Signaux physiques (PCSI)/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 1ère partie

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Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 1ère partie
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Chapitre no 33
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Filtrage linéaire : signaux périodiques
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Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un quadripôle linéaire en régime sinusoïdal forcé, propriétés fondamentales d'une fonction de transfert « dépendante de la sortie » mais « indépendante de l'entrée »[modifier | modifier le wikicode]

Rappel des choix de convention d'un quadripôle linéaire en A.R.Q.S.[modifier | modifier le wikicode]

En complexe associée au r.s.f[1]. : convention générateur de la sortie du réseau dipolaire "source + réseau quadripolaire", convention récepteur de l'entrée du réseau dipolaire "réseau quadripolaire + charge"

     Déjà traité dans le paragraphe « notion de réseau quadripolaire et conventions d'entrée et de sortie » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans le cadre quelconque de l'A.R.Q.S[2]., repris ici dans celui de l'électricité complexe associée au r.s.f[1]. ; ci-contre schéma retranscrit en électricité complexe associée au r.s.f[1]. avec explication ci-dessous :

  • le choix de la convention d'entrée est fait de façon à ce que la source soit en convention générateur, le réseau dipolaire sur lequel la source est fermée, c'est-à-dire constitué du Q.L.P. [3],[4] fermé sur le récepteur et vu des bornes d'entrée en bleu ci-contre étant en convention récepteur,
  • le choix de la convention de sortie est fait de façon à ce que le récepteur encore appelé « charge » soit en convention récepteur, le réseau dipolaire alimentant la « charge » c'est-à-dire constitué du Q.L.P[3]. alimenté par la source et vu des bornes de sortie en rouge ci-contre étant en convention générateur ;

     conventions d'écriture des grandeurs « tension ou intensité de courant »[5] :

  • une tension d'entrée de valeur moyenne nulle c'est-à-dire sans composante permanente[6], par exemple purement sinusoïdale est notée , on a donc «»,
  • dans le cas où la tension d'entrée est purement sinusoïdale, sa valeur efficace est notée , on a donc dans ce cas « »,
  • une tension d'entrée dépendant du temps et a priori de valeur moyenne non nulle c'est-à-dire avec composante permanente[6] est notée et correspond à «»,
  • une tension d'entrée ne dépendant pas du temps donc en régime permanent[6] est notée , on a donc «» avec « puisque ».

Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un Q.L.P. fermé sur une « charge » et alimenté en entrée par une « source fonctionnant en r.s.f. »[modifier | modifier le wikicode]

     Après avoir introduit les grandeurs instantanées complexes associées aux grandeurs instantanées sinusoïdales ainsi que les grandeurs efficaces complexes et les impédances complexes des D.P.L[7]., une fonction de transfert harmonique du Q.L.P[3]. fermé sur une « charge d'impédance complexe » est définie par

«» où
« est la tension instantanée complexe de sortie ou l'intensité instantanée complexe du courant de sortie »,
« est la tension instantanée complexe d'entrée ou l'intensité instantanée complexe du courant d'entrée »,
«[8] est la tension efficace complexe de sortie ou l'intensité efficace complexe du courant de sortie » et
«[9] est la tension efficace complexe d'entrée ou l'intensité efficace complexe du courant d'entrée » ;
  • « le module de la fonction de transfert définit son gain noté » soit
    «»,
  • « l'argument de la fonction de transfert définit sa phase notée » soit
    «» et
  • « la forme trigonométrique de la fonction de transfert » s'écrit
    «».

Représentation symbolique du transfert par schéma unifilaire[modifier | modifier le wikicode]

Représentation du transfert d'un Q.L.P[3]. par schéma unifilaire[10] avec chaîne de rétroaction en tiretés rouges

     Voir ci-contre : une grandeur d'entrée tension ou intensité de courant[11] est imposée au Q.L.P[3]. qui la transforme en grandeur de sortie tension ou intensité de courant[11] [12].

     Remarques : Bien entendu les flèches sur le fil d'entrée ou sur celui de sortie ne veulent absolument pas dire qu'il y a « circulation de la grandeur » ce serait totalement stupide pour une tension mais signifient qu'il y a, provenant de la source, « apport de l'information » au Q.L.P[3]. puis, provenant du Q.L.P[3]., « restitution de l'information transformée » au récepteur situé en aval du Q.L.P[3]. ;

     Remarques : la transformation effectuée par le Q.L.P[3]. peut être « voulue » on veut empêcher certaines fréquences de passer et si le but recherché est atteint c'est parfait ou « une conséquence de la mauvaise qualité du Q.L.P[3]. » existence de défauts qu'il faut donc chercher à éliminer ;

     Remarques : il est possible d'ajouter une « chaîne de rétroaction » en tiretés rouges sur le schéma unifilaire dans le but de stabiliser ou déstabiliser le signal de sortie, pour cela on renvoie à l'entrée un signal dépendant du signal de sortie et, ce signal renvoyé à l'entrée subissant de nouveau le transfert engendre une stabilisation ou une déstabilisation

Les quatre fonctions de transfert harmoniques[modifier | modifier le wikicode]

Amplification complexe en tension[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de la tension d'entrée et la tension de sortie en r.s.f[1]. on définit l'« amplification complexe en tension » «»[13] sans unité :

  • son module définit le « gain en tension » «» et
  • son argument, l'« avance de phase de la tension de sortie sur la tension d'entrée » «».

Amplification complexe en courant[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de l'intensité du courant d'entrée et celle du courant de sortie en r.s.f[1]. on définit l'« amplification complexe en courant »[14] «»[15] sans unité :

  • son module définit le « gain en courant »[16] «» et
  • son argument, l'« avance de phase de l'intensité du courant de sortie sur celle du courant d'entrée » «».

Transimpédance complexe[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de l'intensité du courant d'entrée et la tension de sortie en r.s.f[1]. on définit la « transimpédance complexe » «»[17] en  :

  • son module définit la « transimpédance »[18] «» en et
  • son argument, l'« avance de phase de la tension de sortie sur l'intensité du courant d'entrée » «».

Transadmittance complexe[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de la tension d'entrée et l'intensité du courant de sortie en r.s.f[1]. on définit la « transadmittance complexe » «»[19],[20] en  :

  • son module définit la « transadmittance »[18] «»[21] en et
  • son argument, l'« avance de phase de l'intensité du courant de sortie sur la tension d'entrée » «».

Propriétés fondamentales d'une fonction de transfert harmonique d'un Q.L.P. fermé sur une « charge » et alimenté en entrée par une « source fonctionnant en r.s.f. »[modifier | modifier le wikicode]

     Il sera aisé de vérifier les propriétés énoncées ci-dessous sur tous les exemples traités en cours et en exercices :

  • « toute fonction de transfert d'un Q.L.P[3]. fermé sur une charge est indépendante du dipôle source situé en amont de l'entrée », c'est-à-dire du générateur de fonctions de modèle générateur de tension ou du générateur de fonctions de modèle générateur de courant , en effet ce qui importe c'est la tension instantanée complexe d'entrée et non la façon dont cette tension est construite à l'aide de la source,
  • « toute fonction de transfert d'un Q.L.P[3]. fermé sur une charge est dépendante du dipôle d'utilisation situé en aval de la sortie », c'est-à-dire de la charge , en effet il est évident que l'amplification complexe en tension ou la transimpédance complexe en dépend puisque son absence ou présence modifie la tension instantanée complexe de sortie de même l'amplification complexe en courant ou la transadmittance complexe en dépend puisque son absence ou présence modifie l'intensité instantanée complexe du courant de sortie ; il est donc impératif pour pouvoir évaluer la fonction de transfert de connaître la « charge » placée en sortie[22].

     Remarques : seules l'amplification complexe en tension et la transimpédance complexe ont un intérêt en sortie ouverte en effet, en sortie ouverte entraîne la nullité des deux autres et

     Remarques : seules l'amplification complexe en courant et la transadmittance complexe ont un intérêt en sortie court-circuitée en effet, en sortie court-circuitée entraîne la nullité des deux autres.

Diagramme de Bode associé à une fonction de transfert harmonique, courbe de gain et courbe de phase[modifier | modifier le wikicode]

Définition du gain en dB[modifier | modifier le wikicode]

     Le gain associé à une fonction de transfert étant défini par , le gain en dB l'est par :

  • « pour les deux fonctions de transfert sans unité » à savoir l'amplification complexe en tension et l'amplification complexe en courant,
  • « pour les deux fonctions de transfert avec unité » où est un gain de référence exprimée dans la même unité que la fonction de transfert considérée à savoir par exemple pour la transimpédance complexe et pour la transadmittance complexe[23].

     Remarque : le choix du facteur introduit dans la définition du gain en décibels pour les quatre fonctions de transfert résulte
     Remarque : de l'expression de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance en fonction de la tension efficace aux bornes de ce dernier ou de l'intensité efficace du courant le traversant soit [24] et
     Remarque : de la définition du gain en puissance électrique moyenne en décibels reçue par un conducteur ohmique de résistance «» ;

     Remarque : or un gain en tension efficace aux bornes d'un conducteur ohmique de résistance ou un gain en intensité efficace de courant traversant le conducteur ohmique de résistance de valeur conduisant à un gain en puissance électrique moyenne reçue par le conducteur ohmique de résistance de valeur ,
     Remarque : la définition du gain en puissance électrique moyenne en décibels reçue par ce conducteur ohmique de résistance , le choix du facteur dans celle du gain en décibels en tension efficace aux bornes de ce conducteur ohmique de résistance ou dans celle du gain en décibels en intensité efficace de courant traversant ce conducteur ohmique de résistance ou c'est-à-dire que les trois gains en décibels en puissance électrique moyenne, en tension efficace et en intensité efficace de courant ont la même valeur en décibels.

Définition du diagramme de Bode associé à la fonction de transfert H(jω) = G(ω) e[jφ(ω)], courbe de gain et courbe de phase[modifier | modifier le wikicode]

     Le diagramme de Bode[25] associé à la fonction de transfert est l'ensemble des deux courbes suivantes en échelle semi-logarithmique[26] :

  • la courbe de gain qui est le graphe de en fonction de la fréquence par prolongement on appelle encore « courbe de gain » le graphe de en fonction de la pulsation [27] ou le graphe de en fonction de la fréquence réduite [27] est une fréquence caractéristique du transfert et
  • la courbe de phase qui est le graphe de en fonction de la fréquence par prolongement on appelle encore « courbe de phase » le graphe de en fonction de la pulsation [27] ou le graphe de en fonction de la fréquence réduite [27], étant la même fréquence caractéristique du transfert que précédemment.

     Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences[28] : Une « décade » de l'axe des fréquences en échelle logarithmique est l'intervalle entre une fréquence quelconque et la fréquence dix fois plus grande , toutes les décades ont donc la même largeur en échelle logarithmique car  ;

          Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences : ainsi entre et il y a « quatre décades » comme il y a « quatre décades » entre et  ;

          Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences : remarque : notez aussi qu'entre les fréquences et il y a « décade » en particulier entre et il y a «décade » [29].

Différentes fonctions de transfert du 1er ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F.[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une fonction de transfert du 1er ordre[modifier | modifier le wikicode]

     Une fonction de transfert est dite du « 1er ordre »[30] quand, écrite sous forme d'un quotient irréductible de polynômes en, le « dénominateur est un polynôme de degré » ;

     la fonction de transfert sera dite « sous forme normalisée » si le « monôme de degré de est », ainsi une fonction de transfert du « 1er ordre » s'écrit, « sous forme normalisée », selon

«» avec «» et « polynôme de degré ou »[31].

     Remarque : si le quadripôle ne contient que des « conducteurs ohmiques, bobines et condensateurs », le cœfficient « est »[32] et homogène à une constante de temps, on pose alors «» et la fonction de transfert du « 1er ordre » peut se réécrire sous forme normalisée selon

«» avec «» et « polynôme de degré ou »[33] ou,
en posant «» se réécrire sous forme normalisée «» ou encore,
en introduisant la « pulsation réduite » se réécrire sous forme normalisée «»[34].

Fonction de transfert du 1er ordre fondamental[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une fonction de transfert du 1er ordre fondamental[modifier | modifier le wikicode]

     Une fonction de transfert du 1er ordre[35] est dite « du 1er ordre fondamental » ssi «» avec « homogène à un temps » et « de même homogénéité que le transfert harmonique », définissant le transfert statique[36] ou

          Une fonction de transfert du 1er ordre est dite « du 1er ordre fondamental » ssi «» avec « homogène à une pulsation » et « de même homogénéité que le transfert harmonique », définissant le transfert statique[36] ou enfin

          Une fonction de transfert du 1er ordre est dite « du 1er ordre fondamental » ssi «»[34] avec « pulsation réduite sans dimension »[37] et « de même homogénéité que le transfert harmonique », définissant le transfert statique[36].

Exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de C » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de pulsation , « la tension instantanée complexe d'entrée étant » avec « la tension efficace complexe d'entrée », « étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T[38]. »[39],[40] et « l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte »[41] avec « la tension efficace complexe de sortie ouverte »[41] ;

     on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P[3]. constitué du P.D.T[38]. alimenté en entrée sous et en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité c'est-à-dire «»[41] que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T[38]. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée »[41],[42] soit « »[41] donnant, en multipliant haut et bas par , l'amplification complexe en tension cherchée

«»[41] correspondant effectivement à un 1er ordre fondamental[43]
de « transfert statique », de « constante de temps » ou de « pulsation particulière »[41],[44].

Nature du filtre et fréquence de coupure à –3dB[modifier | modifier le wikicode]

     Le gain associé à la fonction de transfert d'un 1er ordre fondamental s'écrivant «» est une fonction de , de jusqu'à , il s'agit donc d'un passe-bas dans la mesure où il existe « nécessairement » [45] une « fréquence de coupure à de fréquence réduite correspondant à [46] »[47] soit, avec l'équation ou et, étant nécessairement ,

la « valeur de la fréquence réduite de coupure à est » ou encore,
la « valeur de la pulsation de coupure à  est »[48].

     En conclusion tout système du 1er ordre fondamental est un « passe-bas », la « pulsation de coupure à étant », l'« intervalle passant en fréquences est » et la « bande passante à [49] ».

     Reprenant l'exemple du Q.L.P[3]. constitué du P.D.T[38]. alimenté en entrée sous et
               Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité ,
               Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. c'est un « passe-bas » de « fréquence de coupure à  : »[41] soit, avec et , une fréquence de coupure à  : d'où un intervalle passant en fréquences [50].

Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 1er ordre fondamental et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 1er ordre fondamental et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Se situant en B.F[51]. si «» ce qui est « réalisé à moins de près si »[52],
           Se situant en B.F. si «» nous obtenons l'« équivalent B.F[51]. de la fonction de transfert selon »[53] et
           Se situant en B.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à B.F[51]. » dont nous tirons le « gain en dB à B.F[51]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[25] se confond à B.F[51]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote B.F[51]. » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F[51]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[25] se confond à B.F[51]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote B.F[51]. » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F[51]. »[54] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[25] se confond à B.F[51]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote B.F[51]. »[54].
Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 1er ordre fondamental et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Se situant en H.F[55]. si «» ce qui est « réalisé à moins de près si »[56],
           Se situant en H.F. si «» nous obtenons l'« équivalent H.F[55]. de la fonction de transfert selon »[53] et
           Se situant en H.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à H.F[55]. » dont nous tirons le « gain en dB à H.F[55]. » équation de la droite décroissante de pente avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[25] se confond à H.F[55]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote H.F[55]. » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à H.F[55]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[25] se confond à H.F[55]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote H.F[55]. » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à H.F[55]. »[54] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[25] se confond à H.F[55]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote H.F[55]. »[54].

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

Tracé en rouge de la courbe de gain du diagramme de Bode[25] d'un 1er ordre fondamental et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un série avec sortie ouverte aux bornes de

     On trace d'abord les asymptotes B.F[51]. de pente nulle et H.F[55]. de pente « se coupant en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite de coupure à »[57], l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode[25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode[25] en rouge ci-contre se confondant avec celle du diagramme de Bode[25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à », il suffit de positionner le « point d'abscisse [58] au-dessous de l'asymptote B.F[51]. » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode[25] ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T[38]. alimenté en entrée par , constitué de série en sortie ouverte aux bornes de pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs « et » conduisant à une « fréquence de coupure à , », nous en déduisons les propriétés suivantes vérifiées à près :
     La courbe de gain « les fréquences de signaux d'entrée sinusoïdaux se retrouvent en sortie sans modification » et
     La courbe de gain « les fréquences de signaux d'entrée sinusoïdaux sont absents en sortie »

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

     Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «»[54] qui est une « fonction de » ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où « est » ;

Tracé en rouge de la courbe de phase du diagramme de Bode[25] d'un 1er ordre fondamental et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un série avec sortie ouverte aux bornes de

     on trace ensuite les asymptotes B.F[51]. de pente nulle et de valeur et H.F[55]. de pente nulle et de valeur , l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme de Bode[25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre  ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode[25] en rouge ci-contre se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode[25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à »[59], il suffit de positionner le « point d'abscisse [58] à l'ordonnée » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière »[60] ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode[25] ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T[38]. alimenté en entrée par , constitué de série en sortie ouverte aux bornes de pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les mêmes valeurs « et » que celles utilisées pour la courbe de gain conduisant à une « fréquence de coupure à , » ;
     la courbe de phase on y a également représenté en tiretés rouges une schématisation de la courbe de phase du diagramme de Bode[25] en la supposant « linéaire entre et depuis l'asymptote B.F[51]. jusqu'à l'asymptote H.F[55]. et confondue avec les asymptotes au-delà de ces fréquences ».

Interprétation de « l'équivalent H.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo intégrateur »[modifier | modifier le wikicode]

     À H.F[55]. c'est-à-dire si la pulsation réduite « est à » ou si la pulsation « est à » ou encore si la fréquence « est à »,
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à » ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par ,
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à »[34] et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension »
          À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à » dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon

«» ;

     or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f[1]. « multiplier la grandeur instantanée complexe par » est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » et que « diviser la grandeur instantanée complexe par » correspond à « prendre la primitive temporelle de valeur moyenne nulle » [61] d'où «» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales

«» si «».

     En conclusion, à H.F[55]. soit pratiquement «», on observe un fonctionnement « intégrateur » [62] du système linéaire du 1er ordre fondamental, cela se manifeste par
          En conclusion, à H.F. soit pratiquement «», on observe une « fonction de transfert à » ou
          En conclusion, à H.F. soit pratiquement «», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente ».

Gain statique et bande passante à –3dB dans l'exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de C » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension », influence d'une charge résistive en aval de la sortie[modifier | modifier le wikicode]

     Rappel de l'amplification complexe en tension du Q.L.P[3]. constitué du P.D.T[38]. alimenté en entrée souset en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité : « »[41], son gain statique valant «[41] » et sa bande passante à c'est-à-dire la largeur, en fréquences, de l'intervalle passant à « »[41], nous en déduisons

le produit « gain statique*bande passante à » en sortie ouverte «»[41].

     Amplification complexe en tension du Q.L.P[3]. constitué du P.D.T[38]. alimenté en entrée souset
                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. en sortie aux bornes du condensateur de capacitéfermée sur une charge résistive de résistance : nous allons établir que la nature du filtre reste la même avec une du gain statique et une de la bande passante à , le produit « gain statique*bande passante à » gardant la même valeur que celle en sortie ouverte ;

                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation du P.D.T[38]. en complexe alimenté en entrée par , ayant pour D.P[63]. d'attaque le conducteur ohmique de résistance , lequel est en série avec le condensateur de capacité quand la sortie aux bornes de ce dernier est ouverte, de tension instantanée complexe de sortie quand celle-ci est fermée sur la charge de résistance d'utilisation  ;
                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. nous pouvons alors reconnaître un P.D.T[38]. en complexe alimenté en entrée par , ayant pour D.P[63]. d'attaque « en série avec l'association d'impédance complexe » et en sortie ouverte aux bornes de cette association et
                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. nous obtenons «»[42] ou, en multipliant haut et bas par et après regroupement de termes, «» donnant, après normalisation, l'amplification complexe en tension recherchée « » correspondant effectivement à un 1er ordre fondamental donc à un « passe-bas » dont nous tirons

  • le « gain statique » et
  • la « bande passante à » ;

                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. formant le produit « gain statique*bande passante à » « » c'est-à-dire qu'on vérifie l'indépendance de ce produit par rapport à la résistance d'utilisation soit

«»,
une diminution de la résistance d'utilisation s'accompagnant d'une dégradation simultanée
de la bande passante à celle-ci augmentant[64] et du gain statique celui-ci diminuant.

Fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul[modifier | modifier le wikicode]

     Une fonction de transfert du 1er ordre[35] est dite « du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul » ssi «» avec « homogène à un temps » et « d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps », le transfert statique[36] étant effectivement nul ou

          Une fonction de transfert du 1er ordre est dite « du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul » ssi «» avec « homogène à une pulsation » et « d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps », le transfert statique[36] étant effectivement nul ou enfin

          Une fonction de transfert du 1er ordre est dite « du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul » ssi «»[34] avec « pulsation réduite sans dimension »[37] et « de même homogénéité que le transfert harmonique », le transfert statique[36] étant effectivement nul.

Exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de R » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de pulsation , « la tension instantanée complexe d'entrée étant avec la tension efficace complexe d'entrée », « étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T[38]. »[39],[40] et « l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte »[41] avec « la tension efficace complexe de sortie ouverte »[41] ;

     on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P[3]. constitué du P.D.T[38]. alimenté en entrée sous et en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance c'est-à-dire «»[41] que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T[38]. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée »[41],[42] soit « »[41] donnant, en multipliant haut et bas par , l'amplification complexe en tension cherchée

« »[41] correspondant effectivement à un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul[65]
de « constante de temps » ou de « pulsation particulière »[66] et de « cœfficient »[67] ou «»[41].

Nature du filtre et fréquence de coupure à –3dB[modifier | modifier le wikicode]

     Le gain associé à la fonction de transfert d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul s'écrivant «» ou, en divisant haut et bas par pour obtenir un numérateur constant, «» est une fonction de donc de [68], de jusqu'à [69], il s'agit donc d'un passe-haut dans la mesure où il existe « nécessairement » [45] une « fréquence de coupure à de fréquence réduite correspondant à [70] »[47] soit, avec l'équation ou et, étant nécessairement ,

la « valeur de la fréquence réduite de coupure à est » ou encore,
la « valeur de la pulsation de coupure à est »[48].

     En conclusion tout système du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul est un « passe-haut », la « pulsation de coupure à étant », l'« intervalle passant en fréquences est » et la bande non passante à [71] ».

     Reprenant l'exemple du Q.L.P[3]. constitué du P.D.T[38]. alimenté en entrée sous et
               Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance ,
               Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. c'est un « passe-haut » de « fréquence de coupure à  : »[41] soit, avec et , une fréquence de coupure à  : d'où un intervalle passant en fréquences [72].

Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Se situant en B.F[51]. si «» ce qui est « réalisé à moins de près si »[52],
           Se situant en B.F. si «» nous obtenons l'« équivalent B.F[51]. de la fonction de transfert selon »[53] et
           Se situant en B.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à B.F[51]. » dont nous tirons le « gain en dB à B.F[51]. » équation de la droite croissante de pente avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[25] se confond à B.F[51]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote B.F[51]. » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F[51]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[25] se confond à B.F[51]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote B.F[51]. » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à B.F[51]. »[73] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[25] se confond à B.F[51]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote B.F[51]. »[73].
Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Se situant en H.F[55]. si «» ce qui est « réalisé à moins de près si »[56],
           Se situant en H.F. si «» nous obtenons l'« équivalent H.F[55]. de la fonction de transfert selon »[53],[69] et
           Se situant en H.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à H.F[55]. »[69] dont nous tirons le « gain en dB à H.F[55]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[25] se confond à H.F[55]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote H.F[55]. » et
  • en en prenant l'argument
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à H.F[55]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[25] se confond à H.F[55]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote H.F[55]. » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où est », la « phase à H.F[55]. »[73] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[25] se confond à H.F[55]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote H.F[55]. »[73].

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

Tracé en rouge de la courbe de gain du diagramme de Bode[25] d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un série avec sortie ouverte aux bornes de

     On trace d'abord les asymptotes B.F[51]. de pente et H.F[55]. de pente nulle « se coupant en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite de coupure à »[74], l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode[25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode[25] en rouge ci-contre se confondant avec celle du diagramme de Bode[25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à », il suffit de positionner le « point d'abscisse [58] au-dessous de l'asymptote H.F[55]. » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;

     la courbe de gain du diagramme de Bode[25] ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T[38]. alimenté en entrée par , constitué de série en sortie ouverte aux bornes de pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs « et » conduisant à une « fréquence de coupure à , », nous en déduisons les propriétés suivantes vérifiées à près :
     La courbe de gain « les fréquences de signaux d'entrée sinusoïdaux se retrouvent en sortie sans modification[75] et
     La courbe de gain « les fréquences de signaux d'entrée sinusoïdaux sont absents en sortie »

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

     Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «»[73] qui est une « fonction de » ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où « est » ;

Tracé en rouge de la courbe de phase du diagramme de Bode[25] d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un série avec sortie ouverte aux bornes de

     on trace ensuite les asymptotes B.F[51]. de pente nulle et de valeur et H.F[55]. de pente nulle et de valeur , l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme asymptotique en vert ou bleu ci-contre ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode[25] en rouge ci-contre se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode[25] asymptotique en vert ou bleu ci-contre sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à »[59], il suffit de positionner le « point d'abscisse [58] à l'ordonnée » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière »[76] ;

     la courbe de phase du diagramme de Bode[25] ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T[38]. alimenté en entrée par , constitué de série en sortie ouverte aux bornes de pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les mêmes valeurs « et » que celles utilisées pour la courbe de gain conduisant à une « fréquence de coupure à , » ;
     la courbe de phase on y a également représenté en tiretés rouges une schématisation de la courbe de phase du diagramme de Bode[25] en la supposant « linéaire entre et depuis l'asymptote B.F[51]. jusqu'à l'asymptote H.F[55]. et confondue avec les asymptotes au-delà de ces fréquences ».

