En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Considérant le condensateur comme parfait, déterminer sachant qu'après minutes, le voltmètre indique une différence de potentiel de .
Si le condensateur possède une résistance de fuite , quelle relation doit-elle vérifier pour que le condensateur puisse être considéré comme parfait dans l'expérience précédente ?
Solution
Le condensateur de capacité ayant été chargé sous puis isolé, on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance équivalente [1] ; il s'agit donc d'un circuit série court-circuité c'est-à-dire sans générateur avec initialement chargé ;
à , le condensateur fermé sur va se décharger à travers cette dernière d'où, en notant la tension aux bornes de à l'instant [2] et à , le condensateur fermé sur va se décharger à travers cette dernière d'où, en choisissant la « convention de décharge du condensateur »[3] correspondant aussi à à , le condensateur fermé sur va se décharger à travers cette dernière d'où, en choisissant la « convention générateur pour le condensateur » c'est-à-dire , à , le condensateur fermé sur va se décharger à travers cette dernière d'où, par application de la « loi de maille orientée dans le sens de »[4] soit encore, à , le condensateur fermé sur va se décharger à travers cette dernière d'où, en normalisant «» avec « constante de temps du circuit » ; on en déduit
à , le condensateur fermé sur va se décharger à travers cette dernière d'où, la solution de l'équation différentielle «»[5], la constante d'intégration se déterminant en utilisant la continuité de à l'instant [6] «» d'où « en » ;
à , d'où dont on déduit « soit ».
Si le condensateur n'est pas parfait, il se décharge, même s'il n'est pas relié à un voltmètre, à travers sa résistance de fuite , Si le condensateur n'est pas parfait, on peut modéliser un condensateur non parfait par un condensateur parfait en sur un conducteur ohmique de résistance ;
Si le condensateur n'est pas parfait, aussi, quand le condensateur non parfait est branché sur un voltmètre de résistance , le circuit équivalent formé à partir de [7] est un condensateur parfait fermé sur deux conducteurs ohmiques en de résistances respectives et et le traitement précédent reste applicable à condition de « remplacer par » d'où «» ;
Si le condensateur n'est pas parfait, or « si » et, dans la mesure où ceci serait valable, « nécessite » soit «»[8].
En fait la condition précédente n'est pas vérifiée car le condensateur présente une résistance de fuite de même ordre de grandeur que .
Pour mesurer , nous isolons le condensateur après l'avoir rechargé sous et minutes après, nous branchons le voltmètre à ses bornes pendant un court instant. Nous mesurons alors une différence de potentiel de .
Déterminer et .
Solution
En fait la condition précédente n'étant pas vérifiée, le condensateur reste isolé pendant avant d'être relié au voltmètre ;
on y fait alors la mesure instantanée donc à l'instant mais sans que le condensateur ait le temps de se décharger dans la résistance équivalente et on trouve ;
sur l'intervalle , on retrouve le circuit de la 1ère question avec se substituant à d'où, avec «» et «»[9], d'où sur l'intervalle , on retrouve le circuit de la 1ère question «» dont on tire soit «».
On utilise alors le résultat de la 1ère question soit «» pour en déduire selon d'où On utilise alors le résultat de la 1ère question soit «» pour en déduire soit «».
Condition pour que l'intensité du courant délivré par un générateur dans un circuit parallèle soit constante dès la fermeture de l'interrupteur[modifier | modifier le wikicode]
On relie, par l'intermédiaire d'un interrupteur , un générateur de tension sans résistance interne et de f.e.m. à deux circuits montés en ,
l'un, composé d'un condensateur parfait de capacité et d'un conducteur ohmique de résistance et
l'autre, d'une bobine parfaite d'auto-inductance et d'un conducteur ohmique de résistance ;
initialement le condensateur étant déchargé et la bobine n'étant traversée par aucun courant, on ferme l'interrupteur à [10]voir schéma ci-contre.
Déterminer les intensités et des courants traversant respectivement les dipôles « série » et « série » ;
en déduire , l'intensité du courant délivré par la source.
Solution
Sachant que le générateur est sans résistance interne[11], on a donc deux circuits classiques
série soumis à une tension et
série soumis à une même tension ,
Sachant que le générateur est sans résistance interne, on a donc deux circuits que l'on peut résoudre indépendamment l'un de l'autre.
