Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie

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Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie relativement au référentiel d'espace qui lui est lié

     Soit un solide $\;({\mathcal {S}})$, modélisé par un milieu continu de matière d'expansion tridimensionnelle finie $\;\left({\mathcal {V}}\right)$,
     Soit un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$, modélisé par de masse volumique $\;\mu (M)\;$ où $\;M\in \left({\mathcal {V}}\right)\;$ est repéré par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$,
     Soit un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$, modélisé par de masse volumique $\;\color {transparent}{\mu (M)}\;$ où $\;O\;$ étant un point fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide,
     on appelle « tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe
     on appelle « la somme continue des tenseurs d'inertie de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$» c.-à-d.
         on appelle « la somme continue des «$\;d{\mathcal {I}}(M)=\left(dm\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -dm\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$» tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant dans lequel
         on appelle « la somme continue des $\bullet \;$$\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$
         on appelle « la somme continue des $\color {transparent}{\bullet }\;$${\big [}$«$\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant  » $\,\in \,W^{\,\otimes \,2}\;$ ,
         on appelle « la somme continue des $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{\big [}$«$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ${\big ]}$,
         on appelle « la somme continue des $\bullet \;$$\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ et
         on appelle « la somme continue des $\bullet \;$$\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker
         on appelle soit finalement le « tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\mathcal {I}}(M)\;$» .

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

     Avec $\;W\;$ la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée,
     Av le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ayant pour base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ et
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariants obtenu en faisant
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ le tenseur d'inertie $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ étant la somme continue des tenseurs d'inertie $\;d{\mathcal {I}}(M)\;$ de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$ $\Rightarrow$
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})$, tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})$, dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue des composantes des $\;d{\mathcal {I}}(M)$, tenseurs d'inertie des pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue des composantes des $\;\color {transparent}{d{\mathcal {I}}(M)}$, dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue des composantes des $\;\color {transparent}{d{\mathcal {I}}(M)}$, dans $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ avec
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes des $\;d{\mathcal {I}}(M)$, tenseurs d'inertie des pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{x,\,x}(M)=dm\left(y^{2}+z^{2}\right)\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{x,\,y}(M)=-dm\;x\;y\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{x,\,z}(M)=-dm\;x\;z\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{y,\,x}(M)=-dm\;x\;y\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{y,\,y}(M)=dm\left(x^{2}+z^{2}\right)\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{y,\,z}(M)=-dm\;y\;z\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{z,\,x}(M)=-dm\;x\;z\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{z,\,y}(M)=-dm\;y\;z\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{z,\,z}(M)=dm\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» d'où,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue avec $\;dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ masse du pseudo-point $\;M\;$ d'expansion
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue avec $\;\color {transparent}{dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}}\;$ tridimensionnelle de volume $\;d{\mathcal {V}}_{M}=dx\;dy\;dz\;$ $\Rightarrow$
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})$, tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})$, dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ :
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» et
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$» .

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

     Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$, par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et
 Tout le tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant « la somme continue  » des tenseurs d'inertie des « pseudo-points » le composant ${\big (}$tenseurs d'ordre $\;2{\big )}$, étant lui-même un tenseur d'ordre $\;2$,
Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3$, « somme continue  » des matrices carrées représentant les tenseurs d'inertie des « pseudo-points » du solide  ;
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est sans ambiguïté
        Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par la matrice elle est appelée matrice d'inertie du solide$\;({\mathcal {S}})\;$ et
        Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par la matrice elle est notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big (}$ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté${\big )}$,
        Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par la matrice elle s'écrit «$\;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\!&\!-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\!&\!-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\!&\!\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\!&\!-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\!&\!-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\!&\!\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\end{array}}\right]\,$»  ;
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\bullet \;$les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$les éléments diagonaux $\succ \;$«$\;J_{Ox}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à $\;Ox\;$»,
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$les éléments diagonaux $\succ \;$«$\;J_{Oy}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à $\;Oy\;$» et
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$les éléments diagonaux $\succ \;$«$\;J_{Oz}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à $\;Oz\;$»,
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\bullet \;$l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$«$\;I_{xy}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;xOy\;$»,
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$«$\;I_{xz}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;xOz\;$» et
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$«$\;I_{yz}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;yOz\;$»,
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture selon «$\;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}({\mathcal {S}})&-I_{xy}({\mathcal {S}})&-I_{xz}({\mathcal {S}})\\-I_{xy}({\mathcal {S}})&J_{Oy}({\mathcal {S}})&-I_{yz}({\mathcal {S}})\\-I_{xz}({\mathcal {S}})&-I_{yz}({\mathcal {S}})&J_{Oz}({\mathcal {S}})\end{array}}\right]\;$».

