Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Optique géométrique : lentilles minces

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Optique géométrique : lentilles minces
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Chapitre no 14
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Optique géométrique : conditions de Gauss
Chap. suiv. :Optique géométrique : l'œil
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Sommaire

Retour sur les systèmes dioptriques « centrés », exemple des lentilles sphériques, cas particulier des précédentes : les lentilles minces[modifier | modifier le wikicode]

...... Rappel : Un système dioptrique centré est un cas particulier de «~système dioptrique~» à caractère «~centré~» (c'est-à-dire possédant un axe de symétrie de révolution).

Retour sur les systèmes dioptriques « centrés »[modifier | modifier le wikicode]

...... Il n'y a «~pas stigmatisme rigoureux~» pour les systèmes dioptriques centrés [1], mais on admet que l'utilisation de «~rayons incidents paraxiaux~» [2] confère aux systèmes dioptriques centrés le «~stigmatisme approché~» ;

...... de même il n'y a «~pas aplanétisme rigoureux~» pour les systèmes dioptriques centrés, mais on admet que l'utilisation d'«~objets linéiques transverses “vus de la face d'entrée” sous un petit angle~» [3] confère aux systèmes dioptriques centrés l'«~aplanétisme approché~» ;

...... un système dioptrique centré est dit

Schéma de définition d'un système dioptrique centré afocal
  • «~afocal~» si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, cela entraîne que
    ... tout rayon incident à l'axe optique principal émerge parallèlement à ce même axe, et que
    ... tout pinceau incident à l'axe optique principal émerge en un pinceau à ce même axe mais non nécessairement de même diamètre (voir figure ci-contre) ;
...... comme il y a aplanétisme approché, un objet linéique transverse du plan de front à l'infini donne une image linéique transverse du même plan de front à l'infini mais non nécessairement superposable, cela entraîne que
... tout pinceau incident de direction inclinée relativement à l'axe optique principal émerge en un pinceau d'inclinaison par rapport à ce même axe a priori différente (voir figure ci-contre) ;
Schémas de définition des foyers principaux d'un système dioptrique centré focal
  • «~focal~» si le point objet à l'infini de l'axe optique principal est conjugué d'un point image à distance finie, ce dernier étant le «~foyer principal image~» noté soit et
    «  focal » si le point image à l'infini de l'axe optique principal a pour conjugué un point objet à distance finie, ce dernier étant le «~foyer principal objet~» noté soit ,
    voir ci-contre ;
Schémas de définition de foyers secondaires d'un système dioptrique centré focal suivant l'axe optique secondaire choisi
...... chacun des points du «~plan focal image~» c'est-à-dire du plan de front passant par le foyer principal image , étant l'image du point objet à l'infini d'une direction inclinée relativement à l'axe optique principal est appelé «~foyer secondaire image~» [4] associé à la direction soit et
...... chacun des points du «~plan focal objet~» c'est-à-dire du plan de front passant par le foyer principal objet , étant conjugué du point image à l'infini d'une direction inclinée relativement à l'axe optique principal est appelé «~foyer secondaire objet~» [5] associé à la direction soit
voir ci-dessus à droite.

Exemple de systèmes dioptriques « centrés » : les lentilles sphériques[modifier | modifier le wikicode]

......Une lentille sphérique « épaisse » [6] est la juxtaposition de deux « dioptres sphériques » [7] de même espace optique intermédiaire d'indice , les deux espaces optiques extrêmes (celui d'entrée et celui de sortie) étant le plus souvent l'air d'indice  ;

......le 1er dioptre « le dioptre d'entrée » noté [8] ayant pour centre de courbure et pour sommet [9] et
......le 2e dioptre « le dioptre de sortie » noté [10] ayant pour centre de courbure et pour sommet [9],
......on algébrise physiquement l'axe optique principal de la face d'entrée vers la face de sortie en définissant l'épaisseur de la lentille sphérique par [11] ;
......on introduit également les rayons de courbure « algébrisés » [12] :

  • le rayon de courbure (algébrisé) de la face d'entrée [13],
  • le rayon de courbure (algébrisé) de la face de sortie [14].


......Une lentille sphérique peut être :

Exemples de lentilles convergentes : biconvexe, plan-convexe et ménisque convergent
Exemples de lentilles divergentes : biconcave, plan-concave et ménisque divergent
  • biconvexe si la face d'entrée est « convexe », la face de sortie étant « concave » [15] [on peut citer un cas particulier de lentille biconvexe, la lentille « boule », les rayons de courbure non algébrisés y sont les mêmes, les centres de courbure étant confondus et l'épaisseur égale à deux fois le rayon de courbure commun non algébrisé [16]],
  • plan - convexe si la face d'entrée est « convexe », la face de sortie étant « plane » [17] [on peut citer un cas particulier de lentille plan - convexe, la lentille « demi-boule », le centre de courbure de la face sphérique étant confondu avec le sommet de la face plane et l'épaisseur étant égale au rayon de courbure non algébrisé de la face sphérique [18]],
  • ménisque convergent si la face d'entrée est « convexe », la face de sortie étant « convexe » de rayon non algébrisé plus grand que celui de la face d'entrée [19],
ci-dessus à droite schémas des trois types de lentilles convergentes,
  • biconcave si la face d'entrée est « concave », la face de sortie étant « convexe » [15],
  • plan - concave si la face d'entrée est « concave », la face de sortie étant « plane » [20],
  • ménisque divergent si la face d'entrée est « concave », la face de sortie étant « concave » de rayon non algébrisé plus grand que celui de la face d'entrée [21],
ci-contre schémas des trois types de lentilles divergentes :
Lentille demi-boule non diaphragmée et absence de stigmatisme rigoureux pour le point à l'infini de l'axe optique principal, stigmatisme approché pour le même point si la lentille demi-boule est suffisamment diaphragmée

......Caractère « stigmatique non rigoureux mais approché » d'une lentille « demi-boule » pour le point à l'infini de son axe optique principal :
......la demi-boule étant d'indice

  • on observe l'absence de convergence ponctuelle d'un faisceau parallèle à l'axe optique principal couvrant la quasi totalité de la face d'entrée d'où l'absence de stigmatisme rigoureux de la lentille demi-boule pour le point à l'infini de l'axe optique principal [22], par contre
  • si on limite suffisamment la largeur du faisceau parallèle à l'aide d'un diaphragme positionné contre la face d'entrée, on observe l'apparition d'une convergence ponctuelle en , ce qui justifie le stigmatisme approché de la lentille demi-boule pour le point à l'infini de l'axe optique principal (voir ci-contre).

