Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon

Leçons de niveau 14
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Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon
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Exercices no26
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Circuits électriques dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle
Exo suiv. :Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon
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Résistance de fuite d'un condensateur[modifier | modifier le wikicode]

     On charge un condensateur de capacité sous , puis

     on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance équivalente .

Décharge du condensateur à travers le voltmètre[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant le condensateur comme parfait, déterminer sachant qu'après minutes, le voltmètre indique une différence de potentiel de .

     Si le condensateur possède une résistance de fuite , quelle relation doit-elle vérifier pour que le condensateur puisse être considéré comme parfait dans l'expérience précédente ?

Décharge du condensateur à travers sa résistance de fuite[modifier | modifier le wikicode]

     En fait la condition précédente n'est pas vérifiée car le condensateur présente une résistance de fuite de même ordre de grandeur que .

     Pour mesurer , nous isolons le condensateur après l'avoir rechargé sous et minutes après, nous branchons le voltmètre à ses bornes pendant un court instant. Nous mesurons alors une différence de potentiel de .

     Déterminer et .

Condition pour que l'intensité du courant délivré par un générateur dans un circuit parallèle soit constante dès la fermeture de l'interrupteur[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un « série » en sur un « série » soumis à un échelon de tension d'amplitude , réponse en intensité délivrée par la source

     On relie, par l'intermédiaire d'un interrupteur , un générateur de tension sans résistance interne et de f.e.m. à deux circuits montés en ,

  • l'un, composé d'un condensateur parfait de capacité et d'un conducteur ohmique de résistance et
  • l'autre, d'une bobine parfaite d'auto-inductance et d'un conducteur ohmique de résistance  ;

     initialement le condensateur étant déchargé et la bobine n'étant traversée par aucun courant, on ferme l'interrupteur à [10] voir schéma ci-contre.

Détermination de l'intensité du courant délivré par le générateur[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer les intensités et des courants traversant respectivement les dipôles « série » et « série » ;

     en déduire , l'intensité du courant délivré par la source.


Détermination de la condition pour que l'intensité du courant délivré par le générateur soit constante[modifier | modifier le wikicode]

     Quelle doit être la condition sur , , et pour que l'intensité du courant délivré par le générateur soit constante ?

Établissement d'un équilibre électrique entre un condensateur chargé et un déchargé[modifier | modifier le wikicode]

     On charge un condensateur de capacité sous la tension , et on relie ce condensateur ainsi chargé, puis isolé de la source de tension de charge, à un condensateur de capacité , initialement neutre, par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance .

Détermination des charges instantanées des condensateurs[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer les charges et des deux condensateurs et

     en déduire l'intensité du courant circulant dans le circuit.

Détermination directe de l'intensité du courant[modifier | modifier le wikicode]

     Reprendre l'exercice en déterminant directement l'intensité du courant circulant dans le circuit[32].

Oscillations de relaxation d'une lampe au néon[modifier | modifier le wikicode]

Circuit d'oscillations de relaxation d'une lampe au néon de tension d'allumage , de tension d'extinction et de résistance dynamique générées par la charge et la décharge d'un condensateur de capacité soumis, à travers un conducteur ohmique de résistance , à un échelon de tension d'amplitude

     Notions préliminaires sur une lampe au néon :

  • une ampoule au néon ne s'allume que si la tension à laquelle elle est soumise est à sa tension d'allumage , soit «», la lampe allumée étant alors équivalente à une résistance dynamique  ;
  • l'ampoule au néon ne s'éteint que si la tension à laquelle elle est soumise devient à sa tension d'extinction , soit «», la lampe éteinte étant équivalente à un interrupteur ouvert[36].

     On considère le circuit ci-contre dans lequel on ferme l'interrupteur à [37], le condensateur étant déchargé pour .

