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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Tenseur d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Tenseur d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Le « tenseur d'inertie » d'un solide [ 1] [ 1] Le « tenseur d'inertie » d'un solide précise un mouvement rotatoire du solide [ 1] Le « tenseur d'inertie » d'un solide précise pour cela on introduit d'abord la notion de Le « tenseur d'inertie » d'un point matériel dépendant de la masse et de la position de ce dernier dans le référentiel d'étude Le « tenseur d'inertie » d'un point matériel afin d'étudier dynamiquement son mouvement autour d'une position fixe dans le référentiel choisi, tenseur d'inertie » d'un solide [ 1] [ 1] tenseurs d'inertie » de tous les points matériels du solide [ 1]
Tenseur d'inertie d'un point matériel relativement à un référentiel d'espace
Soit un point matériel
M
{\displaystyle \;M\;}
m
{\displaystyle \;m\;}
O
{\displaystyle \;O\;}
R
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}\;}
Soit un point matériel
M
{\displaystyle \;\color {transparent}{M}\;}
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{m}\;}
par son vecteur position
O
M
→
=
r
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}}
tenseur d'inertie du point matériel
M
(
m
)
{\displaystyle \;M\;(m)\;}
R
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}\;}
O
{\displaystyle \;O\;}
on appel le « tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
[ 2] contravariant [ 3] , [ 4]
I
:=
(
m
r
→
2
)
δ
−
m
r
→
⊗
2
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}:=\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta -m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;}
on appelle « tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
r
→
⊗
2
=
r
→
⊗
r
→
{\displaystyle \;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;}
[ 5] tenseur d'ordre
1
{\displaystyle \;1\;}
contravariant [ 3] , [ 4]
r
→
{\displaystyle \;{\vec {r}}}
on appelle « tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
r
→
⊗
2
{\displaystyle \;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;}
tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
contravariant [ 3] , [ 4] [ 6]
∈
W
⊗
2
{\displaystyle \,\in \,W^{\,\otimes \,2}\;}
[ 7] , [ 8] on appelle « tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\big [}}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel des tenseurs d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
contravariants [ 3] , [ 4] on appelle « tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\big [}}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
nonadimensionnel [ 9]
]
{\displaystyle {\big ]}}
on appelle « tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
r
→
2
=
r
→
⋅
r
→
{\displaystyle \;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;}
r
→
{\displaystyle \;{\vec {r}}\;}
[ 10] on appelle « tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
δ
{\displaystyle \;\delta \;}
tenseur contravariant [ 3] , [ 4] [ 11] , [ 12]
Remarque : Le « tenseur d'inertie
I
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}\;}
M
(
m
)
{\displaystyle \;M\;(m)\;}
R
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}\;}
O
{\displaystyle \;O\;}
2
{\displaystyle \;2\;}
tenseurs d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
contravariants [ 3] , [ 4] Remarque : le 1er «
(
m
r
→
2
)
δ
{\displaystyle \;\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta \;}
tenseur contravariant [ 3] , [ 4] [ 11] Remarque : le 2nd «
−
m
r
→
⊗
2
{\displaystyle \;-m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;}
[ 5]
[ modifier | modifier le wikicode ] Avec
W
{\displaystyle \;W\;}
direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et
{
u
→
x
,
u
→
y
,
u
→
z
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;}
base orthonormée , Av le
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel nonadimensionnel
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}\;}
[ 8] tenseurs d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
contravariants [ 3] , [ 4] base orthonormée
{
u
→
i
⊗
u
→
j
}
(
i
,
j
)
∈
{
x
,
y
,
z
}
2
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;}
[ 13] Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
les composantes des deux tenseurs d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
contravariants [ 3] , [ 4] tenseur d'inertie du point matériel
M
{\displaystyle \;M\;}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
sont
∙
{\displaystyle \bullet \;}
er «
I
1
=
(
m
r
→
2
)
δ
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{1}=\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta \;}
u
→
i
⊗
u
→
j
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\;}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
I
1
,
i
,
j
=
m
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
δ
i
,
j
,
∀
(
i
,
j
)
∈
{
x
,
y
,
z
}
2
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{1,\,i,\,j}=m\,\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,\delta _{i,\,j},\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}\;}
[ 11] Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
(
δ
i
,
j
=
{
0
si
i
≠
j
1
si
i
=
j
}
{\displaystyle {\bigg (}\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;}
[ 12]
)
{\displaystyle {\bigg )}\;}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
nd «
I
2
=
−
m
r
→
⊗
2
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{2}=-m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;}
[ 5]
u
→
i
⊗
u
→
j
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\;}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
I
2
,
i
,
j
=
−
m
r
i
r
j
,
∀
(
i
,
j
)
∈
{
x
,
y
,
z
}
2
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{2,\,i,\,j}=-m\,r_{i}\;r_{j},\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}\;}
[ 14]
[
r
x
=
x
r
y
=
y
r
z
=
z
]
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}r_{x}=x\\r_{y}=y\\r_{z}=z\end{array}}\right]\;}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
I
i
,
j
=
m
[
(
∑
l
∈
{
x
,
y
,
z
}
r
l
2
)
δ
i
,
j
−
r
i
r
j
]
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{i,\,j}=m\left[\left(\sum \limits _{l\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace }r_{l}^{2}\right)\delta _{i,\,j}-r_{i}\;r_{j}\right]}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
∀
(
i
,
j
)
∈
{
x
,
y
,
z
}
2
{\displaystyle \;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}\;}
[
r
x
=
x
r
y
=
y
r
z
=
z
]
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}r_{x}=x\\r_{y}=y\\r_{z}=z\end{array}}\right]\;}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
en explicitant chaque composante du tenseur d'inertie du point matériel
M
(
m
)
{\displaystyle \;M\;(m)}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
I
x
,
x
=
m
[
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
δ
x
,
x
−
x
2
]
=
m
(
y
2
+
z
2
)
{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,x}-x^{2}\right]=m\left(y^{2}+z^{2}\right)}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
