Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Optique géométrique : conditions de Gauss

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Optique géométrique : conditions de Gauss
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Chapitre no 13
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Optique géométrique : miroir plan
Chap. suiv. :Optique géométrique : lentilles minces
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Notion de stigmatisme approché d'un système optique[modifier | modifier le wikicode]

Retour sur la notion d'image d'un point objet par un système optique[modifier | modifier le wikicode]

......Un faisceau issu d'un point objet étant constitué de rayons incidents indépendants les uns des autres, la détermination du trajet des rayons intermédiaires et émergents correspondant aux rayons incidents du faisceau nous conduit à deux possibilités :

  • tous les rayons émergents sont concourants, le système optique donne alors du faisceau incident issu de un faisceau convergent en un point , définissant alors l'« image de par le système optique » appelé « point image »,
  • tous les rayons émergents ne sont pas concourants mais leur ensemble possède une zone de resserrement à éclairement maximal considérée comme l'image « non ponctuelle » [1] de par le système optique.

Stigmatisme d'un système optique pour un point objet[modifier | modifier le wikicode]

......Cette notion a déjà été vue dans le chapitre précédent sous son aspect « stigmatisme rigoureux », elle est rappelée ci-après puis sera prolongée sous son aspect « stigmatisme approché » ;

  • si le point objet admet un point image par le système optique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident issu de , on dit qu'il y a « stigmatisme rigoureux du système optique pour le point objet  » mais,
  • si le point objet admet, par le système optique, une image floue dans l'hypothèse d'une grande ouverture du faisceau incident issu du point objet , « il n'y a pas stigmatisme rigoureux du système optique pour le point objet  »,
    ...toutefois si l'ouverture du faisceau incident issu de est réduite dans des « conditions à préciser » [2], les rayons émergents peuvent devenir concourants en un point qui est alors appelé « point image approchée par le système optique du point objet  » et on dit qu'il y a « stigmatisme approché du système optique pour le point objet  » [on dit aussi que le point objet et le point image approchée sont conjugués (approchés) par le système optique].

Conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique « centré »[modifier | modifier le wikicode]

......Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps [3], on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines [4] dont certaines n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIXe siècle, Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes.

Définition d'un système optique « centré »[modifier | modifier le wikicode]

......Un système optique est dit « centré » si les éléments constitutifs (dioptres, miroirs) ont un « axe de symétrie commun » ;
......le système optique étant alors « unidirectionnel », on choisit toujours l'axe optique principal porté par l'axe de symétrie, les plans transverses étant encore appelés « plans de front ».

Énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique « centré »[modifier | modifier le wikicode]

......Dans l'hypothèse où le système optique « centré » n'est pas stigmatique rigoureux pour un point objet , on envisage de limiter l'ouverture du faisceau incident issu de de façon à ce que « tous les angles pouvant définir une convergence ponctuelle des rayons émergents soient petits » et on démontre qu'il y a effectivement convergence ponctuelle des rayons émergents si

Exemples de rayons paraxiaux et non paraxiaux sur un miroir sphérique concave
« les rayons incidents issu de sont peu inclinés par rapport à l'axe optique principal
en restant proches de ce dernier » [5],
les rayons incidents étant alors qualifiés de « paraxiaux » ;

......il y a alors « stigmatisme approché du système optique pour le point objet  » et ces conditions définissent les « conditions de Gauss du stigmatisme approché du système optique »,

......voir ci-contre sur l'exemple d'un « miroir sphérique concave » [6].

Notion d'aplanétisme approché d'un système optique[modifier | modifier le wikicode]

......Cette notion a déjà été vue dans le chapitre précédent sous son aspect « aplanétisme rigoureux », elle est rappelée ci-après puis sera prolongée sous son aspect « aplanétisme approché ».

......Dans l'hypothèse où il y a « stigmatisme rigoureux ou approché d'un système optique », un « objet linéique transverse  » [7] admet une « image nette  » [8] mais
............celle-ci n'est pas nécessairement « linéique » et
............si elle l'est, elle n'est pas nécessairement « transverse » ;
......on distingue deux possibilités théoriques :

  • l'image que le stigmatisme soit rigoureux ou approché est linéique transverse quelle que soit la dimension de l'objet , on dira alors qu'il y a « aplanétisme rigoureux du système optique pour l'objet linéique transverse  » [9] ou,
  • l'image est linéique transverse uniquement si l'angle sous lequel l'objet est vu de la face d'entrée est réduit dans « des conditions restant à préciser » [10], on dit alors qu'il y a « aplanétisme approché du système optique pour l'objet linéique transverse  ».

Conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'un système optique « centré »[modifier | modifier le wikicode]

......Dans l'hypothèse où le système optique « centré » n'est pas aplanétique rigoureux pour des objets linéiques transverses de pied , on envisage, pour obtenir un aplanétisme approché :

  • en fixé, de choisir des objets de dimensions réduites ou,
  • pour un objet linéique transverse de dimension fixée, d'éloigner de la face d'entrée,

............de façon à ce que « l'angle β sous lequel on voit l'objet du sommet Se de la face d'entrée du système optique [11] soit petit » dans l'hypothèse où l'objet n'est pas proche de la face d'entrée et

............s'il en est proche il suffit que « l'angle α sous lequel on voit l'objet du centre de courbure Ce de la face d'entrée du système optique [12] soit petit »,

......on démontre alors que l'image est effectivement linéique transverse ;

Exemples d'objets linéiques transverses pour lesquels il y a ou il n'y a pas aplanétisme approché sur un miroir sphérique convexe

......il y a donc « aplanétisme approché du système optique pour ces objets linéiques transverses » et ces conditions définissent les « conditions supplémentaires de Gauss de l'aplanétisme approché du système optique », voir ci-contre sur l'exemple d'un « miroir sphérique convexe » [13] :

......on y remarque qu'un objet pour lequel il y a aplanétisme approché du miroir lorsqu'il en est à une distance « modérée » (objet « droit » le plus à gauche) est tel qu'il n'y a plus aplanétisme approché quand on rapproche l'objet (objet « inversé » [14] le plus à droite) mais que l'aplanétisme approché réapparaît pour cette petite distance quand on diminue la dimension de l'objet (objet « droit » le plus à droite de même pied que l'objet précédent) …

Choix d'un détecteur pour satisfaire les conditions de Gauss pour un système optique « centré »[modifier | modifier le wikicode]

Système optique « centré » diaphragmé, taille du diaphragme pour satisfaire les conditions de Gauss du stigmatisme approché[modifier | modifier le wikicode]

......Un système optique « centré » non stigmatique rigoureux ne peut devenir « stigmatique approché pour les points objets de l'axe optique principal » que si on impose aux rayons issus des points objets d'être paraxiaux et pour cela il convient que le système optique soit « diaphragmé », c'est-à-dire qu'il faut ajouter un diaphragme centré sur l'axe optique principal du système, diaphragme qui peut être positionné avant la face d'entrée, après la face de sortie ou entre les deux ;

Choix de la dimension du diaphragme pour qu'un miroir sphérique concave soit stigmatique approché pour un point objet suivant la position de ce dernier

......supposant que le diaphragme est accolé à la face d'entrée, ce dernier est alors appelé « pupille d'entrée » et, dans l'hypothèse où les conditions d'aplanétisme approché sont réalisées pour le diaphragme, on appelle « pupille de sortie » l'image de la pupille d'entrée par le système optique ;

......tous les rayons issus du point objet et traversant le diaphragme devant être paraxiaux pour que le système optique soit stigmatique approché, il faut que « l'angle sous lequel le diaphragme est vu du point objet soit petit » mais il faut aussi que « la dimension du diaphragme soit petite » pour que les points d'incidence restent proches du sommet de la face d'entrée ;

......« plus l'objet est proche de la face d'entrée », « plus le diaphragme doit être fermé » pour que le stigmatisme approché soit maintenu, voir ci-contre dans le cas d'un miroir concave.

Caractéristiques d'un détecteur pour satisfaire les conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique « centré »[modifier | modifier le wikicode]

......La plupart des systèmes optiques « centrés » ne sont pas « stigmatiques rigoureux » [15] sauf pour un ou deux points particuliers mais ils sont « stigmatiques approchés » dès lors qu'ils sont utilisés dans les conditions de Gauss ;

......c'est parce que l'on considère des angles d'inclinaison des rayons incidents petits et que l'on fait des D.L. à l'ordre un en ces angles que le système optique « centré » donne du point objet de l'axe optique principal, une image ponctuelle à l'ordre un en ces angles mais en réalité les rayons émergents correspondant aux rayons incidents issus de ne sont pas parfaitement concourants, l'endroit considéré comme le point image étant en fait le centre d'une tâche d'éclairement maximal, de diamètre au moins d'ordre deux en les angles d'inclinaison des rayons incidents ;

......si on positionne un détecteur centré sur à quelle condition l'image apparaîtra-t-elle réellement ponctuelle ?

