à H.F. c'est-à-dire si $\omega \gtrsim 10{\omega }_0$», en accord avec l'existence d'une asymptote H.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode de pente $-20dB/\text{décade}$.

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à une somme finie de signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes à partir des réponses fréquentielles de chaque composante de la somme finie de signaux

Énoncé du théorème de superposition

     Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire dont l'excitation est une somme d'excitations distinctes, le caractère linéaire de l'équation différentielle ainsi que
         Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire dont l'excitation est une somme d'excitations distinctes, le caractère celui de l'excitation relativement aux excitations individuelles
     Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire dont l'excitation est une somme d'excitations distinctes, le caractère linéaire a pour conséquence que
     Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire la recherche d'une solution forcée de l'équation différentielle correspondant à l'excitation somme
     Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire la recherche d'une solution forcée peut être simplifiée en autant de recherches de solution forcée de l'équation différentielle correspondant à chaque excitation individuelle ;
     Préliminaire : on peut alors énoncer le théorème de superposition.

Début d’un théorème

Théorème de superposition

     Dans une équation différentielle linéaire dont l'excitation est une somme d'excitations distinctes, « la réponse forcée de l'équation différentielle à l'excitation somme est
la somme des réponses forcées de l'équation différentielle à chaque excitation prise individuellement ».

Fin du théorème

Réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à une somme finie de signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes à partir des réponses fréquentielles de chaque composante de la somme finie de signaux

     Le système étant linéaire, on peut lui appliquer le théorème de superposition et
     Le système étant linéaire, on en déduit que « la réponse temporelle à une somme finie de signaux sinusoïdaux est la somme des réponses temporelles à chaque signal sinusoïdal pris individuellement » $($pour chacune de ces dernières on peut appliquer les résultats du paragraphe « détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle »$)\dots$

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à un signal périodique non sinusoïdal à partir des réponses fréquentielles de chaque harmonique du signal

Obtention de la réponse fréquentielle du filtre à un signal d'entrée périodique non sinusoïdal et généralités sur la méthode à utiliser pour en déduire la réponse temporelle

     On associe au signal périodique d'entrée $x_E(t)$ de fréquence $f_e$ sa représentation fréquentielle $\{C_{0,E};\underset{\_}{C_{p,e}}p\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$ et

     on applique de nouveau le théorème de superposition, chaque harmonique du signal d'entrée donnant en sortie l'harmonique de même fréquence et de valeur efficace complexe «$\underset{\_}{C_{p,s}}(j2\pi p{f}_e)=$ $\underset{\_}{H}(j2\pi p{f}_e)\underset{\_}{C_{p,e}}p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$», la composante permanente du signal de sortie étant «$C_{0,S}=H_0{C}_{0,E}$»,
            on applique de nouveau le théorème de superposition, l'« ensemble $\{C_{0,S};\underset{\_}{C_{p,s}}p\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$ définissant la réponse fréquentielle du système linéaire au signal d'entrée périodique non sinusoïdal » ;

            on applique de nouveau le théorème de superposition, il reste alors à effectuer une synthèse de Fourier pour obtenir la réponse temporelle du système au signal d'entrée à partir de sa réponse fréquentielle et nous allons le faire sur un exemple « un signal créneau symétrique » :

Synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal créneau symétrique d'entrée

Superposition du créneau d'entrée $($en noir$)$ de fréquence $f_e=$ $30Hz$ et de la sortie d'un passe-bas du 1^er ordre fondamental de transfert statique $H_0=1$ et de fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=10kHz$ $($en rouge$)$

     Rappel de la représentation fréquentielle d'un signal créneau symétrique de valeur moyenne nulle, d'amplitude$U_m$et de fréquence$f_e$ : «$\{C_{0,E}=0;\underset{\_}{C_{2n+1,e}}=-\frac{2U_m\sqrt{2}}{\pi }\frac{j}{2n+1}n\in \mathbb{N}\}$» soit une $\searrow$ lente en $\frac{1}{p}=$ $\frac{1}{2n+1}$ de la valeur efficace des harmoniques suivant le rang ; on estime qu'il faut superposer tous les harmoniques jusqu'au rang $30$ pour reconstituer approximativement le signal créneau $[$voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap.$2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »$]\dots$

     Choix du filtre et ses propriétés : nous choisissons un passe-bas du 1^er ordre fondamental de « fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0$ $=10kHz$» et de « transfert statique $H_0=1$»,
     Choix du filtre et ses propriétés : la zone « passe-bas sans atténuation étant $[0,\frac{f_0}{10}=1kHz]$» et
     Choix du filtre et ses propriétés : la « zone quasi absente en sortie $($ou zone intégrative$)$ $[10f_0=100kHz,+\mathrm{\infty }[$».