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion surfacique finie

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion surfacique finie relativement au référentiel d'espace qui lui est lié

     Soit un solide $\;({\mathcal {S}})$, modélisé par un milieu continu de matière d'expansion surfacique finie $\;\left(S\right)$,
     Soit un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$, modélisé par de masse surfacique $\;\sigma (M)\;$ où $\;M\in \left(S\right)\;$ est repéré par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$,
     Soit un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$, modélisé par de masse surfacique $\;\color {transparent}{\sigma (M)}\;$ où $\;O\;$ étant un point fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide,
     on appelle « tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe
     on appelle « la somme continue des tenseurs d'inertie de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$» c.-à-d.
         on appelle « la somme continue des «$\;d{\mathcal {I}}(M)=\left(dm\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -dm\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$» tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant dans lequel
         on appelle « la somme continue des $\bullet \;$$\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$
         on appelle « la somme continue des $\color {transparent}{\bullet }\;$${\big [}$«$\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant  » $\,\in \,W^{\,\otimes \,2}\;$ ,
         on appelle « la somme continue des $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{\big [}$«$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ${\big ]}$,
         on appelle « la somme continue des $\bullet \;$$\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ et
         on appelle « la somme continue des $\bullet \;$$\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker
         on appelle soit finalement le « tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}d{\mathcal {I}}(M)\;$» .

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

     Avec $\;W\;$ la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée,
     Av le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ayant pour base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ et
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariants obtenu en faisant
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ le tenseur d'inertie $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ étant la somme continue des tenseurs d'inertie $\;d{\mathcal {I}}(M)\;$ de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$ $\Rightarrow$
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})$, tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})$, dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue des composantes des $\;d{\mathcal {I}}(M)$, tenseurs d'inertie des pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue des composantes des $\;\color {transparent}{d{\mathcal {I}}(M)}$, dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue des composantes des $\;\color {transparent}{d{\mathcal {I}}(M)}$, dans $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ avec
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes des $\;d{\mathcal {I}}(M)$, tenseurs d'inertie des pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{x,\,x}(M)=dm\left(y^{2}+z^{2}\right)\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{x,\,y}(M)=-dm\;x\;y\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{x,\,z}(M)=-dm\;x\;z\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{y,\,x}(M)=-dm\;x\;y\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{y,\,y}(M)=dm\left(x^{2}+z^{2}\right)\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{y,\,z}(M)=-dm\;y\;z\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{z,\,x}(M)=-dm\;x\;z\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{z,\,y}(M)=-dm\;y\;z\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{z,\,z}(M)=dm\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» d'où,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue avec $\;dm=\sigma (M)\;dS_{M}\;$ masse du pseudo-point $\;M\;$ d'expansion
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue avec $\;\color {transparent}{dm=\sigma (M)\;dS_{M}}\;$ surfacique d'aire $\;dS_{M}=dM_{1}\;dM_{2}\;$ $\Rightarrow$
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})$, tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})$, dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ :
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\mu (M)\;x\;y\;dS_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\;$» et
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;$» .

