Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode

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Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode
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Chapitre no 33
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Filtrage linéaire : signaux périodiques
Chap. suiv. :Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre
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Signaux physiques (PCSI)/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode
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Sommaire

Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un quadripôle linéaire en régime sinusoïdal forcé, propriétés fondamentales d'une fonction de transfert « dépendante de la sortie » mais « indépendante de l'entrée »[modifier | modifier le wikicode]

Rappel des choix de convention d'un quadripôle linéaire en A.R.Q.S.[modifier | modifier le wikicode]

En complexe associée au r.s.f. : convention générateur de la sortie du réseau dipolaire "source + réseau quadripolaire", convention récepteur de l'entrée du réseau dipolaire "réseau quadripolaire + charge"

......Déjà traité dans le paragraphe « notion de réseau quadripolaire et conventions d'entrée et de sortie » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans le cadre quelconque de l'A.R.Q.S., repris ici dans celui de l'électricité complexe associée au r.s.f. ; ci-contre schéma retranscrit en électricité complexe associée au r.s.f. avec explication ci-dessous :

  • le choix de la convention d'entrée est fait de façon à ce que la source soit en convention générateur, le réseau dipolaire sur lequel la source est fermée, c'est-à-dire constitué du Q.L.P. [1] fermé sur le récepteur et vu des bornes d'entrée (en bleu ci-contre) étant en convention récepteur,
  • le choix de la convention de sortie est fait de façon à ce que le récepteur (encore appelé « charge ») soit en convention récepteur, le réseau dipolaire alimentant la « charge » c'est-à-dire constitué du Q.L.P. alimenté par la source et vu des bornes de sortie (en rouge ci-contre) étant en convention générateur ;

......conventions d'écriture des grandeurs “tension ou intensité de courant” [2] :

  • une tension d'entrée de valeur moyenne nulle (c'est-à-dire sans composante continue, par exemple purement sinusoïdale) est notée , on a donc ,
  • dans le cas où la tension d'entrée est purement sinusoïdale, sa valeur efficace est notée , on a donc dans ce cas ,
  • une tension d'entrée dépendant du temps et a priori de valeur moyenne non nulle (c'est-à-dire avec composante continue) est notée et correspond à ,
  • une tension d'entrée ne dépendant pas du temps (donc en régime permanent) est notée , on a donc avec puisque .

Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un Q.L.P. fermé sur une « charge » et alimenté en entrée par une « source fonctionnant en r.s.f. »[modifier | modifier le wikicode]

......Après avoir introduit les grandeurs instantanées complexes associées aux grandeurs instantanées sinusoïdales (ainsi que les grandeurs efficaces complexes et les impédances complexes des D.P.L.), une fonction de transfert harmonique du Q.L.P. fermé sur une « charge d'impédance complexe  » est définie par


est la tension instantanée complexe de sortie ou l'intensité instantanée complexe du courant de sortie,
est la tension instantanée complexe d'entrée ou l'intensité instantanée complexe du courant d'entrée,
[3] est la tension efficace complexe de sortie ou l'intensité efficace complexe du courant de sortie et
[4] est la tension efficace complexe d'entrée ou l'intensité efficace complexe du courant d'entrée ;
  • le module de la fonction de transfert définit son gain noté soit
    ,
  • l'argument de la fonction de transfert définit sa phase notée soit
  • et la forme trigonométrique de la fonction de transfert s'écrit
    .

Représentation symbolique du transfert par schéma unifilaire[modifier | modifier le wikicode]

Représentation du transfert d'un Q.L.P. par schéma unifilaire [5] (avec chaîne de rétroaction en tiretés rouges)

......Voir ci-contre : une grandeur d'entrée (tension ou intensité de courant) [6] est imposée au Q.L.P. qui la transforme en grandeur de sortie (tension ou intensité de courant) [6] [7].

