Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale

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Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale
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Sommaire

Cas particulier d'une onde progressive sinusoïdale (ou harmonique) dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une O.P.H.[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire (non dispersive), une « onde progressive sinusoïdale » [2] le long de l'axe est une onde sinusoïdale du type [3] telle que la vibration observée à toute abscisse reproduit la vibration observée en avec le retard temporel [4] suivant que la propagation se fait dans le sens (ou de l'axe  :

  • dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire (non dispersive) dans le sens des , l'O.P.H. de pulsation s'écrit  ;
  • dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire (non dispersive) dans le sens des , l'O.P.H. de pulsation s'écrit .

Notion de pulsation spatiale, vecteur d'onde[modifier | modifier le wikicode]

......L'O.P.H. étant une fonction sinusoïdale de la variable , peut se réécrire, après développement de l'argument du cosinus, selon  ; on en déduit que l'O.P.H. est une fonction sinusoïdale à la fois :

  • du temps (pour fixé) avec une pulsation temporelle ,
  • de la variable spatiale (pour fixé) avec une pulsation spatiale [5] ;

......on réécrit alors l'O.P.H. [6].

On parle alors de « double périodicité spatio-temporelle » de l'onde.

Périodicité temporelle de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), période et fréquence[modifier | modifier le wikicode]

......À fixé, l'O.P.H. s'écrivant avec est périodique de période temporelle et de fréquence temporelle  ; l'O.P.H. peut alors se réécrire

.

Périodicité spatiale de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), longueur d'onde et nombre d'onde[modifier | modifier le wikicode]

......À fixé, l'O.P.H. s'écrivant [8] avec est périodique de période spatiale (appelée « longueur d'onde » exprimée en et de fréquence spatiale (appelée « nombre d'onde » exprimé en  ; l'O.P.H. peut alors se réécrire

.

......Le vecteur d'onde peut être écrit selon


si la propagation est dans le sens des et si elle est dans le sens des .

Lien entre longueur d'onde, fréquence (temporelle) et célérité pour une O.P.H.[modifier | modifier le wikicode]

......La pulsation spatiale étant liée à la pulsation temporelle et la célérité de propagation par , nous en déduisons la « période spatiale (ou longueur d'onde) » soit, compte tenu de la définition de la période temporelle , la relation

.

......On en déduit aussi la longueur d'onde en fonction de la fréquence (temporelle) et la célérité de propagation selon

.

......En conclusion : On peut trouver toutes les grandeurs relatives à la périodicité spatio-temporelle de l'O.P.H. quand on connaît l'une d'entre elles et la célérité de propagation, en effet :

  • si on connaît la période (temporelle) , alors on en déduit :
    la pulsation (temporelle) ,
    la fréquence (temporelle) ,
    la longueur d'onde (ou période spatiale) ,
    le nombre d'onde (ou fréquence spatiale) et
    la norme du vecteur d'onde (ou pulsation spatiale)  ;
  • si on connaît la fréquence (temporelle) , alors on en déduit :
    la pulsation (temporelle) ,
    la période (temporelle) ,
    la longueur d'onde (ou période spatiale) ,
    le nombre d'onde (ou fréquence spatiale) et
    la norme du vecteur d'onde (ou pulsation spatiale)  ;
  • si on connaît la longueur d'onde (ou période spatiale) , alors on en déduit :
    le nombre d'onde (ou fréquence spatiale) ,
    la norme du vecteur d'onde (ou pulsation spatiale) ,
    la période (temporelle) ,
    la fréquence (temporelle) et
    la pulsation (temporelle) .

......L'O.P.H. peut alors se réécrire selon l'une de ses trois formes équivalentes :

.

Notion de déphasage de l'onde entre des points séparés d'une distance finie au même instant[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux points au même instant dans le cas d'une propagation dans le sens +
Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux points au même instant dans le cas d'une propagation dans le sens -

......La phase initiale du signal transporté par l'O.P.H. à l'abscisse étant , on en déduit que le signal au point d'abscisse est déphasé, par rapport au signal considéré au même instant au point d'abscisse , de (en notant [9] ;

......ce résultat se retrouve facilement par des considérations physiques :

  • si et si la propagation se fait dans le sens des , le signal en est, sur le signal en considéré au même instant, en retard temporel de (en notant , ce qui se traduit par le déphasage que l'on peut réécrire ,
  • si et si la propagation se fait dans le sens des , le signal en est, sur le signal en considéré au même instant, en retard temporel de (en notant , ce qui se traduit par le déphasage que l'on peut réécrire .

