Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance

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Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance
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Chapitre no 31
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes
Chap. suiv. :Filtrage linéaire : signaux périodiques
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Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance
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Sommaire

Rappel de l'impédance complexe d'un « R L C série », impédance et déphasage (avance de phase de la tension entre ses bornes sur l'intensité du courant le traversant)[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'impédance complexe d'un « R L C série » en complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

......Comme cela a été vu au paragraphe « exemple d'association série de plus de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) : impédance complexe d'un R L C série » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » l'impédance complexe d'un « R L C série » en complexe associée au r.s.f. de fréquence s'évalue selon

.

Impédance du « R L C série » en fonction de sa résistance et de sa réactance[modifier | modifier le wikicode]

......De la forme algébrique de l'impédance complexe on en tire

  • sa résistance et
  • sa réactance puis

......on en déduit son impédance par soit finalement

.

Avance de phase de la tension sur l'intensité du « R L C série » en fonction de sa résistance et de sa réactance[modifier | modifier le wikicode]

......La résistance du R L C série étant toujours positive au sens large, l'avance de phase de la tension sur l'intensité ét s'évalue selon soit finalement

.

Établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), fréquence de résonance en intensité, nullité du déphasage à la résonance en intensité[modifier | modifier le wikicode]

Il convient bien sûr d'ajouter un schéma du circuit en complexe associée au r.s.f. de fréquence .

Réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes[modifier | modifier le wikicode]

......Soit la tension instantanée imposée au R L C série et [1] l'intensité instantanée du courant le traversant, on leur associe les grandeurs instantanées complexes et [2] avec leurs valeurs efficaces complexes respectives et [2], [1] ;

......de l'expression de l'impédance complexe du R L C série on déduit la réponse efficace complexe en intensité par loi d'Ohm en complexe soit

.

Intensité efficace du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

......L'intensité efficace du courant traversant le R L C série se déterminant en prenant le module de l'intensité efficace complexe on en déduit

.

Phase à l'origine de l'intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

......La phase à l'origine de l'intensité du courant traversant le R L C série se déterminant en prenant l'argument de l'intensité efficace complexe on en déduit

.

Résonance en intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

......La tension efficace  aux bornes du R L C série étant constante et la pulsation imposée par le générateur variable, on constate que l'intensité efficace du courant traversant le R L C série passe par un maximum quand l'impédance de ce dernier est minimale et, comme celle-ci est la racine carrée de la somme de deux termes positifs dont le 1er est constant, elle est minimale quand le 2e l'est aussi, ce qui est réalisé quand il s'annule c'est-à-dire quand (pulsation propre du R L C série).

En conclusion l'intensité efficace du courant traversant le R L C série est maximale (on dit alors que l'intensité entre en résonance)
quand la fréquence imposée par le générateur est égale à la fréquence propre du R L C série ;
la valeur maximale de l'intensité efficace est alors .

Valeur du déphasage à la résonance en intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

......On vérifie que l'avance de phase de la tension aux bornes du R L C série sur l'intensité du courant le traversant est nulle à la fréquence de résonance en intensité soit

,
c'est-à-dire que l'intensité du courant traversant le R L C série est en phase avec la tension à ses bornes à la résonance en intensité.

Réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par diagramme de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

......Avant de traiter ce paragraphe il convient, si besoin, de revoir la notion de « vecteur de Fresnel tournant » puis celle de « vecteur de Fresnel (sous-entendu à l'origine des temps) » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la notion de diagramme de Fresnel [3] n'étant qu'une façon concrète de matérialiser celle d'amplitudes complexes (ou de valeurs efficaces complexes [4]) dans tout schéma construit à partir de vecteurs de Fresnel [3] associés aux grandeurs sinusoïdales de même pulsation quand on les ajoute, dérive temporellement certaines d'entre elles ou effectue toute autre opération linéaire …

......Comme il a été indiqué dans le paragraphe « lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnell » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'utilisation du diagramme de Fresnel [3] n'étant qu'une façon concrète de matérialiser celle d'amplitudes complexes (ou de valeurs efficaces complexes [4]), nous n'indiquerons que les grandes lignes de ce traitement.

Diagramme de Fresnel [3] associé à un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace et de fréquence fixées, détermination de la réponse en intensité

......On trace les vecteurs de Fresnel [3] associés à chaque tension [5], puis la somme pour déterminer le vecteur de Fresnel [3] associé à la tension imposée par le générateur, le vecteur de Fresnel [3] associé à l'intensité du courant circulant dans le R L C série étant colinéaire au vecteur de Fresnel [3] associé à la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance , voir diagramme de Fresnel [3] ci-contre [5]

......On en déduit par exemple :

  • par théorème de Pythagore [6] avec , et d'où le lien entre et et
  • dans le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont et d'où l'expression de l'avance de phase de la tension aux bornes du R L C série sur l'intensité du courant le traversant.