......Remarques : bien entendu les flèches sur le fil d'entrée ou sur celui de sortie ne veulent absolument pas dire qu'il y a « circulation de la grandeur » (ce serait totalement stupide pour une tension) mais signifient qu'il y a, provenant de la source, « apport de l'information  » au Q.L.P. puis, provenant du Q.L.P., « restitution de l'information transformée  » au récepteur situé en aval du Q.L.P. ;

......Remarques : la transformation effectuée par le Q.L.P. peut être « voulue » (on veut empêcher certaines fréquences de passer et si le but recherché est atteint c'est parfait) ou « une conséquence de la mauvaise qualité du Q.L.P. » (existence de défauts qu'il faut donc chercher à éliminer) ;

......Remarques : il est possible d'ajouter une « chaîne de rétroaction » (en tiretés rouges sur le schéma unifilaire) dans le but de stabiliser (ou déstabiliser) le signal de sortie, pour cela on renvoie à l'entrée un signal dépendant du signal de sortie et, ce signal renvoyé à l'entrée subissant de nouveau le transfert engendre une stabilisation (ou une déstabilisation) …

Les quatre fonctions de transfert harmoniques[modifier | modifier le wikicode]

Amplification complexe en tension[modifier | modifier le wikicode]

......On considère la tension d'entrée et la tension de sortie [8] d'où l'« amplification complexe en tension » [9] sans unité :

  • son module définit le « gain en tension » et
  • son argument, l'« avance de phase de la tension de sortie sur la tension d'entrée » .

Amplification complexe en courant[modifier | modifier le wikicode]

......On considère l'intensité du courant d'entrée et celle du courant de sortie [8] d'où l'« amplification complexe en courant » [10] [11] sans unité :

  • son module définit le « gain en courant » [12] et
  • son argument, l'« avance de phase de l'intensité du courant de sortie sur celle du courant d'entrée » .

Transimpédance complexe[modifier | modifier le wikicode]

......On considère l'intensité du courant d'entrée et la tension de sortie [8] d'où la « transimpédance complexe » [13] en  :

  • son module définit la « transimpédance » [14] en et
  • son argument, l'« avance de phase de la tension de sortie sur l'intensité du courant d'entrée » .

Transadmittance complexe[modifier | modifier le wikicode]

......On considère la tension d'entrée et l'intensité du courant de sortie [8] d'où la « transadmittance complexe » [15], [16] en  :

  • son module définit la « transadmittance » [14] [17] en et
  • son argument, l'« avance de phase de l'intensité du courant de sortie sur la tension d'entrée » .

Propriétés fondamentales d'une fonction de transfert harmonique d'un Q.L.P. fermé sur une « charge » et alimenté en entrée par une « source fonctionnant en r.s.f. »[modifier | modifier le wikicode]

......Il sera aisé de vérifier les propriétés énoncées ci-dessous sur tous les exemples traités en cours et en exercices :

  • toute fonction de transfert d'un Q.L.P. fermé sur une charge est « indépendante du dipôle source situé en amont de l'entrée », c'est-à-dire du générateur de fonction de modèle générateur de tension ou de modèle générateur de courant , en effet ce qui importe c'est la tension instantanée complexe d'entrée et non la façon dont cette tension est construite à l'aide de la source,
  • toute fonction de transfert d'un Q.L.P. fermé sur une charge est « dépendante du dipôle d'utilisation situé en aval de la sortie », c'est-à-dire de la charge , en effet il est évident que l'amplification complexe en tension (ou la transimpédance complexe) en dépend puisque son absence ou présence modifie la tension instantanée complexe de sortie et il en est de même pour les deux autres ; il est donc impératif pour pouvoir évaluer la fonction de transfert de connaître la « charge » placée en sortie [18].

......Remarques : seules l'amplification complexe en tension et la transimpédance complexe ont un intérêt en sortie ouverte en effet, en sortie ouverte entraîne la nullité des deux autres et

......Remarques : seules l'amplification complexe en courant et la transadmittance complexe ont un intérêt en sortie court-circuitée en effet, en sortie court-circuitée entraîne la nullité des deux autres.

