Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

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Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
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Chapitre no 7
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Propagation d'un signal : Battements
Chap. suiv. :Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
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Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
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Observation stroboscopique d'une onde stationnaire sur une corde de Melde[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental de l'observation d'ondes stationnaires par expérience de corde de Melde [1]

     La corde de Melde [1] est une corde usuellement « horizontale » [2] tendue, longue de à , dont une de ses extrémités est reliée à un vibreur électrique alimenté par un « générateur B.F. [3] » [4] et dont l'autre extrémité est fixe ou, après passage dans la gorge d'une poulie, retient un objet en suspension dans l'air, le poids de l'objet « créant la tension de la corde et étant suffisant pour que l'on puisse considérer que le point de contact de la corde sur la poulie reste fixe » [5] ;

     cette expérience initiée par le physicien allemand « Franz Melde » [1] dans le « courant du XIXème siècle » a mis en évidence l'existence d'ondes stationnaires produites sur une corde de Melde [1] c.-à-d. tendue et reliée à un vibreur électrique.

     Pour une longueur de corde ni « trop longue » [6] ni « trop courte » [7], on a superposition de l'onde incidente créée par le vibreur « se propageant de la gauche vers la droite » et d'une 1ère onde « réfléchie sur la poulie quasi-fixe » « se propageant de la droite vers la gauche » [8].

     On observe, en éclairage normal voir ci-dessous :

  • des points de la corde ne vibrant pas appelés nœuds de vibration et
  • entre ces points, des fuseaux de vibration correspondant à des points vibrant en phase avec une amplitude de vibration plus ou moins grande,
  • les points ayant une amplitude de vibration maximale appelés ventres de vibration étant au milieu des fuseaux.
Observation d'ondes stationnaires en éclairage normal sur corde de Melde [1]

     En éclairage stroboscopique avec une fréquence égale à celle du vibreur voir ci-dessous, on voit la corde « apparemment immobile » et quand on choisit une fréquence voisine de celle du vibreur, on perçoit alors la corde en mouvement apparent très lent ; on constate que :

  • les points d'un même fuseau vibrent en phase alors que,
  • les points situés de part et d'autre d'un nœud vibrent en opposition de phase ;
Observation d'ondes stationnaires en éclairage stroboscopique sur corde de Melde [1]

     ces dernières propriétés justifient le qualificatif « stationnaire » donné à l'onde car la phase s'écrit ne dépend pas explicitement de[9] contrairement à une onde « progressive » où la phase est avec .

Caractérisation d'une onde sinusoïdale stationnaire par l'absence de propagation, notion de nœuds et de ventres[modifier | modifier le wikicode]

     Comme on l'a vu au paragraphe « observation stroboscopique d'une onde stationnaire sur une corde de Melde » plus haut dans ce chapitre
     Comme on l'a vu au paragraphe « une onde sinusoïdale est stationnaire si la phase s'écrit avec ne contenant pas le terme caractéristique d'une propagation ».

Définition d'une onde sinusoïdale stationnaire dans un milieu unidimensionnel (linéaire)[modifier | modifier le wikicode]

Détermination de la position des nœuds[modifier | modifier le wikicode]

     « Chaque nœud est caractérisé par », c.-à-d. « » soit,
     « Chaque nœud est caractérisé en utilisant et après quelques simplifications élémentaires, par «» ; on en déduit donc que :

Détermination de la position des ventres[modifier | modifier le wikicode]

     « Chaque ventre est caractérisé par », c.-à-d. « » soit,
     « Chaque ventre est caractérisé en utilisant et après quelques simplifications élémentaires, par «» ; on en déduit donc que :

Établissement de la propriété de phase des points d'un même fuseau[modifier | modifier le wikicode]

     Les points situés entre les nœuds et , sont d'abscisses telles que ou, en explicitant les abscisses des nœuds,
     Les points situés entre les nœuds et , sont d'abscisses telles que avec ,
     Les points situés entre les nœuds et , sont d'abscisses telles que d'où le « signe de selon la parité de » :

  • « si est impair », est , l'« amplitude de vibration du point s'écrit alors » et
    « si est impair », est , la « phase initiale étant pour tous les points de cet intervalle », les points de ce fuseau vibrent tous en phase ;
  • « si est pair ou nul », est , l'« amplitude de vibration du point s'écrit alors » et
    « si est pair ou nul », est , la « phase initiale étant pour tous les points de cet intervalle égale à » [14], les points de ce fuseau vibrent tous en phase.

Établissement de la propriété d'opposition de phase des points de part et d'autre d'un même nœud[modifier | modifier le wikicode]

     Les points situés de part et d'autre du nœud , , sont d'abscisses telles que ou, en explicitant les abscisses des nœuds,
     Les points situés de part et d'autre du nœud , , sont d'abscisses telles que avec ,
     Les points situés de part et d'autre du nœud , , sont d'abscisses telles que « lors du passage du 1er encadrement au 2nd un changement de signe de , le signe de ce derneir dépendant de la parité de » :

  • « si est impair », les « points situés à droite du nœud étant tels que est , vibrent en phase entre eux avec une phase initiale » et
    « si est impair », les « points situés à gauche du nœud étant tels que est , vibrent en phase entre eux avec une phase initiale » [14] soit
    « si est impair », les « points situés à gauche du nœud étant tels que est , vibrent en opposition de phase avec les précédents ;
  • « si est pair ou nul », les « points situés à droite du nœud étant tels que est , vibrent en phase entre eux avec une phase initiale » [14] et
    « si est pair ou nul », les « points situés à gauche du nœud étant tels que est , vibrent en phase entre eux avec une phase initiale » soit
    « si est pair ou nul », les « points situés à gauche du nœud étant tels que est , vibrent en opposition de phase avec les précédents.

Interprétation par superposition d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité supposée fixe[modifier | modifier le wikicode]

Schéma explicatif pour traiter la superposition, sur une corde de Melde [1], d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité fixe

     On considère une onde incidente progressive sinusoïdale de fréquence et d'amplitude créée par le vibreur en , correspondant à
     On considère une « élongation transversale » [15], se propageant dans le sens des avec un « vecteur d'onde est la pulsation spatiale » et étant respectivement la célérité de propagation et la longueur d'onde de l'onde incidente d'où
     On considère l'« expression de l'onde incidente au point d'abscisse et à l'instant , » ;

     arrivant en d'abscisse , l'« onde incidente n'étant pas identiquement nulle se réfléchit » de façon à ce que l'onde résultante en le soit c.-à-d.
     arrivant en d'abscisse , « il se crée, en , une perturbation réfléchie », perturbation qui se propage dans le sens des [16] avec un « vecteur d'onde est la même pulsation spatiale » ;
     arrivant en d'abscisse , on en déduit l'« expression de l'onde réfléchie au point à l'instant , [17] soit encore
     arrivant en d'abscisse , on en déduit l'« expression de l'onde réfléchie au point à l'instant , » ;

     l'« onde résultante en d'abscisse et à la date s'écrivant », peut être obtenue par emploi des formules de trigonométrie,
     l'« onde résultante en d'abscisse et à la date s'écrivant », peut être obtenue par construction d'un diagramme de Fresnel [18] à l'instant [19] ou
     l'« onde résultante en d'abscisse et à la date s'écrivant », peut être obtenue par somme d'amplitudes complexes des grandeurs instantanées complexes [20].

Détermination de l'onde résultante par emploi des formules de trigonométrie[modifier | modifier le wikicode]

     L'« onde résultante en d'abscisse et à la date s'écrivant » se transforme en utilisant la formule de trigonométrie transformant une différence de cosinus en un produit de sinus «» [21] selon
     L'« onde résultante en d'abscisse et à la date s'écrivant et
     finalement l'expression de l'onde résultante en d'abscisse et à la date peut être réécrite sous forme d'une onde stationnaire selon

«» [22] ;

     on reconnaît une onde stationnaire sinusoïdale «» et on peut préciser les trois constantes , et en utilisant la « formule de trigonométrie » la réécriture du signal résultant selon «» s'identifiant effectivement à

«»
avec «»,                      
                                                «» indépendant de et
                                 «» indépendant de .