Réduction canonique dans le cadre d'une réponse sinusoïdale forcée d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

Choix de la réduction canonique d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale »[modifier | modifier le wikicode]

......Comme nous l'avons vu dans le paragraphe « réductions canoniques d'un R L C série dans le cadre de la réponse en à un échelon de tension » [7] du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », il y a trois réductions canoniques possibles et, dans le cadre du r.s.f., l'habitude quasi-générale est de choisir la 2e réduction canonique c'est-à-dire :

  • la pulsation propre s'exprimant en et
  • le facteur de qualité sans dimension défini par [8] soit [9] ;

......l'usage dans le cadre du r.s.f. est de remplacer la notion de pulsation en par celle de pulsation réduite [10], sans dimension [11].

......La « réponse en intensité » du R L C série à la « tension imposée » par le générateur n'ayant pas la même homogénéité, la réduction canonique ne peut être « complète » [12], il restera un facteur ayant l'homogénéité d'une impédance et nous choisirons le maintien de .

Forme canonique de l'impédance complexe d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale »[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminons d'abord la réduction canonique de l'impédance complexe du R L C série

  • par élimination de au profit de selon soit
  • suivi d'une factorisation par [13] donnant et finalement
    [14].

Forme canonique de l'intensité efficace complexe du courant traversant un « R L C série en complexe associée au r.s.f. » en fonction de la tension efficace complexe imposée aux bornes du « R L C série »[modifier | modifier le wikicode]

......De l'expression canonique de l'impédance complexe du « R L C série en complexe associée au r.s.f. » on déduit la réponse en intensité efficace complexe du courant traversant ce dernier en fonction de la tension efficace complexe qui lui est imposée

......dont on tire :

  • la réponse en intensité efficace du courant traversant le « R L C série en r.s.f. » en fonction de la tension efficace aux bornes de ce dernier, la résistance du conducteur ohmique y figurant, le facteur de qualité et la fréquence réduite soit
    ou
    avec impédance du « R L C série » sous forme réduite et
  • la phase à l'origine de l'intensité instantanée du courant traversant le « R L C série en r.s.f. » en fonction de celle de la tension instantanée aux bornes de ce dernier, le facteur de qualité et la fréquence réduite soit
     ;

......on vérifie

  • la résonance en intensité pour la « fréquence réduite unité » [15], la valeur maximale étant alors et
  • la nullité du déphasage entre tension et intensité à la résonance en intensité c'est-à-dire pour la « fréquence réduite unité » [16], soit .

Courbe de valeur efficace en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, nature du filtre, fréquences de coupure et bande passante à -3dB, définition de l'acuité de la résonance en intensité[modifier | modifier le wikicode]

Tracé (point par point) de la courbe de valeur efficace en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence[modifier | modifier le wikicode]

Superposition des courbes de réponse en intensité efficace traversant un R L C série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite x pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue Q = 0,4, modérée Q = 2 et aiguë Q = 10

......Voir ci-contre la superposition des tracés de la réponse en intensité efficace du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe sur laquelle on observe une résonance pour correspondant à une valeur différente du facteur de qualité

  • donnant une résonance qualifiée de « floue »,
  • donnant une résonance qualifiée d'« aiguë » et
  • donnant une résonance ni « floue » ni « aiguë ».
Voir tableau de variation explicité ci-dessous :
0 1
[17] 0
0 0

......Pour , d'où et par suite dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite précisant que la tangente à la courbe en n'est pas parallèle à l'axe des (la pente étant d'autant plus faible que est grand).

Nature du filtre de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »[modifier | modifier le wikicode]

......La réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est

un « passe-bande » [18] pour toute valeur du facteur de qualité

......car il y a résonance quel que soit [19] avec des limites nulles à basse et haute fréquence [20].

Fréquences de coupure à - 3 dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »[modifier | modifier le wikicode]

......Les fréquences de coupure à - 3 dB [21] sont « les valeurs de fréquence pour lesquelles la réponse est égale à la réponse maximale divisée par  » soit ici ou, en fréquences réduites, soit concrètement l'équation suivante équivalente à et finalement l'équation  ou encore

[22],
étant appelée « fréquence réduite de coupure haute à -3dB » [23] et « fréquence réduite de coupure basse à -3dB » [24] ;

......il s'agit en fait de deux équations du 2e degré obtenues en multipliant chaque équation par ou soit de même discriminant ayant chacune deux solutions réelles distinctes dont le produit, égal à , assure que les deux racines de chaque équation sont de signe contraire d'où finalement l'existence d'une seule solution réelle positive pour chaque équation soit

[25],

......d'où les fréquences de coupure à -3dB obtenues en multipliant par soit et
......l'intervalle passant en fréquences à -3dB .