Cas particulier de lentilles sphériques : les lentilles minces[modifier | modifier le wikicode]

......Une lentille sphérique est dite « mince » si « son épaisseur est très petite » [23] soit encore si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » ou  ;

......nous admettrons le stigmatisme et l'aplanétisme « approchés » [24] d'une lentille sphérique mince dans les conditions de Gauss.

Centre optique d'une lentille mince, son axe optique principal et ses axes optiques secondaires[modifier | modifier le wikicode]

Définition du centre optique d'une lentille mince[modifier | modifier le wikicode]

......Le centre optique d'une lentille mince, usuellement noté , est le sommet commun des dioptres d'entrée et de sortie de la lentille sphérique que la lentille mince modélise dans les conditions de faible épaisseur.

Axe optique principal d'une lentille mince[modifier | modifier le wikicode]

......L'axe optique principal d'une lentille mince est l'axe de symétrie, noté , de la lentille sphérique que la lentille mince modélise dans les conditions de faible épaisseur, son algébrisation physique est dans le sens de la propagation (comme pour tout système dioptrique centré) ;
...... est la perpendiculaire commune en , centre optique de la lentille mince, aux faces d'entrée et de sortie de cette dernière.

Axes optiques secondaires d'une lentille mince[modifier | modifier le wikicode]

......Les axes optiques secondaires d'une lentille mince sont les associations d'un rayon incident passant par le centre optique , incliné par rapport à l'axe optique principal, et de l'émergent correspondant [25].

Rappel des conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme approchés d'une lentille mince[modifier | modifier le wikicode]

......Conditions de Gauss du stigmatisme approché d'une lentille mince : « les rayons incidents doivent être paraxiaux » [c'est-à-dire. peu inclinés relativement à l'axe optique principal et dont le point d'incidence reste proche du centre optique [26]] ;

......Conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'une lentille mince : « si l'objet linéique transverse AoBo n'est pas proche du centre optique O il doit être vu de ce dernier sous un petit angle β » et « s'il en est proche il doit être de petites dimensions » [27].

Propriété d'un rayon incident passant par le centre optique d'une lentille mince, stigmatisme rigoureux de cette dernière pour son centre optique et notion de point double[modifier | modifier le wikicode]

Propriété d'un rayon incident passant par le centre optique d'une lentille mince[modifier | modifier le wikicode]

......Tout rayon incident passant par le centre optique d'une lentille mince n'est pas dévié quelle que soit l'inclinaison du rayon par rapport à l'axe optique principal.

Déviation d'un rayon incident par une lentille sphérique d'épaisseur e tel que le rayon intermédiaire passe par O et tentative de justification de l'absence de déviation quand la lentille sphérique devient mince

......Ci-contre un rayon incident de point d'incidence sur la face d'entrée d'une lentille sphérique d'épaisseur donnant un rayon émergent de point d'incidence sur la face de sortie de cette dernière avec un rayon intermédiaire coupant l'axe optique principal de celle-ci en un point  ;
......en le rayon intermédiaire est plus proche de la normale au dioptre d'entrée que le rayon incident [28] et en il est plus éloigné de la normale au dioptre de sortie que le rayon émergent [29], ces deux effets antagonistes n'étant pas réalisés relativement à une même direction [la normale au dioptre d'entrée en n'étant pas confondue avec la normale au dioptre de sortie en , cela fournit une direction pour le rayon émergent a priori différente de celle du rayon incident ;
......toutefois si on fait tendre, par la pensée, l'épaisseur vers , le point et le point tendent tous deux vers le centre optique de la lentille mince qui modélise la lentille sphérique d'épaisseur infiniment petite, la normale au dioptre d'entrée en et celle au dioptre de sortie en tendant vers la normale commune aux faces d'entrée et de sortie de la lentille mince en c'est-à-dire l'axe optique principal de cette dernière, le rayon incident tendant vers un rayon incident faisant l'angle d'incidence avec , le rayon intermédiaire tendant vers un rayon intermédiaire de longueur tendant vers 0 faisant un angle avec et le rayon émergent tendant vers un rayon émergent faisant l'angle d'émergence avec tels que c'est-à-dire tels que , donc une absence de déviation du rayon émergent relativement au rayon incident et ceci quelle que soit la valeur de l'angle d'incidence.

Conséquence sur les axes optiques secondaires d'une lentille mince[modifier | modifier le wikicode]

......Une 1ère conséquence est qu'un axe optique secondaire d'une lentille mince formé d'un rayon incident passant par le centre optique de cette dernière en étant incliné relativement à l'axe optique principal et de l'émergent correspondant est une droite passant par en étant inclinée relativement à , l'inclinaison pouvant être quelconque.

Centre optique, point double de la lentille mince et stigmatisme rigoureux de cette dernière pour le centre optique[modifier | modifier le wikicode]

......Une 2e conséquence est qu'un faisceau convergent au centre optique d'une lentille mince poursuit sans déviation en divergeant à partir de et on en déduit que :

  • étant sa propre image est un « point double »,
  • le caractère ponctuel de l'image étant indépendant de l'ouverture du faisceau, « la lentille sphérique mince est stigmatique rigoureux pour le centre optique ».

Caractère focal d'une lentille mince, foyers principal objet et principal image, plans focaux, foyers secondaire objet et secondaire image associés à un axe optique secondaire[modifier | modifier le wikicode]

Lentille sphérique mince : système focal[modifier | modifier le wikicode]

......Une lentille sphérique mince est un système « focal » c'est-à-dire que

  • le point à l'infini de l'axe optique principal a pour image un point de à distance finie [30] et
  • il existe un point de à distance finie ayant pour image le point à l'infini de [31] ;

......on peut également dire que « le point à l'infini de Δ n'est pas un point double ».

Foyer principal objet, foyer principal image[modifier | modifier le wikicode]

......Le foyer principal objet d'une lentille mince est le point de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de

soit  ; une conséquence est que
« tout rayon incident passant (réellement ou virtuellement) par Fo émerge parallèlement à l'axe optique principal Δ ».


......Le foyer principal image d'une lentille mince est le point de l'axe optique principal , image de le point à l'infini de

soit  ; une conséquence est que
« tout rayon incident parallèle à l'axe optique principal Δ émerge en passant (réellement ou virtuellement) par Fi ».


......On établit que « Fo et Fi occupent des positions géométriquement [32] symétriques relativement à O ».


