Signaux physiques (PCSI)/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre

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Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre
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Chapitre no 35
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2ème partie
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Définition du gabarit d'un filtre[modifier | modifier le wikicode]

Introduction : fonction d'un filtre[modifier | modifier le wikicode]

......La fonction d'un filtre est de récupérer, dans un ensemble de signaux reçus, le signal utile et de le manipuler pour en retirer une information précise (exemple : un récepteur radio recevant un ensemble d'ondes électromagnétiques radiophoniques en sélectionne une et la traite pour la transformer en ondes sonores audibles

......Le filtre doit donc :

  • éliminer tous les signaux inutiles,
  • transmettre sans atténuation et ni déformation (c'est-à-dire sans déphasage pour un signal sinusoïdal) et enfin
  • traiter l'information.

......Un filtre réel ne possède pas toutes ces propriétés car

  • d'une part le signal utile est en général atténué et déformé (ou déphasé s'il est sinusoïdal) et
  • d'autre part le passage entre les fréquences transmises et absorbées n'est pas brutal mais progressif.

Définition du gabarit d'un filtre en termes d'amplitude[modifier | modifier le wikicode]

......Le plus simple est de le définir sur l'exemple d'un « filtre passe-bas » et pour cela il faut préciser :

  • la dernière fréquence passante , « le filtre doit laisser passer toutes les fréquences  »,
  • le gain minimum en dB pour les fréquences passantes, « le gain associé aux fréquences passantes doit être  »,
  • la première fréquence absorbée [1] , « le filtre doit arrêter toutes les fréquences  »,
  • le gain maximum en dB pour les fréquences absorbées, « le gain associé aux fréquences absorbéees doit être  ».

......Par exemple si on choisit [2] et , cela signifie

  • que toutes les fréquences passantes sont telles que soit et
  • que toutes les fréquences absorbées sont telles que soit  ;

......sur cet exemple l'« intervalle passant  » est l'« intervalle passant à -3dB », sa largeur est la « bande passante à -3dB » [3].

Influence de la phase sur un filtre[modifier | modifier le wikicode]

......Tout filtre agissant sur un signal sinusoïdal introduit un déphasage qui dépend de la fréquence et ceci même dans l'intervalle passant ; ce déphasage est équivalent à un décalage temporel en effet , le déphasage étant équivalent à un décalage temporel [4].

......Remarque : ne sachant pas construire de filtre analogique simple qui présente simultanément un filtrage idéal en amplitude sans déformer le signal utile par intervention d'un déphasage sur les composantes sinusoïdales, on construit en pratique les filtres en tenant compte uniquement du gabarit en amplitude sans tenir compte de la déformation due au déphasage des composantes sinusoïdales … et

......Remarque : si le déphasage devient primordial, on construit un filtre qui présente une grande régularité en déphasage correspondant à un retard temporel identique pour chaque fréquence, en n'accordant que peu d'importance à la qualité du filtrage en termes d'amplitude …

Établissement du gabarit d'un 1er ordre fondamental, condition pour l'utiliser en moyenneur ou en intégrateur[modifier | modifier le wikicode]

......La notion de « moyenneur » pour un filtre passe-bas agissant sur un signal d'entrée périodique à composante permanente correspond au filtre laissant passer la composante permanente et arrêtant tous les autres harmoniques,
......La ncelle d'« intégrateur » pour un même filtre correspond au filtre laissant passer la composante permanente et intégrant tous les autres harmoniques.

Cahier des charges du passe-bas (traité sur un exemple)[modifier | modifier le wikicode]

......On cherche à réaliser le filtrage passe-bas suivant :

  • les fréquences jusqu'à doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de ,
  • les fréquences supérieures à doivent être filtrées et atténuées d'au moins .

Choix de l'ordre du filtre (pour l'exemple précédent)[modifier | modifier le wikicode]

Gabarit d'un 1er ordre fondamental de dernière fréquence passante de 1,9 kHz et de première fréquence absorbée 6,2 kHz, le gain minimal pour les fréquences passantes étant -3dB et le gain maximal pour les fréquences absorbées -9dB

......On le détermine en calculant la pente nécessaire dans la zone de transition, la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante (voir exemple ci-contre) ;

......on passe de à soit associée à une chute de dans la zone intermédiaire soit une pente dans cette zone de d'où le choix d'une pente de dans la zone absorbante c'est-à-dire le choix d'un 1er ordre fondamental [5].

Choix de la fréquence caractéristique du filtre (c'est-à-dire, dans le cas présent, de sa fréquence de coupure à -3dB) pour l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu de la valeur de avec , la fréquence de coupure à -3dB doit vérifier  ;

......compte-tenu de la valeur de avec , la fréquence de coupure à -3dB doit vérifier car l'abscisse de la droite de pente passant par le point est séparé de de soit un rapport entre l'abscisse cherchée et de  ;

en conclusion la fréquence de coupure à -3dB doit satisfaire .

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

......On choisit un «  série » avec « sortie aux bornes de  », tel que soit, en inversant et divisant tous les membres par après rétablissement en unités S.I., et finalement

 ;

......on peut par exemple choisir

  • et ou
  • et ou encore
  • et

......Avec et , on obtient une fréquence de coupure à -3dB et
...... pour , le gain en dB vaut [6] soit pratiquement alors que
...... pour , le gain en dB vaut [6] soit pratiquement .

Condition pour utiliser le filtre comme intégrateur ou moyenneur sur l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

Utilisation d'un 1er ordre fondamental de fréquence de coupure à -3dB fc = 2,0 kHz fonctionnant en intégrateur avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 20,0 kHz

......Le filtre se comportera comme un « intégrateur » si les harmoniques d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone intégrative à savoir le choix d'une fréquence de coupure à -3dB égale à , donne une zone intégrative mais le « signal ne sera réellement intégré que s'il est d'amplitude notable » [7] voir ci-contre ;

......le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissera passer sans atténuation la composante permanente de ce signal et, dans la mesure où les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone intégrative à savoir , il se comportera comme un « intégrateur à composante permanente » à condition que « l'amplitude des harmoniques intégrés soit de valeur notable » [7] voir ci-dessous à gauche.

......Le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissant passer sans atténuation la composante permanente de ce signal, se comportera comme « moyenneur (à composante permanente) »[8] si les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone intégrative mais tels que « la fréquence du signal d'entrée[9] soit suffisamment éloignée de la borne inférieure » de façon à ce que l'amplitude des formes intégrées des harmoniques de rang non nul soit trop petite pour être observée[10] voir ci-dessous à droite.

Utilisation d'un 1er ordre fondamental de fréquence de coupure à -3dB fc = 2,0 kHz fonctionnant en intégrateur à composante permanente avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 20,0 kHz autour d'une composante permanente
Utilisation d'un 1er ordre fondamental de fréquence de coupure à -3dB fc = 2,0 kHz fonctionnant en moyenneur avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 200,0 kHz autour d'une composante permanente

Établissement du gabarit d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul, condition pour l'utiliser en dérivateur[modifier | modifier le wikicode]

Cahier des charges du passe-haut (traité sur un exemple)[modifier | modifier le wikicode]

......On cherche à réaliser le filtrage passe-haut suivant :

  • les fréquences jusqu'à doivent être filtrées et atténuées d'au moins ,
  • les fréquences supérieures à doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de .

Choix de l'ordre du filtre (pour l'exemple précédent)[modifier | modifier le wikicode]

Gabarit d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul de dernière fréquence absorbée de 1,9 kHz et de première fréquence passante 6,2 kHz, le gain maximal pour les fréquences absorbées -9dB et le gain minimal pour les fréquences passantes étant -3dB

......On le détermine en calculant la pente nécessaire dans la zone de transition, celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante (voir exemple ci-contre) ;

......on passe de à soit associée à une croissance de dans la zone intermédiaire soit une pente dans cette zone de d'où le choix d'une pente de dans la zone absorbante c'est-à-dire le choix d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul[11].

Choix de la fréquence caractéristique du filtre (c'est-à-dire, dans le cas présent, de sa fréquence de coupure à -3dB) pour l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu de la valeur de avec , la fréquence de coupure à -3dB doit vérifier  ;

......compte-tenu de la valeur de avec , la fréquence de coupure à -3dB doit vérifier car l'abscisse de la droite de pente passant par le point est séparé de de soit un rapport entre l'abscisse cherchée et de  ;

en conclusion la fréquence de coupure à -3dB doit satisfaire .

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

......On choisit un «  série » avec « sortie aux bornes de  », tel que soit, en inversant et divisant tous les membres par après rétablissement en unités S.I., et finalement

 ;

......on peut par exemple choisir

  • et ou
  • et ou encore
  • et

......Avec et , on obtient une fréquence de coupure à -3dB et
...... pour , le gain en dB vaut [12] soit en pratique alors que
...... pour , le gain en dB vaut [12] soit pratiquement .

Condition pour utiliser le filtre comme dérivateur sur l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

Utilisation d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul de fréquence de coupure à -3dB fc = 5,5 kHz fonctionnant en dérivateur inobservable avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 20,0 Hz

......Le filtre se comportera comme un « dérivateur » si les 1ers harmoniques qui importent pour construire le signal dérivé d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone dérivative à savoir ou le choix d'une fréquence de coupure à -3dB égale à , donne une zone dérivative mais le « signal ne sera réellement dérivé que s'il est d'amplitude notable (laquelle doit être le plus souvent très grande) » [13], ci-contre le signal de sortie avec une amplitude du signal d'entrée de est inobservable car son amplitude théorique serait de inférieure à celle des parasites[14] ;

Utilisation d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul de fréquence de coupure à -3dB fc = 5,5 kHz fonctionnant en dérivateur peu observable avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 200,0 Hz

......en fait la condition de dérivation est beaucoup trop stricte, si on élargit cette condition à on observe encore une dérivation possible à condition que l'amplitude du signal dérivé ne soit pas trop faible[15], ci-contre le signal de sortie avec une amplitude du signal d'entrée de reste peu observable car son amplitude théorique est de de même ordre de grandeur que celle des parasites mais si on augmente l'amplitude du signal d'entrée, celle du signal de sortie l'étant en même proportion, ce dernier devient observable malgré la présence de parasites[16] (voir ci-dessous à gauche le signal de sortie théorique sans la présence de parasites avec augmentation de la sensibilité d'observation) ;

......si on élargit encore la condition de dérivation d'un facteur , la dérivation se devine encore mais avec une distorsion un peu trop importante : voir ci-dessous à droite l'observation de la tentative de dérivation d'un signal triangulaire de fréquence voisine de avec une distorsion importante mais une amplitude notable.

Utilisation d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul de fréquence de coupure à -3dB fc = 5,5 kHz fonctionnant en dérivateur peu observé par augmentation de sensibilité avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 200,0 Hz
Utilisation d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul de fréquence de coupure à -3dB fc = 5,5 kHz fonctionnant en dérivateur distordu avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 2,0 kHz

Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique[modifier | modifier le wikicode]

Cahier des charges d'un passe-bande (traité sur un exemple)[modifier | modifier le wikicode]

......On cherche à réaliser le filtrage passe-bande[17] suivant :

  • les fréquences entre et doivent passer à travers le filtre et ne pas être atténuées de plus de ,
  • les fréquences inférieures à et supérieures à doivent être filtrées et atténuées d'au moins .

Choix des caractéristiques du filtre (c'est-à-dire, dans le cas présent, de sa fréquence de résonance et de sa bande passante à -3dB) pour l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

Nous ne cherchons pas l'ordre du filtre car, parmi les filtres considérés d'ordre un ou deux, seuls les filtres d'ordre deux peuvent être un passe-bande.
Gabarit d'un 2ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquences passantes comprises entre 161,6 kHz et 162,4 kHz, de fréquences absorbées au-dessous de 112 kHz et au-dessus de 212 kHz, le gain minimal pour les fréquences passantes étant -3dB et le gain maximal pour les fréquences absorbées -40dB

......La fréquence centrale étant , les fréquences de coupure à -3dB basse et haute doivent être respectivement inférieure à et supérieure à , la bande passante à -3dB étant donc supérieure à , l'acuité de la résonance doit être inférieure à c'est-à-dire  ;

......compte-tenu du fait que et , nous ne pouvons a priori considérer que les points et se trouvent respectivement sur l'asymptote B.F. ou H.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode du filtre et par conséquent les conditions nécessitent d'utiliser l'expression complète du gain en dB du filtre à savoir, si on envisage de construire le filtre avec un R L C série, [18] ou encore , les deux conditions précédentes se réécrivant soit ou et finalement , ces deux conditions étant réalisées si  ;

en conclusion le facteur de qualité du filtre doit satisfaire et nous choisirons .

