Recherche:Techniques de régressions au mieux/Régressions harmoniques simple, multiple et combinatoires

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Courbes de régression harmoniques impaires

• Simple sinus
• Combinaison linéaire de sinus

Courbes de régression harmoniques paires

• Simple cosinus
• Combinaison linéaire de cosinus

Courbes somme résultantes

Harmoniques simples au plus près pour 7 données

Il s'agit d'approcher les échantillons EI et EP par une courbe-fonction $y=a*sin(w*x)$ pour EI, et une $y=a*(1-cos(w*x))$ pour EP.

Analyse de la partie impaire EI

Méthode avec passage par trois points y(-1),y(0)y(1)pour EP à 7 données

Pour chaque couple de EP, on vérifie que :

${\begin{cases}y0=a*(1-cos(0w))\\y1=a*(1-cos(1w))\\y2=a*(1-cos(2w))\\y3=a*(1-cos(3w))\\\end{cases}}$

sin étant pair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de la parité.

D'où :

${\begin{cases}y0=0\\y2=2y1*(1+cos(w_{2}))\\y3=y1*(1+4cos(w_{2})+4cos^{2}(w_{2}))\\\end{cases}}$

Puis:

${\begin{cases}{\frac {y2-2y1}{2y1}}=cos(w_{2})\\{\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}}=cos^{2}(w_{3})\\\end{cases}}$

ET ENFIN :

${\begin{cases}Log({\frac {y2-2y1}{2y1}})=Log(cos(w_{2}))\\Log({\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}})=2Log(cos(w_{3}))\\\end{cases}}$

D'où :

$Log(cos(w))={\frac {Log({\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}})+2Log({\frac {y2-2y1}{2y1}})}{4}}$

$w=acos(({\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}})\times ({\frac {y2-2y1}{2y1}})^{2})^{\frac {1}{4}}$

$a={\frac {y1}{1-cos(w)}}$

Méthode avec passage par un point y(0)pour EI à 7 données

Pour EI on vérifie que :

${\begin{cases}y0=a*sin(0w)\\y1=a*sin(1w)\\y2=a*sin(2w)\\y3=a*sin(3w)\\\end{cases}}$

sin étant impair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de l'imparité.

${\begin{cases}y0=0\\y1=a*sin(w)\\y2=2a*sin(w)*cos(w)\\y3=a*sin(w)*(-1+4cos^{2}(w))\\\end{cases}}$

${\begin{cases}y0=0\\y1=a*sin(w)\\y2=2a*sin(w)*cos(w)\\y3=a*sin(w)*(-1+4cos^{2}(w))\\\end{cases}}$

ET ENFIN :

${\begin{cases}Log(y1)=Log(a*sin(w))\\Log({\frac {y2}{2}})=Log(a*sin(w))+Log(cos(w))\\Log({\frac {y3+y1}{4}})=Log(a*sin(w))+2Log(cos(w))\\\end{cases}}$

D'où , par la méthode de résolution des systèmes linéaires ( 2 inconnues en Log(a*sin(w)) et Log(cos(w)) pour 3 équations ):

$w=({\frac {y1+y3}{4y1}})^{\frac {1}{2}}$

$Log(a*sin(w))={\frac {Log(y1^{5}*{\frac {y2}{2}}*{\frac {y1+y3}{4}})}{3}}$

$a={\frac {(y1^{5}*{\frac {y2}{2}}*({\frac {y1+y3}{4}})^{-3})^{\frac {1}{3}}}{sin(w)}}$

Le résidu ( échantillonnage - sinusoïde calculée )sera traité par une sinusoïde si possible sinon il faudra considérer la suite.

S'il n'y a pas de solution vu les conditions de signe, on envisagera de considérer 9 données ou de tester un autre type de fonction impaire que la sinusoïde. On peut aussi considérer un nombre impair quelconque de données dès le départ mais il vaut mieux travailler par plages pour voir l'évolution des données.

Analyse de la partie paire EP

Méthode avec passage par trois points y(-1),y(0)y(1)pour EP à 7 données

Pour chaque couple de EP, on vérifie que :

${\begin{cases}y0=a*(1-cos(0w))\\y1=a*(1-cos(1w))\\y2=a*(1-cos(2w))\\y3=a*(1-cos(3w))\\\end{cases}}$

sin étant pair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de la parité.