Détermination de l'onde résultante par utilisation des amplitudes complexes associées aux grandeurs instantanées complexes[modifier | modifier le wikicode]

     À l'« onde incidente progressive sinusoïdale » on associe la « grandeur instantanée complexe incidente [23]
     À l'« onde incidente progressive sinusoïdale » on associe la « grandeur instantanée complexe incidente » avec
     À l'« onde incidente progressive sinusoïdale » on associe l'« amplitude complexe incidente [24] égale à » ; de même

     à l'« onde réfléchie » on associe la « grandeur instantanée complexe réfléchie [23]
     à l'« onde réfléchie » on associe la « grandeur instantanée complexe réfléchie » avec
     à l'« onde réfléchie » on associe l'« amplitude complexe réfléchie [24] égale à » ;

     à l'« onde résultante » on associe la « grandeur instantanée complexe
     à l'« onde résultante » on associe la « grandeur instantanée complexe » avec
     à l'« onde résultante » on associe l'« amplitude complexe résultante » [25]
     à l'« onde résultante » on associe l'« amplitude complexe résultante [26] ou
     à l'« onde résultante » on associe l'« amplitude complexe résultante » en transformant la somme des termes entre crochets par utilisation de la « formule d'Euler [27] relative au sinus » [28] d'où finalement
     à l'« onde résultante » on associe l'« amplitude complexe résultante » [29] la réécriture de

     à l'« onde résultante » on associe la « grandeur instantanée complexe résultante
     à l'« onde résultante » on associe la « grandeur instantanée complexe résultante » d'où
     à l'« onde résultante » on associe l'« onde résultante » [30] qui peut être réécrite
     à l'« onde résultante » on associe l'onde résultante «» [31].

Détermination de l'onde résultante par diagramme de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

Diagramme de Fresnel [18] résolvant la superposition [32], sur une corde de Melde [1], d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité fixe

     On représente le « vecteur de Fresnel [18] associé à l'onde incidente au point et à l'instant [32] » de norme et faisant l'angle avec l'axe de référence voir ci-contre et
     On représente le « vecteur de Fresnel [18] associé à l'onde réfléchie au point et à l'instant [32] » de norme , faisant l'angle avec le même axe de référence  voir ci-contre ;

     construisant la somme de ces deux vecteurs de Fresnel [18] par « règle du parallélogramme » [33] on obtient le « vecteur de Fresnel [18] au point et à l'instant associé à l'onde résultante, » si la détermination principale de la détermination principale de  :

  • faisant l'angle « avec si la détermination principale de est aigüe voir ci-contre[34] » et
    faisant l'angle « avec si la détermination principale de est obtuse » [35],
  • la norme se déterminant par [36] soit finalement «» ;

     dans les deux cas considérés le signal résultant peut être écrit «» ou, en remplaçant et par leurs expressions
     dans les deux cas considérés le signal résultant peut être écrit «» [37].

Conditions de résonance de l'onde stationnaire sinusoïdale, modes propres associés, lien entre fréquences propres, célérité et longueur de la corde[modifier | modifier le wikicode]

Observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée[modifier | modifier le wikicode]

     Dans la mesure où le point de contact de la corde avec la poulie peut être considéré comme fixe, la « tension de la corde est égale au poids de l'objet de masse suspendu à la corde » ou encore «» : par exemple une masse avec correspond à une « tension » ;
     si on utilise une corde de masse linéique [38] par exemple une corde en nylon , on démontre [39] que la célérité de propagation des ondes sur cette corde ne dépend que de la masse linéique et de la tension de la corde selon «» [40] et ainsi, pour une tension de corde fixée, la célérité l'est aussi :
     avec les valeurs précédentes on trouve «».

Vibrations d'une corde de Melde [1] dans ses modes propres associés à ses fréquences propres [41]

     Réglant une longueur de corde entre le vibreur et la poulie, par exemple , et faisant croître la fréquence de vibration, on observe successivement :

  • à partir de des ondes stationnaires sinusoïdales à un fuseau avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » [42] pour «» puis qui avec « estompage » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • aux alentours de un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales à deux fuseaux s'installe avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour «» puis qui avec « évaporation » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • aux alentours de de nouveau un système d'ondes stationnaires sinusoïdales mais à trois fuseaux apparaît avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour «» puis qui avec « assèchement » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • aux alentours de un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales à quatre fuseaux se révèle avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour «» puis qui avec « tarissement » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • etc on observe ainsi l'apparition d'un phénomène de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales à un nombre de plus en plus grand de fuseaux pour des fréquences de plus en plus grandes par exemple une résonance des ondes stationnaires sinusoïdales à fuseaux avec pour une fréquence «» ;

     toutes ces fréquences correspondent aux « fréquences propres » [41] de vibration de la corde, la forme correspondante de cette dernière pour une fréquence propre [41] donnée définissant le « mode propre » de vibration associé à cette fréquence propre [41].

Interprétation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées pour des fréquences particulières[modifier | modifier le wikicode]

     Le vibreur crée une onde progressive sinusoïdale « incidente » se propageant dans le sens des , qui se réfléchit sur la poulie engendrant
     Le vibreur crée une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » se propageant dans le sens des [16], onde réfléchie considérée de même amplitude que l'onde incidente ;
     la superposition de ces deux ondes et à l'exclusion de toutes autres donne un système d'ondes stationnaires sinusoïdales dont l'amplitude de vibration aux ventres est[43] avec amplitude de vibration du vibreur [44] ;

     s'il n'y avait que ces deux ondes il serait impossible d'expliquer le phénomène de résonance du système d'ondes stationnaires sinusoïdales mais, en pratique, les réflexions se poursuivant à chaque extrémité [45], il y a théoriquement un nombre infini d'ondes se superposant chaque onde étant supposée de même amplitude [46]

     Avec une 1ère réflexion sur le vibreur et une 2nde sur la poulie : l'onde « réfléchie » sur la poulie se réfléchit en arrivant sur le vibreur donnant une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » se propageant dans le sens des [47], déphasée par rapport à l'onde « incidente » de la quantité «» [48],
     Avec une 1ère réflexion sur le vibreur et une 2nde sur la poulie : cette dernière onde se réfléchissant à son tour sur la poulie en une onde se propageant dans le sens des [49], déphasée par rapport à la 1ère onde réfléchie sur la poulie de «» [50] ;
     Avec une 1ère réflexion sur le vibreur et une 2nde sur la poulie : la superposition de ces deux ondes et donne un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdalesdont l'amplitude de vibration aux ventres est en absence d'amortissement avec amplitude de vibration du vibreur mais,

     Avec une 1ère réflexion sur le vibreur et une 2nde sur la poulie : le système d'ondes stationnaires sinusoïdales étant « déphasé relativement au précédent de » [51], la superposition de ces deux systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales et , bien que correspondant aux « mêmes positions de ventres et de nœuds » [52], ne donne des interférences constructives que pour des valeurs particulières du déphasage c.-à-d. pour des valeurs particulières de fréquence du vibreur puis

     avec une 2ème réflexion sur le vibreur et une 3ème sur la poulie, la 2nde onde « réfléchie » sur la poulie se réfléchit en arrivant sur le vibreur donnant une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » se propageant dans le sens des [53], déphasée par rapport à l'onde « incidente » de la quantité «» [54],
     avec une 2ème réflexion sur le vibreur et une 3ème sur la poulie, cette dernière onde se réfléchissant à son tour sur la poulie en une onde se propageant dans le sens des [55], déphasée par rapport à la 1ère onde réfléchie sur la poulie de «» [56] ;
     avec une 2ème réflexion sur le vibreur et une 3ème sur la poulie, la superposition de ces deux ondes et donne un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdalesdont l'amplitude de vibration aux ventres est en absence d'amortissement avec amplitude de vibration du vibreur mais,

     avec une 2ème réflexion sur le vibreur et une 3ème sur la poulie, le système d'ondes stationnaires sinusoïdales « déphasé par rapport aux précédents de » [57] la superposition de ces trois systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales, et , bien que correspondant aux « mêmes positions de ventres et de nœuds » [58], ne donne des interférences deux à deux constructives que pour des valeurs particulières des déphasages c.-à-d. pour des valeurs particulières de fréquence du vibreur et

     ainsi de suite à l'exception de valeurs particulières de la fréquence du vibreur, on observe des ondes stationnaires sinusoïdales d'amplitude aux ventres modérée [59] mais

     ainsi de suite pour ces valeurs particulières de fréquence du vibreur telles que les interférences entre les divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales sont deux à deux constructives [60], les amplitudes de vibration en un point donné s'ajoutent, donnant une amplitude de vibration aux ventres « très grande » [61] d'où un phénomène de résonance.