     Condition de fréquence pour obtenir un signal créneau en sortie : les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal créneau doivent être dans la zone passe-bas sans atténuation c'est-à-dire que le 30^ème harmonique doit y être soit «$30fe\lesssim \frac{f_0}{10}$» ou «$f_e\lesssim \frac{f_0}{300}\simeq$ $33Hz$», voir ci-contre à droite la « courbe rouge avec $f_e=30Hz$».

Superposition du créneau d'entrée $($en noir$)$ de fréquence $f_e=$ $100kHz$ et de la sortie d'un passe-bas du 1^er ordre fondamental de transfert statique $H_0=1$ et de fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=10kHz$ en fonctionnement intégrateur $($en rouge$)$

     Condition de fréquence pour obtenir un signal triangulaire en sortie : les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal triangulaire doivent être dans la zone intégrative c'est-à-dire qu'il suffit que le 1^er harmonique y soit $($puisque le 3^ème est de fréquence plus élevée$)$ soit «$fe\gtrsim 10f_0=100kHz$», voir ci-contre à gauche la « courbe rouge avec $f_e=100kHz$» $[$on observera par contre que l'amplitude du signal triangulaire est d'autant plus faible que la fréquence du signal créneau d'entrée est éloignée de la fréquence minimale dans l'intervalle de fréquences de la zone intégrative$]$.

     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau ne sont pas dans la zone passe-bas : considérant un signal créneau de fréquence $f_e=1kHz$ on constate que
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau seul l'harmonique fondamental est dans la zone passe-bas,
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau les autres harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal créneau c'est-à-dire jusqu'au rang $30$ étant dans la zone intermédiaire $($le 29^ème harmonique nécessaire étant de fréquence $29kHz)$,
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau la conséquence de ceci est que le signal de sortie, bien que différant du signal d'entrée, lui reste assez proche, voir ci-dessous à gauche la « courbe rouge avec $f_e=1kHz$».

     Cas où les 1^ers harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal triangulaire ne sont pas dans la zone intégrative : considérant un signal créneau de fréquence $f_e=10kHz$ on constate que
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal triangulaire le 1^er harmonique se trouvant dans la zone intégrative est celui de rang $11$, les harmoniques de rang plus faible étant dans la zone intermédiaire,

Superposition du créneau d'entrée $($en noir$)$ de fréquence $f_e=$ $1kHz$ et de la sortie d'un passe-bas du 1^er ordre fondamental de transfert statique $H_0=1$ et de fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=10kHz$ $($en rouge$)$, seul l'harmonique fondamental étant dans la zone passe-bas

Superposition du créneau d'entrée $($en noir$)$ de fréquence $f_e=$ $10kHz$ et de la sortie d'un passe-bas du 1^er ordre fondamental de transfert statique $H_0=1$ et de fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=10kHz$ $($en rouge$)$, seuls les harmoniques à partir du rang $11$ étant dans la zone intégrative

     Cas où tous les harmoniques nécess. la conséquence de ceci est que le signal de sortie, bien que différant du signal primitive de valeur moyenne nulle du signal d'entrée, est plus proche d'un signal triangulaire que d'un signal créneau, voir ci-contre à droite la « courbe rouge avec $f_e=10kHz$».

