Leçons de niveau 13

Raisonnements

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III - Raisonnements[modifier | modifier le wikicode]

[ < ] Notions de logique[modifier | modifier le wikicode]

Une assertion vraie est appelée énoncé, proposition ou théorème.

La véracité d'une assertion se justifie par une démonstration.

Certaines assertions sont postulées vraies sans démonstration, ce sont les axiomes.

1) Démonstration d'une assertion[modifier | modifier le wikicode]

[null [ > ] Démonstration d'une implication][modifier | modifier le wikicode]

Pour démontrer la véracité d'une assertion on peut procéder de trois manières :

(1) Montrer que découle de résultats antérieurs i.e. déterminer un énoncé tel que soit vraie.

Exemple

Montrons Soit On sait que et Or et donc (2) Opérer par disjonction de cas i.e. déterminer un énoncé tel que et soient vraies.

Exemple

Montrons que Soit Si est pair alors on peut écrire avec et alors Si est impair alors on peut écrire avec et alors Dans les deux cas

(3) Raisonner par l'absurde i.e. montrer que implique un résultat faux.

Exemple

Montrons qu'il n'existe pas d'entier naturel supérieur à tout autre.

Par l'absurde : Supposons qu'il existe tel que

Pour on a donc Absurde.

( !)En aucun cas, on ne commence le raisonnement par «  Supposons   ».

2) Démonstration d'une implication[modifier | modifier le wikicode]

[null [ < ] Démonstration d'une assertion] [null [ > ] Démonstration par récurrence][modifier | modifier le wikicode]

Pour démontrer la véracité d'une implication on peut procéder de deux manières :

(1) Par déduction : on détermine une assertion telle que : et

(avec possibilité d'enchaîner plusieurs assertions intermédiaires)

Exemple

Soient Montrons Supposons On a donc ou Par suite ou et donc (2) Par contraposée : on établit

Exemple

Montrons Par contraposée, montrons : Supposons Puisque on a

3) Démonstration par récurrence[modifier | modifier le wikicode]

[null [ < ] Démonstration d'une implication][modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Soit et une assertion dépendant d'un entier

Si

1) est vraie ;

2)

alors

est vraie

Exemple

Montrons Procédons par récurrence sur Pour  : Supposons la propriété vraie au rang Par hypothèse de récurrence, on obtient Récurrence établie. Exemple

Montrons Procédons par récurrence sur Pour  : Pour  : Supposons la propriété établie au rang Par hypothèse de récurrence, donc car Récurrence établie. Noter qu'ici la récurrence est amorcée à partir du rang et l'étude de peut être considérées comme à part.