Diagramme de Bode associé à une fonction de transfert harmonique, courbe de gain et courbe de phase[modifier | modifier le wikicode]

Définition du gain en dB[modifier | modifier le wikicode]

......Le gain associé à une fonction de transfert étant défini par , le gain en dB l'est par :

  • pour les deux fonctions de transfert sans unité (à savoir l'amplification complexe en tension et l'amplification complexe en courant),
  • pour les deux fonctions de transfert avec unité où est un gain de référence exprimée dans la même unité (à savoir la transimpédance complexe avec par exemple et la transadmittance complexe avec par exemple [19])

Définition du diagramme de Bode associé à la fonction de transfert H(jω) = G(ω) e[jφ(ω)], courbe de gain et courbe de phase[modifier | modifier le wikicode]

......Le diagramme de Bode [20] associé à la fonction de transfert est l'ensemble des deux courbes suivantes en échelle semi-logarithmique [21] :

  • la courbe de gain qui est le graphe de en fonction de la fréquence par prolongement on appelle encore « courbe de gain » le graphe de en fonction de la pulsation [22] ou le graphe de en fonction de la fréquence réduite [22] est une fréquence caractéristique du transfert et
  • la courbe de phase qui est le graphe de en fonction de la fréquence par prolongement on appelle encore « courbe de phase » le graphe de en fonction de la pulsation [22] ou le graphe de en fonction de la fréquence réduite [22], étant la même fréquence caractéristique du transfert que précédemment.

......Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences [23] : Une « décade » de l'axe des fréquences en échelle logarithmique est l'intervalle entre une fréquence quelconque et la fréquence dix fois plus grande , toutes les décades ont donc la même largeur en échelle logarithmique car  ;

......~Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences.~. ainsi entre et il y a « quatre décades » comme il y a « quatre décades » entre et  ;

......~Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences.~. notez aussi qu'entre les fréquences et il y a «  décade » et en particulier entre et il y a «  décade » [24].

Différentes fonctions de transfert du 1er ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F.[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une fonction de transfert du 1er ordre[modifier | modifier le wikicode]

......Une fonction de transfert est dite du « 1er ordre » [25] quand, écrite sous forme d'un quotient irréductible de polynômes en , le dénominateur est un polynôme de « degré 1 » ;

......la fonction de transfert sera dite sous forme normalisée si le monôme de degré 0 de est , ainsi une fonction de transfert du « 1er ordre » s'écrit, sous forme normalisée, selon

avec et polynôme de degré 0 ou 1 [26] ;

......remarque : si le quadripôle ne contient que des « conducteurs ohmiques, bobines et condensateurs », le cœfficient est [27] et homogène à une constante de temps, on pose alors et la fonction de transfert du « 1er ordre » peut se réécrire sous forme normalisée selon

avec et polynôme de degré 0 ou 1 [28] ou,
en posant  se réécrire sous forme normalisée ou encore,
en introduisant la pulsation réduite se réécrire sous forme normalisée [29].

Fonction de transfert du 1er ordre fondamental[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une fonction de transfert du 1er ordre fondamental[modifier | modifier le wikicode]

......Une fonction de transfert du 1er ordre [30] est dite « du 1er ordre fondamental » ssi avec homogène à un temps et de même homogénéité que le transfert harmonique, définissant le transfert statique [31] ou

.......Une fonction de transfert du 1er ordre est dite .~« du 1er ordre fondamental »~.ssi avec homogène à une pulsation et de même homogénéité que le transfert harmonique, définissant le transfert statique [31] ou enfin

.......Une fonction de transfert du 1er ordre est dite .~« du 1er ordre fondamental »~.ssi avec pulsation réduite sans dimension [32] et de même homogénéité que le transfert harmonique, définissant le transfert statique [31].

Exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de C » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

......Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f. de pulsation , la tension instantanée complexe d'entrée étant avec la tension efficace complexe d'entrée, étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T. [33] et l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte avec la tension efficace complexe de sortie ouverte ;

......on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous et en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité c'est-à-dire que l'on obtient sans difficulté par formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée soit donnant, en multipliant haut et bas par , l'amplification complexe en tension cherchée correspondant effectivement à un 1er ordre fondamental [34]

de transfert statique , de constante de temps ou de pulsation particulière [35].