D'où :

${\begin{cases}y0=0\\y2=2y1*(1+cos(w_{2}))\\y3=y1*(1+4cos(w_{3})+4cos^{2}(w_{3}))\\\end{cases}}$

Puis:

${\begin{cases}{\frac {y2-2y1}{2y1}}=cos(w_{2})\\{\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}}=cos^{2}(w_{3})\\\end{cases}}$

ET ENFIN :

${\begin{cases}Log({\frac {y2-2y1}{2y1}})=Log(cos(w_{2}))\\Log({\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}})=2Log(cos(w_{3}))\\\end{cases}}$

D'où :

$Log(cos(w))={\frac {Log({\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}})+2Log({\frac {y2-2y1}{2y1}})}{4}}$

$w=acos(({\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}}\times ({\frac {y2-2y1}{2y1}})^{2})^{\frac {1}{4}})$

$a={\frac {y1}{1-cos(w)}}$

Méthode avec passage par un point y(0)pour EP à 7 données

Pour chaque couple de EP ,on vérifie que :

${\begin{cases}y0=a*(1-cos(0w))\\y1=a*(1-cos(1w))\\y2=a*(1-cos(2w))\\y3=a*(1-cos(3w))\\\end{cases}}$

sin étant impair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de l'imparité.

${\begin{cases}y0=0\\y1=a*(1-cos(w))\\y2=a*(1-(2cos^{2}(w)-1))\\y3=a*(1-(4cos^{3}(w)-3cos(w)))\\\end{cases}}$

${\begin{cases}y0=0\\y1=a*(1-cos(w))\\y2=2*a*(1-cos(w))(1+cos(w))\\y3=a*(1-cos(w))(1+4cos(w)+4cos^{2}(w))\\\end{cases}}$

d'où :$1+4cos(w)=1+4({\frac {y2}{2y1}}-1)={\frac {-3y1+2y2}{y1}}$

ET ENFIN :

${\begin{cases}Log(y1)=Log(a*(1-cos(w)\\Log({\frac {y2-2y1}{2}})=Log(a*(1-cos(w))+Log(cos(w))\\Log({\frac {y3+3y1-2y2}{4}})=Log(a*(1-cos(w))+2Log(cos(w)))\\\end{cases}}$

D'où , par la méthode de résolution des systèmes linéaires ( 2 inconnues en Log(a*sin(w)) et Log(cos(w)) pour 3 équations ):

$w=({\frac {7y1+y3-2y2}{4y1}})^{\frac {1}{2}}$

$Log(a*(1-cos(w))={\frac {Log(y1^{5}*{\frac {y2-2y1}{2}}*({\frac {7y1+y3-2y2}{4}})^{-3})}{3}}$

$a={\frac {(y1^{5}*{\frac {y2-2y1}{2}}*({\frac {7y1+y3-2y2}{4}})^{-3})^{\frac {1}{3}}}{1-cos(w)}}$

Le résidu ( échantillonnage - valeur centrale - ( 1-cosinusoïde calculée) )sera traité par une (1-cosinusoïde ) , si possible , sinon il faudra considérer la suite.

S'il n'y a pas de solution vu les conditions de signe, on envisagera de considérer 9 données ou de tester un autre type de fonction paire que la 1-cosinusoïde. On peut aussi considérer un nombre impair quelconque de données dès le départ mais il vaut mieux travailler par plages pour voir l'évolution des données.

Exemple d'application au hasard pour modèle de traitement

$Eapp=[(-3,1);(-2,-2);(-1,1);(0,1);(1,2);(2,1);(3,3)]$

$EI=[i,{\frac {z(-i)-z(i)}{2}}]$

$EIapp=[(-3,-1);(-2,-1.5);(-1,-0.5);(0,0);(1,0.5);(2,1.5);(3,1)]$

$EP=[i,{\frac {z(-i)+z(i)}{2}}]$

$EIapp=[(-3,2);(-2,-0.5);(-1,1.5);(0,1);(1,1.5);(2,-0.5);(3,2)]$

Avec la résultante : $E=EI+EP$

Sur 3 points communs sur 7

A / Partie EI

B / Partie EP

C / Résultante

Sur 1 point commun sur 7

A / Partie EI

B / Partie EP

C / Résultante

Harmoniques multiples au plus près

Les fonctions de régression au plus près à trouver sont de la forme :

$y=sin^{k}(x)$ et $y=cos^{k}(x)$

avec pour EI on cherchera sin et k impair, pour EP on cherchera sin et k pair ou cos et k quelconque

k peut être une fraction irréductible . k conduit à l'imparité si le num et le dén sont impairs.

Après transformation le passage de a du côté des y et par les Logarithmes des deux membres, on obtient par exemple:

Pour EI 3points :

${\begin{cases}Log({\frac {y0}{a}})=k*sin(0w)\\Log({\frac {y1}{a}})=k*sin(1w)\\Log({\frac {y2}{a}})=k*sin(2w)\\Log({\frac {y3}{a}})=k*sin(3w)\\\end{cases}}$

Ce qui se résout comme le premier point du 1

Au lieu d'obtenir a comme précédemment, on obtient n = a*k. pour isoler a de k, et les trouver, on écrit que : $y={\frac {n}{k}}\times sin^{k}(x)$ qui représente la courbe de régression au plus près ; on procède ensuite pour déterminer k en minimisant la somme des carrées des écarts à cette courbe ( méthode de la dérivée partielle par rapport à k nulle )ou en employant la résolution d'u système en k au plus près.