En complément : phénomène de Gibbs

     Quand on réalise une synthèse de Fourier à partir d'une réponse fréquentielle, on tronque volontairement la synthèse en se limitant aux harmoniques de rang inférieur à une certaine valeur, ceux de rang supérieur ne jouant qu'un rôle secondaire ; ainsi a-t-on estimé que

             Quand on réalise une synthèse de Fourier à partir d'une réponse fréquentielle, le squelette créneau nécessitant une synthèse non tronquée avant l'harmonique $30$, peut être reconstitué à la sortie d'un passe-bas de fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=10kHz$ pour un signal créneau d'entrée de fréquence $f_e=30Hz$, $($les $30$ 1^ers harmoniques du créneau étant dans la zone passe-bas du filtre$)$ en notant néanmoins, sur le 1^er schéma du paragraphe « synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal créneau symétrique d'entrée » plus haut dans ce chapitre, l'observation d'un « dépassement d'au moins$9\mathrm{\%}$» lors de la « tentative de reconstitution des discontinuités de 1^ère espèce du créneau », la cause en étant que la synthèse est tronquée trop tôt pour la reconstitution de cette discontinuité de 1^ère espèce, les harmoniques de rang supérieur à $30$ n'étant pas dans la zone passe-bas ; de même

             Quand on réalise une synthèse de Fourier à partir d'une réponse fréquentielle, le squelette triangulaire nécessitant une synthèse non tronquée avant l'harmonique $3$, peut être reconstitué à la sortie du filtre passe-bas fonctionnant en pseudo-intégrateur de fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=10kHz$ pour un signal créneau d'entrée de fréquence $f_e=$ $100kHz$, $($les $3$ 1^ers harmoniques du triangulaire attendu étant dans la zone intégrative du filtre$)$ en notant néanmoins, sur le 2^ème schéma du paragraphe « synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal créneau symétrique d'entrée » plus haut dans ce chapitre, l'observation d'un « retrait » lors de la « tentative de reconstitution de la pointe du triangulaire », la cause en étant que la synthèse est tronquée trop tôt pour la reconstitution de cette pointe par la limite pratique supérieure de la zone intégrative $[$cette limite pratique supérieure n'étant pas $+\mathrm{\infty }$, les valeurs de la résistance et de la capacité ne restant pas constantes pour des fréquences trop élevées$\dots ]$ ;

             Quand on réalise une synthèse de Fourier ce « dépassement d'au moins$9\mathrm{\%}$» lors de la tentative de reconstitution des discontinuités de 1^ère espèce du créneau ou
             Quand on réalise une synthèse de Fourier ce « retrait »                                lors de la tentative de reconstitution de la pointe du triangulaire
            Quand on réalise une synthèse de Fourier ce « dépassement d'au moins$9\mathrm{\%}$» portent le nom de « phénomène de Gibbs » et
            Quand on réalise une synthèse de Fourier ce « dépassement d'au moins$9\mathrm{\%}$» correspondent à l'absence des détails fins générés par des harmoniques de rang plus élevé que $30$ pour un créneau ou
            Quand on réalise une synthèse de Fourier ce « dépassement d'au moins$9\mathrm{\%}$» correspondent à l'absence des détails fins générés par des harmoniques de rang plus élevé que $3$ pour un triangulaire,
            Quand on réalise une synthèse de Fourier le « phénomène de Gibbs » apparaît donc dès que la synthèse est tronquée volontairement de façon abrupte lors de la reconstitution numérique ou à la sortie d'un filtre par limite de la zone indispensable.

Système du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal

     Cette étude n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. mais elle est aussi importante que celle du paragraphe « Système du 1^er ordre fondamental et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal » plus haut dans ce chapitre et
         Cette étude n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. et elle ne présente aucune difficulté supplémentaire par rapport à l'étude faite dans ce dernier.

Réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω

     Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul «$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{\underset{\_}{y_s}(t)}{\underset{\_}{x_e}(t)}=\frac{j\beta \omega }{1+j\tau \omega }$»
     Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul avec «$\beta \in {ℝ}^{\ast }$ homogène au transfert harmonique multiplié par un temps » et
     Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul avec «$\tau \in {ℝ}^{+\ast }$ homogène à un temps »,
     l'équation différentielle en $\underset{\_}{y_s}(t)$ associée au signal instantané complexe d'entrée $\underset{\_}{x_e}(t)$ se retrouve
     l'équation différentielle en $\underset{\_}{y_s}(t)$ à partir de la fonction de transfert en égalant les extrêmes et les moyens «$(1+j\tau \omega )\underset{\_}{y_s}(t)=j\beta \omega \underset{\_}{x_e}(t)$» d'une part et
     l'équation différentielle en $\underset{\_}{y_s}(t)$ à partir de la fonction de transfert en remplaçant la « multiplication par $j\omega$» par la « dérivation temporelle » d'autre part d'où
     l'équation différentielle en $\underset{\_}{y_s}(t)$ «$(1+\tau \frac{d}{dt})\underset{\_}{y_s}(t)=\beta \frac{d}{dt}\underset{\_}{x_e}(t)$» soit,
     l'équation différentielle en $\underset{\_}{y_s}(t)$ en revenant aux grandeurs sinusoïdales, «$\tau \frac{d{y}_s}{dt}(t)+y_s(t)=\beta \frac{d{x}_e}{dt}(t)$».