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

     Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$, par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et
 Tout le tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant « la somme continue  » des tenseurs d'inertie des « pseudo-points » le composant ${\big (}$tenseurs d'ordre $\;2{\big )}$, étant lui-même un tenseur d'ordre $\;2$,
Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3$, « somme continue  » des matrices carrées représentant les tenseurs d'inertie des « pseudo-points » du solide  ;
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est sans ambiguïté
        Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par la matrice elle est appelée matrice d'inertie du solide$\;({\mathcal {S}})\;$ et
        Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par la matrice elle est notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big (}$ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté${\big )}$,
        Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par la matrice elle s'écrit «$\;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\!&\!-\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}\!&\!-\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\\-\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}\!&\!\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\!&\!-\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\\-\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\!&\!-\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\!&\!\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\end{array}}\right]\,$»  ;
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\bullet \;$les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$les éléments diagonaux $\succ \;$«$\;J_{Ox}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$ moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à $\;Ox\;$»,
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$les éléments diagonaux $\succ \;$«$\;J_{Oy}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$ moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à $\;Oy\;$» et
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$les éléments diagonaux $\succ \;$«$\;J_{Oz}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;$ moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à $\;Oz\;$»,
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\bullet \;$l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$«$\;I_{xy}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}\;$ produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;xOy\;$»,
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$«$\;I_{xz}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\;$ produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;xOz\;$» et
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$«$\;I_{yz}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\;$ produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;yOz\;$»,
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture selon «$\;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}({\mathcal {S}})&-I_{xy}({\mathcal {S}})&-I_{xz}({\mathcal {S}})\\-I_{xy}({\mathcal {S}})&J_{Oy}({\mathcal {S}})&-I_{yz}({\mathcal {S}})\\-I_{xz}({\mathcal {S}})&-I_{yz}({\mathcal {S}})&J_{Oz}({\mathcal {S}})\end{array}}\right]\;$».

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion linéique finie

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion linéique finie relativement au référentiel d'espace qui lui est lié

     Soit un solide $\;({\mathcal {S}})$, modélisé par un milieu continu de matière d'expansion linéique finie $\;\left(\Gamma \right)$,
     Soit un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$, modélisé par de masse linéique $\;\lambda (M)\;$, où $\;M\in \left(\Gamma \right)\;$ est repéré par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$,
     Soit un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$, modélisé par de masse linéique $\;\color {transparent}{\lambda (M)}\;$ où $\;O\;$ étant un point fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide,
     on appelle « tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe
     on appelle « la somme continue des tenseurs d'inertie de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$» c.-à-d.
         on appelle « la somme continue des «$\;d{\mathcal {I}}(M)=\left(dm\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -dm\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$» tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant dans lequel
         on appelle « la somme continue des $\bullet \;$$\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$
         on appelle « la somme continue des $\color {transparent}{\bullet }\;$${\big [}$«$\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant  » $\,\in \,W^{\,\otimes \,2}\;$ ,
         on appelle « la somme continue des $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{\big [}$«$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ${\big ]}$,
         on appelle « la somme continue des $\bullet \;$$\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ et
         on appelle « la somme continue des $\bullet \;$$\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker
         on appelle soit finalement le « tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}d{\mathcal {I}}(M)\;$» .

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

     Avec $\;W\;$ la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée,
     Av le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ayant pour base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ et
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariants obtenu en faisant
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ le tenseur d'inertie $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ étant la somme continue des tenseurs d'inertie $\;d{\mathcal {I}}(M)\;$ de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$ $\Rightarrow$
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})$, tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})$, dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue des composantes des $\;d{\mathcal {I}}(M)$, tenseurs d'inertie des pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue des composantes des $\;\color {transparent}{d{\mathcal {I}}(M)}$, dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue des composantes des $\;\color {transparent}{d{\mathcal {I}}(M)}$, dans $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ avec
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes des $\;d{\mathcal {I}}(M)$, tenseurs d'inertie des pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{x,\,x}(M)=dm\left(y^{2}+z^{2}\right)\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{x,\,y}(M)=-dm\;x\;y\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{x,\,z}(M)=-dm\;x\;z\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{y,\,x}(M)=-dm\;x\;y\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{y,\,y}(M)=dm\left(x^{2}+z^{2}\right)\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{y,\,z}(M)=-dm\;y\;z\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{z,\,x}(M)=-dm\;x\;z\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{z,\,y}(M)=-dm\;y\;z\;$» ,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue les composantes $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;d{\mathcal {I}}_{z,\,z}(M)=dm\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» d'où,
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue avec $\;dm=\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ masse du pseudo-point $\;M\;$ d'expansion
            Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, s'obtiennent par somme continue avec $\;\color {transparent}{dm=\sigma (M)\;dS_{M}}\;$ linéique de longueur $\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ $\Rightarrow$
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})$, tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})$, dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ :
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{y}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{x}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{y}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» et
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes de $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}$, $\succ \;$sur $\;{\vec {u}}_{z}\otimes {\vec {u}}_{z}\;$ : «$\;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$» .