......nous vérifions que les valeurs du gain en décibels de la courbe pour les fréquences et satisfont effectivement le cahier des charges avec cette valeur de facteur de qualité car

  • et
  • .

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

......On choisit donc un « R L C série » avec « sortie aux bornes de R », tel que soit  ; on peut, par exemple, choisir

  • et ou
  • [19] et ou encore …
  • [19] et ,

......le facteur de qualité permet de choisir par l'intermédiaire soit donnant, avec le choix suivant

et , une valeur de résistance .

Condition pour utiliser le filtre comme dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique sur l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

......Le filtre se comportera comme un « dérivateur » si les 1ers harmoniques qui importent pour construire le signal dérivé d'un signal d'entrée sont tous dans la zone dérivative à savoir [20] ou le choix d'une fréquence propre égale à , donne une zone dérivative mais le « signal ne sera réellement dérivé que s'il est d'amplitude notable (laquelle devrait être le plus souvent trop grande pour aboutir à une observation) » [21], ci-dessous à gauche le signal de sortie espéré créneau avec une amplitude du signal d'entrée triangulaire de est totalement inobservable car son amplitude théorique serait de approximativement mille fois plus faible que celle des parasites[22], ci-dessous à droite le signal de sortie créneau attendu en absence de parasites et avec un facteur de loupe de autrement dit d'observation totalement illusoire[23] ;

Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant en dérivateur totalement inobservable avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 1,1 kHz
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnement attendu non observable en dérivateur avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 1,1 kHz, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 50000

......le filtre se comportera comme un « intégrateur » si la fréquence du signal d'entrée est dans la zone intégrative à savoir [24] le choix d'une fréquence propre égale à , donne une zone intégrative mais le « signal ne sera réellement intégré que s'il est d'amplitude notable (laquelle devrait être le plus souvent relativement grande pour aboutir à une observation) » [25], ci-dessous à gauche le signal de sortie espéré triangulaire avec une amplitude du signal d'entrée créneau de est totalement inobservable car son amplitude théorique serait de approximativement dix fois plus faible que celle des parasites[26], ci-dessous à droite le signal de sortie attendu en absence de parasites et avec un facteur de loupe de autrement dit d'observation quasi-illusoire[23] ;

Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant en intégrateur inobservable avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 810 kHz
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnement attendu non observable en intégrateur avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 810 kHz, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 700

......le filtre se comportera comme un « sélecteur d'harmonique » si la fréquence du signal d'entrée est telle que l'harmonique souhaité est dans la zone passante et ces voisins les plus proches dans les zones absorbantes à savoir (ci-dessous sélection des harmoniques d'un créneau) :

  • pour l'harmonique fondamental , l'harmonique de rang 3 étant de fréquence largement au-dessus de ci-dessous à gauche simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau ;
  • pour l'harmonique de rang 3 tel que , l'harmonique fondamental est au-dessous de et l'harmonique de rang 5 étant de fréquence au-dessus de ci-dessous à droite simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau ;
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant en sélecteur de l'harmonique fondamental d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 162 kHz
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant en sélecteur de l'harmonique de rang 3 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 54 kHz
  • pour l'harmonique de rang 5 tel que , l'harmonique de rang 3 étant de fréquence au-dessous de et l'harmonique de rang 7 étant de fréquence au-dessus de  ;
  • pour l'harmonique de rang 7 tel que , l'harmonique de rang 5 étant de fréquence c'est-à-dire légèrement au-dessus de et l'harmonique de rang 9 étant de fréquence c'est-à-dire légèrement au-dessous de , l'harmonique de rang 7 du signal créneau étant donc le 1er harmonique dont la sélection introduira de très faibles distorsions dues à la présence des harmoniques de rangs 5 et 9[27] ci-dessous à gauche simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau et ci-dessous à droite seul avec une croissance de sensibilité d'un facteur 7 permettant d'observer une très légère distorsion ;
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant approximativement en sélecteur de l'harmonique de rang 7 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 23,1 kHz
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant approximativement en sélecteur de l'harmonique de rang 7 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 23,1 kHz, observation avec effet de loupe d'un facteur 7
  • pour les harmoniques suivants, la distorsion va être lentement croissante car l'amplitude des harmoniques d'un créneau décroît lentement de façon inversement proportionnelle au rang de l'harmonique et ainsi
  • pour l'harmonique de rang tel que , l'harmonique de rang étant de fréquence c'est-à-dire au-dessus de et l'harmonique de rang étant de fréquence c'est-à-dire au-dessous de , l'harmonique de rang 19 du signal créneau étant un harmonique dont la sélection introduira des distorsions dues à la présence des harmoniques de rangs 17 et 21[28] ci-dessous à gauche simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau et ci-dessous à droite seul avec une croissance de sensibilité d'un facteur permettant d'observer une légère distorsion.
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant encore approximativement en sélecteur de l'harmonique de rang 19 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 8530 Hz
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant encore approximativement en sélecteur de l'harmonique de rang 19 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 8530 Hz, observation avec effet de loupe d'un facteur 16

...Remarque : pour déterminer la limite théorique[29] du sélectionneur d'harmonique sans avoir à les essayer tous, nous pouvons admettre que la sélection cessera si les harmoniques de rang et sont séparés de moins de [30] soit donnant avec [31] soit finalement établissant que le 1er harmonique théoriquement non sélectionnable est de rang , le dernier sélectionnable étant de rang 5 Ainsi on peut théoriquement sélectionner les harmoniques d'un créneau jusqu'au rang 5 inclus à condition que leur amplitude soit « acceptable » [32].

Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en moyenneur ou double intégrateur[modifier | modifier le wikicode]

Cahier des charges d'un passe-bas du 2ème ordre (traité sur un exemple)[modifier | modifier le wikicode]

......On cherche à réaliser le filtrage passe-bas suivant :

  • les fréquences jusqu'à doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de ,
  • les fréquences supérieures à doivent être filtrées et atténuées d'au moins .

Choix de l'ordre du filtre sur l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

Gabarit d'un 2ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de dernière fréquence passante de 1,9 kHz et de première fréquence absorbée 6,2 kHz, le gain minimal pour les fréquences passantes étant -3dB et le gain maximal pour les fréquences absorbées -20dB

......On le détermine en calculant la pente nécessaire dans la zone de transition, la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante (voir exemple ci-contre) ;

......on passe de à soit associée à une chute de dans la zone intermédiaire soit une pente dans cette zone de d'où le choix d'une pente de dans la zone absorbante c'est-à-dire le choix d'un 2ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante [33].

Choix des caractéristiques du filtre (c'est-à-dire, dans le cas présent, de sa fréquence propre et de son facteur de qualité) pour l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu de la valeur de avec , la fréquence de coupure à -3dB doit vérifier  ;

......compte-tenu de la valeur de avec , la fréquence de coupure à -3dB doit vérifier car l'abscisse de la droite de pente passant par le point est séparé de de soit un rapport entre l'abscisse cherchée et de  ;

en conclusion la fréquence de coupure à -3dB doit satisfaire .

......pour obtenir un passe-bas il faut que le facteur de qualité ne soit pas trop élevé[34] et le choix de correspondra à un passe-bas sans résonance.

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

......On choisit donc un « R L C série » avec « sortie aux bornes de C », tel que la fréquence de coupure à -3dB et le facteur de qualité  ;

......si nous choisissons la plus grande valeur du facteur de qualité compatible avec l'encadrement précédent c'est-à-dire , la fréquence de coupure à -3dB se confond alors avec la fréquence propre c'est-à-dire en effet la fonction de transfert se réécrit donnant un gain d'où, par définition de la fréquence de coupure à -3dB , l'équation de solution physique  ;

......ainsi pour , nous en déduisons un encadrement pour la fréquence propre soit, en inversant et divisant tous les membres par et en élevant au carré après rétablissement en unités S.I., ou encore  ; on peut, par exemple, choisir

  • et ou
  • [19] et ou encore …
  • [19] et ,

......le facteur de qualité permet de choisir par l'intermédiaire soit donnant, avec le choix suivant

et , une valeur de résistance soit  ;

......nous vérifions alors que le gain en dB pour vaut ainsi que
......nous vérifions alors que le gain en dB pour vaut [35] effectivement .

......Remarque : un facteur de qualité strictement inférieur à pourrait être envisagé mais la condition portant sur la fréquence de coupure à -3dB, laquelle ne s'identifie plus avec la fréquence propre[36], la poursuite nécessiterait de déterminer l'« expression de en fonction de et  » [37] pour en déduire un encadrement sur compte-tenu de la valeur de souhaitée la fin serait alors identique à celle présentée ci-dessus.

Condition pour utiliser le filtre comme double intégrateur ou moyenneur sur l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

......Le filtre se comportera comme un « double intégrateur » si les harmoniques d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone double-intégrative à savoir le choix d'une fréquence propre égale à , donne une zone double-intégrative mais le « signal ne sera réellement bi-intégré que s'il est d'amplitude notable » [38]

  • voir ci-dessous à gauche où le signal d'entrée est un créneau de d'amplitude, de fréquence et le signal de sortie (inobservable sans effet de loupe) est une succession de portions paraboliques de concavités inversées, correspondant aux deux intégrations successives du signal créneau,
  • ci-dessous à droite la sortie seule (sans ajout des inévitables parasites) avec une augmentation de sensibilité d'un facteur , l'amplitude du signal de sortie de est de même ordre de grandeur que celle des parasites[39] ;
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-intégrateur peu observable avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 19 kHz
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-intégrateur peu observable sans effet de loupe avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 19 kHz, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 80

......un autre exemple d'utilisation de la double intégration avec un signal d'entrée construit en simulant la dérivation temporelle d'un créneau à savoir « deux pics de Dirac inversés séparés de  » de fréquence

  • ci-dessous à gauche, le signal d'entrée avec superposition du signal de sortie peu visible sans effet de loupe car d'amplitude trop faible et
  • ci-dessous à droite la sortie seule (sans ajout des inévitables parasites) triangulaire correspondant effectivement à deux intégrations successives du signal d'entrée avec une augmentation de sensibilité d'un facteur , l'amplitude du signal de sortie de est de même ordre de grandeur que celle des parasites ;
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-intégrateur peu observable avec un signal d'entrée deux pics de Dirac inversés séparés de T/2 de fréquence f = 19 kHz
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-intégrateur peu observable sans effet de loupe avec un signal d'entrée deux pics de Dirac inversés séparés de T/2 de fréquence f = 19 kHz, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 100

......le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissera passer sans atténuation la composante permanente de ce signal et, dans la mesure où les autres harmoniques du signal d'entrée seraient tous dans la zone double-intégrative à savoir , il devrait se comporter comme un « double-intégrateur à composante permanente » à condition que « l'amplitude de harmoniques doublement intégrés soit de valeur notable » [38] voir

  • ci-dessous à gauche où le signal d'entrée créneau est d'amplitude avec une composante permanente de et le signal de sortie est une succession de portions paraboliques de concavités inversées[40] avec une composante permanente de et
  • ci-dessous à droite le signal de sortie seul avec un effet de loupe de facteur où on observe assez nettement la succession de portions paraboliques de concavités inversées d'amplitude à laquelle s'ajoute la composante permanente de .
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-intégrateur à composante permanente peu observable avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 19 kHz, d'amplitude 10 V et de valeur moyenne 0,5 V
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-intégrateur à composante permanente peu observable sans effet de loupe avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 19 kHz, d'amplitude 10 V et de valeur moyenne 0,5 V, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 80