I
x
,
y
=
m
[
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
δ
x
,
y
−
x
y
]
=
−
m
x
y
{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,y}}}\;-x\;y\right]=-m\;x\;y}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
I
x
,
z
=
m
[
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
δ
x
,
z
−
x
z
]
=
−
m
x
z
{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,z}}}\;-x\;z\right]=-m\;x\;z}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
I
y
,
x
=
m
[
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
δ
y
,
x
−
y
x
]
=
−
m
x
y
{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,x}}}\;-y\;x\right]=-m\;x\;y}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
I
y
,
y
=
m
[
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
δ
y
,
y
−
y
2
]
=
m
(
x
2
+
z
2
)
{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,y}-y^{2}\right]=m\left(x^{2}+z^{2}\right)}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
I
y
,
z
=
m
[
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
δ
y
,
z
−
y
z
]
=
−
m
y
z
{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,z}}}\;-y\;z\right]=-m\;y\;z}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
I
z
,
x
=
m
[
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
δ
z
,
x
−
z
x
]
=
−
m
x
z
{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,x}}}\;-z\;x\right]=-m\;x\;z}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
I
z
,
y
=
m
[
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
δ
z
,
y
−
z
y
]
=
−
m
y
z
{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,y}}}\;-z\;y\right]=-m\;y\;z}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
I
z
,
z
=
m
[
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
δ
z
,
z
−
z
2
]
=
m
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,z}-z^{2}\right]=m\left(x^{2}+y^{2}\right)}
Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}\;}
base orthonormée de
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}}
matrice carrée
3
x
3
{\displaystyle \;3\,{\text{x}}\,3\;}
[ 15]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
la matrice carrée représentant le tenseur d'inertie
I
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
base orthonormée de
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}\;}
[ 16] Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
elle est appelée matrice d'inertie du point matériel
M
{\displaystyle \;M\;}
Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
notée
[
J
(
M
)
]
{\displaystyle \;\left[J(M)\right]}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
[
J
]
{\displaystyle \;\left[J\right]\;}
)
{\displaystyle {\big )}}
Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
elle s'écrit «
[
J
]
=
[
m
(
y
2
+
z
2
)
−
m
x
y
−
m
x
z
−
m
x
y
m
(
x
2
+
z
2
)
−
m
y
z
−
m
x
z
−
m
y
z
m
(
x
2
+
y
2
)
]
{\displaystyle \;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}m\left(y^{2}+z^{2}\right)&-m\;x\;y&-m\;x\;z\\-m\;x\;y&m\left(x^{2}+z^{2}\right)&-m\;y\;z\\-m\;x\;z&-m\;y\;z&m\left(x^{2}+y^{2}\right)\end{array}}\right]\;}
[ 17] Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du point matériel
M
{\displaystyle \;M\;}
Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
moments d'inertie du point par rapport à un axe privilégié plus précisément Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
J
O
x
=
m
(
y
2
+
z
2
)
{\displaystyle \;J_{Ox}=m\left(y^{2}+z^{2}\right)\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
O
x
{\displaystyle \;Ox\;}
[ 18] Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
J
O
y
=
m
(
x
2
+
z
2
)
{\displaystyle \;J_{Oy}=m\left(x^{2}+z^{2}\right)\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
O
y
{\displaystyle \;Oy\;}
[ 18] Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
J
O
z
=
m
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle \;J_{Oz}=m\left(x^{2}+y^{2}\right)\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
O
z
{\displaystyle \;Oz\;}
[ 18] Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
produits d'inertie du point dans un plan privilégié plus précisément Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
x
y
=
m
x
y
{\displaystyle \;I_{xy}=m\;x\;y\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
x
O
y
{\displaystyle \;xOy\;}
Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
x
z
=
m
x
z
{\displaystyle \;I_{xz}=m\;x\;z\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
x
O
z
{\displaystyle \;xOz\;}
Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
y
z
=
m
y
z
{\displaystyle \;I_{yz}=m\;y\;z\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
y
O
z
{\displaystyle \;yOz\;}
Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du point
M
{\displaystyle \;M\;}
[
J
]
=
[
J
O
x
−
I
x
y
−
I
x
z
−
I
x
y
J
O
y
−
I
y
z
−
I
x
z
−
I
y
z
J
O
z
]
{\displaystyle \;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]\;}
Tenseur d'inertie d'un solide relativement au référentiel d'espace qui lui est lié
Soit un solide
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
N
{\displaystyle \;N\;}
M
k
{\displaystyle M_{k}\;}
m
k
{\displaystyle \;m_{k}\;}
Soit un solide
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
N
{\displaystyle \;\color {transparent}{N}\;}
repérés relativement à un point
O
{\displaystyle \;O\;}
R
(
S
)
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;}
Soit un solide
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
N
{\displaystyle \;\color {transparent}{N}\;}
par leur vecteur position
O
M
k
→
=
r
→
k
{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM_{k}}}={\vec {r}}_{k}}
tenseur d'inertie du solide
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
R
(
S
)
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;}
O
{\displaystyle \;O\;}
on appelle « la somme des
N
{\displaystyle \;N\;}
tenseurs d'inertie de chaque point matériel
M
k
(
m
k
)
{\displaystyle \;M_{k}\,\left(m_{k}\right)\;}
on appelle « le tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
contravariant [ 3] , [ 4]
I
(
S
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
I
(
M
k
)
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {I}}(M_{k})\;}
on appelle « le tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
«
I
(
M
k
)
=
(
m
k
r
→
k
2
)
δ
−
m
k
r
→
k
⊗
2
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}(M_{k})=\left(m_{k}\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -m_{k}\;{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}\;}
on appelle « le tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
r
→
k
⊗
2
=
r
→
k
⊗
r
→
k
{\displaystyle \;{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}_{k}\otimes {\vec {r}}_{k}\;}
[ 5] tenseur d'ordre
1
{\displaystyle \;1\;}
contravariant [ 3] , [ 4]
r
→
k
{\displaystyle \;{\vec {r}}_{k}}
on appelle « le tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
r
→
k
⊗
2
{\displaystyle \;{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}\;}
tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
