Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

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Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
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Exercices no7
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Propagation d'un signal : Battements
Exo suiv. :Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
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Explication de la résonance d'ondes stationnaires sur une corde de Melde en évaluant les réflexions sur la poulie et le vibreur sans ou avec cœfficients d'atténuation[modifier | modifier le wikicode]

     On considère l'expérience classique de la corde de Melde [1] tendue horizontalement selon l'axe entre un vibreur  [2] engendrant un mouvement transversal et
         On considère l'expérience classique de la corde de Melde tendue horizontalement selon l'axe entre une poulie sur laquelle la corde s'appuie pour retenir un objet de masse  [3],
         On considère l'expérience classique de la corde de Melde l'axe de la poulie étant situé à la distance du vibreur et la tension de la corde étant telle que son point de contact avec la poulie reste fixe ;

     on se propose de prolonger l'étude du paragraphe « interprétation par superposition d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité supposée fixe » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »,
     on se propose de prolonger l'étude montrant que l'onde réfléchie sur la poulie sans atténuation se superposant à l'onde incidente émise par le vibreur donne une onde résultante stationnaire
     on se propose de prolonger l'étude en remarquant toutefois que cette onde ne satisfaisant pas à la C.A.L. [4] imposée par le vibreur en  [5], il est nécessaire d'envisager une réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste  ;

     avec cette réflexion sur le vibreur on obtient un nouvelle onde se propageant vers la poulie, onde qui se réfléchit sur en une onde revenant vers et la superposition des ondes et donne une nouvelle onde résultante stationnaire qu'il conviendra d'évaluer [6] mais
     avec cette réflexion sur le vibreur la superposition des deux ondes stationnaires ne satisfaisant pas à la C.A.L. [4] imposée par le vibreur en , il est nécessaire d'envisager une nouvelle réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste  ;

     avec cette nouvelle réflexion sur le vibreur on obtient un nouvelle onde se propageant vers la poulie, onde qui se réfléchit sur en une onde revenant vers et la superposition des ondes et donne une nouvelle onde résultante stationnaire qu'il conviendra d'évaluer [6] mais
     avec cette nouvelle réflexion sur le vibreur la superposition des trois ondes stationnaires ne satisfaisant pas à la C.A.L. [4] imposée par le vibreur en , il est nécessaire d'envisager une nouvelle réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste  ;

     etc

     Le but de cet exercice est de déterminer l'onde résultante, superposition des 1ers couples de réflexions sur la poulie et le vibreur «» où « est l'onde stationnaire sinusoïdales superposant l'onde se propageant vers après réflexions sur et l'onde se propageant vers après réflexions sur », puis
     Le but de cet exercice est de rechercher la condition de résonance d'une telle onde.

     Nous ferons tout d'abord l'étude en considérant les réflexions parfaites c.-à-d. sans atténuation de l'amplitude puis nous reprendrons l'étude
     Nous ferons tout d'abord l'étude en considérant que la réflexion sur se fait avec un cœfficient de réflexion et celle sur avec un cœfficient de réflexion .

Étude du cas de réflexions parfaites sur la poulie et le vibreur[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la démarche[modifier | modifier le wikicode]

     Rappeler la démarche permettant d'établir le « signal au point et à l'instant de l'onde réfléchie une 1ère fois sur le vibreur » à partir du
     Rappeler la démarche permettant d'établir le « signal au même point et au même instant de l'onde réfléchie sur la poulie ».

Expression de l'onde stationnaire, superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie (r’’) sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

     Remarquant que se déduit de par simple déphasage, déterminer sans calcul le signal de l'onde résultante, superposition de l'onde et de sa réfléchie sur la poulie, à partir de l'expression de .

Itération du procédé[modifier | modifier le wikicode]

     Itérer le procédé utilisé précédemment pour obtenir le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers après réflexions sur et l'onde se propageant vers après réflexions sur à partir de .

Expression de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer le signal de l'onde résultante au point et à l'instant , superposition des 1ers couples d'ondes stationnaires successives après réflexions sur la poulie et sur le vibreur «» ;

     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «» ou
     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «» en posant «».

Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le but d'évaluer nous introduisons la grandeur instantanée complexe dont est la partie imaginaire, puis
     Dans le but d'évaluer nous introduisons l'amplitude complexe telle que  ;

     vérifier que est la « somme des 1ers termes d'une suite géométrique » de 1er terme et de raison on explicitera le 1er terme et la raison ;

     vérifier que est la « somme des 1ers termes d'une suite géométrique » en déduire une expression simplifiée de puis

     vérifier que est la « somme des 1ers termes d'une suite géométrique » déterminer son module et
     vérifier que est la « somme des 1ers termes d'une suite géométrique » déterminer son argument , dans le but de
     terminer l'évaluation de et celle du signal de l'onde résultante
     terminer l'évaluation de et celle du signal de l'onde résultante .

Étude de l'onde stationnaire résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

     Vérifier que l'onde résultante de signal obtenu dans la « solution de l'évaluation de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie » plus haut dans cet exercice,
     Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire en déterminant la position des nœuds et des ventres puis
     Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire en constatant que les points d'un même fuseau vibrent en phase,
     Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire en constatant que les points situés de part et d'autre d'un même nœud vibrant en opposition de phase ;

     Vérifier que l'onde résultante exprimer l'amplitude aux ventres et
     Vérifier que l'onde résultante vérifier que la « condition de résonance » telle qu'elle a été déterminée au paragraphe « conditions de résonance (c.-à-d. conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'onde stationnaires sinusoïdales) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » correspond à l'annulation du dénominateur de l'amplitude aux ventres nous admettrons que ceci suffit à justifier le caractère « maximal » [12] de l'amplitude aux ventres.

Étude du cas où les réflexions sur la poulie et le vibreur se font respectivement avec un cœfficient de réflexion ρ et ρ'[modifier | modifier le wikicode]

Étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r)[modifier | modifier le wikicode]

     Établir l'expression de l'onde réfléchie sur la poulie de signal au point et à l'instant sachant que l'onde réfléchie en se déduit de l'onde incidente au même point [17] par «» puis

     déterminer le signal de l'onde résultante , superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sur et le mettre sous la forme
  déterminer le signal «» en explicitant l'amplitude «» et la phase «» [18] ;

     vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, des ventres de vibration mais que
     vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, les « nœuds sont remplacés par des positions de vibration d'amplitude minimale » [19] d'une part et que
     vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, les points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase d'autre part.

Étude de l'onde réfléchie (r') sur le vibreur ainsi que de l'onde résultante (2), superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie sur la poulie (r")[modifier | modifier le wikicode]

     Établir l'expression de l'onde réfléchie sur le vibreur de signal au point et à l'instant sachant que l'onde réfléchie sur le vibreur en se déduit de l'onde réfléchie sur la poulie au même point [34] par «» puis

     vérifier que l'onde réfléchie sur le vibreur se déduit de l'onde incidente en multipliant l'amplitude de vibration du vibreur par un facteur à préciser et
     vérifier que l'onde réfléchie sur le vibreur se déduit de l'onde incidente en ajoutant à la phase initiale une valeur également à préciser ;

     déterminer le signal de l'onde résultante , superposition de l'onde réfléchie sur le vibreur de signal et de sa réfléchie sur la poulie de signal [35] c.-à-d.
     déterminer le signal et le mettre sous la forme
   déterminer le signal «» en explicitant l'amplitude «» et la phase «» [36] ;

     vérifier que se déduit de par un facteur multiplicateur à préciser il existe donc, aux mêmes positions, des ventres de vibration ainsi que des points de vibration d'amplitude minimale [19] se substituant aux nœuds des ondes stationnaires dans le cas de réflexion parfaite et

     vérifier que se déduit de par un terme additif à préciser là encore les points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase.

Itération du procédé[modifier | modifier le wikicode]

     Itérer le procédé exposé précédemment pour obtenir le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers après réflexions sur et l'onde se propageant vers après réflexions sur à partir de .

Expression de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer le signal de l'onde résultante au point et à l'instant , superposition des 1ers couples d'ondes « pseudo-stationnaires » [39] successives après réflexions sur la poulie et sur le vibreur «» ;

     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «»
     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme « dans laquelle et sont respectivement l'amplitude et la phase initiale de l'onde « pseudo-stationnaire » [39] [37], [38].