Interprétation de « l'équivalent B.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo dérivateur »[modifier | modifier le wikicode]

     À B.F[51]. c'est-à-dire si la pulsation réduite « est à » ou si la pulsation « est à » ou encore si la fréquence « est à »,
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à » ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par ,
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à »[34] et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension »
          À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à » dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon

«» ;

     or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f[1]. « multiplier la grandeur instantanée complexe par » est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » d'où «» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales

«» si «».

     En conclusion, à B.F[51]. soit pratiquement «», on observe un fonctionnement « dérivateur » [62] du système linéaire du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul, cela se manifeste par
          En conclusion, à BH.F. soit pratiquement «», on observe une « fonction de transfert à » ou
          En conclusion, à BH.F. soit pratiquement «», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente ».

Gain à H.F. et bande non passante à –3dB dans l'exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de R » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Rappel de l'amplification complexe en tension du Q.L.P[3]. constitué du P.D.T[38]. alimenté en entrée souset en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance : « »[41], son gain à H.F[55]. valant « et sa bande non passante à c'est-à-dire la largeur, en fréquences, de l'intervalle non passant à « »[41], nous en déduisons

le produit « gain H.F.*bande non passante à » en sortie ouverte «»[77].

     Amplification complexe en tension du Q.L.P[3]. constitué du P.D.T[38]. alimenté en entrée souset en sortie aux bornes du conducteur ohmique de résistancefermée sur une charge résistive de résistance : nous allons établir que la nature du filtre reste la même avec un maintien du gain à H.F[55]. et une de la bande non passante à , le produit « gain H.F.*bande non passante à » étant aussi plus grande que celle en sortie ouverte ;

                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation du P.D.T[38]. en complexe alimenté en entrée par , ayant pour D.P[63]. d'attaque le condensateur de capacité , lequel est en série avec le conducteur ohmique de résistance quand la sortie aux bornes de ce dernier est ouverte, de tension instantanée complexe de sortie quand celle-ci est fermée sur la charge de résistance d'utilisation  ;
                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. nous pouvons alors reconnaître un P.D.T[38]. en complexe alimenté en entrée par , ayant pour D.P[63]. d'attaque d'impédance complexe « en série avec l'association d'impédance complexe » et en sortie ouverte aux bornes de cette association et
                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. nous obtenons «»[42] ou, en multipliant haut et bas par et après regroupement de termes, «» donnant, après normalisation, l'amplification complexe en tension recherchée « » correspondant effectivement à un 1er ordre non fondamental à transfert nul donc à un « passe-haut » dont nous tirons

  • le « gain à H.F[55]. » et
  • la « bande non passante à » ;

                 Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. formant le produit « gain H.F.*bande non passante à » « » c'est-à-dire qu'on vérifie la dépendance de ce produit par rapport à la résistance d'utilisation soit

«»,
une diminution de la résistance d'utilisation s'accompagnant d'une dégradation de la bande non passante à celle-ci augmentant[78]) mais
une diminution de la résistance d'utilisation s'accompagnant d'une conservation du gain H.F[55]. celui-ci restant égal à .                                        

Fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul[modifier | modifier le wikicode]

     Une fonction de transfert du 1er ordre[35] est dite « du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul » ssi «» avec « homogène à un temps », « définissant le transfert statique[36] de même homogénéité que le transfert harmonique » et « d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps » ou

          Une fonction de transfert du 1er ordre est dite « du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul » ssi «» avec « homogène à une pulsation », « définissant le transfert statique[36] de même homogénéité que le transfert harmonique » et « d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps » ou enfin

          Une fonction de transfert du 1er ordre est dite « du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul » ssi «»[34] avec « pulsation réduite sans dimension »[37], « définissant le transfert statique[36] et tous deux de même homogénéité que le transfert harmonique ».

Exemple : Pont diviseur de tension en sortie ouverte constitué de « R', R et C en série » avec « sortie aux bornes de "R C série" » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

     Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de pulsation , « la tension instantanée complexe d'entrée étant avec la tension efficace complexe d'entrée », « étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T[38]. »[39],[40] et « en série avec l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte »[41] avec « la tension efficace complexe de sortie ouverte »[41] ;

     on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P[3]. constitué du P.D.T[38]. alimenté en entrée sous et en sortie ouverte aux bornes du « dipôle série d'impédance complexe » c'est-à-dire «»[41] que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T[38]. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée »[41],[42] soit « »[41] donnant, en multipliant haut et bas par , l'amplification complexe en tension cherchée

« »[41] correspondant effectivement à un 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul[79]
de « constante de temps » ou de « pulsation particulière »[80],
de « transfert statique » et de « cœfficient »[67] ou «»[41].

Méthode d'étude à adopter pour le tracé du diagramme de Bode d'une fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul[modifier | modifier le wikicode]

     La méthode d'étude consiste à « considérer la fonction de transfert comme le produit de deux fonctions de transfert » dont « l'une est celle correspondant à un 1er ordre fondamental pour laquelle toutes les propriétés sont connues » et dont « l'autre [81] est la seule restant à étudier » ;

     une fois le produit formé et l'étude de la fonction de transfert [81] réalisée, nous en déduisons :

  • en en prenant le module «» ou «» soit finalement «» permettant d'« obtenir la courbe de gain du diagramme de Bode[25] de la fonction de transfert en ajoutant, points par points, la courbe de gain des diagrammes de Bode[25] de chaque fonction de transfert et » et
  • en en prenant l'argument «» soit finalement «» permettant d'« obtenir la courbe de phase du diagramme de Bode[25] de la fonction de transfert en ajoutant, points par points, la courbe de phase des diagrammes de Bode[25] de chaque fonction de transfert et » ;

     pour mettre la fonction de transfert sous forme du produit de fonctions précédemment décrit, on met en facteur dans le numérateur soit permettant de réécrire «» avec «» c'est-à-dire un 1er ordre fondamental et «» c'est-à-dire la fonction[81] restant à étudier.

Étude de la fonction « partielle » de transfert H2(jx)[modifier | modifier le wikicode]

     Pour étudier la fonction « partielle » de transfert , il convient d'introduire une « pulsation réduite caractéristique pour laquelle la partie imaginaire a la même valeur absolue que la partie réelle » soit «» ;

     avec cette introduction, la fonction « partielle » de transfert peut se réécrire, suivant les signes comparés de et  :

« si et sont de même signe » et
« si et sont de signe contraire ».
Équivalents B.F. et H.F. de la fonction « partielle » de transfert H2(jx) et conséquences[modifier | modifier le wikicode]
Équivalents B.F. de la fonction « partielle » de transfert H2(jx) et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     À B.F[51]. c'est-à-dire si «», « réalisé à moins de près si »[82],
           Se situant en B.F. si «» nous obtenons l'« équivalent B.F[51]. de la fonction partielle de transfert selon [83],[53] soit « » et
           Se situant en B.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à B.F[51]. » dont nous tirons le « gain en dB à B.F[51]. » équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[25] se confond à B.F[51]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote B.F[51]. » et
  • en en prenant l'argument, la « phase à B.F[51]. » équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[25] se confond à B.F[51]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote B.F[51]. ».
Équivalents H.F. de la fonction « partielle » de transfert H2(jx) et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     À H.F[55]. c'est-à-dire si «», « réalisé à moins de près si »[84],
           Se situant en H.F. si «» nous obtenons l'« équivalent H.F[55]. de la fonction partielle de transfert selon [83],[53] soit « »[83] et
           Se situant en H.F. si «» nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le « gain à H.F[55]. » dont nous tirons le « gain en dB à H.F[55]. » équation de la droite croissante de pente avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode[25] se confond à H.F[55]. c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote H.F[55]. » et
  • en en prenant l'argument,
    en en prenant l'argument « dans la mesure où et sont de même signe », la « phase à H.F[55]. » équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[25] se confond à H.F[55]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote H.F[55]. » ou
    en en prenant l'argument « dans la mesure où et sont de signe contraire », la « phase à H.F[55]. »[73] équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode[25] se confond à H.F[55]. c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode[25] admet pour « équation de l'asymptote H.F[55]. »[54].
Tracé de la courbe de gain de son diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

     Le tracé en bleu est visible dans le paragraphe « superposition de la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H2(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H1(jx) du 1er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de gain pour obtenir la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul » plus loin dans ce chapitre ;
     Le tracé en bleu la courbe de gain du diagramme de Bode[25] envisagée correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T[38]. alimenté en entrée par , constitué de , et en série en sortie ouverte aux bornes de série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «, et » conduisant à « et soit [41] ou, avec fréquence de coupure à de l'autre facteur du 1er ordre fondamental, c'est-à-dire la fréquence caractéristique de la fonction partielle de transfert » ;

     Le tracé en bleu on trace d'abord les asymptotes B.F[51]. de pente nulle et H.F[55]. de pente « se coupant en un point d'abscisse », l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme asymptotique ;

     Le tracé en bleu on trace la courbe de gain laquelle n'a pas été tracée se confondrait avec celle du diagramme asymptotique sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence », il suffirait alors de positionner le « point d'abscisse [85] au-dessus de l'asymptote B.F[51]. »[86] puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière ».

Tracé de la courbe de phase de son diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

     Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «»[73] qui est une « fonction croissante de si  est ou
                                                                                 Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «» qui est une « fonction décroissante de si  est » ;
     dans la suite nous nous plaçons dans le cas où « est ».

     Le tracé en bleu est visible dans le paragraphe « superposition de la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H2(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H1(jx) du 1er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de phase pour obtenir la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul » plus loin dans ce chapitre ;
     Le tracé en bleu la courbe de phase du diagramme de Bode[25] envisagée correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T[38]. alimenté en entrée par , constitué de , et en série en sortie ouverte aux bornes de série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «, et » conduisant à « et soit [41] ou, avec fréquence de coupure à de l'autre facteur du 1er ordre fondamental, c'est-à-dire la fréquence caractéristique de la fonction partielle de transfert » ;

     Le tracé en bleu on trace d'abord les asymptotes B.F[51]. de pente nulle et de valeur nulle et H.F[55]. de pente nulle et de valeur , l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme asymptotique ;

     Le tracé en bleu on trace la courbe de phase laquelle n'a pas été tracée se confondrait avec celle du diagramme asymptotique sauf, de façon très approximative, sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence »[59], il suffirait donc de positionner le « point d'abscisse [85] à l'ordonnée »[87] puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière »[88].

Superposition de la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction « partielle » de transfert H2(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction « partielle » de transfert H1(jx) du 1er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de gain pour obtenir la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul[modifier | modifier le wikicode]

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode[25] d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul écrit sous forme de produit de deux fonctions de transfert dont l'une est un 1er ordre fondamental puis par ajout point par point des courbes de gain de leur diagramme de Bode[25] respectif

     Le tracé ci-contre de la courbe de gain du diagramme de Bode[25] d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul correspond à celui associé à l'exemple « P.D.T[38]. alimenté en entrée par , constitué de , et en série en sortie ouverte aux bornes de série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «, et » conduisant à « et [41].

     On trace, en vert, la courbe de gain du diagramme asymptotique de Bode[25] du 1er ordre fondamental «» composée

  • de son asymptote B.F[51]. d'« équation » et
  • de son asymptote H.F[55]. d'« équation »,

     On trace, en vert, les deux asymptotes se coupant au point d'abscisse ou fréquence de coupure à de ce 1er ordre fondamental, puis

     on trace, en bleu, celle du diagramme asymptotique de Bode[25] de la fonction « partielle » de transfert composée

  • de son asymptote B.F[51]. d'« équation »[89] et
  • de son asymptote H.F[55]. d'« équation »[90],

     on trace, en bleu, les deux asymptotes se coupant au point d'abscisse ou fréquence caractéristique de cette fonction partielle de transfert, ensuite

     on obtient, en rouge, une approximation de la courbe de gain du diagramme de Bode[25] du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul «»
     on obtient, en ajoutant les deux précédentes point par point ce qui donne « » et enfin, on affine,

     on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en ou le gain en dB est « au-dessous »[91] ainsi
     on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en ou                 il est « au dessus »[92] et,
     on termine le tracé de la courbe, en tiretés rouges, en raccordant les parties rectilignes de l'approximation de la courbe situées de chaque côté de l'un et l'autre point de « façon régulière ».

     Propriété : on constate qu'il s'agit d'un passe-bas de fréquence réduite de coupure à égale à la raison étant que est assez nettement supérieure à [93].