contravariant [ 3] , [ 4] [ 6]
∈
W
⊗
2
{\displaystyle \,\in \,W^{\,\otimes \,2}\;}
[ 7] , [ 8] on appelle « le tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\big [}}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel des tenseurs d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
contravariants [ 3] , [ 4] on appelle « le tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\big [}}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
nonadimensionnel [ 9]
]
{\displaystyle {\big ]}}
on appelle « le tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
r
→
k
2
=
r
→
k
⋅
r
→
k
{\displaystyle \;{\vec {r}}_{k}^{2}={\vec {r}}_{k}\cdot {\vec {r}}_{k}\;}
r
→
k
{\displaystyle \;{\vec {r}}_{k}\;}
[ 10] on appelle « le tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{2}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
δ
{\displaystyle \;\delta \;}
tenseur contravariant [ 3] , [ 4] [ 11] , [ 12]
[ modifier | modifier le wikicode ] Avec
W
{\displaystyle \;W\;}
direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et
{
u
→
x
,
u
→
y
,
u
→
z
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;}
base orthonormée , Av le
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel nonadimensionnel
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}\;}
[ 8] tenseurs d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
contravariants [ 3] , [ 4] base orthonormée
{
u
→
i
⊗
u
→
j
}
(
i
,
j
)
∈
{
x
,
y
,
z
}
2
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;}
[ 13] Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
les composantes du tenseur d'inertie
I
(
S
)
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
base orthonormée
{
u
→
i
⊗
u
→
j
}
(
i
,
j
)
∈
{
x
,
y
,
z
}
2
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
les composantes des
N
{\displaystyle \;N\;}
tenseurs d'inertie de chaque point matériel
M
k
(
m
k
)
{\displaystyle \;M_{k}\;\left(m_{k}\right)\;}
[ 19] Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
I
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
x
,
x
(
S
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
y
k
2
+
z
k
2
)
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
I
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
x
,
y
(
S
)
=
−
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
x
k
y
k
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
I
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
x
,
z
(
S
)
=
−
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
x
k
z
k
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
I
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
y
,
x
(
S
)
=
−
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
x
k
y
k
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
I
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
y
,
y
(
S
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
x
k
2
+
z
k
2
)
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
I
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
y
,
z
(
S
)
=
−
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
y
k
z
k
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
I
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
z
,
x
(
S
)
=
−
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
x
k
z
k
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
I
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
z
,
y
(
S
)
=
−
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
y
k
z
k
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}}
Av le
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
W
⊗
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;}
I
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
z
,
z
(
S
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
x
k
2
+
y
k
2
)
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)}
Tout tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}\;}
base orthonormée de
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}}
matrice carrée
3
x
3
{\displaystyle \;3\,{\text{x}}\,3\;}
[ 15] Tout le tenseur d'inertie d'un solide étant la somme des tenseurs d'inertie des points matériels le composant, lesquels sont des tenseurs d'ordre
2
{\displaystyle \;2}
tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par une matrice carrée
3
x
3
{\displaystyle \;3\,{\text{x}}\,3\;}
[ 15] matrices carrées représentant individuellement les tenseurs d'inertie des points matériels composant le solide ; Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par la matrice carrée
3
x
3
{\displaystyle \;3\,{\text{x}}\,3\;}
tenseur d'inertie
I
(
S
)
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
[ 20] base orthonormée de
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}\;}
[ 21] Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par la matrice elle est appelée matrice d'inertie du solide
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par la matrice elle est notée
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
[
J
]
{\displaystyle \;\left[J\right]\;}
)
{\displaystyle {\big )}}
Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par la matrice elle s'écrit «
[
J
(
S
)
]
=
[
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
y
k
2
+
z
k
2
)
−
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
x
k
y
k
−
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
x
k
z
k
−
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
x
k
y
k
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
x
k
2
+
z
k
2
)
−
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
y
k
z
k
−
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
x
k
z
k
−
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
y
k
z
k
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
x
k
2
+
y
k
2
)
]
{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}\\-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}&\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}\\-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}&\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{array}}\right]\;}
[ 22] Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients
∙
{\displaystyle \bullet \;}
moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
J
O
x
(
S
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
y
k
2
+
z
k
2
)
{\displaystyle \;J_{Ox}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
O
x
{\displaystyle \;Ox\;}
[ 23] Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
J
O
y
(
S
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
x
k
2
+
z
k
2
)
{\displaystyle \;J_{Oy}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
O
y
{\displaystyle \;Oy\;}
[ 23] Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
J
O
z
(
S
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
x
k
2
+
y
k
2
)
{\displaystyle \;J_{Oz}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
O
z
{\displaystyle \;Oz\;}
[ 23] Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients
∙
{\displaystyle \bullet \;}
produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
