Recherche:Méthode de Sotta/Application à la trigonométrie

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Application à la trigonométrie
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Chapitre no 4
Recherche : Méthode de Sotta
Chap. préc. : Généralisation aux équations de degré quelconque
Chap. suiv. : Sommaire

Exercices :

Méthodes trigonométriques
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Dans cette leçon nous allons étudier quelques cas particuliers d'équations du troisième degré. Nous allons nous intéresser aux équations du troisième degré qui admettent des solutions s'exprimant comme fonctions homographiques des fonctions trigonométriques de la forme ou . Nous commencerons par étudier comment trouver une équation du troisième degré ayant pour solution une expression donnée (recherche d'un polynôme minimal). Nous aborderons ensuite le problème inverse qui consiste à retrouver une expression trigonométrique en ou connaissant son polynôme minimal du troisième degré. Ce qui, bien sur, se ramène à la résolution d'équations particulières du troisième degré. La méthode de Sotta intervient dans la deuxième partie pour établir des méthodes particulières consistant à rechercher des solutions sous forme de fonction homographique d'un nombre algébrique donné. Dans ce chapitre nous prendrons, à titre d'exemple, comme nombre algébrique les nombres de la forme ou , mais on gardera à l'esprit que la méthode peut s'appliquer à d'autres nombres algébriques.


Nombres algébriques et polynômes minimaux sur [modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Nous allons étudier plus en détail les nombres et .










Recherche du polynôme minimal de fonctions homographiques de Cos(kπ/7) ou Cos(kπ/9)[modifier | modifier le wikicode]



Nous avons alors les deux propriétés suivantes :













Recherche de fonctions homographiques de Cos(kπ/7) ou Cos(kπ/9) connaissant leur Polynôme minimal[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce paragraphe, nous allons faire l'inverse du paragraphe précédent. Nous supposons donné un polynôme du troisième degré et nous allons essayer de trouver des nombres s'exprimant comme fonction homographique des fonctions Cos(kπ/7) ou Cos(kπ/9) et ayant le polynôme donné comme polynôme minimal.

Compte tenu du paragraphe précédent, il est nécessaire que le discriminant du polynôme donné soit un carré sinon nous n'avons aucune chance d'aboutir.

Début d’un principe


Fin du principe



Début d’un principe


Fin du principe


Généralisation[modifier | modifier le wikicode]

Tout ce qui a été fait pour les fonctions homographiques de Cos(kπ/7) ou Cos(kπ/9) peut en fait se généraliser aux autres nombres algébriques du troisième degré. Si α est un nombre algébrique du troisième degré de polynôme minimal p(x) = ax3 + bx2 + cx + d et si β et λ sont les deux autres racines de p(x), alors toutes fonctions homographiques de α, β et λ sont aussi des nombres algébriques du troisième degré admettant le même polynôme minimal. Il est alors possible, en s'inspirant de la démonstration de la méthode en Cos(kπ/7), de créer une méthode permettant de détecter ces fonctions homographiques de α, β et λ comme racines d'une équation du troisième degré que l’on aurait à résoudre.