Bande passante à - 3 dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »[modifier | modifier le wikicode]

......La bande passante à - 3 dB d'une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L. soumis à une excitation sinusoïdale est la largeur de l'intervalle passant en fréquences à - 3 dB de la réponse, elle est usuellement notée [26] exprimée en  ;
......dans le cas présent la bande passante à - 3 dB [21] de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est définie par

 ;

......si l'évaluation de la bande passante à - 3 dB [21] suit le calcul des fréquences de coupure à - 3 dB [21] on en déduit

montrant que celle-ci est d'autant plus faible que le facteur de qualité est grand [27] ;

......usuellement on s'intéresse à la bande passante à - 3 dB [21] et non explicitement aux fréquences de coupure à - 3 dB [21], il est donc nécessaire de savoir l'évaluer sans avoir à expliciter les fréquences de coupure à - 3 dB [21] et on procède comme ci-dessous [28] :

......on part du système d'équations non linéaires en et suivantes et on en déduit le système équivalent suivant ou, en réduisant les termes entre parenthèses au même dénominateur puis en factorisant,  ;

......comme les fréquences réduites de coupure à - 3 dB [21] sont strictement positives on a nécessairement et par suite la 1ère équation se réduit à soit encore

[29] ;

......reportant dans la 2e équation, celle-ci se réduit à fournissant la valeur de la largeur de l'intervalle passant en fréquences réduites à - 3 dB [21]

[30]

......dont on tire la bande passante à - 3 dB [21] en multipliant par la fréquence propre soit

.

Acuité de la résonance en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante »[modifier | modifier le wikicode]

......L'acuité d'une résonance est une grandeur sans dimension définissant le caractère « aigu » de celle-ci (c'est-à-dire une grandeur d'autant plus grande que la résonance est plus aiguë) ; on choisit donc comme définition de l'acuité d'une résonance le rapport de la fréquence de résonance sur la bande passante à - 3 dB ;

......dans le cas présent l'acuité de la résonance en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est défini selon

[31] ;

......d'après le calcul de la bande passante à - 3 dB effectué dans le paragraphe précédent on en déduit

[32].

Pourquoi les fréquences de coupure et la bande passante sont-elles à - 3 dB ?[modifier | modifier le wikicode]

......Utiliser une échelle linéaire pour représenter la grandeur efficace associée à une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L. soumis à une excitation sinusoïdale

  • est bien adapté au domaine de fréquences sur lequel la réponse efficace passe de sa valeur maximale au dixième de cette dernière,
  • rend la variation peu visible sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du dixième de sa valeur maximale au centième de cette dernière,
  • ne permet pas d'observer de variation sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du centième de sa valeur maximale au millième de cette dernière …

......Pour rendre observables tous les domaines de fréquences précédents on utilise une échelle logarithmique (décimale) pour représenter la grandeur efficace associée à une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L. soumis à une excitation sinusoïdale et ainsi

  • sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe de sa valeur maximale au dixième de cette dernière, le logarithme (décimal) de la réponse efficace [33] passe de sa valeur maximale à celle-ci moins un,
  • sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du dixième de sa valeur maximale au centième de cette dernière, le logarithme (décimal) de la réponse efficace [33] passe de sa valeur maximale moins un à celle-ci moins deux,
  • sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du centième de sa valeur maximale au millième de cette dernière, le logarithme (décimal) de la réponse efficace [33] passe de sa valeur maximale moins deux à celle-ci moins trois …
  • On voit donc que tous les domaines de fréquences sont devenus observables et de façon similaire.

......En fait, au lieu de définir le logarithme (décimal) de la réponse efficace [33], on introduit une grandeur qui est « vingt fois ce logarithme (décimal) [34] », grandeur que l'on appelle « gain en décibels de la réponse efficace », dont l'intérêt est un effet de loupe sur la variation, une diminution d'une unité du logarithme (décimal) de la réponse efficace [33] correspondant à une diminution de 20dB du gain en décibels de la réponse efficace.

......Application au cas de la réponse efficace en intensité d'un R L C série soumis à une excitation sinusoïdale : l'intensité efficace sous forme canonique ayant la dimension d'une intensité, on définit une intensité de référence constante [35] puis le « gain en décibels de l'intensité efficace sous forme canonique » ou encore

 ;

......Application au cas de la réponse efficace en intensité d'un R L C série soumis à une excitation sinusoïdale : la définition de la fréquence réduite de coupure à - 3 dB de la réponse efficace en intensité étant , on en déduit l'équivalent en « gain en décibels de l'intensité efficace » en en prenant vingt fois le logarithme (décimal) [36] d'où la signification de fréquence de coupure à - 3 dB (ainsi que celle de bande passante à -3dB).