......Le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissant passer sans atténuation la composante permanente de ce signal, se comportera comme « moyenneur (à composante permanente) »[8] si les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone double-intégrative mais tels que « la fréquence du signal d'entrée[9] soit suffisamment éloignée de la borne inférieure » ou que « l'amplitude de variation du signal d'entrée ne soit pas trop grande » de façon à ce que l'amplitude des formes bi-intégrées des harmoniques de rang non nul soit trop petite pour être observée[41] voir ci-dessous à gauche[42] l'oscillogramme avec signal d'entrée et signal de sortie alors que ci-dessous à droite le signal de sortie seul avec une sensibilité permettant d'observer la composante permanente, le calcul étant fait en ignorant l'ajout des inévitables parasites …

Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en moyenneur à composante permanente avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 19 kHz, d'amplitude 1 V et de valeur moyenne 0,5 V
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en moyenneur à composante permanente avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 19 kHz, d'amplitude 1 V et de valeur moyenne 0,5 V, signal de sortie calculé en absence de parasites

Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en double dérivateur[modifier | modifier le wikicode]

......Le 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante » a d'abord été introduit en exercice du chapitre « réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série … » avant d'être prolongé dans le paragraphe « définition d'une fonction de transfert du 2ème ordre du type réponse en uL d'un R L C série … » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » mais il n'est pas explicitement inscrit dans le programme de PCSI …

Cahier des charges d'un passe-haut du 2ème ordre (traité sur un exemple)[modifier | modifier le wikicode]

......On cherche à réaliser le filtrage passe-haut suivant :

  • les fréquences jusqu'à doivent être filtrées et atténuées d'au moins ,
  • les fréquences supérieures à doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de .

Choix de l'ordre du filtre sur l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

Gabarit d'un 2ème ordre du type réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de dernière fréquence absorbée de 1,9 kHz et de première fréquence passante 6,2 kHz, le gain minimal pour les fréquences passantes étant -3dB et le gain maximal pour les fréquences absorbées -20dB

......On le détermine en calculant la pente nécessaire dans la zone de transition, la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante (voir exemple ci-contre) ;

......on passe de à soit associée à une croissance de dans la zone intermédiaire soit une pente dans cette zone de d'où le choix d'une pente de dans la zone absorbante c'est-à-dire le choix d'un 2ème ordre du type réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante [43].

Choix des caractéristiques du filtre (c'est-à-dire, dans le cas présent, de sa fréquence propre et de son facteur de qualité) pour l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu de la valeur de avec , la fréquence de coupure à -3dB doit vérifier  ;

......compte-tenu de la valeur de avec , la fréquence de coupure à -3dB doit vérifier car l'abscisse de la droite de pente passant par le point est séparé de de soit un rapport entre l'abscisse cherchée et de  ;

en conclusion la fréquence de coupure à -3dB doit satisfaire .

......pour obtenir un passe-haut il faut que le facteur de qualité ne soit pas trop élevé[34] et le choix de correspondra à un passe-haut sans résonance.

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

......On choisit donc un « R L C série » avec « sortie aux bornes de L »[44], tel que la fréquence de coupure à -3dB et le facteur de qualité  ;

......si nous choisissons la plus grande valeur du facteur de qualité compatible avec l'encadrement précédent c'est-à-dire , la fréquence de coupure à -3dB se confond alors avec la fréquence propre c'est-à-dire en effet la fonction de transfert se réécrit donnant un gain d'où, par définition de la fréquence de coupure à -3dB , l'équation de solution physique  ;

......ainsi pour , nous en déduisons un encadrement pour la fréquence propre soit, en inversant et divisant tous les membres par et en élevant au carré après rétablissement en unités S.I., ou encore  ; on peut, par exemple, choisir

  • et ou
  • [19] et ou encore …
  • [19] et ,

......le facteur de qualité permet de choisir par l'intermédiaire soit donnant, avec le choix suivant

et , une valeur de résistance soit  ;

......nous vérifions alors que le gain en dB pour vaut ainsi que
......nous vérifions alors que le gain en dB pour vaut [45] effectivement .

......Remarque : un facteur de qualité strictement inférieur à pourrait être envisagé mais la condition portant sur la fréquence de coupure à -3dB, laquelle ne s'identifie plus avec la fréquence propre[36], la poursuite nécessiterait de déterminer l'« expression de en fonction de et  » [46] pour en déduire un encadrement sur compte-tenu de la valeur de souhaitée la fin serait alors identique à celle présentée ci-dessus.

Condition pour l'utiliser comme double dérivateur[modifier | modifier le wikicode]

......Le filtre se comportera comme un « double-dérivateur » si les 1ers harmoniques qui importent pour construire le signal doublement dérivé d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone double-dérivative à savoir ou le choix d'une fréquence de coupure à -3dB égale à , donne une zone double-dérivative mais le « signal ne sera réellement doublement dérivé que s'il est d'amplitude notable (laquelle doit être le plus souvent trop grande pour que le signal de sortie soit observable) » [47],

  • ci-dessous à gauche le signal de sortie avec un signal d'entrée formé de portions paraboliques à concavités opposées séparées de de d'amplitude et de fréquence est inobservable car son amplitude théorique serait de l'ordre de largement inférieure à celle des parasites,
  • ci-dessous à droite le signal de sortie calculé en absence de parasites et représenté seul avec un facteur de loupe de  ;
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en uL d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 6,2 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-dérivateur inobservable avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de T/2 de fréquence f = 20 Hz et d'amplitude 10 V
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en uL d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 6,2 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-dérivateur inobservable avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de T/2 de fréquence f = 20 Hz et d'amplitude 10 V, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 100000

......en pratique, la condition de fréquence imposée au signal d'entrée pour réaliser une double-dérivation est beaucoup trop stricte, l'important étant que l'harmonique fondamental soit dans la zone double-dérivative, les suivants pouvant n'être que dans la zone intermédiaire et subir une double-dérivation imparfaite comme dans l'exemple ci-dessous à gauche avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de de fréquence et d'amplitude , voir ci-dessous à droite le signal de sortie calculé en absence de parasites et représenté seul avec un facteur de loupe de , l'amplitude calculée du signal étant c'est-à-dire au moins quatre fois plus grande que celle des parasites.

Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en uL d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 6,2 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-dérivateur peu observable avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de T/2 de fréquence f = 600 Hz et d'amplitude 10 V
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en uL d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 6,2 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-dérivateur peu observable avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de T/2 de fréquence f = 600 Hz et d'amplitude 10 V, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 100

......Le caractère beaucoup trop strict de la condition de fréquence imposée au signal d'entrée pour réaliser une double-dérivation est encore plus net avec un signal triangulaire même d'amplitude égale à , cette condition serait [47] alors que suffit[48], voir ci-dessous à gauche un signal d'entrée triangulaire de fréquence et d'amplitude avec un faible signal de sortie à peine observable et ci-dessous à droite le signal de sortie calculé en absence de parasites et représenté seul avec un facteur de loupe de , l'amplitude calculée du signal étant c'est-à-dire au moins deux fois plus grande que celle des parasites.

Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en uL d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 6,2 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-dérivateur peu observable avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 60 Hz et d'amplitude 10 V
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en uL d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 6,2 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-dérivateur peu observable avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 60 Hz et d'amplitude 10 V, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 200

En complément, établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de l'ensemble bobine parfaite et condensateur d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en réjecteur d'un harmonique[modifier | modifier le wikicode]

Cahier des charges d'un réjecteur de fréquences (traité sur un exemple)[modifier | modifier le wikicode]

......On cherche à réaliser le filtrage coupe-bande suivant :

  • les fréquences inférieures à et supérieures à doivent passer à travers le filtre et ne pas être atténuées de plus de ,
  • les fréquences entre et doivent être filtrées et atténuées d'au moins .

Choix des caractéristiques du filtre (c'est-à-dire, dans le cas présent, de sa fréquence d'antirésonance et de sa bande non passante à -3dB) pour l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

Nous ne cherchons pas l'ordre du filtre car, parmi les filtres considérés d'ordre un ou deux, seuls les filtres d'ordre deux peuvent être un coupe-bande.
Gabarit d'un 2ème ordre du type réponse en uLC aux bornes d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquences passantes au-dessous de 112 kHz et au-dessus de 212 kHz, de fréquences absorbées comprises entre 161,6 kHz et 162,4 kHz, le gain minimal pour les fréquences passantes étant -3dB et le gain maximal pour les fréquences absorbées -40dB

......La fréquence centrale étant la fréquence d'antirésonance , les fréquences de coupure à -3dB basse et haute doivent être respectivement inférieure à et supérieure à , la bande non passante à -3dB étant donc supérieure à , l'acuité de l'antirésonance doit être inférieure à c'est-à-dire  ;

......le gain en décibels sur la plage absorbante devant être inférieur à , on en déduit que est nécessairement inférieur à , on affine un peu plus ce gain en admettant une chute supplémentaire de soit [49] ou soit ou encore [50] ;

en conclusion le facteur de qualité du filtre doit satisfaire et
le cœfficient associé au facteur de qualité satisfaire si [50].

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

......On choisit donc un « R L C série » avec « sortie aux bornes de r L C » où est la résistance de la bobine, tel que soit  ; on peut, par exemple, choisir

  • et ou
  • [19] et ou encore …
  • [19] et ,

......le facteur de qualité permet de choisir [51] par l'intermédiaire soit donnant, avec la condition sur l'acuité de l'antirésonance à savoir , une valeur de résistance minimale  ;

......la fonction de transfert s'écrivant [52] on en déduit le gain à la fréquence d'antirésonance s'identifiant à d'où, avec la condition sur la profondeur du puits d'absorption à savoir , une nouvelle borne inférieure pour la résistance soit  ; cette condition sera moins stricte que celle portant sur l'acuité de l'antirésonance si est plus grande que soit  ;

......en conclusion on choisit, pour satisfaire la fréquence d'antirésonance et l'acuité de cette dernière ainsi que la profondeur du puits d'absorption, les valeurs suivantes

, et .

......nous vérifions que les valeurs du gain en décibels de la courbe pour les fréquences et satisfont effectivement le cahier des charges puisqu'elles correspondent respectivement aux fréquences de coupure à -3dB basse et haute ainsi que
......nous vérifions que les valeurs du gain en décibels de la courbe pour les fréquences et satisfont aussi le cahier des charges avec cette valeur de facteur de qualité et ,

  • et
  • ,

......nous vérifions que le gain en décibels à la fréquence d'antirésonance valant .

