Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste

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Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste
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Chapitre no 17
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Introduction au monde quantique : dualité onde-particule
Chap. suiv. :Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
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Fonction d'onde de matière et densité volumique de probabilité de présence[modifier | modifier le wikicode]

Lien entre l'éclairement observé sur une figure d'interférence lumineuse et le débit de photons par unité de surface de cette figure, interprétations statistique et probabiliste[modifier | modifier le wikicode]

......Lors d'une « interférence lumineuse d'un faisceau » [1], nous observons une répartition d'éclairement sur l'écran d'observation caractérisant la figure d'interférences, l'endroit où l'éclairement est nul (franges sombres) devant être interprété comme un endroit où aucun photon dans le phénomène d'interférence n'aboutit et celui où l'éclairement est maximal (franges brillantes) comme le lieu privilégié où les photons dans le phénomène d'interférence parviennent ;

......compte-tenu des dimensions de l'éclairement en et de celui de débit « moyen » [2] de photons par unité de surface en nous pouvons proposer le lien suivant

 ;

......nous en concluons que les lieux d'interférences constructives (respectivement destructives) sont ceux où le débit moyen de photons sur l'écran où se matérialisent les interférences est maximal (respectivement minimal) et, dans le cas usuel où le « débit de photons incidents est très grand » [3], les endroits où la probabilité d'arrivée d'un photon sur l'écran où se matérialisent les interférences est maximale (respectivement minimale) ;

......si on considère maintenant l'expérience d'interférence par photon unique, nous dirons que les lieux d'interférences constructives (respectivement destructives) sont ceux où la probabilité d'arrivée du photon sur l'écran où se matérialiseront les interférences est maximale (respectivement minimale), ceci ne devenant observable que si le nombre de photons uniques envoyés les uns à la suite des autres est grand [3].

Interprétations statistique et probabiliste d'un phénomène d'interférences de particules[modifier | modifier le wikicode]

......On prolonge les interprétations précédemment faites sur les interférences lumineuses et on définit :

  • pour une expérience d'interférences d'un « faisceau de particules à débit non faible », les lieux d'interférences constructives (respectivement destructives) comme ceux où la probabilité d'arrivée des particules lors du phénomène d'interférence est maximale (respectivement minimale) [il s'agit d'une interprétation statistique] et
  • pour une expérience d'interférences par « particule unique », les lieux d'interférences constructives (respectivement destructives) comme ceux où la probabilité d'arrivée de la particule lors du phénomène d'interférence est maximale (respectivement minimale) [il s'agit d'une interprétation probabiliste], ce phénomène ne devenant observable que si le nombre de particules envoyées les unes à la suite des autres est grand [3].

Densité volumique de probabilité de présence et fonction d'onde de matière[modifier | modifier le wikicode]

Densité volumique de probabilité de présence d'une particule massique ou non massique[modifier | modifier le wikicode]

Densité linéique de probabilité de détection de la particule sur l'écran dans l'expérience d'interférences par fentes d'Young
Densité linéique de probabilité de détection de la particule sur l'écran quand une seule des fentes d'Young F1 ou F2 est ouverte

......On définit, à tout instant et en tout point de l'espace, une densité volumique de probabilité de présence [4] d'une particule massique (ou purement énergétique) dépendant des « caractéristiques de la particule » et de l'« environnement avec lequel elle interagit » telle que représente la probabilité de trouver la particule dans le volume élémentaire [5] centré en à l'instant , la probabilité de la trouver dans une expansion tridimensionnelle à l'instant étant [6], [7] ;

......cette densité volumique de probabilité de présence dépend aussi de l'« environnement avec lequel la particule interagit » en effet, une particule qui entre dans le système interférentiel des fentes d'Young possède, en « tout point de l'espace » et à « tout instant » [8], une densité volumique de probabilité de présence différente suivant que les deux fentes sont accessibles ou qu'une seule l'est (la densité étant aussi différente suivant que c'est ou qui est utilisable), voir ci-contre pour la densité linéique de probabilité de détection de la particule lors de l'expérience d'interférence par fentes d'Young et ci-dessous pour la densité linéique de probabilité de détection de la particule quand une seule des fentes d'Young est ouverte ;

