Signaux physiques (PCSI)/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre

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Définition du gabarit d'un filtre

Introduction : fonction d'un filtre

......La fonction d'un filtre est de récupérer, dans un ensemble de signaux reçus, le signal utile et de le manipuler pour en retirer une information précise $\;{\big (}$exemple : un récepteur radio recevant un ensemble d'ondes électromagnétiques radiophoniques en sélectionne une et la traite pour la transformer en ondes sonores audibles$\;\ldots {\big )}$

......Le filtre doit donc :

• éliminer tous les signaux inutiles,
• transmettre sans atténuation et ni déformation (c.-à-d. sans déphasage pour un signal sinusoïdal) et enfin
• traiter l'information.

......Un filtre réel ne possède pas toutes ces propriétés car

• d'une part le signal utile est en général atténué et déformé (ou déphasé s'il est sinusoïdal) et
• d'autre part le passage entre les fréquences transmises et absorbées n'est pas brutal mais progressif.

Définition du gabarit d'un filtre en termes d'amplitude

......Le plus simple est de le définir sur l'exemple d'un « filtre passe-bas » et pour cela il faut préciser :

• la dernière fréquence passante $\;f_{p}$, « le filtre doit laisser passer toutes les fréquences $\;f<f_{p}$ »,
• le gain minimum en dB $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}\;$ pour les fréquences passantes, « le gain associé aux fréquences passantes doit être $\;G_{dB,\,p}>G_{dB,\,{\text{sup}}}$ »,
• la première fréquence absorbée  $\;f_{a}$, « le filtre doit arrêter toutes les fréquences $\;f<f_{a}$ »,
• le gain maximum en dB $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}\;$ pour les fréquences absorbées, « le gain associé aux fréquences absorbéees doit être $\;G_{dB,\,a}<G_{dB,\,{\text{inf}}}$ ».

......Par exemple si on choisit $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\;dB\;$ et $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-60\;dB$, cela signifie

• que toutes les fréquences passantes sont telles que $\;G_{dB,\,p}=20\;\log \!\left[{\dfrac {S_{p}}{E}}\right]>-3\;dB=20\;\log \!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\right]\;$ soit $\;S_{p}>{\dfrac {E}{\sqrt {2}}}\simeq 0,7\;E\;$ et
• que toutes les fréquences absorbées sont telles que $\;G_{dB,\,p}=20\;\log \!\left[{\dfrac {S_{a}}{E}}\right]<-60\;dB=20\;\log \!\left[10^{-3}\right]\;$ soit $\;S_{a}<10^{-3}\;E=0,001\;E$ ;

......sur cet exemple l'« intervalle passant $\;\left[0\,;\,f_{p}\right]$ » est l'« intervalle passant à -3dB », sa largeur $\;\Delta f=f_{p}\;$ est la « bande passante à -3dB » .

Influence de la phase sur un filtre

......Tout filtre agissant sur un signal sinusoïdal introduit un déphasage qui dépend de la fréquence et ceci même dans l'intervalle passant ; ce déphasage est équivalent à un décalage temporel en effet $\;s(t)=S_{0}\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \;t+\varphi _{s})=S_{0}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \left(t+{\dfrac {\varphi _{s}}{\omega }}\right)\right]=S_{0}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \left(t+\Delta t_{s}\right)\right]$, le déphasage $\;\varphi _{s}\;$ étant équivalent à un décalage temporel $\;\Delta t_{s}={\dfrac {\varphi _{s}}{\omega }}\;$.

......Remarque : ne sachant pas construire de filtre analogique simple qui présente simultanément un filtrage idéal en amplitude sans déformer le signal utile par intervention d'un déphasage sur les composantes sinusoïdales, on construit en pratique les filtres en tenant compte uniquement du gabarit en amplitude sans tenir compte de la déformation due au déphasage des composantes sinusoïdales $\;\ldots$ et

......Remarque : si le déphasage devient primordial, on construit un filtre qui présente une grande régularité en déphasage correspondant à un retard temporel identique pour chaque fréquence, en n'accordant que peu d'importance à la qualité du filtrage en termes d'amplitude $\;\ldots$

Établissement du gabarit d'un 1^er ordre fondamental, condition pour l'utiliser en moyenneur ou en intégrateur

......La notion de « moyenneur » pour un filtre passe-bas agissant sur un signal d'entrée périodique à composante permanente correspond au filtre laissant passer la composante permanente et arrêtant tous les autres harmoniques,
......La ncelle d'« intégrateur » pour un même filtre correspond au filtre laissant passer la composante permanente et intégrant tous les autres harmoniques.

Cahier des charges du passe-bas (traité sur un exemple)

......On cherche à réaliser le filtrage passe-bas suivant :

• les fréquences jusqu'à $\;1,9\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$,
• les fréquences supérieures à $\;6,2\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;9\,dB$.

Choix de l'ordre du filtre (pour l'exemple précédent)

Gabarit d'un 1^er ordre fondamental de dernière fréquence passante de 1,9 kHz et de première fréquence absorbée 6,2 kHz, le gain minimal pour les fréquences passantes étant -3dB et le gain maximal pour les fréquences absorbées -9dB

......On le détermine en calculant la pente nécessaire dans la zone de transition, la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante (voir exemple ci-contre) ;

......on passe de $\;f_{p}=1,9\;kHz\;$ à $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$ soit $\;\log \!\left({\dfrac {f_{a}}{f_{p}}}\right)=\log \!\left({\dfrac {6,2}{1,9}}\right)\simeq 0,51\;{\text{décade}}\;$ associée à une chute de $\;9-3=6\;dB\;$ dans la zone intermédiaire soit une pente dans cette zone de $\;{\dfrac {-6\;dB}{0,51\;{\text{décade}}}}\simeq$ $-11,8\;dB/{\text{décade}}\;$ d'où le choix d'une pente de $\;-20\;dB/{\text{décade}}\;$ dans la zone absorbante c.-à-d. le choix d'un 1^er ordre fondamental .

Choix de la fréquence caractéristique du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence de coupure à -3dB) pour l'exemple précédent

......Compte-tenu de la valeur de $\;f_{p}=1,9\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\geqslant f_{p}$ ;

......compte-tenu de la valeur de $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-9\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\leqslant {\dfrac {f_{a}}{2,82}}\;$ car l'abscisse de la droite de pente $\;-20\;dB/{\text{décade}}\;$ passant par le point $\;\left(f_{a}=6,2\,kHz\;,\,G_{dB,\,{\text{inf}}}=-9\,dB\right)\;$ est séparé de $\;f_{a}=6,2\,kHz\;$ de $\;{\dfrac {-9\,dB}{-20\,dB/{\text{décade}}}}$ $\simeq 0,45\,{\text{décade}}\;$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $\;f_{a}=6,2\,kHz\;$ de $\;10^{0,45}\simeq 2,82$ ;

en conclusion la fréquence de coupure à -3dB doit satisfaire $\;f_{p}=1,9\;kHz\leqslant f_{c}\leqslant {\dfrac {f_{a}}{2,82}}={\dfrac {6,2\;kHz}{2,82}}\simeq 2,2\;kHz$.

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

......On choisit un « $R\;C\;$ série » avec « sortie aux bornes de $\;C$ », tel que $\;1,9\;kHz\leqslant f_{c}={\dfrac {1}{2\,\pi \,R\,C}}\leqslant 2,2\;kHz\;$ soit, en inversant et divisant tous les membres par $\;2\,\pi \;$ après rétablissement en unités S.I., $\;72\;10^{-5}\;s\simeq {\dfrac {1}{2,2\;10^{3}\times 2\,\pi }}\leqslant R\;C\leqslant {\dfrac {1}{2,2\;10^{3}\times 2\,\pi }}\simeq 84\;10^{-5}\;s\;$ et finalement

$\;\tau =R\;C\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[72\;\mu s\;;\;84\;\mu s\right]$ ;

......on peut par exemple choisir

• $\;R=1\;k\Omega \;$ et $\;72\;nF\lesssim C\lesssim 84\;nF\;$ ou
• $\;R=2\;k\Omega \;$ et $\;36\;nF\lesssim C\lesssim 42\;nF\;$ ou encore
• $\;R=10\;k\Omega \;$ et $\;7,2\;nF\lesssim C\lesssim 8,4\;nF\;$ $\ldots$

......Avec $\;R=1\;k\Omega \;$ et $\;C\simeq 80\;nF$, on obtient une fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\simeq 2,0\;kHz\;$ et
......$\;\succ \;$ pour $\;f_{p}=1,9\;kHz$, le gain en dB vaut $\;G_{dB}(f_{p})=20\;\log \!\!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+\left(R\;C\;\omega _{p}\right)^{2}}}}\right]=-10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {f_{p}}{f_{c}}}\right)^{\!\!2}\right]\;$ soit pratiquement $\;G_{dB}(f_{p})$ $\simeq -10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {1,9}{2,0}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -2,79\;dB\simeq -2,8\;dB>-3\;dB=G_{dB,\,{\text{sup}}}$ alors que
......$\;\succ \;$ pour $\;f_{a}=6,2\;kHz$, le gain en dB vaut $\;G_{dB}(f_{a})=20\;\log \!\!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+\left(R\;C\;\omega _{a}\right)^{2}}}}\right]=-10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {f_{a}}{f_{c}}}\right)^{\!\!2}\right]\;$ soit pratiquement $\;G_{dB}(f_{a})$ $\simeq -10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {6,2}{2,0}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -10,26\;dB\simeq -10,3\;dB<-9\;dB=G_{dB,\,{\text{inf}}}$.

