Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

Leçons de niveau 14
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
Image logo représentative de la faculté
Exercices no7
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Propagation d'un signal : Battements
Exo suiv. :Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Explication de la résonance d'ondes stationnaires sur une corde de Melde en évaluant les réflexions sur la poulie et le vibreur sans ou avec cœfficients d'atténuation[modifier | modifier le wikicode]

     On considère l'expérience classique de la corde de Melde[1] tendue horizontalement selon l'axe entre un vibreur  [2] engendrant un mouvement transversal et
         On considère l'expérience classique de la corde de Melde tendue horizontalement selon l'axe entre une poulie sur laquelle la corde s'appuie pour retenir un objet de masse  [3],
         On considère l'expérience classique de la corde de Melde l'axe de la poulie étant situé à la distance du vibreur et la tension de la corde étant telle que son point de contact avec la poulie reste fixe ;

     on se propose de prolonger l'étude du paragraphe « interprétation par superposition d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité supposée fixe » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »,
     on se propose de prolonger l'étude montrant que l'onde réfléchie sur la poulie sans atténuation se superposant à l'onde incidente émise par le vibreur donne une onde résultante stationnaire
     on se propose de prolonger l'étude en remarquant toutefois que cette onde ne satisfaisant pas à la C.A.L[4]. imposée par le vibreur en  [5], il est nécessaire d'envisager une réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste  ;

     avec cette réflexion sur le vibreur on obtient un nouvelle onde se propageant vers la poulie, onde qui se réfléchit sur en une onde revenant vers et la superposition des ondes et donne une nouvelle onde résultante stationnaire qu'il conviendra d'évaluer[6] mais
     avec cette réflexion sur le vibreur la superposition des deux ondes stationnaires ne satisfaisant pas à la C.A.L[4]. imposée par le vibreur en , il est nécessaire d'envisager une nouvelle réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste  ;

     avec cette nouvelle réflexion sur le vibreur on obtient un nouvelle onde se propageant vers la poulie, onde qui se réfléchit sur en une onde revenant vers et la superposition des ondes et donne une nouvelle onde résultante stationnaire qu'il conviendra d'évaluer[6] mais
     avec cette nouvelle réflexion sur le vibreur la superposition des trois ondes stationnaires ne satisfaisant pas à la C.A.L[4]. imposée par le vibreur en , il est nécessaire d'envisager une nouvelle réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste  ;

     etc

     Le but de cet exercice est de déterminer l'onde résultante, superposition des 1ers couples de réflexions sur la poulie et le vibreur «» où « est l'onde stationnaire sinusoïdales superposant l'onde se propageant vers après réflexions sur et l'onde se propageant vers après réflexions sur », puis
     Le but de cet exercice est de rechercher la condition de résonance d'une telle onde.

     Nous ferons tout d'abord l'étude en considérant les réflexions parfaites c'est-à-dire sans atténuation de l'amplitude puis nous reprendrons l'étude
     Nous ferons tout d'abord l'étude en considérant que la réflexion sur se fait avec un cœfficient de réflexion et celle sur avec un cœfficient de réflexion .

Étude du cas de réflexions parfaites sur la poulie et le vibreur[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la démarche[modifier | modifier le wikicode]

     Rappeler la démarche permettant d'établir le « signal au point et à l'instant de l'onde réfléchie une 1ère fois sur le vibreur » à partir du
     Rappeler la démarche permettant d'établir le « signal au même point et au même instant de l'onde réfléchie sur la poulie ».

Expression de l'onde stationnaire, superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie (r’’) sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

     Remarquant que se déduit de par simple déphasage, déterminer sans calcul le signal de l'onde résultante, superposition de l'onde et de sa réfléchie sur la poulie, à partir de l'expression de .

Itération du procédé[modifier | modifier le wikicode]

     Itérer le procédé utilisé précédemment pour obtenir le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers après réflexions sur et l'onde se propageant vers après réflexions sur à partir de .

Expression de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer le signal de l'onde résultante au point et à l'instant , superposition des 1ers couples d'ondes stationnaires successives après réflexions sur la poulie et sur le vibreur «» ;

     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «» ou
     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «» en posant «».

Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le but d'évaluer nous introduisons la grandeur instantanée complexe dont est la partie imaginaire, puis
     Dans le but d'évaluer nous introduisons l'amplitude complexe telle que  ;

     vérifier que est la « somme des 1ers termes d'une suite géométrique » de 1er terme et de raison on explicitera le 1er terme et la raison ;

     vérifier que est la « somme des 1ers termes d'une suite géométrique » en déduire une expression simplifiée de puis

     vérifier que est la « somme des 1ers termes d'une suite géométrique » déterminer son module et
     vérifier que est la « somme des 1ers termes d'une suite géométrique » déterminer son argument , dans le but de
     terminer l'évaluation de et celle du signal de l'onde résultante
     terminer l'évaluation de et celle du signal de l'onde résultante .

Étude de l'onde stationnaire résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

     Vérifier que l'onde résultante de signal obtenu dans la « solution de l'évaluation de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie » plus haut dans cet exercice,
     Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire en déterminant la position des nœuds et des ventres puis
     Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire en constatant que les points d'un même fuseau vibrent en phase,
     Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire en constatant que les points situés de part et d'autre d'un même nœud vibrant en opposition de phase ;

     Vérifier que l'onde résultante exprimer l'amplitude aux ventres et
     Vérifier que l'onde résultante vérifier que la « condition de résonance » telle qu'elle a été déterminée au paragraphe « conditions de résonance (c'est-à-dire conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'onde stationnaires sinusoïdales) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » correspond à l'annulation du dénominateur de l'amplitude aux ventres nous admettrons que ceci suffit à justifier le caractère « maximal » [12] de l'amplitude aux ventres.

Étude du cas où les réflexions sur la poulie et le vibreur se font respectivement avec un cœfficient de réflexion ρ et ρ'[modifier | modifier le wikicode]

Étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r)[modifier | modifier le wikicode]

     Établir l'expression de l'onde réfléchie sur la poulie de signal au point et à l'instant sachant que l'onde réfléchie en se déduit de l'onde incidente au même point [17] par «» puis

     déterminer le signal de l'onde résultante , superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sur et le mettre sous la forme
  déterminer le signal «» en explicitant l'amplitude «» et la phase «» [18] ;

     vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, des ventres de vibration mais que
     vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, les « nœuds sont remplacés par des positions de vibration d'amplitude minimale » [19] d'une part et que
     vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, les points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase d'autre part.

Étude de l'onde réfléchie (r') sur le vibreur ainsi que de l'onde résultante (2), superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie sur la poulie (r")[modifier | modifier le wikicode]

     Établir l'expression de l'onde réfléchie sur le vibreur de signal au point et à l'instant sachant que l'onde réfléchie sur le vibreur en se déduit de l'onde réfléchie sur la poulie au même point [34] par «» puis

     vérifier que l'onde réfléchie sur le vibreur se déduit de l'onde incidente en multipliant l'amplitude de vibration du vibreur par un facteur à préciser et
     vérifier que l'onde réfléchie sur le vibreur se déduit de l'onde incidente en ajoutant à la phase initiale une valeur également à préciser ;

     déterminer le signal de l'onde résultante , superposition de l'onde réfléchie sur le vibreur de signal et de sa réfléchie sur la poulie de signal [35] c'est-à-dire
     déterminer le signal et le mettre sous la forme
   déterminer le signal «» en explicitant l'amplitude «» et la phase «» [36] ;

     vérifier que se déduit de par un facteur multiplicateur à préciser il existe donc, aux mêmes positions, des ventres de vibration ainsi que des points de vibration d'amplitude minimale[19] se substituant aux nœuds des ondes stationnaires dans le cas de réflexion parfaite et

     vérifier que se déduit de par un terme additif à préciser là encore les points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase.

Itération du procédé[modifier | modifier le wikicode]

     Itérer le procédé exposé précédemment pour obtenir le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers après réflexions sur et l'onde se propageant vers après réflexions sur à partir de .

Expression de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer le signal de l'onde résultante au point et à l'instant , superposition des 1ers couples d'ondes « pseudo-stationnaires »[39] successives après réflexions sur la poulie et sur le vibreur «» ;

     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «»
     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme « dans laquelle et sont respectivement l'amplitude et la phase initiale de l'onde « pseudo-stationnaire »[39] [37],[38].

Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

     Pour évaluer [37],[38] nous introduisons la grandeur instantanée complexe dont est la partie réelle c'est-à-dire telle que , la grandeur instantanée complexe étant de forme suivante
     Pour évaluer [37],[38] dans laquelle est l'amplitude complexe associée de forme
     Pour évaluer [37],[38] ;

     Pour évaluer étant à la « somme des 1ers termes d'une suite géométrique » de 1er terme et de raison à expliciter,
     Pour évaluer étant à la « somme des 1ers termes d'une suite géométrique » en déduire une expression simplifiée de puis
     Pour évaluer étant à la « somme des 1ers termes d'une suite géométrique » déterminer son module et
     Pour évaluer étant à la « somme des 1ers termes d'une suite géométrique » déterminer son argument , dans le but de
     Pour évaluer étant à la « somme des 1ers termes d'une suite géométrique » terminer l'évaluation de «».

     Vérifier que la position des points d'amplitude maximale c'est-à-dire la position des ventres préciser la valeur de l'amplitude aux ventres ainsi que
          Vérifier que la celle des points d'amplitude minimale c'est-à-dire celle des « pseudo-nœuds »[31] préciser la valeur de l'amplitude minimale
     Vérifier que la position des points d'amplitude maximale sont les mêmes que celles obtenues dans le cas où les réflexions sont parfaites[41] mais

     Vérifier que l'onde résultante avec réflexions non parfaites ne peut être qualifiée de « stationnaire » car l'amplitude aux points d'amplitude minimale n'est pas nulle ce sont des « pseudo-nœuds »[31] et
     Vérifier que l'onde résultante avec réflexions non parfaites ne peut être qualifiée de « stationnaire » car les points d'un « même fuseau » ne vibrent pas rigoureusement en phase d'où
     Vérifier que l'onde résultante avec réflexions non parfaites sa qualification de « pseudo-stationnaire »[39].

Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie dans la condition où on observerait la résonance si les réflexions étaient parfaites[modifier | modifier le wikicode]

     Nous nous proposons de simplifier l'expression de [47] dans la « condition de résonance de l'onde résultante superposant les 1ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions parfaites sur le vibreur et n sur la poulie »[41] en admettant que cette condition traduit, dans le cas de réflexions non parfaites, une « hypothétique résonance »[48] ;

     Nous nous proposons de simplifier l'expression de l'amplitude de l'onde résultante superposant les 1ers couples d'ondes pseudo-stationnaires[39] successives après réflexions sur le vibreur et sur la poulie dans la « condition d'hypothétique résonance »[48] et

                Nous nous proposons de simplifier celle de la phase de cette onde résultante superposant les 1ers couples d'ondes pseudo-stationnaires[39] successives après réflexions sur le vibreur et sur la poulie dans cette même « condition d'hypothétique résonance »[48] puis

     Nous nous proposons de réécrire l'expression de dans cette même « condition d'hypothétique résonance »[48].

Étude de l'onde résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie dans la condition où on observerait la résonance si les réflexions étaient parfaites[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant vérifié, dans la solution de la question « évaluation de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie » plus haut dans cet exercice,
     Ayant vérifié, l'existence, aux mêmes positions, des ventres de vibration ainsi que des « pseudo-nœuds »[31] remplaçant les nœuds de l'onde résultante dans le cas de réflexions parfaites d'une part, et
     Ayant vérifié, que les points d'un même « fuseau » limité par deux « pseudo-nœuds »[31] consécutifs ne vibrent pas rigoureusement en phase d'autre part,

     préciser l'amplitude aux ventres et celle aux « pseudo-nœuds »[31] dans la « condition d'hypothétique résonance »[48] c'est-à-dire la « condition de résonance de l'onde résultante superposant les 1ers couples d'ondes stationnaires successives après réflexions parfaites sur le vibreur et sur la poulie »[41] et

     préciser leur limite respective quand le nombre de réflexions sur la poulie est très grand[49] théoriquement infini.

Évaluation des cœfficients de réflexion sur la poulie et sur le vibreur[modifier | modifier le wikicode]

     Expérimentalement la mesure de l'« amplitude aux ventres » donnant la valeur de «» et
              Expérimentalementcelle de l'« amplitude aux “ pseudo-nœuds ”[31] » la valeur de «»,

     Expérimentalementen déduire les valeurs des cœfficients de réflexion sur la poulie et sur le vibreur ;

     commenter en précisant la puissance renvoyée par la réflexion sur la poulie ou sur le vibreur sachant que la puissance transportée par une onde progressive est au signal de cette onde.

Étude des modes propres d'une corde de Melde[modifier | modifier le wikicode]

Étude théorique[modifier | modifier le wikicode]

     Dans l'expérience de la corde de Melde[1], le vibreur, relié à l'extrémité de la corde, effectue des oscillations verticales sinusoïdales d'amplitude , «» ;
         Dans l'expérience de la corde de Melde, la corde, dans sa position de repos, est horizontale, de longueur , de masse linéique , fixée à l'autre extrémité et de tension , son point générique étant d'abscisse repérée à partir de choisi comme origine de l'axe confondu avec la position de repos de la corde et orienté vers l'extrémité fixe de celle-ci.