......on remarque d'autre part qu'il n'y a pas additivité des densités linéiques de probabilité de présence : appelant , et les densités linéiques de probabilité de présence de la « particule » en un point de l'écran d'abscisse , quand les fentes ou sont seules ouvertes et quand les deux sont ouvertes, [9] c'est-à-dire que la densité linéique de probabilité de trouver la « particule » en un point d'abscisse lors des interférences par fentes d'Young n'est pas la somme des densités linéiques de probabilité [10] de trouver la « particule » au point d'abscisse après être passée par étant fermée) ou par étant fermée) ; on pourrait donc dire que les interférences nécessitent que la « particule » passe par les deux fentes à la fois, mais ce serait inapproprié, une « particule » étant, par définition, localisée dans l'espace, il est préférable de dire que l'onde associée à la « particule » passe par les deux fentes à la fois.

Fonction d'onde de matière[modifier | modifier le wikicode]

Rappel sur la lumière[modifier | modifier le wikicode]

......À une onde progressive sinusoïdale lumineuse (O.P.H.) de fréquence , on associe une grandeur réelle vibrante un champ électromagnétique défini en tout point et à tout instant , champ simplement noté [11] que l'on modélise en la considérant comme la partie réelle (ou imaginaire) d'une grandeur instantanée complexe est l'amplitude complexe de l'onde ;

......le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, en tout point du champ d'interférences, par la superposition des ondes passant par et , ceci donnant une onde résultante d'amplitude complexe et un éclairement au point du champ d'interférences ou , soit enfin

[12]
est le déphasage entre les ondes passées par et au point considéré,
et étant respectivement l'éclairement que l'on obtiendrait au point en occultant la fente ou .
Intervention de la notion de photon dans l'explication des interférences par fentes d'Young[modifier | modifier le wikicode]

......L'éclairement lumineux d'une onde monochromatique de fréquence étant lié au débit « moyen » surfacique de photons par ou, en multipliant par , la puissance lumineuse « moyenne » reçue par , notée , étant liée au débit « moyen » de photons atteignant s'écrivant , par [12], nous pouvons réécrire [13] soit enfin, en divisant par le débit global « moyen » de « photons » [14] émis par la source et pouvant interférer [15], nous obtenons la relation suivante

exprimant

......le pourcentage « moyen » de « photons » [14] atteignant en interférant relativement aux « photons » [14] émis par la source et pouvant interférer, interprété comme la probabilité statistique « moyenne » qu'un « photon pris parmi les photons émis par la source et pouvant interférer » [14], interfère en atteignant

ou encore, lors d'interférences par « photon unique » [14],

......la probabilité « moyenne » que le « photon » [14] atteigne en interférant s'identifiant à avec la probabilité « moyenne » que ce photon passe par (respectivement s'écrivant respectivement nous en déduisons

[16].
Prolongement de l'interprétation précédente aux interférences par fentes d'Young d'ondes de matière associées à des particules massiques[modifier | modifier le wikicode]

......Définissant de la même façon la probabilité « moyenne » que la « particule » [14] atteigne en interférant ainsi que les probabilités « moyennes » et que la particule passe par ou , on doit obtenir une relation identique à entre les différentes probabilités dans laquelle doit apparaître un déphasage mais

......auparavant il faut introduire l'analogue des grandeurs instantanées complexes des ondes passant par ou à savoir ou et encore l'analogue des amplitudes complexes des ondes passant par ou à savoir ou .