Conditions de résonance (c.-à-d. conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales)[modifier | modifier le wikicode]

     Un point de la corde vibrant selon le 1er système d'ondes stationnaires sinusoïdales avec «» [62] comme phase initiale,
     Un point de la corde vibrant selon le 2nd système d'ondes stationnaires sinusoïdales avec «» [63] comme phase initiale,
     Un point de la corde vibrant ,
     Un point de la corde vibrant selon le pème système d'ondes stationnaires sinusoïdales avec «» [64] comme phase initiale,

     on observera des interférences deux à deux constructives entre ces divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales
     on observera des interférences deux à deux constructives si le déphasage « mathématique » entre eux est un multiple de quel que soit le choix des systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales,
     on observera des interférences deux à deux constructives si le déphasage « mathématique » entre eux est un multiple de et, en choisissant les deux 1ers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales,
     on observera des interférences deux à deux constructives si «» [65] «» ou encore, avec «»,
     on observera des interférences deux à deux constructives si «» «» c.-à-d. si la différence de marche est un multiple de soit enfin,
     on observera des interférences deux à deux constructives si «» «» ;

     on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences constructives entre les systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales et soit
     on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences constructives «» [66], on constate,
     on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences constructives avec «», que
     on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences constructives entre les systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales et est réalisée si
  on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences construct. celle entre les systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales et l'est ;

     on observera des interférences deux à deux constructives finalement la condition d'interférences constructives entre les divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales s'écrit
     on observera des interférences deux à deux constructives finalement la condition d'interférences constructives «», ce que l'on interprète de la façon suivante :

     Les « longueurs d'onde pour lesquelles il y a résonance sont donc liées à la longueur de la corde selon » ce qui définit les longueurs d'onde de résonance et celles-ci étant liées à la fréquence selon « », on en déduit
     les « fréquences de vibration pour lesquelles il y a résonance » soit des « fréquences de résonance égales à » correspondant encore aux « fréquences propres de vibration de la corde [41] » ;

     ces « fréquences de résonance sont donc un multiple de la fréquence de résonance “ fondamentale ” » correspondant encore à la fréquence propre « fondamentale » [41] dans l'expérience du paragraphe « observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée » plus haut dans ce chapitre, à laquelle est associé le mode propre « fondamental » de la corde mode à un fuseau,
     ces « fréquences de résonance la « fréquence de résonance » correspondant aussi à une fréquence propre [41] étant associé au « mode propre de la corde à fuseaux » dans l'expérience du paragraphe « observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée » plus haut dans ce chapitre, on trouve , soit , , .

Caractérisation d'une résonance par quantification de la fréquence[modifier | modifier le wikicode]

     Dans l'étude de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales le long de la corde de Melde [1], on impose une excitation de fréquence variable et
         Dans l'étude de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales le long de la corde de Melde, on regarde la réponse de la corde de Melde [1], de tension et de longueur fixées, à cette excitation,
         Dans l'étude de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales le long de la corde de Melde, on regarde la réponse sous forme d'ondes stationnaires sinusoïdales de même fréquence que l'excitation ;
     Dans l'étude de résonance la réponse de la corde « entre en résonance » pour des fréquences excitatrices « quantifiées », les fréquences de résonancemultiples d'une fréquence,
     Dans l'étude de résonance la réponse de la corde « entre en résonance » pour caractéristique de la corde est appelée fréquence propre [41] « fondamentale » et égale à ,
     Dans l'étude de résonance la réponse de la corde « entre en résonance » pour cette dernière dépendant uniquement de la célérité de propagation le long de la corde et de sa longueur ;
     Dans l'étude de résonance les fréquences de résonance sont donc égales à , la nème valeur définissant la fréquence propre [41] « de rang» [67].

Décomposition en modes propres d'une vibration le long d'une corde fixée aux deux extrémités, application aux instruments de musique à cordes[modifier | modifier le wikicode]

     Nous considérons maintenant une corde tendue entre ses deux extrémités maintenues « fixes » [68] et
     Nous créons une « perturbation de courte durée » [69] par exemple au milieu de la corde ;

     nous admettrons que cette perturbation quelconque initie des ondes progressives sinusoïdales de « fréquence quelconque » [70],
     nous admettrons que chaque onde progressive initiée à une fréquence quelconque se propage vers une des extrémités fixes de la corde, s'y réfléchit pour donner une 1ère onde réfléchie se propageant dans l'autre sens [71], laquelle se réfléchit à son tour sur l'autre extrémité fixe pour donner une onde réfléchie se propageant dans le sens initial [71] etc
     nous admettrons que la superposition de ces ondes progressives synchrones de fréquence quelconque, de même amplitude [46], se propageant dans les deux sens, façonne des ondes stationnaires sinusoïdales de « fréquence quelconque » ;
     nous admettrons que parmi toutes ces ondes stationnaires sinusoïdales de « fréquence quelconque », seules celles respectant les C.A.L. [12] de nœuds d'élongation aux extrémités vont subsister

Recherche des ondes stationnaires libres, notion de fréquences propres et de modes propres[modifier | modifier le wikicode]

     Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. [12] de nœuds d'élongation vont subsister, c.-à-d. « seules les longueurs d'onde telles que persisteront » ou
         Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, c.-à-d. « seules les longueurs d'onde «»
           Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, ce qui correspond aux « fréquences liées aux longueurs d'onde par » soit
         Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, ce qui correspond aux « fréquences «» définissant les « fréquences propres de la corde fixée à ses deux extrémités », « étant la fréquence propre [72] fondamentale », « la fréquence propre [72] de rang» ;
           Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, le « mode de vibration » [73] de la corde pour une fréquence propre [72] fixée est appelé « mode propre » et le mode propre associé à la fréquence propre [72] de rang correspond à la présence de «fuseaux».

     Remarque : Nous avons obtenu la condition de quantification sur les fréquences propres en écrivant que la longueur de la corde est un multiple de , cette dernière étant la longueur d'un fuseau, nous nous proposons de retrouver cette condition à partir de la définition d'une onde stationnaire sinusoïdale en écrivant que les deux extrémités doivent être fixes :

     Remarque : Appelant l'extrémité de gauche d'abscisse et l'extrémité de droite d'abscisse , la corde étant orientée de vers ,

     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse subit l'oscillation stationnaire sinusoïdale » ;

     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse fixe se traduit par «», soit «» ou «» et

     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse fixe correspond à «», soit «» ou, en choisissant ,

     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse fixe correspond à «», soit «» soit «»
     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse fixe correspond à «», soit ce qui est réalisé pour les pulsations spatiales telles que
     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse fixe correspond à «», soit «» ou encore
     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse fixe correspond à «», soit «» soit,

     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse compte-tenu du lien entre pulsation spatiale et longueur d'onde ,
     Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse la condition de quantification de la longueur d'onde «» ainsi que
      Remarque : un « point quelconque de la corde d'abscisse la condition de quantifi celle de la fréquence temporelle déduite de , «» ;

     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point pour la « fréquence propre [72] de rang à savoir » à laquelle on associe
     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point pour la « pulsation temporelle propre » ainsi que
     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point pour la « pulsation spatiale propre » :
     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point «»,
     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point dépendant du choix de l'origine du temps et de l'énergie communiquée initialement.

