Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateur harmonique

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Oscillateur harmonique
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Exercices no1
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Oscillateur harmonique

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateur harmonique
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Ajout d'une surcharge à un pendule élastique vertical non amorti[modifier | modifier le wikicode]

......Soit un disque de masse suspendu à un ressort idéal vertical de raideur et de longueur à vide [1].

......À l'équilibre on pose sur le disque un « tore » [2] de même masse.

......Déterminer l'allongement maximal du ressort ainsi que la période d'oscillation.

Ressorts montés en parallèle, ressorts montés en série[modifier | modifier le wikicode]

......On dispose d'un solide de masse et de deux ressorts idéaux de raideur et  ; on négligera tout frottement.

Ressorts d'axes verticaux montés en parallèle[modifier | modifier le wikicode]

......Les deux extrémités supérieures des ressorts sont fixes et les deux extrémités inférieures sont liées au solide (le solide ayant un mouvement de translation vertical, les ressorts ont donc constamment même longueur).

......Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique et déterminer la période des oscillations ;

......vérifier que l'ensemble des deux ressorts montés en parallèle sont équivalents à un ressort unique dont on précisera la raideur en fonction de et .

Ressorts d'axe commun vertical montés en série[modifier | modifier le wikicode]

......L'extrémité supérieure du ressort supérieur est fixe et son extrémité inférieure est reliée à l'extrémité supérieure de ressort inférieur , l'extrémité inférieure de ce dernier étant reliée au solide (dont on n'envisage que les mouvements de translation verticale).

......Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique et déterminer la période des oscillations ;

......vérifier que l'ensemble des deux ressorts montés en série est équivalent à un ressort unique dont on précisera la raideur en fonction de et .

Modes propres d'un oscillateur à deux ressorts[modifier | modifier le wikicode]

Disposition des deux oscillateurs harmoniques couplés

......Considérons deux mobiles et , de même masse , supposés ponctuels, et astreints à glisser sur un plan horizontal dans la direction . Le mobile est accroché à un point fixe , par l'intermédiaire d'un ressort de raideur et de longueur à vide . Le mobile est accroché au mobile par l'intermédiaire d'un ressort identique au précédent. Tous les frottements sont négligés (voir schéma ci-contre).

Mise en équations de l'oscillateur à deux ressorts[modifier | modifier le wikicode]

......Établir les équations différentielles du mouvement vérifiées par les positions et des mobiles et par rapport à . On notera que ces équations différentielles sont couplées, c'est-à-dire que l'équation différentielle en contient des termes en et vice versa.

Détermination des modes propres d'oscillation[modifier | modifier le wikicode]

......On pose et .

Réécriture du système d'équations différentielles couplées dans ce nouveau repérage et interprétation physique[modifier | modifier le wikicode]

......Justifier le choix des grandeurs et en donnant leur interprétation physique.

Mise en équation des modes propres d'oscillation[modifier | modifier le wikicode]

......On étudie les mouvements oscillatoires harmoniques possibles des deux mobiles à la même pulsation en l'absence de frottements (appelés « modes propres »).

......En choisissant , montrer qu'on obtient dans ce cas le système est une grandeur qu'on explicitera en fonction de et .

Détermination des pulsations propres d'oscillation[modifier | modifier le wikicode]

......En déduire les solutions et (pulsations propres des oscillateurs couplés) correspondant aux valeurs de recherchées.

Détermination des modes propres correspondant aux pulsations propres d'oscillation[modifier | modifier le wikicode]

......Préciser, pour chaque pulsation propre, le mode propre d'oscillations c'est-à-dire le lien entre et , en particulier on précisera le lien entre leurs amplitudes et leurs phases.

Découplage du système d'équations différentielles couplées de l'oscillateur à deux ressorts et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......Reprenant le système d'équations différentielles couplées en et , nous nous proposons de « le découpler » [24] de façon à le résoudre d'une part et d'autre part de voir quel est le lien de ce découplage avec la recherche des modes propres d'oscillation de l'oscillateur à deux ressorts.

Découplage par combinaison linéaire des deux équations différentielles couplées[modifier | modifier le wikicode]

......Le système d'équations différentielles couplées étant mis sous la forme [25], étant des cœfficients précédemment trouvés,
............former la combinaison linéaire dans le but de poser comme nouvelle variable, et
............mettre cette C.L. [26] sous la forme , dépendant de ainsi que des cœfficients numériques des équations différentielles [27] ;

............le système d'équations différentielles sera découplé si est proportionnel à et proportionnel à avec le même cœfficient de proportionnalité c'est-à-dire si ou si , en déduire l'équation du 2e degré en pour qu'il en soit ainsi et la résoudre [28] ;

............proposer alors deux nouvelles variables et [29] et réécrire le système d'équations différentielles découplées en et .