Superposition de la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction « partielle » de transfert H2(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction « partielle » de transfert H1(jx) du 1er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de phase pour obtenir la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul[modifier | modifier le wikicode]

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode[25] d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul écrit sous forme de produit de deux fonctions de transfert dont l'une est un 1er ordre fondamental puis par ajout point par point des courbes de phase de leur diagramme de Bode[25] respectif

     Le tracé ci-contre de la courbe de phase du diagramme de Bode[25] d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul correspond à celui associé à l'exemple « P.D.T[38]. alimenté en entrée par , constitué de , et en série en sortie ouverte aux bornes de série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «, et » conduisant à « et [41].

     On trace, en vert, la courbe de phase du diagramme asymptotique de Bode[25] du 1er ordre fondamental «» composée

  • de son asymptote B.F[51]. d'« équation » et
  • de son asymptote H.F[55]. d'« équation »,

     On trace, en vert, les deux asymptotes parallèles étant raccordée selon une schématisation linéaire passant par le point d'abscisse ou , d'ordonnée étant la fréquence de coupure à de ce 1er ordre fondamental, le segment de droite de schématisation joignant le point ou au point ou , puis

     on trace, en bleu, celle du diagramme asymptotique de Bode[25] de la fonction « partielle » de transfert composée

  • de son asymptote B.F[51]. d'« équation »[89] et
  • de son asymptote H.F[55]. d'« équation »[90],

     on trace, en bleu, les deux asymptotes parallèles étant raccordée selon une schématisation linéaire passant par le point d'abscisse ou , d'ordonnée étant la fréquence caractéristique de cette fonction partielle de transfert, le segment de droite de schématisation joignant le point ou au point ou , ensuite

     on obtient, en rouge, une approximation de la courbe de phase du diagramme de Bode[25] du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul «»
     on obtient, en ajoutant les deux précédentes point par point ce qui donne « » et enfin, on affine à considérer comme complément, cette amélioration nécessaire du tracé résultant du fait que n'est pas à fois [94],

     on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en ou la courbe de phase du diagramme de Bode[25] du 1er ordre fondamental «» ne se confond pas exactement avec son équivalent B.F[51]. la confusion se faisant plutôt à ou ,
     on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en ou la courbe de phase du diagramme de Bode[25] de la fonction partielle de transfert « » ne se confond pas exactement avec son équivalent B.F[51]. la confusion se faisant plutôt à ou ,
     on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en ou la courbe de phase du diagramme de Bode[25] du 1er ordre fondamental «» ne se confond pas exactement avec son équivalent H.F[55]. la confusion se faisant plutôt à ou ,
     on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en ou la courbe de phase du diagramme de Bode[25] de la fonction partielle de transfert « » ne se confond pas exactement avec son équivalent H.F[55]. la confusion se faisant plutôt à ou ,

     on obtient, le tracé de la courbe entre et ou et , la courbe de phase est au-dessous de celle trouvée par schématisation linéaire,
     on obtient, le tracé de la courbe entre et ou et , la courbe de phase est au-dessus de celle trouvée par schématisation linéaire,
     on obtient, le tracé de la courbe entre et ou et , la courbe de phase ne reste pas stationnaire contrairement à celle trouvée par schématisation linéaire[95],
     on obtient, le tracé de la courbe entre et ou et , la courbe de phase est au-dessus de celle trouvée par schématisation linéaire[96],
     on obtient, le tracé de la courbe entre et ou et , la courbe de phase est au-dessus de celle trouvée par schématisation linéaire[97],
     on obtient, le tracé de la courbe entre et ou et , la courbe de phase initialement au-dessus passe au-dessous de celle trouvée par schématisation linéaire ;

     on obtient, le tracé affiné de la courbe n'étant en fait pas représenté mais remplacé, en tiretés rouges, par celui de cette courbe de phase du diagramme de Bode[25] du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul du même exemple, l'étude étant faite directement[98] et le tracé obtenu par utilisation d'un calculateur.

Nature du filtre et fréquence de coupure à -3dB[modifier | modifier le wikicode]

     Suivant la position de la fréquence réduite caractéristique de la fonction « partielle » de transfert relativement à la fréquence réduite de coupure à , de l'autre facteur du 1er ordre fondamental , le système du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul de fonction de transfert est un « passe-bas » ou un « passe-haut » ou encore un « passe-tout »[99], plus précisément :

  • si le gain H.F[55]. [100] étant inférieur au gain statique avec une du gain au sens large, le filtre sera un passe-bas s'il existe une fréquence réduite de coupure à , définie par et, pour que celle-ci existe, il est « nécessaire »[45] que c'est-à-dire que alors que
  • si le gain H.F[55]. [100] étant supérieur au gain statique avec une du gain au sens large, le filtre sera un passe-haut s'il existe une fréquence réduite de coupure à , définie par et, pour que celle-ci existe, il est « nécessaire »[45] que c'est-à-dire que .

     En conclusion suivant la position de relativement à la nature du filtre est :

  • un « passe-bas » si « »,
  • un « passe-haut » si « » et
  • un « passe-tout »[99] si « ».

     Détermination de la fréquence réduite de coupure àpour un passe-bas : nous supposons donc et l'équation définissant la fréquence réduite de coupure à étant « avec » elle se réécrit «» ou soit finalement

«»[101] ;

     Détermination de la fréquence réduite de coupure àpour un passe-bas : pour «» on vérifie que «».
     Détermination de la fréquence réduite de coupure àpour un passe-haut : nous supposons donc et l'équation définissant la fréquence réduite de coupure à étant « avec » elle se réécrit «» ou soit finalement

«»[102] ;

     Détermination de la fréquence réduite de coupure àpour un passe-haut : pour «» on vérifie que «».

Étude directe[modifier | modifier le wikicode]

Ce n'est pas la bonne méthode car trop longue mais il faut aussi savoir l'utiliser.

     Il s'agit de déterminer la nature du filtre directement sans écrire la fonction de transfert comme le produit de deux fonctions de transfert et
     Il s'agit de déterminer la nature du filtre directement pour cela on explicite le « module de » définissant le gain «»,
     Il s'agit de déterminer la nature du filtre directement pour cela la variation de ce dernier nécessitant d'étudier la fonction de «»[103] et
     Il s'agit de déterminer la nature du filtre directement pour cela la variation de ce dernier nécessitant d'évaluer sa dérivée relativement à «» qui est   le gain «»

  • est si , en étant un passe-bas dans la mesure où est nettement supérieure à [104] ou
  • est si , en étant un passe-haut dans la mesure où est nettement inférieure à [104].

     Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode[25], on étudie les équivalents B.F[51]. réalisé si et donnant « »[53] puis
           Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, on étudie les équivalents H.F[55]. réalisé si et donnant « »[53],
           Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, on évalue les gains linéaires suivis des gains en décibels pour chaque équivalent B.F[51]. et H.F[55]. puis
           Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, on trace le diagramme asymptotique en reliant les asymptotes de façon quasi-linéaire sur l'intervalle ou , ensuite
           Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, on obtient le tracé de la courbe de gain en tenant compte qu'en et en le gain en dB est au-dessous ou au-dessus de la valeur du gain en dB de l'asymptote aboutissant à la fréquence réduite considérée[105] et
           Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, on obtient le tracé de la courbe de gain en raccordant « de façon régulière » les points de la courbe de gain de fréquence et respectivement à l'asymptote la plus proche et à la partie linéaire joignant les deux asymptotes.

     Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode[25], on commence par déterminer le sens de variation, relativement à , de la phase définie selon « » ou «»[106],[107] et pour cela
           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, on commence par d'évaluer le signe de la dérivée de la phase relativement à «[108] laquelle s'écrit encore »[109] soit

           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, « si » le « signe de est celui de » c'est-à-dire «»[110] correspondant à « sur [110] puis sur [110] » et

           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, « si » le « signe de est celui de » c'est-à-dire
           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, « si », «»[110] correspondant à « sur [110] puis sur [110] »,
           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, « si », «»[111] correspondant à « sur » ;

           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, on poursuit en déterminant les équivalents B.F[51]. et H.F[55]. de la phase à partir de ceux de la fonction de transfert soit
           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, on poursuit équivalent B.F[51]. «» réalisé si «» l'asymptote B.F[51]. « »[106],[112],[113],[114],
           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, on poursuit équivalent H.F[55]. «» réalisé si «» l'asymptote H.F[55]. « »[106],[112],[113],[114] ;

           Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, pour le tracé effectif de la courbe de phase dans le cas particulier où correspondant à un passe-bas, voir la courbe en tiretés rouge dans le paragraphe « superposition de la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H2(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H1(jx) du 1er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de phase pour obtenir la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul » plus haut dans ce chapitre, le tracé dans les autres cas pouvant être obtenu de la même façon par utilisation d'un calculateur.

Différentes fonctions de transfert du 2ème ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F.[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « Différentes fonctions de transfert du 2ème ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F. » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Système du 1er ordre fondamental et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal[modifier | modifier le wikicode]

Réponse fréquentielle d'un filtre linéaire à un signal sinusoïdal de pulsation ω[modifier | modifier le wikicode]

Réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1er ordre fondamental «»
     Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1er ordre fondamental avec « homogène au transfert harmonique et homogène à un temps »,
     l'équation différentielle en associée au signal instantané complexe d'entrée se retrouve
     l'équation différentielle en à partir de la fonction de transfert en égalant les extrêmes et les moyens «» d'une part et
     l'équation différentielle en à partir de la fonction de transfert en remplaçant la « multiplication par » par la « dérivation temporelle » d'autre part d'où
     l'équation différentielle en «» soit,
     l'équation différentielle en en revenant aux grandeurs sinusoïdales, «»[115],[116].

     La « réponse fréquentielle du filtre du 1er ordre fondamental de fonction de transfert au signal sinusoïdal de pulsation variable et de valeur efficace fixée[117] » est

l'« ensemble des valeurs efficaces complexes du signal de sortie » c'est-à-dire
«».

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle[modifier | modifier le wikicode]

     Connaissant la « réponse fréquentielle dont la forme trigonométrique s'écrit », on obtient
     Connaissant la « réponse temporelle » en « revenant à la grandeur sinusoïdale associée à la grandeur instantanée complexe » selon

«» avec
                      «» où
                                                                                                             « est le gain du filtre » et
                              «» où
                                                                                                                               « est la phase du filtre » ;

     il est intéressant de « comparer cette réponse temporelle au signal d'entrée » suivant la valeur de la pulsation de ce dernier
     il est intéressant connaissant le diagramme de Bode[25] et la pulsation de coupure à «» du filtre :

     il est intéressant « à B.F[51]. c'est-à-dire si », l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant » nous en déduisons
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », son « équivalent en équation différentielle » établissant que
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », la réponse temporelle est égale au signal d'entrée multiplié par le transfert statique[118],

     il est intéressant « à H.F[55]. c'est-à-dire si », l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant » nous en déduisons
           il est intéressant « à H.F. c'est-à-dire si », son « équivalent en équation différentielle » ou «» établissant que
           il est intéressant « à H.F. c'est-à-dire si », la réponse temporelle est égale à la primitivede valeur moyenne nulledu signal d'entrée multipliée par le taux horaire de transfert statique [119],
           il est intéressant « à H.F. c'est-à-dire si », le système du 1er ordre fondamental étant en effet équivalent, à H.F[55]., à un circuit pseudo-intégrateur[120],
           il est intéressant « à H.F. c'est-à-dire si », en accord avec l'existence d'une asymptote H.F[55]. de la courbe de gain du diagramme de Bode[25] de pente [120].