Circuit série soumis à échelon de tension : étant la réponse en intensité de courant d'un série soumis à , Circuit série soumis à échelon de tension : l'équation différentielle en s'écrit «»[12],[13] et Circuit série soumis à échelon de tension : la solution est de la forme «»[5] avec « constante de temps du circuit », se déterminant à l'aide de la C.I. [14] soit «».
Circuit série soumis à échelon de tension : étant la réponse en intensité de courant d'un série soumis à , Circuit série soumis à échelon de tension : l'équation différentielle en s'écrit «»[15],[16] et Circuit série soumis à échelon de tension : la solution est de la forme «»[17] avec « constante de temps du circuit », se déterminant à l'aide de la C.I. [18] soit «».
Intensité du courant délivré par la source : On écrit alors la loi des nœuds et on en déduit «»[19].
Détermination de la condition pour que l'intensité du courant délivré par le générateur soit constante[modifier | modifier le wikicode]
Quelle doit être la condition sur , , et pour que l'intensité du courant délivré par le générateur soit constante ?
Solution
On veut que « soit » ce qui est « réalisé si » ;
or «» «», « réalisé si »[20] ou, or «» en réécrivant la 2ème C.N[21]. en utilisant l'expression de selon «» et or «» en réinjectant dans «» à identifier à par la 1ère C.N[21]. d'où «» d'une part et or «» en réinjectant dans «» à identifier à «» d'autre part,
soit finalement «».
L'intensité du courant délivré par la source est alors constante, après la discontinuité de 1ère espèce[22] à l'instant , selon
«».
Établissement d'un équilibre électrique entre un condensateur chargé et un déchargé[modifier | modifier le wikicode]
On charge un condensateur de capacité sous la tension , et on relie ce condensateur ainsi chargé, puis isolé de la source de tension de charge, à un condensateur de capacité , initialement neutre, par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance .
Déterminer les charges et des deux condensateurs et
en déduire l'intensité du courant circulant dans le circuit.
Solution
Les deux armatures et le conducteur ohmique constituent un conducteur isolé du reste partie encadrée sur le schéma ci-contreconservation de la charge du conducteur isolé soit «» ou encore, les charges des condensateurs d'un circuit réel[23] étant continues[24], «» ;
notant « la charge initiale du condensateur de capacité », c'est-à-dire la valeur de , celle de étant nulle, la conservation de la charge du conducteur isolé correspondant à la partie encadrée sur le schéma ci-contre se réécrit «» « relation ».
Convention de charge pour : «»[25] et en dérivant la relation soit finalement «»[26].
Loi de maille : «» d'où l'équation en en utilisant la relation ainsi que la définition de relativement à Loi de maille : «» soit encore l'équation différentielle en normalisée «».
Réécriture de l'équation différentielle ennormalisée : on simplifie l'équation en posant «» «»[27], et Réécriture de l'équation différentielle ennormalisée : on simplifie l'équation en posant «»[28] ainsi que «»[29] d'où Réécriture de l'équation différentielle ennormalisée : la réécriture de l'équation différentielle en normalisée «».
Résolution de l'équation différentielle ennormalisée : la solution de l'équation différentielle est de la forme «»[17] avec Résolution de l'équation différentielle ennormalisée : solution forcée de même forme que l'excitation c'est-à-dire constante «» ou «» et Résolution de l'équation différentielle ennormalisée : solution libre vérifiant d'équation caractéristique soit finalement «» d'où Résolution de l'équation différentielle ennormalisée : la forme de la charge instantanée du condensateur initialement chargé «» ;
Solution enavec utilisation de C.I[30]. : on détermine à l'aide de la C.I[30]. nécessitant de connaître , or [24] d'où «» soit, Solution enavec utilisation de C.I. : en reportant dans la relation , «» et par suite une 1ère expression de
«»
Solution enavec utilisation de C.I. : ou encore, en éliminant au profit de la tension initiale de charge liée par , une 2ème expression de
«».
Solution en : On en déduit alors la charge instantanée du condensateur initialement déchargé à l'aide de la relation soit encore, en utilisant la 1ère expression de , Solution en : soit finalement une 1ère expression de
«»
Solution en : ou encore, en éliminant au profit de la tension initiale de charge liée par , une 2ème expression de
«».
Expression de : pour obtenir , il suffit de dériver l'expression de [31] et on obtient aisément soit
«».
Remarque : On constate une discontinuité de 1ère espèce[22] de à car alors que .