Étude d'une 1ère phase de fonctionnement de la lampe et condition sur E pour qu'elle s'allume[modifier | modifier le wikicode]

     À la lampe étant éteinte, le condensateur se charge alors à travers le conducteur ohmique de résistance  ;
     À la lampe étant éteinte, déterminer la loi de variation de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
     À la lampe étant éteinte, déterminer la loi de variation de la tension dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte ;

     À la lampe étant éteinte, en déduire une condition sur l'amplitude de l'échelon de tension pour que la lampe s'allume à la fin de cette phase et
     À la lampe étant éteinte, dans l'hypothèse où cette condition est réalisée, déterminer la durée de cette 1ère phase.

Étude d'une 2ème phase de fonctionnement de la lampe et choix de (E, R) pour qu'elle s'éteigne[modifier | modifier le wikicode]

     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 2ème phase et pour cela on fait un changement d'origine des temps  ;

     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, faire un schéma équivalent correspondant à la lampe au néon allumée et

     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, déterminer la loi de variation de la tension en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste allumée[41] ;

     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, en déduire une condition sur le choix de pour que la lampe s'éteigne et
     La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, dans l'hypothèse où cette condition est réalisée, déterminer la durée de cette 2ème phase.

Étude d'une 3ème phase de fonctionnement de la lampe et durée de cette 3ème phase[modifier | modifier le wikicode]

     La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 3sup>ème phase et pour cela on fait un nouveau changement d'origine des temps définissant  ;

     La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, déterminer la loi de variation de la tension en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte puis

     La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, déterminer la durée de cette 3ème phase.

Oscillations de relaxation de la lampe au néon et explicitation de leur période[modifier | modifier le wikicode]

     La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase on observe, après une 1ère phase d'initiation,
     La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase on observe, une succession périodique de 2ème et 3ème phases[48] ;

     La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase déduire de ce qui précède la période des oscillations de relaxation de la lampe au néon et

     La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase tracer l'allure du graphe de la tension avec les valeurs numériques ci-dessous :

     La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase A.N.[49] : , , , , et .

Application numérique[modifier | modifier le wikicode]

     Calculer la période avec les valeurs numériques du paragraphe précédent : , , , , et .

Changement d'état d'un circuit avec condensateurs parfaits[modifier | modifier le wikicode]

Charge et intensité du courant de charge de chaque condensateur d'une batterie « série et parallèle »[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'une batterie de condensateurs parfaits initialement déchargés en charge, à travers un conducteur ohmique de résistance , sous une tension

     À la date , on établit la tension dans le circuit ci-contre, les condensateurs étant initialement déchargés ;

     exprimer les charges instantanées des divers condensateurs en fonction du temps. puis

     en déduire, également en fonction du temps, les intensités instantanées de chaque courant de charge de ces condensateurs.

     Propriété préliminaire pour simplifier la résolution[51] : association de deux condensateurs parfaits de capacité et
           Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente [52] ;
           Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : association série de deux condensateurs parfaits de capacité et
           Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente [53]





Ajout d'un condensateur initialement chargé[modifier | modifier le wikicode]

Ajout d'un condensateur chargé sous une tension en sur le dernier condensateur de la batterie de condensateurs précédente initialement en équilibre sous la tension

     Une fois l'équilibre atteint, on branche entre et , par l'intermédiaire d'un interrupteur initialement[64] ouvert voir schéma ci-contre un condensateur de capacité , préalablement chargé sous la tension et on ferme l'interrupteur.

Établissement d'un équilibre quasi-instantané[modifier | modifier le wikicode]

     Montrer qu'immédiatement après fermeture de l'interrupteur , il s'établit un 1er équilibre quasi-instantané entre les quatre condensateurs, équilibre que l'on qualifiera de local dans la mesure où il se réalise sans circulation de courant dans la résistance [65] et

     déterminer les valeurs des charges des divers condensateurs après l'établissement de cet équilibre local quasi-instantané l'instant de fin d'établissement de cet équilibre local sera noté  ;

     quel risque encourent les fils de connexion ?