Condition pour utiliser le filtre comme intégrateur ou moyenneur sur l'exemple précédent

Utilisation d'un 1^er ordre fondamental de fréquence de coupure à -3dB f_c = 2,0 kHz fonctionnant en intégrateur avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 20,0 kHz

......Le filtre se comportera comme un « intégrateur » si les harmoniques d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone intégrative à savoir $\;f\gtrsim 10\;f_{c}\;$ ${\big \{}$le choix d'une fréquence de coupure à -3dB égale à $\;f_{c}\simeq 2,0\;kHz$, donne une zone intégrative $\;\left[20\;kHz\;,\;+\infty \right[\;$ mais le « signal ne sera réellement intégré que s'il est d'amplitude notable » ${\big \}}$ voir ci-contre ;

......le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissera passer sans atténuation la composante permanente de ce signal et, dans la mesure où les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone intégrative à savoir $\;f\gtrsim 10\;f_{c}$, il se comportera comme un « intégrateur à composante permanente » $\;\ldots \;$ à condition que « l'amplitude des harmoniques intégrés soit de valeur notable »  voir ci-dessous à gauche.

......Le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissant passer sans atténuation la composante permanente de ce signal, se comportera comme « moyenneur (à composante permanente) » si les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone intégrative mais tels que « la fréquence du signal d'entrée soit suffisamment éloignée de la borne inférieure » de façon à ce que l'amplitude des formes intégrées des harmoniques de rang non nul soit trop petite pour être observée voir ci-dessous à droite.

Utilisation d'un 1^er ordre fondamental de fréquence de coupure à -3dB f_c = 2,0 kHz fonctionnant en intégrateur à composante permanente avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 20,0 kHz autour d'une composante permanente

Utilisation d'un 1^er ordre fondamental de fréquence de coupure à -3dB f_c = 2,0 kHz fonctionnant en moyenneur avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 200,0 kHz autour d'une composante permanente

Établissement du gabarit d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul, condition pour l'utiliser en dérivateur

Cahier des charges du passe-haut (traité sur un exemple)

......On cherche à réaliser le filtrage passe-haut suivant :

• les fréquences jusqu'à $\;1,9\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;9\,dB$,
• les fréquences supérieures à $\;6,2\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$.

Choix de l'ordre du filtre (pour l'exemple précédent)

Gabarit d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul de dernière fréquence absorbée de 1,9 kHz et de première fréquence passante 6,2 kHz, le gain maximal pour les fréquences absorbées -9dB et le gain minimal pour les fréquences passantes étant -3dB

......On le détermine en calculant la pente nécessaire dans la zone de transition, celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante (voir exemple ci-contre) ;

......on passe de $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ à $\;f_{p}=6,2\;kHz\;$ soit $\;\log \!\left({\dfrac {f_{p}}{f_{a}}}\right)=\log \!\left({\dfrac {6,2}{1,9}}\right)\simeq 0,51\;{\text{décade}}\;$ associée à une croissance de $\;9-3=6\;dB\;$ dans la zone intermédiaire soit une pente dans cette zone de $\;{\dfrac {6\;dB}{0,51\;{\text{décade}}}}\simeq$ $11,8\;dB/{\text{décade}}\;$ d'où le choix d'une pente de $\;+20\;dB/{\text{décade}}\;$ dans la zone absorbante c.-à-d. le choix d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul .

Choix de la fréquence caractéristique du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence de coupure à -3dB) pour l'exemple précédent

......Compte-tenu de la valeur de $\;f_{p}=6,2\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\leqslant f_{p}$ ;

......compte-tenu de la valeur de $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-9\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\geqslant 2,82\times f_{a}\;$ car l'abscisse de la droite de pente $\;+20\;dB/{\text{décade}}\;$ passant par le point $\;\left(f_{a}=1,9\,kHz\;,\,G_{dB,\,{\text{inf}}}=-9\,dB\right)\;$ est séparé de $\;f_{p}=6,2\,kHz\;$ de $\;{\dfrac {9\,dB}{20\,dB/{\text{décade}}}}$ $\simeq 0,45\,{\text{décade}}\;$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $\;f_{a}=1,9\,kHz\;$ de $\;10^{0,45}\simeq 2,82$ ;

en conclusion la fréquence de coupure à -3dB doit satisfaire $\;2,82\times f_{a}=2,82\times 1,9\;kHz\simeq 5,4\;kHz\leqslant f_{c}\leqslant f_{p}=6,2\;kHz$.

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

......On choisit un « $R\;C\;$ série » avec « sortie aux bornes de $\;R$ », tel que $\;5,4\;kHz\leqslant f_{c}={\dfrac {1}{2\,\pi \,R\,C}}\leqslant 6,2\;kHz\;$ soit, en inversant et divisant tous les membres par $\;2\,\pi \;$ après rétablissement en unités S.I., $\;2,5\;10^{-5}\;s\simeq {\dfrac {1}{6,2\;10^{3}\times 2\,\pi }}\leqslant R\;C\leqslant {\dfrac {1}{5,4\;10^{3}\times 2\,\pi }}\simeq 3,0\;10^{-5}\;s\;$ et finalement

$\;\tau =R\;C\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[25\;\mu s\;;\;30\;\mu s\right]$ ;

......on peut par exemple choisir

• $\;R=1\;k\Omega \;$ et $\;25\;nF\lesssim C\lesssim 30\;nF\;$ ou
• $\;R=2\;k\Omega \;$ et $\;12,5\;nF\lesssim C\lesssim 15\;nF\;$ ou encore
• $\;R=10\;k\Omega \;$ et $\;2,5\;nF\lesssim C\lesssim 3,0\;nF\;$ $\ldots$

......Avec $\;R=1\;k\Omega \;$ et $\;C\simeq 29\;nF$, on obtient une fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\simeq 5,5\;kHz\;$ et
......$\;\succ \;$ pour $\;f_{a}=1,9\;kHz$, le gain en dB vaut $\;G_{dB}(f_{a})=20\;\log \!\!\left[{\dfrac {R\;C\;\omega _{a}}{\sqrt {1+\left(R\;C\;\omega _{a}\right)^{2}}}}\right]=-10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {f_{c}}{f_{a}}}\right)^{\!\!2}\right]\;$ soit en pratique $\;G_{dB}(f_{a})$ $\simeq -10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {5,5}{1,9}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -9,72\;dB\simeq -9,7\;dB<-9\;dB=G_{dB,\,{\text{inf}}}$ alors que
......$\;\succ \;$ pour $\;f_{p}=6,2\;kHz$, le gain en dB vaut $\;G_{dB}(f_{p})=20\;\log \!\!\left[{\dfrac {R\,C\,\omega _{p}}{\sqrt {1+\left(R\;C\;\omega _{p}\right)^{2}}}}\right]=-10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {f_{c}}{f_{p}}}\right)^{\!\!2}\right]\;$ soit pratiquement $\;G_{dB}(f_{p})$ $\simeq -10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {5,5}{6,2}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -2,52\;dB\simeq -2,5\;dB>-3\;dB=G_{dB,\,{\text{sup}}}$.

Condition pour utiliser le filtre comme dérivateur sur l'exemple précédent

Utilisation d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul de fréquence de coupure à -3dB f_c = 5,5 kHz fonctionnant en dérivateur inobservable avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 20,0 Hz

......Le filtre se comportera comme un « dérivateur » si les 1^ers harmoniques qui importent pour construire le signal dérivé d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone dérivative à savoir $\;n_{\text{min construction dérivé}}\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10}}\;$ ou $\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10\;n_{\text{min construction dérivé}}}}\;$ ${\big \{}$le choix d'une fréquence de coupure à -3dB égale à $\;f_{c}\simeq 5,5\;kHz$, donne une zone dérivative $\;\left[0\;,\;550\;Hz\right]\;$ mais le « signal ne sera réellement dérivé que s'il est d'amplitude notable (laquelle doit être le plus souvent très grande) » ${\big \}}$, ci-contre le signal de sortie avec une amplitude du signal d'entrée de $\;1\;V\;$ est inobservable car son amplitude théorique serait de $\;2\;mV\;$ inférieure à celle des parasites  ;

Utilisation d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul de fréquence de coupure à -3dB f_c = 5,5 kHz fonctionnant en dérivateur peu observable avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 200,0 Hz

......en fait la condition $\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10\;n_{\text{min construction dérivé}}}}\;$ de dérivation est beaucoup trop stricte, si on élargit cette condition à $\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{n_{\text{min construction dérivé}}}}\;$ on observe encore une dérivation possible à condition que l'amplitude du signal dérivé ne soit pas trop faible , ci-contre le signal de sortie avec une amplitude du signal d'entrée de $\;1\;V\;$ reste peu observable car son amplitude théorique est de $\;20\;mV\;$ de même ordre de grandeur que celle des parasites mais si on augmente l'amplitude du signal d'entrée, celle du signal de sortie l'étant en même proportion, ce dernier devient observable malgré la présence de parasites $\;{\big (}$voir ci-dessous à gauche le signal de sortie théorique sans la présence de parasites avec augmentation de la sensibilité d'observation${\big )}$ ;

......si on élargit encore la condition de dérivation d'un facteur $\;10$, la dérivation se devine encore mais avec une distorsion un peu trop importante : voir ci-dessous à droite l'observation de la tentative de dérivation d'un signal triangulaire de fréquence voisine de $\;{\dfrac {f_{c}}{3}}\simeq 2,0\;kHz\;$ avec une distorsion importante mais une amplitude notable.

Utilisation d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul de fréquence de coupure à -3dB f_c = 5,5 kHz fonctionnant en dérivateur peu observé par augmentation de sensibilité avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 200,0 Hz

Utilisation d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul de fréquence de coupure à -3dB f_c = 5,5 kHz fonctionnant en dérivateur distordu avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 2,0 kHz

Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique

Cahier des charges d'un passe-bande (traité sur un exemple)

......On cherche à réaliser le filtrage passe-bande suivant :

• les fréquences entre $\;161,6\;kHz\;$ et $\;162,4\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$,
• les fréquences inférieures à $\;112\;kHz\;$ et supérieures à $\;212\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;40\,dB$.

Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence de résonance et de sa bande passante à -3dB) pour l'exemple précédent

Nous ne cherchons pas l'ordre du filtre car, parmi les filtres considérés d'ordre un ou deux, seuls les filtres d'ordre deux peuvent être un passe-bande.

Gabarit d'un 2^ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquences passantes comprises entre 161,6 kHz et 162,4 kHz, de fréquences absorbées au-dessous de 112 kHz et au-dessus de 212 kHz, le gain minimal pour les fréquences passantes étant -3dB et le gain maximal pour les fréquences absorbées -40dB

......La fréquence centrale étant $\;f_{0}=162,0\;kHz\;$, les fréquences de coupure à -3dB basse et haute doivent être respectivement inférieure à $\;f_{p}^{-}=161,6\;kHz\;$ et supérieure à $\;f_{p}^{+}=162,4\;kHz$, la bande passante à -3dB étant donc supérieure à $\;f_{p}^{+}-f_{p}^{-}=0,8\;kHz$, l'acuité de la résonance doit être inférieure à $\;{\dfrac {f_{0}}{f_{p}^{+}-f_{p}^{-}}}={\dfrac {162,0}{0,8}}\simeq$ $202,5\;$ c.-à-d. $\;Q\lesssim 202,5\simeq 203$ ;

......compte-tenu du fait que $\;{\dfrac {f_{a}^{-}}{f_{0}}}={\dfrac {112}{162}}\simeq 0,69\not \lesssim {\dfrac {1}{10}}\;$ et $\;{\dfrac {f_{a}^{+}}{f_{0}}}={\dfrac {212}{162}}\simeq 1,31\not \gtrsim 10$, nous ne pouvons a priori considérer que les points $\;\left\lbrace f_{a}^{-}=112\,kHz\,;\,G_{dB}(f_{a}^{-})\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace f_{a}^{+}=212\,kHz\,;\,G_{dB}(f_{a}^{+})\right\rbrace \;$ se trouvent respectivement sur l'asymptote B.F. ou H.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode du filtre et par conséquent les conditions $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}G_{dB}(f_{a}^{-})<-40\,dB\\G_{dB}(f_{a}^{+})<-40\,dB\end{array}}\right\rbrace \;$ nécessitent d'utiliser l'expression complète du gain en dB du filtre à savoir, si on envisage de construire le filtre avec un R L C série, $\;G_{dB}(f)=20\,\log \!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+Q^{2}\left({\dfrac {f}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f}}\right)^{\!\!2}}}}\right]\;$ ou encore $\;G_{dB}(f)=-10\,\log \!\left[1+Q^{2}\left({\dfrac {f}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f}}\right)^{\!\!2}\right]$, les deux conditions précédentes se réécrivant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\log \!\left[1+Q^{2}\left({\dfrac {f_{a}^{-}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{-}}}\right)^{\!\!2}\right]>4\\\log \!\left[1+Q^{2}\left({\dfrac {f_{a}^{+}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{+}}}\right)^{\!\!2}\right]>4\end{array}}\right\rbrace \;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\cancel {1+}}\;Q^{2}\left({\dfrac {f_{a}^{-}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{-}}}\right)^{\!\!2}>10^{4}\\{\cancel {1+}}\;Q^{2}\left({\dfrac {f_{a}^{+}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{+}}}\right)^{\!\!2}>10^{4}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}Q\;{\bigg \vert }{\dfrac {f_{a}^{-}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{-}}}{\bigg \vert }>100\\Q\;{\bigg \vert }{\dfrac {f_{a}^{+}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{+}}}{\bigg \vert }>100\end{array}}\right\rbrace \;$ et finalement $\;Q\gtrsim \left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {100}{{\dfrac {1}{0,69}}-0,69}}\simeq 131,7\simeq 132\\{\dfrac {100}{1,31-{\dfrac {1}{1,31}}}}\simeq 182,9\simeq 183\end{array}}\right\rbrace$, ces deux conditions étant réalisées si $\;Q\gtrsim 183$ ;

en conclusion le facteur de qualité du filtre doit satisfaire $\;183\lesssim Q\lesssim 203\;$ et nous choisirons $\;Q\simeq 200$.

......nous vérifions que les valeurs du gain en décibels de la courbe pour les fréquences $\;f_{a}^{-}=112\;kHz\;$ et $\;f_{a}^{+}=212\;kHz\;$ satisfont effectivement le cahier des charges avec cette valeur de facteur de qualité car

• $\;G_{dB}(f_{a}^{-})=-10\,\log \!\left[1+200^{2}\left(0,69-{\dfrac {1}{0,69}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -43,6\,dB<-40\,dB\;$ et
• $\;G_{dB}(f_{a}^{+})=-10\,\log \!\left[1+200^{2}\left(1,31-{\dfrac {1}{1,31}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -40,8\,dB<-40\,dB$.

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

......On choisit donc un « R L C série » avec « sortie aux bornes de R », tel que $\;f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}=162\,kHz\;$ soit $\;L\;C={\dfrac {1}{\left(2\;\pi \times 162\,10^{3}\right)^{2}}}\simeq$ $9,65\;10^{-13}\;s^{2}$ ; on peut, par exemple, choisir

• $\;L=100\;mH\;$ et $\;C=9,7\;pF\;$ ou
• $\;L=10\;mH\;$ et $\;C=97\;pF\;$ ou encore $\;\ldots$
• $\;L=1\;mH\;$ et $\;C=0,97\;nF$,

......le facteur de qualité permet de choisir $\;R\;$ par l'intermédiaire $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{R}}\;$ soit $\;R={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{Q}}\;$ donnant, avec le choix suivant

$\;L=100\,mH\;$ et $\;C=9,7\;pF$, une valeur de résistance $\;R={\dfrac {0,1\times 2\,\pi \times 162\;10^{3}}{200}}\simeq 510\;\Omega$.

Condition pour utiliser le filtre comme dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique sur l'exemple précédent

......Le filtre se comportera comme un « dérivateur » si les 1^ers harmoniques qui importent pour construire le signal dérivé d'un signal d'entrée sont tous dans la zone dérivative à savoir $\;n_{\text{min construction dérivé}}\;f\lesssim {\dfrac {f_{0}}{5}}\;$ ou $\;f\lesssim {\dfrac {f_{0}}{5\;n_{\text{min construction dérivé}}}}\;$ ${\big \{}$le choix d'une fréquence propre égale à $\;f_{0}\simeq 162\;kHz$, donne une zone dérivative $\;\left[0\;;\;32,4\;kHz\right]\;$ mais le « signal ne sera réellement dérivé que s'il est d'amplitude notable (laquelle devrait être le plus souvent trop grande pour aboutir à une observation) » ${\big \}}$, ci-dessous à gauche le signal de sortie espéré créneau avec une amplitude du signal d'entrée triangulaire de $\;1\;V\;$ est totalement inobservable car son amplitude théorique serait de $\;20\;\mu V\;$ approximativement mille fois plus faible que celle des parasites , ci-dessous à droite le signal de sortie créneau attendu en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $\;50000\;$ autrement dit d'observation totalement illusoire  ;

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant en dérivateur totalement inobservable avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 1,1 kHz

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnement attendu non observable en dérivateur avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 1,1 kHz, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 50000

......le filtre se comportera comme un « intégrateur » si la fréquence du signal d'entrée est dans la zone intégrative à savoir $\;f\gtrsim 5\;f_{0}\;$ ${\big \{}$le choix d'une fréquence propre égale à $\;f_{0}\simeq 162\;kHz$, donne une zone intégrative $\;\left[810\;kHz\;;\;+\infty \right[\;$ mais le « signal ne sera réellement intégré que s'il est d'amplitude notable (laquelle devrait être le plus souvent relativement grande pour aboutir à une observation) » ${\big \}}$, ci-dessous à gauche le signal de sortie espéré triangulaire avec une amplitude du signal d'entrée créneau de $\;1\;V\;$ est totalement inobservable car son amplitude théorique serait de $\;1,4\;mV\;$ approximativement dix fois plus faible que celle des parasites , ci-dessous à droite le signal de sortie attendu en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $\;700\;$ autrement dit d'observation quasi-illusoire  ;

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant en intégrateur inobservable avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 810 kHz

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnement attendu non observable en intégrateur avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 810 kHz, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 700

......le filtre se comportera comme un « sélecteur d'harmonique » si la fréquence du signal d'entrée est telle que l'harmonique souhaité est dans la zone passante et ces voisins les plus proches dans les zones absorbantes à savoir (ci-dessous sélection des harmoniques d'un créneau) :

• pour l'harmonique fondamental $\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]$, l'harmonique de rang $\;3\;$ étant de fréquence $\;3\;f\in \left[484,8\,kHz\;;\;487,2\,kHz\right]\;$ largement au-dessus de $\;212\,kHz\;$ ci-dessous à gauche simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau ;
• pour l'harmonique de rang 3 tel que $\;3\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{3}}\simeq 53,9\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{3}}\simeq 54,1\,kHz\right]$, l'harmonique fondamental est au-dessous de $\;112\,kHz\;$ et l'harmonique de rang $\;5\;$ étant de fréquence $\;5\;f\in \left[269,3\,kHz\;;\;270,7\,kHz\right]\;$ au-dessus de $\;212\,kHz\;$ ci-dessous à droite simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau ;

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant en sélecteur de l'harmonique fondamental d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 162 kHz