Déplacement instantané en tout point de la corde[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer le déplacement de tout point d'abscisse de la corde à l'instant .

Valeurs de fréquences de résonance[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer les valeurs des fréquences de résonance ;

     interpréter et commenter ce phénomène de résonance ;

     quels seraient les fréquences propres ainsi que les modes propres associés à une corde identique c'est-à-dire de même longueur, même masse linéique et même tension fixée aux deux extrémités ?

Étude expérimentale[modifier | modifier le wikicode]

     Dans une expérience de Melde[1], on suspend un solide de masse à l'extrémité initialement attachée et qui passe maintenant dans la gorge d'une poulie[61], on trouve alors les résultats suivants :
          Dans une expérience de Melde, pour une même longueur de la corde et une même masse de solide accroché à celle-ci, on a une fréquence de résonance de pour deux fuseaux et
          Dans une expérience de Melde, pour une même longueur de la corde et une même masse de solide accroché à celle-ci, on a une fréquence de résonance de pour trois fuseaux.

Autres valeurs de fréquences de résonance[modifier | modifier le wikicode]

     Les valeurs numériques des fréquences de résonance observées sont-elles compatibles entre elles ?

     Dans le cas d'une réponse positive, préciser les valeurs de fréquences de résonance suivantes.

Détermination de la célérité de propagation des ondes sur cette corde[modifier | modifier le wikicode]

     La longueur de la corde étant , en déduire la célérité de propagation d'une perturbation sur cette corde.

Détermination de la masse linéique de cette corde[modifier | modifier le wikicode]

     La masse du solide accroché à la corde étant , préciser la tension de la corde puis

     La masse du solide accroché à la corde étant , déterminer un ordre de grandeur de la masse linéique de cette corde.

     Rappel : on démontre[62] que la célérité de propagation des ondes sur une corde ne dépend que de la masse linéique et de la tension de cette corde selon «»[63].

Anharmonicité d'une corde de piano[modifier | modifier le wikicode]

     Nous nous intéressons aux modes propres d'une corde de piano de longueur , fixée en ses deux extrémités et
     Nous supposons que les pulsations spatiale et temporelle d'une onde se propageant le long de cette corde sont liées par «» où « et dépendent de la matière composant la corde, de la section de cette dernière et de sa tension mais pas de sa longueur » le « cœfficient étant dû à la raideur de la corde »[65].

Détermination des unités de c et α par considérations dimensionnelles[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer, par considérations dimensionnelles, les unités de et de la relation «» dans laquelle et sont respectivement les pulsations spatiale et temporelle d'une onde transversale se propageant le long de la corde considérée puis,

     commenter les résultats obtenus.

Détermination des valeurs possibles de pulsation spatiale et de fréquence (temporelle) lors de l'établissement d'une onde stationnaire le long de la corde envisagée[modifier | modifier le wikicode]

     Supposant une onde stationnaire établie le long de la corde considérée, déterminer les « valeurs possibles de pulsation spatiale » et

     Supposant une onde stationnaire établie le long de la corde considérée, préciser les « fréquences temporelles correspondantes en fonction, entre autres, de , et ».

Anharmonicité des cordes de piano quand celles-ci ont de la raideur et méthode pour diminuer leur anharmonicité[modifier | modifier le wikicode]

     D'après les valeurs possibles de fréquence temporelle d'une corde de piano ayant de la raideur, nous constatons que la fréquence d'un harmonique de rang non unitaire n'est pas multiple de la fréquence fondamentale[69], on parle alors d'« anharmonicité », cette dernière altérant la qualité du son ;

     expliquer pourquoi, allonger les cordes d'un piano, permet d'améliorer la qualité du son qu'elle engendre[70].

Fréquences propres d'un tuyau sonore[modifier | modifier le wikicode]

     La colonne d'air contenue dans un instrument à vent flûte, clarinette ou dans un tuyau d'orgue vibre selon des « modes propres correspondant à des C.A.L[4]. données » ; dans une modélisation très simple on envisage deux types de conditions suivant que l'extrémité est ouverte ou fermée.