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1er ordre fondamental à une somme finie de signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes à partir des réponses fréquentielles de chaque composante de la somme finie de signaux[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du théorème de superposition[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire dont l'excitation est une somme d'excitations distinctes, le caractère linéaire de l'équation différentielle ainsi que
         Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire dont l'excitation est une somme d'excitations distinctes, le caractère celui de l'excitation relativement aux excitations individuelles
     Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire dont l'excitation est une somme d'excitations distinctes, le caractère linéaire a pour conséquence que
     Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire la recherche d'une solution forcée de l'équation différentielle correspondant à l'excitation somme
     Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire la recherche d'une solution forcée peut être simplifiée en autant de recherches de solution forcée de l'équation différentielle correspondant à chaque excitation individuelle ;
     Préliminaire : on peut alors énoncer le théorème de superposition.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Réponse temporelle d'un système linéaire du 1er ordre fondamental à une somme finie de signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes à partir des réponses fréquentielles de chaque composante de la somme finie de signaux[modifier | modifier le wikicode]

     Le système étant linéaire, on peut lui appliquer le théorème de superposition[121] et
     Le système étant linéaire, on en déduit que « la réponse temporelle à une somme finie de signaux sinusoïdaux est la somme des réponses temporelles à chaque signal sinusoïdal pris individuellement » pour chacune de ces dernières on peut appliquer les résultats du paragraphe « détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle »

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1er ordre fondamental à un signal périodique non sinusoïdal à partir des réponses fréquentielles de chaque harmonique du signal[modifier | modifier le wikicode]

Obtention de la réponse fréquentielle du filtre à un signal d'entrée périodique non sinusoïdal et généralités sur la méthode à utiliser pour en déduire la réponse temporelle[modifier | modifier le wikicode]

     On associe au signal périodique d'entrée de fréquence sa représentation fréquentielle [122] et

     on applique de nouveau le théorème de superposition[121], chaque harmonique du signal d'entrée donnant en sortie l'harmonique de même fréquence et de valeur efficace complexe « », la composante permanente[6] du signal de sortie étant «»,
            on applique de nouveau le théorème de superposition, l'« ensemble définissant la réponse fréquentielle du système linéaire au signal d'entrée périodique non sinusoïdal » ;

            on applique de nouveau le théorème de superposition, il reste alors à effectuer une synthèse de Fourier[123] pour obtenir la réponse temporelle du système au signal d'entrée à partir de sa réponse fréquentielle et nous allons le faire sur un exemple « un signal créneau symétrique » :

Synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal créneau symétrique d'entrée[modifier | modifier le wikicode]

Superposition du créneau d'entrée en noir de fréquence et de la sortie d'un passe-bas du 1er ordre fondamental de transfert statique et de fréquence de coupure à , en rouge

     Rappel de la représentation fréquentielle d'un signal créneau symétrique de valeur moyenne nulle, d'amplitudeet de fréquence[124] : «»[125] soit une lente en de la valeur efficace des harmoniques suivant le rang ; on estime qu'il faut superposer tous les harmoniques jusqu'au rang pour reconstituer approximativement le signal créneau voir le paragraphe « nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »

     Choix du filtre et ses propriétés : nous choisissons un passe-bas du 1er ordre fondamental[126] de « fréquence de coupure à , » et de « transfert statique »[127],
     Choix du filtre et ses propriétés : la zone « passe-bas sans atténuation étant » et
     Choix du filtre et ses propriétés : la « zone quasi absente en sortie ou zone intégrative[128] ».

     Condition de fréquence pour obtenir un signal créneau en sortie : les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal créneau doivent être dans la zone passe-bas sans atténuation c'est-à-dire que le 30ème harmonique doit y être soit «» ou « »[129], voir ci-contre à droite la « courbe rouge avec ».

Superposition du créneau d'entrée en noir de fréquence et de la sortie d'un passe-bas du 1er ordre fondamental de transfert statique et de fréquence de coupure à , en fonctionnement intégrateur en rouge

     Condition de fréquence pour obtenir un signal triangulaire en sortie[130] : les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal triangulaire[131] doivent être dans la zone intégrative c'est-à-dire qu'il suffit que le 1er harmonique y soit puisque le 3ème est de fréquence plus élevée soit «»[132], voir ci-contre à gauche la « courbe rouge avec » on observera par contre que l'amplitude du signal triangulaire est d'autant plus faible que la fréquence du signal créneau d'entrée est éloignée de la fréquence minimale dans l'intervalle de fréquences de la zone intégrative[133].

     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau ne sont pas dans la zone passe-bas : considérant un signal créneau de fréquence on constate que
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau seul l'harmonique fondamental est dans la zone passe-bas,
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau les autres harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal créneau c'est-à-dire jusqu'au rang étant dans la zone intermédiaire le 29ème harmonique nécessaire étant de fréquence ,
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau la conséquence de ceci est que le signal de sortie, bien que différant du signal d'entrée, lui reste assez proche, voir ci-dessous à gauche la « courbe rouge avec ».

     Cas où les 1ers harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal triangulaire ne sont pas dans la zone intégrative : considérant un signal créneau de fréquence on constate que
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal triangulaire le 1er harmonique se trouvant dans la zone intégrative est celui de rang , les harmoniques de rang plus faible étant dans la zone intermédiaire,

Superposition du créneau d'entrée en noir de fréquence et de la sortie d'un passe-bas du 1er ordre fondamental de transfert statique et de fréquence de coupure à , en rouge, seul l'harmonique fondamental étant dans la zone passe-bas
Superposition du créneau d'entrée en noir de fréquence et de la sortie d'un passe-bas du 1er ordre fondamental de transfert statique et de fréquence de coupure à , en rouge, seuls les harmoniques à partir du rang étant dans la zone intégrative

     Cas où tous les harmoniques nécess. la conséquence de ceci est que le signal de sortie, bien que différant du signal primitive de valeur moyenne nulle du signal d'entrée, est plus proche d'un signal triangulaire que d'un signal créneau, voir ci-contre à droite la « courbe rouge avec ».

En complément : phénomène de Gibbs[modifier | modifier le wikicode]

     Quand on réalise une synthèse de Fourier[123] à partir d'une réponse fréquentielle, on tronque volontairement la synthèse en se limitant aux harmoniques de rang inférieur à une certaine valeur[134], ceux de rang supérieur ne jouant qu'un rôle secondaire ; ainsi a-t-on estimé que

             Quand on réalise une synthèse de Fourier à partir d'une réponse fréquentielle, le squelette créneau nécessitant une synthèse non tronquée avant l'harmonique , peut être reconstitué à la sortie d'un passe-bas de fréquence de coupure à , pour un signal créneau d'entrée de fréquence , les 1ers harmoniques du créneau étant dans la zone passe-bas du filtre en notant néanmoins, sur le 1er schéma du paragraphe « synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal créneau symétrique d'entrée » plus haut dans ce chapitre, l'observation d'un « dépassement d'au moins»[135] lors de la « tentative de reconstitution des discontinuités de 1ère espèce du créneau[136] », la cause en étant que la synthèse est tronquée trop tôt pour la reconstitution de cette discontinuité de 1ère espèce[136], les harmoniques de rang supérieur à n'étant pas dans la zone passe-bas ; de même

             Quand on réalise une synthèse de Fourier à partir d'une réponse fréquentielle, le squelette triangulaire nécessitant une synthèse non tronquée avant l'harmonique [137], peut être reconstitué à la sortie du filtre passe-bas fonctionnant en pseudo-intégrateur de fréquence de coupure à , pour un signal créneau d'entrée de fréquence , les 1ers harmoniques du triangulaire attendu étant dans la zone intégrative du filtre en notant néanmoins, sur le 2ème schéma du paragraphe « synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal créneau symétrique d'entrée » plus haut dans ce chapitre, l'observation d'un « retrait »[138] lors de la « tentative de reconstitution de la pointe[139] du triangulaire », la cause en étant que la synthèse est tronquée trop tôt pour la reconstitution de cette pointe[139] par la limite pratique supérieure de la zone intégrative cette limite pratique supérieure n'étant pas , les valeurs de la résistance et de la capacité ne restant pas constantes pour des fréquences trop élevées ;

             Quand on réalise une synthèse de Fourier ce « dépassement d'au moins» lors de la tentative de reconstitution des discontinuités de 1ère espèce[136] du créneau ou
             Quand on réalise une synthèse de Fourier ce « retrait »[138]                                lors de la tentative de reconstitution de la pointe[139] du triangulaire
            Quand on réalise une synthèse de Fourier ce « dépassement d'au moins» portent le nom de « phénomène de Gibbs »[140] et
            Quand on réalise une synthèse de Fourier ce « dépassement d'au moins» correspondent à l'absence des détails fins générés par des harmoniques de rang plus élevé que pour un créneau ou
            Quand on réalise une synthèse de Fourier ce « dépassement d'au moins» correspondent à l'absence des détails fins générés par des harmoniques de rang plus élevé que pour un triangulaire,
            Quand on réalise une synthèse de Fourier le « phénomène de Gibbs »[140] apparaît donc dès que la synthèse est tronquée volontairement de façon abrupte lors de la reconstitution numérique ou à la sortie d'un filtre par limite de la zone indispensable.

Système du 1er ordre non fondamental avec transfert statique nul et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal[modifier | modifier le wikicode]

     Cette étude n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. mais elle est aussi importante que celle du paragraphe « Système du 1er ordre fondamental et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal » plus haut dans ce chapitre et
         Cette étude n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. et elle ne présente aucune difficulté supplémentaire par rapport à l'étude faite dans ce dernier.

Réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul «»
     Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul avec « homogène au transfert harmonique multiplié par un temps » et
     Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul avec « homogène à un temps »,
     l'équation différentielle en associée au signal instantané complexe d'entrée se retrouve
     l'équation différentielle en à partir de la fonction de transfert en égalant les extrêmes et les moyens «» d'une part et
     l'équation différentielle en à partir de la fonction de transfert en remplaçant la « multiplication par » par la « dérivation temporelle » d'autre part d'où
     l'équation différentielle en «» soit,
     l'équation différentielle en en revenant aux grandeurs sinusoïdales, «»[115],[116].

     La « réponse fréquentielle du filtre du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul au signal sinusoïdal de pulsation variable et de valeur efficace fixée[117] » est

l'« ensemble des valeurs efficaces complexes du signal de sortie » c'est-à-dire
«».

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle[modifier | modifier le wikicode]

     Connaissant la « réponse fréquentielle dont la forme trigonométrique s'écrit », on obtient
     Connaissant la « réponse temporelle » en « revenant à la grandeur sinusoïdale associée à la grandeur instantanée complexe » selon

«» avec
                      «» où
                                                                                                             « est le gain du filtre » et
                              «» où
                                                                                                                               « est la phase du filtre » ;

     il est intéressant de « comparer cette réponse temporelle au signal d'entrée » suivant la valeur de la pulsation de ce dernier
     il est intéressant connaissant le diagramme de Bode[25] et la pulsation de coupure à «» :

     il est intéressant « à B.F[51]. c'est-à-dire si », l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant » nous en déduisons
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », son « équivalent en équation différentielle » établissant que
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », la réponse temporelle est égale à la dérivée du signal d'entrée multipliée par le cœfficient[141],
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », le système du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul étant en effet équivalent, à B.F[51]., à un circuit pseudo-dérivateur[142]
           il est intéressant « à B.F. c'est-à-dire si », en accord avec l'existence d'une asymptote B.F[51]. de la courbe de gain du diagramme de Bode[25] de pente [142],

     il est intéressant « à H.F[55]. c'est-à-dire si », l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant » nous en déduisons
           il est intéressant « à H.F. c'est-à-dire si », son « équivalent en équation différentielle » ou,
           il est intéressant « à H.F. c'est-à-dire si », en prenant les primitives de valeur moyenne nulle de chaque membre, «» établissant que
           il est intéressant « à H.F. c'est-à-dire si », la réponse temporelle est égale au signal d'entrée multiplié par le cœfficient horaire[143].

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1er ordre non fondamental avec transfert statique nul à une somme finie de signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes à partir des réponses fréquentielles de chaque composante de la somme finie de signaux[modifier | modifier le wikicode]

     Le système étant linéaire, on peut lui appliquer le théorème de superposition[121] et

     Le système étant linéaire, on en déduit que « la réponse temporelle à une somme finie de signaux sinusoïdaux est la somme des réponses temporelles à chaque signal sinusoïdal pris individuellement » pour chacune de ces dernières on peut appliquer les résultats du paragraphe « détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle »

Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal périodique non sinusoïdal à partir des réponses fréquentielles de chaque harmonique du signal[modifier | modifier le wikicode]

Obtention de la réponse fréquentielle du filtre à un signal d'entrée périodique non sinusoïdal et rappel de la méthode à utiliser pour en déduire la réponse temporelle[modifier | modifier le wikicode]

     On associe au signal périodique d'entrée de fréquence sa représentation fréquentielle [122] et

     on applique de nouveau le théorème de superposition[121], chaque harmonique du signal d'entrée donnant en sortie l'harmonique de même fréquence et de valeur efficace complexe « », la composante permanente[6] du signal de sortie étant nulle par absence de transfert statique du filtre soit «»,
            on applique de nouveau le théorème de superposition, l'« ensemble définissant la réponse fréquentielle du système linéaire au signal d'entrée périodique non sinusoïdal » ;

            on applique de nouveau le théorème de superposition, il reste alors à effectuer une synthèse de Fourier[123] pour obtenir la réponse temporelle du système au signal d'entrée à partir de sa réponse fréquentielle et nous allons le faire sur un exemple « un signal triangulaire symétrique » :

Synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal triangulaire symétrique d'entrée[modifier | modifier le wikicode]

Superposition du triangulaire d'entrée en noir de fréquence et de la sortie d'un passe-haut du 1er ordre non fondamental de transfert statique nul, de fréquence de coupure à , et de gain H.F[55]. en fonctionnement dérivateur en rouge avec une amplification d'un facteur

     Rappel de la représentation fréquentielle d'un signal triangulaire symétrique de valeur moyenne nulle, d'amplitudeet de fréquence[144] : «[125] soit une rapide en de la valeur efficace des harmoniques suivant le rang ; on estime qu'il faut superposer tous les harmoniques jusqu'au rang pour reconstituer approximativement le signal triangulaire voir le paragraphe « nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »

     Choix du filtre et ses propriétés : nous choisissons un passe-haut du 1er ordre non fondamental de transfert statique nul[145], de « fréquence de coupure à , » et de « gain à H.F[55]. »[146],
     Choix du filtre et ses propriétés : la « zone quasi absente en sortie ou zone dérivative[147] étant » et
     Choix du filtre et ses propriétés : la « zone passe-haut sans atténuation ».