Condition pour utiliser le filtre comme réjecteur d'un harmonique sur l'exemple précédent[modifier | modifier le wikicode]

......Le filtre se comportera comme « réjecteur d'un harmonique » si les harmoniques du signal d'entrée sont la zone passante (à gauche et à droite) à l'exception de l'harmonique que l'on veut rejeter qui doit être dans la zone absorbante ;

  • pour rejeter l'harmonique fondamental du « signal d'entrée » [53] de fréquence il faut et l'harmonique suivant c'est-à-dire de rang 3 dans la zone absorbante à savoir réalisé ici car  ;
  • pour rejeter l'harmonique de rang 3 du signal d'entrée il faut nécessitant pour fréquence du signal d'entrée[54] , l'harmonique fondamental devant être dans la zone absorbante de gauche à savoir et celui de rang 5 dans la zone absorbante de droite à savoir , les deux conditions étant réalisées ici car, pour la 2ème,  ;
  • pour rejeter l'harmonique de rang 5 du signal d'entrée il faut nécessitant pour fréquence du signal d'entrée[54] , l'harmonique de rang 3 devant être dans la zone absorbante de gauche à savoir et celui de rang 7 dans la zone absorbante de droite à savoir , les deux conditions étant réalisées ici car
    ...... et
    ......  ;
  • pour rejeter l'harmonique de rang 7 du signal d'entrée il faut nécessitant pour fréquence du signal d'entrée[54] , l'harmonique de rang 5 devant être dans la zone absorbante de gauche à savoir et celui de rang 9 dans la zone absorbante de droite à savoir , aucune des conditions n'étant réalisée ici car
    ...... soit et
    ...... soit  ;
    ......ainsi avec un signal d'entrée de fréquence , le signal de sortie ne contient pas l'harmonique de rang 7 d'une part et d'autre part, si les harmoniques de rangs 5 et 9 restent présents ils sont néanmoins d'amplitude diminuée ;
  • il est donc possible avec ce filtre de rejeter un harmonique d'un signal créneau ou triangulaire jusqu'au rang 5 inclus, au-delà il y aura plus d'un harmonique rejeté …

......Ci-dessous le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée créneau dans le but de rejeter l'harmonique fondamental à gauche, l'harmonique de rang 3 au centre et l'harmonique de rang 5 à droite [le signal de sortie en magenta est à comparer au signal représenté en pointillés calculé par synthèse de Fourier sur tous les harmoniques du signal créneau à l'exception de l'harmonique rejeté[55]] :

Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en uLC aux bornes d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz, de facteur de qualité Q = 1,62 et d'atténuation à l'antirésonance de 56 dB, fonctionnant en réjecteur de l'harmonique fondamental d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 162 kHz, signal de sortie en magenta (à comparer à la partie en pointillés obtenue par synthèse de Fourier en retirant l'harmonique fondamental)
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en uLC aux bornes d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz, de facteur de qualité Q = 1,62 et d'atténuation à l'antirésonance de 56 dB, fonctionnant en réjecteur de l'harmonique de rang 5 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 32,4 kHz, signal de sortie en magenta (à comparer à la partie en pointillés obtenue par synthèse de Fourier en retirant l'harmonique de rang 5)
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en uLC aux bornes d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz, de facteur de qualité Q = 1,62 et d'atténuation à l'antirésonance de 56 dB, fonctionnant en réjecteur de l'harmonique de rang 3 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 53,9 kHz, signal de sortie en magenta (à comparer à la partie en pointillés obtenue par synthèse de Fourier en retirant l'harmonique de rang 3)

......ci-dessous le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée triangulaire dans le but de rejeter l'harmonique fondamental à gauche[56], l'harmonique de rang 3 à droite[56] [le signal de sortie en magenta est à comparer au signal représenté en pointillés calculé par synthèse de Fourier sur tous les harmoniques du signal triangulaire à l'exception de l'harmonique rejeté] :

Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en uLC aux bornes d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz, de facteur de qualité Q = 1,62 et d'atténuation à l'antirésonance de 56 dB, fonctionnant en réjecteur de l'harmonique fondamental d'un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 162 kHz, signal de sortie en magenta (à comparer à la partie en pointillés obtenue par synthèse de Fourier en retirant l'harmonique fondamental)
Utilisation d'un 2ème ordre du type réponse en uLC aux bornes d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz, de facteur de qualité Q = 1,62 et d'atténuation à l'antirésonance de 56 dB, fonctionnant en réjecteur de l'harmonique de rang 3 d'un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 53,9 kHz, signal de sortie en magenta (à comparer à la partie en pointillés obtenue par synthèse de Fourier en retirant l'harmonique de rang 3)

...Remarque : pour déterminer la limite théorique du réjecteur d'harmonique sans avoir à les essayer tous, nous pouvons admettre que la sélection cessera si les harmoniques de rang et sont séparés de moins de [57] soit donnant avec [58] soit finalement établissant que le 1er harmonique théoriquement non rejetable seul est de rang , le dernier rejetable seul étant de rang 5

Mise en cascade de filtres et intérêt de réaliser des filtres à faible impédance de sortie et forte impédance d'entrée[modifier | modifier le wikicode]

......L'avantage de monter des filtres en cascade c'est de permettre de cumuler les propriétés de chaque filtre[59] mais il faut être prudent dans leur montage et respecter les règles suivantes (règles exposées dans le cas où les fonctions de transfert sont les amplifications complexes en tension) :

  • l'impédance de sortie du dernier étage doit être très faible de façon à ce que la charge sur laquelle il est branché ne modifie quasiment pas la tension de sortie (impédance de sortie faible tension de sortie tension de sortie à vide par chute ohmique aux bornes de l'impédance de sortie quasi nulle) et par suite la fonction de transfert de ce dernier étage est pratiquement celle en sortie ouverte ;
  • l'impédance d'entrée du dernier étage doit être très grande de façon à ce que l'avant dernier étage étant fermé sur une charge d'impédance quasi infinie, la fonction de transfert de cet avant dernier étage soit quasi fixée égale à sa fonction de transfert à vide ;
  • l'impédance d'entrée de tous les étages (à l'exception du 1er pour lequel la condition n'est pas nécessaire[60]) doit être grande pour la même raison que précédemment et ainsi la fonction de transfert de « tous les étages » est quasi fixée égale à sa fonction de transfert à vide[61] ;
  • dans ces conditions la fonction de transfert globale est le produit des fonctions de transfert individuelles.

......Remarque : on rappelle que dans le cas où les étages sont identiques et que la chaîne d'étages successifs est fermée sur l'« impédance itérative »[62] de chaque étage, la fonction de transfert globale est aussi le produit des fonctions de transfert individuelles[63].

Étude du filtrage linéaire d'un signal non sinusoïdal à partir de son spectre[modifier | modifier le wikicode]

A priori le signal n'est pas nécessairement périodique, mais en 1re année seuls les signaux périodiques sont au programme.
A été étudié en détail avec des signaux périodiques non sinusoïdaux pour valider la construction des divers gabarits présentés.

......Rappel du principe d'étude lors du filtrage d'un signal périodique non sinusoïdal :

  • faire l'analyse de Fourier[64] du signal d'entrée c'est-à-dire déterminer sa représentation fréquentielle [65] en utilisant les « connaissances » [66] ou un logiciel de calcul,
  • déterminer la réponse fréquentielle du filtre linéaire au signal d'entrée à l'aide de la représentation fréquentielle du signal d'entrée et de la fonction de transfert du filtre selon et pour  ;
  • faire la synthèse de Fourier[64] du signal de sortie c'est-à-dire utiliser un logiciel de calcul pour ajouter tous les harmoniques permettant d'obtenir la réponse temporelle du filtre à partir de sa réponse fréquentielle.

......Prolongement du principe d'étude lors du filtrage d'un signal non périodique (traité en complément)[67] :

  • la décomposition en série de Fourier[64] est alors remplacée par la décomposition en « intégrale de Fourier » [68], la représentation fréquentielle du signal d'entrée étant [69],
  • la détermination de la réponse fréquentielle du filtre à partir de la fonction de transfert et de la représentation fréquentielle du signal d'entrée se fait exactement de la même façon, on obtient évidemment une réponse fréquentielle définie pour toute valeur de pulsation,
  • enfin connaissant la réponse fréquentielle du filtre on utilise la transformation de Fourier[64] inverse[70] pour en déduire la réponse temporelle du filtre au signal d'entrée …

Retour sur la réponse d'un système linéaire à un échelon, notion de réponse indicielle[modifier | modifier le wikicode]

Rappel : détermination de l'équation différentielle du système linéaire à partir de la fonction de transfert harmonique de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

......Revoir le chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » respectivement pour un « système fondamental du 1er ordre » ou un « système non fondamental du 1er ordre à transfert statique nul » ou encore un « système du 2ème ordre du type réponse en intensité d'un R L C série … » mais le principe de la détermination est le même quel que soit l'ordre et quel que soit son « type », la méthode étant rappelée ci-dessous :

  • imposer une entrée sinusoïdale de pulsation et chercher la réponse sinusoïdale forcée en se plaçant en électricité « complexe » associée au r.s.f. pour en déduire la fonction de transfert harmonique correspondante mise sous forme de quotient irréductible de polynômes en , le polynôme du dénominateur étant normalisé [71],
  • en déduire l'égalité du produit des extrêmes et des moyens et remplacer la « multiplication par  » par la « dérivation temporelle d'ordre n », on obtient alors l'« équation différentielle » [72] en en régime complexe associé au r.s.f. mais …
  • l'équation différentielle étant indépendante de la forme de l'excitation, c'est encore l'équation différentielle en avec une entrée ou suivant que l'échelon d'entrée est une tension ou une intensité : dans le 2nd membre est remplacé par [73], par [73], par [73].

Rappel sur la résolution de l'équation différentielle en la réponse du système linéaire soumis à un échelon d'excitation, introduction de la réponse indicielle d'un filtre[modifier | modifier le wikicode]

......Revoir le chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » respectivement pour un système fondamental du 1er ordre sur l'exemple de la « réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension » ou pour un système non fondamental du 1er ordre à transfert statique nul sur l'exemple de la « réponse en intensité de courant traversant le condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension » ou encore

......revoir le chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » respectivement pour un système du 2ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante sur l'exemple de la « réponse en tension uC(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à un échelon tension … » ou pour un système du 2ème ordre du type réponse en intensité de courant traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante sur l'exemple de la « réponse en intensité i(t) de courant traversant un R L C série soumis à un échelon tension … » ou encore pour un système du 2ème ordre du type réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante sur l'exemple de la « réponse en tension uL(t) aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à un échelon de tension … » mais

......le principe de la résolution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène (ou homogène), l'excitation résultant de l'imposition d'un échelon de tension (ou de courant) au circuit, est le même quel que soit l'ordre et quel que soit son « type », la méthode étant rappelée ci-dessous :

  • déterminer la solution libre par résolution de l'équation caractéristique,
  • écrire l'équation différentielle pour et, dans le cas où le 2nd membre ne serait pas nul, déterminer la réponse forcée (c'est-à-dire sous forme d'une constante car de même forme que l'excitation),
  • déterminer la (ou les C.I.) suivant l'« ordre » [74] de l'équation différentielle linéaire et le numéro d'espèce de la discontinuité de l'excitation sachant que ce dernier se reporte sur la plus « haute » dérivée temporelle de la réponse et qu'il diminue de une unité à chaque intégration avec effet de stagnation au numéro « zéro » En conséquence, pour une équation différentielle du 2ème ordre,
    ...... si et sont continues en , utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur et d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » pour le justifier,
    ...... si est continue et discontinue de 1re espèce en , utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur ou d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » pour et utiliser les deux continuités évoquées précédemment pour construire le circuit à permettant de déterminer ,
    ...... si est discontinue de 1re espèce et discontinue de 2ème espèce en , utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur et d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » pour construire le circuit à permettant de déterminer et « intégrer[75] l'équation différentielle écrite pour tout entre et pour déterminer  » [76],
  • la réponse « transitoire » [77] étant la somme de la réponse libre et de l'éventuelle réponse forcée, utiliser la (ou les C.I.) pour déterminer la (ou les) constante(s) d'intégration, et par suite obtenir la « réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation ».
En conclusion, en notant la réponse indicielle du filtre,
la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation d'amplitude s'écrit .