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant en sélecteur de l'harmonique de rang 3 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 54 kHz

• pour l'harmonique de rang 5 tel que $\;5\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{5}}\simeq 32,3\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{5}}\simeq 32,5\,kHz\right]$, l'harmonique de rang $\;3\;$ étant de fréquence $\;3\;f\in \left[97,0\,kHz\;;\;97,4\,kHz\right]\;$ au-dessous de $\;112\,kHz\;$ et l'harmonique de rang $\;7\;$ étant de fréquence $\;7\;f\in \left[226,2\,kHz\;;\;227,4\,kHz\right]\;$ au-dessus de $\;212\,kHz$ ;
• pour l'harmonique de rang $\;7\;$ tel que $\;7\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{7}}\simeq 23,1\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{7}}\simeq 23,2\,kHz\right]$, l'harmonique de rang $\;5\;$ étant de fréquence $\;5\;f\in \left[115,4\,kHz\;;\;116,0\,kHz\right]\;$ c.-à-d. légèrement au-dessus de $\;112\,kHz\;$ et l'harmonique de rang $\;9\;$ étant de fréquence $\;9\;f\in \left[207,8\,kHz\;;\;208,8\,kHz\right]\;$ c.-à-d. légèrement au-dessous de $\;212\,kHz$, l'harmonique de rang 7 du signal créneau étant donc le 1^er harmonique dont la sélection introduira de très faibles distorsions dues à la présence des harmoniques de rangs 5 et 9 ci-dessous à gauche simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau et ci-dessous à droite seul avec une croissance de sensibilité d'un facteur $\;7\;$ permettant d'observer une très légère distorsion ;

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant approximativement en sélecteur de l'harmonique de rang 7 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 23,1 kHz

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant approximativement en sélecteur de l'harmonique de rang 7 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 23,1 kHz, observation avec effet de loupe d'un facteur 7

• $\;\ldots \;$ pour les harmoniques suivants, la distorsion va être lentement croissante car l'amplitude des harmoniques d'un créneau décroît lentement de façon inversement proportionnelle au rang de l'harmonique et ainsi
• pour l'harmonique de rang $\;19\;$ tel que $\;19\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{19}}\simeq 8,51\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{19}}\simeq 8,55\,kHz\right]$, l'harmonique de rang $\;17\;$ étant de fréquence $\;17\;f\in \left[144,6\,kHz\;;\;145,3\,kHz\right]\;$ c.-à-d. au-dessus de $\;112\,kHz\;$ et l'harmonique de rang $\;21\;$ étant de fréquence $\;21\;f\in \left[178,6\,kHz\;;\;179,5\,kHz\right]\;$ c.-à-d. au-dessous de $\;212\,kHz$, l'harmonique de rang 19 du signal créneau étant un harmonique dont la sélection introduira des distorsions dues à la présence des harmoniques de rangs 17 et 21 ci-dessous à gauche simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau et ci-dessous à droite seul avec une croissance de sensibilité d'un facteur $\;16\;$ permettant d'observer une légère distorsion.

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant encore approximativement en sélecteur de l'harmonique de rang 19 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 8530 Hz

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en intensité traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz et de facteur de qualité Q = 200, fonctionnant encore approximativement en sélecteur de l'harmonique de rang 19 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 8530 Hz, observation avec effet de loupe d'un facteur 16

...Remarque : pour déterminer la limite théorique du sélectionneur d'harmonique sans avoir à les essayer tous, nous pouvons admettre que la sélection cessera si les harmoniques de rang $\;2\,p-1\;$ et $\;2\,p+1\;$ sont séparés de moins de $\;49,6\,kHz\;$ soit $\;(2\,p+1)\;f-(2\,p-1)\;f=49,6\;kHz\;$ donnant $\;f=24,8\,kHz\;$ avec $\;(2\,p+1)\,f=161,6\,kHz\;$ soit finalement $\;2\,p+1={\dfrac {161,6}{24,8}}\simeq 6,52\;$ établissant que le 1^er harmonique théoriquement non sélectionnable est de rang $\;7$, le dernier sélectionnable étant de rang $\;5\;$ $\ldots \;$ Ainsi on peut théoriquement sélectionner les harmoniques d'un créneau jusqu'au rang $\;5\;$ inclus à condition que leur amplitude soit « acceptable » .

Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en moyenneur ou double intégrateur

Cahier des charges d'un passe-bas du 2^ème ordre (traité sur un exemple)

......On cherche à réaliser le filtrage passe-bas suivant :

• les fréquences jusqu'à $\;1,9\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$,
• les fréquences supérieures à $\;6,2\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;20\,dB$.

Choix de l'ordre du filtre sur l'exemple précédent

Gabarit d'un 2^ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de dernière fréquence passante de 1,9 kHz et de première fréquence absorbée 6,2 kHz, le gain minimal pour les fréquences passantes étant -3dB et le gain maximal pour les fréquences absorbées -20dB

......On le détermine en calculant la pente nécessaire dans la zone de transition, la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante (voir exemple ci-contre) ;

......on passe de $\;f_{p}=1,9\;kHz\;$ à $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$ soit $\;\log \!\left({\dfrac {f_{a}}{f_{p}}}\right)=\log \!\left({\dfrac {6,2}{1,9}}\right)\simeq 0,51\;{\text{décade}}\;$ associée à une chute de $\;20-3=17\;dB\;$ dans la zone intermédiaire soit une pente dans cette zone de $\;{\dfrac {-17\;dB}{0,51\;{\text{décade}}}}\simeq$ $-33,3\;dB/{\text{décade}}\;$ d'où le choix d'une pente de $\;-40\;dB/{\text{décade}}\;$ dans la zone absorbante c.-à-d. le choix d'un 2^ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante .

Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence propre et de son facteur de qualité) pour l'exemple précédent

......Compte-tenu de la valeur de $\;f_{p}=1,9\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\gtrsim f_{p}$ ;

......compte-tenu de la valeur de $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-20\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\lesssim {\dfrac {f_{a}}{3,16}}\;$ car l'abscisse de la droite de pente $\;-40\;dB/{\text{décade}}\;$ passant par le point $\;\left(f_{a}=6,2\,kHz\;,\,G_{dB,\,{\text{inf}}}=-20\,dB\right)\;$ est séparé de $\;f_{a}=6,2\,kHz\;$ de $\;{\dfrac {-20\,dB}{-40\,dB/{\text{décade}}}}$ $\simeq 0,5\,{\text{décade}}\;$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $\;f_{a}=6,2\,kHz\;$ de $\;10^{0,5}\simeq 3,16$ ;

en conclusion la fréquence de coupure à -3dB doit satisfaire $\;f_{p}=1,9\;kHz\lesssim f_{c}\lesssim {\dfrac {f_{a}}{3,16}}={\dfrac {6,2\;kHz}{3,16}}\simeq 1,96\;kHz$.

......pour obtenir un passe-bas il faut que le facteur de qualité $\;Q\;$ ne soit pas trop élevé et le choix de $\;Q\leqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\;$ correspondra à un passe-bas sans résonance.

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

......On choisit donc un « R L C série » avec « sortie aux bornes de C », tel que la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[1,9\;kHz\;;\;1,96\;kHz\right]\;$ et le facteur de qualité $\;Q\in \left]0\;;\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\right]$ ;

......si nous choisissons la plus grande valeur du facteur de qualité compatible avec l'encadrement précédent c.-à-d. $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707$, la fréquence de coupure à -3dB se confond alors avec la fréquence propre c.-à-d. $\;f_{c}=f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}\;$ ${\Bigg \{}$en effet la fonction de transfert $\;{\underline {A}}(j\,f)={\dfrac {1}{1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}+j\,{\dfrac {f}{Q\,f_{0}}}}}\;$ se réécrit $\;{\underline {A}}_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}})}(j\,f)={\dfrac {1}{1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}+j\,{\sqrt {2}}\,{\dfrac {f}{f_{0}}}}}\;$ donnant un gain $\;G_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}})}(f)={\dfrac {1}{\sqrt {\left(1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}\right)^{\!\!2}+2\,{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {f^{4}}{f_{0}^{4}}}}}}\;$ d'où, par définition de la fréquence de coupure à -3dB $\;G_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}})}(f_{c})={\dfrac {G_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}},\,{\text{max}})}}{\sqrt {2}}}$, l'équation $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {f_{c}^{4}}{f_{0}^{4}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ de solution physique $\;f_{c}=f_{0}{\Bigg \}}$ ;

......ainsi pour $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, nous en déduisons un encadrement pour la fréquence propre $\;1,9\,kHz\lesssim f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}\lesssim 1,96\,kHz\;$ soit, en inversant et divisant tous les membres par $\;2\,\pi \;$ et en élevant au carré après rétablissement en unités S.I., $\;{\dfrac {1}{\left(1,96\;10^{3}\times 2\,\pi \right)^{2}}}\lesssim L\;C\lesssim {\dfrac {1}{\left(1,9\;10^{3}\times 2\,\pi \right)^{2}}}\;$ ou encore $\;6,59\;10^{-9}\;s^{2}\lesssim L\;C\lesssim 7,02\;10^{-9}\;s^{2}$ ; on peut, par exemple, choisir

• $\;L=100\;mH\;$ et $\;66\;nF\lesssim C\lesssim 70\;nF\;$ ou
• $\;L=10\;mH\;$ et $\;0,66\;\mu F\lesssim C\lesssim 0,70\;\mu F\;$ ou encore $\;\ldots$
• $\;L=1\;mH\;$ et $\;6,6\;\mu F\lesssim C\lesssim 7,0\;\mu F$,

......le facteur de qualité permet de choisir $\;R\;$ par l'intermédiaire $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{R}}\;$ soit $\;R={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{Q}}=L\;2\,{\sqrt {2}}\,\pi \;f_{0}\;$ donnant, avec le choix suivant

$\;L=100\,mH\;$ et $\;C=70\;nF$, une valeur de résistance $\;R=0,1\times 2\times {\sqrt {2}}\times \pi \times 1,9\;10^{3}\simeq 1,69\,10^{3}\;\Omega \;$ soit $\;R\simeq 1,69\;k\Omega$ ;

......nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;f_{p}=f_{c}=1,9\;kHz\;$ vaut $\;G_{dB}(f_{p})=-3\,dB=G_{dB,\,{\text{max}}}\;$ ainsi que
......nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$ vaut $\;G_{dB}(f_{a})=-10\,\log \!\left[1+{\dfrac {f_{a}^{4}}{f_{0}^{4}}}\right]=-10\,\log \!\left[1+{\dfrac {(6,2)^{4}}{(1,9)^{4}}}\right]\simeq -20,6\,dB\;$ effectivement $\;\lesssim -20\,dB=G_{dB,\,{\text{inf}}}$.