Reprendre l'exercice en déterminant directement l'intensité du courant circulant dans le circuit[32].
Solution
Équation différentielle en : même début, loi de maille «», que l'on dérive par rapport au temps «» ou encore, Équation différentielle en : avec le lien entre et , à savoir «», permettant d'éliminer et , «» et finalement Équation différentielle en : on obtient la forme normalisée de l'équation différentielle en «» ou, Équation différentielle en : on obtient avec introduction de la constante de temps telle que «», «».
Résolution de l'équation différentielle ennormalisée : la solution de l'équation différentielle s'identifie à la solution libre «»[5] ; Résolution de l'équation différentielle ennormalisée : il reste alors à déterminer à l'aide de la C.I[30]. c'est-à-dire la valeur de et, Résolution de l'équation différentielle ennormalisée : il reste alors à déterminer celle-ci ne résultant pas d'une continuité de grandeur dans un circuit réel, Résolution de l'équation différentielle ennormalisée : il reste alors à déterminer nous la cherchons par circuit à dans lequel nous remplaçons les deux condensateurs par leur modèle équivalent à [33] d'où le circuit à ci-contre :
Résolution de l'équation différentielle ennormalisée : il reste alors à déterminer on retrouve aux bornes du conducteur ohmique de résistance et par application de la loi d'Ohm[34] on en déduit la valeur de l'intensité initiale du courant dans le circuit Résolution de l'équation différentielle ennormalisée : il reste alors à déterminer «» égale à «» Résolution de l'équation différentielle ennormalisée : et finalement «».
Remarque : On obtient évidemment le même résultat que dans la solution de la question précédente de façon plus rapide[35] et Remarque : on vérifie la présence d'une discontinuité de 1ère espèce[22] de à car alors que .
une ampoule au néon ne s'allume que si la tension à laquelle elle est soumise est à sa tension d'allumage , soit «», la lampe allumée étant alors équivalente à une résistance dynamique ;
l'ampoule au néon ne s'éteint que si la tension à laquelle elle est soumise devient à sa tension d'extinction , soit «», la lampe éteinte étant équivalente à un interrupteur ouvert[36].
On considère le circuit ci-contre dans lequel on ferme l'interrupteur à [37], le condensateur étant déchargé pour .
Étude d'une 1ère phase de fonctionnement de la lampe et condition sur E pour qu'elle s'allume[modifier | modifier le wikicode]
À la lampe étant éteinte, le condensateur se charge alors à travers le conducteur ohmique de résistance ; À la lampe étant éteinte, déterminer la loi de variation de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps À la lampe étant éteinte, déterminer la loi de variation de la tension dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte ;
À la lampe étant éteinte, en déduire une condition sur l'amplitude de l'échelon de tension pour que la lampe s'allume à la fin de cette phase et À la lampe étant éteinte, dans l'hypothèse où cette condition est réalisée, déterminer la durée de cette 1ère phase.
Solution
Il s'agit d'un simple circuit série soumis à un échelon de tension [1] dont l'équation différentielle en est «»[38] ;
Il s'agit d'un simple circuit série soumis à un échelon de tension l'instant initial correspondant à la fermeture de , cette phase perdurera tant que [39].
Solution de l'équation différentielle en : «»[17] avec « constante de temps du série » et constante réelle d'intégration à déterminer par C.I[30]. ;
Solution de l'équation différentielle en : C.I[30]. utilisant la continuité de la tension aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif[6] soit Solution de l'équation différentielle en : C.I. d'où «» et par suite Solution de l'équation différentielle en : l'équation valable jusqu'à l'éventuel allumage de la lampe au néon s'écrit «».
Condition surpour que la lampe au néon s'allume : étant une fonction continue de jusqu'à la lampe au néon s'allumera si l'amplitude de l'échelon de tension est à la tension d'allumage de la lampe c'est-à-dire si «» par utilisation du théorème des valeurs intermédiaires[40].
Duréede la 1ère phase sous condition précédente : sous cette condition l'expression de la tension reste valable jusqu'à l'instant tel que «», Duréede la 1ère phase sous condition précédente : sous cette condition l'expression de la tension reste valable jusqu'à l'instant date à partir de laquelle la lampe au néon s'allume ; Duréede la 1ère phase sous condition précédente : sous cette condition la durée de la 1ère phase est donc «».
