Leçons de niveau 14

Relation (mathématiques)/Exercices/Relation d'ordre

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Relation d'ordre
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Exercices no2
Leçon : Relation (mathématiques)

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Relation d'équivalence
Exo suiv. :Sommaire
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Relation (mathématiques)/Exercices/Relation d'ordre
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Pour la définition des (bornes) sup(érieure)s, (re)voir : Introduction aux mathématiques/Relations binaires#Relations d'ordre.

Soient trois éléments d'un ensemble ordonné. On suppose que et existent. Montrer que existe et qu'il est égal à .

Soit une partie non vide et bornée de . Déterminer, en fonction de et  :

  • et , où (pour ) ;
  • , où .

Montrer que ne dépend pas seulement de et .

Soient deux fonctions majorées.

  1. Établir et donner un exemple ou l'inégalité est stricte.
  2. En déduire et un exemple ou l'inégalité est stricte.

Déterminer, si elles existent, les bornes supérieures et inférieures des parties suivantes, en précisant de plus si elles appartiennent à la partie considérée.

  • , où désigne la partie entière de
  • .

Soient et deux parties non vides de . Montrer que les deux assertions qui suivent sont équivalentes :

  •  ;
  • .

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Il est connu que l'ensemble des réels possède la propriété de la borne supérieure. Qu'est-ce que cela signifie ?
  2. Le sous-ensemble des rationnels possède-t-il aussi cette propriété ?
  3. Est-il vrai que tout ensemble bien ordonné possède cette propriété ?

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Élément maximal ».

On définit sur la relation par : .

  1. Montrer que c'est une relation d'ordre.
  2. Pour cet ordre, le disque admet-il des majorants ? des éléments maximaux ? un plus grand élément ? une borne supérieure ?
  3. Mêmes questions pour le carré .

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

    • Dans , on considère l'ensemble formé par les termes de la suite définie par . admet-il une borne supérieure ? un plus grand élément ? une borne inférieure ? un plus petit élément ?
    • Même question avec la suite définie par .
  1. On considère l'ensemble ordonné .
    • Existe-t-il des éléments maximaux dans (si oui, lesquels ?) Existe-t-il des éléments minimaux dans (si oui, lesquels ?)
    • L'ensemble admet-il des majorants ? une borne supérieure ? un plus grand élément ? des éléments maximaux ? des minorants ? une borne inférieure ? un plus petit élément ? des éléments minimaux ?
  2. Soit un ensemble. On considère l'ensemble ordonné . Dans chacun des deux cas qui suivent, le sous-ensemble de admet-il des majorants ? une borne supérieure ? un plus grand élément ? des éléments maximaux ? des minorants ? une borne inférieure ? un plus petit élément ? des éléments minimaux ?
    • avec .
    • avec .

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

On considère l'ensemble ordonné .

  1. L'ensemble des parties finies de a-t-il des éléments minimaux ? un plus petit élément ? des éléments maximaux ? un plus grand élément ? (et si oui, lesquels ?)
  2. Mêmes questions pour l'ensemble des parties de cofinies, c.-à-d. de complémentaire fini.

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit un ensemble. On considère l'ensemble ordonné .

  1. Montrer que tout sous-ensemble admet dans une borne inférieure .
  2. On fixe désormais un ensemble de parties de et pour chaque , on pose
    , puis .
    Montrer que .
  3. Montrer que si alors . La réciproque est-elle vraie ?
  4. Pour toute partie de , montrer que , et en déduire que .

Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Ordre lexicographique ».

On considère la relation sur définie par : .

  1. Montrer que c'est une relation d'ordre.
  2. L'ensemble admet-il des éléments maximaux ? des éléments minimaux ?
  3. Est-ce que toute partie non vide de admet un plus grand élément ?

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

Soit un espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie). On considère l'ensemble des parties libres de , ordonné par l'inclusion.

  1. Démontrer formellement que .
  2. a-t-il des éléments minimaux ? un élément minimum ?
  3. a-t-il des éléments maximaux ? un élément maximum ?