Notion de fonction d'onde de matière [modifier | modifier le wikicode]

......On associe à une particule « quantique » [17] une fonction dépendant du point et de la date , à valeurs complexes, caractérisant l'état de la particule dans son environnement d'interaction, appelée « fonction d'onde » de la particule « quantique » et notée [18] ;

......si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie fixée en « état stationnaire » [19], on peut définir la fréquence de de Broglie de l'onde par [20] et la composante temporelle de la fonction d'onde varie alors en [21], la composante spatiale notée permettant la réécriture de la fonction d'onde de la « particule » quantique d'énergie selon

avec la « constante réduite de Planck » ;

......le lien entre « fonction d'onde » et « densité volumique de probabilité de présence » en un point et à la date est analogue, à un facteur multiplicatif près, à celui existant entre « grandeur instantanée complexe » [22] et « puissance lumineuse » au point et à l'instant , à savoir « la densité volumique de probabilité de présence est égale au carré du module de la fonction d'onde » [23] ou

[24].

Explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un électron en terme probabiliste[modifier | modifier le wikicode]

......Soit la fonction d'onde de l'électron au point du champ d'interférences et à l'instant quand la fente est occultée et celle de l'électron au même point et au même instant quand la fente est obturée ; lors du phénomène d'interférence de l'« électron » [14] par fentes d'Young, la fonction d'onde de ce dernier au même point et au même instant est la superposition des deux fonctions d'onde et soit

 ;

......on en déduit la densité volumique de probabilité de présence au même point et au même instant ou, avec les densités volumiques de probabilité de présence au même point et au même instant quand les fentes ou sont occultées c'est-à-dire respectivement ou , on obtient la relation

[25]
prouvant que la probabilité de présence n'est pas additive [26] ;

......un électron d'énergie et de quantité de mouvement fixées quand la fente est occultée, peut être considéré dans un « état stationnaire avec une densité volumique de probabilité de présence uniforme » [27], sa fonction d'onde , analogue à une O.P.P.H. peut alors s'écrire [28], [21] et simultanément
...... la fonction d'onde de l'électron d'énergie et de quantité de mouvement fixées quand la fente est occultée s'écrit selon [21] ;

......on en déduit [29] est la différence de marche au point , et étant respectivement les arguments de et

......Pour la fin, revoir les conditions d'interférences constructives et destructives dans le paragraphe « sources synchrones en phase émettant des signaux d'amplitudes différentes » [30] du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les principaux résultats sont :

  • interférences constructives si , soit encore ou, en utilisant , prouvant que deux points à interférences constructives ont une différence de marche différant d'un multiple de la longueur d'onde de de Broglie de la particule, la densité volumique de probabilité de présence en ces points s'écrivant selon [31],
  • interférences destructives si , soit encore ou, en utilisant , prouvant que deux points à interférences destructives ont une différence de marche différant d'un multiple de la longueur d'onde de de Broglie de la particule, la densité volumique de probabilité de présence en ces points étant [32] ; on vérifie aussi que deux points à interférences de nature différente ont une différence de marche différant d'une demi-longueur d'onde de de Broglie de la particule à un multiple de la longueur d'onde près.

Explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un photon en terme probabiliste[modifier | modifier le wikicode]

......On peut entièrement réitérer le paragraphe précédent en remplaçant le terme « électron » par celui de « photon » (la longueur d'onde de de Broglie de l'électron étant remplacée par la longueur d'onde dans le vide du photon).

Principe de complémentarité[modifier | modifier le wikicode]

Le principe de complémentarité a été énoncée par Niels Bohr [33] en .