     La « réponse fréquentielle du filtre du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul $\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{j\beta \omega }{1+j\tau \omega }$ au signal sinusoïdal de pulsation $\omega$ variable et de valeur efficace $X_e$ fixée » est

l'« ensemble des valeurs efficaces complexes du signal de sortie » c'est-à-dire
«${\{\underset{\_}{Y_s}(j\omega )=\underset{\_}{H}(j\omega )\underset{\_}{X_e}=\frac{j\beta \omega }{1+j\tau \omega }\underset{\_}{X_e}\}}_{\mathrm{\forall }\omega }$».

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle

     Connaissant la « réponse fréquentielle $\underset{\_}{Y_s}(j\omega )=\underset{\_}{H}(j\omega )\underset{\_}{X_e}$ dont la forme trigonométrique s'écrit $\underset{\_}{Y_s}(j\omega )=Y_s(\omega )\exp [j{\phi }_s(\omega )]$», on obtient
     Connaissant la « réponse temporelle $y_s(t)$» en « revenant à la grandeur sinusoïdale associée à la grandeur instantanée complexe $\underset{\_}{y_s}(t)=\underset{\_}{Y_s}(j\omega )\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$» selon

«$y_s(t)=Y(\omega )\sqrt{2}\cos [\omega t+{\phi }_s(\omega )]$» avec
                      «$Y(\omega )=|\underset{\_}{H}(j\omega )\underset{\_}{X_e}|=G(\omega )X_e$» où
                                                                                                             «$G(\omega )=|\underset{\_}{H}(j\omega )|$ est le gain du filtre » et
                              «${\phi }_s(\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{H}(j\omega )\underset{\_}{X_e}]=\phi (\omega )+{\phi }_e$» où
                                                                                                                               «$\phi (\omega )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\underset{\_}{H}(j\omega )]$ est la phase du filtre » ;

     il est intéressant de « comparer cette réponse temporelle $y_s(t)=Y(\omega )\sqrt{2}\cos [\omega t+{\phi }_s(\omega )]$ au signal d'entrée $x_e(t)=X_e\sqrt{2}\cos (\omega t+{\phi }_e)$» suivant la valeur de la pulsation de ce dernier
     il est intéressant connaissant le diagramme de Bode et la pulsation de coupure à $-3dB$ «${\omega }_0=\frac{1}{\tau }$» :

     il est intéressant $\succ$« à B.F. c'est-à-dire si $\omega \lesssim \frac{{\omega }_0}{10}$», l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant $\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{j\beta \omega }{1\cancel{+j\tau \omega }}\sim j\beta \omega$» nous en déduisons
           il est intéressant $\succ$« à B.F. c'est-à-dire si $\omega \lesssim \frac{{\omega }_0}{10}$», son « équivalent en équation différentielle $\cancel{\tau \frac{d{y}_s}{dt}(t)+}{y}_s(t)=\beta \frac{d{x}_e}{dt}(t)$» établissant que
           il est intéressant $\succ$« à B.F. c'est-à-dire si $\omega \lesssim \frac{{\omega }_0}{10}$», la réponse temporelle est égale à la dérivée du signal d'entrée multipliée par le cœfficient$\beta$,
           il est intéressant $\succ$« à B.F. c'est-à-dire si $\omega \lesssim \frac{{\omega }_0}{10}$», le système du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul étant en effet équivalent, à B.F., à un circuit pseudo-dérivateur
           il est intéressant $\succ$« à B.F. c'est-à-dire si $\omega \lesssim \frac{{\omega }_0}{10}$», en accord avec l'existence d'une asymptote B.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode de pente $+20dB/\text{décade}$,