Pour EP 3 points

${\begin{cases}Log({\frac {y0}{a}})=k*(1-cos(0w)\\Log({\frac {y1}{a}})=k*(1-cos(1w)\\Log({\frac {y2}{a}})=k*(1-cos(2w)\\Log({\frac {y3}{a}})=k*(1-cos(3w)\\\end{cases}}$

Ce qui se résout comme le troisième point du 1

Au lieu d'obtenir a comme précédemment, on obtient n = a*k. pour isoler a de k, et les trouver, on écrit que : $y={\frac {n}{k}}\times (1-cos^{k}(x))$ qui représente la courbe de régression au plus près ; on procède ensuite pour déterminer k en minimisant la somme des carrées des écarts à cette courbe ( méthode de la dérivée partielle par rapport à k nulle )ou en employant la résolution d'u système en k au plus près.

Harmoniques combinatoires

Somme d'harmoniques

Le théorême général appliqué à une somme d'harmoniques donne, avec RAPP pour régression au plus près:

RAPP de la Somme d' harmoniques = Somme des RAPP de chaque harmonique

Exemple :

$y=3+4*sin(2x)+3*cos(5x)-2*sin^{3}(1x)+1*cos^{4}(4x)$

D'où 11 inconnues à déterminer d'où au minimum 1 valeur centrale + 10 valeurs + 2 minimum soit 13 valeurs au moins pour l'échantillon pour déterminer l'au plus près de l'échantillon.

$RAPP(y)=3+RAPP(EI)+RAPP(EP)$

$RAPP(y)=3+RAPP(y/4*sin(2x))+RAPP(y/3*cos(5x))+RAPP(y/-2*sin^{3}(1x)+RAPP(y/cos^{4}(4x))$

${\begin{cases}EI=4*sin(2x)-2*sin^{3}(1x)\\EP=3+3*cos(5x)+cos^{4}(4x)\\\end{cases}}$

Produit d'harmoniques

Le théorême général appliqué à un produit d'harmoniques donne, avec RAPP pour régression au plus près:

RAPP d'un Produit d' harmoniques = Produit des RAPP de chaque harmonique

A PLACER

Système régressif au mieux

${\begin{cases}y1+a=k\times \sin(1w)\\y2+b=k\times \sin(2w)\\y3+c=k\times \sin(3w)\\y4+d=k\times \sin(4w)\\\end{cases}}$

${\begin{cases}{\frac {y2+b}{y1+a}}=2cos(w)&(1)\\{\frac {y3+c}{y1+a}}=-1+4cos^{2}(w)&(2)\\{\frac {y4+d}{y1+a}}=4cos(w)\left(2cos^{2}(w)-1\right)&(3)\\DD=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}minimum&(D)\\\end{cases}}$

La résolution au mieux consiste à amener le systéme sous la forme :

${\begin{cases}z1=C\\z2=C^{2}\\z3=C^{3}\\C=cos(w)\\z1={\frac {y2+b}{2(y1+a)}}\\z2={\frac {{\frac {y3+c}{y1+a}}+1}{4}}\\z3={\frac {y4+d}{8(y1+a)}}+2{\frac {8(y2+b)}{y1+a}}\end{cases}}$

Combinaison de sommes, produit et puissances

Théorême général :

La forme la plus générale d'une fonction F de x, par l'intermédiaire des $Xi=x^{ki}$, est :

F = ( somme de produit de fonctions_$fi^{ni}$__OU__ produit de sommes de fonctions_$fi^{ni}$ )$^{Fi}$

avec $fi$ de la forme de F.

RAPP(F) = F(RAPP)

Exemples :

A PLACER :

Système régressif au mieux

${\begin{cases}y1+a=k\times \sin(1w)\\y2+b=k\times \sin(2w)\\y3+c=k\times \sin(3w)\\y4+d=k\times \sin(4w)\\\end{cases}}$

${\begin{cases}{\frac {y2+b}{y1+a}}=2cos(w)&(1)\\{\frac {y3+c}{y1+a}}=-1+4cos^{2}(w)&(2)\\{\frac {y4+d}{y1+a}}=4cos(w)\left(2cos^{2}(w)-1\right)&(3)\\DD=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}minimum&(D)\\\end{cases}}$

La résolution au mieux consiste à amener le systéme sous la forme :

${\begin{cases}z1=C\\z2=C^{2}\\z3=C^{3}\\C=cos(w)\\z1={\frac {y2+b}{2(y1+a)}}\\z2={\frac {{\frac {y3+c}{y1+a}}+1}{4}}\\z3={\frac {y4+d}{8(y1+a)}}+2{\frac {8(y2+b)}{y1+a}}\end{cases}}$