Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon

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Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon
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Exercices no26
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Circuits électriques dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle
Exo suiv. :Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon
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Sommaire

Résistance de fuite d'un condensateur[modifier | modifier le wikicode]

......On charge un condensateur de capacité sous , puis

......on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance équivalente .

Décharge du condensateur à travers le voltmètre[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant le condensateur comme parfait, déterminer sachant qu'après 2 minutes, le voltmètre indique une différence de potentiel de .

......Si le condensateur possède une résistance de fuite , quelle relation doit-elle vérifier pour que le condensateur puisse être considéré comme parfait dans l'expérience précédente ?

Décharge du condensateur à travers sa résistance de fuite[modifier | modifier le wikicode]

......En fait la condition précédente n'est pas vérifiée car le condensateur présente une résistance de fuite de même ordre de grandeur que .

......Pour mesurer , nous isolons le condensateur après l'avoir rechargé sous et 2 minutes après, nous branchons le voltmètre à ses bornes pendant un court instant. Nous mesurons alors une différence de potentiel de .

......Déterminer et .

Condition pour que l'intensité du courant délivré par un générateur dans un circuit parallèle soit constante dès la fermeture de l'interrupteur[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un "R1 C série" en parallèle sur un "R2 L série" soumis à un échelon de tension d'amplitude E, réponse en intensité délivrée par la source

......On relie, par l'intermédiaire d'un interrupteur , un générateur de tension sans résistance interne et de f.e.m. à deux circuits montés en parallèle,

  • l'un, composé d'un condensateur parfait de capacité et d'un conducteur ohmique de résistance et
  • l'autre, d'une bobine parfaite d'auto-inductance et d'un conducteur ohmique de résistance  ;

......initialement le condensateur étant déchargé et la bobine n'étant traversée par aucun courant, on ferme l'interrupteur à [8] (voir schéma ci-contre).

Détermination de l'intensité du courant délivré par le générateur[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer les intensités et des courants traversant respectivement les dipôles série et série ;

......en déduire , l'intensité du courant délivré par la source.

Détermination de la condition pour que l'intensité du courant délivré par le générateur soit constante[modifier | modifier le wikicode]

......Quelle doit être la condition sur , , et pour que l'intensité du courant délivré par le générateur soit constante ?

Établissement d'un équilibre électrique entre un condensateur chargé et un déchargé[modifier | modifier le wikicode]

......On charge un condensateur de capacité sous la tension , et on relie ce condensateur ainsi chargé, puis isolé de la source de tension de charge, à un condensateur de capacité , initialement neutre, par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance .

Détermination des charges instantanées des condensateurs[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer les charges et des deux condensateurs et

......en déduire l'intensité du courant circulant dans le circuit.

Détermination directe de l'intensité du courant[modifier | modifier le wikicode]

......Reprendre l'exercice en déterminant directement l'intensité du courant circulant dans le circuit [24].

Oscillations de relaxation d'une lampe au néon[modifier | modifier le wikicode]

Circuit d'oscillations de relaxation d'une lampe au néon (de tension d'allumage Va, de tension d'extinction Ve et de résistance dynamique ρ) générées par la charge et la décharge d'un condensateur de capacité C soumis, à travers un conducteur ohmique de résistance R, à un échelon de tension d'amplitude E

......Notions préliminaires sur une lampe au néon :

  • une ampoule au néon ne s'allume que si la tension à laquelle elle est soumise est supérieure à sa tension d'allumage , soit , la lampe allumée étant alors équivalente à une résistance dynamique  ;
  • l'ampoule au néon ne s'éteint que si la tension à laquelle elle est soumise devient supérieure à sa tension d'extinction , soit , la lampe éteinte étant équivalente à un interrupteur ouvert [26].

......On considère le circuit ci-contre dans lequel on ferme l'interrupteur à [27], le condensateur étant déchargé pour .