......Remarque : un facteur de qualité strictement inférieur à $\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ pourrait être envisagé mais la condition portant sur la fréquence de coupure à -3dB, laquelle ne s'identifie plus avec la fréquence propre , la poursuite nécessiterait de déterminer l'« expression de $\;f_{c}\;$ en fonction de $\;f_{0}\;$ et $\;Q$ »  pour en déduire un encadrement sur $\;f_{0}\;$ compte-tenu de la valeur de $\;Q\;$ souhaitée $\;\ldots \;$ la fin serait alors identique à celle présentée ci-dessus.

Condition pour utiliser le filtre comme double intégrateur ou moyenneur sur l'exemple précédent

......Le filtre se comportera comme un « double intégrateur » si les harmoniques d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone double-intégrative à savoir $\;f\gtrsim 10\;f_{c}\;$ ${\big \{}$le choix d'une fréquence propre égale à $\;f_{0}=1,9\;kHz$, donne une zone double-intégrative $\;\left[19\;kHz\;,\;+\infty \right[\;$ mais le « signal ne sera réellement bi-intégré que s'il est d'amplitude notable » ${\big \}}$

• voir ci-dessous à gauche où le signal d'entrée est un créneau de $\;1\;V\;$ d'amplitude, de fréquence $\;f=19\;kHz\;$ et le signal de sortie (inobservable sans effet de loupe) est une succession de portions paraboliques de concavités inversées, correspondant aux deux intégrations successives du signal créneau,
• ci-dessous à droite la sortie seule (sans ajout des inévitables parasites) avec une augmentation de sensibilité d'un facteur $\;80$, l'amplitude du signal de sortie de $\;12\;mV\;$ est de même ordre de grandeur que celle des parasites  ;

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-intégrateur peu observable avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 19 kHz

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-intégrateur peu observable sans effet de loupe avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 19 kHz, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 80

......un autre exemple d'utilisation de la double intégration avec un signal d'entrée construit en simulant la dérivation temporelle d'un créneau à savoir « deux pics de Dirac inversés séparés de $\;{\dfrac {T}{2}}$ » de fréquence $\;f=19\;kHz\;$

• ci-dessous à gauche, le signal d'entrée avec superposition du signal de sortie peu visible sans effet de loupe car d'amplitude trop faible et
• ci-dessous à droite la sortie seule (sans ajout des inévitables parasites) triangulaire correspondant effectivement à deux intégrations successives du signal d'entrée avec une augmentation de sensibilité d'un facteur $\;100$, l'amplitude du signal de sortie de $\;11\;mV\;$ est de même ordre de grandeur que celle des parasites ;

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-intégrateur peu observable avec un signal d'entrée deux pics de Dirac inversés séparés de T/2 de fréquence f = 19 kHz

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-intégrateur peu observable sans effet de loupe avec un signal d'entrée deux pics de Dirac inversés séparés de T/2 de fréquence f = 19 kHz, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 100

......le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissera passer sans atténuation la composante permanente de ce signal et, dans la mesure où les autres harmoniques du signal d'entrée seraient tous dans la zone double-intégrative à savoir $\;f\gtrsim 10\;f_{c}$, il devrait se comporter comme un « double-intégrateur à composante permanente » $\;\ldots \;$ à condition que « l'amplitude de harmoniques doublement intégrés soit de valeur notable »  voir

• ci-dessous à gauche où le signal d'entrée créneau est d'amplitude $\;10\,V\;$ avec une composante permanente de $\;0,5\,V\;$ et le signal de sortie est une succession de portions paraboliques de concavités inversées avec une composante permanente de $\;0,5\,V\;$ et
• ci-dessous à droite le signal de sortie seul avec un effet de loupe de facteur $\;80\;$ où on observe assez nettement la succession de portions paraboliques de concavités inversées d'amplitude $\;120\,mV\;$ à laquelle s'ajoute la composante permanente de $\;500\,mV$.

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-intégrateur à composante permanente peu observable avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 19 kHz, d'amplitude 10 V et de valeur moyenne 0,5 V

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-intégrateur à composante permanente peu observable sans effet de loupe avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 19 kHz, d'amplitude 10 V et de valeur moyenne 0,5 V, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 80

......Le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissant passer sans atténuation la composante permanente de ce signal, se comportera comme « moyenneur (à composante permanente) » si les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone double-intégrative mais tels que « la fréquence du signal d'entrée soit suffisamment éloignée de la borne inférieure » ou que « l'amplitude de variation du signal d'entrée ne soit pas trop grande » de façon à ce que l'amplitude des formes bi-intégrées des harmoniques de rang non nul soit trop petite pour être observée voir ci-dessous à gauche l'oscillogramme avec signal d'entrée et signal de sortie alors que ci-dessous à droite le signal de sortie seul avec une sensibilité permettant d'observer la composante permanente, le calcul étant fait en ignorant l'ajout des inévitables parasites $\;\ldots$

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en moyenneur à composante permanente avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 19 kHz, d'amplitude 1 V et de valeur moyenne 0,5 V

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 1,9 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en moyenneur à composante permanente avec un signal d'entrée créneau de fréquence f = 19 kHz, d'amplitude 1 V et de valeur moyenne 0,5 V, signal de sortie calculé en absence de parasites

Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en double dérivateur

......Le 2^ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante » a d'abord été introduit en exercice du chap.$31$ « réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série … » avant d'être prolongé dans le paragraphe « définition d'une fonction de transfert du 2^ème ordre du type réponse en u_L d'un R L C série … » du chap.$33$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » mais il n'est pas explicitement inscrit dans le programme de PCSI $\;\ldots$

Cahier des charges d'un passe-haut du 2^ème ordre (traité sur un exemple)

......On cherche à réaliser le filtrage passe-haut suivant :

• les fréquences jusqu'à $\;1,9\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;20\,dB$,
• les fréquences supérieures à $\;6,2\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$.

Choix de l'ordre du filtre sur l'exemple précédent

Gabarit d'un 2^ème ordre du type réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de dernière fréquence absorbée de 1,9 kHz et de première fréquence passante 6,2 kHz, le gain minimal pour les fréquences passantes étant -3dB et le gain maximal pour les fréquences absorbées -20dB

......On le détermine en calculant la pente nécessaire dans la zone de transition, la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante (voir exemple ci-contre) ;

......on passe de $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ à $\;f_{p}=6,2\;kHz\;$ soit $\;\log \!\left({\dfrac {f_{p}}{f_{a}}}\right)=\log \!\left({\dfrac {6,2}{1,9}}\right)\simeq 0,51\;{\text{décade}}\;$ associée à une croissance de $\;20-3=17\;dB\;$ dans la zone intermédiaire soit une pente dans cette zone de $\;{\dfrac {17\;dB}{0,51\;{\text{décade}}}}\simeq$ $33,3\;dB/{\text{décade}}\;$ d'où le choix d'une pente de $\;+40\;dB/{\text{décade}}\;$ dans la zone absorbante c.-à-d. le choix d'un 2^ème ordre du type réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante .

Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence propre et de son facteur de qualité) pour l'exemple précédent

......Compte-tenu de la valeur de $\;f_{p}=6,2\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\lesssim f_{p}$ ;

......compte-tenu de la valeur de $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-20\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\gtrsim {\dfrac {f_{a}}{0,316}}\;$ car l'abscisse de la droite de pente $\;+40\;dB/{\text{décade}}\;$ passant par le point $\;\left(f_{a}=1,9\,kHz\;,\,G_{dB,\,{\text{inf}}}=-20\,dB\right)\;$ est séparé de $\;f_{a}=1,9\,kHz\;$ de $\;{\dfrac {-20\,dB}{+40\,dB/{\text{décade}}}}$ $\simeq -0,5\,{\text{décade}}\;$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $\;f_{a}=1,9\,kHz\;$ de $\;10^{-0,5}\simeq 0,316$ ;

en conclusion la fréquence de coupure à -3dB doit satisfaire $\;{\dfrac {f_{a}}{0,316}}={\dfrac {1,9\;kHz}{0,316}}\simeq 6,0\;kHz\lesssim f_{c}\lesssim f_{p}=6,2\;kHz$.

......pour obtenir un passe-haut il faut que le facteur de qualité $\;Q\;$ ne soit pas trop élevé et le choix de $\;Q\leqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\;$ correspondra à un passe-haut sans résonance.