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

     Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$, par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et
 Tout le tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant « la somme continue  » des tenseurs d'inertie des « pseudo-points » le composant ${\big (}$tenseurs d'ordre $\;2{\big )}$, étant lui-même un tenseur d'ordre $\;2$,
Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3$, « somme continue  » des matrices carrées représentant les tenseurs d'inertie des « pseudo-points » du solide  ;
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est sans ambiguïté
        Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par la matrice elle est appelée matrice d'inertie du solide$\;({\mathcal {S}})\;$ et
        Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par la matrice elle est notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big (}$ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté${\big )}$,
        Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par la matrice elle s'écrit «$\;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\!&\!-\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\!&\!-\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\\-\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\!&\!\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\!&\!-\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\\-\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\!&\!-\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\!&\!\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\end{array}}\right]\,$»  ;
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\bullet \;$les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$les éléments diagonaux $\succ \;$«$\;J_{Ox}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$ moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à $\;Ox\;$»,
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$les éléments diagonaux $\succ \;$«$\;J_{Oy}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$ moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à $\;Oy\;$» et
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$les éléments diagonaux $\succ \;$«$\;J_{Oz}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$ moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à $\;Oz\;$»,
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\bullet \;$l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$«$\;I_{xy}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;xOy\;$»,
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$«$\;I_{xz}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;xOz\;$» et
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$«$\;I_{yz}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;yOz\;$»,
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$
   Tout le tenseur d'inertie d'un solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$est représenté par soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture selon «$\;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}({\mathcal {S}})&-I_{xy}({\mathcal {S}})&-I_{xz}({\mathcal {S}})\\-I_{xy}({\mathcal {S}})&J_{Oy}({\mathcal {S}})&-I_{yz}({\mathcal {S}})\\-I_{xz}({\mathcal {S}})&-I_{yz}({\mathcal {S}})&J_{Oz}({\mathcal {S}})\end{array}}\right]\;$».

Axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie

Caractère « autoadjoint » de l'endomorphisme représenté par la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie, matrice autoadjointe

     Toute matrice carrée $\;3\;{\text{x}}\;3\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$ ${\big (}$direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien modélisant l'espace physique${\big )}$,
           Toute matrice carrée $\;\color {transparent}{3\;{\text{x}}\;3}\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme il existe donc un endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$
           Toute matrice carrée $\;\color {transparent}{3\;{\text{x}}\;3}\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme il existe donc un endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ représenté par la matrice d'inertie $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ modélisé
           Toute matrice carrée $\;\color {transparent}{3\;{\text{x}}\;3}\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme il existe donc un endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ représenté par un milieu continu de matière d'expansion finie c.-à-d.
           Toute matrice carrée $\;\color {transparent}{3\;{\text{x}}\;3}\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme il existe donc un endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ avec la base $\;{\big (}$choisie orthonormée${\big )}\;$ «$\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$»,
           Toute matrice carrée $\;\color {transparent}{3\;{\text{x}}\;3}\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme il existe donc un endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ «$\;\exists !\;\varphi \,\in \,L(W)\;$ tel que $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$»  ;
 Toute la matrice d'inertie $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie
 Toute la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ étant « symétrique », l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;W\;$ qu'elle représente dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ est « autoadjoint » c.-à-d. vérifiant
 Toute la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ étant « symétrique », «$\;\forall \;\left({\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\in W^{2}$, $\;{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})=\varphi ({\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$»  ; par extension nous dirons que
 Toute la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ étant « symétrique », la matrice d'inertie $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie est « autoadjointe » .

Caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie

Début d’un théorème

Théorème spectral en dimension finie pour les endomorphismes (admis)

     « Tout endomorphisme auto-adjoint d'un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormée et
                 « Tout endomorphisme auto-adjoint d'un espace euclidien ses valeurs propres sont toutes réelles ».

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème spectral en dimension finie pour les matrices (admis)

     « Toute matrice symétrique réelle $\,\left[A\right]\,$ est diagonalisable ${\big \{}$il existe une matrice diagonale $\;\left[D\right]\;$ à cœfficients réels semblable à $\,\left[A\right]\;$
             « Toute matrice symétrique réelle $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est diagonalisable $\;\color {transparent}{\big \{}$il existe une matrice diagonale $\;\Updownarrow$
         « Toute matrice symétrique réelle $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est diagonalisable $\;\color {transparent}{\big \{}$il existe une matrice orthogonale $\;\left[P\right]\;$ à cœfficients réels et
         « Toute matrice symétrique réelle $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est diagonalisable $\;\color {transparent}{\big \{}$il existe une matrice diagonale $\;\left[D\right]\;$ à cœfficients réels telles que
         « Toute matrice symétrique réelle $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est diagonalisable $\;\color {transparent}{\big \{}$«$\;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[D\right]\times \left[P\right]^{-1}\;$» ${\big \}}\;$».

Fin du théorème

     D'après le théorème spectral en dimension finie pour les matrices, on peut donc affirmer que la matrice d'inertie$\;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie
     D'après le théorème spectral en dimension finie pour les matrices, on peut donc affirmer que la matrice d'inertie$\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est diagonalisable.

Définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide

     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie relativement à un référentiel lié au solide,
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\;W\;$
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\Rightarrow$ le caractère diagonalisable de cette matrice carrée ,
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir une nouvelle base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir pour que la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ soit transformée en $\;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]\;$ diagonale ;
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les axes $\;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$ passant par le point $\;O\;$ et orientés par $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;$
            La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les axes $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}}\;$ sont appelés « axes principaux d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$
            La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les axes $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}}\;$ sont appelés « issus de $\;O$ $\;{\big (}$point fixe de ce dernier${\big )}\;$» ;
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les éléments diagonaux de $\;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]\;$ à savoir $\;J_{OX}({\mathcal {S}})$, $\;J_{OY}({\mathcal {S}})\;$ et $\;J_{OZ}({\mathcal {S}})\;$
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les éléments diagonaux de $\;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;$ sont appelés « moments principaux d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les éléments diagonaux de $\;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;$ sont appelés « relativement aux axes respectifs
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les éléments diagonaux de $\;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;$ sont appelés « relativement $\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$»,
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les éléments diagonaux leurs valeurs dépendent de la répartition de la masse du solide $\;({\mathcal {S}})\;$
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les éléments diagonaux leurs valeurs dépendent autour des axes principaux d'inertie de $\;({\mathcal {S}})$ ;

     la matrice d'inertie $\;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié à $\;({\mathcal {S}})\;$ et
     la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ « relativement axes principaux d'inertie $\;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ issus du point $\;O$, point fixe de $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$»,
     la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'écrit, avec «$\;J_{OX}({\mathcal {S}})$, $\;J_{OY}({\mathcal {S}})\;$ et $\;J_{OZ}({\mathcal {S}})\;$ moments principaux d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$», selon «$\;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{OX}({\mathcal {S}})&0&0\\0&J_{OY}({\mathcal {S}})&0\\0&0&J_{OZ}({\mathcal {S}})\end{array}}\right]\;$».

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion spatiale finie

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu de matière d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique $\;\mu _{0}$,
y figurent les axes principaux d'inertie de ces solides ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :

• « Boule $\;\left({\mathcal {B}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}\;$» ,
       « Boule $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {B}}\right)}$, « tout axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par son centre $\;G\;$ est axe principal d'inertie »
       « Boule $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {B}}\right)}$, « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m\;R^{2}\;$» .
• « Cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de longueur $\;H$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=\pi \;\mu _{0}\;R^{2}\;H\;$» ,
         Cylindre de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie » ,
         Cylindre de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $\color {transparent}{\succ }\;$« le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$» et
         Cylindre de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie » ,
         Cylindre de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $\color {transparent}{\succ }\;$« le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$» .