Observation expérimentale[modifier | modifier le wikicode]

     Sans imposer d'autres conditions que celles des extrémités fixes, « on observe préférentiellement le mode propre à un fuseau pour la fréquence propre [72] » ;
     pour « observer le mode propre à deux fuseaux pour la fréquence propre [72] » il faut l'« initier avec un pincement de la corde [74] en son milieu », le resserrement initiant un nœud d'élongation,
     pour « observer le mode propre à trois fuseaux pour la fréquence propre [72] » on l'« initie avec un pincement de la corde [74] à son tiers », la compression initiant un nœud d'élongation,
     pour « observer le mode propre àfuseaux avec pour la fréquence propre [72] », on l'« initie avec un pincement de la corde [74] à la distanced'une de ses extrémités », le point de pincement initiant un nœud d'élongation

     Remarque : le fait de créer un pincement en un point fixé de la corde fait que ce point devient, sans autre perturbation parasite, un nœud d'élongation mais il existe plusieurs modes d'ondes stationnaires sinusoïdales correspondant à cette condition par exemple
     Remarque : si on pratique un pincement de la corde [74] à la distance d'une de ses extrémités, les modes respectant le fait que le point de pincement soit un nœud d'élongation sont les modes propres à fuseaux avec mais c'est le mode propre à fuseaux qui est principalement observé.

Exemple numérique[modifier | modifier le wikicode]

     Considérons une corde de guitare de masse volumique , de diamètre , de « longueur » et de « tension »,
     Considérons une corde de guitare la célérité de propagation des ondes nécessite de déterminer au préalable la « masse linéique de la corde [75] ou
     Considérons une corde de guitare la célérité de propagation des ondes nécessite de déterminer au préalable la « masse linéique de la corde » d'où
     Considérons une corde de guitare la célérité de propagation des ondes le long de la corde selon «» ;
     Considérons une corde de guitare on en déduit la « longueur d'onde du mode propre fondamental » [76] ainsi que
     Considérons une corde de guitare on en déduit la « fréquence propre [72] fondamentale » [77],
     Considérons une corde de guitare on en déduit les « autres fréquences propres étant des multiples de soit [78], [79], [80], [81] et ainsi de suite ».

Mouvement général de la corde[modifier | modifier le wikicode]

     La corde étant fixée à ses deux extrémités, elle oscillera en « ondes stationnaires correspondant à une superposition linéaire de ses modes propres d'oscillations »,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant « doublement périodique mais non sinusoïdale » [82] d'élongation transversale au point d'abscisse et à l'instant
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant «» avec «» «» ou,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, en fonction des « longueurs d'onde des modes propres » et des « fréquences propres [72] associées »,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant «» ou encore,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, en fonction des « longueur d'onde et fréquence fondamentales et du rang de chaque mode propre »,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant «»
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant explicitant le caractère « doublement périodique » du signal, « temporel » de fréquence et « spatial » de période [83] ;

     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant si , , le son devient alors plus grave et

     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant si , et , le son devient plus aigu.

Distinction entre oscillations libres et oscillations forcées (ou entretenues)[modifier | modifier le wikicode]

     En laissant osciller librement la corde tendue entre ses deux extrémités fixes après initiation par une perturbation de courte durée, on obtient des oscillations libres à une fréquence propre [72] de la corde ;

     en excitant de façon permanente la corde à une fréquence fixée [84], on obtient des oscillations forcées à la même fréquence que l'excitateur quelle que soit la fréquence avec
           en excitant de façon permanente la corde à une fréquence fixée, on obtient un phénomène de résonance quand la fréquence de l'excitateur est égale à une fréquence propre [72] de la corde.

Généralisation aux autres instruments de musique[modifier | modifier le wikicode]

     Parmi les instruments de musique on trouve essentiellement, en plus des instruments à cordes dont le principe est basé sur les oscillations libres d'une corde traitées dans le paragraphe « décomposition en modes propres d'une vibration le long d'une corde fixée aus deux extrémités, application aux instruments de musique à cordes » plus haut dans ce chapitre,

     Parmi les instruments de musique on trouve essentiellement, en plus des instruments de percussion dont le principe est fondé sur les vibrations obtenues quand un corps en frappe un autre, instruments que nous ne faisons qu'évoquer sans les traiter ci-après,

     Parmi les instruments de musique on trouve essentiellement, en plus des instruments à vent modélisés à l'aide d'un tuyau sonore dans lequel l'air vibre la grandeur vibrante à laquelle l'oreille humaine ou un microphone est sensible étant la surpression acoustique dont on se propose de rechercher, ci-après, les modes propres d'oscillations de l'air dans le tuyau sonore suivant que ses deux extrémités sont ouvertes ou qu'une seule de ses extrémités est ouverte.

Propriétés d'une extrémité d'un tuyau sonore suivant qu'elle est ouverte ou fermée[modifier | modifier le wikicode]

     Une extrémité ouverte correspond à un nœud de surpression acoustique [85], on admettra qu'à un nœud de surpression acoustique correspond un ventre de déplacement des tranches d'air c.-à-d. qu'une extrémité ouverte correspond à un maximum de déplacement des tranches d'air dans le tuyau ;

     une extrémité fermée correspond à un ventre de surpression acoustique [86], on admettra qu'à un ventre de surpression acoustique correspond un nœud de déplacement des tranches d'air c.-à-d. qu'une extrémité fermée correspond à une impossibilité de déplacement des tranches d'air dans le tuyau.

Les deux extrémités étant ouvertes (exemple des orgues)[modifier | modifier le wikicode]

     Les deux extrémités ouvertes correspondant chacune à un nœud de surpression acoustique problème équivalent à celui d'une corde tendue entre deux extrémités fixes,
     Les deux extrémités ouvertes les ondes stationnaires sinusoïdales dans le tuyau obéissant aux C.A.L. [12] sont telles que « la longueur du tuyau doit être un multiple de », d'où
     Les deux extrémités ouvertes « la longueur d'onde du mode propre de rang » vaut «» et
     Les deux extrémités ouvertes « les fréquences propres associées » sont «».

Une extrémité ouverte et l'autre fermée (exemple des clarinettes)[modifier | modifier le wikicode]

     Une seule extrémité fermée correspondant à un ventre de surpression acoustique et l'autre extrémité ouverte à un nœud de surpression acoustique,
     Une seule extrémité fermée les ondes stationnaires sinusoïdales dans le tuyau obéissant aux C.A.L. [12] sont telles que « la longueur du tuyau doit être un multiple impair de » [87] d'où
     Une seule extrémité fermée « la longueur d'onde maximale » étant telle que c.-à-d. «» [88] de mode propre fondamental à « un demi-fuseau »
     Une seule extrémité fermée « la longueur d'onde maximale » correspondant à la « fréquence propre [72] fondamentale »,
     Une seule extrémité fermée « les autres longueurs d'onde des modes propres à fuseaux » étant telles que ou
     Une seule extrémité fermée « les autres longueurs d'onde des modes propres à fuseaux » étant telles que c.-à-d. «»,
     Une seule extrémité fermée « les fréquences propres correspondantes » étant «» [89].

     Le cas précédemment traité modélise le principe de fonctionnement d'une clarinette, l'embouchure étant équivalente à une extrémité fermée, l'autre extrémité étant bien évidemment ouverte.