Nature du filtre et fréquence de coupure à –3dB[modifier | modifier le wikicode]

......Le gain associé à la fonction de transfert d'un 1er ordre fondamental s'écrivant est une fonction de , de jusqu'à , il s'agit donc d'un passe-bas dans la mesure où il existe « nécessairement » [36] une fréquence de coupure à –3dB de fréquence réduite correspondant à [37] soit, avec l'équation ou et, étant nécessairement ,

la valeur de la fréquence réduite de coupure à -3dB est ou encore,
la valeur de la pulsation de coupure à –3dB est [38].

......En conclusion tout système du 1er ordre fondamental est un passe-bas, la pulsation de coupure à -3dB étant , l'intervalle passant en fréquences est et la bande passante à -3dB [39] .

......Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous et en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité , c'est un passe-bas de fréquence de coupure à -3dB soit, avec et , une fréquence de coupure à -3dB d'où un intervalle passant en fréquences [40].

Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 1er ordre fondamental et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 1er ordre fondamental et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......Se situant en B.F. si ce qui est réalisé à moins de près si [41], nous obtenons l'équivalent B.F. de la fonction de transfert selon [42] et en déduisons :

  • en en prenant le module, le gain à B.F. dont nous tirons le gain en dB à B.F. (équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode [20] se confond à B.F.) c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote B.F. et
  • en en prenant l'argument
    ......en en prenant l'argument dans la mesure où est , la phase à B.F. (équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [20] se confond à B.F.) c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote B.F. ou
    ......en en prenant l'argument dans la mesure où est , la phase à B.F. [43] (équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [20] se confond à B.F.) c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote B.F. [43].
Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 1er ordre fondamental et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......Se situant en H.F. si ce qui est réalisé à moins de près si [44], nous obtenons l'équivalent H.F. de la fonction de transfert selon [42] et en déduisons :

  • en en prenant le module, le gain à H.F. dont nous tirons le gain en dB à H.F. (équation de la droite décroissante de pente avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode [20] se confond à H.F.) c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote H.F. et
  • en en prenant l'argument
    ......en en prenant l'argument dans la mesure où est , la phase à H.F. (équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [20] se confond à H.F.) c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote H.F. ou
    ......en en prenant l'argument dans la mesure où est , la phase à H.F. [43] (équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [20] se confond à H.F.) c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote H.F. [43].

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

Tracé en rouge de la courbe de gain du diagramme de Bode [20] d'un 1er ordre fondamental et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un R C série avec sortie ouverte aux bornes de C

......On trace d'abord les asymptotes B.F. (de pente nulle) et H.F. (de pente se coupant en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite de coupure à –3dB [45], l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme asymptotique (en vert ou bleu ci-contre) ;

......la courbe de gain (en rouge ci-contre) se confondant avec cette dernière (en vert ou bleu ci-contre) sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à –3dB », il suffit de positionner le point d'abscisse [46] « 3dB au-dessous de l'asymptote B.F. » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;

......la courbe de gain du diagramme de Bode [20] ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par ue(t), constitué de R et C en série avec sortie ouverte aux bornes de C pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs et conduisant à une fréquence de coupure à -3dB assurant que toutes les fréquences de signaux d'entrée sinusoïdaux se retrouvent en sortie sans modification et que toutes les fréquences de signaux d'entrée sinusoïdaux sont absents en sortie …

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

......Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase [43] qui est une fonction décroissante de  ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où est  ;

Tracé en rouge de la courbe de phase du diagramme de Bode [20] d'un 1er ordre fondamental et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un R C série avec sortie ouverte aux bornes de C

......on trace ensuite les asymptotes B.F. (de pente nulle et de valeur et H.F. de pente nulle et de valeur , l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme asymptotique (en vert ou bleu ci-contre) ;

......la courbe de phase (en rouge ci-contre) se confondant très approximativement avec cette dernière (en vert ou bleu ci-contre) sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à –3dB » [47], il suffit de positionner le point d'abscisse [46] à l'ordonnée puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » [48] ;

......la courbe de phase du diagramme de Bode [20] ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par ue(t), constitué de R et C en série avec sortie ouverte aux bornes de C pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les mêmes valeurs et que celles utilisées pour la courbe de gain conduisant à une fréquence de coupure à -3dB  ; on a également représenté en tiretés rouges une schématisation de la courbe en la supposant « linéaire entre et depuis l'asymptote B.F. jusqu'à l'asymptote H.F. et confondue avec les asymptotes au-delà de ces fréquences ».

