Série et transformée de Fourier en physique/Exercices/Propriétés de la transformation de Fourier

Exercice 1-1

On considère une fonction $f$ intégrable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout réel $\xi$ :

${\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \xi t}\;\mathrm {d} t$.

1. Justifier que ${\widehat {f}}$ est définie et continue sur $\mathbb {R}$.
2. Soient $a\in \mathbb {R} ^{*}$ et $f_{a}(x)=f(ax)$. Exprimer ${\widehat {f_{a}}}$ en fonction de ${\widehat {f}}$.
3. Soient $t_{0}\in \mathbb {R}$ et $g_{t_{0}}(t)=f(t-t_{0})$. Exprimer ${\widehat {g_{t_{0}}}}$ en fonction de ${\widehat {f}}$.
4. Si $f$ est C¹ et $|f'|$ intégrable sur $\mathbb {R}$, exprimer ${\widehat {f'}}$ en fonction de ${\widehat {f}}$.

Solution

1. $|f(t)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \xi t}|=|f(t)|$ + théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre.
2. Si $a>0$, ${\widehat {f_{a}}}(\xi )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(at)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \xi t}\;\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{+\infty }f(s)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \xi s/a}\;{\frac {\mathrm {d} s}{a}}={\frac {1}{a}}{\widehat {f}}(\xi /a)$.
   Si $a<0$, ${\widehat {f_{a}}}(\xi )=\int _{+\infty }^{-\infty }f(s)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \xi s/a}\;{\frac {\mathrm {d} s}{a}}=-{\frac {1}{a}}{\widehat {f}}(\xi /a)$.
   En résumé : pour tout $a\neq 0$, ${\widehat {f_{a}}}(\xi )={\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}(\xi /a)$.
3. ${\widehat {g_{t_{0}}}}(\xi )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t-t_{0})\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \xi t}\;\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{+\infty }f(s)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \xi (t_{0}+s)}\;\mathrm {d} t=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \xi t_{0}}{\widehat {f}}(\xi )$.
4. ${\widehat {f'}}(\xi )=\int _{-\infty }^{+\infty }f'(t)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \xi t}\;\mathrm {d} t=\left[f(t)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \xi t}\right]_{-\infty }^{+\infty }+\mathrm {i} \xi \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \xi t}\;\mathrm {d} t=0+\mathrm {i} \xi {\widehat {f}}(\xi )$.
   En effet, $f$ est nulle à l'infini : par exemple en $+\infty$, $f$ admet une limite (égale à $f(0)+\int _{0}^{+\infty }f'$) et cette limite est nulle (car $f$ est supposée intégrable).