Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Polynômes annulateurs de nombres de la forme tan(kπ╱n)

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Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Polynômes annulateurs de nombres de la forme tan(kπ╱n)
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ci-dessous se trouvent, dans l’ordre croissant des degrés sur des nombres, les polynômes minimaux sur ou (ou sur lorsque rien n'est précisé) de quelques nombres de la forme

pour et k premier avec n.

Remarquons que contrairement à , le nombre algébrique n'est pas toujours un entier algébrique : Niven donne l'exemple de et Calcut ajoute l'exemple , dont il explicite le polynôme minimal. D'autres exemples sont pour .

Degré de tan(rπ)[modifier | modifier le wikicode]

Par des calculs de degrés d'extensions, on sait que le degré (sur ) de , si n est > 2 et ≠ 4 et k premier avec n, vaut :

  • si n n'est pas divisible par 4 ;
  • si n est divisible par 4,

est l'indicatrice d'Euler.

Degré de pour 3 ≤ n ≤ 143
n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0+       2 1 4 2 6 2 6 4 10
12+ 2 12 6 8 4 16 6 18 4 12 10 22
24+ 4 20 12 18 6 28 8 30 8 20 16 24
36+ 6 36 18 24 8 40 12 42 10 24 22 46
48+ 8 42 20 32 12 52 18 40 12 36 28 58
60+ 8 60 30 36 16 48 20 66 16 44 24 70
72+ 12 72 36 40 18 60 24 78 16 54 40 82
84+ 12 64 42 56 20 88 24 72 22 60 46 72
96+ 16 96 42 60 20 100 32 102 24 48 52 106
108+ 18 108 40 72 24 112 36 88 28 72 58 96
120+ 16 110 60 80 30 100 36 126 32 84 48 130
132+ 20 108 66 72 32 136 44 138 24 92 70 120

Polynôme minimal de tan(kπ/n)[modifier | modifier le wikicode]

Cas n non divisible par 4[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce premier cas, il est très facile de déduire le polynôme minimal de de celui de , en utilisant l'identité . On construit ainsi un polynôme unitaire de degré ayant pour racines les nombres , pour k premier avec n et (ou ). Vu le degré de ces nombres, est leur polynôme minimal.

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Cas n divisible par 4[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce second cas , le degré des est moitié moindre donc le polynôme calculé précédemment n'est plus irréductible :

,

les deux facteurs irréductibles étant liés par

et déterminés de la façon suivante.

Les angles considérés vérifient toujours , mais aussi (k étant premier avec 4m donc impair) . Parmi eux, la moitié — ceux pour lesquels — vérifient (les autres — leur opposés — vérifiant donc ). Or s'exprime en fonction de à l'aide d'un polynôme de Tchebychev de seconde espèce :

Leur polynôme minimal est donc le PGCD de polynômes :

.
Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Liste exhaustive jusqu'au degré 12[modifier | modifier le wikicode]

Nous éviterons les redondances dans la liste ci-dessous, en remarquant que si

est le polynôme minimal sur K de ,

alors

  • celui de son opposé, , est
     ;
  • celui de son inverse, , est
    .

Le cas avec impair se ramène ainsi au cas .

Nombres rationnels[modifier | modifier le wikicode]

Le polynôme minimal de est .

Irrationnels quadratiques[modifier | modifier le wikicode]

.


est le polynôme minimal des nombres :
et son opposé.

est le polynôme minimal des nombres :
et l'opposé de son inverse.

est le polynôme minimal des nombres :
et son inverse.

Nombres de degré 4[modifier | modifier le wikicode]

.


est le polynôme minimal des nombres :
et leurs opposés.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et l'opposé de son inverse.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et l'opposé de son inverse.

est le polynôme minimal des nombres :
et leurs inverses.

est le polynôme minimal des nombres :
.

Nombres de degré 6[modifier | modifier le wikicode]

.


est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

Nombres de degré 8[modifier | modifier le wikicode]


est le polynôme minimal sur des nombres :
.
n=32,40,48,60

Nombres de degré 10[modifier | modifier le wikicode]


est le polynôme minimal sur des nombres :
.
n=44

Nombres de degré 12[modifier | modifier le wikicode]

.


est (à un facteur près) le polynôme minimal sur des nombres :
.

est (à un facteur près) le polynôme minimal sur des nombres :
.
n=13,52,56,72,84

Exemples de nombres de degré 20[modifier | modifier le wikicode]


est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

Lien externe[modifier | modifier le wikicode]

Jack S. Calcut, « Rationality and the Tangent Function » sur Oberlin College