Courbe de déphasage en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, valeurs particulières du déphasage à la résonance en intensité et aux fréquences de coupure à - 3 dB[modifier | modifier le wikicode]

Tracé (point par point) de la courbe de déphasage en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence[modifier | modifier le wikicode]

Superposition des courbes d'avance de phase de l'intensité du courant traversant un R L C série sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite x pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue Q = 0,4, modérée Q = 2 et aiguë Q = 10

......Voir ci-contre la superposition des tracés de l'avance de phase de l'intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité

  • donnant une variation lente et assez régulière du déphasage,
  • donnant une variation rapide au voisinage de la fréquence réduite de résonance en intensité efficace, la variation étant très lente en dehors et
  • donnant une variation modérément rapide au voisinage de la fréquence réduite de résonance en intensité efficace avec toutefois une variation restant notable mais plus faible en dehors.
Voir tableau de variation explicité ci-dessous :
0 1
[17] 0
0

......Pour , dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite précisant que la tangente à la courbe en n'est pas parallèle à l'axe des (la pente étant négative d'autant plus faible en valeur absolue que est grand).

Valeurs particulières du déphasage à la résonance en intensité et aux fréquences de coupure à - 3 dB[modifier | modifier le wikicode]

......La résonance en intensité se produisant pour une fréquence imposée par le générateur égale à la fréquence propre du « R L C série » c'est-à-dire pour une fréquence réduite égale à , on en déduit égale à 0 et par suite égal à  ; on retient donc que

l'intensité du courant circulant dans le « R L C série » à la résonance en intensité est en phase avec la tension à ses bornes ou
 ;

......les fréquences de coupure haute et basse à - 3 dB de l'intensité efficace du courant circulant dans le « R L C série » se déterminant par les équations on en déduit égal à soit finalement

.

Détermination expérimentale de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », observation de la résonance en intensité quelle que soit le facteur de qualité, détermination des fréquences de coupure à - 3 dB[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental et 1ères observations[modifier | modifier le wikicode]

......On visualise simultanément la « tension aux bornes du générateur B.F. » [37] sur la voie 1 et
......On visualise simultanément la « tension aux bornes du conducteur ohmique » [38] sur la voie , on observe

  • en fonctionnement bicourbe , une variabilité de l'amplitude de la courbe sur la voie 2 relativement à la variation de fréquence, l'amplitude de la courbe sur la voie 1 restant constante ainsi qu'une variation du déphasage de la courbe sur la voie 2 par rapport à la courbe de la voie 1 et
  • en fonctionnement , une courbe de Lissajous elliptique caractéristique de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence ;

......on modifie la valeur du facteur de qualité en changeant la valeur de la résistance du conducteur ohmique (si , .

Observation de la résonance en intensité[modifier | modifier le wikicode]

......On détermine la résonance en intensité en déterminant la résonance en tension aux bornes du conducteur ohmique  ;

  • on constate, en fonctionnement bicourbe , que la valeur efficace de [39] passe par un maximum pour une certaine valeur de fréquence [40], les deux courbes sur voies 2 et 1 étant alors en phase [41] ;
  • on vérifie, en passant en fonctionnement quand la résonance en intensité est observée, que la courbe de Lissajous est un segment de droite de pente positive caractéristique de l'absence de déphasage entre les deux courbes [42], ceci étant vérifié pour toute valeur du facteur de qualité.

Détermination des fréquences de coupure à –3dB[modifier | modifier le wikicode]

......En mesure automatique avec les choix précédemment précisés, on détermine la valeur de la tension efficace aux bornes du conducteur ohmique à la résonance en intensité soit ainsi que la fréquence de résonance [43], puis

......on calcule la valeur que doit prendre la tension efficace aux bornes du conducteur ohmique pour les fréquences de coupure à –3dB et

......on augmente (ou diminue) la fréquence pour que la mesure de sur la voie 2 affiche cette valeur, on mesure alors la valeur de fréquence sur la voie 1 correspondant à la « fréquence de coupure haute (ou basse) à -3dB », la différence donnant la valeur de la « bande passante à –3dB » [44].

Détermination expérimentale de la pulsation propre et du facteur de qualité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » à partir des courbes de valeur efficace et de déphasage[modifier | modifier le wikicode]

Détermination de la fréquence propre[modifier | modifier le wikicode]

......On détermine la fréquence de résonance en intensité

  • soit sur la courbe de valeur efficace de l'intensité en fonction de la fréquence (valeur pour laquelle la valeur efficace est maximale) [45] ou en revoyant le paragraphe précédent « observation de la résonance en intensité en fonctionnement bicourbe ,
  • soit sur la courbe de l'avance de phase de l'intensité sur la tension en fonction de la fréquence (valeur annulant le déphasage) [45] ou en revoyant le paragraphe précédent « observation de la résonance en intensité en fonctionnement  » et
c'est la fréquence propre du « R L C série ».