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu de matière d'expansion surfacique finie, de masse surfacique $\;\sigma _{0}$,
y figurent les axes principaux d'inertie de ces solides ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :

• « Sphère $\;\left(S\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$» ,
       « Sphère $\;\color {transparent}{\left(S\right)}$, « tout axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par son centre $\;G\;$ est axe principal d'inertie » ,
       « Sphère $\;\color {transparent}{\left(S\right)}$, « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}\;$» .
• « Tuyau cylindrique de révolution $\;\left({\mathcal {T}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de longueur $\;H$, de centre $\;G$, ouvert aux deux extrémités et de masse $\;m=$ $2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\;$» ,
         Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, $\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie » ,
         Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, $\color {transparent}{\succ }\;$« le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=m\;R^{2}\;$» et
         Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, $\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie » ,
         Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, $\color {transparent}{\succ }\;$« le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$» .
• « Disque $\;\left({\mathcal {D}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$» ,
         Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, $\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe du disque est axe principal d'inertie » ,
         Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, $\color {transparent}{\succ }\;$« le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$» et
         Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, $\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe du disque $\;{\big (}$c.-à-d. tout support de diamètre${\big )}\;$ est aussi axe principal d'inertie » ,
         Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, $\color {transparent}{\succ }\;$« le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}\;$» .

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu de matière d'expansion linéique finie, de masse linéique $\;\lambda _{0}$,
y figurent les axes principaux d'inertie de ces solides ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :

• « Cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=2\;\pi \;\lambda _{0}\;R\;$»,
         Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe du cercle est axe principal d'inertie » ,
         Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $\color {transparent}{\succ }\;$« le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=m\;R^{2}\;$» et
         Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe du cercle $\;{\big (}$c.-à-d. tout support de diamètre${\big )}\;$ est aussi axe principal d'inertie » ,
         Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $\color {transparent}{\succ }\;$« le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$» .
• Tige rectiligne $\;\left({\mathcal {T}}\right)$, homogène, de longueur $\;{\mathit {l}}$, de centre d'inertie $\;G\;$ et de masse $\;m=\lambda _{0}\;{\mathit {l}}$,
  Tige rectiligne$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$,$\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre d'inertie $\;G\;$ et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme axe principal d'inertie » , mais
  Tige rectiligne$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$,$\color {transparent}{\succ }\;$« le moment principal d'inertie correspondant étant nul $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=0\;$» $\;{\big [}\Rightarrow$ l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ n'est pas en pratique comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de $\;{\mathcal {T}}{\big ]}\;$ et
  Tige rectiligne$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$,$\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de la tige $\;{\big (}$c.-à-d. tout support de médiatrice${\big )}\;$ est axe principal d'inertie » ,
  Tige rectiligne$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$,$\color {transparent}{\succ }\;$« le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{12}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;$» .

Méthode d'évaluation de moments principaux d'inertie d'un solide (système continu indéformable d'expansion spatiale finie) utilisant les éléments de symétrie de la répartition massique de ce dernier

     Propriété : Si un solide ${\big (}$système continu indéformable d'expansion volumique, surfacique ou linéique finie${\big )}$
      Propriété : Si un solide est de répartition massique identique par symétrie relativement à deux axes principaux d'inertie distincts,
      Propriété : Si un solide est de répartition massique identique par symétrie ses moments principaux d'inertie relativement à ces deux axes sont égaux ;
     Propriété : l'idéal est donc de trouver une identité de répartition de masse par symétrie relativement à $\bullet \;$trois axes principaux d'inertie respectivement $\;\perp \;$ et issus d'un même point
     Propriété : l'idéal est donc de trouver une identité de répartition de masse par symétrie relativement à $\color {transparent}{\bullet }\;$${\big (}$c.-à-d. de trouver un repère principal d'inertie ayant le point pour origine${\big )}\;$ ou, à défaut,
     Propriété : l'idéal est donc de trouver une identité de répartition de masse par symétrie relativement à $\bullet \;$deux axes principaux d'inertie $\;\perp$, issus d'un même point $\Rightarrow$ moments principaux d'inertie égaux
     Propriété : l'idéal est donc de trouver une identité de répartition de masse par symétrie relativement à $\color {transparent}{\bullet }\;$le moment principal d'inertie relativement au 3^ème axe du repère principal d'inertie étant $\;\neq$.