Étude d'une 2ème phase de fonctionnement de la lampe et choix de (E, R) pour qu'elle s'éteigne[modifier | modifier le wikicode]
La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 2ème phase et pour cela on fait un changement d'origine des temps ;
La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, faire un schéma équivalent correspondant à la lampe au néon allumée et
La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, déterminer la loi de variation de la tension en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste allumée[41] ;
La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, en déduire une condition sur le choix de pour que la lampe s'éteigne et La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, dans l'hypothèse où cette condition est réalisée, déterminer la durée de cette 2ème phase.
Solution
L'instant initial de cette 2ème phase correspondant à l'allumage de la lampe au néon correspondant à , L'instant initial de cette 2ème phase on y repère la date à partir de ce nouvel instant initial soit «», L'instant initial de cette 2ème phase cette phase perdurera tant que en-deçà de laquelle la lampe s'éteint.
Le circuit équivalent est représenté ci-contre 1er schéma, on met en évidence, aux bornes du condensateur, un P.D.T[42]. en permutant et 2ème schéma au-dessous du 1er et on en prend alors le générateur de Thévenin[43] équivalent de f.e.m. de Thévenin[43][44] et on en prend alors le générateur de Thévenin équivalent de résistance de Thévenin[43][44] on en prend alors le générateur de Thévenin équivalent d'où le 3ème schéma équivalent ci-contre à droite du 2ème ;
on obtient alors un simple série soumis à un échelon de tension mais avec un condensateur initialement chargé dont l'équation différentielle est «».
Solution de l'équation différentielle en : «»[17] avec Solution de l'équation différentielle en : « constante de temps du nouveau série » et Solution de l'équation différentielle en : « constante réelle d'intégration » à déterminer par C.I[30]. ;
Solution de l'équation différentielle en : C.I[30]. utilisant la continuité de la tension aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif[6] soit d'où «» et par suite Solution de l'équation différentielle en : l'équation valable jusqu'à l'éventuelle extinction de la lampe au néon s'écrit «».
Condition surpour que la lampe au néon s'éteigne : une C.N[21]. pour que la lampe s'éteigne est que soit et pour cela il faut que soit à la tension d'allumage soit Condition surpour que la lampe au néon s'éteigne : une C.N. pour que la lampe s'éteigne est que «» ; dans ce cas Condition surpour que la lampe au néon s'éteigne : étant une fonction continue de jusqu'à la lampe au néon s'éteindra si la f.e.m. de Thévenin[43] est à la tension d'extinction de la lampe c'est-à-dire si «»[45]par utilisation du théorème des valeurs intermédiaires[40] ; Condition surpour que la lampe au néon s'éteigne : en conclusion la lampe au néon s'éteindra dans cette 2ème phase pour soit encore «».
Remarque : pour que la lampe au néon s'allume il est nécessaire d'avoir et Remarque : pour qu'elle s'éteigne il est nécessaire d'avoir , Remarque : cette 2ème condition n'est compatible avec la 1ère que si on a «» ce qui nécessite «».
Duréede la 2ème phase sous condition précédente : avec , l'expression de la tension reste valable jusqu'à l'instant tel que c'est-à-dire Duréede la 2ème phase sous condition précédente : avec , l'expression de la tension reste valable jusqu'à l'instant «», Duréede la 2ème phase sous condition précédente : avec , l'expression de la tension reste valable jusqu'à l'instant date à partir de laquelle la lampe au néon s'éteint ;
Duréede la 2ème phase sous condition précédente : avec , la durée de cette 2ème phase est donc «» ou, Duréede la 2ème phase sous condition précédente : avec , en reportant les expressions de et , Duréede la 2ème phase sous condition précédente : avec , la durée de cette phase se réécrit «» soit finalement Duréede la 2ème phase sous condition précédente : avec , la durée de cette phase se réécrit «».
Étude d'une 3ème phase de fonctionnement de la lampe et durée de cette 3ème phase[modifier | modifier le wikicode]
La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 3sup>ème phase et pour cela on fait un nouveau changement d'origine des temps définissant ;
La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, déterminer la loi de variation de la tension en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte puis
La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, déterminer la durée de cette 3ème phase.
Solution
L'instant initial de cette 3ème phase correspondant à l'extinction précédente de la lampe au néon correspondant à ,
L'instant initial de cette 3ème phase on y repère la date à partir de ce nouvel instant initial soit «», L'instant initial de cette 3ème phase cette nouvelle phase perdurera tant que au-delà de laquelle la lampe s'allumera.