Détermination du facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]

......On détermine les fréquences de coupure à –3dB

  • soit sur la courbe de valeur efficace de l'intensité en fonction de la fréquence (valeurs pour lesquelles la valeur efficace est égale à la valeur maximale divisée par [45] ou en revoyant le paragraphe précédent « détermination des fréquences de coupure à -3dB en fonctionnement bicourbe  »,
  • soit sur la courbe de l'avance de phase de l'intensité sur la tension en fonction de la fréquence (valeurs pour lesquelles le déphasage vaut , puis

......On détermine la bande passante à - 3 dB en faisant la différence des deux fréquences de coupure à -3dB, et enfin

......On détermine l'acuité de la résonance définie comme « rapport de la fréquence propre sur la bande passante à -3dB » et

c'est le facteur de qualité.

Analogie électromécanique, résonance en vitesse d'un oscillateur mécanique amorti par frottement fluide linéaire soumis à une force excitatrice sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

Analogue électromécanique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable : pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable selon l'axe du ressort[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental d'enregistrement (en perspective) d'un pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire et excité par action d'une force horizontale sinusoïdale (en vue de face)

......L'analogue électromécanique d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » est un « pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante [46] et de fréquence variable selon l'axe du ressort » voir schéma ci-contre (pour avoir l'analogue parfait il faut considérer le pendule « horizontal » [47]) ;

......Il y a deux difficultés pour obtenir la réponse en vitesse d'un pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire et soumis à une force excitatrice sinusoïdale,

  • d'une part comment imposer une force sinusoïdale de fréquence choisie et
  • d'autre part comment enregistrer la réponse en vitesse ?

......Le plus difficile est d'imposer « directement » une force excitatrice sinusoïdale de fréquence choisie :

  • une 1ère possibilité est de charger l'objet (en lui donnant une charge et de l'immerger dans un condensateur à isolant fluide visqueux à armatures planes perpendiculaires à l'axe du ressort aux bornes desquelles on impose une tension sinusoïdale de fréquence choisie, on crée ainsi un champ électrique [48] sinusoïdal de même fréquence, de direction « l'axe du ressort » qui impose sur l'objet une force électrique mais, pour que l'objet reste chargé, il faut que le ressort auquel il est relié soit un isolant électrique c'est-à-dire qu'il soit par exemple en plastique ce qui ne correspond pas au ressort usuel … ;
  • en fait imposer directement une force excitatrice sinusoïdale n'est pas la façon la plus simple de réaliser une excitation sinusoïdale d'un pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire, voir remarque en fin de paragraphe.

......La 2e difficulté est d'enregistrer « directement » la réponse en vitesse, car ce qu'on obtient par la méthode d'enregistrement ci-dessus c'est la réponse en élongation  :

  • on peut certes à partir de la réponse en élongation en déduire, point par point, la réponse en vitesse mais c'est un peu laborieux … ;
  • une possibilité pour enregistrer la réponse en vitesse, serait d'utiliser un « capteur de position » [49] et d'envoyer le signal de sortie du capteur de position sur un « montage dérivateur » [50], ce qui permet alors d'obtenir un enregistrement en vitesse.
Dispositif expérimental d'enregistrement (en perspective) d'un pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire et excité sinusoïdalement par action d'un système excentrique - bielle agissant sur l'extrémité non liée au solide (en vue de face)

......Façon la plus simple d'obtenir l'équivalent d'une force excitatrice sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable : cette façon consiste à créer un déplacement rectiligne sinusoïdal le long de l'axe du ressort sur son extrémité précédemment fixe (voir schéma ci-contre) ;

......on peut utiliser, pour créer le mouvement sinusoïdal de pulsation de (extrémité gauche du ressort), un système « excentrique - bielle » ayant pour but de transformer le mouvement circulaire de l'excentrique, situé à une distance du centre du disque dont il est solidaire et sur lequel est fixée une extrémité de la bielle, (l'excentrique tournant à la vitesse angulaire , en mouvement quasi rectiligne sinusoïdal de son autre extrémité qui est solidaire de , le mouvement étant d'amplitude et de pulsation , soit  ;

......il n'y a donc pas de force excitatrice s'exerçant directement sur l'objet , le bilan de forces horizontales que subit se réduisant

  • à la tension du ressort [51] et
  • à la force de frottement fluide linéaire  ;

......on remarque que la tension du ressort peut être décomposée en deux composantes,

  • l'une résultant du déplacement de par rapport à sa position d'équilibre [52] et
  • l'autre résultant du déplacement imposé de l'extrémité , déplacement conduisant à la composante agissant sur  ;

......nous voyons donc que le fait de créer un mouvement sinusoïdal de l'extrémité A s'écrivant est équivalent au problème où l'extrémité A serait maintenue fixe et où on imposerait directement sur M une force excitatrice sinusoïdale .

Détermination de l'équation différentielle en vitesse du pendule élastique amorti excité sinusoïdalement (P.E.A.E.S.)[modifier | modifier le wikicode]

......Nous considérons l'extrémité fixe et l'application directe sur d'une force excitatrice sinusoïdale , les deux autres forces horizontales étant

  • la tension du ressort étant repéré relativement à sa position d'équilibre c'est-à-dire la position du ressort à vide) et
  • la force de frottement fluide linéaire  ;

......l'application de la r.f.d.n. à dans le référentiel d'étude galiléen que l'on projette sur donne  soit, en ordonnant et en normalisant  ;

......pour obtenir l'équation différentielle en vitesse il convient de dériver l'équation précédente relativement à , utilisant soit

[53].