......On distingue deux types de lentilles minces suivant le caractère réel ou virtuel des foyers principaux :

  • les lentilles convergentes (biconvexe, plan convexe et ménisque convergent) pour lesquelles les foyers principaux objet et image sont réels (voir ci-dessous à gauche avec la représentation symbolique d'une lentille convergente) et
  • les lentilles divergentes (biconcave, plan concave et ménisque divergent) pour lesquelles les foyers principaux objet et image sont virtuels (voir ci-dessous à droite avec la représentation symbolique d'une lentille divergente).

Plan focal objet, plan focal image, foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire, foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire[modifier | modifier le wikicode]

......Le plan focal objet est le plan de front passant par le foyer principal objet , il est de même nature que le foyer principal objet à savoir réel pour une lentille convergente et virtuel pour une lentille divergente,

......le plan focal image est le plan de front passant par le foyer principal image , il est de même nature que le foyer principal image à savoir réel pour une lentille convergente et virtuel pour une lentille divergente.

......L'intersection d'un axe optique secondaire avec le plan focal objet définit « le foyer secondaire objet associé à cet axe optique secondaire » noté [33] ;
.........c'est aussi, dans la mesure où l'axe optique secondaire est peu incliné relativement à l'axe optique principal [34], « le point de l'axe optique secondaire ayant pour image le point à l'infini de cet axe »

soit  ;
une conséquence est que « tout rayon incident passant (réellement ou virtuellement) par φo, δ émerge parallèlement à δ » [35] ;

......l'intersection d'un axe optique secondaire avec le plan focal image définit « le foyer secondaire image associé à cet axe optique secondaire » noté [36] ;
.........c'est aussi, dans la mesure où l'axe optique secondaire est peu incliné relativement à l'axe optique principal [34], « le point de l'axe optique secondaire, image du point à l'infini de cet axe »

soit  ;
une conséquence est que « tout rayon incident parallèle à δ émerge en passant (réellement ou virtuellement) par φi, δ » [35].

Distance focale et vergence d'une lentille mince[modifier | modifier le wikicode]

......La « distance focale objet » d'une lentille mince est la distance algébrique [37], [38], elle est telle que :

  • pour une lentille mince convergente et
  • pour une lentille mince divergente ;

......la « distance focale image » [39] d'une lentille mince est la distance algébrique [37], [40], elle est telle que :

  • pour une lentille convergente et
  • pour une lentille divergente ;

......les foyers principaux objet et image d'une lentille mince étant géométriquement symétriques relativement au centre optique de cette dernière, les distances focale objet et image de la lentille mince sont opposées soit

.

......La vergence d'une lentille mince est définie selon

[41],
elle est exprimée en (dioptries), les distances focales étant alors en
soit  ;
  • si la lentille est « convergente », les foyers principaux objet et image étant « réels » ;
    ...... un faisceau incident divergeant à partir de émerge parallèlement et
    ...... un faisceau incident parallèle converge vers  ;
  • si la lentille est « divergente », les foyers principaux objet et image étant « virtuels » ;
    ...... un faisceau incident convergeant virtuellement vers (situé au-delà de émerge parallèlement et
    ...... un faisceau incident parallèle diverge virtuellement à partir de (situé en-deçà de .

Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé à distance finie (ou de l'objet conjugué d'une image linéique transverse située à distance finie) à l'aide de rayons lumineux[modifier | modifier le wikicode]

Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé à distance finie à l'aide de rayons lumineux judicieusement choisis[modifier | modifier le wikicode]

......Soit l'objet linéique transverse dont on cherche à déterminer l'image dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme approchés de la lentille mince, il suffit de déterminer l'image de l'objet , le pied de l'image s'obtenant en projetant orthogonalement sur l'axe optique principal ;

......on considère alors deux rayons incidents issus du point objet parmi les trois particuliers :

  • un rayon incident passant par n'étant pas dévié, le point image appartient (réellement ou virtuellement) à ce rayon émergent,
  • un rayon incident à l'axe optique principal émergeant en passant (réellement ou virtuellement) par le foyer principal image , le point image appartient (réellement ou virtuellement) à ce rayon émergent ou
  • un rayon incident passant (réellement ou virtuellement) par le foyer principal objet émergeant parallèlement à l'axe optique principal, le point image appartient (réellement ou virtuellement) à ce rayon émergent ;
au final le point image est l'intersection des deux rayons émergents « choisis » [42] (voir schémas ci-dessous) :
à gauche, objet réel en deçà du plan focal objet d'une lentille mince convergente, l'image est réelle inversée,
au centre, objet réel entre plan focal objet et face d'entrée d'une lentille mince convergente, l'image est virtuelle droite agrandie [43],
à droite, objet virtuel, l'image par une lentille mince convergente est réelle droite.

ci-dessus à gauche, objet réel, l'image par une lentille mince divergente est virtuelle droite,
ci-dessus au centre, objet virtuel entre face de sortie et plan focal objet d'une lentille mince divergente, l'image est réelle droite agrandie,
ci-dessus à droite, objet virtuel au-delà du plan focal objet d'une lentille mince divergente, l'image est virtuelle inversée.

Construction de l'objet conjugué d'une image linéique transverse située à distance finie à l'aide de rayons lumineux judicieusement choisis[modifier | modifier le wikicode]

......Soit l'image linéique transverse dont on cherche à déterminer l'objet conjugué dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme approchés de la lentille mince, il suffit de déterminer l'objet conjugué de , le pied de l'objet s'obtenant en projetant orthogonalement sur l'axe optique principal ;

......on considère alors deux rayons émergents passant par le point image parmi les trois particuliers :

  • un rayon émergent passant par provenant d'un rayon incident non dévié, le point objet appartient (réellement ou virtuellement) à ce rayon incident,
  • un rayon émergent à l'axe optique principal correspondant à un incident passant (réellement ou virtuellement) par le foyer principal objet , le point objet appartient (réellement ou virtuellement) à ce rayon incident ou
  • un rayon émergent passant (réellement ou virtuellement) par le foyer principal image correspondant à un incident à l'axe optique principal, le point objet appartient (réellement ou virtuellement) à ce rayon incident ;
au final le point objet est l'intersection des deux rayons incidents « choisis » [42]
(schémas identiques à ceux du paragraphe précédent mais en partant de l'image et en remontant vers l'objet).

Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé à distance infinie ou dans le plan focal objet[modifier | modifier le wikicode]

Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé à l'infini et tracés des pinceaux émergents associés aux pinceaux incidents parallèles[modifier | modifier le wikicode]

......Soit l'objet linéique transverse à l'infini dont on cherche l'image par une lentille mince, étant le point à l'infini de l'axe optique principal de cette dernière ;
......l'image de étant le foyer principal image et la lentille étant aplanétique (approchée), l'image de est dans le plan focal image de la lentille, par suite l'image de est le foyer secondaire image associé à l'axe optique secondaire , c'est-à-dire que l'image de est  ;
......il suffit alors de déterminer le foyer secondaire image associé à l'axe optique secondaire , les pinceaux émergents correspondant aux pinceaux parallèles issus de et de convergeant respectivement en et , voir ci-dessous :

à gauche l'image de l'objet réel [44] par une lentille convergente, l'image est réelle inversée dans le plan focal image,
à droite l'image de l'objet réel [44] par une lentille divergente, l'image est virtuelle droite dans le plan focal image.

Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé dans le plan focal objet et tracé du cheminement des pinceaux[modifier | modifier le wikicode]

......Soit l'objet linéique transverse dans le plan focal objet dont on cherche l'image par une lentille mince, étant le point de l'axe optique principal de cette dernière ;
...... coïncidant avec le foyer principal objet de la lentille, son image est le point à l'infini de l'axe optique principal et la lentille étant aplanétique (approchée), l'image de est dans le plan de front situé à l'infini de la lentille, par suite coïncidant avec le foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire , son image est le point à l'infini de cet axe optique secondaire c'est-à-dire que l'image de est  ;
......il suffit alors de déterminer l'axe optique secondaire associé au foyer secondaire objet , les pinceaux émergents correspondant aux pinceaux incidents issus de et de émergeant parallèles respectivement à l'axe optique principal et à l'axe optique secondaire , voir ci-dessous :

à gauche l'image de l'objet réel dans le plan focal objet d'une lentille convergente, l'image est réelle [45] inversée à l'infini,
à droite l'image de l'objet virtuel dans le plan focal objet d'une lentille divergente, l'image est réelle [46] droite à l'infini.

Construction de l'image d'un objet ponctuel situé sur l'axe optique principal à distance finie (ou de l'objet conjugué d'une image ponctuelle située sur l'axe optique principal à distance finie) par utilisation de la notion de foyers secondaires[modifier | modifier le wikicode]

Construction de l'image d'un objet ponctuel situé sur l'axe optique principal à distance finie par utilisation des foyers secondaires[modifier | modifier le wikicode]

......Soit un objet ponctuel de l'axe optique principal d'une lentille mince par laquelle on cherche à déterminer l'image , (objet ponctuel à distance finie sur [47]), la lentille étant stigmatique (approché) il suffit de choisir un rayon incident paraxial passant par et de déterminer le rayon émergent correspondant, ce dernier devant passer par d'une part et d'autre part l'image d'un point de l'axe optique principal étant un point de ce dernier, est déterminée par l'intersection du rayon émergent avec l'axe optique principal ;

  • un rayon incident (ou son prolongement) passant (réellement ou virtuellement) par coupe le plan focal objet en d'axe optique secondaire associé , support de , et émerge, à partir du point d'incidence sur la lentille, parallèlement à ou
  • un rayon incident (ou son prolongement) passant (réellement ou virtuellement) par , est parallèle à un axe optique secondaire (c'est-à-dire que le rayon incident passe par le point à l'infini de cet axe , l'axe optique secondaire coupant le plan focal image de la lentille en , foyer secondaire image associé à , le rayon incident émerge, à partir du point d'incidence sur la lentille, en passant (réellement ou virtuellement) par  ;
voir ci-dessous la construction de l'image par une lentille mince convergente d'un objet réel avec
utilisation du foyer secondaire objet à gauche et celle du foyer secondaire image à droite.

Construction de l'objet conjugué d'une image ponctuelle située sur l'axe optique principal à distance finie par utilisation des foyers secondaires[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une image ponctuelle de l'axe optique principal d'une lentille mince par laquelle on cherche à déterminer l'objet conjugué , (image ponctuelle à distance finie sur [49]), la lentille étant stigmatique (approché) il suffit de choisir un rayon émergent paraxial passant par et de déterminer le rayon incident correspondant, ce dernier devant passer par d'une part et d'autre part l'objet conjugué d'un point de l'axe optique principal étant un point de ce dernier, est déterminée par l'intersection du rayon incident avec l'axe optique principal ;

  • un rayon émergent (ou son prolongement) passant (réellement ou virtuellement) par coupe le plan focal image en d'axe optique secondaire associé , support de , et son incident correspondant est, en deçà du point d'incidence sur la lentille, parallèle à ou
  • un rayon émergent (ou son prolongement) passant (réellement ou virtuellement) par , est parallèle à un axe optique secondaire c'est-à-dire que le rayon émergent passe par le point à l'infini de cet axe , l'axe optique secondaire coupant le plan focal objet de la lentille en , foyer secondaire objet associé à , son incident correspondant passe, en deçà du point d'incidence sur la lentille, (réellement ou virtuellement) par  ;
voir ci-dessous la construction de l'objet conjugué par une lentille mince divergente d'une image réelle avec
utilisation du foyer secondaire image à gauche et celle du foyer secondaire objet à droite.

Relations de conjugaison approchée de Descartes et de Newton d'une lentille mince[modifier | modifier le wikicode]

Orientation des espaces objet et image[modifier | modifier le wikicode]

......Chaque espace est orienté par une « base orthonormée directe » dont « le 1er vecteur est celui orientant l'axe optique principal dans sa partie incidente ou émergente » [50], « les 2e et 3e orientant les plans transverses objets ou images », « le 2e étant commun aux deux espaces, choisi parallèle à l'objet linéique transverse AoBo étudié », « le 3e, également commun aux deux espaces, orientant les angles du plan d'incidence et d'émergence ».

Repérage de Descartes des points objet et image[modifier | modifier le wikicode]

......L'origine des abscisses objet et image de Descartes [51] des points de l'axe optique principal d'une lentille mince, étant préalablement algébrisé dans le sens incident de propagation de la lumière, est commune choisie au centre optique de cette dernière ;

  • un point objet de l'axe optique principal est repéré par son abscisse objet de Descartes négative pour un objet réel et positive pour un objet virtuel [52] ;
  • un point image de l'axe optique principal est repéré par son abscisse image de Descartes positive pour une image réelle et négative pour une image virtuelle [53].

Repérage de Newton des points objet et image[modifier | modifier le wikicode]

......L'origine des abscisses objet et image de Newton [54] des points de l'axe optique principal d'une lentille mince, étant préalablement algébrisé dans le sens incident de propagation de la lumière, est choisie respectivement pour un point objet au foyer principal objet et pour un point image au foyer principal image de cette dernière ;

  • un point objet de l'axe optique principal est repéré par son abscisse objet de Newton négative pour un objet situé en deçà du foyer principal objet et positive pour un objet situé au-delà du foyer principal objet [55] ;
  • un point image de l'axe optique principal est repéré par son abscisse image de Newton positive pour une image située au-delà du foyer principal image et négative pour une image située en deçà du foyer principal image [56].