Résolution du système d'équations différentielles découplées[modifier | modifier le wikicode]

......Résoudre le système d'équations différentielles découplées en et et préciser les pulsations propres correspondant aux deux oscillateurs découplés ;

......comparer aux pulsations propres de l'oscillateur à deux ressorts,

Retour aux variables d'origine[modifier | modifier le wikicode]

......Déduire de la résolution du système d'équations différentielles découplées les expressions des variables et puis retrouver les modes propres d'oscillation de l'oscillateur harmonique à deux ressorts.

Pendule élastique vertical non amorti[modifier | modifier le wikicode]

Schémas du ressort à vide et du ressort vertical à charge

......On considère un ressort idéal, d'axe vertical, de raideur et de longueur à vide , dont l'extrémité supérieure est fixe et dont l'extrémité inférieure est liée à un objet de masse , se déplaçant sans frottements le long de l'axe vertical .

......On note le champ de pesanteur uniforme étant un vecteur unitaire vertical descendant).

Équation du mouvement et équilibre[modifier | modifier le wikicode]

............Établir l'équation différentielle vérifiée par la cote [36] de l'objet de masse  ;

..................en déduire sa position d'équilibre .

............Posant , réécrire la nouvelle équation différentielle vérifiée par .

..................Commenter le résultat obtenu.

............L'objet étant lâché à depuis sa position d'équilibre avec une vitesse initiale , déterminer l'expression de pour tout .

Énergie[modifier | modifier le wikicode]

............Le mouvement de l'objet étant vertical, son énergie potentielle comporte, non seulement un terme d'« énergie potentielle élastique » [37], mais aussi un terme d'énergie potentielle de pesanteur [38].

............Montrer que l'énergie potentielle totale peut être mise sous la forme  ;

..................choisissant comme référence de l'énergie potentielle totale, la position d'équilibre de l'objet , que vaut, dans ce cas,  ?

............En utilisant l'expression de trouvée précédemment, en déduire l'expression de l'énergie mécanique de l'objet en fonction de , et  ;

..................commenter le résultat obtenu.

............On démontre, en mécanique, qu'en absence de frottements et d'apport d'énergie de l'extérieur, l'énergie mécanique d'un objet est conservée ; utiliser cette propriété pour établir une intégrale première du mouvement de l'objet en fonction de , , , et  ;