Condition pour les signaux considérés au même instant en deux points d'abscisses différentes soient en phase[modifier | modifier le wikicode]

......La condition pour laquelle les vibrations aux deux points d'abscisse et considérées au même instant soient en phase s'écrit soit, en utilisant le déphasage explicité ci-dessus,

[10].

Condition pour les signaux considérés au même instant en deux points d'abscisses différentes soient en opposition de phase[modifier | modifier le wikicode]

......La condition pour laquelle les vibrations aux deux points d'abscisse et considérées au même instant soient en opposition de phase s'écrit soit, en utilisant le déphasage explicité ci-dessus,

[11].

Notion de déphasage de l'onde entre des instants écartés d'une durée finie (au même endroit)[modifier | modifier le wikicode]

Préliminaire à la définition[modifier | modifier le wikicode]

......Le signal transporté par l'O.P.H. au point d'abscisse et à l'instant s'écrivant [6], avec , soit , nous définissons le déphasage après avoir mis le signal sous la forme [12], avec .

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux instants au même point

......Au lieu d'envisager le signal transporté par l'onde au même instant mais en deux points différents, on considère le signal transporté par l'onde au même endroit mais à deux instants différents et , sachant que la phase initiale du signal transporté par l'O.P.H. à l'instant est défini selon [13], on en déduit que le signal à l'instant est déphasé par rapport au signal à l'instant considéré au même point de (en notant  ;

......ce résultat peut se retrouver par des considérations physiques :

  • si et si la propagation se fait dans le sens des , le signal à en l'abscisse est identique au signal à en l'abscisse , où (en notant est la distance parcourue pendant la durée écoulée entre et , ce qui se traduit par le déphasage [14] que l'on peut réécrire ,
  • si et si la propagation se fait dans le sens des , le signal à en l'abscisse est identique au signal à en l'abscisse , où (en notant est la distance parcourue pendant la durée écoulée entre et , ce qui se traduit par le déphasage suivant [15] que l'on peut réécrire .

Étude expérimentale, mesure de la célérité, de la longueur d'onde et du déphasage d'une O.P.H.[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental pour la mesure de la célérité du son dans l'air

Principe de la mesure de la célérité de propagation dans un milieu unidimensionnel, exemple de la détermination expérimentale de la célérité du son dans l'air[modifier | modifier le wikicode]

......On dispose deux microphones à la distance l'un de l'autre, l'onde sonore utilisée étant créée dans l'alignement de ces deux microphones [16] ; l'onde sonore correspond par exemple à un coup donné sur un socle en bois, le signal capté par le premier microphone étant envoyé sur la voie 1 d'un oscilloscope numérique et celui capté par le deuxième microphone sur la voie 2 du même oscilloscope numérique (voir ci-contre) ;

......le signal capté par le premier microphone étant choisi comme source de déclenchement à l'enregistrement « monocoup » de l'oscilloscope [17], on observe l'enregistrement ci-dessous :

Enregistrement permettant de déduire la célérité du son dans l'air

......la distance étant mesurée avec précision (emploi d'un banc gradué) et le retard temporel étant connu également avec précision (on estime assez aisément cette dernière par déplacement de curseurs verticaux sur l'oscilloscope), on peut évaluer la célérité du son dans l'air par [18].

Principe de la mesure de la longueur d'onde d'une O.P.H. dans un milieu unidimensionnel, exemple d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental pour la mesure de la longueur d'onde d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air

......Un émetteur d'ultrasons étant alimenté par un G.B.F. à une fréquence [19], deux récepteurs sont placés sur un même banc, quasiment dans l'alignement avec l'émetteur, le premier étant fixe et le deuxième mobile, les signaux reçus par chacun d'eux étant repérés respectivement sur les voies 1 et 2 d'un oscilloscope numérique ;
......sans réglage préalable sur le récepteur 2 proche du récepteur , on observe a priori un déphasage entre ces deux signaux [20] ;
......on déplace le récepteur 2 de façon à ce que les signaux soient en phase [21], on repère alors la position du récepteur 2 notée , et
......on poursuit le déplacement en recherchant les positions correspondant aux signaux en phase jusqu'à une position notée  ;
......la distance s'identifie alors à , ce qui permet d'en déduire la longueur d'onde de l'O.P.H. ultrasonore avec une précision d'autant meilleure que peut être grand ;
......connaissant la fréquence de l'onde on en déduit la célérité de propagation dans l'air par .