Relations de conjugaison approchée de Descartes[modifier | modifier le wikicode]

......La 1ère relation de conjugaison (approchée) [ou relation de conjugaison (approchée) de position] de Descartes traduit le stigmatisme approché de la lentille mince pour un point objet de l'axe optique principal et

......la 2e relation de conjugaison (approchée) [ou relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse] de Descartes traduit l'aplanétisme approché de cette lentille mince pour un objet linéique transverse .

Première relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

......L'application de la relation de conjugaison de position de Descartes au couple donne et

......L'application de la relation de conjugaison de position de Descartes au couple on en tire .

Deuxième relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes[modifier | modifier le wikicode]

......Rappel de la définition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse : étant un objet linéique transverse de pied sur l'axe optique principal d'une lentille mince et son image (linéique transverse [58]) par cette dernière, on définit la grandissement transverse de l'objet par la lentille selon .

Début d’un théorème
Fin du théorème

......Si sont de même signe, le grandissement transverse est « positif », l'image est qualifiée de « droite » [60] et

......si sont de signe contraire, le grandissement transverse est « négatif », l'image est qualifiée d'« inversée » [61].

Relations de conjugaison approchée de Newton[modifier | modifier le wikicode]

......Comme pour celles de Descartes, la 1ère relation de conjugaison (approchée) [ou relation de conjugaison (approchée) de position] de Newton traduit le stigmatisme approché de la lentille mince pour un point objet de l'axe optique principal et

......Comme pour celles de Descartes, la 2e relation de conjugaison (approchée) [ou relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse] de Newton traduit l'aplanétisme approché de cette lentille mince pour un objet linéique transverse .

Première relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

......L'application de la relation de conjugaison de position de Newton au point objet, centre optique de la lentille, permet de vérifier la propriété de point double de ce dernier car .

Deuxième relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton[modifier | modifier le wikicode]

......Voir rappel de la définition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse.

Début d’un théorème
Fin du théorème

......Si [respectivement sont de même signe, le grandissement transverse est « négatif », l'image est qualifiée d'« inversée » [66] et

......si [respectivement sont de signe contraire, le grandissement transverse est « positif », l'image est qualifiée de « droite » [67].

Établissement des relations de conjugaison d'une lentille mince à partir de la construction de l'image d'un objet linéique transverse[modifier | modifier le wikicode]

Constructions fondamentales de l'image d'un objet linéique transverse pour démontrer les relations de conjugaison de Descartes et de Newton[modifier | modifier le wikicode]

Construction de l'image réelle d'un objet linéique transverse réel par une lentille mince convergente utilisant trois rayons incidents (passant par O, passant par Fo et parallèle à l'axe optique principal)

......On construit l'image d'un « objet linéique transverse réel » par une lentille sphérique mince [68] « convergente » [69] dans le cas où « l'image est réelle » [70] en utilisant trois rayons incidents issus de  :

  • un premier noté passant par le centre optique , n'étant pas dévié,
  • un second noté parallèle à l'axe optique principal, émergeant par le point d'incidence sur la lentille en passant par le foyer principal image et
  • un troisième noté passant par le foyer principal objet , émergeant par le point d'incidence sur la lentille parallèlement à l'axe optique principal ;

......le point image , conjugué de par la lentille, est alors à l'intersection des trois rayons émergents, s'obtenant en projetant orthogonalement sur l'axe optique principal de cette dernière.

Démonstration des trois relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes et de Newton[modifier | modifier le wikicode]

......On utilise la similitude de triangles ayant pour sommet commun respectivement , et  ;

  • on évalue la valeur absolue du grandissement transverse par similitude des triangles et soit et on détermine le signe en passant aux mesures algébriques d'où en effet sur la figure , , et soit finalement la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes
     ;
  • on évalue la valeur absolue du grandissement transverse par similitude des triangles et soit, avec , et on détermine le signe en passant aux mesures algébriques d'où en effet sur la figure , , et soit finalement une des deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Newton
     ;
  • on évalue la valeur absolue du grandissement transverse par similitude des triangles et soit, avec , et on détermine le signe en passant aux mesures algébriques d'où en effet sur la figure , , et soit finalement l'autre des deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Newton
    .

Démonstration des deux relations de conjugaison de position de Descartes et de Newton[modifier | modifier le wikicode]

On se sert des relations de conjugaison de grandissement transverse déterminées au paragraphe précédent [71].

......Relation de conjugaison de position de Newton :
............on égale les deux expressions de grandissement transverse de Newton d'où et par « égalité des produits des extrêmes et des moyens » [72] on obtient la relation de conjugaison de position de Newton

.

......Relation de conjugaison de position de Descartes :
............on égale une des expressions de grandissement transverse de Newton, par exemple à celle de Descartes d'où , puis on fait le changement d'origine sur l'abscisse de Newton de de façon à ne conserver que le repérage de Descartes ce qui donne ou encore et, en divisant de part et d'autre par , la relation c'est-à-dire la relation de conjugaison de position de Descartes

encore écrit selon est la vergence de la lentille.

Grandissement angulaire d'un pinceau lumineux, relation de Lagrange-Helmholtz[modifier | modifier le wikicode]

Expression de Descartes du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet de l'axe optique principal[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet de l'axe optique principal d'une lentille mince convergente

......On considère un pinceau lumineux issu du point objet [73] de direction d'abscisse angulaire est l'axe optique principal orienté dans le sens de la propagation et le point d'incidence du rayon moyen du pinceau sur la lentille, le pinceau émergent correspondant passant par [74] de direction d'abscisse angulaire définie par [75] (voir schéma ci-contre) ;

......le grandissement angulaire du pinceau issu de est défini par

.
  • Pour évaluer , on explicite puis on algébrise en utilisant le schéma , et soit et enfin on utilise les conditions de Gauss d'où et par suite  ;
  • pour évaluer , on explicite puis on algébrise en utilisant le schéma , et soit et enfin on utilise les conditions de Gauss d'où et par suite  ;
  • on en déduit le grandissement angulaire donnant, après simplification, d'où l'expression de Descartes du grandissement angulaire
    [76].