     Condition de fréquence pour obtenir un signal créneau en sortie[148] : les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal créneau doivent être dans la zone dérivative c'est-à-dire que le 30ème harmonique doit y être soit «» ou «»[129] voir ci-contre à droite la « courbe rouge avec »[149] on observera par contre que l'amplitude du signal créneau est d'autant plus faible que la fréquence du signal triangulaire d'entrée est éloignée de la fréquence maximale dans l'intervalle de fréquences de la zone dérivative[150].

Superposition du triangulaire d'entrée en noir de fréquence et de la sortie d'un passe-haut du 1er ordre non fondamental de transfert statique nul, de fréquence de coupure à , et de gain H.F[55]. en rouge

     Condition de fréquence pour obtenir un signal triangulaire en sortie : les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal triangulaire[131] doivent être dans la zone passe-haut c'est-à-dire qu'il suffit que le 1er harmonique y soit puisque le 3ème est de fréquence plus élevée soit « »[132] voir ci-contre à gauche la « courbe rouge avec »[151].

     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal créneau ne sont pas dans la zone dérivative : considérant un signal triangulaire de fréquence on constate que
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau seul l'harmonique fondamental est dans la zone dérivative,
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau les autres harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal créneau c'est-à-dire jusqu'au rang étant dans la zone intermédiaire le 29ème harmonique nécessaire étant de fréquence , la conséquence de ceci est que le signal de sortie, bien que différant de la dérivée du signal d'entrée, lui reste assez proche[152] voir ci-dessous à gauche la « courbe rouge avec »[149].

     Cas où les 1ers harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal triangulaire ne sont pas dans la zone passe-haut : considérant un signal triangulaire de fréquence on constate que
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal triangulaire le 1er harmonique se trouvant dans la zone passe-haut est celui de rang , les harmoniques de rang plus faible étant dans la zone intermédiaire,
     Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal trinagulaire la conséquence de ceci est que le signal de sortie est assez différent d'un signal triangulaire voir ci-dessous à droite la « courbe rouge avec »[151].

Superposition du triangulaire d'entrée en noir de fréquence et de la sortie d'un passe-haut du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul, de fréquence de coupure à , et de gain H.F[55]. en rouge avec une amplification d'un facteur , seul l'harmonique fondamental étant dans la zone dérivative
Superposition du triangulaire d'entrée en noir de fréquence et de la sortie d'un passe-haut du 1er ordre non fondamental de transfert statique nul, de fréquence de coupure à , et de gain H.F[55]. en rouge, seuls les harmoniques à partir du rang étant dans la zone passe-haut