Étude d'une 1ère phase de fonctionnement de la lampe et condition sur E pour qu'elle s'allume[modifier | modifier le wikicode]

......À la lampe étant évidemment éteinte, le condensateur se charge alors à travers le conducteur ohmique de résistance  ; déterminer la loi de variation de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte ;

......en déduire une condition sur l'amplitude de l'échelon de tension pour que la lampe s'allume et dans l'hypothèse où cette condition est réalisée,

......déterminer la durée de cette 1ère phase.

Étude d'une 2ème phase de fonctionnement de la lampe et choix de (E, R) pour qu'elle s'éteigne[modifier | modifier le wikicode]

......La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 2e phase et pour cela on fait un changement d'origine des temps  ;

......faire un schéma équivalent correspondant à la lampe au néon allumée et

......déterminer la loi de variation de la tension en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste allumée [29] ;

......en déduire une condition sur le choix de pour que la lampe s'éteigne et dans l'hypothèse où cette condition est réalisée,

......déterminer la durée de cette 2e phase.

Étude d'une 3ème phase de fonctionnement de la lampe et durée de cette 3ème phase[modifier | modifier le wikicode]

......La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 3e phase et pour cela on fait un nouveau changement d'origine des temps définissant  ;

......déterminer la loi de variation de la tension en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte ;

......déterminer la durée de cette 3e phase.

Oscillations de relaxation de la lampe au néon et explicitation de leur période[modifier | modifier le wikicode]

......La phase succédant à la précédente s'identifiant à la 2e phase, on observe, après une 1ère phase d'initiation, une succession périodique de 2e et 3e phases [31] ;

......déduire de ce qui précède la période des oscillations de relaxation de la lampe au néon et

......tracer l'allure du graphe de la tension .

Application numérique[modifier | modifier le wikicode]

......Calculer la période dans le cas où : , , , , et .

Changement d'état d'un circuit avec condensateurs parfaits[modifier | modifier le wikicode]

Charge et intensité du courant de charge de chaque condensateur d'une batterie « série et parallèle »[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'une batterie de condensateurs parfaits (initialement déchargés) en charge, à travers un conducteur ohmique de résistance R, sous une tension U0

......À la date , on établit la tension dans le circuit ci-contre, les condensateurs étant initialement déchargés ;

......exprimer les charges instantanées des divers condensateurs en fonction du temps. puis

......en déduire, également en fonction du temps, les intensités instantanées de chaque courant de charge de ces condensateurs.

......Propriété préliminaire pour simplifier la résolution de la question [33] :

  • association parallèle de deux condensateurs parfaits de capacité et équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente [34] ;
  • association série de deux condensateurs parfaits de capacité et équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente [35]

Ajout d'un condensateur initialement chargé[modifier | modifier le wikicode]

Ajout d'un condensateur chargé sous une tension U0 en parallèle sur le dernier condensateur d'une batterie de condensateurs initialement en équilibre sous la tension U0

......Une fois l'équilibre atteint, on branche entre et , par l'intermédiaire d'un interrupteur initialement [44] ouvert (voir schéma ci-contre) un condensateur de capacité , préalablement chargé sous la tension et on ferme l'interrupteur.

Établissement d'un équilibre quasi-instantané[modifier | modifier le wikicode]

......Montrer qu'immédiatement après fermeture de l'interrupteur , il s'établit un 1er équilibre quasi-instantané entre les quatre condensateurs, équilibre que l'on qualifiera de local dans la mesure où il se réalise sans circulation de courant dans la résistance [45] et

......déterminer les valeurs des charges des divers condensateurs après l'établissement de cet équilibre local quasi-instantané (l'instant de fin d'établissement de cet équilibre local sera noté ) ;

......quel risque encourent les fils de connexion ?

Évolution ultérieure[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer l'évolution ultérieure du système (intensités instantanées des courants de charge ainsi que charges instantanées des divers condensateurs en fonction du temps) et

......préciser son état final (charge de chaque condensateur ainsi que tension à ses bornes).