Il s'agit du même circuit que pour la 1ère phase mais avec un condensateur initialement chargé[1] dont l'équation différentielle est «»[46].
Solution de l'équation différentielle en : «»[17] avec « constante de temps du série » et constante réelle d'intégration à obtenir par C.I[30]. ;
Solution de l'équation différentielle en : C.I[30]. utilisant la continuité de la tension aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif[6] soit Solution de l'équation différentielle en : C.I. d'où «» et par suite Solution de l'équation différentielle en : l'équation valable jusqu'au nouvel allumage de la lampe au néon[47] s'écrit «» ;
Duréede la 3ème phase : l'expression de la tension reste valable jusqu'à l'instant tel que «», Duréede la 3ème phase : l'expression de la tension reste valable jusqu'à l'instant date à partir de laquelle la lampe au néon s'allume de nouveau ; Duréede la 3ème phase : la durée de cette 3ème phase est donc «».
Oscillations de relaxation de la lampe au néon et explicitation de leur période[modifier | modifier le wikicode]
La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase on observe, après une 1ère phase d'initiation, La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase on observe, une succession périodique de 2ème et 3ème phases[48] ;
La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase déduire de ce qui précède la période des oscillations de relaxation de la lampe au néon et
La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase tracer l'allure du graphe de la tension avec les valeurs numériques ci-dessous :
La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase A.N.[49] : , , , , et .
Solution
À la date «» avec soit À la date «», À la date «nous obtenons une succession périodique de 2ème et 3ème phases correspondant à des oscillations de relaxation dont la période est la somme des durées de chacune des 2ème et 3ème phases voir l'allure du graphe de ci-contre,
À la date «la 2ème phase étant de durée «» avec , À la date « la 2ème phase étant de durée «» avec d'où À la date « la 2ème phase étant de durée «» avec et À la date « la 2ème phase étant de durée «» avec c'est-à-dire À la date « la 2ème phase étant de durée «» avec soit À la date « la 2ème phase étant de durée «» et
À la date «la 3ème phase de durée «» avec soit À la date « la 3ème phase de durée «» ;
À la date «la 2ème phase s'étend donc entre les instants et et
À la date «la 3ème phase s'étend donc entre les instants et .
Charge et intensité du courant de charge de chaque condensateur d'une batterie « série et parallèle »[modifier | modifier le wikicode]
À la date , on établit la tension dans le circuit ci-contre, les condensateurs étant initialement déchargés ;
exprimer les charges instantanées des divers condensateurs en fonction du temps. puis
en déduire, également en fonction du temps, les intensités instantanées de chaque courant de charge de ces condensateurs.
Propriété préliminaire pour simplifier la résolution[51] : association de deux condensateurs parfaits de capacité et Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente [52] ; Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : association série de deux condensateurs parfaits de capacité et Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente [53]
Solution
Les condensateurs étant initialement déchargés, on peut leur appliquer les lois d'association rappelées dans le texte de la question :
les deux condensateurs parfaits et étant montés en , leur association est équivalente à un condensateur parfait unique de capacité équivalente «» ;
ce dernier étant monté en série avec le 3ème, leur association série est équivalente à un condensateur parfait unique de capacité équivalente «» ;
la charge instantanée du 3ème condensateur étant notée , charge instantanéecelle de l'association des deux 1ers de capacité équivalente est également [54], avec , et charge instantanée celle de l'association des deux 1erscomme il y a symétrie entre et [55] de valeur commune ; enfin
le 3ème condensateur et l'association des deux 1ers étant en série et de charge individuelle , celle du condensateur équivalent de capacité équivalente est aussi [54].
Nous obtenons alors un circuit série soumis à un échelon de tension d'amplitude , l'instant étant celui de fermeture du circuit[56] avec le condensateur de capacité initialement déchargé, d'où Nous obtenons l'équation différentielle en [57] ou, sous forme normalisée, «»[58] ; Nous obtenons la solution de l'équation différentielle du circuit équivalent est de la forme «»[17] avec et constante réelle d'intégration se déterminant par utilisation de la C.I[30]. à savoir continuité de la charge d'un condensateur dans un circuit « réel »[59] et caractère déchargé du condensateur dans son état initial d'où et par suite Nous obtenons la solution de l'équation différentielle du circuit équivalent se réécrit «» ou «»[60] avec «» ;
les condensateurs et ayant même charge instantanée «» avec même constante de temps «».