C.A.L. sur la surpression acoustique de la colonne d'air suivant la nature « ouverte ou fermée » de l'extrémité considérée[modifier | modifier le wikicode]

     Rappelez la C.A.L[4]. sur la surpression acoustique de la colonne d'air suivant la nature « ouverte ou fermée » de l'extrémité considérée[72].

Modes propres de vibration d'une colonne d'air de longueur fixée et de célérité de propagation des vibrations connue[modifier | modifier le wikicode]

     Nous étudions les modes propres de vibration dans un tuyau de longueur «» fixée dans lequel la célérité de propagation des ondes est «» connue.

Détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsque ses deux extrémités sont ouvertes[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer les fréquences des modes propres du tuyau lorsque ses deux extrémités sont ouvertes puis

     représenter schématiquement la surpression acoustique dans le tuyau pour le 3ème mode c'est-à-dire pour l'« harmonique de rang ».

Détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsqu'une de ses deux extrémités est fermée, l'autre étant ouverte[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer les fréquences des modes propres du tuyau lorsqu'une de ses deux extrémités est fermée, l'autre étant ouverte puis

     représenter schématiquement la surpression acoustique dans le tuyau pour le 3ème mode c'est-à-dire pour l'« harmonique de rang » justifier cette dernière assertion.

Étude de grandes orgues[modifier | modifier le wikicode]

     Sachant que des grandes orgues peuvent produire des notes très graves, calculer la longueur d'onde d'un son de fréquence «», correspondant au « Do0 »,
     Sachant que des grandes orgues peuvent produire des notes très graves, calculer la longueur d'onde en prenant la valeur de la célérité du son à dans l'air égale à «» ainsi que

     Sachant que des grandes orgues peuvent produire des notes très graves, calculer la longueur minimale du tuyau produisant cette note.

Modélisation d'une clarinette[modifier | modifier le wikicode]

     Nous supposons qu'une clarinette peut être modélisée très grossièrement par un tube fermé au niveau de l'embouchure et ouvert à son autre extrémité de l'instrument.

Recherche des harmoniques sonores produits par une clarinette[modifier | modifier le wikicode]

     Expliquer pourquoi le son produit par une clarinette ne comporte que des harmoniques de rang impair.

Influence d'une « clé de douzième » sur les fréquences propres sonores émises par une clarinette[modifier | modifier le wikicode]

     Toute clarinette est munie d'une « clé de douzième » ouvrant un trou situé à «» de l'embouchure.

     Quelles sont dans ce cas, les longueurs d'ondes des modes propres du tuyau modélisant la clarinette entre embouchure et « clé de douzième » ?

     Quel est l'effet de l'ouverture du trou sur la fréquence du son émis par l'instrument faire une application numérique en considérant une « clarinette en si bémol » de longueur «» de façon à comparer concrètement la fréquence émise lorsque le trou est ouvert à celle émise lorsqu'il est bouché ?

