Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Polynômes annulateurs de nombres de la forme 2cos(2kπ╱n)

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Polynômes annulateurs de nombres de la forme 2cos(2kπ╱n)
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Chapitre no 2
Recherche : Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente
Chap. préc. :Méthodes d'obtention des polynômes
Chap. suiv. :Polynômes annulateurs de nombres de la forme tan(kπ╱n)
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Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Polynômes annulateurs de nombres de la forme 2cos(2kπ╱n)
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ci-dessous se trouvent, dans l’ordre croissant des degrés sur des nombres, les polynômes minimaux sur (ou sur lorsque rien n'est précisé) de quelques entiers algébriques de la forme

pour et k premier avec n.

Lorsque n est pair, la fraction sera écrite simplifiée par 2.

Rappelons (cf. chap. 1) que le degré (sur ) de , avec et premiers entre eux et , vaut (). Lorsque est divisible par 4, le polynôme minimal sur se factorisera en produit de deux polynômes de degré sur un , d'autant de façons qu'il y a de sous-groupes d'indice 2 dans . De plus, l'entier (positif et sans facteur carré) divise car le discriminant de divise celui de l'extension cyclotomique ℚ(ζn).

Nous éviterons les redondances en remarquant que si

est le polynôme minimal sur K de ,

alors

est le polynôme minimal sur K de son opposé, .

Le cas avec impair se ramène ainsi au cas .

Exemple : n = 40[modifier | modifier le wikicode]

Le polynôme minimal (sur ) des nombres pour et de leurs opposés est

En posant , l'équation devient . On trouve ainsi :

,

soit

avec

.

Le groupe , d'ordre , a trois sous groupes d'indice 2.

Le premier, , est l'ensemble des nombres (pris modulo 40 et au signe près) puissances de ±7 (ou, ce qui revient au même : de son inverse ±17 dans ), ce que nous noterons

  • .

Avec les mêmes notations, les deux autres sont :

  • (cyclique comme le précédent)
  • (de Klein).

Ils fournissent trois factorisations,

,

avec

et (par des calculs analogues) :

.

Nombres rationnels[modifier | modifier le wikicode]

pour .

Les polynômes minimaux des nombres

sont respectivement :

.

Irrationnels quadratiques[modifier | modifier le wikicode]

pour .


est le polynôme minimal des nombres :
et .

est le polynôme minimal des nombres :
et son opposé.

est le polynôme minimal des nombres :
et son opposé.

Nombres de degré 3[modifier | modifier le wikicode]

pour .


est le polynôme minimal des nombres :
.

est le polynôme minimal des nombres :
.

Nombres de degré 4[modifier | modifier le wikicode]

pour .


est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et son opposé.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et son opposé.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et son opposé.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et son opposé.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et .

est le polynôme minimal sur des nombres :
et son opposé.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et .

Nombres de degré 5[modifier | modifier le wikicode]

pour .


est le polynôme minimal des nombres :
.

Nombres de degré 6[modifier | modifier le wikicode]

pour .


est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

Nombres de degré 8[modifier | modifier le wikicode]

pour .


est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et leurs opposés.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et leurs opposés.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et leurs opposés.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et leurs opposés.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et leurs opposés.

est le polynôme minimal sur des nombres :
et leurs opposés.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.

Nombres de degré 10[modifier | modifier le wikicode]

pour .


est le polynôme minimal sur des nombres :
.

est le polynôme minimal sur des nombres :
.
n=33
est le polynôme minimal sur des nombres :
.