Présence d'un trou intermédiaire dans le tuyau sonore à une extrémité ouverte, l'autre étant fermée (exemple de la clef de douzième d'une clarinette, le trou intermédiaire étant située au tiers de la longueur à partir de l'embouchure)[modifier | modifier le wikicode]

     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure laquelle, considérée comme une extrémité fermée, y impose un ventre de surpression acoustique et
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure le trou, extrémité ouverte tant qu'il n'est pas bouché,             un nœud de surpression acoustique, d'où
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « la longueur d'onde maximale » telle que ou
      Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure la longueur d'onde maximale «» [88] c.-à-d.
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure plus faible que la longueur d'onde du mode propre fondamental du tuyau non troué correspondant à
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence minimale plus grande que la fréquence propre [72] fondamentale du tuyau non troué »
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence minimale «»
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence minimale de mode propre associé à « un fuseau et demi du tuyau entier» ;
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure les « autres longueurs d'onde observables » telles que ou
      Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure les autres longueurs d'onde observables « ou encore
      Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure les autres longueurs d'onde observables « » correspondant à
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence propre [72] plus grande que la fréquence propre [72] de même rang du tuyau non troué »
          Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence propre «»,
          Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence propre le mode propre associé étant à « fuseaux du tuyau entier» ;
     Dans une clarinette au final la présence du trou à de l'embouchure a sélectionné une fréquence propre [72] fondamentale trois fois plus grande que celle sans la présence du trou,
     Dans une clarinette au final la présence du trou à de l'embouchure a sélectionné les autres fréquences propres se déduisant de cette fréquence propre [72] fondamentale en multipliant par un impair.

Dispositif expérimental permettant d'analyser le spectre d'un signal acoustique produit par une corde vibrante[modifier | modifier le wikicode]

     Il s'agit d'enregistrer le son émis par une « corde de guitare » [90] à l'aide d'un microphone, le signal reçu par ce dernier étant enregistré par un oscilloscope numérique possédant une fonction de « transformée de Fourier discrète » [91] qui permet d'afficher le « spectre du signal » [92].

     Ci-dessous un 1er enregistrement en pinçant la corde en son milieu, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » [93] de pseudo-période on observe en effet pseudo-oscillations entre et  ;

Enregistrement du son produit par le pincement d'un corde de guitare en son milieu

     Ci-dessous le calcul de la pseudo-fréquence, à partir de l'oscillogramme ci-dessus, donne «» correspondant à la « fréquence de l'harmonique observé principalement » dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée en son milieu voir ci-dessous :

Spectre du son produit par le pincement d'un corde de guitare en son milieu

     Ci-dessous un 2ème enregistrement en pinçant la corde au quart de sa longueur, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » [93] de pseudo-période on observe en effet pseudo-oscillations entre et  ;

Enregistrement du son produit par le pincement d'un corde de guitare au quart de sa longueur

     Ci-dessous le calcul de la pseudo-fréquence, à partir de l'oscillogramme ci-dessus, donne [94], ce qui correspond encore à la « fréquence de l'harmonique principalement observé » dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée au quart de sa longueur voir ci-dessous, toutefois on observe d'autres harmoniques qui n'étaient pas présents dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde pincée en son milieu :

Spectre du son produit par le pincement d'un corde de guitare au quart de sa longueur

     Ci-dessous 1ère conclusion partielle : il semble donc que l'endroit du pincement de la corde de guitare a une influence sur le spectre d'amplitude du signal émis, l'harmonique fondamental restant le même mais pincer au quart de la longueur de la corde au lieu de pincer en son milieu crée des harmoniques de rang supérieur [95].

     Ci-dessous un 3ème enregistrement en pinçant la corde près de son attache, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » [93] de pseudo-période on observe en effet pseudo-oscillations entre et  ;

Enregistrement du son produit par le pincement d'un corde de guitare près de son attache

     Ci-dessous le calcul de la pseudo-fréquence, à partir de l'oscillogramme ci-dessus, donne [94], correspondant à la « fréquence d'un des harmoniques observés » dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée près de son attache voir ci-dessous, toutefois on observe nettement plus d'harmoniques non présents dans le spectre d'amplitude des signaux émis par la corde pincée en son milieu ou au quart de sa longueur :

Spectre du son produit par le pincement d'un corde de guitare près de son attache

     Ci-dessous 2ème conclusion partielle : pincer la corde près de l'attache a eu pour conséquence un enrichissement en harmoniques du spectre d'amplitude du signal émis par la corde [96].

     Conclusion définitive : L'ensemble des harmoniques est le même dans chacun des spectres [97], les notes émises sont de même hauteur mêmes harmoniques mais
          Conclusion définitive : L'ensemble des harmoniques est le même dans chacun des spectres, les notes émises n'ont pas le même timbre répartition différente des mêmes harmoniques ;