Exercice 2-9[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Treillis (ensemble ordonné) ».

On considère les parties d'un ensemble ordonné .

  1. Montrer que la partie a une borne supérieure si et seulement si a un maximum.
  2. Montrer que la partie a une borne supérieure si et seulement si a un minimum.
  3. On dit que est un treillis complet si dans , toute partie a une borne supérieure. Montrer que le segment réel (muni de l'ordre usuel) est un treillis complet.
  4. Soit un treillis complet. Démontrer que chaque partie de admet aussi une borne inférieure. (Une piste : en notant l'ensemble des minorants de et la borne supérieure de , montrer que tout élément de est supérieur ou égal à .)

Exercice 2-10[modifier | modifier le wikicode]

Soit une relation binaire sur un ensemble . On définit, sur l'ensemble des suites à valeurs dans , une relation par :

.
  1. Montrer que si est transitive alors est transitive.
  2. Démontrer la réciproque.

Exercice 2-11[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'ensemble ordonné ( divise ), l'ensemble a-t-il :

  1. des éléments maximaux ?
  2. un élément maximum ?
  3. une borne supérieure ?

Dans l'ensemble ordonné , montrer que toute paire admet une borne inférieure et une borne supérieure et les reconnaître.

Exercice 2-12[modifier | modifier le wikicode]

Soit la relation sur définie par :

.
  1. Montrer que est une relation d'ordre.
  2. Le sous-ensemble a-t-il, pour cet ordre :
    1. un plus petit élément ?
    2. des éléments minimaux ?
    3. une borne inférieure ?
    4. des éléments maximaux ?
    5. une borne supérieure ?
    6. un plus grand élément ?

Dans chaque cas, préciser le(s)quel(s), en justifiant.

Exercice 2-13[modifier | modifier le wikicode]

Soient un ensemble ordonné et un élément de .

  1. Rappeler les définitions formelles de «  est minimum » et «  est minimal ».
  2. Montrer que si est minimum alors est l'unique minimal (donc l'unique minimum).
  3. Montrer que si l'ordre est total et si est minimal, alors il est minimum.
  4. Montrer (par deux exemples) que peut avoir plusieurs éléments minimaux, ou aucun.
  5. Montrer (par un exemple) que peut avoir un unique minimal et aucun minimum.

Exercice 2-14[modifier | modifier le wikicode]

Soit un ensemble ordonné. On appelle antichaîne de toute partie de dont les éléments sont 2 à 2 incomparables, c'est-à-dire tout ensemble tel que . On note l'ensemble des antichaînes de .

  1. Dans le cas particulier où est total, décrire .
  2. Dans le cas particulier où est (où est un ensemble fixé et désigne l'ensemble de ses parties), soit l'ensemble des parties de à éléments.
    Montrer que .
  3. On revient au cas général et l'on munit de la relation définie par :
    pour toutes antichaînes et , .
    Démontrer que est une relation d'ordre sur .

Exercice 2-15[modifier | modifier le wikicode]

Soient un ensemble bien ordonné et une application strictement croissante. Démontrer par induction que

.

Exercice 2-16[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux ensembles ordonnés, une application croissante et une partie de .

  1. Montrer que si existe alors existe et est égal à .
  2. Donner un exemple montrant que la propriété devient fausse si l'on remplace par .

Exercice 2-17[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux ensembles ordonnés et une application croissante.

  1. Montrer que si est injective alors elle est strictement croissante
  2. Montrer (par un contre-exemple) que la réciproque est fausse.
  3. Montrer que cette réciproque devient vraie si l'on suppose que l'ordre sur est total.

Exercice 2-18[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Ordre dense ».

Soit un ensemble totalement ordonné possédant la propriété de la borne supérieure.

On suppose en outre que a au moins deux éléments, et que l'ordre est dense c.-à-d.

.

Montrer que a au moins la puissance du continu.