Nous déterminons l'intensité du courant circulant dans le circuit équivalent par [61] soit «»[62] avec même constante de temps «» et
Nous déterminons l'intensité du courant ayant traversé chaque branche et par [63] «» avec même constante de temps «».
Une fois l'équilibre atteint, on branche entre et , par l'intermédiaire d'un interrupteur initialement[64] ouvert voir schéma ci-contre un condensateur de capacité , préalablement chargé sous la tension et on ferme l'interrupteur.
Montrer qu'immédiatement après fermeture de l'interrupteur , il s'établit un 1er équilibre quasi-instantané entre les quatre condensateurs, équilibre que l'on qualifiera de local dans la mesure où il se réalise sans circulation de courant dans la résistance [65] et
déterminer les valeurs des charges des divers condensateurs après l'établissement de cet équilibre local quasi-instantané l'instant de fin d'établissement de cet équilibre local sera noté ;
quel risque encourent les fils de connexion ?
Solution
Une fois l'équilibre de la batterie des trois condensateurs précédente atteint, les tensions aux bornes des différents condensateurs « entre et », « entre et », « entre et » sont celles indiquées sur le schéma ci-contre ;
Une fois l'équilibre de la batterie des trois condensateurs précédente atteint, on branche alors « entre et », par l'intermédiaire d'un interrupteur initialement ouvert[66], un condensateur de capacité , préalablement chargé sous la tension et Une fois l'équilibre de la batterie des trois condensateurs précédente atteint, on ferme l'interrupteur[67].
On constate alors que , alors que , ce fait va se manifester par une décharge partielle du condensateur dans le condensateur à travers les fils de connexion et , par contre rien ne se produira a priori entre les condensateurs et ;
or et étant des fils de connexion de résistance supposée nulle, cette décharge se fait en une durée nulle c'est-à-dire qu'elle est « instantanée »[68] jusqu'à l'égalité des tensions et de valeur commune ;
cette tension commune «» se détermine en écrivant que l'ensemble des armatures et reliées par le fil de connexion est isolé le caractère isolé dure le temps de cette mise à équilibre c'est-à-dire qu'il est de durée quasi nulle soit d'où cette tension commune «»[69] ;
à l'instant [69] les valeurs de charge des condensateurs et sont chacune, correspondant à une tension commune et à l'instant les valeurs de celles des condensateurs et sont chacune, correspondant à une tension commune à l'instant voir schéma ci-contre ; à l'instant on constate alors l'absence d'équilibre global, la tension initiale aux bornes du conducteur ohmique de résistance étant non nulle, orientée de droite à gauche elle vaut «».
Remarque : Comme nous l'avons déjà signalé dans la note « 68 » plus haut dans cet exercice, les fils de connexion et , traversés par un courant d'intensité théoriquement infinie pendant la décharge partielle du condensateur dans le condensateur , dans la pratique, fondraient, par contre, Remarque : les autres fils de connexion[70], resteraient intacts pendant l'établissement de cet équilibre quasi-instantané car traversés par aucun courant.
Déterminer l'évolution ultérieure du système intensités instantanées des courants de charge ainsi que charges instantanées des divers condensateurs en fonction du temps et
préciser son état final charge de chaque condensateur ainsi que tension à leurs bornes.
Solution
Les deux condensateurs supérieurs de même charge initiale[71][72] et montés en Les deux condensateurs supérieurs de même charge initiale et montés en peuvent être remplacés par un seul condensateur de capacité [52] Les deux condensateurs supérieurs de même charge initiale et montés en peuvent être remplacés par un seul condensateur de charge initiale[71][52] ;
les deux condensateurs inférieurs de même charge initiale[71][72] et montés en Les deux condensateurs inférieurs de même charge initiale et montés en peuvent être remplacés par un condensateur de capacité [52] Les deux condensateurs inférieurs de même charge initiale et montés en peuvent être remplacés par un condensateur de charge initiale[71][52] ;
nous obtenons alors, ci-contre, le schéma équivalent à un instant [73].
Par conservation de la charge globale de l'armature inférieure du condensateur supérieur et de l'armature supérieure du condensateur inférieur[74] du schéma équivalent ci-contre, nous déduisons «» «» et par suite, en ayant choisi la convention de décharge pour les deux condensateurs[75] du schéma équivalent «».