......Énoncé : Une particule quantique ne peut se comporter en même temps comme une onde et comme un corpuscule, les aspects corpusculaire et ondulatoire de la particule quantique sont les représentations complémentaires d'une même réalité [par exemple si la particule quantique est en présence de diaphragme et si sa longueur d'onde de de Broglie est (dimension du diaphragme), la particule se comportera comme un corpuscule, sinon elle se comporte comme une onde [34]] ;

......Énoncé : dans l'expérience d'interférence par fentes d'Young, la particule se comporte comme une onde et ne peut, dans le courant de cette expérience, se comporter comme un corpuscule, il est donc impossible de savoir par quelle fente la particule serait passée car le savoir rendant certain le trajet de la particule celle-ci aurait un comportement de corpuscule [si on met un détecteur sur une des fentes on peut alors savoir par quelle fente la particule est passée [35], la particule a alors un comportement de corpuscule et ne peut plus avoir un comportement d'onde dans le courant de l'expérience, effectivement on n'observe plus de figures d'interférences].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Nous avons vu qu'il ne pouvait y avoir interférences que si les ondes se superposant provenaient de deux sources cohérentes entre elles et pour cela, le plus simple est de réaliser la division d'une même onde : cela se fait
    • par « division du front d'onde » lorsque les ondes qui interfèrent entre elles proviennent de différents points de l'onde ou de l'onde incidente lors de la division par fentes d'Young par exemple), ou
    • par « division d'amplitude » lorsque les ondes interférant entre elles proviennent de la division de l'amplitude d'un même point de l'onde (la division se faisant le plus souvent par lame semi-réfléchissante) ; 
    ...seul un exemple d'interférences lumineuses par division du front d'onde a été fourni dans le paragraphe « interférence lumineuse par fentes d'Young » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  2. Débit « moyen » car l'éclairement est la puissance moyenne par unité de surface.
  3. 3,0 3,1 et 3,2 De façon à pouvoir y appliquer la loi statistique des grands nombres à savoir « dans une série de valeurs d'une grandeur définie dans un échantillon, la fréquence relative d'une valeur quelconque (c'est-à-dire le nombre de fois où la grandeur est trouvée dans l'échantillon sur le nombre d'éléments de cet échantillon) est indépendante du nombre d'éléments de l'échantillon » qui a pour corollaire « la probabilité que la grandeur ait une valeur fixée est la fréquence relative de cette valeur dans toute série de valeurs de la grandeur ».
  4. Cette densité volumique de probabilité de présence qui est réelle et positive est a priori « normalisée » c'est-à-dire que la probabilité de trouver la particule dans l'espace entier à l'instant [méthode de calcul exposée plus loin] est égale à .
  5. Voir définition et expressions d'un « volume élémentaire » dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. Voir définition et méthode de calcul d'une « intégrale volumique » dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  7. La normalisation de la densité volumique de probabilité de présence se traduit par est l'espace tridimensionnel entier [ici l'extension de l'expansion tridimensionnelle étant infinie, l'intégrale volumique est « généralisée » [ voir le paragraphe « intégrales volumiques généralisées d'extension infinie » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »], elle est définie comme la limite de l'intégrale volumique sur une expansion tridimensionnelle d'extension finie (par exemple une boule de rayon dont on fait tendre l'extension vers l'infini (sur l'exemple on fait tendre vers l', cette limite existant dans la mesure où l'intégrale « généralisée » existe (dans le cas où elle n'existerait pas on dirait qu'il y a divergence de l'intégrale volumique) ].
  8. En particulier, appelant un instant où la « particule » (ou plutôt la forme « ondulatoire » associée à la « particule ») est au niveau des fentes d'Young, nous admettons que la densité volumique de probabilité de présence de la « particule » au moment de son émission (évidemment antérieure à dépend déjà de la présence des fentes d'Young [sans toutefois pouvoir le vérifier directement car la seule grandeur que nous sommes capables de mesurer, sans perturber l'expérience, est la probabilité de présence sur l'écran (évidemment postérieure à .
