Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Complexes, formes algébrique et trigonométrique

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Rappel, forme algébrique et forme trigonométrique d'un complexe

     L'ensemble des nombres complexes, noté $ℂ$, peut être considéré comme une extension de l'ensemble des nombres réels $ℝ$, auquel
     L'ensemble des nombres complexes, noté $ℂ$, « on a ajouté un élément $i$, appelé unité imaginaire, dont le carré est $i^2=-1$» et
     L'ensemble des nombres complexes, noté $ℂ$, « en prolongeant les lois d'addition et de multiplication définies sur l'ensemble des réels » ;

     toutefois l'ensemble des complexes $ℂ$ ne conserve pas toutes les propriétés de l'ensemble des réels $ℝ$,
     toutefois l'ensemble des complexes $ℂ$ ne conserve pas toutes les propriétés en particulier $ℝ$ est ordonné alors que $ℂ$ ne l'est pas ;

     on peut distinguer deux sous-ensembles particuliers de l'ensemble des complexes $ℂ$ : $\bullet$« l'ensemble des réels $ℝ$» et
     on peut distinguer deux sous-ensembles particuliers de l'ensemble des complexes $ℂ$ : $\bullet$« l'ensemble des imaginaires purs $iℝ$»
     on peut distinguer deux sous-ensembles particuliers de l'ensemble des complexes $ℂ$ : $\bullet$« obtenu par multiplication de tout réel par l'unité imaginaire $i$.

Forme algébrique d'un complexe, partie réelle et partie imaginaire

     Tout complexe $\underset{\_}{z}$ peut être écrit comme la somme d'un réel $a$ et d'un imaginaire pur $ib$, la forme obtenue «$\underset{\_}{z}=a+ib$» étant la forme algébrique du complexe $\underset{\_}{z}$ dans laquelle
        Tout complexe $\underset{\_}{z}$ peut être écrit comme la somme d'un réel $a$ et d'un imaginaire pur $ib$, la forme obtenue «$\underset{\_}{z}=a+ib$» $\bullet$$a=\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})$ est appelé « partie réelle du complexe » et
        Tout complexe $\underset{\_}{z}$ peut être écrit comme la somme d'un réel $a$ et d'un imaginaire pur $ib$, la forme obtenue «$\underset{\_}{z}=a+ib$» $\bullet$$b=\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})$ est appelé « partie imaginaire du complexe ».

     On peut représenter le complexe $\underset{\_}{z}=a+ib$ dans un plan dit « complexe » c'est-à-dire, un plan contenant deux axes se coupant en un point $O$,
        On peut représenter le complexe $\underset{\_}{z}=a+ib$ dans un plan dit « complexe » c'est-à-dire un plan contenant $\bullet$l'un des axes servant à repérer la partie réelle du complexe $a=\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})$ et
        On peut représenter le complexe $\underset{\_}{z}=a+ib$ dans un plan dit « complexe » c'est-à-dire un plan contenant $\bullet$l'autre sa partie imaginaire $b=\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})$ ;

     « le point $M$ ayant pour coordonnées les parties réelle et imaginaire est appelé image du complexe$\underset{\_}{z}=a+ib$» $($« le complexe $\underset{\_}{z}=a+ib$ quant à lui définissant l’affixe du point$M$»$)$.

Notion de complexe conjugué

     Le complexe conjugué du complexe $\underset{\_}{z}$ de forme algébrique «$\underset{\_}{z}=a+ib$» dans laquelle $\left\{\begin{array}{c}a=\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})\\ b=\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})\end{array}\right\}$ est le complexe, noté en physique ${\underset{\_}{z}}^{\ast }$, ayant même partie réelle que $\underset{\_}{z}$ mais une partie imaginaire opposée à celle de $\underset{\_}{z}$ soit le complexe ${\underset{\_}{z}}^{\ast }$ de forme algébrique «${\underset{\_}{z}}^{\ast }=a-ib$».

     Remarque : «${\underset{\_}{z}}^{\ast }=\underset{\_}{z}$ $\iff$ $\underset{\_}{z}\in ℝ$».

Forme trigonométrique d'un complexe, module et argument

     Reprenant la représentation du complexe $\underset{\_}{z}=a+ib$ dans le plan « complexe » par son image $M$,
     Reprenant la représentation du complexe $\underset{\_}{z}=a+ib$ on peut repérer $M$ par $\bullet$la distance le séparant de l'origine $\rho =OM$ définissant le « module du complexe noté $|\underset{\_}{z}|=\rho$» et
     Reprenant la représentation du complexe $\underset{\_}{z}=a+ib$ on peut repérer $M$ par $\bullet$l'angle que fait la direction $(OM)$ avec l'axe des réels $\theta =\widehat{(\overrightarrow{x^{\prime }x}\text{,}\overrightarrow{OM})}$
     Reprenant la représentation du complexe $\underset{\_}{z}=a+ib$ on peut repérer $M$ par $\bullet$l'angle que fait la direction $(OM)$ avec l'axe des réels définissant l'« argument du complexe noté $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta$» ;

     Reprenant la représentation du complexe $\underset{\_}{z}=a+ib$ le complexe $\underset{\_}{z}$ se réécrit alors sous sa « forme trigonométrique $\underset{\_}{z}=|\underset{\_}{z}|\exp [i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})]=\rho \exp (i\theta )$».