L'équation de maille s'écrit : «» ou en remplaçant par , et en regroupant les termes en , L'équation de maille s'écrit : «» soit l'équation différentielle en «» ou, l'excitation se réécrivant [72] c'est-à-dire l'équation différentielle sous forme normalisée l'équation différentielle en «» ;
la solution de l'équation différentielle est de la forme «»[17] avec solution forcée de même forme que l'excitation c'est-à-dire constante «» et la solution de l'équation différentielle est de la forme «» avec solution libre vérifiant d'équation caractéristique soit finalement la solution de l'équation différentielle est de la forme «» avec d'où la solution de l'équation différentielle est de la forme «», étant une constante réelle d'intégration déterminée par C.I[30]. «»[72] d'où la solution de l'équation différentielle est de la forme «», l'équation algébrique et par suite la solution de l'équation différentielle est «» ;
par report de l'expression de dans nous obtenons, après simplification évidente, «» ;
les deux condensateurs initiaux supérieurs et ont donc une charge individuelle «» et
les deux condensateurs initiaux inférieurs et ont donc une charge individuelle «» ;
l'intensité du courant circulant dans le conducteur ohmique de résistance s'obtient en prenant l'opposé de la dérivée temporelle de l'expression de , soit «».
Le nouvel état d'équilibre obtenu quand est donc «», correspondant à une tension commune de , Le nouvel état d'équilibre les condensateurs et se sont déchargés par rapport à la situation existant avant l'ajout du 4ème condensateur initialement chargé sous tension dans le circuit et Le nouvel état d'équilibre obtenu quand est donc «», correspondant à une tension commune de , Le nouvel état d'équilibre le condensateur s'est chargé par rapport à la situation existant avant l'ajout du 4ème condensateur initialement chargé sous tension dans le circuit, Le nouvel état d'équilibre alors que le condensateur s'est déchargé par rapport à la situation précédent son ajout dans le circuit.
↑ Instant d'isolement du condensateur de sa source de charge, le voltmètre étant déjà en sur le condensateur pendant la charge, reste seul branché quand on retire la source de charge.
↑ Par circuit à dans lequel on utilise la continuité de la tension aux bornes du condensateur dans ce circuit réel à l'instant , et comme le condensateur était initialement déchargé, il le reste encore à l'instant , on peut donc, à cet instant, remplacer le condensateur par un court-circuit le circuit à doit être tracé effectivement on retrouve aux bornes de d'où le résultat de par loi d'Ohm.
↑ Pour l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre est hétérogène à excitation constante, le 2nd membre valant , étant l'échelon unité ou fonction d'Heaviside, voir le paragraphe « échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ». Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom encore appelée échelon ou marche utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
↑ La 1ère condition est nécessaire pour que l'égalité soit réalisée pour tout car les exponentielles varient différemment suivant ce paramètre et la 2èmecondition est nécessairepour que l'égalité soit aussi réalisée à l'instant .
↑ Ou prendre l'opposé de la dérivée temporelle de .
↑ Directement c'est-à-dire sans chercher à expliciter au préalable les charges instantanées de l'un ou l'autre des deux condensateurs en fonction du temps mais on déterminant l'équation différentielle en puis en la résolvant.
le condensateur de capacité étant initialement chargé sous tension , peut être remplacé, dans le circuit à , par une source de tension parfaite de f.e.m. ,
le condensateur de capacité étant initialement déchargé, peut être remplacé, dans le circuit à , par un court-circuit.
↑Georg Simon Ohm (1789 - 1854) physicien allemand essentiellement connu pour sa découverte de la loi qui porte maintenant son nom.
↑ Car il n'y a pas à déterminer les charges instantanées des condensateurs.
↑ La résistance dynamique de la lampe est alors infinie.
↑ On impose donc au réseau dipolaire passif « conducteur ohmique de résistance en série avec l'association du condensateur de capacité et de l'ampoule au néon » un échelon de tension d'amplitude
↑ S'obtenant par loi de maille avec utilisation de , le sens du courant traversant le condensateur de capacité correspondant à la convention récepteur associée à .
↑ 40,0 et 40,1 Utilisé sous la forme équivalente « pour toute application continue et tout réel compris entre et , il existe au moins un réel tel que ».
