Recherche:Le temps dans la relativité restreinte ou la célérité du temps/Annexe/Annexe1 : démonstration du postulat de réciprocité des vitesses

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Considérons l’expérience de pensée (fig5a et 5b). Deux coups de laser ‘simultanés’ issus des 2 parois latérales du même vaisseau sont dirigés horizontalement l’un vers l’autre. Le laser de droite atteint la paroi de gauche en t1. De même, le laser de gauche atteint la paroi de droite en t2.

Soient V la vitesse du vaisseau pour l'observateur extérieur et V' pour l'observateur intérieur. Il faut montrer que V =V'

Pour l’observateur du vaisseau et en application de la théorie classique :

t1 = t2 = t’ et ct’ = L (3) avec L longueur du vaisseau pour l'observateur intérieur

Pour l’observateur extérieur, c’est moins simple :

ct1 = L’ – Vt1 (4) avec t1 = t + (V/c)t = t(1+V/c) (6) avec L' longueur du vaisseau pour l'observateur extérieur

ct2 = L’ + Vt2 (5) avec t2 = t - (V/c)t = t(1-V/c) (7) avec t1>t>t2, l'arrière du vaisseau est dans le futur(t1) et l'avant dans le passé (t2)

De (6) et (7) :

t = (t1+t2)/2

De (4) :

(c+V)t1 = L’ soit t1 = L’/(c+V) (8)

De (5) :

(c-V)t2 = L’ soit t2 = L’/(c-V) (9)

De (8) et (9) :

t1+t2 = L’(c+V)+L’(c-V)/((c-V)(c+V))

t1+t2 = 2L’c/ (c²-V²)

t = (t1+t2)/2 = L’c/(c²-V²) = ɣ t’

C’est long, mais l’essentiel, c’est d’y arriver.

On extrait L’ de (2) :

L’ = (c²-V²)ɣt’/c

Après simplification :

L’ = ct’/ɣ et avec (3) t’= L/c

On obtient L’expression classique de contraction des longueurs

L’ = L/ɣ sans postulat de réciprocité des vitesses.

Revenons aux référentiels de la fig1.

On a :

V = L/t = L’ɣ /t’ɣ = L’/t’= V’

𝐯⃗= −𝐯⃗'