Recherche:Méthodes de détermination de la ou des relations possibles entre des phénomènes échantillonnés/Détermination semi-graphique

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Bonjour,

Cette recherche est délicate du fait que beaucoup de facteurs interviennent dans l'évolution certaine qui lie deux phénomènes quelconque :

Des phénomènes d' hystérésis, cycliques ou volutes entre x et y, l'influence d'une ou plusieurs autres variables sur x et y, l'auto-influence d'une ou des deux variables sur elles-mêmes, un retard ou avance de y ou x,constant ou variable, dans le temps, un déphasage de y par rapport à x ...ce qui donne y=h(x(t+phi(zi))), zi pouvant être x, y, t, ou une ou plusieurs autres variables Mais comme tout est lié à tout, cherchez et vous trouverez ( lettre aux Romains )

Existence d'une relation bijective directe sans retard et sans influence

Dans une toute première approche pour trouver une relation y=h(x)entre deux variables x=f(t) et y=g(t), on va considérer que la relation qui les unit, si elle existe comme telle, est bijective univoque, c'est-à-dire qu’à une valeur de x correspond une seule valeur de y, en se gardant le soin de vérifier cela plus tard ou le soin d'aller plus justement, plus complètement et plus précisément.

Avec ces conditions posées, on peut affirmer que si P(x<x*)=P(y<y*) alors y*=f(x*) ; le couple ( x*,y*) appartient à la courbe y=h(x)qui lie x et y. .

Les probabilités ci-dessus sont celles déterminées avec la méthode définie dans Recherche:Densité de probabilité d'une valeur y puis d'un couple ( x,y ), point de la courbe y=f(x)Recherche:Densité de probabilité d'une valeur y puis d'un couple ( x,y ), point de la courbe y=f(x) paragrahe 1.6.

Ceci ne se présente vérifié que dans peu de cas, car il y a déjà toujours un retard ou une influence , ou un hystérésis, ou une relation tortueuse entre x et y, mais donne quand même l'indication d'une tendance, mais pas d'une moyenne.

Première conclusion

La ( et les ) méthode(s) donnant les résultats les plus corrects est ( sont ) présentée(s) ci-dessous. Elle(s) démarre(nt)là où nous sommes arrivés, avec la piste première, avec une recherche à partir de la construction de x=x*(t) et y=y*(t)- deux horizontales - telles que P(x<x*) = P(y<y*) avec la recherche des valeurs de x et de y vérifiant les densités de probabilité locales au sens de Recherche:Densité de probabilité d'une valeur y puis d'un couple ( x,y ), point de la courbe y=f(x) paragrahe 1.6.

Existence d'une relation bijective avec déphasage constant et sans influence

On considère maintenant qu’il existe un retard ou une avance constante entre les 2 variables, c'est-à-dire que y(t)=h(x(t+k)) ou y=h(x+k)

Soit les deux courbes ou fonctions y=g(t)et x=f(t), t pouvant être le temps ou une troisième variable.

On appliquera par la suite la méthode qui suit dans le sens x vers y en choisissant une valeur x* telle que P(x<x*)=P(y<y*) avec le y* et le P(y<y*)précédents

Il doit être intéressant et instructif d'appliquer la méthode ci-dessous alternativement à y vers x et à x vers y.

Étude de x en travaillant de y vers x

Proposition de procédure :

1 / Choisir d’abord une valeur de y. Soit y=y*(t) donnée. On peut au passage définir P(y<y*) qui donnera un repère comme point de départ.

La probabilité ci-dessus sera déterminée avec la méthode définie dansRecherche:Densité de probabilité d'une valeur y puis d'un couple ( x,y ), point de la courbe y=f(x)paragrahe 1.6.

Il sera très intéressant de choisir comme départ y* tel que P=0.5'Texte en italique, car plus on s'éloignera de cette médiane pour se rapprocher d'un extréma de y, plus on divergera de la réalité, surtout dans le cas de déphasage variable.

2 / Déterminer graphiquement les valeurs de t1 et xi* telles que xi* et y* soient en coïncidence par rapport à la variable t commune à x et y.

$ensemble(ti)telque:y=y*(ti)=y*ETx=xi(ti)$

3 / Déterminer par relevé puis calcul les pentes x'i(ti) de la tangente en chacun des points Mx( ti,xi*(ti) ) soit Mx( ti,x* ) .

Mesurer $\Delta (xi*(ti))ET\Delta (ti)$ puis faire le rapport :

$x'i(ti)={\frac {\Delta (xi)}{\Delta (ti)}}$

4 / Calculer la probabilité P(Mxi) de chaque Mxi(ti,x(ti)) grâce à $|x'i(ti)|$ selon la méthode de Recherche:Critérisation et classes d'équivalence de fonctions échantillonnées et d'échantillonnages homothétiques ou homographiques entre eux

$P(Mxi)=P(Mx:x<xi)={\frac {|x'i|}{{\sqrt {(}}1+(x'i^{2}))}}$

5 / Calculer la valeur xm* moyenne pondérée des xi sur les M points Mxi ( xi,P(Mxi) )

$xm*={\frac {\sum _{i=1}^{N}P(Mx:x<xi)*xi}{M}}={\frac {\sum _{i=1}^{M}P(Mxi)*xi}{M}}$

Il est possible que l’on ait trouvé ainsi un point(xm*,y*) de la courbe y=h(x), mais cela sera aussi rarement vérifié pour la plupart des phénomènes x y.

Il convient d'aller plus loin d'où les remarques finales qui permettent de balayer cette étape afin d’en obtenir le maximum d'informations.

Remarques finales

Si l’on est parti de P(y<y*)=0.5=P(x<x*), on obtient un résultat proche de la réalité au niveau des moyennes. pour déterminer les xm1* et xm2*, les ym1* et ym2* en cas d'hystérésis et de courbe en boucle, il faudra analyser les répartitions respectives des yi et xi autour de ym* et xm*.

On pourra comparer x* de P(x<x*)=0.5 avec xm*, y* de P(y<y*) avec ym*, xm* avec ym*.

On pourra analyser la répartition des xi,P(xi) par rapport à xm*, Pmoy* ( directioh de recherche à développer ).

On pourra transformer les x et y en fonctions réduites xr et yr selon la Recherche:Nouvel opérateur sur les fonctions analytiques :, les fonctions réduites qui rendent la fonction indépendante de l'échelle en ordonnée ou des échelles à la fois en ordonnée ET en abscisse chapitre 1.1 et appliquer la méthode précédente.

On pourra suivre la même procédure à partir de la droite x=x* en déterminant, de la même façon que ci-dessus, les N points Nj(tj, yj), les pentes en ces points, les probabilités respectives de ces points et enfin ym* avec les mêmes remarques que ci-dessus.

Il semble déjà plus probable que l’on obtienne ainsi un point ( xm*,ym* ) de la courbe y=h(x)

7 / À partir de là, plusieurs directions de recherche sont possibles.

7a / Itérer la procédure depuis xm* et ym* trouvés et trouver à chaque itération un couple ( xmi*,ymi* ). Procéder à une analyse des répartitions des xji* et yji* autour des moyennes pondérées xmi* et ymi*.

7b / Itérer à partir des moyennes analysées à chaque niveau d'itération.

7c / Appliquer les méthodes précédentes en balayant les valeurs de x et y de leur mini à leur maxi avec chaque fois un point de départ (x*,y*) tel que P(x<x*)=P(y<y*)

Reste l'analyse des répartitions à affiner.