Relation de Lagrange-Helmholtz (L-H) d'une lentille (sphérique) mince[modifier | modifier le wikicode]

......La relation de Lagrange-Hemholtz [77] est le lien entre le grandissement transverse d'un objet linéique transverse et le grandissement angulaire d'un pinceau issu du point objet  ;

......la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes étant et l'expression de Descartes du grandissement angulaire on en déduit aisément la relation de Lagrange - Helmholtz

[78].

Conditions de Bessel séparant un objet linéique transverse réel et son image par une lentille mince convergente pour que l'image soit réelle[modifier | modifier le wikicode]

Position du problème[modifier | modifier le wikicode]

......On veut projeter l'image d'un objet « rétroéclairé » [79] sur un écran de façon à obtenir une image agrandie tout en restant aussi lumineuse et nette que possible, avec une distance entre l'objet et l'écran imposée par les conditions extérieures.

Nécessité de choix d'une lentille convergente[modifier | modifier le wikicode]

......L'objet étant réel et l'image devant être réelle, la seule possibilité est une lentille « convergente » [80] séparée de l'objet d'une « distance supérieure à la distance focale fi de la lentille » d'où le choix de nécessairement inférieure à la distance entre l'écran et l'objet [81].

« Condition de Bessel » du choix de lentille pour avoir une image nette sur l'écran[modifier | modifier le wikicode]

......La distance  entre l'objet et l'écran étant imposée comment choisir la distance focale de la lentille et où la placer (c'est-à-dire où placer son centre optique) ?

Schéma de recherche de la distance focale et de la position de la lentille mince convergente en fonction de la distance D fixée entre l'objet et l'écran

......On cherche simultanément la distance focale de la lentille mince convergente et la distance séparant celle-ci de l'objet et pour cela on va écrire que les plans de front contenant l'objet et l'écran sont conjugués avec pour abscisse de Descartes de l'objet et celle de Descartes de l'image d'où, par 1ère relation de conjugaison de Descartes , équation en et de paramètre , que l'on peut réécrire selon ou soit enfin l'équation du 2e degré en suivante  ;

......cette équation admet des solutions réelles si son discriminant est positif soit ou nécessitant que

connue sous le nom de « condition (nécessaire) de Bessel [82] de netteté de l'image sur l'écran » ;

......avec le choix nécessaire , la distance séparant la lentille de l'objet :

  • est unique si (distance de Silbermann [83]), correspondant à , sa valeur étant
    ,
  • a deux valeurs si (distance de Bessel), correspondant à , ses valeurs étant
    et  
    (l'une ou l'autre des valeurs constituant la 1ère condition de Bessel pour avoir une image nette sur l'écran) ;
    ces deux positions de lentilles sont symétriques par rapport à c'est-à-dire qu'elles sont symétriques par rapport au plan milieu de l'espace séparant le plan objet de l'écran.

« Condition de Bessel » du choix de la position de la lentille pour avoir un grandissement transverse suffisant[modifier | modifier le wikicode]

......Remarquons d'abord que si la distance séparant l'objet de la lentille est , celle séparant la lentille de l'écran est  » et vice-versa ; le grandissement transverse vaut donc :

  • si la distance séparant l'objet de la lentille est , soit encore de valeur absolue ,
  • si la distance séparant l'objet de la lentille est , soit encore de valeur absolue , avec  ;

......on constate que les grandissements transverses tous deux négatifs correspondent à une image inversée ;

......la position de lentille donnant le plus grand grandissement transverse en valeur absolue est celle correspondant à la plus petite distance séparant la lentille de l'objet soit , ce choix définissant la 2e condition de Bessel pour avoir un grandissement transverse suffisant, ce dernier en valeur absolue étant égal à [84].

......Remarques : Si on choisit la distance de Silbermann , la lentille étant au milieu de l'espace séparant l'objet de l'écran, et d'où un grandissement transverse égal à , l'image étant de même taille que l'objet (mais inversée), nous sommes loin du but recherché.

Prise en compte des conditions de Gauss[modifier | modifier le wikicode]

......Pour que l'image soit suffisamment nette les conditions de Gauss doivent être respectées « rayons paraxiaux et petitesse de l'angle sous lequel de O on voit l'objet » et

......pour que l'image soit suffisamment grande la 2e condition de Bessel précise qu'il faut choisir d'une part la position de Bessel la plus proche de l'objet avec d'autre part aussi petit que possible pour avoir un grandissement transverse suffisamment grand en valeur absolue ;

......or le choix de aussi petit que possible pour « réaliser au mieux la 2e condition de Bessel » entraîne un rapprochement de la lentille de l'objet et par suite une augmentation de l'angle sous lequel l'objet est vu du centre optique donc « une moins bonne réalisation de la 2e condition de Gauss » [85] ainsi qu'une augmentation de l'inclinaison des rayons issus des point objets donc « une moins bonne réalisation de la 1ère condition de Gauss » [86] ;

......en conclusion il y a un compromis à trouver entre une taille d'image suffisamment grande nécessitant de « diminuer la focale » de la lentille et une image suffisamment nette qui requiert d'« augmenter sa focale » pour éloigner la lentille de l'objet.

Éclairage de l'objet[modifier | modifier le wikicode]

Rétroéclairage sans condenseur et perte de lumière ne traversant pas la lentille de projection

......L'objet est éclairé de façon optimale si tous les rayons provenant de l'objet traverse la lentille de projection et pour que ceci soit réalisé il convient d'utiliser une lanterne munie d'un « condenseur » pour éclairer l'objet.

......Définition d'un condenseur : un condenseur est souvent formé de l’association de deux lentilles plan convexes dont les faces bombées sont en regard, la distance focale habituelle est de l’ordre de  ; souvent utilisé hors conditions de Gauss car le but n'est pas de former une image, il n’a pas besoin d’être de grande qualité optique, on lui demande seulement d’être de grande dimension car c’est ce qui limite la taille de l’objet projetable, et d’être assez convergent, pour des problèmes d’encombrement.

......En effet un montage sommaire conduirait à la situation ci-contre, la lentille de projection ne recevant qu'une petite partie de la lumière qui traverse l'objet, la partie visible de l'objet serait fortement réduite.

Rétroéclairage avec condenseur permettant que toute la lumière traverse la lentille de projection

......Pour y remédier on place donc un « condenseur » entre la lanterne et l'objet ce qui conduit à la situation ci-contre, la lentille de projection « recevant ainsi toute la lumière qui a traversé l'objet ».