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 et 1,2 Franz Melde (1832 - 1901) physicien et professeur d'université allemand, essentiellement connu pour être l'auteur de l'expérience connue sous le nom d'expérience de Melde.
  2. Choisi comme origine de l'axe , ce dernier étant orienté vers l'autre extrémité c'est-à-dire la poulie.
  3. La tension de la corde est alors est l'intensité du champ de pesanteur local.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 et 4,8 Condition À la Limite ou Conditions Aux Limites.
  5. En effet .
  6. 6,0 et 6,1 Pour cela on peut s'aider du paragraphe « interprétation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées pour des fréquences particulières » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  7. Nous ne tenons pas compte des deux réflexions qui induisent un déphasage supplémentaire de car ce déphasage ne change pas l'état vibratoire.
  8. Voir l'expression de dans la solution de la question « expression de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie » plus haut dans cet exercice.
  9. 9,0 et 9,1 Voir le paragraphe « somme des 1ers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang n (à retenir S[1, n]) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  10. 10,0 et 10,1 Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne, surtout connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps ;
       en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
  11. 11,0 11,1 et 11,2 La formule d'Euler d'origine est mais les deux formules qui en découlent définissant le cosinus « » et le sinus « » sont encore appelées « formules d'Euler ».
  12. En fait la « condition de résonance » telle qu'elle a été déterminée au paragraphe « conditions de résonance (c'est-à-dire conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'onde stationnaires sinusoïdales) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » annule aussi le numérateur de l'amplitude aux ventres, ce qui conduit donc à une forme indéterminée qu'il conviendrait de lever ;
       cette levée d'indétermination qu'il n'est pas demandé de faire conduit à une très grande valeur d'amplitude aux ventres qu'il est licite de considérer comme maximale.
  13. 13,0 et 13,1 Voir la solution de la question évaluation de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie plus haut dans cet exercice.
  14. Correspondant à une « abscisse telle que ».
  15. On admet que cela correspond effectivement à une valeur maximale.
  16. Quand l'angle en radian est de valeur absolue petite c'est-à-dire quand , on peut confondre la valeur de son sinus avec sa valeur en radian c'est-à-dire .
  17. Le signal de l'onde incidente au point et à l'instant étant .
  18. La phase sera déterminée en précisant son cosinus et son sinus.
  19. 19,0 19,1 19,2 et 19,3 Ces positions étant aux endroits des nœuds, on peut les appeler des « pseudo-nœuds ».
  20. Voir le paragraphe « amplitude et phase initiale résultantes en terme d'amplitude complexe » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  21. Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.
  22. Voir le paragraphe « amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  23. 23,0 23,1 et 23,2 En physique, le complexe conjugué de est noté , voir le paragraphe « notion de complexe conjugué » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  24. 24,0 et 24,1 En effet le conjugué d'un produit ou d'un quotient de complexes est le produit ou le quotient des conjugués de chaque complexe et le conjugué d'une somme ou d'une différence de complexes est la somme ou la différence des conjugués de chaque complexe, conséquences du paragraphe « forme trigonométrique d'un complexe, module et argument » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  25. 25,0 25,1 et 25,2 L'argument d'un produit ou d'un quotient de complexes étant la somme ou la différence des arguments de chaque complexe, conséquence du paragraphe « forme trigonométrique d'un complexe, module et argument » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  26. 26,0 et 26,1 Voir le paragraphe « détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  27. 27,0 et 27,1 Voir le paragraphe « détermination de l'argument (d'un complexe de forme algébrique connue) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  28. En effet le module de est .
  29. C.-à-d. que tous les fuseaux sont identiques de longueur .
  30. Voir le paragraphe « détermination de l'onde résultante par emploi des formules de trigonométrie » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », le signal de l'onde résultante s'écrivant « », la position des ventres est telle que ou soit ou ou encore sachant que et en posant soit finalement ce qui est effectivement le même résultat qu'avec une réflexion non parfaite sur la poulie ;
       toutefois l'« amplitude » aux ventres n'est pas la même, elle vaut, dans le cas d'une réflexion non parfaite, au lieu de dans le cas d'une réflexion parfaite.
  31. 31,00 31,01 31,02 31,03 31,04 31,05 31,06 31,07 31,08 31,09 31,10 31,11 31,12 31,13 31,14 31,15 31,16 31,17 31,18 et 31,19 « Pseudo-nœuds » et non « nœuds » car des nœuds ne peuvent pas vibrer alors que ces points vibrent avec une amplitude minimale.
  32. Voir le paragraphe « détermination de l'onde résultante par emploi des formules de trigonométrie » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », le signal de l'onde résultante s'écrivant « », la position des nœuds est telle que ou soit ou ou encore sachant que soit finalement ce qui est effectivement le même résultat qu'avec une réflexion non parfaite sur la poulie ;