     Conclusion définitive : le timbre ne résulte pas seulement de la composition spectrale mais aussi de son évolution dans le temps,
     Conclusion définitive : le timbre ne résulte pas seulement de la composition spectrale deux mêmes répartitions spectrales à donné et qui sont différentes à correspondent à des timbres différents,
     Conclusion définitive : le timbre ne résulte pas seulement de la composition spectrale la caractérisation du timbre nécessite donc de faire une succession d'analyses spectrales étalées dans le temps ;
     Conclusion définitive : le timbre ne résulte pas seulement de la composition spectrale ces informations sont réunies dans un « sonogramme » avec le temps en abscisse, la fréquence en ordonnée,
     Conclusion définitive : le timbre ne résulte pas seulement de la composition spectrale ces informations sont réunies dans un « sonogramme » l'amplitude étant codée par couleur.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 et 1,10 Franz Melde (1832 - 1901) physicien et professeur d'université allemand, essentiellement connu pour être l'auteur de l'expérience connue sous le nom d'expérience de Melde.
  2. Même si elle peut aussi être utilisée verticalement, la suite est décrite avec une corde horizontale.
  3. Basse Fréquence.
  4. Les vibreurs du dispositif de Melde vibrent à la même fréquence que la tension du générateur B.F. l'alimentant ;
       toutefois quand un vibreur fonctionne sur le principe d'une attraction générée par un électro-aimant alimenté par un générateur B.F., sa fréquence de vibration est double de celle du générateur car un électro-aimant alimenté en alternatif exerce une attraction à chaque alternance donc deux fois par période de tension imposée par le générateur B.F..
  5. Dans la mesure où le point de contact de la corde sur la poulie reste fixe et si les frottements de la corde sur la poulie sont négligeables, la tension de la corde est égale à est la masse de l'objet et l'intensité du champ de pesanteur.
  6. Dans le but que l'onde incidente créée par le vibreur ne soit pas d'amplitude trop faible en arrivant sur la poulie et qu'une onde réfléchie d'amplitude non négligeable soit engendrée par la quasi-fixité de la poulie.
  7. Dans le but que le phénomène d'ondes stationnaires de l'onde résultante soit observable, ce qui nécessite une longueur minimale.
  8. La quasi-fixité de la poulie nécessite la création d'une perturbation réfléchie opposée à la perturbation incidente ; comme à toute perturbation est associée une propagation de puissance et que celle-ci ne peut se propager que dans le milieu matériel, la perturbation réfléchie se propage dans le sens des .
       En fait la 1ère onde réfléchie sur la poulie se réfléchit de nouveau en arrivant sur le vibreur car la superposition de l'onde incidente et de la 1ère onde réfléchie sur la poulie ne s'identifiant a priori pas à l'expression du signal créé par le vibreur, il se crée une onde réfléchie sur le vibreur pour que la résultante s'identifie avec le signal créé par ce dernier, cette onde réfléchie sur le vibreur étant associée à de la puissance ne peut se propager que dans le sens des et
            cette 1ère onde réfléchie sur le vibreur se réfléchira de nouveau en arrivant sur la poulie pour que la quasi-fixité de cette dernière soit toujours applicable etc.
  9. Elle en dépend néanmoins implicitement car elle est modifiée de à chaque passage par un nœud de vibration.
  10. Le qualificatif « linéaire » d'un milieu unidimensionnel est mis entre parenthèses car, étant quasiment toujours vérifié, il est pratiquement toujours sous-entendu, les propriétés d'un tel milieu introduites pour une propagation dans le paragraphe « propagation unidimensionnelle linéaire » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » mais étant généralisables étant :
    • onde ayant toujours la même forme en tout point
    • si la source est sinusoïdale de fréquence fixée, l'onde l'est aussi avec la même fréquence et
    • si la source est périodique de fréquence fixée, l'onde l'est aussi sans enrichissement du spectre.
  11. Conditions Initiales.
  12. 12,0 12,1 12,2 12,3 et 12,4 Conditions Aux Limites.
  13. Les C.A.L. étant les conditions imposées par le vibreur d'un côté et par l'extrémité supposée fixe de l'autre.
  14. 14,0 14,1 et 14,2 En effet «».
  15. « étant la pulsation temporelle égale à ».
  16. 16,0 et 16,1 La perturbation créée en est associée à une certaine puissance qui doit nécessairement se propager, comme la propagation au-delà de est impossible elle se fait donc en deçà de c.-à-d. dans le sens des .
  17. L'onde réfléchie en à la date est l'onde qui existait en à la date avec .
  18. 18,0 18,1 18,2 18,3 18,4 et 18,5 Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.
  19. En effet, lors de l'addition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, le diagramme de Fresnel à l'instant utilisant des vecteurs de Fresnel tournants voir le paragraphe « vecteur de Fresnel tournant » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » se déduit de celui à l'instant voir le paragraphe « amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » par rotation d'angle raison pour laquelle le diagramme de Fresnel à l'instant est usuellement non utilisé au profit de celui à l'instant .
  20. Voir les paragraphes « grandeur instantanée complexe », « amplitude complexe » et « amplitude et phase initiale résultantes en terme d'amplitude complexe (dans le cadre d'une somme) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  21. « Quand on fait la somme de il reste » et
       « quand on fait la différence dans le sens , il reste » ;
       « quand on fait la différence il reste à poser et dont on tire et  d'où les formules «» ;
       d'autre part il est souhaitable de vérifier la justesse des formules en particulier concernant le signe dans la 2ème formule en posant par exemple ou encore «» formules qui devraient être connues de tous et valident l'absence d'erreurs grossières.
  22. Sur cette expression on vérifie que le point , d'abscisse , est bien fixe évidemment car c'est sa fixité qui a défini l'onde réfléchie relativement à l'onde incidente, mais par contre
       Sur cette expression on trouve que le point , d'abscisse , vibre avec une amplitude alors qu'elle devrait être égale à l'amplitude de vibration de la lame vibrante, à savoir  ;
       Sur cette expression on en déduit donc que l'expression n'est pas correcte au voisinage du point , la raison étant que la contrainte d'amplitude de vibration en n'a pas été imposée ;
       Sur cette expression en effet on a simplement imposé l'amplitude de l'onde incidente en , égale à , ce qui a défini d'une part l'onde incidente en tout point,
       Sur cette expression en effet on a simplement la fixité du point ayant défini d'autre part l'onde réfléchie sur la poulie en tout point,
       Sur cette expression en effet l'amplitude de l'onde résultante en tout point s'en est trouvée fixée et en particulier en ,
       Sur cette expression en effet ceci rendant toute contrainte d'amplitude en impossible à imposer dans la mesure où on ne considère qu'une réflexion, celle sur la poulie
       Pour obtenir une expression qui serait aussi correcte au voisinage du point , il faut pouvoir y imposer la contrainte d'amplitude et pour cela il faut envisager au moins une réflexion supplémentaire, celle sur la lame vibrante de l'onde réfléchie sur la poulie et vraisemblablement quelques autres.
  23. 23,0 et 23,1 Voir le paragraphe « grandeur instantanée complexe » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  24. 24,0 et 24,1 Voir le paragraphe « amplitude complexe (associée à une grandeur instantanée complexe) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  25. Voir le paragraphe « amplitude et phase initiale résultantes en terme d'amplitude complexe (dans le cadre d'une somme) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  26. Il convient en effet de factoriser par pour symétriser la somme restante, la factorisation par la seule partie commune conduisant à où le terme entre crochets permettrait d'utiliser la formule d'Euler relative au sinus au facteur près dans le deuxième terme d'où la mise en facteur de conduisant à .
  27. Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne, surtout connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps ;
       en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
  28. La formule d'Euler d'origine est mais les deux formules qui en découlent définissant le cosinus « » et le sinus « » sont encore appelées « formules d'Euler ».
  29. En utilisant .
  30. La détermination directe de l'amplitude de par le module de l'amplitude complexe donnant et nécessitant une discussion sur le signe du sinus, on préfère établir l'expression de en prenant la partie réelle de .
  31. Effectivement identique à l'expression trouvée au paragraphe « détermination de l'onde résultante par emploi des formules de trigonométrie » plus haut dans ce chapitre car « » «».
  32. 32,0 32,1 et 32,2 Le diagramme de Fresnel à l'instant suffit car celui à l'instant se déduit du précédent par rotation d'angle voir la note « 19 » plus haut dans ce chapitre.
  33. Pour simplifier l'exposé toutes les constructions possibles n'ont pas été reproduites mais uniquement la plus simple c.-à-d. le cas où la détermination principale de notée sur le schéma est en fait aigüe et non obtuse ;