x
y
(
S
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
x
k
y
k
{\displaystyle \;I_{xy}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
x
O
y
{\displaystyle \;xOy\;}
Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
x
z
(
S
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
x
k
z
k
{\displaystyle \;I_{xz}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
x
O
z
{\displaystyle \;xOz\;}
Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
I
y
z
(
S
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
y
k
z
k
{\displaystyle \;I_{yz}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
y
O
z
{\displaystyle \;yOz\;}
Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la matrice d'inertie du solide
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
[
J
(
S
)
]
=
[
J
O
x
(
S
)
−
I
x
y
(
S
)
−
I
x
z
(
S
)
−
I
x
y
(
S
)
J
O
y
(
S
)
−
I
y
z
(
S
)
−
I
x
z
(
S
)
−
I
y
z
(
S
)
J
O
z
(
S
)
]
{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}({\mathcal {S}})&-I_{xy}({\mathcal {S}})&-I_{xz}({\mathcal {S}})\\-I_{xy}({\mathcal {S}})&J_{Oy}({\mathcal {S}})&-I_{yz}({\mathcal {S}})\\-I_{xz}({\mathcal {S}})&-I_{yz}({\mathcal {S}})&J_{Oz}({\mathcal {S}})\end{array}}\right]\;}
[ modifier | modifier le wikicode ] Toute matrice carrée
3
x
3
{\displaystyle \;3\;{\text{x}}\;3\;}
endomorphisme [ 24]
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
W
{\displaystyle \;W\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien modélisant l'espace physique
)
{\displaystyle {\big )}}
Toute matrice carrée
3
x
3
{\displaystyle \;\color {transparent}{3\;{\text{x}}\;3}\;}
il existe donc un endomorphisme
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
W
{\displaystyle \;W\;}
Toute matrice carrée
3
x
3
{\displaystyle \;\color {transparent}{3\;{\text{x}}\;3}\;}
φ
{\displaystyle \;\color {transparent}{\varphi }\;}
représenté par la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
Toute matrice carrée
3
x
3
{\displaystyle \;\color {transparent}{3\;{\text{x}}\;3}\;}
φ
{\displaystyle \;\color {transparent}{\varphi }\;}
avec la base
(
{\displaystyle \;{\big (}}
orthonormée
)
{\displaystyle {\big )}\;}
{
B
}
=
{
u
→
x
,
u
→
y
,
u
→
z
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;}
W
{\displaystyle \;W\;}
Toute matrice carrée
3
x
3
{\displaystyle \;\color {transparent}{3\;{\text{x}}\;3}\;}
φ
{\displaystyle \;\color {transparent}{\varphi }\;}
«
∃
!
φ
∈
L
(
W
)
{\displaystyle \;\exists !\;\varphi \,\in \,L(W)\;}
[ 25]
[
J
(
S
)
]
=
m
a
t
{
B
}
,
{
B
}
(
φ
)
{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;}
[ 26] Toute la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
symétrique », l'endomorphisme
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
W
{\displaystyle \;W\;}
{
B
}
=
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace =}
{
u
→
x
,
u
→
y
,
u
→
z
}
{\displaystyle \left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;}
W
{\displaystyle \;W\;}
autoadjoint » [ 27] Toute la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
«
∀
(
v
→
,
w
→
)
∈
W
2
{\displaystyle \;\forall \;\left({\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\in W^{2}}
v
→
⋅
φ
(
w
→
)
=
φ
(
v
→
)
⋅
w
→
{\displaystyle \;{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})=\varphi ({\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;}
[ 28] Toute la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
[ 29] , [ 30]
Début d’un théorème
Théorème spectral en dimension finie pour les endomorphismes (admis)
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème spectral en dimension finie pour les matrices (admis)
Fin du théorème
D'après le théorème spectral en dimension finie pour les matrices , on peut donc affirmer que la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
est diagonalisable .
La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
dans la base orthonormée
{
u
→
x
,
u
→
y
,
u
→
z
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel tridimensionnel euclidien
W
{\displaystyle \;W\;}
[ 7] La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
diagonalisable de cette matrice carrée [ 37] La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
il est donc possible de choisir une nouvelle base orthonormée
{
u
→
X
,
u
→
Y
,
u
→
Z
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;}
W
{\displaystyle \;W\;}
[ 7] La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
pour que la matrice d'inertie du solide
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]\;}
diagonale ; La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
les axes
{
O
X
→
,
O
Y
→
,
O
Z
→
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;}
O
{\displaystyle \;O\;}
{
u
→
X
,
u
→
Y
,
u
→
Z
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;}
La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
O
X
→
,
O
Y
→
,
O
Z
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}}\;}
sont appelés « axes principaux d'inertie du solide
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
O
X
→
,
O
Y
→
,
O
Z
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}}\;}
issus de
O
{\displaystyle \;O}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
les éléments diagonaux de
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]\;}
J
O
X
(
S
)
{\displaystyle \;J_{OX}({\mathcal {S}})}
J
O
Y
(
S
)
{\displaystyle \;J_{OY}({\mathcal {S}})\;}
J
O
Z
(
S
)
{\displaystyle \;J_{OZ}({\mathcal {S}})\;}
La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;}
sont appelés « moments principaux d'inertie du solide
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;}
relativement aux axes respectifs La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;}
{
O
X
→
,
O
Y
→
,
O
Z
→
}
{\displaystyle \left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;}
La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
leurs valeurs dépendent de la répartition des points matériels
M
k
(
m
k
)
{\displaystyle \;M_{k}\,(m_{k})\;}
La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
du solide
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
R
(
S
)
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
{
O
X
→
,
O
Y
→
,
O
Z
→
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
O
{\displaystyle \;O}
R
(
S
)
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;}
la matrice d'inertie
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;}
s'écrit, avec «
J
O
X
(
S
)
{\displaystyle \;J_{OX}({\mathcal {S}})}
J
O
Y
(
S
)
{\displaystyle \;J_{OY}({\mathcal {S}})\;}
J
O
Z
(
S
)
{\displaystyle \;J_{OZ}({\mathcal {S}})\;}
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
[
J
(
S
)
]
=
[
J
O
X
(
S
)
0
0
0
J
O
Y
(
S
)
0
0
0
J
O
Z
(
S
)
]
{\displaystyle \;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{OX}({\mathcal {S}})&0&0\\0&J_{OY}({\mathcal {S}})&0\\0&0&J_{OZ}({\mathcal {S}})\end{array}}\right]\;}
↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Au sens de la mécanique des systèmes de points matériels c.-à-d. un système de points matériels indéformable .