......Réglage d'un condenseur : L'idéal est de « placer le condenseur de façon à ce que l'image du filament de la lampe par le condenseur se fasse sur la lentille de projection », cette dernière donnant alors une image de cette image de filament également confondue sur la lentille et par suite ne se retrouvant pas au-delà de la lentille ou
......Réglage d'un condenseur : L'idéal est de faire, comme sur le schéma ci-contre, l'image du filament légèrement au-delà de la lentille de projection, de façon à ce que l'image qu'en donnera la lentille de projection soit certes réelle (l'image de filament jouant le rôle d'objet virtuel pour cette lentille de projection, son image sera réelle) mais rapprochée de la lentille de projection donc ne risquant pas de se retrouver sur l'écran.

Modélisation d'un dispositif dioptrique d'utilisation courante à l'aide de plusieurs lentilles minces en série[modifier | modifier le wikicode]

Introduction, réglage pour une observation par un œil n'accommodant pas[modifier | modifier le wikicode]

......L'œil sera étudié de façon plus approfondie au chapitre suivant mais dès à présent il faut savoir modéliser un œil par une « lentille de vergence variable, le cristallin » et par un « écran, la rétine », cette dernière restant à distance constante du cristallin ; par contraction plus ou moins grande, le cristallin réalise la conjugaison d'un plan de front situé à la distance de l'œil avec la rétine :

  • quand le cristallin ne se contracte pas, on dit que « l’œil n'accommode pas », la distance est alors infinie pour un œil « normal » et le plan de front est au « punctum remotum » de l'œil,
  • quand le cristallin se contracte au maximum, on dit que « l’œil accommode au maximum », la distance est alors de pour un œil « normal » et le plan de front est au « punctum proximum » de l'œil ;

......pour un minimum de fatigue visuelle il convient de faire les réglages des dispositifs dioptriques d'utilisation courante de façon à ce que l'œil de l'observateur n'accommode pas et par suite l'image d'un objet observé à travers un dispositif dioptrique doit être à l'infini, cette image servant d'objet pour l'œil de l'observateur, ce dernier donnera une image définitive localisée sur la rétine donc visuellement nette.

Lunette de Galilée[modifier | modifier le wikicode]

......Lunette la plus simple permettant d'observer des objets terrestres situés à grande distance donc considérés comme localisés à l'infini ; on modélise la lunette par deux lentilles minces :

  • l'une appelée « objectif » située du côté de l'objet observé et par laquelle la lumière provenant de cet objet entrera cette lentille jouera donc le rôle de « face d'entrée » convergente à grande focale dans le cas de la lunette de Galilée [87], exemple ,
  • l'autre appelée « oculaire » située du côté de l'œil de l'observateur et par laquelle la lumière sortira pour ensuite pénétrer dans l'œil cette lentille jouera donc le rôle de « face de sortie » divergente à petite focale en valeur absolue dans le cas de la lunette de Galilée, exemple .

Nécessité du caractère afocal de la lunette et conséquence sur la disposition des deux lentilles[modifier | modifier le wikicode]

......Un objet à l'infini de l'axe optique principal devant être conjugué par la lunette à une image à l'infini de , la « lunette de Galilée doit être afocale » ;
......on a donc, en partant de l'objet observé situé à l'infini, la conjugaison par l'objectif et, en partant de l'image finale également à l'infini, la conjugaison par l'oculaire donnant globalement si


c'est-à-dire « le plan focal image de l'objectif confondu avec le plan focal objet de l'oculaire » (condition pour qu'un doublet de lentilles soit afocal).

Conséquence sur l'encombrement de la lunette[modifier | modifier le wikicode]

......L'encombrement de la lunette est défini comme la distance séparant la face d'entrée de la lunette de celle de sortie soit [88] ou encore [89] soit finalement

[90]
donnant numériquement .

Tracé de l'image d'un objet linéique transverse et cheminement des pinceaux parallèles issus des points extrêmes de l'objet[modifier | modifier le wikicode]

Cheminement, à travers une lunette de Galilée, de pinceaux lumineux parallèles issus des extrémités d'un objet linéique transverse à l'infini

......On sait que pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal et que pour le point objet, autre extrémité de l'objet linéique transverse à l'infini, point objet sur l'axe optique secondaire de l'objectif donnant le point image à l'infini sur l'axe optique secondaire de l'oculaire d'où le schéma ci-contre :

Définition du grossissement de la lunette de Galilée et son évaluation[modifier | modifier le wikicode]

...... étant l'angle algébrisé sous lequel l'observateur voit l'objet à travers la lunette et l'angle algébrisé sous lequel il le voit à l'œil nu,

le grossissement de la lunette est défini par [91], [92] ;

......son évaluation se fait par l'intermédiaire de la « tangente des angles » [93] dans les triangles rectangles faisant intervenir la hauteur de l'image intermédiaire à savoir les triangles et  :

  • dans le triangle rectangle on a [94] ou, avec , l'évaluation  ;
  • dans le triangle rectangle on a [95] ou, avec , l'évaluation  ;

......faisant le rapport nous en déduisons le grossissement cherché et, utilisant , nous obtenons

[96], [97] ou numériquement .

Définition du cercle oculaire, établissement de sa position et de sa taille[modifier | modifier le wikicode]

......Tous les rayons pénétrant dans la lunette traversent inévitablement sa face d'entrée c'est-à-dire l'objectif de la lunette, ils sortiront de la lunette en passant nécessairement par l'image de l'objectif par la lunette ;
......sachant que on constate que l'image de l'objectif par la lunette est aussi l'image de l'objectif par l'oculaire d'où la définition du « cercle oculaire » ci-dessous et sa conséquence sur la traversée des rayons.

Définition du cercle oculaire de la lunette et propriétés des rayons traversant la lunette[modifier | modifier le wikicode]

......Le cercle oculaire de la lunette est l'image de l'objectif par l'oculaire ;

......tous les rayons pénétrant dans la lunette ressortent en traversant le cercle oculaire et comme ce dernier est aussi l'endroit de « resserrement maximal autour de l'axe optique principal des rayons émergents » [98], c'est ici que l'éclairement sera maximal, c'est donc ici qu'il serait préférable de positionner l'œil de l'observateur à condition toutefois que ce soit possible c'est-à-dire que le cercle oculaire soit réel et non virtuel …

Position du centre du cercle oculaire[modifier | modifier le wikicode]

......Notant le centre du cercle oculaire, c'est-à-dire le conjugué du centre optique de l'objectif par l'oculaire , on obtient sa position en utilisant l'une des relations de conjugaison de position de Descartes ou de Newton, par exemple celle de Newton où [99] soit encore correspondant à soit

donnant numériquement ou  ;

......le centre du cercle oculaire se trouve légèrement au-delà du foyer principal image de l'oculaire, à au-delà de , il est donc virtuel « pratiquement confondu avec Fi, 2 », plus exactement en soit finalement et l'observateur ne pourra pas y positionner son œil !

