Leçons de niveau 15

Réduction des endomorphismes/Exercices/Réductions de Dunford, Jordan et Frobenius

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Réductions de Dunford, Jordan et Frobenius
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Exercices no3
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chapitre du cours : Réductions de Jordan et de Dunford et Décomposition de Frobenius

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
Exo suiv. :Exponentielle d'une matrice
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Réduction des endomorphismes/Exercices/Réductions de Dunford, Jordan et Frobenius
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Montrer qu'un endomorphisme de rang 1 est nilpotent ou diagonalisable.

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient tels que et telle que . Démontrer que

.

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit nilpotente qui commute avec sa transposée. Montrer que .

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que deux matrices réelles semblables dans le sont également dans .

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que et sont semblables et que et sont semblables.

Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit

.

Déterminer sa forme de Jordan et une matrice de passage.

Exercice 3-7[modifier | modifier le wikicode]

Pour la matrice

,

déterminer une forme de Jordan et une matrice de passage.