       toutefois l'« amplitude » aux « pseudo-nœuds » n'est pas nulle, elle vaut, dans le cas d'une réflexion non parfaite, au lieu de dans le cas d'une réflexion parfaite.
  33. On peut, par contre, vérifier qu'un cœfficient de réflexion sur la poulie parfait c'est-à-dire implique que les points entre deux pseudo-nœuds consécutifs vibrent en phase, en effet :
       d'une part, la pseudo-amplitude se simplifie, avec , selon après utilisation de la formule de duplication trigonométrique , soit et
       d'autre part, avec , après utilisation des formules d'antilinéarisation trigonométriques de Simpson , ou « avec » soit
       d'autre part pour «» d'où « indépendant de » et
       d'autre part pour «» d'où « indépendant de et déphasé de par rapport aux points précédents ».
       Thomas Simpson (1710 - 1761) mathématicien anglais autodidacte, essentiellement connu pour ses formules de transformation trigonométrique de produits en sommes et de sommes en produits et pour sa méthode d'évaluation approchée des aires planes portant son nom.
  34. Le signal de l'onde réfléchie sur la poulie au point et à l'instant étant .
  35. La détermination de l'expression de à partir de celle de se fait exactement de la même façon que la détermination de l'expression de à partir de celle de , voir la question « étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r) » plus haut dans cet exercice.
  36. La phase sera déterminée en précisant son cosinus et son sinus.
  37. 37,00 37,01 37,02 37,03 37,04 37,05 37,06 37,07 37,08 37,09 37,10 37,11 37,12 37,13 37,14 et 37,15 Voir l'expression de dans la solution de la question « étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r) » plus haut dans cet exercice.
  38. 38,00 38,01 38,02 38,03 38,04 38,05 38,06 38,07 38,08 38,09 38,10 38,11 38,12 et 38,13 Voir l'expression de dans la solution de la question « étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r) » plus haut dans cet exercice.
  39. 39,00 39,01 39,02 39,03 39,04 39,05 39,06 39,07 39,08 39,09 39,10 et 39,11 Ondes résultantes qualifiées de « pseudo-stationnaires » car les points de vibration d'amplitude minimale ne sont pas des nœuds nécessitant que l'amplitude minimale soit nulle d'où leur qualification de pseudo-nœud et les points d'un même fuseau ne vibrent pas a priori en phase.
  40. Voir la solution de la question « itération du procédé (dans le cas de réflexions non parfaites sur la poulie et le vibreur) » plus haut dans cet exercice.
  41. 41,0 41,1 41,2 41,3 41,4 41,5 41,6 41,7 et 41,8 Voir la solution de la question « étude de l'onde stationnaire résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie (dans le cas de réflexions idéales) » plus haut dans cet exercice.
  42. Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  43. Pour déterminer la position des ventres de vibration dans le cas de réflexions non parfaites il suffisait de dire, dans la mesure où l'onde résultante est la superposition de toutes les ondes pseudo-stationnaires , que la position des ventres de vibration de l'onde résultante est la position commune des ventres de vibration de chaque onde psudo-stationnaire voir la solution des questions « étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r) » et « itération du procédé (établissant la même propriété pour l'onde “ q ”) » plus haut dans cet exercice.
  44. En effet «» «» avec .
  45. Pour déterminer la position des pseudo-nœuds de vibration dans le cas de réflexions non parfaites il suffisait de dire, dans la mesure où l'onde résultante est la superposition de toutes les ondes pseudo-stationnaires , que la position des pseudo-nœuds de vibration de l'onde résultante est la position commune des pseudo-nœuds de vibration de chaque onde psudo-stationnaire voir la solution des questions « étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r) » et « itération du procédé (établissant la même propriété pour l'onde “ q ”) » plus haut dans cet exercice.
  46. En effet «» «» avec .
  47. 47,0 47,1 47,2 47,3 47,4 et 47,5 Voir la solution de la question « évaluation de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes pseudo-stationnaires succesives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie » plus haut dans cet exercice.
  48. 48,00 48,01 48,02 48,03 48,04 48,05 48,06 48,07 48,08 48,09 et 48,10 Une condition de résonance impliquant nécessairement que l'amplitude aux ventres est maximale ce qui est effectivement le cas quand les réflexions sur le vibreur et la poulie sont parfaites, nous ne pouvons pas assurer au moins pour l'instant et peut être que ce n'est effectivement pas le cas que l'amplitude aux ventres est maximale pour cette condition d'où le qualificatif « hypothétique ».
  49. 49,0 49,1 49,2 et 49,3 Le nombre de réflexions sur le vibreur est aussi très grand.
  50. 50,0 et 50,1 Voir la solution de la question « étude de l'onde résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie dans la condition où on observerait la résonance si les réflexions étaient parfaites » plus haut dans cet exercice.
  51. Le caractère stationnaire doit être caractérisé par l'absence de dépendance de la phase initiale avec , or ici ce n'est pas le cas, les phases initiales contiennent des termes en et en traduisant la propagation vers les et .
  52. On utilise la formule de trigonométrie puis