     il est intéressant $\succ$« à H.F. c'est-à-dire si $\omega \gtrsim 10{\omega }_0$», l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant $\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{j\beta \omega }{\cancel{1+}j\tau \omega }\sim \frac{\beta }{\tau }$» nous en déduisons
           il est intéressant $\succ$« à H.F. c'est-à-dire si $\omega \gtrsim 10{\omega }_0$», son « équivalent en équation différentielle $\tau \frac{d{y}_s}{dt}(t)\cancel{+y_s(t)}=\beta \frac{d{x}_e}{dt}(t)$» ou,
           il est intéressant $\succ$« à H.F. c'est-à-dire si $\omega \gtrsim 10{\omega }_0$», en prenant les primitives $($de valeur moyenne nulle$)$ de chaque membre, «$y_s(t)=\frac{\beta }{\tau }{x}_e(t)$» établissant que
           il est intéressant $\succ$« à H.F. c'est-à-dire si $\omega \gtrsim 10{\omega }_0$», la réponse temporelle est égale au signal d'entrée multiplié par le cœfficient horaire$\frac{\beta }{\tau }$.

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul à une somme finie de signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes à partir des réponses fréquentielles de chaque composante de la somme finie de signaux

     Le système étant linéaire, on peut lui appliquer le théorème de superposition et

     Le système étant linéaire, on en déduit que « la réponse temporelle à une somme finie de signaux sinusoïdaux est la somme des réponses temporelles à chaque signal sinusoïdal pris individuellement » $($pour chacune de ces dernières on peut appliquer les résultats du paragraphe « détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle »$)$ $\dots$

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal périodique non sinusoïdal à partir des réponses fréquentielles de chaque harmonique du signal

Obtention de la réponse fréquentielle du filtre à un signal d'entrée périodique non sinusoïdal et rappel de la méthode à utiliser pour en déduire la réponse temporelle

     On associe au signal périodique d'entrée $x_E(t)$ de fréquence $f_e$ sa représentation fréquentielle $\{C_{0,E};\underset{\_}{C_{p,e}}p\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$ et

     on applique de nouveau le théorème de superposition, chaque harmonique du signal d'entrée donnant en sortie l'harmonique de même fréquence et de valeur efficace complexe «$\underset{\_}{C_{p,s}}(j2\pi p{f}_e)=$ $\underset{\_}{H}(j2\pi p{f}_e)\underset{\_}{C_{p,e}}p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$», la composante permanente du signal de sortie étant nulle par absence de transfert statique du filtre soit «$C_{0,S}=0$»,
            on applique de nouveau le théorème de superposition, l'« ensemble $\{C_{0,S}=0;\underset{\_}{C_{p,s}}p\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$ définissant la réponse fréquentielle du système linéaire au signal d'entrée périodique non sinusoïdal » ;

            on applique de nouveau le théorème de superposition, il reste alors à effectuer une synthèse de Fourier pour obtenir la réponse temporelle du système au signal d'entrée à partir de sa réponse fréquentielle et nous allons le faire sur un exemple « un signal triangulaire symétrique » :

Synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal triangulaire symétrique d'entrée

Superposition du triangulaire d'entrée $($en noir$)$ de fréquence $f_e=$ $30Hz$ et de la sortie d'un passe-haut du 1^er ordre non fondamental de transfert statique nul, de fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=10kHz$ et de gain H.F. $G_{H.F.}=1$ en fonctionnement dérivateur $($en rouge$)$ avec une amplification d'un facteur $100$

     Rappel de la représentation fréquentielle d'un signal triangulaire symétrique de valeur moyenne nulle, d'amplitude$U_m$et de fréquence$f_e$ : «$\{C_{0,E}=0;\underset{\_}{C_{2n+1,e}}=-\frac{4U_m\sqrt{2}}{{\pi }^2}\frac{1}{(2n+1{)}^2}n\in \mathbb{N}\}$ soit une $\searrow$ rapide en $\frac{1}{p^2}=$ $\frac{1}{(2n+1{)}^2}$ de la valeur efficace des harmoniques suivant le rang ; on estime qu'il faut superposer tous les harmoniques jusqu'au rang $3$ pour reconstituer approximativement le signal triangulaire $[$voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique » du chap.$2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »$]\dots$

     Choix du filtre et ses propriétés : nous choisissons un passe-haut du 1^er ordre non fondamental de transfert statique nul, de « fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0$ $=10kHz$» et de « gain à H.F. $G_{H.F.}=1$»,
     Choix du filtre et ses propriétés : la « zone quasi absente en sortie $($ou zone dérivative$)$ étant $[0,\frac{f_0}{10}=1kHz]$» et
     Choix du filtre et ses propriétés : la « zone passe-haut sans atténuation $[10f_0=100kHz,+\mathrm{\infty }[$».