Lien entre la fonction de transfert harmonique du filtre et les propriétés de sa réponse indicielle[modifier | modifier le wikicode]

  • l'existence d'un transfert statique [c'est-à-dire un filtre de type « passe-bas »] correspond à la présence d'une composante permanente dans la réponse indicielle, cette composante étant la réponse forcée ou encore [79] ;
  • l'absence d'un transfert H.F. [c'est-à-dire un filtre de type « passe-bas » du 1er ordre (uniquement le « fondamental » [80]) ou de type « passe-bas ou passe-bande » du 2ème ordre] correspond à la continuité de la réponse indicielle en [en effet l'absence de transfert H.F. nécessitant que le degré de soit inférieur d'au moins une unité au degré de , il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation au plus égal à l'ordre de l'équation différentielle » [81] se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration, et par suite que le numéro « zéro » d'espèce de discontinuité est atteint pour la réponse (dans le cas où le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation au plus égal à l'ordre de l'équation différentielle) ou pour sa dérivée temporelle (dans le cas où le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation au plus inférieur de une unité à l'ordre de l'équation différentielle) ce qui entraîne nécessairement que la réponse est elle-même discontinue de « 0ème espèce » c'est-à-dire continue] et ceci se traduit mathématiquement sous la forme , le système étant initialement au repos[82] ;
  • l'existence d'un transfert H.F. [c'est-à-dire un filtre de type « passe-haut » du 1er ordre (sans ou avec transfert statique[83]) ou de type « passe-haut ou coupe-bande » du 2ème ordre] correspond à la discontinuité de 1re espèce de la réponse indicielle en [en effet la présence de transfert H.F. nécessitant que le degré de soit égal au degré de , il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation plus grand d'une unité que l'ordre de l'équation différentielle » [84] se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration, et par suite que le numéro « un » d'espèce de discontinuité est atteint pour la réponse et ceci se traduit mathématiquement sous la forme , le système étant initialement au repos[85] ;
  • l'absence d'un transfert H.F. pour la fonction de transfert “ dérivée ”[86] [c'est-à-dire un filtre de type « passe-bas » du 2ème ordre] correspond à la continuité de la dérivée temporelle de la réponse indicielle en [en effet l'absence de transfert H.F. pour la fonction de transfert “ dérivée ” nécessitant que le degré de soit égal au degré de diminué de deux unités[87], il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation égal à l'ordre de l'équation différentielle diminué d'une unité » [88] se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration, et par suite que le numéro « zéro » d'espèce de discontinuité est atteint pour la dérivée temporelle de la réponse et ceci se traduit mathématiquement sous la forme , le système étant initialement au repos[89] ;
  • l'existence d'un transfert H.F. pour la fonction de transfert “ dérivée ”[86] [c'est-à-dire par exemple un filtre de type « passe-bande » du 2ème ordre[90]] correspond à la discontinuité de 1re espèce de la dérivée temporelle de la réponse indicielle en [en effet la présence de transfert H.F. pour la fonction de transfert “ dérivée ” nécessitant que le degré de soit égal au degré de diminué d'une unité[91], il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation égal à l'ordre de l'équation différentielle » [92] se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration, et par suite que le numéro « un » d'espèce de discontinuité est atteint pour la dérivée temporelle de la réponse et ceci se traduit mathématiquement sous la forme , le système étant initialement au repos[93].

......Avantage de ces propriétés : rapidité d'obtention de la réponse indicielle uniquement à partir de la fonction de transfert « sans qu'il soit utile d'écrire l'équation différentielle ni de la résoudre » [94]

Exemple de filtrage non linéaire : redressement simple ou double alternance et propriétés d'un filtre non linéaire « enrichissement du spectre »[modifier | modifier le wikicode]

Redresseur simple alternance[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un redresseur simple alternance[modifier | modifier le wikicode]

......Un redresseur simple alternance positif est un quadripôle pour lequel et
......Un redresseur simple alternance négatifest un quadripôlepour lequel .

Tentative de réalisation pratique d'un redresseur simple alternance[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un redresseur simple alternance positif construit à l'aide d'une diode à jonction et d'un conducteur ohmique placé en charge, le redresseur étant soumis à une tension alternative

......À l'aide d'une diode à jonction (voir schéma ci-contre pour obtenir un redressement simple alternance « positif » [95]), la tension de seuil de la diode étant et la résistance dynamique dans le sens passant , la résistance de la charge étant choisie de façon à être grande devant et telle que l'intensité du courant traversant la diode soit inférieure à son maximum toléré [96] ;

......l'amplitude du signal d'entrée pouvant atteindre , nous calculons la valeur minimale de la résistance d'utilisation pour que l'amplitude de l'intensité du courant dans le circuit ne dépasse pas soit laquelle doit être à ce qui nécessite inégalité réalisée dans la mesure où [97] ;

......nous choisissons dont une conséquence est que et une autre est que nous pouvons adopter le « modèle idéal avec seuil » [98] pour la diode à jonction.

......Justification (ou non) du fonctionnement redresseur simple alternance positif :

  • si , la diode est « polarisée en direct » [99] et
    ......si elle est « vraisemblablement passante » [99], la tension par loi de maille est effectivement positive par hypothèse et l'intensité étant aussi valide le caractère « passant » de la diode (et aussi le caractère « polarisée en direct ») d'où , alors que 
    ......si elle est « vraisemblablement bloquante » [99], l'intensité par même intensité dans des éléments en série et la tension par loi d'Ohm, la tension aux bornes de la diode se déterminant par loi de maille selon et s'écrivant encore laquelle étant à valide le caractère « bloquant » de la diode (et aussi le caractère « polarisée en direct » par d'où  ;
  • si , la diode est « polarisée en inverse » [99] et par suite est « bloquante » [100], l'intensité par même intensité dans des éléments en série et la tension par loi d'Ohm, la tension aux bornes de la diode se déterminant par loi de maille selon et s'écrivant encore laquelle étant valide le caractère « polarisé en inverse » de la diode d'où .

......En conclusion la tension de sortie est telle que , c'est-à-dire un redresseur simple alternance positif avec défaut de seuil ; ce défaut est minimisé si la valeur de crête positive de la tension d'entrée est grande devant la tension de seuil c'est-à-dire [101].

......Ci-dessous, avec une tension d'entrée sinusoïdale avec et ,

  • à gauche l'oscillogramme en bicourbe en noir et en rouge,
  • à droite l'oscillogramme en courbe de Lissajous[102] en abscisse et en ordonnée.
En bicourbe, tension d'entrée sinusoïdale de fréquence f = 100 Hz et d'amplitude Ue, max = 6 V, tension de sortie d'un redresseur simple alternance positif avec défaut de seuil, la diode étant idéale avec une tension de seuil Useuil = 0,6 V
En courbe de Lissajous[102], tension d'entrée sinusoïdale de fréquence f = 100 Hz et d'amplitude Ue, max = 6 V en abscisse et tension de sortie d'un redresseur simple alternance positif avec défaut de seuil en ordonnée, la diode étant idéale avec une tension de seuil Useuil = 0,6 V, en pointillés la courbe de Lissajous avec redresseur simple alternance positif sans défaut de seuil

Caractère non linéaire du filtre « redresseur simple alternance »[modifier | modifier le wikicode]

......Le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. s'il y avait un lien d'équation différentielle linéaire à cœfficients constants entre la tension de sortie et la tension d'entrée, ce qui nécessiterait un lien de proportionnalité en régime permanent, comme cette dernière condition n'est pas vérifiée, le filtre n'est pas linéaire.

Spectre d'un signal redressé simple alternance positif à tension d'entrée sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

Spectre du signal de sortie d'un redresseur simple alternance positif avec un signal d'entrée sinusoïdal de fréquence f = 100 Hz et d'amplitude Ue, max = 1 V

......Nous supposons le redressement « sans défaut de seuil » [103], la décomposition en série de Fourier[104],[64] est alors assujettie à sa représentation fréquentielle [105] dont le spectre est représenté en rouge ci-contre en superposition du spectre du signal d'entrée en noir, la représentation fréquentielle du signal de sortie étant :

  • composante permanente représentant la valeur moyenne du signal redressé simple alternance positif,
  • l'harmonique fondamental lequel est le seul harmonique de rang impair non nul car ,
  • [106] l'harmonique de rang pair s'écrivant selon .

Caractéristique spectrale d'un filtrage non linéaire[modifier | modifier le wikicode]

......Un filtrage non linéaire réalise « un enrichissement du spectre du signal de sortie » relativement à celui du signal d'entrée c'est-à-dire que l'on trouve dans le signal de sortie des fréquences qui n'existaient pas dans le signal d'entrée ; sur l'exemple ci-dessus le spectre du signal d'entrée est composé d'une raie, alors qu'il y a un nombre discret de raies dans le signal de sortie.

Redresseur double alternance[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un redresseur double alternance[modifier | modifier le wikicode]

......Un redresseur double alternance est un quadripôle pour lequel .

Tentative de réalisation pratique d'un redresseur double alternance[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un redresseur double alternance construit à l'aide d'un pont de quatre diodes à jonction (identiques) et d'un conducteur ohmique placé en charge, le redresseur étant soumis à une tension alternative

......À l'aide d'un pont de quatre diodes à jonction dit « pont de Graetz »[107] (voir schéma ci-contre pour obtenir un redressement double alternance [108]), la tension de seuil des diodes supposées identiques étant et la résistance dynamique dans le sens passant , la résistance de la charge étant choisie de façon à être grande devant et telle que l'intensité du courant traversant chaque diode soit inférieure à son maximum toléré [96] ;

......les diodes à jonction sont montées de telle sorte que, suivant la polarisation de la tension d'entrée, le courant éventuel traverse la charge toujours dans le même sens, en effet il traverse

  • soit une diode , la charge et une diode ,
  • soit une diode , la charge dans le même sens et une diode  ;

......l'amplitude du signal d'entrée pouvant atteindre , le calcul de la valeur minimale de la résistance d'utilisation pour que l'amplitude de l'intensité du courant dans le circuit ne dépasse pas se fait de la même façon que lors de la « tentative de réalisation pratique d'un redresseur simple alternance », impliquant et dont l'inégalité est réalisée si [97] ;

......nous choisissons dont une conséquence est que et une autre est que nous pouvons adopter le « modèle idéal avec seuil » [98] pour les diodes à jonction.

......Justification (ou non) du fonctionnement redresseur double alternance :

  • si , l'est aussi[109],
    ......si le pont de diodes conduit, est [99]
    ...... la diode  est bloquante[110] et la diode  passante[110] si la tension est suffisante ;
    ...... à la sortie de la diode , la diode  étant bloquante[110], le courant (en rouge sur le schéma) traverse le conducteur ohmique de résistance dans le sens de d'où puis traverse la diode  qui est passante [110] si la tension est, là encore, suffisante ;
    ......dans ce cas on a : soit finalement [111] ;
    ......il faut valider que le pont de diodes conduit par , or dans la mesure où  ;
    ......dans le cas où , la seule possibilité est (toutes les diodes sont bloquantes), aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance d'où et par suite aussi ;
    ......en résumé  ;
  • si , l'est aussi[109] et est ,
    ......si le pont de diodes conduit, est [99]
    ...... la diode  est bloquante[110] et la diode  passante[110] si la tension est suffisante ;
    ...... à la sortie de la diode , la diode  étant bloquante[110], le courant (en bleu sur le schéma) traverse le conducteur ohmique de résistance dans le sens de d'où puis traverse la diode  qui est passante [110] si la tension est, là encore, suffisante ;
    ......dans ce cas on a : soit finalement [112] ;
    ......il faut valider que le pont de diodes conduit par [ou , or dans la mesure où  ;
    ......dans le cas où , la seule possibilité est (toutes les diodes sont bloquantes), aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance d'où et par suite aussi ;
    ......en résumé .

......En conclusion ou, sachant que , c'est-à-dire que c'est la tension de sortie d'un redresseur double alternance avec défaut de seuil ; ce défaut est minimisé si la valeur de crête positive de la tension d'entrée ainsi que la valeur absolue de la valeur de crête négative de la tension d'entrée sont grandes devant deux fois la tension de seuil c'est-à-dire [113].

......Ci-dessous, avec une tension d'entrée sinusoïdale avec et [114],

  • à gauche l'oscillogramme en bicourbe en noir et en rouge,
  • à droite l'oscillogramme en courbe de Lissajous[102] en abscisse et en ordonnée.
En bicourbe, tension d'entrée sinusoïdale de fréquence f = 100 Hz et d'amplitude Ue, max = 6 V, tension de sortie d'un redresseur double alternance avec défaut de seuil, la diode étant idéale avec une tension de seuil Useuil = 0,6 V
En courbe de Lissajous[102], tension d'entrée sinusoïdale de fréquence f = 100 Hz et d'amplitude Ue, max = 6 V en abscisse et tension de sortie d'un redresseur double alternance avec défaut de seuil en ordonnée, la diode étant idéale avec une tension de seuil Useuil = 0,6 V, en pointillés la courbe de Lissajous avec redresseur double alternance sans défaut de seuil

Caractère non linéaire du filtre « redresseur double alternance »[modifier | modifier le wikicode]

......Là encore le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. s'il y avait un lien d'équation différentielle linéaire à cœfficients constants entre la tension de sortie et la tension d'entrée, ce qui nécessiterait un lien de proportionnalité en régime permanent, comme cette dernière condition n'est pas vérifiée, le filtre n'est pas linéaire.