       on identifie la forme développée de à soit pour tout d'où les deux relations.
  53. En fait deux choix restent possibles parmi les déterminations principales de la phase initiale c'est-à-dire les déterminations , nous choisissons la plus simple, l'autre correspondrait à un changement de signe du cœfficient devant le cosinus.
  54. Le choix de aurait conduit à la réécriture de la C.A.L. suivant .
  55. Le choix de aurait donné .
  56. Le choix de conduisait à c'est-à-dire la même expression après simplification.
  57. Toutefois cette condition entraîne une amplitude aux ventres infinie, ce qui ne respecte pas le caractère constant de la longueur de la corde, il conviendrait alors d'introduire des éléments limitant cette amplitude, comme l'amortissement des perturbations lors de leur propagation dû à des forces de frottement et aussi la raideur de la corde ;
       en ce qui concerne ce dernier point, la corde a été considérée comme infiniment élastique c'est-à-dire que sa raideur a été supposée nulle ainsi une force quasi nulle et par suite un apport d'énergie quasi nul sont suffisants pour provoquer un allongement fini de la corde, ceci ayant pour conséquence la non limitation de l'amplitude aux ventres lors de la résonance, mais dès lors que l'on envisage une raideur non nulle pour la corde, une limitation apparaît due au fait qu'une partie de l'apport d'énergie doit être utilisée pour constituer la réserve d'énergie potentielle élastique de la corde ;
       l'étude d'une corde possédant une raideur ne sera pas abordée à notre niveau, nous ne soulèverons donc pas plus la difficulté d'une amplitude aux ventres infinie lors de la résonance.
  58. Cette dernière forme est équivalente à .
  59. 59,0 59,1 59,2 59,3 59,4 59,5 59,6 et 59,7 Voir la définition dans le paragraphe « caractérisation d'une résonance par quantification de la fréquence » plus loin dans ce chapitre.
  60. 60,0 et 60,1 Voir le paragraphe « recherche des ondes stationnaires libres, notion de fréquences propres et de modes propres » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  61. Cela permet de tendre la corde et simultanément de connaître sa tension, l'expérience se passant sur Terre où l'intensité de la pesanteur est on suppose que la tension est suffisante pour que le point de contact de la corde sur la poulie reste fixe.
  62. Mais on l'admet à ce niveau.
  63. On vérifie l'homogénéité de la formule, s'exprimant en , est donc en et par suite la racine carrée effectivement en .
  64. Il ne s'agit que d'un ordre de grandeur, la précision sur la célérité de propagation d'une perturbation n'étant pas assurée.
  65. Il serait nul pour une corde parfaitement souple comme la corde de Melde.
  66. La pulsation temporelle s'exprimant en et la pulsation spatiale en .
  67. 67,0 et 67,1 On rappelle que le n'est pas une unité à comptabiliser dans les dimensions de la physique, raison pour laquelle cette unité est rayée.
  68. Nous retrouvons les fréquence propres d'une corde sans raideur «» en faisant dans l'expression de et
       Nous constatons que la raideur a une influence d'autant plus importante que le rang de l'harmonique est élevé, cette influence correspondant au facteur multiplicatif «».
  69. Voir la solution de la question « détermination des valeurs possibles de pulsation spatiale et de fréquence (temporelle) lors de l'établissement d'une onde stationnaire le long de la corde envisagée » plus haut dans cet exercice.
  70. Raison pour laquelle les cordes d'un piano de concert sont plus longues que les cordes d'un piano de salon.
  71. De même la fréquence de l'harmonique de rang de cette corde allongée étant c'est-à-dire la fréquence de l'harmonique de rang de la corde non allongée nous retrouvons la même « anharmonicité » pour cette fréquence
  72. Voir le paragraphe « propriétés d'une extrémité d'un tuyau sonore suivant qu'elle est ouverte ou fermée » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  73. En effet on peut montrer mais on admet ici que nœuds d'« élongation de tranche d'air » et ventres de « surpression acoustique » sont confondus pour des ondes stationnaires, comme une extrémité fermée correspond nécessairement à un nœud d'élongation, il s'agit donc d'un ventre de surpression.
  74. Voir le paragraphe « les deux extrémités étant ouvertes (exemple des orgues) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  75. Voir le paragraphe « une extrémité ouverte et l'autre fermée (exemple des clarinettes) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  76. 76,0 et 76,1 Voir la solution de la question « détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsqu'une de ses deux extrémités est fermée, l'autre étant ouverte » plus haut dans cet exercice.
  77. En effet la longueur restante étant la distance entre deux trous en lesquels doivent être observés des nœuds de surpression, revoir la solution de la question « détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsque ses deux extrémités sont ouvertes » plus haut dans cet exercices.
  78. Il s'agit d'un «» voir le tableau “fréquences des notes (en hertz) dans la gamme tempérée (tempérament égal)” du paragraphe fréquence d'une note - physique du son (acoustique) de wikipédia d'où le nom de la clarinette.
  79. Il s'agit d'un «» voir le tableau “fréquences des notes (en hertz) dans la gamme tempérée (tempérament égal)” du paragraphe fréquence d'une note - physique du son (acoustique) de wikipédia.