     Retour sur la notion de complexe conjugué : le complexe conjugué du complexe $\underset{\_}{z}$ de forme trigonométrique «$\underset{\_}{z}=|\underset{\_}{z}|\exp [i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})]$» où $|\underset{\_}{z}|$ et $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})$ sont le module et l'argument de $\underset{\_}{z}$,
     Retour sur la notion de complexe conjugué : le complexe conjugué du complexe $\underset{\_}{z}$ est le complexe, noté en physique ${\underset{\_}{z}}^{\ast }$, ayant même module que $\underset{\_}{z}$ mais un argument opposé à celui de $\underset{\_}{z}$ soit
     Retour sur la notion de complexe conjugué : le complexe conjugué du complexe $\underset{\_}{z}$ est le complexe ${\underset{\_}{z}}^{\ast }$ de forme trigonométrique «${\underset{\_}{z}}^{\ast }=|\underset{\_}{z}|\exp [-i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})]$».

     Retour sur la notion de complexe conjugué : Remarque : Les deux définitions à partir des formes algébrique ou trigonométrique sont évidemment équivalentes, voir les paragraphes « détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique » et « détermination de la forme trigonométrique d'un complexe connaissant sa forme algébrique » plus loin dans ce chapitre.

Détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique

     Le complexe de « forme trigonométrique $\underset{\_}{z}=\rho \exp (i\theta )$» se réécrit en utilisant la « définition de l'exponentielle complexe $\exp (i\theta )=$ $\cos (\theta )+i\sin (\theta )$», selon «$\underset{\_}{z}=\rho [\cos (\theta )+i\sin (\theta )]=$ $\rho \cos (\theta )+i\rho \sin (\theta )$» ; la comparaison de cette dernière forme avec la forme algébrique $\underset{\_}{z}=a+ib$ nous donne, par identification des parties réelles et des parties imaginaires

«$\{\begin{array}{c}a=\rho \cos (\theta )\text{ou}\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=|\underset{\_}{z}|\cos [\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})]\\ b=\rho \sin (\theta )\text{ou}\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})=|\underset{\_}{z}|\sin [\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})]\end{array}$».

     Remarque : À partir de la forme trigonométrique du complexe conjugué ${\underset{\_}{z}}^{\ast }=|\underset{\_}{z}|\exp [-i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})]$ relativement à celle du complexe $\underset{\_}{z}=|\underset{\_}{z}|\exp [i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})]$, nous vérifions que la définition du complexe conjugué à partir de la forme trigonométrique $\Rightarrow$ celle du complexe conjugué à partir de la forme algébrique car
     Remarque : $\succ$«$\mathrm{\Re }({\underset{\_}{z}}^{\ast })=|\underset{\_}{z}|\cos [-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})]=|\underset{\_}{z}|\cos [\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})]=\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})$» c'est-à-dire mêmes parties réelles alors que
     Remarque : $\succ$«$\mathrm{\Im }({\underset{\_}{z}}^{\ast })=|\underset{\_}{z}|\sin [-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})]=-|\underset{\_}{z}|\sin [\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})]=-\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})$» c'est-à-dire des parties imaginaires opposées.

Détermination de la forme trigonométrique d'un complexe connaissant sa forme algébrique

     Le complexe étant connu par sa « forme algébrique $\underset{\_}{z}=a+ib$», on souhaite déterminer sa « forme trigonométrique $\underset{\_}{z}=\rho \exp (i\theta )$» où «$\rho =|\underset{\_}{z}|$ est son module » et «$\theta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})$ son argument » $($quand celui-ci existe c'est-à-dire quand $\underset{\_}{z}\ne 0)$.

Détermination du module

     En s'aidant de la représentation du complexe dans le plan complexe et
     en notant «$M$ l'image du complexe $\underset{\_}{z}=a+ib$» nous déterminons « la distance le séparant du point origine $OM=\sqrt{a^2+b^2}$ qui doit être identifiée au module $|\underset{\_}{z}|=\rho$» du complexe d'où

«$|\underset{\_}{z}|=\rho =\sqrt{a^2+b^2}$».