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Bien sûr il faut ajouter les schémas des circuits en définissant, sur ces derniers, toutes les grandeurs électriques introduites.
  2. Sens choisi tel que .
  3. De façon à avoir .
  4. J'insiste : il est impératif de faire un schéma.
  5. Instant d'isolement du condensateur de sa source de charge, le voltmètre étant déjà en parallèle sur le condensateur pendant la charge, reste seul branché quand on retire la source de charge.
  6. On travaille alors à .
  7. Continuité de dans un circuit réel à l'instant de branchement du voltmètre.
  8. Ainsi on impose aux deux circuits montés en parallèle un échelon de tension d'amplitude .
  9. À retrouver en dérivant l'équation de maille par rapport au temps et en divisant par pour normaliser.
  10. Par circuit à dans lequel on utilise la continuité de la tension aux bornes du condensateur dans ce circuit réel à l'instant , et comme le condensateur était initialement déchargé, il le reste encore à l'instant , on peut donc, à cet instant, remplacer le condensateur par un court-circuit (le circuit à doit être tracé effectivement) on retrouve aux bornes de d'où le résultat de par loi d'Ohm.
  11. À retrouver en écrivant l'équation de maille et en divisant par pour normaliser.
  12. En effet il y a continuité de l'intensité du courant traversant une bobine dans un circuit réel à l'instant , et comme celle-ci était initialement nulle, elle l'est encore à l'instant l'instant .
  13. On observe que la discontinuité de 1ère espèce de , l'intensité du courant traversant le condensateur à l'instant , se reporte sur , l'intensité du courant traversant la bobine étant continue à ce même instant.
  14. La 1ère condition est nécessaire pour que l'égalité soit réalisée pour tout car les exponentielles varient différemment suivant ce paramètre et la 2e pour que l'égalité soit aussi réalisée à l'instant .
  15. La dernière expression se déduisant de .
  16. Après la discontinuité de 1ère espèce à l'instant , les grandeurs sont telles qu'il n'y a plus de variation.
  17. Le sens de arrivant sur l'armature portant la charge .
  18. Le sens de partant de l'armature portant la charge .
  19. ayant la même homogénéité que et , peut être qualifiée de « capacité de condensateur équivalent à l'association envisagée ».
  20. C'est-à-dire la constante de temps du circuit série (ou parallèle).
  21. C'est-à-dire la constante de temps du circuit série (ou parallèle).
  22. Continuité de la charge d'un condensateur dans un circuit réel.
  23. Ou prendre l'opposé de la dérivée temporelle de .
  24. Directement c'est-à-dire sans chercher à expliciter au préalable les charges instantanées de l'un ou l'autre des deux condensateurs en fonction du temps mais on déterminant l'équation différentielle en puis en la résolvant.
  25. Résultant de la continuité de la tension aux bornes des condensateurs dans un circuit réel soit :
    • le condensateur de capacité étant initialement chargé sous tension , peut être remplacé, dans le circuit à , par une source de tension parfaite de f.e.m. ,
    • le condensateur de capacité étant initialement déchargé, peut être remplacé, dans le circuit à , par un court-circuit.
  26. La résistance dynamique de la lampe est alors infinie.
  27. On impose donc au réseau dipolaire passif « conducteur ohmique de résistance en série avec l'association parallèle du condensateur de capacité et de l'ampoule au néon » un échelon de tension d'amplitude
  28. S'obtenant par loi de maille et utilisation de avec, pour sens du courant traversant le condensateur de capacité , la convention récepteur associée à .
  29. Pour simplifier l'étude, il est intéressant de permuter les positions du condensateur et de la lampe au néon allumée dans le but de modéliser le R.D.L.A. aux bornes du condensateur …
  30. La lampe au néon s'allume effectivement une nouvelle fois car est une fonction continue de jusqu'à et, par théorème des valeurs intermédiaires, peut donc prendre la valeur comprise entre et .
  31. Cette succession constitue des oscillations de relaxation, c'est-à-dire des oscillations obtenues par augmentation continue d'une contrainte, puis relâchement subit de celle-ci ; si vous voulez observer une animation d'oscillations de relaxation d'une lampe au néon vous pouvez vous rendre sur le site http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Elec/Transitoire/neon_flash.html