Réduction canonique du P.E.A.E.S.[modifier | modifier le wikicode]

......On définit les grandeurs canoniques du P.E.A.E.S. correspondant à la 2e réduction canonique introduite dans le paragraphe « réductions canoniques d'un R L C série dans le cadre de la réponse en à un échelon de tension » [7] du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », soit

  • la pulsation propre [54] et
  • le facteur de qualité tel que [55], [56] ;

......on en déduit la forme canonique de l'équation différentielle normalisée en vitesse avec excitation sinusoïdale

[57].

Détermination de la réponse forcée sinusoïdale en vitesse du P.E.A.E.S.[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : Le régime libre s'amortit comme en électricité mais usuellement « plus lentement » [58] et, une fois cet amortissement terminé on observe le régime sinusoïdal forcé de pulsation cherché sous la forme .

......On résout cette équation différentielle en passant en complexe [59], la vitesse instantanée complexe s'écrivant [60] avec l'amplitude complexe de la vitesse [60] et la force excitatrice instantanée complexe [60] avec l'amplitude complexe de la force [60] ;

......reportant dans l'équation différentielle et simplifiant par , on obtient dont on tire

[61] ;

......on déduit de la 2e forme canonique de l'amplitude complexe de la vitesse

  • en en prenant le module, l'amplitude de la vitesse et
  • en en prenant l'argument, la phase à l'origine de la vitesse dont on déduit l'avance de phase de la vitesse sur la force .

Résonance en vitesse du P.E.A.E.S.[modifier | modifier le wikicode]

......Les formules précédemment établies sur la « réponse en vitesse du pendule élastique amorti soumis à une force sinusoïdale d'amplitude fixée et de fréquence variable » (réponse en vitesse du P.E.A.E.S.) étant de même forme que celles correspondant à la « réponse en intensité du courant traversant un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable », on en déduit les mêmes propriétés à savoir :

  • résonance en vitesse pour une « fréquence de la force excitatrice » [62] égale à la fréquence propre de l'oscillateur, la valeur maximale de l'amplitude en vitesse étant [63],
  • nullité du déphasage à la résonance en vitesse entre la vitesse et la force excitatrice [64],
  • nature passe-bande en vitesse de l'oscillateur quel que soit le facteur de qualité

......avec une amplitude en vitesse quasi nulle à B.F. et H.F.

......et une d'autant plus petite que le facteur de qualité est grand, caractérisant l'acuité de la résonance,

  • quadrature avance de la vitesse sur la force excitatrice à B.F. et

.......quadrature retard ...de la vitesse sur la force excitatrice à H.F.,

......l'avance de phase de la vitesse sur la force excitatrice étant

...... pour la fréquence de coupure basse à - 3 dB et

...... pour la fréquence de coupure haute à -3dB.

Établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en charge (ou tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), résonance en charge (sous condition de facteur de qualité suffisant) pour une fréquence inférieure à la fréquence propre, nature du filtre suivant le facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]

Il convient bien sûr d'ajouter un schéma du circuit en complexe associée au r.s.f. de fréquence .

Réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes[modifier | modifier le wikicode]

......Soit la tension instantanée imposée au R L C série et [65] la tension instantanée aux bornes du condensateur, on leur associe les grandeurs instantanées complexes et [66] avec leurs valeurs efficaces complexes respectives et [66], [65] ;

...... étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un pont diviseur de tension dont la tension instantanée complexe d'entrée est on en déduit, en valeurs efficaces complexes, et, en multipliant haut et bas par puis en regroupant les termes réels du dénominateur et en ordonnant

.

Réduction canonique de la réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

......Comme nous l'avons vu dans le paragraphe « choix de la réduction canonique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale » plus haut dans ce chapitre, l'habitude quasi-générale dans le cadre du r.s.f. est de choisir la 2e réduction canonique c'est-à-dire :

  • la pulsation propre s'exprimant en et
  • le facteur de qualité sans dimension défini par [8] soit [9] ;

......on rappelle que l'usage dans le cadre du r.s.f. est de remplacer la notion de pulsation en par celle de pulsation réduite [10], sans dimension [11].

......La « réponse en tension aux bornes du condensateur » du R L C série à la « tension imposée » par le générateur ayant la même homogénéité, la réduction canonique sera « complète » [12], mis à part la tension efficace complexe imposée par le générateur, la forme canonique de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur ne dépendra que du facteur de qualité et de la fréquence réduite .

......Pour déterminer la forme canonique réduite [67] de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur, on élimine d'abord au profit de en y reportant soit [68] et finalement, en reconnaissant dans l'inverse du facteur de qualité

[69], [70],
cette forme canonique [71] usuelle étant aussi la forme canonique « pratique » [72].