Principe de la mesure d'un déphasage d'une O.P.H. enregistrée en deux positions distinctes du milieu unidimensionnel, exemple d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air[modifier | modifier le wikicode]

......On reprend le montage précédent et, sans effectuer de réglage a priori, les signaux enregistrés sur les voies 1 et 2 de l'oscilloscope sont déphasés ; bien que le signal reçu par le récepteur 2 soit « mathématiquement » en retard de phase sur le signal reçu par le récepteur , il peut être « physiquement » en retard ou en avance et c'est uniquement ce déphasage que l'on mesure directement en fonctionnement de l'oscilloscope ; on détermine le décalage « physique » temporel par curseurs de temps et on en déduit l'avance de phase « physique » du signal 1 sur le signal 2 par [22] en ou par en .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. C'est un abus c'est en fait le signal transporté qui a cette forme.
  2. Ou onde progressive harmonique noté en abrégé.
  3. Le caractère « linéaire » de la propagation (conservation de la forme du signal lors de la propagation) est effectivement vérifié sur cette onde et son caractère « non dispersif » (célérité de la propagation indépendante de la fréquence) n'apparaît pas dans la mesure où la fréquence d'une onde sinusoïdale ne varie pas (raison pour laquelle « non dispersive » a été mis entre parenthèses).
  4. si la propagation est dans le sens des et si elle est dans le sens des .
  5. La pulsation « spatiale » est, comme la pulsation temporelle, toujours , elle s'exprime en .
  6. 6,0 et 6,1 Avec si la propagation se fait selon les et si elle se fait selon les .
  7. est donc toujours dans le sens de la propagation.
  8. Avec si la propagation se fait selon les et si elle se fait selon les  ;
    ...si la propagation se fait dans le sens des , (cette dernière expression pour que le cœfficient de soit , la phase « initiale » (c'est-à-dire en est alors alors que
    ...si la propagation se fait dans le sens des , , la phase « initiale » (c'est-à-dire en est .
  9. Si la propagation se fait selon les et si  (c'est-à-dire , et par suite le signal en est mathématiquement en « retard de phase » sur le signal en mais non nécessairement physiquement en effet le déphasage physique étant défini à près, nous prenons sa détermination principale c'est-à-dire celle dont la valeur absolue du reste est la plus petite lors de la division par , exemple admet pour détermination principale signal en physiquement en avance de phase sur le signal en  ;
    ...si la propagation se fait selon les et si (c'est-à-dire , et par suite le signal en est mathématiquement en « avance de phase » sur le signal en mais non nécessairement physiquement (même commentaire que ci-dessus).
  10. Avec , si la propagation se fait dans le sens des et si elle se fait dans le sens des .
  11. Avec , si la propagation se fait dans le sens des soit et si elle se fait dans le sens des soit .
  12. Dans le but d'avoir une forme analogue à , le cœfficient de la variable temporelle ou spatiale étant la pulsation temporelle ou spatiale .
  13. Dans le cas d'une propagation dans le sens des (respectivement , l'O.P.H. est écrite la même forme .
  14. On rappelle que le signal est mis sous la forme avec , aussi les signaux d'où
  15. On rappelle que le signal est mis sous la forme avec , aussi les signaux d'où
  16. Avec toutefois un léger décalage transversal de façon à ce que le premier microphone ne fasse pas obstacle à l'onde sonore que doit recevoir le deuxième.
  17. On choisit un niveau de déclenchement ni trop faible pour éviter qu'un signal parasite ne déclenche l'enregistrement, ni trop intense pour que l'enregistrement ne nécessite de taper très fort sur le socle.
  18. On s'attend à trouver à , elle ne serait que de à .
  19. Pour que cette onde soit ultrasonore il faut une fréquence .
  20. Le déphasage serait nul s'il était possible que le récepteur 2 coïncide avec le récepteur , ce qui n'étant pas possible implique un déphasage ; de plus le signal reçu par le récepteur 2 est légèrement atténué relativement au signal reçu par le récepteur .
  21. On peut le vérifier plus aisément en réglant l'oscilloscope en fonctionnement , l'ellipse observée si les signaux ne sont pas en phase, se réduit à un segment de droite de pente positive quand ceux-ci deviennent en phase (voir T.P. d'utilisation de l'oscilloscope).
  22. On rappelle que le signal qui est « physiquement » en avance sur l'autre est celui qui « coupe » l'axe des temps en croissant en premier sachant que, pour qu'il soit considéré comme « coupant » en croissant en premier, le décalage temporel doit être inférieur à  ;
    ...si le signal 1 « coupe » l'axe des temps en croissant en premier relativement au signal 2 on a d'où le signe sinon c'est un signe .