     Condition de fréquence pour obtenir un signal créneau en sortie : les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal créneau doivent être dans la zone dérivative c'est-à-dire que le 30^ème harmonique doit y être soit «$30fe\lesssim \frac{f_0}{10}$» ou «$f_e\lesssim \frac{f_0}{300}\simeq 33Hz$» voir ci-contre à droite la « courbe rouge avec $f_e=30Hz$» $[$on observera par contre que l'amplitude du signal créneau est d'autant plus faible que la fréquence du signal triangulaire d'entrée est éloignée de la fréquence maximale dans l'intervalle de fréquences de la zone dérivative$]$.

Superposition du triangulaire d'entrée $($en noir$)$ de fréquence $f_e=$ $100kHz$ et de la sortie d'un passe-haut du 1^er ordre non fondamental de transfert statique nul, de fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=10kHz$ et de gain H.F. $G_{H.F.}=1$ $($en rouge$)$

     Condition de fréquence pour obtenir un signal triangulaire en sortie : les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal triangulaire doivent être dans la zone passe-haut c'est-à-dire qu'il suffit que le 1^er harmonique y soit $($puisque le 3^ème est de fréquence plus élevée$)$ soit «$fe\gtrsim 10f_0=$ $100kHz$» voir ci-contre à gauche la « courbe rouge avec $f_e=100kHz$».

     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal créneau ne sont pas dans la zone dérivative : considérant un signal triangulaire de fréquence $f_e=1kHz$ on constate que
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau seul l'harmonique fondamental est dans la zone dérivative,
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau les autres harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal créneau c'est-à-dire jusqu'au rang $30$ étant dans la zone intermédiaire $($le 29^ème harmonique nécessaire étant de fréquence $29kHz)$, la conséquence de ceci est que le signal de sortie, bien que différant de la dérivée du signal d'entrée, lui reste assez proche voir ci-dessous à gauche la « courbe rouge avec $f_e=1kHz$».

     Cas où les 1^ers harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal triangulaire ne sont pas dans la zone passe-haut : considérant un signal triangulaire de fréquence $f_e=10kHz$ on constate que
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal triangulaire le 1^er harmonique se trouvant dans la zone passe-haut est celui de rang $11$, les harmoniques de rang plus faible étant dans la zone intermédiaire,
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal trinagulaire la conséquence de ceci est que le signal de sortie est assez différent d'un signal triangulaire voir ci-dessous à droite la « courbe rouge avec $f_e=10kHz$».

Superposition du triangulaire d'entrée $($en noir$)$ de fréquence $f_e=$ $1kHz$ et de la sortie d'un passe-haut du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul, de fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=10kHz$ et de gain H.F. $G_{H.F.}=1$ $($en rouge$)$ avec une amplification d'un facteur $10$, seul l'harmonique fondamental étant dans la zone dérivative

Superposition du triangulaire d'entrée $($en noir$)$ de fréquence $f_e=$ $10kHz$ et de la sortie d'un passe-haut du 1^er ordre non fondamental de transfert statique nul, de fréquence de coupure à $-3dB$, $f_0=10kHz$ et de gain H.F. $G_{H.F.}=1$ $($en rouge$)$, seuls les harmoniques à partir du rang $11$ étant dans la zone passe-haut

Système du 2^ème ordre du type « réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante » et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal

     Voir le paragraphe « Système du 2^ème ordre du type “ réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ” et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal » du chap.$34$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Cas d'un système linéaire à plusieurs étages, cas particulier d'étages identiques en r.s.f. et intérêt de la notion d'impédance complexe itérative

     Voir le paragraphe « Cas d'un système linéaire à plusieurs étages, cas particulier d'étages identiques en r.s.f. et intérêt de la notion d'impédance complexe itérative » du chap.$34$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».