......Remarque : si au lieu de chercher la réponse en intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace fixée et de fréquence variable » on souhaite obtenir la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique du même « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de même tension efficace fixée et de fréquence variable », on peut procéder

......Remarque : en déterminant d'abord puis en déduire en utilisant , la proportionnalité des deux conduisant aux mêmes résultats ou

......Remarque : en reconnaissant dans la tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un pont diviseur de tension dont la tension instantanée complexe d'entrée est on en déduit alors, en valeurs efficaces complexes, [73] et, en multipliant haut et bas par puis en regroupant les termes réels du dénominateur et en ordonnant à partir de laquelle il est aisé d'obtenir

la forme canonique, normalisée, réduite, usuelle

......Remarque : qui permet de caractériser l'ordre du système mais dont la forme ne permet pas de faire une étude simplement, le numérateur dépendant de  ; une fois l'ordre du système caractérisé par la forme canonique [71] usuelle, il convient de trouver la forme canonique [71] pratique en rendant le numérateur constant et pour cela on divise haut et bas par ce qui donne

la forme canonique, normalisée, réduite, pratique

......Remarque : permettant de faire une étude de variation aisée.

Tension efficace aux bornes du condensateur du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

......La tension efficace de la tension aux bornes du condensateur du R L C série se déterminant en prenant le module de la tension efficace complexe on en déduit

ou
sous sa forme canonique normalisée réduite .

Phase à l'origine de la tension aux bornes du condensateur du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

......La phase à l'origine de la tension aux bornes du condensateur du R L C série se déterminant en prenant l'argument de la tension efficace complexe on en déduit [74] soit

ou
en fonction du facteur de qualité et de la fréquence réduite [75].

Recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

......La tension efficace  imposée par le générateur étant constante et la fréquence réduite variable, on est amené à étudier la variation de la tension efficace aux bornes du condensateur en fonction de la fréquence réduite et se mettant sous la forme avec , il suffit d'étudier la variation de relativement à compte-tenu du fait que est une fonction de en calculant la dérivée de par rapport à soit  ; on obtient alors la discussion suivante :

  • si le terme constant est strictement positif soit , la dérivée et étant une fonction de et on en déduit que est une fonction de donc
    est une fonction de [76] ;
  • si le terme constant est négatif ou nul soit , la dérivée s'annulant pour [77] avec d'une part et d'autre part, nous en déduisons que est minimale en et par suite que est maximale en donc 
    est maximale en [76].

......En conclusion, la tension aux bornes du condensateur d'un R L C série entre en résonance à condition que le facteur de qualité vérifie , la fréquence de résonance étant inférieure à la fréquence propre selon [78] ;

......En conclusion, la valeur de la tension efficace aux bornes du condensateur à la résonance en charge, quand celle-ci est existe, donne soit finalement

[79].

Valeur du déphasage à la résonance éventuelle en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

......Contrairement à la valeur du déphasage entre l'intensité du courant traversant le R L C série et la tension à ses bornes à la résonance en intensité, valeur nulle constituant un résultat remarquable et très utilisé en pratique pour repérer la résonance en intensité,
......Contrairement à la valeur du déphasage entre la tension aux bornes du condensateur du R L C série et la tension à ses bornes à la résonance (conditionnelle) en charge n'ayant aucune particularité permettant son utilisation pour repérer l'éventuelle résonance en charge, usuellement on ne la détermine pas bien que cela ne présente aucune difficulté comme on le vérifie ci-dessous :

......si , l'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur du R L C série sur la tension à ses bornes à la résonance en charge, c'est-à-dire à la fréquence réduite , vaut soit, en reportant l'expression de la fréquence réduite de résonance en charge, donnant, après réduction au même dénominateur de l'argument de l'arctangente et simplification évidente

.

Nature du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » suivant le facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons déterminé, dans un paragraphe précédent,

  • l'absence de résonance en charge si , la réponse efficace en tension aux bornes du condensateur du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante étant d'une valeur notable à B.F. jusqu'à une limite nulle à H.F., nous en déduisons la nature « passe-bas » [18] du filtre et
  • l'existence d'une résonance en charge si , la réponse efficace en tension aux bornes du condensateur du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante étant d'une valeur notable à B.F. jusqu'à une limite nulle à H.F. mais en étant d'abord puis , nous en déduisons la nature « passe-bande ou passe-bas » [18] du filtre suivant l'existence ou non d'une fréquence de coupure basse non nulle à –3dB ;

...........la condition pour qu'il existe une fréquence de coupure basse non nulle à - 3 dB étant avec la valeur de la réponse efficace à la résonance en charge [80], se réécrit ou soit encore l'inéquation bicarrée en suivante  ; le discriminant réduit valant , les zéros du polynôme bicarré sont et, compte-tenu de la condition de résonance , on en déduit que l'inégalité est vérifiée si soit, étant positif, la condition d'existence d'une fréquence de coupure basse à - 3 dB  ;
...........en conclusion de cette étude si [81] la réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « passe-bas » [18] et
...........en conclusion de cette étude si [81] c'est un « passe-bande » [18].