     Exemples $\;{\big (}$liste non exhaustive${\big )}$ : $\bullet \;$Boule $\;\left({\mathcal {B}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}\;$,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Boule $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {B}}\right)}$, les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Boule $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {B}}\right)}$, la répartition de masse de $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ étant identique par symétrie relativement à chacun de ces axes, on en déduit
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Boule $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {B}}\right)}$, l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {B}}\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)\;$ ou, en les ajoutant,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Boule $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {B}}\right)}$, «$\;3\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {B}}\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {B}}\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$»
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Boule $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {B}}\right)}$, ou «$\;3\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)$ $=2\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}=2\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec $\;r$, rayon polaire de $\;M$ $\;{\big (}$repérage sphérique de pôle $\;G{\big )}\;$
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Boule $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {B}}\right)}$, ou, adoptant la forme semi-intégrée de l'élément de volumique $\;d{\mathcal {V}}_{M}=4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ ${\big \{}$la fonction à intégrer ne dépendant pas de $\;\left(\theta \,,\,\varphi \right)\;$${\big \}}$
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Boule $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {B}}\right)}$, «$\;3\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=2\displaystyle \int _{0}^{R}\mu _{0}\;4\;\pi \;r^{4}\;dr=8\;\pi \;\mu _{0}\;{\dfrac {R^{5}}{5}}\;$ d'où $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {8\;\pi \;\mu _{0}}{15}}\;R^{5}\;$» et,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Boule $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {B}}\right)}$, en fonction de $\;m={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}\;$, «$\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m\;R^{2}\;$» .
     Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\bullet \;$Sphère $\;\left(S\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Sphère $\;\color {transparent}{\left(S\right)}$, les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Sphère $\;\color {transparent}{\left(S\right)}$, la répartition de masse de $\;\left(S\right)\;$ étant identique par symétrie relativement à chacun de ces axes, on en déduit
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Sphère $\;\color {transparent}{\left(S\right)}$, l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left(S\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left(S\right)=J_{\Delta _{Gz}}\!\left(S\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)\;$ ou, en les ajoutant,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Sphère $\;\color {transparent}{\left(S\right)}$, ${\begin{array}{c}\\3\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)=J_{\Delta _{Gx}}\!\left(S\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left(S\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left(S\right)=\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\\\end{array}}\;$
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Sphère $\;\color {transparent}{\left(S\right)}$, ou «$\;{\begin{array}{c}\\3\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)=2\!\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}=2\!\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\;R^{2}\;dS_{M}\\\end{array}}\;$» ${\big [}R$, rayon polaire de $\;M$ ${\big (}$repérage sphérique de pôle $\;G{\big )}{\big ]}$
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Sphère $\;\color {transparent}{\left(S\right)}$, $\Rightarrow$ «$\;{\begin{array}{c}\\3\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)=2\;R^{2}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\;dS_{M}\\\end{array}}\;$ $=8\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{4}\;$ d'où $\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)={\dfrac {8}{3}}\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{4}\;$» et,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Sphère $\;\color {transparent}{\left(S\right)}$, en fonction de $\;m=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$ «$\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}\;$» .
     Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\bullet \;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\left({\mathcal {T}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de longueur $\;H$, de centre $\;G$, ouvert aux deux extrémités et de masse $\;m=2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\;$,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, la répartition de masse de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ étant identique par symétrie relativement aux axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\right)$, on en déduit
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {T}}\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)\;$ ou,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, en les ajoutant au 3^ème moment d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ du tuyau cylindrique, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$
            Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, en les ajoutant au 3^ème moment d'inertie relativement à l'axe $\;\color {transparent}{\Delta _{Gz}}\;$ du tuyau cylind $J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;$» soit,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, avec $\;M\;\left(R\,,\,\theta \,,\,z\right)$, coordonnées en repérage cylindro-polaire de pôle $\;G\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Gz}}$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, $2\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\left(R^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$» ou, en adoptant la forme semi-intégrée de l'élément d'aire $\;dS_{M}=2\;\pi \;R\;dz\;$