..................en déduire l'équation différentielle du 2e ordre vérifiée par [39].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Un oscillateur formé d'un ressort à une extrémité duquel est lié un objet est appelé « pendule élastique ».
  2. Un tore est un solide de révolution d'axe dont la méridienne c'est-à-dire la surface qu'il faut faire tourner autour de pour obtenir le solide de révolution est un disque coplanaire à l'axe et telle que ce dernier ne coupe pas le disque ; c'est donc « un anneau à section circulaire ».
  3. On rappelle qu'un allongement est défini par rapport à la longueur à vide.
  4. L'ensemble ayant une masse de .
  5. C'est-à-dire sous forme constante.
  6. Cette position est encore la position d'équilibre du disque sans le tore.
  7. Pour que le solide se déplace verticalement alors que les tensions des deux ressorts à chaque instant sont a priori différentes, il est nécessaire qu'il soit guidé verticalement ; il y a donc présence de composantes de réaction de ce guide sur le solide mais nous supposerons que ces composantes sont sans action sur son mouvement, ce qui nécessite qu'elles soient horizontales à tout instant donc sans frottement ;
    ......toutefois si les tensions des ressorts à chaque instant ne sont pas égales, il semble vraisemblable qu'il y ait un léger basculement induisant nécessairement un frottement sur le guide et donc il semble difficile de supposer l'absence de frottement …
    ......Même si le résultat obtenu dans le cas de deux ressorts différents est théoriquement correct en absence de frottement, il est pratiquement applicable uniquement dans le cas de deux ressorts identiques.
  8. Obtenue en écrivant que la somme des forces est nulle ou encore, l'origine de l'axe ayant été choisie en la position d'équilibre, en écrivant que l'on doit avoir simultanément pour tout , et .
  9. Par rapport à l'allongement à l'équilibre du ressort quand descend de , l'allongement augmente et quand descend de , l'allongement diminue.
  10. Obtenue écrivant que la somme des forces à l'équilibre est nulle ou en imposant , et dans l'équation différentielle du mouvement de .
  11. L'équation différentielle en dépendant de , elle nécessite, avant de chercher à la résoudre, de savoir comment varie , c'est-à-dire de déterminer l'équation différentielle en .
  12. Le point ayant une masse nulle, son accélération n'intervient pas dans la r.f.d.n..
  13. Obtenue en écrivant que la somme des forces à l'équilibre est nulle ou en imposant et dans l'équation du mouvement de .
  14. Si le point avait une masse non nulle, son accélération interviendrait dans l'application de la r.f.d.n. et le lien entre et  que l'on déduirait serait une équation différentielle en dépendant de  ; on obtiendrait alors deux équations différentielles l'une en dépendant de et l'autre en dépendant de , l'ensemble des deux équations différentielles constituerait alors un système d'équations différentielles couplées, le qualificatif « couplé » signifiant que les équations différentielles ne peuvent être résolus que simultanément.
  15. Les forces verticales (poids et réactions du plan) se compensent et, bien qu'existantes, elles ne sont pas indiquées sur le schéma, mais bien entendu elles ne doivent pas être oubliées.
  16. Les équations différentielles sont effectivement couplées, la résolution de l'équation différentielle en nécessite de connaître et la résolution de l'équation différentielle en nécessite de connaître  ; on ne peut donc pas a priori résoudre l'une indépendamment de l'autre ; ici nous n'envisagerons pas la résolution dans le cas général mais chercherons un couple de solutions particulières sinusoïdales de même fréquence.
  17. Correspondant aux ressorts et ayant leur longueur à vide.
  18. La solution triviale correspondant à l'absence de mouvement de et est évidemment à rejeter.
  19. Équation bicarrée en c'est-à-dire équation du 2e degré en .
  20. On rappelle que le produit des racines du polynôme vaut et que la somme vaut .
  21. La C.N. pour l'existence d'une solution non triviale est que les équations soient liées (chacune d'elles étant multiple de l'autre).
  22. 22,0 et 22,1 Mais on pourrait prendre aussi bien la 1ère.
  23. En opposition de phase en effet d'où et .
  24. C'est-à-dire faire un changement de variables pour obtenir deux équations différentielles en ces nouvelles variables que l'on peut résoudre indépendamment l'une de l'autre.
  25. La méthode de découplage du système des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants utilisée (et rappelée ci-dessous) est exposée plus en détail dans le paragraphe « mise en pratique du découplage par combinaison linéaire » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  26. Combinaison linéaire.
  27. Cœfficients uniquement numériques car l'oscillateur à deux ressorts étant constitué de deux ressorts identiques et deux solides de même masse, il a été possible de mettre en facteur.
  28. Les solutions seront appelées et , la première étant la plus petite.
  29. Ces variables étant définies à une constante multiplicative arbitraire près, on choisira cette constante de façon à ne pas avoir de cœfficients fractionnaires.
  30. Les cœfficients sont donc , .
  31. Les cœfficients sont donc , .
  32. De façon à rendre le dénominateur de la fraction rationnel on multiplie haut et bas la fraction par le conjugué du dénominateur irrationnel à savoir car .
  33. De façon à rendre le dénominateur de la fraction rationnel on multiplie haut et bas la fraction par le conjugué du dénominateur irrationnel à savoir car .
  34. Ce qui est identique à car .
  35. Ce qui est identique à car .
  36. C'est-à-dire la position verticale (on rappelle que l'axe est orienté dans le sens descendant), voir figure ci-dessus.
  37. L'énergie potentielle élastique a été donnée en cours avec choix de sa référence « ressort à vide » ; si on choisit une autre référence, l'expression reste correcte à une additive près.
  38. D'une part la dépend du choix de la référence de l'énergie potentielle de pesanteur et d'autre part, le signe résulte du fait l'axe est orienté dans le sens descendant, ainsi, pour que l'énergie potentielle soit supérieure à (énergie potentielle de pesanteur au niveau de le signe implique que doit être en accord avec d'altitude supérieure à celle de .
  39. On vérifiera, bien entendu, l'accord avec le résultat précédemment trouvé.
  40. C'est-à-dire l'endroit où l'énergie potentielle totale est nulle.
  41. On rappelle que .
  42. Absence d'énergie potentielle totale initiale, la référence de l'énergie potentielle étant la position d'équilibre c'est-à-dire la position initiale.
  43. La simplification est possible dès lors où est exclu (pas de mouvement) ;
    ......mais il peut exister une valeur telle que , ce n'est pas gênant pour la simplification car ce n'est pas la fonction nulle, ce qu'on cherche c'est une équation différentielle qui doit être vérifiée pour tout .