......Finalement pour un facteur de qualité restant faible [81] la réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « passe-bas » [18] alors que
......Finalement pour un facteur de qualité plus grand [81] c'est un « passe-bande » [18], [82].

Complément : détermination des fréquences de coupure à - 3 dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » suivant qu'il y a, ou non, résonance en charge[modifier | modifier le wikicode]

Détermination de la fréquence de coupure à - 3 dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » en absence de résonance en charge[modifier | modifier le wikicode]

......Nous considérons donc , le filtre étant un « passe-bas » [18] dont la valeur maximale de tension efficace aux bornes du condensateur est  ; il n'existe donc qu'une seule fréquence de coupure à - 3 dB dont la valeur réduite est définie par soit encore l'équation suivante ou soit, en développant et ordonnant l'équation bicarrée par monômes de degré décroissant, de discriminant réduit et dont la racine positive s'écrit soit enfin la fréquence réduite de coupure à - 3 dB d'où la fréquence de coupure à - 3 dB du « passe-bas » [18] « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable en absence de résonance en charge »

[83], [84].

Détermination de la (ou les) fréquence(s) de coupure à - 3 dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » en présence de résonance en charge[modifier | modifier le wikicode]

......Nous considérons donc , le filtre étant un « passe-bas ou passe-bande » [18] suivant que est ou non, dont la valeur maximale de tension efficace aux bornes du condensateur est  ; il existe donc, suivant la valeur du facteur de qualité, une ou deux fréquences de coupure à - 3 dB dont la (ou les) valeur(s) réduite(s) sont définies par soit encore l'équation suivante ou [85] soit, en développant et ordonnant l'équation bicarrée, de discriminant réduit se simplifiant en [85] et dont les racines s'écrivent [86] dans la mesure où le 2e membre est positif soit enfin la (ou les) fréquence(s) réduite(s) de coupure à - 3 dB d'où

  • la fréquence de coupure à - 3 dB du « passe-bas à  » [18] « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable en présence de résonance en charge »
    [83], [87],
  • les fréquences de coupure haute et basse à - 3 dB du « passe-bande à  » [18] « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable en présence de résonance en charge »
    [83], [84].

Réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par diagramme de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

......Revoir la notion de « vecteur de Fresnel tournant » puis celle de « vecteur de Fresnel (sous-entendu à l'origine des temps) » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », sachant que la notion de diagramme de Fresnel [3] n'est qu'une façon concrète de matérialiser celle d'amplitudes complexes (ou de valeurs efficaces complexes [4]) dans tout schéma construit à partir de vecteurs de Fresnel [3] associés aux grandeurs sinusoïdales de même pulsation quand on les ajoute, dérive temporellement certaines d'entre elles ou effectue toute autre opération linéaire …

......Comme il a été indiqué dans le paragraphe « lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnell » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'utilisation du diagramme de Fresnel [3] n'apporte rien de plus que celle d'amplitudes complexes (ou de valeurs efficaces complexes [4]), [88], en conséquence de quoi nous n'indiquerons que les grandes lignes de ce traitement.

Diagramme de Fresnel [3] associé à un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace et de fréquence fixées, détermination de la réponse en intensité

......On trace les vecteurs de Fresnel [3] associés à chaque tension [5], puis la somme pour déterminer le vecteur de Fresnel [3] associé à la tension imposée par le générateur, voir diagramme de Fresnel [3] ci-contre [5],

  • le vecteur de Fresnel [3] associé à la tension aux bornes du condensateur du R L C série étant indirectement à celui associé à l'intensité du courant y circulant [89], leurs normes étant liées par , et
  • le vecteur de Fresnel [3] associé à l'intensité du courant étant colinéaire à celui associé à la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance , leurs normes étant liées par

......La façon la plus simple de procéder consiste à déterminer en fonction de pour ensuite l'insérer dans soit :

  • par théorème de Pythagore [6] dans lequel on reporte , et d'où et finalement
  • dans le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont et permettant de déduire, par report des expressions de , et et simplification évidente, puis, sachant que ou , on en déduit l'expression de l'avance de phase de la tension aux bornes du R L C série sur celle aux bornes du condensateur

Utilisation d'un outil de résolution numérique pour étudier l'influence du facteur de qualité sur l'éventuelle résonance en charge d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : A priori ce paragraphe n'a pas de raison d'être car il est relativement aisé de trouver « à la main » la condition à imposer à pour qu'il y ait résonance en charge et de constater que la résonance est d'autant plus aiguë que est grand [90] mais c'est une demande du programme de PCSI …