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, ${\big (}$la fonction à intégrer étant indépendante de $\;\theta {\big )}$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R\displaystyle \int _{-{\frac {H}{2}}}^{+{\frac {H}{2}}}\left(R^{2}+z^{2}\right)dz=$
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, $4\;\pi \;\sigma _{0}\;R\,\left[R^{2}\;z+{\dfrac {z^{3}}{3}}\right]_{-{\frac {H}{2}}}^{+{\frac {H}{2}}}=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R\left(R^{2}\;H+{\dfrac {H^{3}}{12}}\right)=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\left(R^{2}+{\dfrac {H^{2}}{12}}\right)\;$» ou,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, en fonction de $\;m=2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\;$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=2\;m\left(R^{2}+{\dfrac {H^{2}}{12}}\right)\;$» ;
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, il reste à évaluer directement «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;R^{2}\;dS_{M}=R^{2}\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;dS_{M}\;$ $=2\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{3}\;H\;$» $\Rightarrow$
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=m\;R^{2}\;$ par définition de la masse » $\;{\big [}$revoir la note « ⁵⁷ » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, on en déduit
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, «$\;m\;R^{2}+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=2\;m\left(R^{2}+{\dfrac {H^{2}}{12}}\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$» .
     Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\bullet \;$Disque $\;\left({\mathcal {D}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, la répartition de masse de $\;\left({\mathcal {D}}\right)\;$ étant identique par symétrie relativement aux axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\right)$, on en déduit
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {D}}\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)\;$ ou,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, en les ajoutant au 3^ème moment d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ du disque, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)\;$
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, $=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;$» soit,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, avec $\;M\;\left(\rho \,,\,\theta \,,\,0\right)$, coordonnées en repérage cylindro-polaire de pôle $\;G\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Gz}}$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=2\!\!\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;\rho ^{2}\;dS_{M}\;$»
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, ou, en adoptant la forme semi-intégrée de l'élément d'aire $\;dS_{M}=2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ $\;{\big (}$la fonction à intégrer étant indépendante de $\;\theta {\big )}$,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=4\;\pi \;\sigma _{0}\displaystyle \int _{0}^{R}\rho ^{3}\;d\rho =4\;\pi \;\sigma _{0}\,\left[{\dfrac {\rho ^{4}}{4}}\right]_{0}^{R}=\pi \;\sigma _{0}\;R^{4}\;$» ou encore,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, en fonction de $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=m\;R^{2}\;$» ;
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, il reste à évaluer directement «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;\rho ^{2}\;dS_{M}\;$ $={\dfrac {1}{2}}\;\sigma _{0}\;\pi \;R^{4}\;$» $\;{\big [}$revoir la note « ⁶² » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ $\Rightarrow$
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$ par définition de la masse », on en déduit «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=m\;R^{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}\;$» .
     Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\bullet \;$Cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=2\;\pi \;\lambda _{0}\;R$,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, la répartition de masse de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant identique par symétrie relativement aux axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\right)$, on en déduit
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {C}}\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)\;$ ou,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, en les ajoutant au 3^ème moment d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ du cercle, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)\;$
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}+\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}+\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$» soit,
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, avec $\;M\;\left(R\,,\,\theta \,,\,0\right)$, coordonnées en repérage cylindro-polaire de pôle $\;G\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Gz}}$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=2\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;R^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}=\;$
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $2\;R^{2}\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ $=4\;\pi \;\lambda _{0}\;R^{3}\;$» ou, en fonction de $\;m=2\;\pi \;\lambda _{0}\;R$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=2\;m\;R^{2}\;$» ;
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, il reste à évaluer directement «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;R^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}=R^{2}\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ $\;=m\;R^{2}\;$ par définition de la masse », on en déduit
           Exemples $\;\color {transparent}{\big (}$liste non exhaustive$\color {transparent}{\big )}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, «$\;m\;R^{2}+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=2\;m\;R^{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$» .