Interprétation de « l'équivalent H.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo intégrateur »[modifier | modifier le wikicode]

......À H.F. c'est-à-dire si la pulsation réduite est à ou si la pulsation est à ou encore si la fréquence est à , la fonction de transfert est équivalente à ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par , la réécriture de l'équivalence de la fonction de transfert et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension » dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon

 ;

......or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f. « multiplier la grandeur instantanée complexe par  » est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » et que « diviser la grandeur instantanée complexe par  » correspond à « prendre la primitive temporelle de valeur moyenne nulle » [49] d'où ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales

si .

......En conclusion, à H.F. soit pratiquement , on observe un fonctionnement « intégrateur » [50] du système linéaire du 1er ordre fondamental, cela se manifeste par une « fonction de transfert à  » ou une courbe de gain à asymptote de « pente  ».

Gain statique et bande passante à –3dB dans l'exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de C » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension », influence d'une charge résistive en aval de la sortie[modifier | modifier le wikicode]

......Rappel de l'amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous ue(t) et en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité C : , son gain statique valant et sa bande passante à -3dB étant la largeur de l'intervalle passant en fréquences valant on en déduit

le produit « gain statique*bande passante à -3dB » en sortie ouverte .

......Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous ue(t) et en sortie aux bornes du condensateur de capacité C fermée sur une charge résistive de résistance Ru : nous allons établir que la nature du filtre reste la même avec une diminution du gain statique et une augmentation de la bande passante à -3dB, le produit « gain statique*bande passante à -3dB » gardant la même valeur que celle en sortie ouverte ;

......bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation du P.D.T. en complexe alimenté en entrée par , ayant pour D.P. d'attaque le conducteur ohmique de résistance , lequel est en série avec le condensateur de capacité quand la sortie aux bornes de ce dernier est ouverte, de tension instantanée complexe de sortie quand celle-ci est fermée sur la charge de résistance d'utilisation  ; nous pouvons alors reconnaître un P.D.T. en complexe alimenté en entrée par , ayant pour D.P. d'attaque en série avec l'association d'impédance complexe et en sortie ouverte aux bornes de cette association et on obtient ou, en multipliant haut et bas par et après regroupement de termes, donnant, après normalisation, l'amplification complexe en tension recherchée correspondant effectivement à un 1er ordre fondamental donc à un passe-bas dont on tire

  • le gain statique et
  • la bande passante à -3dB  ;

......formant le produit « gain statique*bande passante à -3dB » on obtient c'est-à-dire qu'on vérifie l'indépendance de ce produit par rapport à la résistance d'utilisation soit

,

......une augmentation de la résistance d'utilisation s'accompagnant d'une dégradation simultanée de la bande passante à -3dB (celle-ci augmentant [51]) et du gain statique (celui-ci diminuant).

Fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul[modifier | modifier le wikicode]

......Une fonction de transfert du 1er ordre [30] est dite « du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul » ssi avec homogène à un temps et d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps, le transfert statique [31] étant effectivement nul ou

........Une fonction de transfert du 1er ordre est dite .~« du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul »~.ssi avec homogène à une pulsation et d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps, le transfert statique [31] étant effectivement nul ou enfin

........Une fonction de transfert du 1er ordre est dite .~« du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul »~.ssi avec pulsation réduite sans dimension [32] et de même homogénéité que le transfert harmonique, le transfert statique [31] étant effectivement nul.

Exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de R » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

......Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f. de pulsation , la tension instantanée complexe d'entrée étant avec la tension efficace complexe d'entrée, étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T. [33] et l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte avec la tension efficace complexe de sortie ouverte ;

......on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous et en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance c'est-à-dire que l'on obtient sans difficulté par formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée soit donnant, en multipliant haut et bas par , l'amplification complexe en tension cherchée correspondant effectivement à un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul [52]

de constante de temps ou de pulsation particulière [53] et de cœfficient [54] ou .

Nature du filtre et fréquence de coupure à –3dB[modifier | modifier le wikicode]

......Le gain associé à la fonction de transfert d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul s'écrivant ou, en divisant haut et bas par pour obtenir un numérateur constant, est une fonction de donc de [55], de 0 jusqu'à [56], il s'agit donc d'un passe-haut dans la mesure où il existe « nécessairement » [36] une fréquence de coupure à –3dB de fréquence réduite correspondant à [57] soit, avec l'équation ou et, étant nécessairement ,

la valeur de la fréquence réduite de coupure à -3dB est ou encore,
la valeur de la pulsation de coupure à –3dB est [38].

......En conclusion tout système du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul est un passe-haut, la pulsation de coupure à -3dB étant , l'intervalle passant en fréquences est et la bande non passante à -3dB [58] .

......Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous et en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance , c'est un passe-haut de fréquence de coupure à -3dB soit, une fréquence de coupure à -3dB avec et , d'où un intervalle passant en fréquences [59].

Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......Se situant en B.F. si ce qui est réalisé à moins de près si [41], nous obtenons l'équivalent B.F. de la fonction de transfert selon [42] et en déduisons :

  • en en prenant le module, le gain à B.F. dont nous tirons le gain en dB à B.F. (équation de la droite croissante de pente avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode [20] se confond à B.F.) c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote B.F. et
  • en en prenant l'argument
    ......en en prenant l'argument dans la mesure où est , la phase à B.F. (équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [20] se confond à B.F.) c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote B.F. ou
    ......en en prenant l'argument dans la mesure où est , la phase à B.F. [60] (équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [20] se confond à B.F.) c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote B.F. [43].
Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......Se situant en H.F. si ce qui est réalisé à moins de près si [44], nous obtenons l'équivalent H.F. de la fonction de transfert selon [42], [56] et en déduisons :

  • en en prenant le module, le gain à H.F. [56] dont nous tirons le gain en dB à H.F. (équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode [20] se confond à H.F.) c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote H.F. et
  • en en prenant l'argument
    ......en en prenant l'argument dans la mesure où est , la phase à H.F. (équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [20] se confond à H.F.) c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote H.F. ou
    ......en en prenant l'argument dans la mesure où est , la phase à H.F. [60] (équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [20] se confond à H.F.) c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote H.F. [60].

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

Tracé en rouge de la courbe de gain du diagramme de Bode [20] d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un R C série avec sortie ouverte aux bornes de R

......On trace d'abord les asymptotes B.F. (de pente et H.F. (de pente nulle) se coupant en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite de coupure à –3dB [61], l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme asymptotique (en vert ou bleu ci-contre) ;

......la courbe de gain (en rouge ci-contre) se confondant avec cette dernière (en vert ou bleu ci-contre) sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à –3dB », il suffit de positionner le point d'abscisse [46] « 3dB au-dessous de l'asymptote H.F. » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;

......la courbe de gain du diagramme de Bode [20] ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par ue(t), constitué de R et C en série avec sortie ouverte aux bornes de R pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs et conduisant à une fréquence de coupure à -3dB assurant que toutes les fréquences de signaux d'entrée sinusoïdaux se retrouvent en sortie sans modification [62] et que toutes les fréquences de signaux d'entrée sinusoïdaux sont absents en sortie …

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode[modifier | modifier le wikicode]

......Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase [60] qui est une fonction décroissante de  ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où est  ;

Tracé en rouge de la courbe de phase du diagramme de Bode [20] d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un R C série avec sortie ouverte aux bornes de R