Système du 2ème ordre du type « réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante » et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « Système du 2ème ordre du type “ réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ” et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Cas d'un système linéaire à plusieurs étages, cas particulier d'étages identiques en r.s.f. et intérêt de la notion d'impédance complexe itérative[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « Cas d'un système linéaire à plusieurs étages, cas particulier d'étages identiques en r.s.f. et intérêt de la notion d'impédance complexe itérative » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 et 1,11 Régime Sinusoïdal Forcé.
  2. Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires.
  3. 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 3,15 3,16 3,17 3,18 3,19 et 3,20 Quadripôle Linéaire Passif.
  4. Usuellement le quadripôle linéaire Q.L. est passif mais dans le cas où on utilise, dans la construction du Q.L., un circuit intégré linéaire c'est-à-dire un « amplificateur opérationnel » appelé plus simplement « A.O. », ce dernier doit être polarisé pour fonctionner c'est-à-dire qu'il y a dans le Q.L. un élément actif constitué de l'alimentation stabilisée A.S. assurant la polarisation de l'A.O. voir le paragraphe « les différentes bornes et la nécessité de polariser un A.O. » du T.p. dans le cadre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
       sans A.O. le quadripôle est donc un Q.L.P. et avec présence d'un A.O. il devient Q.L.A. Quadripôle Linéaire Actif mais tout ce qui sera introduit sur les Q.L.P. pourra être appliqué sans modification pourvu que le fonctionnement reste linéaire aux Q.L.A. à base d'A.O., l'A.S. assurant la polarisation de l'A.O. n'étant d'ailleurs pas représentée sur les schémas voir le paragraphe « les différentes bornes et la nécessité de polariser un A.O. » du T.p. dans le cadre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
       c'est la raison pour laquelle le qualificatif « passif » est mis entre parenthèses sur le schéma ci-contre et aussi
       c'est la raison pour laquelle l'exposé est fait exclusivement avec un Q.L.P..
  5. Exposées sur la tension d'entrée mais valable pour l'intensité du courant d'entrée ainsi les grandeurs correspondantes de sortie.
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 et 6,4 Encore qualifiée de « continu(e) » par les électriciens ce qui n'est évidemment pas au sens de « continuité de fonction » utilisé en mathématiques.
  7. Dipôle Passif Linéaire.
  8. La valeur efficace de sortie dépend usuellement des éléments du Q.L.P. et de la pulsation imposée par la source d'où la valeur efficace complexe considérée comme fonction de .
  9. La tension efficace d'entrée étant supposée constante est donc a priori indépendante de , d'où la notation de la tension efficace complexe considérée comme indépendante de  ;
       La tension efficace d'entrée étant supposée constante toutefois c'est la valeur efficace de la f.e.m. de la source que l'on impose et non celle de la tension d'entrée, l'existence de c'est-à-dire de l'impédance de sortie du générateur qui vaut usuellement entraînant une variation de la tension efficace d'entrée correspondant à une variation de la chute ohmique aux bornes de mais, cette dernière étant usuellement faible, nous pourrons considérer sauf avis contraire que la tension efficace d'entrée reste constante et,
       La tension efficace d'entrée étant supposée constante si ce n'est pas le cas, nous insérerons entre la source et le Q.L.P. un montage suiveur voir le paragraphe « utilisation dans le montage suiveur (d'un A.O.) » du T.p. dans le cadre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
       nous pouvons faire les mêmes commentaires dans l'hypothèse où la grandeur d'entrée est l'intensité efficace complexe.
  10. Cette représentation est pratique mais elle n'est pas explicitement au programme de physique de PCSI.
  11. 11,0 et 11,1 Nous nous limitons à des grandeurs purement électriques mais il existe beaucoup d'autres types de transfert pour lesquels seule l'entrée ou la sortie sont électriques exemples un microphone où seule la sortie est électrique, l'entrée étant acoustique ou à l'inverse un haut parleur où seule l'entrée est électrique, la sortie étant acoustique ou encore pour lesquels aucune des deux n'est directement électrique exemples stabilisateur de vitesse de rotation où l'entrée et la sortie sont mécaniques ou thermostat c'est-à-dire stabilisateur de température où l'entrée et la sortie sont thermodynamiques.
  12. Les grandeurs sur le schéma unifilaire sont considérées purement sinusoïdales d'où les notations utilisées, leurs valeurs efficaces étant notées et , si on considérait des grandeurs permanentes ou continues au sens des électriciens on noterait et .
  13. C'est de très loin la plus fréquemment introduite.
  14. Ou amplification complexe en intensité.
  15. Par ordre de fréquence d'utilisation, c'est la seconde plus utilisée après l'amplification complexe en tension mais au moins dix fois moins que celle-ci.
  16. Ou gain en intensité.
  17. Par ordre de fréquence d'utilisation, c'est la troisième plus utilisée après l'amplification complexe en tension et en courant mais au moins dix fois moins que la précédente.
  18. 18,0 et 18,1 Bien qu'il s'agisse du gain de la fonction de transfert, on évite d'employer ce terme, le réservant à des grandeurs sans unité.
  19. Par ordre de fréquence d'utilisation, c'est la moins utilisée au moins dix fois moins que la précédente.
  20. Ce n'est évidemment pas l'inverse de la transimpédance complexe.
  21. Ce n'est évidemment pas l'inverse de la transimpédance.
  22. Si elle n'est pas précisée dans le cas de l'étude de l'amplification complexe en tension c'est vraisemblablement qu'on suppose la « sortie ouverte », mais ceci n'est pas une certitude
  23. On rappelle qu'on évite de parler de gain mais qu'on remplace cette appellation par transimpédance ou transadmittance mais néanmoins on conserve l'appellation « gain en », par exemple
       pour le gain en dB associé à la transimpédance complexe la définition s'écrit ou ;
       pour le gain en dB associé à la transadmittance complexe la définition s'écrit  ;
       toutefois il n'est pas rare que l'on note par abus sans préciser le gain de référence tout comme le pH est noté par abus, la notation correcte étant avec l'activité en ions , étant une concentration de référence égale à .
  24. Voir le paragraphe « évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance R » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  25. 25,00 25,01 25,02 25,03 25,04 25,05 25,06 25,07 25,08 25,09 25,10 25,11 25,12 25,13 25,14 25,15 25,16 25,17 25,18 25,19 25,20 25,21 25,22 25,23 25,24 25,25 25,26 25,27 25,28 25,29 25,30 25,31 25,32 25,33 25,34 25,35 25,36 25,37 25,38 25,39 25,40 25,41 25,42 25,43 25,44 25,45 25,46 25,47 25,48 25,49 25,50 25,51 25,52 25,53 25,54 25,55 25,56 25,57 25,58 25,59 25,60 25,61 25,62 25,63 25,64 25,65 25,66 25,67 25,68 25,69 25,70 25,71 25,72 25,73 25,74 25,75 25,76 25,77 25,78 25,79 25,80 25,81 25,82 25,83 et 25,84 Hendrik Wade Bode (1905 - 1982) est un ingénieur, chercheur et inventeur américain d'origine néerlandaise qui a été un pionnier de la régulation moderne et des télécommunications ; il a révolutionné ces domaines dans leurs contenus mais aussi dans leurs méthodes d'application plus particulièrement connu pour avoir mis au point le diagramme de Bode qui constitue une méthode de représentation de l'amplitude et de la phase d'un système.
  26. Axe des abscisses en échelle logarithmique et axe des ordonnées en échelle linéaire.
  27. 27,0 27,1 27,2 et 27,3 L'échelle des abscisses étant logarithmique, il s'agit d'un simple changement d'origine car d'une part et d'autre part .
  28. Cette définition serait applicable à n'importe quel axe pourvu que cet axe soit en échelle logarithmique.
  29. On note et on retiendra à près.
  30. On parle encore, pour le réseau dipolaire formé du « quadripôle alimenté en entrée par une source et vu de sa sortie », dont la fonction de transfert à sortie fermée sur une charge est du « 1er ordre », de « système du 1er ordre ».
  31. Le numérateur de la fonction de transfert est non divisible par, le quotient de polynômes définissant la fonction de transfert devant être irréductible.
  32. Dans ce cas, on parle de système « stable », ce qui signifie que la solution de l'équation différentielle associée à la fonction de transfert ne diverge pas quand en effet ;
       la détermination de l'équation différentielle associée à s'obtenant en utilisant la méthode exposée dans les paragraphes « réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω (équation différentielle) » ou « réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω (équation différentielle) » plus loin dans ce chapitre ou, en notant et en remplaçant la « multiplication par » par la « dérivation temporelle », «» d'où, en repassant aux grandeurs physiques et en ordonnant «», la solution s'écrit, d'après le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », «» dans laquelle est la solution forcée c'est-à-dire une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène choisie, quand cela est possible, de même forme que le 2nd membre ou excitation et la solution libre c'est-à-dire la solution générale de l'équation différentielle homogène voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » « » solution libre s'amortissant si est condition nécessaire pour que le système soit stable ;
       dans ce qui suit nous n'envisagerons que des systèmes stables.
  33. Le numérateur de la fonction de transfert est non divisible par, le quotient de polynômes définissant la fonction de transfert devant être irréductible.
  34. 34,0 34,1 34,2 34,3 34,4 et 34,5 Quand on change de variable, passant de à , les fonctions et deviennent des fonctions composées, on devrait donc écrire ainsi que ou,
       Quand on change de variable, si on veut les considérer comme fonctions de , changer de notation en écrivant ou  ;
       Quand on change de variable, néanmoins par abus on nomme les fonctions de et de par la même lettre car les valeurs de la fonction considérée restent les mêmes d'où simplement notée et simplement notée .
  35. 35,0 35,1 et 35,2 On rappelle que nous nous limitons aux fonctions de transfert du 1er ordre de système stable c'est-à-dire que, le cœfficient de dans le polynôme situé au dénominateur étant positif, on peut le remplacer par ou .
  36. 36,0 36,1 36,2 36,3 36,4 36,5 36,6 36,7 et 36,8 C.-à-d. la valeur du transfert en régime permanent considéré comme limite du r.s.f. quand la fréquence tend vers .
  37. 37,0 37,1 et 37,2 C'est aussi la fréquence réduite car .
  38. 38,00 38,01 38,02 38,03 38,04 38,05 38,06 38,07 38,08 38,09 38,10 38,11 38,12 38,13 38,14 38,15 38,16 38,17 38,18 38,19 38,20 38,21 38,22 38,23 38,24 38,25 et 38,26 Pont Diviseur de Tension.
  39. 39,0 39,1 et 39,2 Voir le paragraphe « présentation du P.D.T. en électricité complexe associée au r.s.f. » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  40. 40,0 40,1 et 40,2 C.-à-d. l'impédance complexe par laquelle le sens du courant d'entrée pénètre dans le P.D.T., ou encore l'impédance complexe qui n'est pas celle aux bornes de laquelle se situe la sortie du P.D.T..
  41. 41,00 41,01 41,02 41,03 41,04 41,05 41,06 41,07 41,08 41,09 41,10 41,11 41,12 41,13 41,14 41,15 41,16 41,17 41,18 41,19 41,20 41,21 41,22 41,23 41,24 41,25 41,26 41,27 41,28 41,29 41,30 41,31 et 41,32 L'indice «» signifiant « à vide » étant utilisé « en sortie ouverte ».
  42. 42,0 42,1 42,2 42,3 et 42,4 Voir le paragraphe « le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par ue(t) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  43. C'est l'exemple qu'il faut avoir en tête pour se remémorer les propriétés d'un 1er ordre fondamental.
  44. Nous verrons au paragraphe « nature du filtre et fréquence de coupure à -3dB (pulsation de coupure à -3dB) » plus loin dans ce chapitre à quoi correspond la pulsation particulière du 1er ordre fondamental, ce qui permettra de lui donner un nom.
  45. 45,0 45,1 45,2 et 45,3 Le gain étant une fonction continue de , l'existence de la fréquence réduite de coupure à est justifiée par le « théorème des valeurs intermédiaires ».
  46. La valeur étant la valeur maximale du gain.
  47. 47,0 et 47,1 Voir la 1ère définition d'une fréquence de coupure à dans le paragraphe « fréquences de coupure à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  48. 48,0 et 48,1 Ainsi on peut maintenant donner un nom à la pulsation particulière c'est la pulsation de coupure à .
  49. C.-à-d. la largeur de l'intervalle passant.
  50. Cela signifie que tout signal sinusoïdal d'entrée dont la fréquence est dans cet intervalle se retrouve en sortie avec une valeur efficace égale à celle d'entrée multipliée par un cœfficient supérieur à , alors que
       Cela signifie que tout signal sinusoïdal d'entrée de fréquence hors de cet intervalle se retrouvant en sortie avec une valeur efficace égale à celle d'entrée multipliée par un cœfficient inférieur à est considéré comme absent en sortie cela revenant à écrire que toute tension efficace de sortie inférieure à est nulle peut être considéré comme un critère manquant de finesse, mais n'oublions pas qu'en terme énergétique c'est le carré qui intervient et alors tout ce qui, en sortie, est inférieur à est considéré comme nul.
  51. 51,00 51,01 51,02 51,03 51,04 51,05 51,06 51,07 51,08 51,09 51,10 51,11 51,12 51,13 51,14 51,15 51,16 51,17 51,18 51,19 51,20 51,21 51,22 51,23 51,24 51,25 51,26 51,27 51,28 51,29 51,30 51,31 51,32 51,33 51,34 51,35 51,36 51,37 51,38 51,39 51,40 51,41 51,42 51,43 51,44 51,45 51,46 51,47 51,48 51,49 51,50 51,51 51,52 51,53 51,54 51,55 51,56 51,57 51,58 et 51,59 Basse Fréquence.
  52. 52,0 et 52,1 En effet, dans le dénominateur du gain, nécessite pour être réalisé à moins de près soit .
  53. 53,0 53,1 53,2 53,3 53,4 53,5 53,6 et 53,7 On rappelle que dans une somme de deux complexes, l'un est négligeable relativement à l'autre si le module du premier l'est par rapport au module du second.
  54. 54,0 54,1 54,2 54,3 54,4 et 54,5 L'argument d'un nombre négatif étant , nous choisirons la valeur lors de l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite de façon à garder une continuité de la phase relativement à et cette étude nous fera choisir voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode » plus loin dans ce chapitre.
  55. 55,00 55,01 55,02 55,03 55,04 55,05 55,06 55,07 55,08 55,09 55,10 55,11 55,12 55,13 55,14 55,15 55,16 55,17 55,18 55,19 55,20 55,21 55,22 55,23 55,24 55,25 55,26 55,27 55,28 55,29 55,30 55,31 55,32 55,33 55,34 55,35 55,36 55,37 55,38 55,39 55,40 55,41 55,42 55,43 55,44 55,45 55,46 55,47 55,48 55,49 55,50 55,51 55,52 55,53 55,54 55,55 55,56 55,57 55,58 55,59 55,60 55,61 55,62 55,63 55,64 55,65 55,66 55,67 55,68 55,69 55,70 55,71 et 55,72 Haute Fréquence.
  56. 56,0 et 56,1 En effet, dans le dénominateur du gain, nécessite pour être réalisé à moins de près soit .
  57. La propriété que les asymptotes se coupent en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite de coupure à , se vérifiant aisément grâce aux équations des asymptotes B.F. et H.F. , n'est pas généralisable à d'autres fonctions de transfert que celle d'un 1er ordre fondamental sur la plupart des autres fonctions de transfert elle est fausse et, si elle s'avérait exacte, elle nécessiterait une vérification avec détermination des équations des asymptotes et des fréquences réduites de coupure à .
  58. 58,0 58,1 58,2 et 58,3 Ou d'abscisse si l'axe des abscisses est celui des fréquences et non des fréquences réduites.
  59. 59,0 59,1 et 59,2 En fait en dehors de ces deux décades de fréquences centrées sur la fréquence réduite de coupure à , la confusion est très grossière sur la 1ère décade en deçà ou au-delà de cet intervalle et bonne à partir de la 2ème décade
  60. En pensant à raccorder les asymptotes et le point d'abscisse aux niveaux et au lieu de et comme dans le cas de la courbe de gain ou raccorder les asymptotes et le point d'abscisse aux niveaux et au lieu de et comme dans le cas de la courbe de gain.
  61. En effet on prend la primitive purement sinusoïdale donc de valeur moyenne nulle.
  62. 62,0 et 62,1 Qualifié de « pseudo » car conditionnel en fréquence.
  63. 63,0 63,1 63,2 et 63,3 Dipôle Passif.
  64. En effet il y a dégradation de la bande passante à si celle-ci augmente car le but d'un passe-bas est d'éliminer les H.F. et donc d'avoir la bande passante à la plus faible possible.
  65. C'est l'exemple qu'il faut avoir en tête pour se remémorer les propriétés d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul.
  66. Nous verrons au paragraphe « nature du filtre et fréquence de coupure à -3dB (pulsation de coupure à -3dB) » plus loin dans ce chapitre à quoi correspond la pulsation particulière du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul, ce qui permettra de lui donner un nom.
  67. 67,0 et 67,1 Lequel, en tant que cœfficient de dans le numérateur de l'amplification complexe en tension, ne porte pas de nom.
  68. En effet est une fonction de .
  69. 69,0 69,1 et 69,2 Raison pour laquelle est appelé « gain à H.F. », correspondant alors à « la valeur de la fonction de transfert à H.F. ».
  70. La valeur étant la valeur maximale du gain.
  71. C.-à-d. la largeur de l'intervalle non passant, la « bande passante à ne pouvant pas être définie pour un passe-haut dans la mesure où elle serait infinie.
  72. Cela signifie que tout signal sinusoïdal d'entrée dont la fréquence est dans cet intervalle se retrouve en sortie avec une valeur efficace égale à celle d'entrée multipliée par un cœfficient supérieur à , alors que
       Cela signifie que tout signal sinusoïdal d'entrée de fréquence hors de cet intervalle se retrouvant en sortie avec une valeur efficace égale à celle d'entrée multipliée par un cœfficient inférieur à est considéré comme absent en sortie cela revenant à écrire que toute tension efficace de sortie inférieure à est nulle peut être considéré comme un critère manquant de finesse, mais n'oublions pas qu'en terme énergétique c'est le carré qui intervient et alors tout ce qui, en sortie, est inférieur à est considéré comme nul.
  73. 73,0 73,1 73,2 73,3 73,4 73,5 et 73,6 L'argument d'un nombre négatif étant , nous choisirons la valeur lors de l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite de façon à garder une continuité de la phase relativement à et cette étude nous fera choisir voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode » plus loin dans ce chapitre.
  74. La propriété que les asymptotes se coupent en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite de coupure à se vérifiant aisément grâce aux équations des asymptotes B.F. et H.F. n'est pas a priori généralisable à d'autres fonctions de transfert que celle d'un 1er ordre fondamental ou celle d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul sur la plupart des autres fonctions de transfert elle est fausse et, si elle s'avérait exacte, elle nécessiterait une vérification avec détermination des équations des asymptotes et des fréquences réduites de coupure à .
  75. Expérimentalement ceci est limité par la valeur maximale de fréquence accessible à l'aide d'un générateur de fonctions allant du à .