Spectre d'un signal redressé double alternance à tension d'entrée sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

......Nous supposons le redressement « sans défaut de seuil » [115], la décomposition en série de Fourier[104],[64] est alors assujettie à sa représentation fréquentielle [105] pour laquelle les harmoniques du signal redressé double alternance sont définis relativement à la fréquence du signal d'entrée[116] et dont le spectre est représenté en rouge
......ci-dessous à gauche en superposition du spectre du signal d'entrée en noir, ainsi que
......ci-dessous à droite en superposition des spectres du signal d'entrée en noir et du signal de sortie d'un redresseur simple alternance positif en bleu,
......la représentation fréquentielle du signal de sortie du redresseur double alternance étant :

  • [117] composante permanente représentant la valeur moyenne du signal redressé double alternance,
  • il n'y a pas d'harmonique de fréquence égale à celle du signal d'entrée, la justification est que le signal redressé double alternance étant de « période  », sa fréquence est «  » d'où l'harmonique fondamental du redressé double alternance (défini relativement à la fréquence de ce dernier et non relativement à la fréquence du signal d'entrée) est de fréquence «  » ce qui correspond à l'harmonique de rang 2 du redressé double alternance (défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié) …
  • de façon plus générale , il n'y a donc pas d'harmoniques de rang impair du signal redressé double alternance (définis relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié), ceci résultant du fait qu'un harmonique de rang impair selon la référence précédente ne peut être un multiple de la fréquence du signal redressé double alternance car
  • [118] l'harmonique de rang pair (défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié) s'écrivant , on en déduit l'harmonique de rang 2 (défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié) du signal redressé double alternance, lequel est l'harmonique fondamental de ce dernier (défini relativement à sa fréquence et non à la fréquence du signal d'entrée) [119].
Spectre du signal de sortie d'un redresseur double alternance avec un signal d'entrée sinusoïdal de fréquence f = 100 Hz et d'amplitude Ue, max = 1 V
Spectres (en rouge) du signal de sortie d'un redresseur double alternance et (en bleu) du signal de sortie d'un redresseur simple alternance positif, tous deux avec un signal d'entrée sinusoïdal de fréquence f = 100 Hz et d'amplitude Ue, max = 1 V

Caractéristique spectrale d'un filtrage non linéaire[modifier | modifier le wikicode]

......Là encore on constate qu'un filtrage non linéaire réalise « un enrichissement du spectre du signal de sortie » relativement à celui du signal d'entrée c'est-à-dire que l'on trouve dans le signal de sortie des fréquences qui n'existaient pas dans le signal d'entrée ; sur l'exemple ci-dessus le spectre du signal d'entrée est composé d'une raie, alors qu'il y a un nombre discret de raies dans le signal de sortie.

......Remarque : sur ce même exemple on constate, dans le spectre du signal de sortie, la disparition de la fréquence du signal d'entrée ce qui a pour conséquence que la fréquence du signal de sortie est supérieure à celle du signal d'entrée (plus précisément, sur cet exemple, la fréquence du signal de sortie est le double de la fréquence du signal d'entrée).

Quelques notions de filtrage en mécanique[modifier | modifier le wikicode]

......La notion de filtrage n'est pas spécifique aux circuits électriques, elle existe dans tous les domaines de la physique dès lors qu'apparaissent des grandeurs variant avec le temps (qu'elles soient périodiques ou non) ;

......dans le programme de P.C.S.I., on se limite à évoquer le prolongement de la notion de filtrage dans le domaine mécanique …

Analogue mécanique d'un « passe-bas » : « sismomètre » avec réponse en élongation d'une excitation ondulatoire pour un faible facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]

......Revoir le paragraphe « analogie électromagnétique, résonance en élongation d'un oscillateur mécanique … » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », on rappelle qu'il s'agit d'un « passe-bas sans résonance » si le facteur de qualité

......Voir aussi les articles de wikipédia sur les sismomètres et sur la mesure en sismologie

Sur le site « http://lyc.lumiere.luxeuil.free.fr/lycee_lumiere/import/SitesIn/physique/sismologie/EOST/fiche3/sismo_int.htm » est développé le fonctionnement d'un sismomètre …

Analogue mécanique d'un « passe-haut » : « accéléromètre » avec réponse en accélération d'une excitation ondulatoire pour un faible facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]

......Revoir le paragraphe « établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type “ réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série … ” » plus haut dans ce chapitre ainsi que l'exercice « réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série … » de la série d'exercices du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », on rappelle qu'il s'agit d'un « passe-haut sans résonance » si le facteur de qualité

......Voir aussi l'article de wikipédia sur les accéléromètres et celui de wikiversity sur les capteurs d'accélération

Analogue mécanique d'un « coupe-bande » : « amortisseur » avec réponse complémentaire de celle en vitesse d'une excitation ondulatoire[modifier | modifier le wikicode]

......On se place dans le cas où on souhaite un amortissement important pour une fréquence particulièrement gênante, cette fréquence devant donc être la fréquence d'antirésonance du filtre[120], l'antirésonance étant réalisée quelle que soit la valeur du facteur de qualité, lequel représente l'acuité de l'antirésonance …

......Remarque : Un exemple cinématographique de passe-bande en mécanique[121] se trouve dans le film Le Salaire de la peur réalisé en 1952 par Henri-Georges Clouzot (1907 - 1977) scénariste, dialoguiste, réalisateur et producteur de cinéma français ; on y observe le phénomène de résonance du camion relié à ses roues par suspension et excité sinusoïdalement par le passage de ses roues sur une tôle ondulée[122] à une certaine vitesse ; pour étudier plus simplement le phénomène il est intéressant d'introduire la notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement voir ci-dessous :

......Remarque : notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement : le théorème de la résultante cinétique appliqué à un solide M de masse m s'écrit dans référentiel galiléen  ;
......Remarque : notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement : dans un référentiel en translation de vecteur accélération par rapport au référentiel galiléen pour lequel on peut appliquer la loi de composition des accélérations suivante le théorème de la résultante cinétique peut être réécrit sous la forme , c'est-à-dire que le théorème de la résultante cinétique est encore applicable dans référentiel non galiléen en translation par rapport référentiel galiléen à condition d'ajouter aux forces appliquées (invariantes par changement de référentiel) une pseudo-force dite d'inertie d'entraînement [cette pseudo-force ne dépendant que de la masse de M et non du mouvement du solide dans l'un ou l'autres des deux référentiels], le théorème de la résultante cinétique appliqué à M dans s'écrivant alors  ;

......Remarque : appliqué à l'exemple du camion relié à ses roues par suspension et passant sur une tôle ondulée[122] à une certaine vitesse, on simplifie l'étude en la menant dans le référentiel lié aux centres d'inertie des roues, référentiel non galiléen car en translation de mouvement vertical oscillant par rapport au référentiel galiléen se déplaçant à vitesse constante horizontale relativement à l'hypothétique route horizontale, le châssis du camion étant alors soumis aux composantes verticales des forces[123] suivantes

  • actions des ressorts liés aux axes des roues,
  • composante verticale de la résistance à l'avancement dans l'air (nous supposons cette résistance linéaire),

......Remarque : mais le référentiel étant non galiléen et en translation par rapport à un galiléen il faut ajouter, pour appliquer le théorème de la résultante cinétique au châssis du camion, une pseudo-force d'inertie d'entraînement laquelle joue le rôle de « force » excitatrice verticale sinusoïdale (la fréquence d'excitation étant proportionnelle à la vitesse de déplacement de par rapport à la route horizontale) …