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

......On choisit donc un « R L C série » avec « sortie aux bornes de L » , tel que la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[6,0\;kHz\;;\;6,2\;kHz\right]\;$ et le facteur de qualité $\;Q\in \left]0\;;\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\right]$ ;

......si nous choisissons la plus grande valeur du facteur de qualité compatible avec l'encadrement précédent c.-à-d. $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707$, la fréquence de coupure à -3dB se confond alors avec la fréquence propre c.-à-d. $\;f_{c}=f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}\;$ ${\Bigg \{}$en effet la fonction de transfert $\;{\underline {A}}(j\,f)={\dfrac {-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}}{1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}+j\,{\dfrac {f}{Q\,f_{0}}}}}\;$ se réécrit $\;{\underline {A}}_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}})}(j\,f)={\dfrac {-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}}{1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}+j\,{\sqrt {2}}\,{\dfrac {f}{f_{0}}}}}\;$ donnant un gain $\;G_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}})}(f)={\dfrac {\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}{\sqrt {\left(1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}\right)^{\!\!2}+2\,{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}}}}={\dfrac {\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}{\sqrt {1+{\dfrac {f^{4}}{f_{0}^{4}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {f_{0}^{4}}{f^{4}}}}}}\;$ d'où, par définition de la fréquence de coupure à -3dB $\;G_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}})}(f_{c})={\dfrac {G_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}},\,{\text{max}})}}{\sqrt {2}}}$, l'équation $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {f_{0}^{4}}{f_{c}^{4}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ de solution physique $\;f_{c}=f_{0}{\Bigg \}}$ ;

......ainsi pour $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, nous en déduisons un encadrement pour la fréquence propre $\;6,0\,kHz\lesssim f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}\lesssim 6,2\,kHz\;$ soit, en inversant et divisant tous les membres par $\;2\,\pi \;$ et en élevant au carré après rétablissement en unités S.I., $\;{\dfrac {1}{\left(6,2\;10^{3}\times 2\,\pi \right)^{2}}}\lesssim L\;C\lesssim {\dfrac {1}{\left(6,0\;10^{3}\times 2\,\pi \right)^{2}}}\;$ ou encore $\;6,59\;10^{-10}\;s^{2}\lesssim L\;C\lesssim 7,04\;10^{-10}\;s^{2}$ ; on peut, par exemple, choisir

• $\;L=100\;mH\;$ et $\;6,6\;nF\lesssim C\lesssim 7,0\;nF\;$ ou
• $\;L=10\;mH\;$ et $\;66\;nF\lesssim C\lesssim 70\;nF\;$ ou encore $\;\ldots$
• $\;L=1\;mH\;$ et $\;0,66\;\mu F\lesssim C\lesssim 0,70\;\mu F$,

......le facteur de qualité permet de choisir $\;R\;$ par l'intermédiaire $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{R}}\;$ soit $\;R={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{Q}}=L\;2\,{\sqrt {2}}\,\pi \;f_{0}\;$ donnant, avec le choix suivant

$\;L=100\,mH\;$ et $\;C=7,0\;nF$, une valeur de résistance $\;R=0,1\times 2\times {\sqrt {2}}\times \pi \times 6,2\;10^{3}\simeq 5,51\,10^{3}\;\Omega \;$ soit $\;R\simeq 5,51\;k\Omega$ ;

......nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;f_{p}=f_{c}=6,2\;kHz\;$ vaut $\;G_{dB}(f_{p})=-3\,dB=G_{dB,\,{\text{max}}}\;$ ainsi que
......nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ vaut $\;G_{dB}(f_{a})=-10\,\log \!\left[1+{\dfrac {f_{0}^{4}}{f_{a}^{4}}}\right]=-10\,\log \!\left[1+{\dfrac {(6,2)^{4}}{(1,9)^{4}}}\right]\simeq -20,6\,dB\;$ effectivement $\;\lesssim -20\,dB=G_{dB,\,{\text{inf}}}$.

......Remarque : un facteur de qualité strictement inférieur à $\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ pourrait être envisagé mais la condition portant sur la fréquence de coupure à -3dB, laquelle ne s'identifie plus avec la fréquence propre , la poursuite nécessiterait de déterminer l'« expression de $\;f_{c}\;$ en fonction de $\;f_{0}\;$ et $\;Q$ »  pour en déduire un encadrement sur $\;f_{0}\;$ compte-tenu de la valeur de $\;Q\;$ souhaitée $\;\ldots \;$ la fin serait alors identique à celle présentée ci-dessus.

Condition pour l'utiliser comme double dérivateur

......Le filtre se comportera comme un « double-dérivateur » si les 1^ers harmoniques qui importent pour construire le signal doublement dérivé d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone double-dérivative à savoir $\;n_{\text{min construct. dble dérivé}}\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10}}\;$ ou $\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10\;n_{\text{min construct. dble dérivé}}}}\;$ ${\big \{}$le choix d'une fréquence de coupure à -3dB égale à $\;f_{c}\simeq 6,2\;kHz$, donne une zone double-dérivative $\;\left[0\;,\;620\;Hz\right]\;$ mais le « signal ne sera réellement doublement dérivé que s'il est d'amplitude notable (laquelle doit être le plus souvent trop grande pour que le signal de sortie soit observable) » ${\big \}}$,

• ci-dessous à gauche le signal de sortie avec un signal d'entrée formé de portions paraboliques à concavités opposées séparées de $\;{\dfrac {T}{2}}\;$ de $\;10\;V\;$ d'amplitude et de fréquence $\;f=20\;Hz\;$ est inobservable car son amplitude théorique serait de l'ordre de $\;100\;\mu V\;$ largement inférieure à celle des parasites,
• ci-dessous à droite le signal de sortie calculé en absence de parasites et représenté seul avec un facteur de loupe de $\;100000$ ;

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en u_L d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 6,2 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-dérivateur inobservable avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de T/2 de fréquence f = 20 Hz et d'amplitude 10 V

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en u_L d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 6,2 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-dérivateur inobservable avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de T/2 de fréquence f = 20 Hz et d'amplitude 10 V, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 100000

......en pratique, la condition de fréquence imposée au signal d'entrée pour réaliser une double-dérivation est beaucoup trop stricte, l'important étant que l'harmonique fondamental soit dans la zone double-dérivative, les suivants pouvant n'être que dans la zone intermédiaire et subir une double-dérivation imparfaite comme dans l'exemple ci-dessous à gauche avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de $\;{\dfrac {T}{2}}\;$ de fréquence $\;f=600\,Hz\simeq {\dfrac {f_{0}}{10}}\;$ et d'amplitude $\;10\,V$, voir ci-dessous à droite le signal de sortie calculé en absence de parasites et représenté seul avec un facteur de loupe de $\;100$, l'amplitude calculée du signal étant $\;\simeq 80\,mV\;$ c.-à-d. au moins quatre fois plus grande que celle des parasites.

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en u_L d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 6,2 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-dérivateur peu observable avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de T/2 de fréquence f = 600 Hz et d'amplitude 10 V

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en u_L d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 6,2 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-dérivateur peu observable avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de T/2 de fréquence f = 600 Hz et d'amplitude 10 V, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 100

......Le caractère beaucoup trop strict de la condition de fréquence imposée au signal d'entrée pour réaliser une double-dérivation est encore plus net avec un signal triangulaire même d'amplitude égale à $\;10\,V$, cette condition serait $\;f_{\text{max pour dble dériv}}={\dfrac {f_{c}}{10\;n_{\text{min construct. dble dérivé}}}}={\dfrac {6,2\,10^{3}}{10\times 300}}\simeq 2,0\,Hz\;$ alors que $\;f_{\text{max pour dble dériv prat}}\simeq 60,0\,Hz\;$ suffit , voir ci-dessous à gauche un signal d'entrée triangulaire de fréquence $\;f=60\,Hz\;$ et d'amplitude $\;10\,V$ avec un faible signal de sortie à peine observable et ci-dessous à droite le signal de sortie calculé en absence de parasites et représenté seul avec un facteur de loupe de $\;200$, l'amplitude calculée du signal étant $\;\simeq 50\,mV\;$ c.-à-d. au moins deux fois plus grande que celle des parasites.

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en u_L d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 6,2 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-dérivateur peu observable avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 60 Hz et d'amplitude 10 V

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en u_L d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 6,2 kHz et de facteur de qualité Q = 0,71, fonctionnant en double-dérivateur peu observable avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 60 Hz et d'amplitude 10 V, signal de sortie calculé en absence de parasites et présenté avec un facteur de loupe de 200

En complément, établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de l'ensemble bobine parfaite et condensateur d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en réjecteur d'un harmonique

Cahier des charges d'un réjecteur de fréquences (traité sur un exemple)

......On cherche à réaliser le filtrage coupe-bande suivant :

• les fréquences inférieures à $\;112\;kHz\;$ et supérieures à $\;212\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$,
• les fréquences entre $\;161,6\;kHz\;$ et $\;162,4\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;40\,dB$.

Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence d'antirésonance et de sa bande non passante à -3dB) pour l'exemple précédent

Nous ne cherchons pas l'ordre du filtre car, parmi les filtres considérés d'ordre un ou deux, seuls les filtres d'ordre deux peuvent être un coupe-bande.