  76. En pensant à raccorder les asymptotes et le point d'abscisse aux niveaux et au lieu de et comme dans le cas de la courbe de gain ou raccorder les asymptotes et le point d'abscisse aux niveaux et au lieu de et comme dans le cas de la courbe de gain.
  77. En fait ce produit s'avéra n'avoir aucune importance, il est formé pour chercher une éventuelle propriété identique à celle trouvée avec le produit « gain statique*bande passante à » d'un 1er ordre fondamental propriété de conservation du produit quelle que soit la sortie mais cette propriété n'existe pas pour un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul.
  78. En effet il y a dégradation de la bande non passante à si celle-ci augmente car le but d'un passe-haut est d'éliminer uniquement les T.B.F. Très Basses Fréquences et donc d'avoir la bande non passante à la plus faible possible.
  79. C'est l'exemple qu'il faut avoir en tête pour se remémorer la façon dont il faut traiter un 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul.
  80. Nous verrons au paragraphe « nature du filtre et fréquence de coupure à -3dB (pulsation de coupure à -3dB) » plus loin dans ce chapitre à quoi peut correspondre sous condition la pulsation particulière du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul, ce qui permettra, si la condition est réalisée de lui donner un nom.
  81. 81,0 81,1 et 81,2 Cette fonction de transfert ne peut être associée à un système physique stable car, comme nous le verrons, son gain tend vers l'infini à H.F..
  82. En effet, dans l'expression du gain, nécessite pour être réalisé à moins de près soit .
  83. 83,0 83,1 et 83,2 suivant les signes comparés de et , avec s'ils sont de même signe et dans le cas contraire.
  84. En effet, dans l'expression du gain, nécessite pour être réalisé à moins de près soit .
  85. 85,0 et 85,1 Ou d'abscisse si l'axe des abscisses est celui des fréquences et non des fréquences réduites.
  86. En effet le gain pour la fréquence réduite serait soit un gain en dB .
  87. En effet la phase pour la fréquence réduite serait soit une phase de .
  88. En pensant à raccorder les asymptotes et le point d'abscisse aux niveaux et au lieu de et comme dans le cas de la courbe de gain ou raccorder les asymptotes et le point d'abscisse aux niveaux et au lieu de et comme dans le cas de la courbe de gain.
  89. 89,0 et 89,1 Voir le paragraphe « équivalents B.F. de la fonction partielle de transfert H2(jx) et conséquences » plus haut dans ce chapitre.
  90. 90,0 et 90,1 Voir le paragraphe « équivalents H.F. de la fonction partielle de transfert H2(jx) et conséquences » plus haut dans ce chapitre.
  91. En effet le choix des résistances de l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par , constitué de , et en série en sortie ouverte aux bornes de série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » ayant donné comme fréquence réduite caractéristique de la fonction de transfert « partielle » , la valeur étant la fréquence réduite de coupure à du 1er ordre fondamental , nous en déduisons qu'à cette fréquence réduite la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert s'identifie à son asymptote B.F. d'où le point d'abscisse effectivement « au-dessous » de l'approximation de la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert .
  92. En effet le choix des résistances de l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par , constitué de , et en série en sortie ouverte aux bornes de série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » ayant donné comme fréquence réduite caractéristique de la fonction de transfert « partielle » , la valeur étant la fréquence réduite de coupure à du 1er ordre fondamental , nous en déduisons qu'à cette fréquence réduite la courbe de gain du diagramme de Bode du 1er ordre fondamental s'identifie à son asymptote H.F. d'où le point d'abscisse effectivement « au-dessus » de l'approximation de la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert .
  93. Si la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul correspondait à est assez nettement inférieure à , nous aurions un passe-haut de fréquence réduite de coupure à égale à .
  94. Ce qui aurait conduit à une séparation des intervalles de fréquence réduite pour lesquels les courbes de phase de chaque fonction partielle de transfert sont pratiquement séparables
  95. La contribution réelle du 1er ordre fondamental une augmentation de la phase du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul pour les valeurs de cet intervalle, d'autant plus grande que s'approche de voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode (d'un 1er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre et
        La contribution celle de la fonction partielle de transfert une diminution de la phase du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul pour les valeurs de cet intervalle, d'autant plus petite que s'approche de vérification sur la courbe du paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode (d'un 1er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre sachant qu'il suffit de multiplier cette dernière par .
  96. La contribution réelle du 1er ordre fondamental une augmentation de la phase du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul pour les valeurs de cet intervalle, d'autant plus petite que s'éloigne de voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode (d'un 1er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre et
        La contribution celle de la fonction partielle de transfert une légère diminution de la phase du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul pour les valeurs de cet intervalle, d'autant plus petite que s'approche de la diminution s'annulant pour cette dernière fréquence réduite vérification sur la courbe du paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode (d'un 1er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre sachant qu'il suffit de multiplier cette dernière par .
  97. La contribution réelle du 1er ordre fondamental une augmentation de la phase du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul pour les valeurs de cet intervalle, d'autant plus petite que s'approche de l'augmentation s'annulant pour cette dernière fréquence réduite voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode (d'un 1er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre et
        La contribution celle de la fonction partielle de transfert une légère diminution de la phase du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul pour les valeurs de cet intervalle, d'autant plus grande que s'éloigne de la diminution étant nulle pour cette dernière fréquence réduite vérification sur la courbe du paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode (d'un 1er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre sachant qu'il suffit de multiplier cette dernière par .
  98. Voir le paragraphe « étude directe (d'une fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul) » plus loin dans ce chapitre.
  99. 99,0 et 99,1 Ce n'est pas un nom reconnu de filtre car un filtre qui laisse tout passer n'est pas un filtre
  100. 100,0 et 100,1 Le gain en dB H.F. étant «» voir le paragraphe « superposition de la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H2(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert H1(jx) du 1er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de gain pour obtenir la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul » plus haut dans ce chapitre, ce gain en dB résultant effectivement de «».
  101. Valeur existant effectivement dans la mesure où est supérieure à .
  102. Valeur existant effectivement dans la mesure où est inférieure à .
  103. On a maintenu la factorisation par et l'introduction de la fréquence réduite dans la fonction de transfert puis dans le gain mais ceci ne se justifiait plus, en absence de ceci le gain se serait écrit et sa variation aurait nécessité d'étudier celle de qui n'est rien d'autre que donc de même variation et de dérivée aussi simple à établir
  104. 104,0 et 104,1 Pour cela on recherche l'existence d'une fréquence réduite de coupure à comme cela a été fait au paragraphe « nature du filtre et fréquence de coupure à -3dB » plus haut dans le chapitre.
  105. Pour plus exactement « assez nettement inférieur à » il s'agit d'un passe-bas, «» et «» ;
       pour plus exactement « assez nettement supérieur à » il s'agit d'un passe-haut, «» et «».
  106. 106,0 106,1 et 106,2 L'argument d'un nombre négatif étant , nous choisissons la valeur lors de l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite de façon à garder une continuité de la phase relativement à .
  107. La différence de deux peut-elle s'écrire sous la forme d'un voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente (domaine de valeurs) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ?
       En général non car chaque étant compris entre et , nous pouvons seulement affirmer que la différence est comprise entre et ce qui ne permet donc pas de mettre l'expression sous forme d'un  ;
       toutefois, le 2ème de la différence étant compris entre et , la différence sera encadrée par et si le 1er de la différence est compris entre et ce qui est réalisé si est c'est-à-dire si et sont de même signe ;
       en conclusion « si et sont de même signe », «» et il reste à chercher l'argument de cet .
       Soit compris entre et , on pose et qui s'inversent en et , souhaitant calculer que l'on sait compris entre et , on forme et l'on inverse en d'où la relation cherchée « ».
       Dans le cas présent, « si et sont de même signe », «».
  108. Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente (dérivée) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  109. Nous avons vu dans la note « 107 » plus haut dans ce chapitre que, « si et sont de même signe », «» d'où la réécriture de la phase « » ;
       nous en déduisons, dans ce cas, que « la phase varie de la même façon que la fonction » dont la dérivée vaut « » d'où la même discussion que celle exposée dans le corps du paragraphe dès lors que est cette restriction montre qu'il était inintéressant de transformer la différence des deux en un seul quand cela était possible, puisqu'il restait à traiter le cas où cela n'était pas possible.
  110. 110,0 110,1 110,2 110,3 110,4 et 110,5 Comme la fréquence réduite rendant la phase extrémale s'écrit encore .
  111. Car .
  112. 112,0 et 112,1 Dans le cas où et avec , on choisit les équivalents B.F. et H.F. des asymptotes de la courbe de phase selon et de façon à ce que les valeurs intermédiaires aient les plus petites valeurs.
  113. 113,0 et 113,1 Dans le cas où et avec , on choisira les équivalents B.F. et H.F. des asymptotes de la courbe de phase selon et de façon à ce que les valeurs intermédiaires aient les plus petites valeurs.
  114. 114,0 et 114,1 Dans le cas de , on choisira les équivalents B.F. ou H.F. des asymptotes de la courbe de phase selon :
    • et , pour que la se fasse de à ,
    • et , pour que la se fasse de à ..
  115. 115,0 et 115,1 La convention de normalisation de la fonction de transfert « cœfficient de degré du dénominateur égal à » ne correspond pas à celle de normalisation de l'équation différentielle « cœfficient de la dérivée de plus haut ordre égal à », mais cela n'est nullement gênant.
  116. 116,0 et 116,1 On rappelle qu'en terme d'équation différentielle l'excitation est le 2nd membre de l'équation différentielle quand celle-ci est normalisée ce qui n'est pas le cas ici et non le signal d'entrée du filtre même si on trouve parfois cette confusion par abus.
  117. 117,0 et 117,1 Voir la définition donnée dans le paragraphe « réponse fréquentielle d'un filtre linéaire à un signal sinusoïdal de pulsation ω » plus haut dans ce chapitre.
  118. Ce qu'on retrouve à partir de l'équivalent B.F. de la fonction de transfert de gain et de phase .
  119. Ce qu'on retrouve à partir de l'équivalent H.F. de la fonction de transfert de gain et de phase , une primitive ayant une valeur efficace divisée par et étant en quadrature retard sur la fonction dont c'est la primitive.
  120. 120,0 et 120,1 Voir le paragraphe « interprétation de l'équivalent H.F. de la fonction de transfert : circuit pseudo intégrateur (concernant la fonction de transfert du 1er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre.
  121. 121,0 121,1 121,2 et 121,3 Voir le paragraphe « énoncé du théorème de superposition » plus haut dans ce chapitre.
  122. 122,0 et 122,1 étant l'éventuelle composante permanente et la valeur efficace complexe de l'harmonique de rang de fréquence .
  123. 123,0 123,1 et 123,2 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur
  124. Revoir le paragraphe « exemple d'un signal créneau symétrique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité ne correspondant qu'à l'amplitude des harmoniques devant être complétées pour donner l'amplitude complexe des harmoniques selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1er au 2nd développement en série de Fourier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  125. 125,0 et 125,1 On rappelle que dans la représentation fréquentielle on donne la valeur efficace complexe et non l'amplitude complexe de chaque harmonique d'où la différence par rapport aux évaluations faites dans le paragraphe « exemple d'un signal créneau symétrique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  126. Voir le paragraphe « tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode (d'un 1er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre.
  127.  Par exemple un série avec sortie ouverte aux bornes de , le transfert étant l'amplification complexe en tension avec et .
  128. Voir le paragraphe « interprétation de l'équivalent H.F. de la fonction de transfert : circuit pseudo intégrateur » plus haut dans ce chapitre.
  129. 129,0 et 129,1 Toutefois en pratique cette condition est trop restrictive, avec une fréquence supérieure néanmoins sans excès à on observe aussi un créneau en sortie sans trop de distorsion.
  130. Un signal triangulaire étant le signal primitive à valeur moyenne nulle du signal créneau.
  131. 131,0 et 131,1 On estime qu'il faut superposer les harmoniques jusqu'au rang pour constituer approximativement le signal triangulaire.
  132. 132,0 et 132,1 Là encore en pratique cette condition est trop restrictive, avec une fréquence inférieure néanmoins sans excès à on observe aussi un triangulaire en sortie sans trop de distorsion.
  133. Avec une fréquence on trouve une amplitude du signal de sortie mais
      avec une fréquence celle-ci serait fois plus faible car le gain H.F. du filtre est inversement proportionnel à la fréquence du signal et par suite le signal serait inobservable pratiquement car noyé dans les parasites.
  134. Pour des raisons évidentes si la superposition était faite à la main, mais aussi par principe si elle est faite à l'aide d'un calculateur.
  135. Ce qui se matérialise par des pseudo-oscillations dont les amplitudes les plus grandes font au moins de l'amplitude du créneau.
  136. 136,0 136,1 et 136,2 Voir le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  137. Avec une règle très approximative estimant qu'il faut dix fois moins d'harmoniques pour reconstituer un signal que pour reconstituer son signal dérivé
  138. 138,0 et 138,1 Ou arrondi.
  139. 139,0 139,1 et 139,2 Une « pointe » correspond à une discontinuité de 1ère espèce de la dérivée.
  140. 140,0 et 140,1 Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903) physico-chimiste mathématicien américain, a appliqué la thermodynamique dans la chimie physique, la rendant ainsi raisonnée et rigoureuse ;
                           avec James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais et Ludwig Eduard Boltzmann (1844 - 1906) physicien et philosophe autrichien, il est l'un des fondateurs de la mécanique statistique qui explique les lois de la thermodynamique à l'aide des propriétés statistiques des grands ensembles des particules ;
                           en mathématiques il est aussi, avec Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, l'un des fondateurs de l'analyse vectorielle ;
                           l'observation connue sous le nom « phénomène de Gibbs » a été découvert en par Henry Wilbraham (1825 - 1883) mathématicien anglais et redécouvert par J.W.Gibbs en , c'est ce dernier qui trouva la cause mathématique de ce phénomène que l'on observe lors de l'étude des séries et transformées de Fourier.
  141. Ce qu'on retrouve à partir de l'équivalent B.F. de la fonction de transfert de gain et de phase , une dérivée ayant une valeur efficace multipliée par et étant en quadrature avance sur la fonction dont c'est la dérivée.
  142. 142,0 et 142,1 Voir le paragraphe « interprétation de l'équivalent B.F. de la fonction de transfert : circuit pseudo dérivateur (concernant la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul) » plus haut dans ce chapitre.
  143. Ce qu'on retrouve à partir de l'équivalent H.F. de la fonction de transfert de gain et de phase .
  144. Revoir le paragraphe « exemple d'un signal triangulaire symétrique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité ne correspondant qu'à l'amplitude des harmoniques devant être complétées pour donner l'amplitude complexe des harmoniques selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1er au 2nd développement en série de Fourier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  145. Voir le paragraphe « tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode (d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul) » plus haut dans ce chapitre.
  146.  Par exemple un série avec sortie ouverte aux bornes de , le transfert étant l'amplification complexe en tension avec et , le cœfficient étant égal à , le gain à H.F. valant .
  147. Voir le paragraphe « interprétation de l'équivalent B.F. de la fonction de transfert : circuit pseudo dérivateur » plus haut dans ce chapitre.
  148. Un signal créneau étant le signal dérivée du signal triangulaire.
  149. 149,0 et 149,1 On y observe le phénomène de Gibbs lors de la tentative de reconstitution de chaque discontinuité de 1ère espèce du signal de sortie ; si le tronquement de la synthèse de Fourier se faisait à un rang plus élevé, cela ne ferait pas disparaître le phénomène de Gibbs mais limiterait l'étendue spatiale des pseudo-oscillations sans que le dépassement ne disparaisse.
  150. Avec une fréquence on trouve une amplitude du signal de sortie ce qui est déjà très petit par exemple avec on aurait une amplitude du créneau de sortie de auquel risque de se superposer des parasites d'amplitude à peine plus faible mais
      avec une fréquence celle-ci serait fois plus faible car le gain B.F. du filtre est proportionnel à la fréquence du signal et par suite le signal serait totalement inobservable car d'amplitude trop faible d'une part et totalement noyé dans les parasites d'autre part.
  151. 151,0 et 151,1 On y observe le phénomène de Gibbs lors de la tentative de reconstitution de chaque pointe du signal de sortie on rappelle qu'une pointe de signal correspond à une discontinuité de 1ère espèce de la dérivée de ce dernier ; si le tronquement de la synthèse de Fourier se faisait à un rang plus élevé, cela ne ferait pas disparaître le phénomène de Gibbs mais limiterait l'étendue spatiale de l'arrondi.
  152. En étant d'amplitude nettement plus grande car l'harmonique fondamental étant de fréquence plus élevée est affecté d'un gain nettement plus grand.