  32. Plus précisément la 1ère phase dure , la 2e et la 3e .
  33. La propriété précise qu'une association parallèle ou série de condensateurs parfaits initialement non chargés est équivalente à un condensateur parfait ainsi que la valeur de la capacité équivalente relativement aux valeurs de chaque capacité.
  34. La tension instantanée commune aux bornes des deux condensateurs parfaits étant avec pour charges instantanées respectives de chaque condensateur et , on définit la charge instantanée de l'association parallèle des deux condensateurs par et cette association parallèle est équivalente à un condensateur parfait si avec un cœfficient de proportionnalité positif définissant la capacité équivalente ; on trouve ainsi d'où .
  35. Dans la mesure où l'association série des deux condensateurs est formée à partir de deux condensateurs non chargés, l'armature inférieure du 1er condensateur reliée à l'armature supérieure du 2e condensateur par un simple fil de connexion portent nécessairement des charges instantanées opposées quand les condensateurs sont devenus chargés [ainsi, appelant la charge instantanée de l'armature supérieure du 1er condensateur, la charge instantanée de son armature inférieure étant alors et celle de l'armature supérieure du 2e condensateur car opposée à la précédente, celle de son armature inférieure étant  ; la tension instantanée aux bornes du 1er condensateur parfait étant et celle aux bornes du 2e condensateur parfait , on définit la charge instantanée de l'association série des deux condensateurs par , la tension instantanée aux bornes de cette association série étant , cette association série est équivalente à un condensateur parfait si avec un cœfficient de proportionnalité positif définissant l'inverse de la capacité équivalente ; on trouve ainsi d'où donnant aisément .
  36. 36,0 et 36,1 Car des condensateurs parfaits montés en série et initialement déchargés ont la même charge instantanée, laquelle définit la charge instantanée de l'association série.
  37. Correspondant à deux condensateurs de même capacité soumis à la même tension.
  38. Circuit qu'il conviendrait de tracer effectivement.
  39. Obtenue par loi de maille avec la convention de charge du condensateur .
  40. Il s'agit de la charge du condensateur équivalent mais aussi de la charge du 3e condensateur.
  41. On rappelle le choix de la convention de charge du condensateur équivalent.
  42. C'est aussi l'intensité de charge du 3e condensateur.
  43. Cela résulte de que l'on dérive temporellement, avec choix de convention de charge pour chaque condensateur.
  44. L'instant initial étant, ici, n'importe quel instant après que l'équilibre avec les trois condensateurs précédents soit atteint.
  45. L'équilibre à envisager se réalisant dans un circuit non résistif, la continuité de la charge (et de la tension) aux bornes de chaque condensateur n'est donc pas applicable.
  46. L'instant précédant la fermeture de l'interrupteur étant noté .
  47. L'instant de fermeture de l'interrupteur étant noté .
  48. L'intensité du courant de décharge dans les fils étant infinie, ce n'est donc pas une situation réelle, et pour revenir à un cas réel, il faudrait tenir compte de la résistance des fils de connexion, le temps de décharge serait alors très petit mais non nul et, par suite, l'intensité très grande mais non infinie ; pour la pratique, cela ne changerait pas grand chose au fait que les fils fondraient, mais ici on reste dans la théorie avec des fils qui ne fondent jamais.
  49. L'instant postérieur à la fermeture de l'interrupteur à partir duquel un nouvel équilibre instantané s'est établi étant noté .
  50. 50,0 50,1 50,2 et 50,3 En notant .
  51. On a fait un changement d'origine des temps en posant est une durée supérieure à celle nécessaire pour que le 1er équilibre (sans ajout du 4e condensateur) soit réalisé c'est-à-dire .
  52. Ici on prend la convention de décharge car celle-ci conduit à une intensité de courant positive compte tenu de , la valeur de la tension initiale précédemment obtenue aux bornes du conducteur ohmique de résistance .
  53. En effet la solution est la somme de la solution forcée et de la solution libre.