↑ Pour simplifier l'étude, il est intéressant de permuter les positions du condensateur et de la lampe au néon allumée dans le but de modéliser le R.D.L.A. aux bornes du condensateur
↑ La lampe au néon s'allume effectivement une nouvelle fois car est une fonction continue de jusqu'à s'écrit «» et, par théorème des valeurs intermédiairesplus exactement l'énoncé équivalent rappelé dans la note « 40 » plus haut dans cet exercice, peut donc prendre la valeur comprise entre et .
↑ La propriété précise qu'une association ou série de condensateurs parfaits initialement non chargés est équivalente à un condensateur parfait ainsi que la valeur de la capacité équivalente relativement aux valeurs de chaque capacité.
↑ 52,052,152,252,3 et 52,4 La tension instantanée commune aux bornes des deux condensateurs parfaits étant avec pour charges instantanées respectives de chaque condensateur et , on définit la charge instantanée de l'association des deux condensateurs par et cette association est équivalente à un condensateur parfait si avec un cœfficient de proportionnalité positif définissant la capacité équivalente ; on trouve ainsi d'où .
↑ Dans la mesure où l'association série des deux condensateurs est formée à partir de deux condensateurs non chargés, l'armature inférieure du 1er condensateur et l'armature supérieure du 2ème étant reliée par un simple fil de connexion portent nécessairement des charges instantanées opposées quand les condensateurs sont devenus chargés ainsi, appelant la charge instantanée de l'armature supérieure du 1er condensateur, la charge instantanée de son armature inférieure étant alors et celle de l'armature supérieure du 2ème condensateur car opposée à la précédente, celle de son armature inférieure étant ; la tension instantanée aux bornes du 1er condensateur parfait étant et celle aux bornes du 2ème condensateur parfait , on définit la charge instantanée de l'association série des deux condensateurs par , la tension instantanée aux bornes de cette association série étant ; cette association série est équivalente à un condensateur parfait si avec un cœfficient de proportionnalité positif définissant l'inverse de la capacité équivalente ; on trouve ainsi d'où donnant aisément .
↑ 54,0 et 54,1 Car des condensateurs parfaits montés en série et initialement déchargés ont la même charge instantanée, laquelle définit la charge instantanée de l'association série.
↑ Correspondant à deux condensateurs de même capacité soumis à la même tension.
↑ Il convient de tracer le schéma du circuit équivalent.
↑ Pour l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre est hétérogène à excitation constante, le 2nd membre valant , étant l'échelon unité ou fonction d'Heaviside, voir le paragraphe « échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ». Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom encore appelée échelon ou marche utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
↑ Il s'agit de la charge du condensateur équivalent mais aussi de la charge du 3ème condensateur.
↑ On rappelle le choix de la convention de charge du condensateur équivalent.
↑ C'est aussi l'intensité de charge du 3ème condensateur.
↑ Cela résulte de que l'on dérive temporellement, avec choix de convention de charge pour chaque condensateur.
↑ L'instant initial étant, ici, n'importe quel instant post-équilibre de la batterie des trois condensateurs précédents.
↑ L'équilibre à envisager se réalisant dans un circuit non résistif, la continuité de la charge et de la tension aux bornes de chaque condensateur n'est donc pas applicable.
↑ L'instant précédant la fermeture de l'interrupteur étant noté .
↑ L'instant de fermeture de l'interrupteur étant noté .
↑ L'intensité du courant de décharge dans les fils étant infinie, ce n'est donc pas une situation réelle, et pour revenir à un cas réel, il faudrait tenir compte de la résistance des fils de connexion, le temps de décharge serait alors très petit mais non nul et, par suite, l'intensité très grande mais non infinie ; pour la pratique, cela ne changerait pas grand chose au fait que les fils fondraient, mais ici on reste dans la théorie avec des fils qui ne fondent jamais.
↑ 69,0 et 69,1 L'instant postérieur à la fermeture de l'interrupteur à partir duquel un nouvel équilibre instantané s'est établi étant noté .
↑ Par exemple ou ceux qui relient le conducteur ohmique de résistance ou la source de tension .
↑ On a fait un changement d'origine des temps en posant où est la durée pratique nécessaire pour que le 1er équilibre sans ajout du 4ème condensateur soit réalisé, durée pouvant être estimée à .
↑ Cet ensemble d'armatures étant isolé du reste par les isolants de chaque condensateur parfait.
↑ Ici on prend la convention de décharge car celle-ci conduit à une intensité de courant positive compte tenu de , la valeur de la tension initiale précédemment obtenue aux bornes du conducteur ohmique de résistance .