  9. De même que l'éclairement en un point de l'écran d'abscisse lors des interférences lumineuses par fentes d'Young, n'est pas la somme des éclairements que l'on obtiendrait en occultant l'une puis l'autre des fentes.
  10. Pour que l'additivité soit envisageable (mais comme nous l'avons dit elle n'est pas réalisée) il faut que les densités linéiques de probabilité ou ne soient pas normalisées au sens habituel, la probabilité que la « particule » passe par étant occultée) ou par étant occultée) n'est pas choisie égale à 1 mais à (la source d'émission étant sur la médiatrice de , avec et respectivement les centres de et et ainsi une particule « classique » (c'est-à-dire ne subissant pas d'interférences parce que sa longueur d'onde de de Broglie serait passant nécessairement par ou (ceci n'est vrai que pour une « particule » classique et devient faux pour une « particule » interférant), la probabilité de la retrouver sur l'écran est alors bien égale à .
  11. Modèle « scalaire » de la lumière qui est suffisant tant que la polarisation de l'onde n'intervient pas.
  12. 12,0 et 12,1 La puissance lumineuse « moyenne » reçue par l'élément de surface centrée en étant égale à , de l'expression on en déduit .
  13. Obtenue en divisant la relation sur les puissances moyennes par l'énergie du photon.
  14. 14,0 14,1 14,2 14,3 14,4 14,5 14,6 et 14,7 On rappelle que l'aspect corpusculaire ne peut expliquer les phénomènes d'interférences, il est donc « incorrect » de dire que les « photons » interfèrent, ce sont les ondes associées qui interfèrent d'où la présence de guillemets encadrant le terme « photon » interférant ; il en est de même pour les « particules » massiques.
  15. La puissance moyenne émise par la source et participant aux interférences étant et sont les aires des fentes d'Young avec et les éclairements au niveau de chaque fente, nous en déduisons le débit global « moyen » de « photons » émis par la source et pouvant interférer .
  16. Ceci vérifiant que la probabilité moyenne qu'un photon, pris parmi les photons émis par la source et pouvant interférer, interfère en un point n'est pas la somme des probabilités moyennes que ce photon passe par ou par .
  17. Se dit d'une « particule » dont on s'intéresse au comportement ondulatoire par opposition au qualificatif « classique » quand on s'intéresse à son comportement corpusculaire.
  18. La fonction d'onde est l'analogue, dans l'onde de matière, de la grandeur instantanée complexe de l'onde lumineuse mais, contrairement au cas de l'onde lumineuse où la partie réelle (ou imaginaire) représente une grandeur physique vibrante, la partie réelle (ou imaginaire) n'a aucune signification physique pour l'onde de matière.
  19. C.-à-d. en absence de propagation de l'onde de matière le module de la fonction d'onde est indépendant du temps (ce sera justifié par la suite).
  20. Voir le paragraphe « relation de Louis de Broglie et conséquences » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  21. 21,0 21,1 et 21,2 La grandeur instantanée complexe associée à une O.P.P.H. a, jusqu'à présent, été écrite mais aurait pu, compte-tenu du fait que seule la partie réelle (ou imaginaire) a un sens physique, être définie en prenant l'opposé de la phase à l'instant et au point c'est-à-dire , c'est cette 2e possibilité qui a été choisie pour définir la fonction d'onde associée à une particule quantique d'énergie et de quantité de mouvement fixées.
  22. L'introduction de cette notion se faisant quand on a une O.P.P.H., ce qui est l'analogue d'une particule en état stationnaire d'énergie fixée, mais on prolongerons la relation trouvée au cas d'une particule dans un état quelconque.
  23. Ceci constituant la définition de la densité volumique de probabilité de présence (applicable quand la particule est dans un état quelconque, non nécessairement dans un état stationnaire d'énergie fixée) cette proposition définissant, par retombée, la fonction d'onde à un facteur exponentiel imaginaire pur près [en effet seul le module de la fonction d'onde a une signification physique (et plus exactement le carré du module)].