Évolution ultérieure[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer l'évolution ultérieure du système intensités instantanées des courants de charge ainsi que charges instantanées des divers condensateurs en fonction du temps et

     préciser son état final charge de chaque condensateur ainsi que tension à leurs bornes.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 et 1,2 Bien sûr il faut ajouter les schémas des circuits en définissant, sur ces derniers, toutes les grandeurs électriques introduites.
  2. Sens choisi tel que .
  3. De façon à avoir .
  4. J'insiste : il est impératif de faire un schéma.
  5. 5,0 5,1 et 5,2 Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. 6,0 6,1 6,2 et 6,3 Voir le paragraphe « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  7. Instant d'isolement du condensateur de sa source de charge, le voltmètre étant déjà en sur le condensateur pendant la charge, reste seul branché quand on retire la source de charge.
  8. En admettant que «», on travaille alors à près.
  9. Continuité de dans un circuit réel à l'instant de branchement du voltmètre, voir le paragraphe « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  10. Ainsi on impose aux deux circuits montés en un échelon de tension d'amplitude .
  11. C'est donc une source de tension parfaite.
  12. À retrouver en dérivant l'équation de maille par rapport au temps et en divisant par pour normaliser, voir le paragraphe « équation différentielle en intensité de courant traversant le condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  13. Pour l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre est homogène, le 2nd membre étant nul, étant le pic de Dirac d'impulsion unité, voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
       Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
       Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique connu sous le nom de mécanique ondulatoire ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en et connue sous le nom chat de Schrödinger.
       Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène.
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
       Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français du XXème siècle qui reçut, pour le développement de sa théorie des distributions, la médaille Fields en .
  14. Par circuit à dans lequel on utilise la continuité de la tension aux bornes du condensateur dans ce circuit réel à l'instant , et comme le condensateur était initialement déchargé, il le reste encore à l'instant , on peut donc, à cet instant, remplacer le condensateur par un court-circuit le circuit à doit être tracé effectivement on retrouve aux bornes de d'où le résultat de par loi d'Ohm.
  15. À retrouver en écrivant l'équation de maille et en divisant par pour normaliser, voir le paragraphe « équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine d'un R L série soumis à un échelon de tension » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  16. Pour l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre est hétérogène à excitation constante, le 2nd membre valant , étant l'échelon unité ou fonction d'Heaviside, voir le paragraphe « échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
       Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom encore appelée échelon ou marche utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
  17. 17,0 17,1 17,2 17,3 17,4 17,5 et 17,6 Voir les paragraphes « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène », « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » et « 1er ordre à excitation constante » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  18. En effet il y a continuité de l'intensité du courant traversant une bobine dans un circuit réel à l'instant voir le paragraphe « continuité de la tension aux bornes d'une bobine parfaite dans un circuit résistif » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », et comme celle-ci était initialement nulle, elle l'est encore à l'instant l'instant .
  19. On observe que la discontinuité de 1ère espèce de voir le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'intensité du courant traversant le condensateur à l'instant , se reporte sur , l'intensité du courant traversant la bobine étant continue à ce même instant.
  20. La 1ère condition est nécessaire pour que l'égalité soit réalisée pour tout car les exponentielles varient différemment suivant ce paramètre et
       la 2ème condition est nécessairepour que l'égalité soit aussi réalisée à l'instant .
  21. 21,0 21,1 et 21,2 Condition Nécessaire.