↑ Voir le paragraphe « construction de tenseurs d'ordre deux » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 Une grandeur est dite covariante lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et contravariante quand elle varie de façon contraire.
↑ 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur sont contravariantes .
↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 C.-à-d. le produit tensoriel d'un vecteur par lui-même
[
{\displaystyle \;{\big [}}
définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (produit tensoriel de deux vecteurs) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ 6,0 6,1 Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 1er type de tenseur d'ordre deux » du chap.
6
{\displaystyle 6}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ 7,0 7,1 7,2 7,3
W
{\displaystyle \;W\;}
direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien utilisé en physique
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ 8,0 8,1 8,2 8,3 C.-à-d. le produit tensoriel d'un espace vectoriel par lui-même
[
{\displaystyle \;{\big [}}
définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ 9,0 9,1 Voir le paragraphe « les quatre produits tensoriels de deux espaces vectoriels tridimensionnels formés à partir de ces derniers ou de leurs duals (1er exemple) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ 10,0 10,1 La note ci-dessous est rédigée à partir du vecteur
r
→
{\displaystyle \;{\vec {r}}\;}
r
→
k
{\displaystyle \;{\vec {r}}_{k}}
r
→
⋅
r
→
{\displaystyle \;{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;}
crochet de dualité »
⟨
?
,
?
⟩
{\displaystyle \;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;}
W
∗
×
W
{\displaystyle \;W^{*}\times W}
[
{\displaystyle \;{\Big [}}
forme bilinéaire non dégénérée construite ici à l'aide de la multiplication scalaire sur
W
{\displaystyle \;W}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
direction de l'espace affine euclidien
)
{\displaystyle {\big )}\;}
u
→
∈
W
{\displaystyle \;{\vec {u}}\in W\;}
covecteur “
u
→
⋅
∈
W
∗
{\displaystyle \;{\vec {u}}\,\cdot \;\in W^{*}\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
covecteur de
W
∗
{\displaystyle \;W^{*}}
dual de
W
{\displaystyle \;W}
forme linéaire de ce dernier
)
{\displaystyle {\big )}}
crochet de dualité » entre le covecteur “
u
→
⋅
∈
W
∗
{\displaystyle \;{\vec {u}}\,\cdot \;\in W^{*}\;}
v
→
∈
W
{\displaystyle \;{\vec {v}}\;\in W\;}
⟨
u
→
⋅
,
v
→
⟩
=
u
→
⋅
v
→
∈
R
{\displaystyle \;\langle {\vec {u}}\;\cdot \,,\,{\vec {v}}\rangle ={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\;\in \mathbb {R} }
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
crochet de dualité » entre un covecteur
φ
{\displaystyle \;\varphi }
(
{\displaystyle \;{\big (}}
forme linéaire de
W
)
{\displaystyle \;W{\big )}\;}
v
→
{\displaystyle \;{\vec {v}}\;}
⟨
φ
,
v
→
⟩
=
φ
(
v
→
)
∈
R
{\displaystyle \;\langle \varphi \,,\,{\vec {v}}\rangle =\varphi ({\vec {v}})\in \mathbb {R} }
[
{\displaystyle \;{\big [}}
notion d'espace bidual » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »
]
}
]
{\displaystyle {\big ]}{\Big \}}{\Big ]}\;}
r
∼
{\displaystyle \;{\overset {\sim }{r}}\;}
covecteur “
r
→
⋅
{\displaystyle \;{\vec {r}}\,\cdot \;}
r
→
{\displaystyle \;{\vec {r}}\;}
r
→
⋅
r
→
{\displaystyle \;{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}}
=
⟨
r
∼
,
r
→
⟩
=
r
∼
(
r
→
)
{\displaystyle =\langle {\overset {\sim }{r}}\,,\,{\vec {r}}\rangle ={\overset {\sim }{r}}({\vec {r}})\;}
produit contracté de deux tenseurs » du chap.
8
{\displaystyle 8}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » le produit contracté d'un tenseur d'ordre
1
{\displaystyle \;1\;}
covariant
u
∼
∈
W
∗
{\displaystyle \;{\overset {\sim }{u}}\in W^{*}\;}
tenseur d'ordre
1
{\displaystyle \;1\;}
contravariant
v
→
∈
W
{\displaystyle \;{\vec {v}}\in W\;}
u
∼
⊙
v
→
∈
R
{\displaystyle \;{\overset {\sim }{u}}\odot {\vec {v}}\;\in \mathbb {R} }
[
{\displaystyle \;{\Big [}}
produit contracté de ces deux tenseurs d'ordre
1
{\displaystyle \;1\;}
produit tensoriel
u
∼
⊗
v
→
∈
W
∗
⊗
W
{\displaystyle \;{\overset {\sim }{u}}\otimes {\vec {v}}\;\in W^{*}\otimes W}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
tenseurs d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
covariant et monocontravariant
)
{\displaystyle {\big )}\;}
contractant ce tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
9
{\displaystyle \;9\;}
tenseur à présenter en matrice carrée
3
x
3
{\displaystyle \;3\,{\text{x}}\,3\;}
trace c.-à-d. en faisant la somme de ses éléments diagonaux
)
{\displaystyle {\big )}\;}
tenseur d'ordre
2
−
2
=
0
{\displaystyle \;2-2=0\;}
]
{\displaystyle {\Big ]}}
r
∼
⊙
r
→
=
r
∼
(
r
→
)
{\displaystyle \;{\overset {\sim }{r}}\odot {\vec {r}}={\overset {\sim }{r}}({\vec {r}})\;}
er exemple du paragraphe « produit contracté de deux tenseurs » du chap.