......on trace ensuite les asymptotes B.F. de pente nulle et de valeur et H.F. (de pente nulle et de valeur , l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme asymptotique (en vert ou bleu ci-contre) ;

......la courbe de phase (en rouge ci-contre) se confondant très approximativement avec cette dernière (en vert ou bleu ci-contre) sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à –3dB » [47], il suffit de positionner le point d'abscisse [46] à l'ordonnée puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » [63] ;

......la courbe de phase du diagramme de Bode [20] ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par ue(t), constitué de R et C en série avec sortie ouverte aux bornes de R pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les mêmes valeurs et que celles utilisées pour la courbe de gain conduisant à une fréquence de coupure à -3dB  ; on a également représenté en tiretés rouges une schématisation de la courbe en la supposant « linéaire entre et depuis l'asymptote B.F. jusqu'à l'asymptote H.F. et confondue avec les asymptotes au-delà de ces fréquences ».

Interprétation de « l'équivalent B.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo dérivateur »[modifier | modifier le wikicode]

......À B.F. c'est-à-dire si la pulsation réduite est à ou si la pulsation est à ou encore si la fréquence est à , la fonction de transfert est équivalente à ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par , la réécriture de l'équivalence de la fonction de transfert et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension » dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon

 ;

......or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f. « multiplier la grandeur instantanée complexe par  » est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » d'où ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales

si .

......En conclusion, à B.F. soit pratiquement , on observe un fonctionnement « dérivateur » [50] du système linéaire du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul, cela se manifeste par une « fonction de transfert à  » ou une courbe de gain à asymptote de « pente  ».

Gain à H.F. et bande non passante à –3dB dans l'exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de R » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

......Rappel de l'amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous ue(t) et en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance R : , son gain à H.F. valant et sa bande non passante à -3dB étant la largeur de l'intervalle non passant en fréquences valant on en déduit

le produit « gain H.F.*bande non passante à -3dB » en sortie ouverte [64].

......Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous ue(t) et en sortie aux bornes du conducteur ohmique de résistance R fermée sur une charge résistive de résistance Ru : nous allons établir que la nature du filtre reste la même avec un maintien du gain à H.F. et une augmentation de la bande non passante à -3dB, le produit « gain H.F.*bande non passante à -3dB » étant aussi plus grande que celle en sortie ouverte ;

......bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation du P.D.T. en complexe alimenté en entrée par , ayant pour D.P. d'attaque le condensateur de capacité , lequel est en série avec le conducteur ohmique de résistance quand la sortie aux bornes de ce dernier est ouverte, de tension instantanée complexe de sortie quand celle-ci est fermée sur la charge de résistance d'utilisation  ; nous pouvons alors reconnaître un P.D.T. en complexe alimenté en entrée par , ayant pour impédance complexe d'attaque en série avec l'association d'impédance complexe et en sortie ouverte aux bornes de cette association et on obtient ou, en multipliant haut et bas par et après regroupement de termes, donnant, après normalisation, l'amplification complexe en tension recherchée correspondant effectivement à un 1er ordre non fondamental à transfert nul donc à un passe-haut dont on tire

  • le gain à H.F. et
  • la bande non passante à -3dB  ;

......formant le produit « gain H.F.*bande non passante à -3dB » on obtient c'est-à-dire qu'on vérifie la dépendance de ce produit par rapport à la résistance d'utilisation soit

,

......une augmentation de la résistance d'utilisation s'accompagnant d'une dégradation de la bande non passante à -3dB (celle-ci augmentant [65]) et la conservation du gain H.F. (celui-ci restant égal à .

Fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul[modifier | modifier le wikicode]

......Une fonction de transfert du 1er ordre [30] est dite « du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul » ssi avec homogène à un temps, définissant le transfert statique [31] de même homogénéité que le transfert harmonique et d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps ou

........Une fonction de transfert du 1er ordre est dite .~« du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul »~.ssi avec homogène à une pulsation, définissant le transfert statique [31] de même homogénéité que le transfert harmonique et d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps ou enfin

........Une fonction de transfert du 1er ordre est dite .~« du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul »~.ssi avec pulsation réduite sans dimension [32], définissant le transfert statique [31] et tous deux de même homogénéité que le transfert harmonique.