  22. 22,0 22,1 et 22,2 Voir le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  23. Voir le paragraphe « notion de circuit réel et propriété de la puissance instantanée électrique fournie par les générateurs d'un circuit réel » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  24. 24,0 et 24,1 Car la charge d'un condensateur est égale à la tension à ses bornes divisée par la capacité de ce dernier et la tension aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif est toujours continue voir le paragraphe « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  25. Le sens de arrivant sur l'armature portant la charge , voir le paragraphe « symbole d'un condensateur parfait » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  26. Le sens de partant de l'armature portant la charge , ceci correspondant à la convention de décharge de, voir le paragraphe « modification avec le choix de la convention générateur » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  27. ayant la même homogénéité que et , peut être qualifiée de « capacité de condensateur équivalent à l'association envisagée ».
  28. C.-à-d. la constante de temps du circuit série ou .
  29. C.-à-d. la constante de temps du circuit série ou .
  30. 30,00 30,01 30,02 30,03 30,04 30,05 30,06 30,07 30,08 30,09 et 30,10 Condition initiale.
  31. Ou prendre l'opposé de la dérivée temporelle de .
  32. Directement c'est-à-dire sans chercher à expliciter au préalable les charges instantanées de l'un ou l'autre des deux condensateurs en fonction du temps mais on déterminant l'équation différentielle en puis en la résolvant.
  33. Résultant de la continuité de la tension aux bornes des condensateurs dans un circuit réel voir le paragraphe « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », soit :
    • le condensateur de capacité étant initialement chargé sous tension , peut être remplacé, dans le circuit à , par une source de tension parfaite de f.e.m. ,
    • le condensateur de capacité étant initialement déchargé, peut être remplacé, dans le circuit à , par un court-circuit.
  34. Georg Simon Ohm (1789 - 1854) physicien allemand essentiellement connu pour sa découverte de la loi qui porte maintenant son nom.
  35. Car il n'y a pas à déterminer les charges instantanées des condensateurs.
  36. La résistance dynamique de la lampe est alors infinie.
  37. On impose donc au réseau dipolaire passif « conducteur ohmique de résistance en série avec l'association du condensateur de capacité et de l'ampoule au néon » un échelon de tension d'amplitude
  38. S'obtenant par loi de maille avec utilisation de , le sens du courant traversant le condensateur de capacité correspondant à la convention récepteur associée à .
  39. Dès que franchit ce seuil la lampe s'allume.
  40. 40,0 et 40,1 Utilisé sous la forme équivalente « pour toute application continue et tout réel compris entre et , il existe au moins un réel tel que ».
  41. Pour simplifier l'étude, il est intéressant de permuter les positions du condensateur et de la lampe au néon allumée dans le but de modéliser le R.D.L.A. aux bornes du condensateur
  42. Pont Diviseur de Tension.
  43. 43,0 43,1 43,2 et 43,3 Léon Charles Thévenin (1857 - 1926) ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « théorème portant son nom » énoncé en .
  44. 44,0 et 44,1 Voir le paragraphe « générateur de Thévenin équivalent au réseau dipolaire “pont diviseur de tension alimenté en entrée par uE(t) et vu des bornes de sortie” » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  45. Seule condition à retenir car plus stricte que la précédente «».
  46. Voir la solution de la question « étude d'une 1ère phase de fonctionnement de la lampe et condition sur E pour qu'elle s'allume » plus haut dans cet exercice.
  47. La lampe au néon s'allume effectivement une nouvelle fois car est une fonction continue de jusqu'à s'écrit «» et, par théorème des valeurs intermédiaires plus exactement l'énoncé équivalent rappelé dans la note « 40 » plus haut dans cet exercice, peut donc prendre la valeur comprise entre et .
  48. Cette succession constitue des oscillations de relaxation, c'est-à-dire des oscillations obtenues par augmentation continue d'une contrainte, puis relâchement subi de celle-ci ; si vous voulez observer une animation d'oscillations de relaxation d'une lampe au néon vous pouvez vous rendre sur le site https://phyanim.sciences.univ-nantes.fr/Elec/Transitoire/neon_FJ.php
  49. Application Numérique.
  50. Voir les valeurs numériques de et dans la solution de la question « oscillations de relaxation de la lampe au néon et explicitation de leur période » plus haut dans cet exercice.
  51. La propriété précise qu'une association ou série de condensateurs parfaits initialement non chargés est équivalente à un condensateur parfait ainsi que la valeur de la capacité équivalente relativement aux valeurs de chaque capacité.
  52. 52,0 52,1 52,2 52,3 et 52,4 La tension instantanée commune aux bornes des deux condensateurs parfaits étant avec pour charges instantanées respectives de chaque condensateur et , on définit la charge instantanée de l'association des deux condensateurs par et