8
{\displaystyle 8}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ;
r
→
2
=
r
→
⋅
r
→
{\displaystyle \;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;}
produit contracté du covecteur
r
∼
{\displaystyle \;{\overset {\sim }{r}}\;}
r
→
{\displaystyle \;{\vec {r}}\;}
r
→
2
=
r
∼
⊙
r
→
{\displaystyle \;{\vec {r}}^{2}={\overset {\sim }{r}}\odot {\vec {r}}}
↑ 11,0 11,1 11,2 11,3 Le tenseur contravariant de Kronecker
δ
{\displaystyle \;\delta \;}
tenseurs de Kronecker
(
{\displaystyle \;{\big (}}
δ
)
{\displaystyle \;\delta {\big )}\;}
covariant et l'autre “ mixte ”
(
{\displaystyle \;{\big (}}
contravariant et monocovariant
)
{\displaystyle {\big )}}
tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;2}
base orthonormée
{
u
→
i
⊗
u
→
j
}
(
i
,
j
)
∈
[
[
1
,
3
]
]
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]}\;}
espace vectoriel
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
31
8
{\displaystyle 8}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
δ
=
∑
i
=
1
.
.
3
u
→
i
⊗
u
→
i
{\displaystyle \;\delta =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{i}}
tenseur d'ordre
2
{\displaystyle \;2\;}
contravariant étant aussi une forme bilinéaire de
W
2
{\displaystyle \;W^{2}}
(
u
→
l
,
u
→
m
)
{\displaystyle \;\left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)\;}
base orthonormée
{
u
→
i
=
}
i
∈
[
[
1
,
3
]
]
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}=\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]}\;}
W
{\displaystyle \;W\;}
δ
(
u
→
l
,
u
→
m
)
=
{
∑
i
=
1
.
.
3
u
→
i
⊗
u
→
i
}
(
u
→
l
,
u
→
m
)
=
∑
i
=
1
.
.
3
{
u
→
i
⊗
u
→
i
}
(
u
→
l
,
u
→
m
)
{\displaystyle \;\delta \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{i}\right\rbrace \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{i}\right\rbrace \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)}
=
∑
i
=
1
.
.
3
⟨
u
∼
i
,
u
→
l
⟩
⟨
u
∼
i
,
u
→
m
⟩
{\displaystyle =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\langle {\overset {\sim }{u}}_{i}\,,\,{\vec {u}}_{l}\rangle \;\langle {\overset {\sim }{u}}_{i}\,,\,{\vec {u}}_{m}\rangle \;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
r
∼
{\displaystyle \;{\overset {\sim }{r}}\;}
covecteur “
r
→
⋅
{\displaystyle \;{\vec {r}}\,\cdot \;}
r
→
{\displaystyle \;{\vec {r}}\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
multiplication scalaire définie sur
W
{\displaystyle \;W\;}
⋅
{\displaystyle \;\cdot \;}
)
]
{\displaystyle {\big )}{\big ]}\;}
δ
(
u
→
l
,
u
→
m
)
=
∑
i
=
1
.
.
3
δ
i
,
l
δ
i
,
m
{\displaystyle \;\delta \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\delta _{i,\,l}\;\delta _{i,\,m}}
=
δ
l
,
m
=
{
0
si
l
≠
m
1
si
l
=
m
}
∀
(
l
,
m
)
∈
{
[
[
1
,
3
]
]
}
2
{\displaystyle =\delta _{l,\,m}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;l\neq m\\1\;{\text{si }}\;l=m\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(l\,,\,m\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;}
[
δ
l
,
m
{\displaystyle \;{\big [}\delta _{l,\,m}\;}
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
son application sur le couple
(
u
→
=
∑
l
=
1
.
.
3
u
l
u
→
l
∈
W
,
v
→
=
∑
m
=
1
.
.
3
v
m
u
→
m
∈
W
)
{\displaystyle \;\left({\vec {u}}=\sum \limits _{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;{\vec {u}}_{l}\;\in W\,,\,{\vec {v}}=\sum \limits _{m\,=\,1\,..\,3}v_{m}\;{\vec {u}}_{m}\;\in W\right)}
δ
(
u
→
,
v
→
)
=
∑
m
=
1
.
.
3
l
=
1
.
.
3
u
l
v
m
δ
(
u
→
l
,
u
→
m
)
=
{\displaystyle \;\delta \left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)=\sum \limits _{m\,=\,1\,..\,3}^{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;v_{m}\;\delta \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=}
∑
m
=
1
.
.
3
l
=
1
.
.
3
u
l
v
m
δ
l
,
m
=
∑
l
=
1
.
.
3
u
l
v
l
=
u
→
⋅
v
→
{\displaystyle \sum \limits _{m\,=\,1\,..\,3}^{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;v_{m}\;\delta _{l,\,m}=\sum \limits _{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;v_{l}={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ 12,0 12,1 12,2 Leopold Kronecker (1823 - 1891)
1850
{\displaystyle \;1850\;}
équation quintique en utilisant la théorie des groupes .
↑ 13,0 13,1 Voir le paragraphe « base pour les espaces vectoriels dont les éléments sont des tenseurs d'ordre deux (1er exemple) » du chap.