Taille du cercle oculaire pour un objectif de taille précisée[modifier | modifier le wikicode]

......Pour cela il suffit de déterminer le grandissement transverse par l'oculaire de l'objet linéique transverse , étant le bord « supérieur » de l'objectif dans le plan d'incidence , étant l'image correspondante par l'oculaire on a alors soit finalement d'où

,
ce qui donne, pour un objectif de de diamètre (ou de rayon) un cercle oculaire virtuel de de rayon,
soit de diamètre.
Schéma de positionnement du cercle oculaire et des rayons extrêmes traversant l'objectif[modifier | modifier le wikicode]
Schéma de positionnement du cercle oculaire d'une lunette de Galilée et des rayons extrêmes traversant l'objectif

......Voir ci-contre :

Inconvénient de la lunette de Galilée[modifier | modifier le wikicode]

......Impossibilité de positionner l'œil dans le plan du cercle oculaire, il faut donc le mettre au plus près de l'oculaire mais il y a nécessairement perte de puissance lumineuse (moyenne) car c'est alors la « pupille de l'œil » [100] qui la limite, celle-ci étant certainement de diamètre inférieur à celui de l'oculaire.

Avantage de la lunette de Galilée[modifier | modifier le wikicode]

......(relativement à la lunette astronomique étudiée au paragraphe suivant) : L'encombrement est moins grand et l'image est droite ce qui est utile lorsque l'on fait une observation terrestre (pour des objets éloignés bien sûr) mais n'est pas indispensable pour une observation céleste.

Lunette astronomique[modifier | modifier le wikicode]

......Lunette permettant d'observer des objets célestes situés à très grande distance donc considérés comme localisés à l'infini ; on modélise la lunette par deux lentilles :

  • l'une appelée « objectif » située du côté de l'objet observé et par laquelle la lumière provenant de cet objet entrera cette lentille jouera donc le rôle de « face d'entrée » convergente à grande focale dans le cas de la lunette astronomique, exemple ,
  • l'autre appelée « oculaire » située du côté de l'œil de l'observateur et par laquelle la lumière sortira pour ensuite pénétrer dans l'œil cette lentille jouera donc le rôle de « face de sortie » également convergente à petite focale dans le cas de la lunette astronomique, exemple .

Nécessité du caractère afocal de la lunette et conséquence sur la disposition des deux lentilles[modifier | modifier le wikicode]

......Un objet à l'infini de l'axe optique principal devant être conjugué par la lunette à une image à l'infini de pour un œil n'accommodant pas, la « lunette astronomique doit être afocale » ;
......on a donc, en partant de l'objet observé situé à l'infini, la conjugaison par l'objectif et, en partant de l'image finale également à l'infini, la conjugaison par l'oculaire donnant globalement si


c'est-à-dire « le plan focal image de l'objectif confondu avec le plan focal objet de l'oculaire » (condition pour qu'un doublet de lentilles soit afocal).

Conséquence sur l'encombrement de la lunette[modifier | modifier le wikicode]

......L'encombrement de la lunette est défini comme la distance séparant la face d'entrée de la lunette de celle de sortie soit [88] ou encore [89] soit finalement

[101]
donnant numériquement .

Tracé de l'image d'un objet linéique transverse et cheminement des pinceaux parallèles issus des points extrêmes de l'objet[modifier | modifier le wikicode]

Cheminement, à travers une lunette astronomique, de pinceaux lumineux parallèles issus des extrémités d'un objet linéique transverse à l'infini

......On sait que pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal et que pour le point objet, autre extrémité de l'objet linéique transverse à l'infini, point objet sur l'axe optique secondaire de l'objectif donnant le point image à l'infini sur l'axe optique secondaire de l'oculaire d'où le schéma ci-contre :

......Remarque : Contrairement au résultat obtenu avec une lunette de Galilée, l'image par une lunette astronomique est inversée [102].

Définition du grossissement de la lunette astronomique et son évaluation[modifier | modifier le wikicode]

...... étant l'angle algébrisé sous lequel l'observateur voit l'objet à travers la lunette et l'angle algébrisé sous lequel il le voit à l'œil nu,

le grossissement de la lunette astronomique se définit de la même façon que pour une lunette de Galilée par [91], [92] ;

......son évaluation se fait par l'intermédiaire de la « tangente des angles » [93] dans les triangles rectangles faisant intervenir la hauteur de l'image intermédiaire à savoir les triangles et  :

  • dans le triangle rectangle on a [94] ou, avec , l'évaluation  ;
  • dans le triangle rectangle on a [103] ou, avec , l'évaluation  ;

......faisant le rapport nous en déduisons le grossissement cherché et, utilisant , nous obtenons

[96], [104] ou numériquement .

Définition du cercle oculaire, établissement de sa position et de sa taille[modifier | modifier le wikicode]

......Pour la même raison que celle indiquée dans le paragraphe « lunette de Galilée », tous les rayons pénétrant dans la lunette traversent inévitablement sa face d'entrée c'est-à-dire l'objectif de la lunette, ils sortiront de la lunette en passant nécessairement par l'image de l'objectif par l'oculaire appelée « cercle oculaire » ;
......le cercle oculaire étant aussi l'endroit de « resserrement maximal autour de l'axe optique principal des rayons émergents » [98], c'est ici que l'éclairement est maximal, c'est donc ici qu'il est souhaitable de positionner l'œil de l'observateur (si toutefois le cercle oculaire est réel et non virtuel

Position du centre du cercle oculaire[modifier | modifier le wikicode]

......Notant le centre du cercle oculaire, c'est-à-dire le conjugué du centre optique de l'objectif par l'oculaire , on obtient sa position en utilisant l'une des relations de conjugaison de position de Descartes ou de Newton, par exemple celle de Newton où [99] soit encore correspondant à soit

donnant numériquement ou  ;

......le centre du cercle oculaire se trouve légèrement au-delà du foyer principal image de l'oculaire, à au-delà de , il est donc réel « pratiquement confondu avec Fi, 2 », plus exactement en soit finalement et l'observateur y positionne son œil.

Taille du cercle oculaire pour un objectif de taille précisée[modifier | modifier le wikicode]

......Pour cela il suffit de déterminer le grandissement transverse par l'oculaire de l'objet linéique transverse , étant le bord « supérieur » de l'objectif dans le plan d'incidence , étant l'image correspondante par l'oculaire [105] on a alors