Gabarit d'un 2^ème ordre du type réponse en u_LC aux bornes d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquences passantes au-dessous de 112 kHz et au-dessus de 212 kHz, de fréquences absorbées comprises entre 161,6 kHz et 162,4 kHz, le gain minimal pour les fréquences passantes étant -3dB et le gain maximal pour les fréquences absorbées -40dB

......La fréquence centrale étant la fréquence d'antirésonance $\;f_{0}=162,0\;kHz$, les fréquences de coupure à -3dB basse et haute doivent être respectivement inférieure à $\;f_{p}^{-}=112\;kHz\;$ et supérieure à $\;f_{p}^{+}=212\;kHz$, la bande non passante à -3dB étant donc supérieure à $\;f_{p}^{+}-f_{p}^{-}=100\;kHz$, l'acuité de l'antirésonance doit être inférieure à $\;{\dfrac {f_{0}}{f_{p}^{+}-f_{p}^{-}}}$ $={\dfrac {162,0}{100}}\simeq 1,62\;$ c.-à-d. $\;Q\lesssim 1,62$ ;

......le gain en décibels sur la plage absorbante devant être inférieur à $\;-40\,dB$, on en déduit que $\;G_{dB}(f_{0})\;$ est nécessairement inférieur à $\;-40\,dB$, on affine un peu plus ce gain en admettant une chute supplémentaire de $\;3\,dB\;$ soit $\;G_{dB}(f_{0})\lesssim -43\,dB\;$ ou $\;\log \!\left[G(f_{0})\right]\lesssim {\dfrac {-43}{20}}=-2,15\;$ soit $\;G(f_{0})\lesssim 10^{-2,15}\simeq 7,1\;10^{-3}\;$ ou encore $\;G_{0}\;\vert \alpha \vert \;Q\lesssim 7,1\;10^{-3}\;$ ;

en conclusion le facteur de qualité du filtre doit satisfaire $\;Q\lesssim 1,62\;$ et
le cœfficient $\;\alpha \;$ associé au facteur de qualité satisfaire $\;\vert \alpha \vert \;Q\lesssim 7,1\;10^{-3}\;$ si $\;G_{0}=1\;$.

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

......On choisit donc un « R L C série » avec « sortie aux bornes de r L C » où $\;r\simeq 10\;\Omega \;$ est la résistance de la bobine, tel que $\;f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}=162\,kHz\;$ soit $\;L\;C={\dfrac {1}{\left(2\;\pi \times 162\,10^{3}\right)^{2}}}\simeq$ $9,65\;10^{-13}\;s^{2}$ ; on peut, par exemple, choisir

• $\;L=100\;mH\;$ et $\;C=9,7\;pF\;$ ou
• $\;L=10\;mH\;$ et $\;C=97\;pF\;$ ou encore $\;\ldots$
• $\;L=1\;mH\;$ et $\;C=0,97\;nF$,

......le facteur de qualité permet de choisir $\;R\;$ par l'intermédiaire $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{R}}\;$ soit $\;R={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{Q}}\;$ donnant, avec la condition sur l'acuité de l'antirésonance à savoir $\;Q\lesssim 1,62$, une valeur de résistance minimale $\;R\gtrsim {\dfrac {L_{{\text{en }}\,H}\times 2\,\pi \times 162\;10^{3}}{1,62}}\simeq 6,3\;10^{5}\;L_{{\text{en }}\,H}$ ;

......la fonction de transfert s'écrivant $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {1-L\,C\,\omega ^{2}+j\,r\,C\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}+j\,R\,C\,\omega }}\;$ on en déduit le gain à la fréquence d'antirésonance $\;G(f_{0})={\dfrac {r}{R}}\;$ s'identifiant à $\;\vert \alpha \vert \;Q\;$ d'où, avec la condition sur la profondeur du puits d'absorption à savoir $\;\vert \alpha \vert \;Q\lesssim 7,1\,10^{-3}$, une nouvelle borne inférieure pour la résistance $\;R\;$ soit $\;R\gtrsim {\dfrac {r_{{\text{en }}\,\Omega }}{7,1\,10^{-3}}}\simeq 141\;r_{{\text{en }}\,\Omega }\simeq 1,41\,k\Omega$ ; cette condition sera moins stricte que celle portant sur l'acuité de l'antirésonance si $\;6,3\;10^{5}\;L_{{\text{en }}\,H}\;$ est plus grande que $\;1,41\,k\Omega \;$ soit $\;L_{{\text{en }}\,H}\gtrsim {\dfrac {1,41\;10^{3}}{6,3\;10^{5}}}\simeq 2,24\,10^{-3}\,H=2,24\,mH$ ;

......en conclusion on choisit, pour satisfaire la fréquence d'antirésonance et l'acuité de cette dernière ainsi que la profondeur du puits d'absorption, les valeurs suivantes

$\;L=100\,mH$, $\;C=9,7\;pF\;$ et $\;R=R_{\text{min}}\simeq 6,3\;10^{5}\times 0,1\simeq 63\;k\Omega$.

......nous vérifions que les valeurs du gain en décibels de la courbe pour les fréquences $\;f_{p}^{-}=112\;kHz\;$ et $\;f_{p}^{+}=212\;kHz\;$ satisfont effectivement le cahier des charges puisqu'elles correspondent respectivement aux fréquences de coupure à -3dB basse et haute ainsi que
......nous vérifions que les valeurs du gain en décibels de la courbe pour les fréquences $\;f_{a}^{-}=161,6\;kHz\;$ et $\;f_{a}^{+}=162,4\;kHz\;$ satisfont aussi le cahier des charges avec cette valeur de facteur de qualité et $\;G_{dB}(f)=10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {f}{f_{0}}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {r}{R}}\right)^{\!2}{\dfrac {f^{2}}{Q^{2}\;f_{0}^{2}}}\right\rbrace -10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {f}{f_{0}}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+{\dfrac {f^{2}}{Q^{2}\;f_{0}^{2}}}\right\rbrace$,

• $\;G_{dB}(f_{a}^{-})=10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {161,6}{162}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {10}{6,3\;10^{3}}}\right)^{\!2}\left({\dfrac {161,6}{1,62\times 162}}\right)^{\!2}\right\rbrace -10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {161,6}{162}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {161,6}{1,62\times 162}}\right)^{\!2}\right\rbrace$ $\simeq -41,8\,dB<-40\,dB\;$ et
• $\;G_{dB}(f_{a}^{+})=10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {162,4}{162}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {10}{6,3\;10^{3}}}\right)^{\!2}\left({\dfrac {162,4}{1,62\times 162}}\right)^{\!2}\right\rbrace -10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {162,4}{162}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {162,4}{1,62\times 162}}\right)^{\!2}\right\rbrace$ $\simeq -41,8\,dB<-40\,dB$,

......nous vérifions que le gain en décibels à la fréquence d'antirésonance valant $\;G_{dB}(f_{0})=20\,\log \!\left({\dfrac {r}{R}}\right)\simeq 20\,\log \!\left({\dfrac {10}{6,3\;10^{3}}}\right)\simeq -56\,dB$.

Condition pour utiliser le filtre comme réjecteur d'un harmonique sur l'exemple précédent

......Le filtre se comportera comme « réjecteur d'un harmonique » si les harmoniques du signal d'entrée sont la zone passante (à gauche et à droite) à l'exception de l'harmonique que l'on veut rejeter qui doit être dans la zone absorbante ;

• pour rejeter l'harmonique fondamental du « signal d'entrée »  de fréquence $\;f\;$ il faut $\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ et l'harmonique suivant c.-à-d. de rang 3 dans la zone absorbante à savoir $\;3\,f\geqslant 212\,kHz\;$ réalisé ici car $\;3\;f\in \left[3\times 161,6\,kHz\simeq 484,8\,kHz\;;\;3\times 162,4\,kHz\simeq 487,2\,kHz\right]$ ;
• pour rejeter l'harmonique de rang 3 du signal d'entrée il faut $\;3\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ nécessitant pour fréquence du signal d'entrée $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{3}}\simeq 53,9\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{3}}\simeq 54,1\,kHz\right]$, l'harmonique fondamental devant être dans la zone absorbante de gauche à savoir $\;f\leqslant 112\,kHz\;$ et celui de rang 5 dans la zone absorbante de droite à savoir $\;5\,f\geqslant 212\,kHz$, les deux conditions étant réalisées ici car, pour la 2^ème, $\;5\;f\in \left[{\dfrac {5}{3}}\times 161,6\,kHz\simeq 269,3\,kHz\;;\;{\dfrac {5}{3}}\times 162,4\,kHz\simeq 270,7\,kHz\right]$ ;
• pour rejeter l'harmonique de rang 5 du signal d'entrée il faut $\;5\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ nécessitant pour fréquence du signal d'entrée $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{5}}\simeq 32,3\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{5}}\simeq 32,5\,kHz\right]$, l'harmonique de rang 3 devant être dans la zone absorbante de gauche à savoir $\;3\;f\leqslant 112\,kHz\;$ et celui de rang 7 dans la zone absorbante de droite à savoir $\;7\,f\geqslant 212\,kHz$, les deux conditions étant réalisées ici car
  ......$\;\succ \;$ $\;3\;f\in \left[{\dfrac {3}{5}}\times 161,6\,kHz\simeq 97,0\,kHz\;;\;{\dfrac {3}{5}}\times 162,4\,kHz\simeq 97,4\,kHz\right]$ et
  ......$\;\succ \;$ $\;7\;f\in \left[{\dfrac {7}{5}}\times 161,6\,kHz\simeq 226,2\,kHz\;;\;{\dfrac {7}{5}}\times 162,4\,kHz\simeq 227,4\,kHz\right]$ ;
• pour rejeter l'harmonique de rang 7 du signal d'entrée il faut $\;7\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ nécessitant pour fréquence du signal d'entrée $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{7}}\simeq 23,1\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{7}}\simeq 23,2\,kHz\right]$, l'harmonique de rang 5 devant être dans la zone absorbante de gauche à savoir $\;5\;f\leqslant 112\,kHz\;$ et celui de rang 9 dans la zone absorbante de droite à savoir $\;9\,f\geqslant 212\,kHz$, aucune des conditions n'étant réalisée ici car
  ......$\;\succ \;$ $\;5\;f\in \left[{\dfrac {5}{7}}\times 161,6\,kHz\simeq 115,4\,kHz\;;\;{\dfrac {5}{7}}\times 162,4\,kHz\simeq 116,0\,kHz\right]$ soit $\;5\;f\not \leqslant 112\;kHz\;$ et
  ......$\;\succ \;$ $\;9\;f\in \left[{\dfrac {9}{7}}\times 161,6\,kHz\simeq 207,8\,kHz\;;\;{\dfrac {9}{7}}\times 162,4\,kHz\simeq 208,8\,kHz\right]\;$ soit $\;9\;f\not \geqslant 212\;kHz$ ;
  ......ainsi avec un signal d'entrée de fréquence $\;f\in \left[23,1\,kHz\;;\;23,2\,kHz\right]$, le signal de sortie ne contient pas l'harmonique de rang 7 d'une part et d'autre part, si les harmoniques de rangs 5 et 9 restent présents ils sont néanmoins d'amplitude diminuée ;
• il est donc possible avec ce filtre de rejeter un harmonique d'un signal créneau ou triangulaire jusqu'au rang 5 inclus, au-delà il y aura plus d'un harmonique rejeté $\;\ldots$