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Ou suffisamment atténuée pour être considérée comme absorbée.
  2. Choix très fréquent.
  3. On rencontre de plus en plus souvent la confusion entre l'intervalle passant et la bande passante, cette dernière étant employée pour désigner l'intervalle passant mais a priori c'est incorrect.
  4. Une avance de phase correspondant à une avance temporelle .
  5. Qui est effectivement un passe-bas.
  6. 6,0 et 6,1 En effet et avec soit finalement .
  7. 7,0 et 7,1 Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit , cette fréquence donnant un gain en dB de soit une atténuation d'un facteur ce qui est acceptable alors que
    ....Pour cela Pour cela une fréquence de donnerait un gain en dB de soit une atténuation d'un facteur ce qui nécessiterait une amplitude d'entrée importante pour que le signal de sortie soit acceptable et
    ....Pour cela Pour cela une fréquence de donnerait un gain en dB de soit une atténuation d'un facteur ce qui serait totalement inobservable.
  8. 8,0 et 8,1 Si le signal d'entrée est à valeur moyenne nulle et que les conditions de fonctionnement d'un moyenneur exposées ci-après sont réalisées le filtre serait un « moyenneur (sans composante permanente) », la sortie ne donnant alors rien c'est-à-dire la moyenne nulle du signal d'entrée.
  9. 9,0 et 9,1 Qui est aussi la fréquence de l'harmonique fondamental.
  10. Si la fréquence du signal d'entrée est de , cela donne un gain en dB de pour l'harmonique fondamental soit une atténuation d'un facteur et par suite une amplitude de la forme intégrée de l'harmonique fondamental pouvant être considérée inobservable si l'amplitude d'entrée reste de valeur raisonnable [par exemple une amplitude de conduit à une amplitude de la forme intégrée de l'harmonique fondamental de de même valeurs que celle des parasites], l'intégration des harmoniques de rang supérieur donnant une atténuation encore plus faible sont évidemment encore moins observables [par exemple l'harmonique de rang conduirait à une atténuation d'un facteur .
  11. Qui est effectivement un passe-haut.
  12. 12,0 et 12,1 En effet et avec soit finalement .
  13. Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit soit, pour un signal d'entrée triangulaire donnant un créneau comme signal dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les premiers harmoniques pour le construire, une borne inférieure , cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang approximativement de soit une atténuation d'un facteur mais un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de soit une atténuation d'un facteur ce qui nécessite une amplitude du signal d'entrée très importante pour que le signal dérivé soit visible C'est donc un problème très limitant pour obtenir une dérivation avec un minimum de distorsion.
  14. Même si l'amplitude du signal d'entrée était de celle du signal de sortie serait de de même ordre de grandeur que celle des parasites.
  15. Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la nouvelle borne inférieure soit soit, pour un signal d'entrée triangulaire donnant un créneau comme signal dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les premiers harmoniques pour le construire, une borne inférieure , cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang approximativement de soit une atténuation d'un facteur mais un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de soit une atténuation d'un facteur ce qui reste acceptable pour une observation Il reste à vérifier que la dérivation se fait avec un minimum de distorsion.
  16. Toutefois si l'amplitude du signal d'entrée était de celle du signal de sortie devient de assez nettement supérieure à celle des parasites d'où une observation possible.
  17. Exemple de filtre nécessaire pour capter les grandes ondes de France Inter de fréquence centrale sur un intervalle de largeur .
  18. Voir le paragraphe « tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode d'un 2ème ordre du type réponse en uR d'un R L C série … » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  19. 19,0 19,1 19,2 19,3 19,4 19,5 19,6 et 19,7 Les faibles valeurs d'inductances étant plus difficiles à fabriquer coûtent plus chers et sont donc à éviter si possible.
  20. Le contact entre l'asymptote B.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode et la courbe de gain se fait entre et (il faut en effet moins d'une décade pour arriver à la résonance), je l'estime à .
  21. Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit soit, pour un signal d'entrée triangulaire donnant un créneau comme signal dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les premiers harmoniques pour le construire, une borne inférieure , cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang approximativement de soit une atténuation d'un facteur et un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de soit une atténuation d'un facteur ce qui nécessite une amplitude du signal d'entrée excessivement importante pour que le signal dérivé soit visible C'est donc un problème crucial empêchant quasiment toute dérivation avec un minimum de distorsion, la raison en étant le grand facteur de qualité du filtre (si on veut obtenir un dérivateur du 2ème ordre utilisable on choisira un facteur de qualité nettement moindre, sa grande valeur n'ayant d'importance que dans le caractère sélectionneur d'harmoniques).
  22. Il faudrait une amplitude du signal d'entrée de pour que celle du signal de sortie soit de de même ordre de grandeur que celle des parasites …
  23. 23,0 et 23,1 Le signal a été reconstruit par logiciel de calcul.
  24. Le contact entre l'asymptote H.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode et la courbe de gain se fait entre et (il faut en effet moins d'une décade pour arriver à la résonance), je l'estime à .
  25. Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit , cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de soit une atténuation d'un facteur et, pour un signal d'entrée créneau donnant un triangulaire comme signal intégré pour lequel on estime qu'il faut approximativement les 3 premiers harmoniques pour le construire, un gain en dB pour l'harmonique de rang 3 approximativement de soit une atténuation d'un facteur ce qui nécessite une amplitude du signal d'entrée relativement importante pour que le signal intégré soit visible C'est donc un problème crucial gênant quasiment toute intégration avec un minimum de distorsion, la raison en étant le grand facteur de qualité du filtre (si on veut obtenir un intégrateur du 2ème ordre utilisable on choisira un facteur de qualité nettement moindre, sa grande valeur n'ayant d'importance que dans le caractère sélectionneur d'harmoniques).
  26. Il faudrait une amplitude du signal d'entrée de pour que celle du signal de sortie soit de de même ordre de grandeur que celle des parasites …
  27. L'harmonique de rang 5 de fréquence voisine de étant proche de la zone dérivative de gauche subit une dérivation avec distorsion avant de sortir avec une atténuation proche d'un facteur (le gain en dB étant proche de -40dB) alors que l'harmonique de rang 9 de fréquence voisine de étant proche de la zone intégrative de droite subit une intégration avec distorsion avant de sortir avec également une atténuation proche d'un facteur (le gain en dB étant aussi proche de -40dB), les deux s'ajoutant théoriquement au signal de sortie souhaité dû à l'harmonique de rang 7 mais étant pratiquement négligeable.
  28. L'harmonique de rang de fréquence voisine de se retrouvant en sortie avec une atténuation proche d'un facteur le gain en dB étant proche de soit un gain de alors que
    ...l'harmonique de rang de fréquence voisine de se retrouve en sortie avec une atténuation proche d'un facteur le gain en dB étant proche de soit un gain de , les deux s'ajoutant pratiquement au signal de sortie souhaité dû à l'harmonique de rang en étant observable même si la distorsion reste faible.
  29. Mais nous avons vu, sur l'exemple du créneau, que cette limite théorique pouvait être beaucoup trop stricte, la limite pratique étant nettement plus élevée à condition de tolérer une certaine distorsion.
  30. Écart le plus faible entre la zone absorbante inférieure et la zone passante .
  31. Et .
  32. Or l'amplitude de l'harmonique de rang d'un créneau valant l'est ainsi que les suivants.
  33. Qui est effectivement un passe-bas sous réserve d'une valeur de facteur de qualité inférieure à , sinon il s'agit d'un passe-bande de fréquence de résonance inférieure à la fréquence propre.
  34. 34,0 et 34,1 Plus précisément .
  35. On rappelle qu'avec la fonction de transfert s'écrivant .
  36. 36,0 et 36,1 L'identification n'étant applicable que pour .
  37. Pour cela on exprime le gain linéaire à partir de la fonction de transfert soit et on écrit que ce qui donne l'équation bicarrée en c'est-à-dire du 2ème degré en suivante dont on conserve la solution positive dont il faut encore prendre la racine carrée pour obtenir soit, par exemple, pour ,
  38. 38,0 et 38,1 Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit , cette fréquence donnant un gain en dB de soit une atténuation d'un facteur nécessitant une amplitude d'entrée importante pour que le signal de sortie soit acceptable alors que
    ....Pour cela pour cela une fréquence de donnerait un gain en dB de soit une atténuation d'un facteur , ce qui serait totalement inobservable.
  39. Si l'amplitude du signal d'entrée était de , celle du signal de sortie serait de et par suite les parasites deviendraient nettement moins gênants.
  40. Peu visible car la sensibilité étant la même que celle du signal d'entrée est trop petite pour l'observation du signal de sortie.
  41. Si la fréquence du signal d'entrée est de , cela donne un gain en dB de pour l'harmonique fondamental soit une atténuation d'un facteur et par suite une amplitude de la forme bi-intégrée de l'harmonique fondamental pouvant être considérée inobservable si l'amplitude d'entrée reste de valeur raisonnable [par exemple une amplitude de conduit à une amplitude de la forme bi-intégrée de l'harmonique fondamental de de même valeurs que celle des parasites], la double intégration des harmoniques de rang supérieur donnant une atténuation encore plus faible sont évidemment encore moins observables [par exemple l'harmonique de rang conduirait à une atténuation d'un facteur .
  42. Nous sommes dans le cas où la fréquence du signal d'entrée est égale à la fréquence de la borne inférieure du domaine « double-intégrateur » mais l'amplitude de variation du signal d'entrée étant de même ordre de grandeur que sa valeur moyenne , l'amplitude des formes bi-intégrées des harmoniques de rang non nul ne dépassant pas la bi-intégration n'est pas observable (sans compter que les parasites sont d'amplitude de même ordre de grandeur).
  43. Qui est effectivement un passe-haut sous réserve d'une valeur de facteur de qualité inférieure à , sinon il s'agit d'un passe-bande de fréquence de résonance supérieure à la fréquence propre.
  44. Plus exactement sortie aux bornes de la bobine réelle comprenant aussi une partie résistive mais la résistance de la bobine ne dépassant pas quelques ohms pourra être négligée si la résistance totale est de quelques kiloohms.
  45. On rappelle qu'avec la fonction de transfert s'écrivant .
  46. Pour cela on exprime le gain linéaire à partir de la fonction de transfert soit et on écrit que ce qui donne l'équation bicarrée en c'est-à-dire du 2ème degré en suivante ou, en divisant les deux membres par après simplification évidente, l'équation bicarrée en suivante dont on conserve la solution positive dont il faut encore prendre la racine carrée pour obtenir soit, par exemple, pour ,
  47. 47,0 et 47,1 Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit  ;
    ... pour un signal d'entrée périodique formé de portions paraboliques de concavités opposées donnant un créneau comme signal doublement dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les premiers harmoniques pour le construire, une borne inférieure valant , cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang approximativement de soit une atténuation d'un facteur mais un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de soit une atténuation d'un facteur ce qui, globalement, nécessite une amplitude du signal d'entrée trop importante pour que le signal doublement dérivé soit visible
    ... pour un signal d'entrée triangulaire donnant deux pics de Dirac inversés séparés de comme signal doublement dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les premiers harmoniques pour le construire, une borne inférieure valant , cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang approximativement de soit une atténuation d'un facteur mais un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de soit une atténuation d'un facteur ce qui, globalement, nécessite une amplitude du signal d'entrée beaucoup trop importante pour que le signal doublement dérivé soit visible C'est donc un problème excessivement limitant pour obtenir une double dérivation avec un minimum de distorsion.
  48. Sous cette condition seuls les harmoniques de rang inférieur à sont dans la zone double-dérivative.
  49. Ce n'est qu'une proposition d'approche parmi d'autres, de à , est puis de à , est , on estime la différence à mais ce n'est pas la seule possibilité.
  50. 50,0 et 50,1 Voir la « forme canonique réduite usuelle d'un coupe-bande du 2ème ordre avec gain minimal non nul » traitée en exer. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » c'est-à-dire .
  51. Résistance totale incluant la résistance de la bobine.
  52. Se déterminant facilement en reconnaissant un P.D.T. en complexe, on vérifie que le gain statique est effectivement .
  53. « Créneau impair symétrique » ou « triangulaire pair symétrique », ces derniers n'ayant que des harmoniques de rang impair.
  54. 54,0 54,1 et 54,2 Également la fréquence de l'harmonique fondamental.
  55. On observe un écart à partir de la réjection de l'harmonique de rang 3, écart pouvant être interprété à l'aide du phénomène de Gibbs [on rappelle que ce phénomène apparaît lors de la tentative de reconstitution de discontinuités du signal ou de sa dérivée (correspondant aux pointes du signal), phénomène se manifestant par un dépassement au niveau des discontinuités ou par un arrondi au niveau de pointes à reconstituer].
  56. 56,0 et 56,1 On remarquera l'importance de l'harmonique fondamental dans un triangulaire car le signal de sortie avec réjection du fondamental ne laisse pas deviner le signal origine triangulaire d'une part et est de faible amplitude d'autre part alors que le signal de sortie avec réjection de l'harmonique de rang 3 est semblable au signal origine triangulaire avec une amplitude voisine.
  57. Écart le plus faible entre la zone passante inférieure et la zone absorbante .
  58. Et .
  59. Dans la mesure où ces propriétés sont compatibles bien sûr.
  60. En effet l'impédance d'entrée d'un étage servant d'impédance de charge de l'étage précédent, celle-ci n'intervient pas pour le 1er étage à défaut d'étage le précédant.
  61. Pour tous les étages sauf le dernier (et le 1er où ce n'est pas nécessaire) la raison est l'existence d'une impédance d'entrée quasi infinie alors que pour le dernier étage la raison est l'existence d'une impédance de sortie quasi nulle (pour les autres étages il n'est pas nécessaire d'imposer une impédance de sortie quasi nulle dans la mesure où l'impédance d'entrée de l'étage suivant est quasi infinie).