Détermination de l'argument

     Souhaitant déterminer l'argument «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta$ du complexe $\underset{\_}{z}=a+ib\ne 0$» « nous discuterons relativement à la valeur de sa partie réelle $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a$» :

• « pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a=0$», le complexe est imaginaire pur et «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta =\{\begin{array}{c}+\frac{\pi }{2}\text{si}\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})=b>0\\ -\frac{\pi }{2}\text{si}\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})=b<0\end{array}$»,
• « pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a>0$», l'argument du complexe «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta \in ]-\frac{\pi }{2}\text{,}+\frac{\pi }{2}[$» peut être mis sous la forme d'un $\arctan ()$ et on en déduit
  « pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a>0$», l'argument du complexe «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta =\arctan \left[\frac{\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})}{\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})}\right]=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$»,
• « pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», l'argument du complexe «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta \in ]-\frac{\pi }{2}\text{,}+\frac{\pi }{2}[$» ne peut pas être mis sous la forme d'un $\arctan ()$ ;
  « pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», « son expression dépend alors de la valeur de la partie imaginaire $\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})=b$» :
  « pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», $\succ$ « pour $\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})=b=0$» le complexe est réel négatif et son argument vaut «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\pi$»,
  « pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», $\succ$ « pour $\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})=b>0$» l'argument du complexe «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta \in \left]\frac{\pi }{2}\text{,}\pi \right[$» alors que «$\arctan \left[\frac{\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})}{\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})}\right]=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)\in ]-\frac{\pi }{2}\text{,}0[$» d'où
  « pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», $\succ$ « pour $\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})=b>0$» l'argument du complexe «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta =\arctan \left[\frac{\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})}{\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})}\right]+\pi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)+\pi$»,
  « pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», $\succ$ « pour $\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})=b<0$» l'argument du complexe «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta \in ]-\pi \text{,}-\frac{\pi }{2}[$» alors que «$\arctan \left[\frac{\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})}{\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})}\right]=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)\in \left]0\text{,}\frac{\pi }{2}\right[$» d'où
  « pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», $\succ$ « pour $\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})=b<0$» l'argument du complexe «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta =\arctan \left[\frac{\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})}{\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})}\right]-\pi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)-\pi$».

Autre traitement possible quand la partie réelle est négative

     « Pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», on peut écrire $a=-|a|$ et «$\underset{\_}{z}=-|a|+ib=-[|a|-ib]$» puis
     « Pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», on peut utiliser la propriété suivante « l'argument d'un produit de complexes est la somme
     « Pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», on peut utiliser la propriété suivante « des arguments de chaque complexe » dont on tire ici «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta =\pm \pi +\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(|a|-ib)$» ou,      « Pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», la partie réelle du complexe $|a|-ib$ étant par construction positive, «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta =\pm \pi +\arctan \left(\frac{-b}{|a|}\right)$» soit enfin,      « Pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», la fonction $\arctan ()$ étant impaire, «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta =\pm \pi -\arctan \left(\frac{b}{|a|}\right)$»,
le choix de «$+$ ou $-$» étant fait pour que « l'argument $\in ]-\pi \text{,}+\pi ]$».

Autre traitement possible quand la partie imaginaire est positive

     « Pour $\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})=b>0$», on peut réécrire le complexe en factorisant par $i$, «$\underset{\_}{z}=a+ib=i[b-ia]$» puis
     « Pour $\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})=b>0$», on peut utiliser la propriété suivante « l'argument d'un produit de complexes est la somme
     « Pour $\mathrm{\Im }(\underset{\_}{z})=b>0$», on peut utiliser la propriété suivante « des arguments de chaque complexe » dont on tire ici «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta =\frac{\pi }{2}+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(b-ia)$» ou,      « Pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», la partie réelle du complexe $b-ia$ étant par construction positive, «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta =\frac{\pi }{2}+\arctan \left(\frac{-a}{b}\right)$» soit enfin,      « Pour $\mathrm{\Re }(\underset{\_}{z})=a<0$», la fonction $\arctan ()$ étant impaire «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})=\theta =\frac{\pi }{2}-\arctan \left(\frac{a}{b}\right)$».

Remarque concernant la notion de complexe conjugué

     À partir de la forme algébrique du complexe conjugué ${\underset{\_}{z}}^{\ast }=a-ib$ relativement à celle du complexe $\underset{\_}{z}=a+ib$, nous vérifions que la définition du complexe conjugué à partir de la forme algébrique $\Rightarrow$ celle du complexe conjugué à partir de la forme trigonométrique car

     $\succ$«$|{\underset{\_}{z}}^{\ast })|=\sqrt{a^2+(-b{)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}=|\underset{\_}{z}|$» c'est-à-dire mêmes modules alors que
     $\succ$«$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}({\underset{\_}{z}}^{\ast })=\left\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{-b}{a}\right)& \text{pour }a>0\\ -\frac{\pi }{2}& \text{pour }a=0\text{et }b>0\\ +\frac{\pi }{2}& \text{pour }a=0\text{et }b<0\\ \arctan \left(\frac{-b}{a}\right)-\pi & \text{pour }a<0\text{et }b>0\\ \arctan \left(\frac{-b}{a}\right)+\pi & \text{pour }a<0\text{et }b<0\end{array}\right\}=-\left\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{b}{a}\right)& \text{pour }a>0\\ +\frac{\pi }{2}& \text{pour }a=0\text{et }b>0\\ -\frac{\pi }{2}& \text{pour }a=0\text{et }b<0\\ \arctan \left(\frac{b}{a}\right)+\pi & \text{pour }a<0\text{et }b>0\\ \arctan \left(\frac{b}{a}\right)-\pi & \text{pour }a<0\text{et }b<0\end{array}\right\}=-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\underset{\_}{z})$» c'est-à-dire des arguments opposés.