Exemple : Pont diviseur de tension en sortie ouverte constitué de « R', R et C en série » avec « sortie aux bornes de "R C série" » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »[modifier | modifier le wikicode]

......Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f. de pulsation , la tension instantanée complexe d'entrée étant avec la tension efficace complexe d'entrée, étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T. [33] et en série avec l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte avec la tension efficace complexe de sortie ouverte ;

......on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous et en sortie ouverte aux bornes du dipôle R C série d'impédance complexe c'est-à-dire que l'on obtient sans difficulté par formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée soit donnant, en multipliant haut et bas par , l'amplification complexe en tension correspondant effectivement à un 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul [66]

de constante de temps ou de pulsation particulière [67],
de transfert statique et de cœfficient [54] ou .

Méthode d'étude à adopter pour le tracé du diagramme de Bode d'une fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique non nul[modifier | modifier le wikicode]

......La méthode d'étude consiste à considérer la fonction de transfert comme le produit de deux fonctions de transfert dont l'une est celle correspondant à un 1er ordre fondamental pour laquelle toutes les propriétés sont connues et dont l'autre [68] est la seule restant à étudier ;

......une fois le produit formé et l'étude de la fonction de transfert [68] réalisée, nous en déduisons :

  • en en prenant le module ou soit finalement permettant d'obtenir la courbe de gain du diagramme de Bode [20] de la fonction de transfert en ajoutant, points par points, la courbe de gain des diagrammes de Bode [20] de chaque fonction de transfert et et
  • en en prenant l'argument soit finalement permettant d'obtenir la courbe de phase du diagramme de Bode [20] de la fonction de transfert en ajoutant, points par points, la courbe de phase des diagrammes de Bode [20] de chaque fonction de transfert et  ;

......pour mettre la fonction de transfert sous forme du produit de fonctions précédemment décrit, on met en facteur dans le numérateur soit permettant de réécrire avec (c'est-à-dire un 1er ordre fondamental) et (c'est-à-dire la fonction [68] restant à étudier).

Étude de la fonction « partielle » de transfert H2(jx)[modifier | modifier le wikicode]

......Pour étudier la fonction « partielle » de transfert , il convient d'introduire une pulsation réduite caractéristique pour laquelle la partie imaginaire a la même valeur absolue que la partie réelle 1 soit  ;

......avec cette introduction, la fonction « partielle » de transfert peut se réécrire, suivant les signes comparés de et  :

si et sont de même signe et
si et sont de signe contraire.
Équivalents B.F. et H.F. de la fonction « partielle » de transfert H2(jx) et conséquences[modifier | modifier le wikicode]
Équivalents B.F. de la fonction « partielle » de transfert H2(jx) et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......À B.F. c'est-à-dire si , réalisé à moins de près si , la fonction « partielle » de transfert [69], [42] d'où et, de cet équivalent B.F., nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le gain à B.F. dont nous tirons le gain en dB à B.F. (équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode [20] se confond à B.F.) c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote B.F. et
  • en en prenant l'argument, la phase à B.F. (équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [20] se confond à B.F.) c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote B.F. .
Équivalents H.F. de la fonction « partielle » de transfert H2(jx) et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......À H.F. c'est-à-dire si , réalisé à moins de près si , la fonction « partielle » de transfert [69], [42] d'où [69] et, de cet équivalent H.F., nous en déduisons :

  • en en prenant le module, le gain à H.F. dont nous tirons le gain en dB à H.F. (équation de la droite croissante de pente avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode [20] se confond à H.F.) c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote H.F. et
  • en en prenant l'argument,
    ......en en prenant l'argument dans la mesure où et sont de même signe, la phase à B.F. (équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode [20] se confond à B.F.) c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode [20] admet pour équation de l'asymptote B.F. ou
    ......en en prenant l'argument dans la mesure où et sont de signe contraire, la phase à B.F.