  24. Dans le cas d'une particule en état stationnaire d'énergie fixée, la dépendance de la fonction d'onde en temps se faisant par un facteur exponentiel imaginaire pur dont le module est égal à , la densité volumique de probabilité de présence se réécrit établissant que celle-ci est indépendante du temps.
    ...Attention, dans le cas général d'une particule qui n'est pas dans un état stationnaire d'énergie fixée, la fonction d'onde n'a pas la forme précédemment introduite et en particulier la dépendance en temps ne se fait pas sous forme d'un facteur exponentiel imaginaire pur, ce qui a pour conséquence que la densité volumique de probabilité de présence dépend du temps.
  25. La partie entre accolades définissant le terme d'interférence.
  26. Ceci à cause du terme d'interférence.
  27. En effet nous verrons, dans le chapitre suivant, qu'il est impossible de connaître simultanément deux grandeurs conjuguées comme par exemple et d'une part, et d'autre part ; si on fixe une des grandeurs, par exemple l'énergie de l'électron, il est impossible de savoir à quel instant cette grandeur est définie (l'électron est donc bien dans un état stationnaire) ou si on fixe la quantité de mouvement de l'électron, il est impossible de savoir où cette grandeur est définie (l'électron est présent partout avec la même probabilité de présence) …
  28. On rappelle la relation de Louis de Broglie car .
  29. En effet soit finalement, en factorisant par le produit des amplitudes et en utilisant la formule d'Euler relative au cosinus , le résultat énoncé.
  30. Attention les notations ne sont pas les mêmes.
  31. On vérifie que est c'est-à-dire strictement supérieure à la somme des densités volumiques de probabilité de présence de la particule passant par la fente ou , l'autre fente étant occultée.
  32. On vérifie que est c'est-à-dire strictement inférieure à la somme des densités volumiques de probabilité de présence de la particule passant par la fente ou , l'autre fente étant occultée.
  33. Niels Henrik David Bohr (1885 - 1962) physicien danois surtout connu pour son apport à l'édification de la mécanique quantique ; il reçut le prix Nobel de physique en pour ses contributions à la recherche sur la structure des atomes et sur le rayonnement qu'ils émettent ; il travailla avec Joseph John Thomson (1856 - 1940) [physicien anglais à qui on doit la découverte de l'électron, des isotopes et l'invention de la spectrométrie de masse, il reçut le prix Nobel de physique en pour ses recherches théoriques et expérimentales sur la conductivité électrique dans les gaz] puis Ernest Rutherford (1871 - 1937) [physicien et chimiste néo-zélando-britannique à qui on doit la découverte des rayonnements alpha et bêta, la mise en évidence du noyau atomique, considéré comme le père de la physique nucléaire, il reçut le prix Nobel de chimie en pour ses recherches sur la désintégration des éléments et la chimie des substances radioactives] avant de diriger son propre laboratoire à Copenhague ;
    ...un de ses six fils Aage Niels Bohr (1922 - 2009) brillant physicien nucléaire, ayant grandi au milieu de physiciens amis de son père, comme Wolfgang Ernst Pauli (1900 - 1958) [physicien autrichien connu pour son principe d'exclusion en mécanique quantique, lui ayant valu le prix Nobel de physique en ou Werner Heisenberg (1901 - 1976) [physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène], a également obtenu le prix Nobel de physique en , partageant le prix avec Ben Roy Mottelson (né en 1926) (physicien américano-danois) et Léo James Rainwater (1917 -1986) (physicien américain) pour la découverte du lien entre mouvement collectif et mouvement des particules dans le noyau atomique, et le développement de la théorie de la structure du noyau fondée sur ce lien.
  34. Comme , une particule à suffisamment faible valeur de longueur d'onde de de Broglie pour être est une particule rapide qui présentera alors son aspect corpusculaire, si cette particule est beaucoup plus lente alors sa longueur d'onde de de Broglie ne sera pas et elle présentera son aspect ondulatoire.
  35. Si le détecteur se déclenche la particule est passée par cette fente et s'il ne se déclenche elle est passée par l'autre fente.