  62. Revoir le paragraphe « définition de l'impédance complexe itérative … » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  63. Revoir le paragraphe « système linéaire à plusieurs étages identiques, le dernier étage étant fermé sur son impédance complexe itérative » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  64. 64,0 64,1 64,2 64,3 64,4 et 64,5 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes (évoqués ici) et leur application au problème de la propagation de la chaleur …
  65. étant l'éventuelle composante permanente et la valeur efficace complexe de l'harmonique de rang (de fréquence .
  66. Ce qui est le cas pour un signal créneau symétrique impair , et  ; la représentation temporelle du créneau étant se réécrit, à l'aide de la représentation fréquentielle, sous forme réelle .
  67. La principale différence lors du passage d'un signal périodique à un signal non périodique est que le spectre d'un signal non périodique est continu alors que celui d'un signal périodique est discret.
  68. Voir le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction intégrable réelle d'une variable réelle » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
    ...le passage d'une fonction du temps à sa représentation fréquentielle est appelée « transformation de Fourier » et est notée , elle est définie selon et est une fonction de la variable réelle  ;
    ...dans le cas physique où est réelle, la transformée de Fourier obéit à (la transformée de Fourier d'une fonction réelle est donc « à symétrie hermitienne ») donnant une signification aux valeurs négatives de la pulsation.
  69. étant l'éventuelle composante continue et l'amplitude complexe du quasi harmonique de pulsation à près, étant la transformée de Fourier (directe) de [avec réelle et dans le cas , d'après la note précédente soit, en couplant les amplitudes complexes des quasi-harmoniques de pulsations opposées avec , permettant de ramener le domaine de pulsations aux seules valeurs positives].
  70. Voir le paragraphe « expression de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe à symétrie hermitienne d'une variable réelle sous conditions d'existence et d'intégrabilité » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
    ...le passage de la représentation fréquentielle de la variable réelle à sa représentation temporelle est appelée « transformation de Fourier inverse » et est notée , elle est définie selon et est une fonction de la variable réelle .
  71. C'est-à-dire de monôme de degré zéro égal à .
  72. L'équation différentielle n'est pas normalisée au sens habituel de normalisation d'une équation différentielle, ici c'est le cœfficient de qui vaut , nous gardons cette forme d'équation différentielle dans la suite de l'exposé.
  73. 73,0 73,1 et 73,2 Si l'échelon d'entrée est un échelon de tension et, dans le cas où l'échelon d'entrée est un échelon de courant, on remplace par .
  74. Une équation différentielle linéaire du 1er ordre nécessite une C.I. et une du 2ème ordre deux C.I. (car l'ensemble des solutions libres d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du nème ordre est un -espace vectoriel de dimension .
  75. Au sens des distributions.
  76. Ici la méthode du programme consistant à chercher la dernière loi de Kirchhoff avant la dérivation finale donnant l'équation différentielle ne peut être appliquée car l'équation différentielle n'a pas été déterminée par utilisation des lois de Kirchhoff mais par fonction de transfert harmonique …
  77. Nom donnée à la solution complète de l'équation différentielle linéaire.
  78. C'est-à-dire que l'échelon d'excitation imposé au circuit est d'amplitude unité, le 2nd membre de l'équation différentielle écrite pour tout contient alors l'une au moins des trois fonctions ou distributions , et .
  79. Dans le cas où l'échelon d'excitation est d'amplitude la réponse forcée s'obtient par .
  80. On rappelle qu'un filtre du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul peut être un passe-bas, un passe-haut ou un passe-tout, ce type de filtre est donc exclu pour la propriété énoncée.
  81. En effet pour un système du 1er ordre, est de degré un et au plus de degré zéro, l'excitation est donc discontinue de 1re espèce correspondant à la discontinuité de , et
    ...En effet pour un système du 2ème ordre, est de degré deux et au plus de degré un,
    ...En effet pour un système avec un degré zéro l'excitation est discontinue de 1re espèce correspondant à la discontinuité de et
    ...En effet pour un système avec un degré un elle est discontinue de 2ème espèce correspondant à la discontinuité de .
  82. Dans le cas où l'échelon d'excitation est d'amplitude la valeur initiale de la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation s'obtient par .
  83. Un filtre du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul pouvant être un passe-bas, un passe-haut ou un passe-tout, mais le degré du numérateur étant égal à celui du dénominateur de la fonction de transfert, ce type de filtre est donc autorisé pour la propriété énoncée.
  84. En effet pour un système du 1er ordre, est de degré un et est aussi de degré un, l'excitation est donc discontinue de 2ème espèce correspondant à la discontinuité de , et
    ...En effet pour un système du 2ème ordre, est de degré deux et est aussi de degré deux, l'excitation est donc discontinue de 3ème espèce correspondant à la discontinuité de .
  85. Dans le cas où l'échelon d'excitation est d'amplitude la valeur initiale de la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation s'obtient par .
  86. 86,0 et 86,1 C'est-à-dire donnant le signal dérivé de la réponse étudiée en fonction de l'excitation d'entrée (appellation « personnelle ») ; elle correspond à .
  87. En effet est de degré deux et de degré zéro.
  88. En effet le système étant du 2ème ordre, est de degré deux et est de degré zéro, l'excitation est donc discontinue de 1re espèce correspondant à la discontinuité de .
  89. Dans le cas où l'échelon d'excitation est d'amplitude la valeur initiale de la dérivée temporelle de la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation s'obtient par .
  90. En fait ce n'est pas la seule possibilité de 2ème ordre mais c'est la seule parmi les 2èmes ordres étudiés.
  91. En effet est de degré deux et de degré un.
  92. En effet le système étant du 2ème ordre, est de degré deux et est de degré un, l'excitation est donc discontinue de 2ème espèce correspondant à la discontinuité de .
  93. Dans le cas où l'échelon d'excitation est d'amplitude la valeur initiale de la dérivée temporelle de la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation s'obtient par .
  94. Sauf dans le cas d'un passe-haut du 2ème ordre ou d'un coupe-bande où seule la C.I. sur la réponse peut être trouvée à partir de la fonction de transfert, la fonction de transfert “ dérivée ” d'un passe-haut du 2ème ordre ou d'un coupe-bande ayant un transfert H.F. infini, il est impossible de déterminer la C.I. sur la dérivée temporelle de la réponse [il faut donc écrire l'équation différentielle pour tout et l'intégrer entre et au sens des distributions].
  95. Le redresseur simple alternance négatif s'obtiendrait en inversant le branchement de la diode.
  96. 96,0 et 96,1 Intensité maximale du courant dans le sens passant sans risque (le constructeur laisse une marge mais il y a néanmoins un risque de « griller » la jonction si on la dépasse).
  97. 97,0 et 97,1 En effet fait que .
  98. 98,0 et 98,1 C'est-à-dire sans résistance dynamique dans le sens passant mais avec une tension de seuil.
  99. 99,0 99,1 99,2 99,3 99,4 et 99,5 Et il faut valider cette hypothèse sur la conclusion que l'on en déduit.
  100. C'est l'hypothèse « polarisée en inverse » de la diode qui implique son caractère « bloquant ».
  101. Ce qui est réalisé à au moins près, avec , si par exemple .
  102. 102,0 102,1 102,2 et 102,3 Jules-Antoine Lissajous (1822 - 1880) physicien français, essentiellement connu pour ses travaux sur les ondes, on lui doit en particulier la méthode de Lissajous utilisée en électronique et permettant de calculer le déphasage temporel entre deux signaux sinusoïdaux en étudiant l'ellipse qu'ils forment dans le mode X-Y d'un oscilloscope (la courbe obtenue dans ce mode étant encore appelée courbe de Lissajous).
  103. Par définition, un redressement simple alternance positif (ou négatif) est « sans défaut de seuil », ce n'est que dans la façon expérimentale vue précédemment qu'apparaît un « défaut de seuil », mais il y a d'autres méthodes expérimentales pour réaliser un redressement simple alternance où n'apparaît pas de défaut de seuil [par exemple à base d'une diode à jonction et d'un A.O. « amplificateur opérationnel » (octopôle utilisé dans le montage suiveur) mais nous ne la verrons pas car n'est plus explicitement au programme de PCSI].
  104. 104,0 et 104,1 On choisit le « 2ème développement en série de Fourier » avec introduit au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et on associe à l'harmonique physique l'harmonique complexe avec l'amplitude complexe de l'harmonique complexe.
  105. 105,0 et 105,1 Laquelle est à peine plus compliquée à établir « à la main » que celle d'un signal créneau impair symétrique [exposée dans le paragraphe « analyse spectrale d'un signal périodique : exemple d'un créneau symétrique » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »] ou triangulaire pair symétrique [exposée dans le paragraphe « analyse spectrale d'un signal périodique : exemple d'un triangulaire symétrique » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »], ces calculs ayant étant faits en introduisant le 1er développement en série de Fourier mais n'auraient guère été plus compliqués à l'aide du 2ème développement ;
    ...les formules des cœfficients du 2ème développement en série de Fourier peuvent être déduites du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », en effet on trouve dans le paragraphe « 1er développement en série de Fourier » et dans le paragraphe « passage du 1er au 2ème développement en série de Fourier » et tel que dont on déduit et, par conséquent , la composante permanente se déterminant par .
  106. Décroissance aussi rapide que l'amplitude des harmoniques d'un triangulaire, ici l'amplitude de l'harmonique de rang 6 vaut et celle de l'harmonique de rang 8 vaut .
  107. Léo Graetz (1856 - 1941) physicien allemand qui s'occupa, entre autres, de magnétisme, d'électricité et de modèles atomiques.
  108. La présence d'un transformateur d'isolement est nécessaire pour qu'il n'y ait pas de points reliés à la Terre dans le circuit situé à la sortie du transformateur, alors qu'à l'entrée de ce dernier il y a nécessairement une des bornes reliée à la masse du générateur de fonctions, laquelle est reliée à la Terre par l'intermédiaire du fil de secteur ; on peut ainsi visualiser simultanément la tension d'entrée sur la voie d'un oscilloscope, la masse de ce dernier étant reliée à la borne d'entrée du transformateur reliée à la masse du générateur et la tension de sortie sur la voie du même oscilloscope, la masse de l'oscilloscope pouvant être reliée à B' sans problème puisqu'aucun point de ce circuit n'est relié à la Terre.
  109. 109,0 et 109,1 À condition que les bornes E et A soient en regard et non E et B.
  110. 110,0 110,1 110,2 110,3 110,4 110,5 110,6 et 110,7 Si le sens possible de courant est dans le sens de la diode, la diode est nécessairement polarisée en directe et elle est passante à condition que la tension à ses bornes ne soit pas inférieure à et
    ......si le sens possible de courant est dans le sens de la diode, la diode est polarisée en inverse et elle est bloquante.
  111. On ne trouve donc pas pour est décalée par rapport à de correspondant, en ce qui concerne la tension d'entrée positive, à un « redresseur avec défaut de seuil ».
  112. On ne trouve donc pas pour est décalée par rapport à de correspondant, en ce qui concerne la tension d'entrée négative, à un « redresseur avec défaut de seuil ».
  113. Ce qui est réalisé à au moins près, avec , si par exemple .
  114. Avec cette valeur le défaut de seuil ne peut pas réellement être négligé car représentant de l'amplitude maximale, mais a été conservé pour faire la comparaison avec le redressement simple alternance positif.
  115. Par définition, un redressement double alternance est « sans défaut de seuil », ce n'est que dans la façon expérimentale vue précédemment qu'apparaît un « défaut de seuil », mais il y a d'autres méthodes expérimentales pour réaliser un redressement double alternance où n'apparaît pas de défaut de seuil [par exemple à base de diodes à jonction identiques et de plusieurs A.O. « amplificateurs opérationnels » (octopôle utilisé dans le montage suiveur) mais nous ne la verrons pas car n'est plus explicitement au programme de PCSI].
  116. C'est effectivement ce qui est fait pour tout signal de sortie d'un filtre ;
    ...dans le cas où le filtre est linéaire la fréquence du signal de sortie est aussi celle du signal d'entrée mais
    ...dans le cas où le filtre est non linéaire, ce n'est pas nécessairement vrai et il est même possible que le signal de sortie ne soit pas périodique alors que le signal d'entrée le soit aussi,
    ...aussi choisit-on de définir la représentation fréquentielle du signal de sortie relativement à la fréquence du signal d'entrée (et non relativement à la fréquence du signal de sortie, même si c'est ce qu'on fait usuellement pour tout signal étudié périodique),
    ...ce qui peut entraîner une difficulté de définition quand la fréquence du signal de sortie est différente de celle du signal d'entrée (car, dans ce cas, l'harmonique fondamental du signal de sortie est la sortie de l'harmonique fondamental du signal d'entrée et non l'harmonique de même fréquence que celle du signal de sortie étudié) …
  117. Qui est le double de la composante permanente du signal redressé simple alternance positif.
  118. Qui est le double de l'amplitude complexe de l'harmonique du redressé simple alternance (positif) de même rang pair.
  119. D'amplitude effectivement le double de l'amplitude de l'harmonique de rang 2 du signal redressé simple alternance.
  120. Dans l'exemple électrique c'est un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de l'ensemble “bobine (parfaite) en série avec condensateur” d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale d'amplitude constante » qui est un coupe-bande [c'est-à-dire encore le complémentaire du passe-bande correspondant à la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance R (proportionnelle à la réponse en intensité)], l'analogue mécanique est un P.E.A.E.S. (pendule élastique amorti excité sinusoïdalement) avec « réponse complémentaire de la “réponse en force de frottement fluide (proportionnelle à la réponse en vitesse)”, le P.E.A. étant soumis à une force excitatrice sinusoïdale d'amplitude constante » …
    ...Revoir le paragraphe « analogie électromécanique, résonance en vitesse d'un oscillateur mécanique … » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  121. Il faudra, pour obtenir un coupe-bande, construire le complémentaire de ce passe-bande.
  122. 122,0 et 122,1 Se dit d'une route déformée par une succession de lignes transverses d'altitude variant régulièrement (c'est-à-dire de bosses et de trous).
  123. Les composantes horizontales devant se compenser.