8
{\displaystyle 8}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que la notion de produit tensoriel de deux vecteurs au paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (produit tensoriel de deux vecteurs) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ D'après le paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (produit tensoriel de deux vecteurs) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »,
r
→
⊗
2
{\displaystyle \;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;}
application linéaire de
W
2
{\displaystyle \;W^{2}\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
∀
(
x
→
,
y
→
)
∈
W
2
{\displaystyle \;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in W^{2}}
{
r
→
⊗
r
→
}
(
x
→
,
y
→
)
=
(
r
→
⋅
W
x
→
)
(
r
→
⋅
W
y
→
)
∈
R
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)=\left({\vec {r}}\cdot _{W}{\vec {x}}\right)\left({\vec {r}}\cdot _{W}{\vec {y}}\right)\;\in \mathbb {R} \;}
⋅
W
{\displaystyle \;\cdot _{W}\;}
multiplication scalaire définie sur
W
{\displaystyle \;W\;}
(
b
→
i
,
b
→
j
)
{\displaystyle \;\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\right)}
{
r
→
⊗
r
→
}
(
b
→
i
,
b
→
j
)
=
(
r
→
⋅
W
b
→
i
)
(
r
→
⋅
W
b
→
i
)
=
r
i
r
j
∈
R
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\right\rbrace \left({\vec {b}}_{i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\right)=\left({\vec {r}}\cdot _{W}{\vec {b}}_{i}\right)\left({\vec {r}}\cdot _{W}{\vec {b}}_{i}\right)=r_{i}\;r_{j}\;\in \mathbb {R} \;}
↑ 15,0 15,1 15,2 Voir le paragraphe « différence de représentativités entre les tenseurs d'ordre deux (1er exemple) » du chap.
6
{\displaystyle 6}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Le numéro de ligne de la matrice carrée se détermine par le 1er indice des composantes du tenseur d'inertie
I
i
,
j
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{i,\,j}\;}
i
∈
{
x
,
y
,
z
}
{\displaystyle \;i\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace }
{
i
=
x
{\displaystyle {\big \{}i=x\;}
ère ligne,
i
=
y
{\displaystyle \;i=y\;}
ème ligne et
i
=
z
{\displaystyle \;i=z\;}
ème ligne
}
{\displaystyle {\big \}}}
matrice carrée se détermine par le 2ème indice des composantes du tenseur d'inertie
I
i
,
j
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{i,\,j}\;}
j
∈
{
x
,
y
,
z
}
{\displaystyle \;j\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace }
{
j
=
x
{\displaystyle {\big \{}j=x\;}
ère colonne,
j
=
y
{\displaystyle \;j=y\;}
ème colonne et
j
=
z
{\displaystyle \;j=z\;}
ème colonne
}
{\displaystyle {\big \}}\;}
matrice carrée en supposant le numéro de ligne déterminé par le 2ème indice des composantes du tenseur d'inertie
I
i
,
j
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{i,\,j}\;}
j
∈
{
x
,
y
,
z
}
{\displaystyle \;j\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace }
{
j
=
x
{\displaystyle {\big \{}j=x\;}
ère ligne,
j
=
y
{\displaystyle \;j=y\;}
ème ligne et
j
=
z
{\displaystyle \;j=z\;}
ème ligne
}
{\displaystyle {\big \}}\;}
matrice carrée déterminé par le 1er indice des composantes du tenseur d'inertie
I
i
,
j
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{i,\,j}\;}
i
∈
{
x
,
y
,
z
}
{\displaystyle \;i\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace }
{
i
=
x
{\displaystyle {\big \{}i=x\;}
ère colonne,
i
=
y
{\displaystyle \;i=y\;}
ème colonne et
i
=
z
{\displaystyle \;i=z\;}
ème colonne
}
{\displaystyle {\big \}}}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
I
i
,
j
=
I
j
,
i
{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{i,\,j}={\mathcal {I}}_{j,\,i}\;}
(
i
,
j
)
{\displaystyle \;\left(i,\,j\right)\;}
tenseur d'inertie étant donc invariantes par permutation des indices, la matrice carrée est symétrique
)
{\displaystyle {\big )}}
↑ On vérifie aisément que
[
J
(
M
)
]
{\displaystyle \;\left[J(M)\right]\;}
matrice carrée symétrique c.-à-d. égale à sa propre transposée
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
transposition de matrices » du chap.
2
{\displaystyle 2}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »
}
{\displaystyle {\big \}}}
↑ 18,0 18,1 18,2 Avec
M
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \;M\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;}
M
x
{\displaystyle \;M_{x}\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
O
x
{\displaystyle \;Ox}
J
O
x
=
m
(
y
2
+
z
2
)
=
m
(
M
M
x
)
2
{\displaystyle \;J_{Ox}=m\left(y^{2}+z^{2}\right)=m\;\left(MM_{x}\right)^{2}\;}
M
M
x
{\displaystyle \;MM_{x}\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
O
x
{\displaystyle \;Ox}
Avec
M
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}\;}
M
y
{\displaystyle \;M_{y}\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
O
y
{\displaystyle \;Oy}
J
O
y
=
m
(
x
2
+
z
2
)
=
m
(
M
M
y
)
2
{\displaystyle \;J_{Oy}=m\left(x^{2}+z^{2}\right)=m\;\left(MM_{y}\right)^{2}\;}
M
M
y
{\displaystyle \;MM_{y}\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
O
y
{\displaystyle \;Oy}
Avec
M
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}\;}
M
z
{\displaystyle \;M_{z}\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
O
z
{\displaystyle \;Oz}
J
O
z
=
m
(
x
2
+
y
2
)
=
m
(
M
M
z
)
2
{\displaystyle \;J_{Oz}=m\left(x^{2}+y^{2}\right)=m\;\left(MM_{z}\right)^{2}\;}
M
M
z
{\displaystyle \;MM_{z}\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
O
z
{\displaystyle \;Oz}
↑ Voir le paragraphe « détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels » plus haut dans ce chapitre.