       vous pouvez vous rafraîchir la mémoire en consultant le paragraphe « cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux de même amplitude (détermination directe de l'amplitude résultante dans le cas de même amplitude [dans le cadre d'interférences entre deux ondes]) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », le diagramme de Fresnel dans le cas où la détermination principale de les phases sur le diagramme de Fresnel du paragraphe précité y étant notées et est obtuse y est tracé et l'évaluation de l'amplitude développée
  34. Cas de la figure : les deux vecteurs dont on forme la somme ayant même norme, la figure permettant de construire cette somme est un losange, le vecteur somme étant porté par la diagonale issue de et cette dernière étant aussi la bissectrice de l'angle de sommet , on en déduit la propriété énoncée.
  35. Cas de figure non représenté où la détermination principale de appartient à , la figure permettant de construire cette somme voir la note « 33 » plus haut dans ce chapitre est toujours un losange, le vecteur somme étant de direction opposée à la bissectrice de l'angle , il convient d'ajouter ou de retrancher à voir la justification dans la note « 34 » plus haut dans ce chapitre.
  36. En effet, la figure permettant de construire la somme étant un losange, le vecteur somme, porté par la diagonale issue de , a une norme égale à cette diagonale ; sachant que les diagonales d'un losange sont et se coupent en leur milieu, si nous appelons le point d'intersection des diagonales, on détermine la longueur de la diagonale issue de par est le côté adjacent d'un triangle rectangle dont est l'hypoténuse, l'angle considéré étant c.-à-d. celui entre un des vecteurs de Fresnel à l'instant et la diagonale issue de soit  ;
       dans le cas non représenté est obtus voir la note « 33 » plus haut dans ce chapitre, l'angle adjacent du triangle rectangle à considérer est d'où le résultat énoncé.
  37. Évidemment égale à «» précédemment trouvée par changement de signe simultané des deux cosinus.
  38. C.-à-d. la masse par unité de longueur exprimée en .
  39. Mais on l'admet à ce niveau.
  40. On vérifie l'homogénéité de la formule, s'exprimant en , est donc en et par suite la racine carrée effectivement en .
  41. 41,0 41,1 41,2 41,3 41,4 41,5 41,6 41,7 et 41,8 Voir la définition dans le paragraphe « caractérisation d'une résonance par quantification de la fréquence » plus loin dans ce chapitre.
  42. Ceci caractérise un phénomène de « résonance ».
  43. En effet, en considérant la superposition de l'onde incidente et réfléchie sur la poulie on a trouvé un signal résultant «» voir, par exemple, le paragraphe « détermination de l'onde résultante par utilisation des amplitudes complexes associées aux grandeurs instantanées complexes » plus haut dans ce chapitre correspondant à une « amplitude de vibration au point de », les ventres étant positionnés aux points tels que leur amplitude de vibration est donc bien .
  44. On constate, en absence de résonance, que le 1er fuseau, celui du côté du vibreur, doit être un peu plus court que les suivants dans la mesure où l'extrémité de la corde reliée à la lame vibrante n'est pas un nœud d'ailleurs on rappelle qu'au point la superposition des ondes et conduit à une amplitude égale à alors qu'elle est en pratique égale à , d'où l'impossibilité d'interpréter les ondes stationnaires au voisinage du point avec les seules ondes et mais par contre dès qu'on sort du voisinage de l'interprétation reste exacte.
  45. En fait la 1ère onde réfléchie sur la poulie se réfléchit de nouveau en arrivant sur le vibreur car la superposition de l'onde incidente et de la 1ère onde réfléchie sur la poulie ne s'identifiant a priori pas à l'expression du signal créé par le vibreur, il se crée une onde réfléchie sur le vibreur pour que la résultante s'identifie avec le signal créé par ce dernier, cette onde réfléchie sur le vibreur étant associée à de la puissance ne peut se propager que dans le sens des et
            cette 1ère onde réfléchie sur le vibreur se réfléchira de nouveau en arrivant sur la poulie pour que la quasi-fixité de cette dernière soit toujours applicable etc.
  46. 46,0 et 46,1 En effet en supposant l'absence d'amortissement, chaque onde réfléchie conserve l'amplitude de l'onde incidente mais, dans la pratique, l'amortissement existant, une onde réfléchie est d'amplitude d'autant plus faible qu'elle résulte d'un nombre de réflexions plus grand sur les deux extrémités de la corde depuis la création de l'onde incidente par le vibreur, ceci ayant pour conséquence pratique que le nombre d'ondes se superposant reste de l'ordre de quelques unités
  47. L'onde réfléchie sur la poulie se réfléchit de nouveau en arrivant sur le vibreur car la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sur la poulie ne s'identifiant a priori pas à l'expression du signal créé par le vibreur, il se crée une onde réfléchie sur le vibreur pour que la résultante s'identifie avec le signal créé par ce dernier, cette onde réfléchie sur le vibreur étant associée à de la puissance ne peut se propager que dans le sens des .
  48. L'onde étant en retard sur l'onde du temps nécessaire pour parcourir l'aller et retour de la longueur de corde soit ce qui correspond à une différence de marche et à un déphasage « mathématique » l'ajout de correspondant aux deux réflexions sur les extrémités.
  49. La quasi-fixité de la poulie nécessitant, en effet, la création d'une perturbation réfléchie sur la poulie opposée à la perturbation issue d'une 1ère réflexion sur le vibreur ; comme à toute perturbation est associée une propagation de puissance et que celle-ci ne peut se propager que dans le milieu matériel, la perturbation réfléchie sur la poulie se propage dans le sens des .
  50. L'onde étant en retard sur l'onde du temps nécessaire pour parcourir l'aller et retour de la longueur de corde soit ce qui correspond à une différence de marche et à un déphasage « mathématique » l'ajout de correspondant aux deux réflexions sur les extrémités.
  51. En effet nous avons établi que est la phase initiale de l'onde incidente créée par le vibreur en , nous obtenons donc
       En effet nous avons établi que en remplaçant par pour tenir compte du déphasage « mathématique » supplémentaire.
  52. En effet, dans les deux systèmes et , les ventres sont positionnés aux points tels que et les nœuds aux points tels que .
  53. La réflexion sur le vibreur se produisant tant que la superposition des ondes incidente et précédemment réfléchie(s) sur le vibreur avec celles antérieurement réfléchies sur la poulie ne s'identifie pas à l'expression du signal créé par le vibreur de façon à ce que la résultante s'identifie avec le signal créé par ce dernier, cette onde réfléchie sur le vibreur étant associée à de la puissance ne peut se propager que dans le sens des .
  54. L'onde étant en retard sur l'onde du temps nécessaire pour parcourir les deux allers et retours de la longueur de corde soit ce qui correspond à une différence de marche et à un déphasage « mathématique » l'ajout de correspondant aux quatre réflexions sur les extrémités.
  55. La réflexion sur la poulie se produisant tant que la superposition des ondes précédemment réfléchies sur la poulie avec celles incidente et antérieurement réfléchie(s) sur le vibreur ne s'identifie pas à la quasi-fixité de la poulie de façon à ce que la résultante y soit nulle, cette nouvelle onde réfléchie sur la poulie étant associée à de la puissance ne peut se propager que dans le sens des .
  56. L'onde étant en retard sur l'onde du temps nécessaire pour parcourir les deux allers et retours de la longueur de corde soit ce qui correspond à une différence de marche et à un déphasage « mathématique » l'ajout de correspondant aux quatre réflexions sur les extrémités.
  57. En effet nous avons établi que est la phase initiale de l'onde incidente créée par le vibreur en , nous obtenons donc
       En effet nous avons établi que en remplaçant par pour tenir compte du déphasage « mathématique » supplémentaire et
       En effet nous avons établi que en remplaçant par pour tenir compte du déphasage « mathématique » supplémentaire.
  58. En effet, dans les trois systèmes , et , les ventres sont positionnés aux points tels que et les nœuds aux points tels que .
  59. En effet si la position des ventres des divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales est la même quel que soit le système d'ondes stationnaires sinusoïdales voir la note « 58 » plus haut dans ce chapitre,
       En effet l'état vibratoire de chaque point de corde d'abscisse fixée à une date choisi dans les trois systèmes , et n'est, a priori, pas le même, leur dépendance à étant
       En effet l'état vibratoire de chaque point de corde «» voir la note « 57 » plus haut dans ce chapitre,
       En effet l'état vibratoire de chaque point de corde «» voir la note « 57 » plus haut dans ce chapitre et
       En effet l'état vibratoire de chaque point de corde «» voir la note « 57 » plus haut dans ce chapitre
       En effet l'état vibratoire de chaque point de corde d'où, sauf si est un multiple de , la position de à un instant fixé dans chaque système , ou n'est pas simultanément la plus élevée ou la plus basse un système résultant d'ondes stationnaires sinusoïdales d'amplitude aux ventres modérée sauf si est un multiple de .