......Ci-dessous le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée créneau dans le but de rejeter l'harmonique fondamental à gauche, l'harmonique de rang 3 au centre et l'harmonique de rang 5 à droite $\;{\big [}$le signal de sortie en magenta est à comparer au signal représenté en pointillés calculé par synthèse de Fourier sur tous les harmoniques du signal créneau à l'exception de l'harmonique rejeté ${\big ]}$ :

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en u_LC aux bornes d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz, de facteur de qualité Q = 1,62 et d'atténuation à l'antirésonance de 56 dB, fonctionnant en réjecteur de l'harmonique fondamental d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 162 kHz, signal de sortie en magenta (à comparer à la partie en pointillés obtenue par synthèse de Fourier en retirant l'harmonique fondamental)

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en u_LC aux bornes d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz, de facteur de qualité Q = 1,62 et d'atténuation à l'antirésonance de 56 dB, fonctionnant en réjecteur de l'harmonique de rang 5 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 32,4 kHz, signal de sortie en magenta (à comparer à la partie en pointillés obtenue par synthèse de Fourier en retirant l'harmonique de rang 5)

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en u_LC aux bornes d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz, de facteur de qualité Q = 1,62 et d'atténuation à l'antirésonance de 56 dB, fonctionnant en réjecteur de l'harmonique de rang 3 d'un signal d'entrée créneau de fréquence f = 53,9 kHz, signal de sortie en magenta (à comparer à la partie en pointillés obtenue par synthèse de Fourier en retirant l'harmonique de rang 3)

......ci-dessous le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée triangulaire dans le but de rejeter l'harmonique fondamental à gauche , l'harmonique de rang 3 à droite $\;{\big [}$le signal de sortie en magenta est à comparer au signal représenté en pointillés calculé par synthèse de Fourier sur tous les harmoniques du signal triangulaire à l'exception de l'harmonique rejeté${\big ]}$ :

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en u_LC aux bornes d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz, de facteur de qualité Q = 1,62 et d'atténuation à l'antirésonance de 56 dB, fonctionnant en réjecteur de l'harmonique fondamental d'un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 162 kHz, signal de sortie en magenta (à comparer à la partie en pointillés obtenue par synthèse de Fourier en retirant l'harmonique fondamental)

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en u_LC aux bornes d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre 162 kHz, de facteur de qualité Q = 1,62 et d'atténuation à l'antirésonance de 56 dB, fonctionnant en réjecteur de l'harmonique de rang 3 d'un signal d'entrée triangulaire de fréquence f = 53,9 kHz, signal de sortie en magenta (à comparer à la partie en pointillés obtenue par synthèse de Fourier en retirant l'harmonique de rang 3)

...Remarque : pour déterminer la limite théorique du réjecteur d'harmonique sans avoir à les essayer tous, nous pouvons admettre que la sélection cessera si les harmoniques de rang $\;2\,p-1\;$ et $\;2\,p+1\;$ sont séparés de moins de $\;49,6\,kHz\;$ soit $\;(2\,p+1)\;f-(2\,p-1)\;f=49,6\;kHz\;$ donnant $\;f=$ $24,8\,kHz\;$ avec $\;(2\,p+1)\,f=161,6\,kHz\;$ soit finalement $\;2\,p+1={\dfrac {161,6}{24,8}}\simeq 6,52\;$ établissant que le 1^er harmonique théoriquement non rejetable seul est de rang $\;7$, le dernier rejetable seul étant de rang $\;5\;$ $\ldots \;$

Mise en cascade de filtres et intérêt de réaliser des filtres à faible impédance de sortie et forte impédance d'entrée

......L'avantage de monter des filtres en cascade c'est de permettre de cumuler les propriétés de chaque filtre mais il faut être prudent dans leur montage et respecter les règles suivantes $\;{\big (}$règles exposées dans le cas où les fonctions de transfert sont les amplifications complexes en tension${\big )}$ :

• l'impédance de sortie du dernier étage doit être très faible de façon à ce que la charge sur laquelle il est branché ne modifie quasiment pas la tension de sortie $\;{\big (}$impédance de sortie faible $\Rightarrow$ tension de sortie $\;\simeq \;$ tension de sortie à vide par chute ohmique aux bornes de l'impédance de sortie quasi nulle${\big )}\;$ et par suite la fonction de transfert de ce dernier étage est pratiquement celle en sortie ouverte ;
• l'impédance d'entrée du dernier étage doit être très grande de façon à ce que l'avant dernier étage étant fermé sur une charge d'impédance quasi infinie, la fonction de transfert de cet avant dernier étage soit quasi fixée égale à sa fonction de transfert à vide ;
• l'impédance d'entrée de tous les étages $\;{\big (}$à l'exception du 1^er pour lequel la condition n'est pas nécessaire ${\big )}\;$ doit être grande pour la même raison que précédemment et ainsi la fonction de transfert de « tous les étages » est quasi fixée égale à sa fonction de transfert à vide  ;
• dans ces conditions la fonction de transfert globale est le produit des fonctions de transfert individuelles.

......Remarque : on rappelle que dans le cas où les étages sont identiques et que la chaîne d'étages successifs est fermée sur l'« impédance itérative » de chaque étage, la fonction de transfert globale est aussi le produit des fonctions de transfert individuelles .

Étude du filtrage linéaire d'un signal non sinusoïdal à partir de son spectre

A priori le signal n'est pas nécessairement périodique, mais en 1^ère année seuls les signaux périodiques sont au programme.
A été étudié en détail avec des signaux périodiques non sinusoïdaux pour valider la construction des divers gabarits présentés.

......Rappel du principe d'étude lors du filtrage d'un signal périodique non sinusoïdal :

• faire l'analyse de Fourier du signal d'entrée c.-à-d. déterminer sa représentation fréquentielle $\;\left\lbrace C_{0,\,E}\;;\;{\underline {C_{p,\,e}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ en utilisant les « connaissances »  ou un logiciel de calcul,
• déterminer la réponse fréquentielle du filtre linéaire au signal d'entrée $\;\left\lbrace C_{0,\,S}\;;\;{\underline {C_{p,\,s}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ à l'aide de la représentation fréquentielle du signal d'entrée et de la fonction de transfert du filtre selon $\;C_{0,\,S}=H_{0}\;C_{0,\,E}\;$ et $\;{\underline {C_{p,\,s}}}={\underline {H}}(j\,2\,\pi \,p\,f_{e})\;{\underline {C_{p,\,e}}}\;$ pour $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$ ;
• faire la synthèse de Fourier du signal de sortie c.-à-d. utiliser un logiciel de calcul pour ajouter tous les harmoniques permettant d'obtenir la réponse temporelle du filtre à partir de sa réponse fréquentielle.

......Prolongement du principe d'étude lors du filtrage d'un signal non périodique (traité en complément)  :

• la décomposition en série de Fourier est alors remplacée par la décomposition en « intégrale de Fourier » , la représentation fréquentielle du signal d'entrée étant $\;\left\lbrace C_{0,\,E}\;;\;{\underline {\widehat {e}}}(\omega ),\;\forall \;\omega \,\in \,\mathbb {R} ^{*}\right\rbrace \;$,
• la détermination de la réponse fréquentielle du filtre à partir de la fonction de transfert et de la représentation fréquentielle du signal d'entrée se fait exactement de la même façon, on obtient évidemment une réponse fréquentielle définie pour toute valeur de pulsation,
• enfin connaissant la réponse fréquentielle du filtre on utilise la transformation de Fourier inverse pour en déduire la réponse temporelle du filtre au signal d'entrée $\;\ldots$

Retour sur la réponse d'un système linéaire à un échelon, notion de réponse indicielle

Rappel : détermination de l'équation différentielle du système linéaire à partir de la fonction de transfert harmonique de ce dernier

......Revoir le chap.$33$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » respectivement pour un « système fondamental du 1^er ordre » ou un « système non fondamental du 1^er ordre à transfert statique nul » ou encore un « système du 2^ème ordre du type réponse en intensité d'un R L C série … » mais le principe de la détermination est le même quel que soit l'ordre et quel que soit son « type », la méthode étant rappelée ci-dessous :

• imposer une entrée $\;x_{e}(t)\;$ sinusoïdale de pulsation $\;\omega \;$ et chercher la réponse sinusoïdale forcée $\;y_{s}(t)\;$ en se plaçant en électricité « complexe » associée au r.s.f. pour en déduire la fonction de transfert harmonique correspondante $\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {y_{s}}}(t)}{{\underline {x_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {N}}(j\,\omega )}{{\underline {D}}(j\,\omega )}}\;$ mise sous forme de quotient irréductible de polynômes en $\;j\,\omega$, le polynôme du dénominateur $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ étant normalisé ,
• en déduire l'égalité du produit des extrêmes et des moyens