......Il faut savoir que tout détecteur est composé d'une mosaïque de cellules élémentaires correspondant chacune à un pixel (c'est-à-dire un point de l'image finale) dont la taille est fixée ; notons le diamètre d'un pixel, l'image de apparaîtra ponctuelle si le diamètre de la tache d'éclairement maximal centrée en est inférieur au diamètre du pixel centré au même point c'est-à-dire

si  ;

si ceci est réalisé on peut affirmer que les conditions de Gauss de stigmatisme approché du système optique « centré » sont suffisantes pour le détecteur utilisé ;

......le diamètre  [16] des pixels du détecteur étant imposé, pour améliorer des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique « centré » qui seraient insuffisantes, il convient de diminuer le diamètre de la tache d'éclairement maximal centrée en et pour cela de diminuer l'inclinaison maximale des rayons incidents relativement à l'axe optique principal, ceci étant obtenu en diminuant le diamètre du diaphragme …

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Qualifiée de « floue ».
  2. Qui constitueront les conditions de Gauss du « stigmatisme approché du système optique pour le point objet  ».
  3. Il fut surnommé « le prince des mathématiciens ».
  4. En 1796, à l'âge de dix-neuf ans, Gauss caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone (polygone régulier de 17 côtés) soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en 1801 la première démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en 1772 [un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple ou ou encore de même que Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie ;
    ...dans le domaine de l'astronomie il publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en 1801, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès (une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter) ;
    ...dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
  5. Ces conditions peuvent s'énoncer différemment :
    « rayons incidents issus de peu inclinés relativement à l'axe optique principal associé à et
    leur point d'incidence sur la face d'entrée restant proche du point d'intersection de l'axe optique principal avec la face d'entrée ».
  6. Il est rappelé que les miroirs sphériques ne sont pas au programme mais ils peuvent être introduits pour utiliser des notions au programme comme les lois de Snell - Descartes de la réflexion ou les notions de stigmatisme (et aplanétisme) approchés ; on aurait eu une situation identique avec un miroir sphérique convexe.
  7. étant le pied de l'objet situé sur l'axe optique principal.
  8. La netteté étant assurée par le fait que tous les points objets de admettent des images ponctuelles ;
    ...commentaire sur le pluriel de « point objet », la règle usuelle consiste à accorder les deux noms au pluriel comme « choux-fleurs » ou « bateaux-mouches » mais il me semble qu'on devrait pouvoir accepter le pluriel en « point objets » avec l'absence de « s » à point, des point objets étant alors interprétés comme « des objets en forme de point ».
  9. Bien que théoriquement on pourrait avoir « aplanétisme rigoureux avec un système stigmatique approché », pratiquement il n'y a « aplanétisme rigoureux » que pour des systèmes « stigmatiques rigoureux ».
  10. Qui constitueront les conditions de Gauss d'« aplanétisme approché du système optique pour l'objet linéique transverse  ».
  11. Le « sommet de la face d'entrée » est l'intersection de celle-ci avec l'axe optique principal ; dans le cas où les faces d'entrée et de sortie sont confondues, le point commun est simplement appelé « sommet du système optique ».
  12. Dans le cas où les faces d'entrée et de sortie sont confondues, le centre de courbure commun est simplement appelé « centre de courbure du système optique ».
  13. Il est rappelé que les miroirs sphériques ne sont pas au programme mais ils peuvent être introduits pour utiliser des notions au programme comme les lois de Snell - Descartes de la réflexion ou les notions de stigmatisme (et aplanétisme) approchés ; on aurait eu une situation identique avec un miroir sphérique concave.
  14. L'objet est inversé uniquement pour une question de lisibilité du schéma.
  15. Le seul exemple de système optique « centré » stigmatique rigoureux pour tout point est le miroir plan de forme circulaire.
  16. Par exemple le diamètre d'un pixel d'un capteur C.C.D. est de l'ordre de quelques microns.