  60. Cela signifie que la vibration d'un point d'un fuseau d'un système d'ondes stationnaires sinusoïdales est en phase avec la vibration du même point pour n'importe quel autre système d'ondes stationnaires sinusoïdales.
  61. En théorie, s'il y a un nombre infini de réflexions de chaque côté, il y a donc un nombre infini de systèmes d'ondes stationnaires dont chacun fournit une amplitude de vibration aux ventres de «» soit une amplitude résultante aux ventres infinie, mais en pratique, il y a amortissement le long de la corde, ce qui fait que les amplitudes aux ventres sont de moins en moins grandes au fur et à mesure des réflexions considérées.
  62. En effet «» avec « phase initiale de l'onde incidente créée par le vibreur en ».
  63. En effet «» obtenu en « remplaçant par » pour tenir compte du déphasage « mathématique » supplémentaire.
  64. En effet «» obtenu en « remplaçant par » pour tenir compte du déphasage « mathématique » supplémentaire.
  65. On choisit de façon à ce qu'il soit positif à près.
  66. On choisit de façon à ce qu'il soit positif à près.
  67. Fréquence propre car elle est aussi caractéristique des dimensions et des propriétés de la corde.
  68. La tension et la longueur sont donc imposées.
  69. Le but de cette perturbation est de sortir la corde de son état de repos en lui apportant de la puissance laquelle se propage pour se répartir sur toute la corde ;
       cette perturbation joue le même rôle que celui qui consiste à écarter un pendule élastique de sa position d'équilibre en le lâchant sans vitesse initiale, le but de cet écart étant de sortir le pendule de sa position d'équilibre pour étudier par la suite son mouvement « libre » et ici nous sortons la corde de son état de repos pour étudier par la suite ses oscillations stationnaires « libres ».
  70. Si toute fonction périodique est décomposable en série de Fourier selon le théorème de Fourier voir les paragraphes « énoncé du théorème de Fourier » et « 3ème développement en série de Fourier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », ce qui correspond à un spectre de raies pour l'amplitude des harmoniques,
            une fonction non périodique est « décomposable en intégrale de Fourier » on parle de transformée de Fourier, voir le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », ce qui correspond à un spectre « continu » pour l'amplitude des harmoniques.
       Remarque : la notion de transformée de Fourier n'est pas du programme de physique de P.C.S.I., son introduction ici a pour seul but de justifier d'où viennent les ondes progressives de fréquence quelconque se propageant dans les deux sens et se superposant 
  71. 71,0 et 71,1 En effet la propagation d'une onde mécanique est associée à une propagation d'énergie qui ne peut se faire que dans un milieu matériel la réflexion sur une extrémité fixe de corde est associée à un changement de sens de propagation relativement au sens incident.
  72. 72,00 72,01 72,02 72,03 72,04 72,05 72,06 72,07 72,08 72,09 72,10 72,11 72,12 72,13 72,14 72,15 72,16 72,17 et 72,18 Voir la définition dans le paragraphe « caractérisation d'une résonance par quantification de la fréquence » plus haut dans ce chapitre.
  73. C.-à-d. son aspect quand elle est soumise à une onde stationnaire sinusoïdale.
  74. 74,0 74,1 74,2 et 74,3 Pincer la corde en un point de celle-ci c'est maintenir fixe ce point pendant qu'une perturbation de courte durée créée dans le voisinage de ce point sort la corde de son état de repos et lui apporte de la puissance se propageant en se répartissant sur toute la corde de part et d'autre du point ; quand la perturbation de courte durée cesse, le point où la corde est pincée est laissé libre de vibrer.
  75. L'« aire d'un disque de rayon étant » voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (aire d'un disque de rayon R) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » se réécrit, avec est le diamètre, «».
  76. Qui ne dépend que de la longueur de la corde.
  77. Qui dépend de la longueur de la corde ainsi que de sa section et de sa nature par sa masse linéique.
  78. Nécessitant de pincer la corde en son milieu.
  79. Nécessitant de pincer la corde au tiers de sa longueur.
  80. Nécessitant de pincer la corde au quart de sa longueur.
  81. Nécessitant de pincer la corde au cinquième de sa longueur.
  82. Périodicité temporelle de période égale à période propre fondamentale les autres périodes propres étant des diviseurs de , cette dernière est la plus petite période commune et
       périodicité spatiale de période égale à longueur d'onde du mode propre fondamental les autres périodes spatiales étant des diviseurs de , cette dernière est la plus petite période commune.
  83. La fréquence spatiale étant le nombre d'onde .
  84. L'excitation est en général imposée à une extrémité de la corde, l'autre extrémité étant supposée fixe.
  85. En effet la pression à l'extérieur du tuyau doit rester constante égale à la pression au repos d'où une surpression acoustique nulle, c.-à-d. un nœud de surpression acoustique dans le cas d'ondes stationnaires.
  86. En effet la pression de l'autre côté de l'extrémité fermée à l'extérieur du tuyau ne jouant aucun rôle, la surpression acoustique à l'intérieur du tuyau au niveau de l'extrémité fermée peut prendre n'importe quelle valeur.
  87. En effet égale à à un multiple de près ou encore, fois avec .
  88. 88,0 et 88,1 Appelée longueur d'onde du mode propre fondamental.
  89. Définissant les fréquences propres de rang non nul, la fréquence propre fondamentale correspondant à la valeur  ;
       on peut donc dire que toutes les fréquences propres y compris la fréquence propre fondamentale sont données par «».
  90. Il est nécessaire d'utiliser un instrument qui rayonne acoustiquement donc avec caisse de résonance comme une « guitare » ou un « ukulélé » instrument à cordes pincées des îles Hawaï de façon à obtenir un son ayant une certaine persistance dans la durée ;
       on crée alors des ondes stationnaires sur une corde de l'instrument et la vibration stationnaire de la corde engendre l'émission d'une onde acoustique progressive rayonnant dans toutes les directions donc en particulier en direction du microphone
  91. C'est un algorithme dit de FFT Fast Fourier Transform ;
       dans ce type d'analyse spectrale, il est nécessaire d'avoir un nombre de périodes significatif et d'utiliser un « fenêtrage » c.-à-d. une fonction par laquelle on multiplie le signal pour le limiter dans le temps ;
       il y a principalement trois types de fenêtrage dont le plus simple est le « fenêtrage rectangulaire ou porte » et
       il y a principalement trois types de fenêtrage dont les plus utilisés sont le « fenêtrage de Hann » et
       il y a principalement trois types de fenêtrage dont les plus utilisés sont le « fenêtrage de Hamming »
       Julius Ferdinand von Hann (1839 - 1921) météorologue autrichien essentiellement connu pour ses efforts afin de coordonner les résultats empiriques et théoriques de la météorologie en une structure cohérente ; le « fenêtrage fut baptisé de Hann » pour lui rendre hommage.
       Richard Hamming (1915 - 1998) mathématicien américain essentiellement connu pour avoir permis des avancées significatives dans les domaines de l'informatique, du traitement du signal et des télécommunications, en particulier il a créé une famille de codes correcteurs d'erreur mathématiques.
  92. Ce type d'analyse permet de montrer que la différence de « timbre » que l'on perçoit lorsqu'on pince, à des endroits différents, une même corde, correspond à une modification de la répartition des harmoniques et non à un changement de « hauteur » de note ;
       la « hauteur » d'une note est l'ensemble des harmoniques sans référence à leur amplitude respective, son « timbre » est caractérisé par la forme de l'onde émise à la fréquence de la note, il dépend de la répartition des harmoniques c.-à-d. de leur amplitude respective.
  93. 93,0 93,1 et 93,2 La modulation d'amplitude provient du fait que tous les points de la corde de guitare sur laquelle ont été créées des ondes stationnaires, sont sources d'ondes acoustiques progressives qui peuvent être captées par le microphone ; ces ondes acoustiques progressives provenant d'une même onde mécanique stationnaire peuvent interférer ce qui entraîne une modulation d'amplitude
  94. 94,0 et 94,1 L'écart avec la pseudo-fréquence précédente correspond à l'imprécision des enregistrements.
  95. Le rang ayant une amplitude égale approximativement au tiers de celle de l'harmonique fondamental, le rang une amplitude approximativement égale au quart de celle de l'harmonique fondamental, les rangs et étant d'amplitudes assez nettement plus faibles
  96. Sur le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée près de son attache, les harmoniques de rangs et sont d'amplitudes équivalentes à celle de l'harmonique fondamental, les harmoniques de rangs et d'amplitudes approximativement égales à la moitié de celle de l'harmonique fondamental
       La raie de fréquence est à considérer comme parasite étant donné que sa fréquence n'est pas un multiple de la fréquence fondamentale, seule fréquence observée dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée en son milieu.
  97. Même si on n'observe approximativement qu'une raie dans le spectre d'amplitude de la corde de guitare pincée en son milieu, les harmoniques de rang supérieur coexistent en étant d'amplitude inobservable.