       cette association est équivalente à un condensateur parfait si avec un cœfficient de proportionnalité positif définissant la capacité équivalente ;
       on trouve ainsi d'où .
  53. Dans la mesure où l'association série des deux condensateurs est formée à partir de deux condensateurs non chargés, l'armature inférieure du 1er condensateur et l'armature supérieure du 2ème étant reliée par un simple fil de connexion portent nécessairement des charges instantanées opposées quand les condensateurs sont devenus chargés ainsi, appelant la charge instantanée de l'armature supérieure du 1er condensateur, la charge instantanée de son armature inférieure étant alors et celle de l'armature supérieure du 2ème condensateur car opposée à la précédente, celle de son armature inférieure étant  ; la tension instantanée aux bornes du 1er condensateur parfait étant et celle aux bornes du 2ème condensateur parfait , on définit la charge instantanée de l'association série des deux condensateurs par , la tension instantanée aux bornes de cette association série étant  ;
       cette association série est équivalente à un condensateur parfait si avec un cœfficient de proportionnalité positif définissant l'inverse de la capacité équivalente ;
       on trouve ainsi d'où donnant aisément .
  54. 54,0 et 54,1 Car des condensateurs parfaits montés en série et initialement déchargés ont la même charge instantanée, laquelle définit la charge instantanée de l'association série.
  55. Correspondant à deux condensateurs de même capacité soumis à la même tension.
  56. Il convient de tracer le schéma du circuit équivalent.
  57. Obtenue par loi de maille avec la convention de charge du condensateur , voir le paragraphe « équation différentielle en tension aux bornes du condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », l'équation différentielle en la charge instantanée du condensateur découlant du lien de cette dernière avec la tension instantanée aux bornes du condensateur «».
  58. Pour l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre est hétérogène à excitation constante, le 2nd membre valant , étant l'échelon unité ou fonction d'Heaviside, voir le paragraphe « échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
       Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom encore appelée échelon ou marche utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
  59. Voir le paragraphe « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la continuité de la charge instantanée du condensateur dans un circuit résistif découlant du lien de cette dernière avec la tension instantanée aux bornes du condensateur «».
  60. Il s'agit de la charge du condensateur équivalent mais aussi de la charge du 3ème condensateur.
  61. On rappelle le choix de la convention de charge du condensateur équivalent.
  62. C'est aussi l'intensité de charge du 3ème condensateur.
  63. Cela résulte de que l'on dérive temporellement, avec choix de convention de charge pour chaque condensateur.
  64. L'instant initial étant, ici, n'importe quel instant post-équilibre de la batterie des trois condensateurs précédents.
  65. L'équilibre à envisager se réalisant dans un circuit non résistif, la continuité de la charge et de la tension aux bornes de chaque condensateur n'est donc pas applicable.
  66. L'instant précédant la fermeture de l'interrupteur étant noté .
  67. L'instant de fermeture de l'interrupteur étant noté .
  68. L'intensité du courant de décharge dans les fils étant infinie, ce n'est donc pas une situation réelle, et pour revenir à un cas réel, il faudrait tenir compte de la résistance des fils de connexion, le temps de décharge serait alors très petit mais non nul et, par suite, l'intensité très grande mais non infinie ; pour la pratique, cela ne changerait pas grand chose au fait que les fils fondraient, mais ici on reste dans la théorie avec des fils qui ne fondent jamais.
  69. 69,0 et 69,1 L'instant postérieur à la fermeture de l'interrupteur à partir duquel un nouvel équilibre instantané s'est établi étant noté .
  70. Par exemple ou ceux qui relient le conducteur ohmique de résistance ou la source de tension .
  71. 71,0 71,1 71,2 et 71,3 C.-à-d. définie à l'instant .
  72. 72,0 72,1 72,2 et 72,3 En notant .
  73. On a fait un changement d'origine des temps en posant est la durée pratique nécessaire pour que le 1er équilibre sans ajout du 4ème condensateur soit réalisé, durée pouvant être estimée à .
  74. Cet ensemble d'armatures étant isolé du reste par les isolants de chaque condensateur parfait.
  75. Ici on prend la convention de décharge car celle-ci conduit à une intensité de courant positive compte tenu de , la valeur de la tension initiale précédemment obtenue aux bornes du conducteur ohmique de résistance .