↑ Le solide est le système indéformable des points matériels
{
M
k
(
m
k
)
,
k
∈
[
[
1
,
N
]
]
,
[
M
l
M
m
]
=
c
s
t
e
∀
(
l
,
m
)
∈
[
[
1
,
N
]
]
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace M_{k}\;\left(m_{k}\right),\;k\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right],\;\left[M_{l}M_{m}\right]=cste\;\;\forall \;\left(l\,,\,m\right)\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]^{2}\right\rbrace }
↑ Car les matrices carrées représentant individuellement les tenseurs d'inertie des points matériels composant le solide sont définies sans ambiguïté
[
{\displaystyle \;{\big [}}
16
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ On vérifie aisément que
[
J
(
S
)
]
{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;}
matrice carrée symétrique c.-à-d. égale à sa propre transposée
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
transposition de matrices » du chap.
2
{\displaystyle 2}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »
}
{\displaystyle {\big \}}}
↑ 23,0 23,1 23,2 Avec
M
k
(
x
k
,
y
k
,
z
k
)
{\displaystyle \;M_{k}\;\left(x_{k}\,,\,y_{k}\,,\,z_{k}\right)\;}
M
k
,
x
{\displaystyle \;M_{k,\,x}\;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
M
k
{\displaystyle \;M_{k}\;}
O
x
{\displaystyle \;Ox}
J
O
x
(
S
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
y
k
2
+
z
k
2
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
M
k
M
k
,
x
)
2
{\displaystyle \;J_{Ox}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;\left(M_{k}M_{k,\,x}\right)^{2}\;}
(
M
k
M
k
,
x
{\displaystyle \;{\big (}M_{k}M_{k,\,x}\;}
M
k
{\displaystyle \;M_{k}\;}
O
x
)
{\displaystyle \;Ox{\big )}}
Avec
M
k
(
x
k
,
y
k
,
z
k
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{k}\;\left(x_{k}\,,\,y_{k}\,,\,z_{k}\right)}\;}
M
k
,
y
{\displaystyle \;M_{k,\,y}\;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
M
k
{\displaystyle \;M_{k}\;}
O
y
{\displaystyle \;Oy}
J
O
y
(
S
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
x
k
2
+
z
k
2
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
M
k
M
k
,
y
)
2
{\displaystyle \;J_{Oy}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;\left(M_{k}M_{k,\,y}\right)^{2}\;}
(
M
k
M
k
,
y
{\displaystyle \;{\big (}M_{k}M_{k,\,y}\;}
M
k
{\displaystyle \;M_{k}\;}
O
y
)
{\displaystyle \;Oy{\big )}}
Avec
M
k
(
x
k
,
y
k
,
z
k
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{k}\;\left(x_{k}\,,\,y_{k}\,,\,z_{k}\right)}\;}
M
k
,
z
{\displaystyle \;M_{k,\,z}\;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
M
k
{\displaystyle \;M_{k}\;}
O
z
{\displaystyle \;Oz}
J
O
z
(
S
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
x
k
2
+
y
k
2
)
=
∑
k
=
1
.
.
N
m
k
(
M
k
M
k
,
z
)
2
{\displaystyle \;J_{Oz}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;\left(M_{k}M_{k,\,z}\right)^{2}\;}
(
M
k
M
k
,
z
{\displaystyle \;{\big (}M_{k}M_{k,\,z}\;}
M
k
{\displaystyle \;M_{k}\;}
O
z
)
{\displaystyle \;Oz{\big )}}
↑ Voir le paragraphe « 2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C)
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
B
=
C
{\displaystyle \;B=C}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
endomorphisme
)
{\displaystyle {\big )}\;}
m
=
n
=
3
}
{\displaystyle \;m=n=3{\big \}}\;}
2
{\displaystyle 2}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ L'ensemble des endomorphismes de
W
{\displaystyle \;W\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel noté
L
R
(
W
)
{\displaystyle \;L_{\mathbb {R} }(W)\;}
E
n
d
R
(
W
)
{\displaystyle \;\mathrm {End} _{\mathbb {R} }(W)\;}
L
(
W
)
{\displaystyle \;L(W)}
↑ Voir les notations du paragraphe « 2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C) » du chap.
2
{\displaystyle 2}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « décomposition spectrale de l'article Matrice symétrique de wikipédia » dans lequel il est précisé la propriété suivante « dans un espace euclidien , une matrice représentant un endomorphisme dans une base orthonormée est symétrique ssi l'endomorphisme est autoadjoint »,
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
28
}
{\displaystyle {\big \}}}
↑ Soit la matrice carrée
3
x
3
{\displaystyle \;3\;{\text{x}}\;3\;}
symétrique
[
A
]
=
[
a
d
e
d
b
f
e
f
c
]
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}a&d&e\\d&b&f\\e&f&c\end{array}}\right]\;}
endomorphisme
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
W
{\displaystyle \;W\;}
{
B
}
=
{
u
→
x
,
u
→
y
,
u
→
z
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace }
matrices colonnes de
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
{
φ
(
u
→
x
)
,
φ
(
u
→
y
)
,
φ
(
u
→
z
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace \varphi ({\vec {u}}_{x})\,,\,\varphi ({\vec {u}}_{y})\,,\,\varphi ({\vec {u}}_{z})\right\rbrace \;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
{
{\displaystyle {\big \{}}
2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C) » du chap.
2
{\displaystyle 2}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »
}
{\displaystyle {\big \}}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
{
φ
(
u
→
x
)
=
a
u
→
x
+
d
u
→
y
+
e
u
→
z
φ
(
u
→
y
)
=
d
u
→
x
+
b
u
→
y
+
f
u
→
z
φ
(
u
→
z
)
=
e
u
→
x
+
f
u
→
y
+
c
u
→
z
}
{\displaystyle \left\lbrace {\begin{array}{r c l}\varphi ({\vec {u}}_{x})\!\!&=&\!\!a\;{\vec {u}}_{x}+d\;{\vec {u}}_{y}+e\;{\vec {u}}_{z}\\\varphi ({\vec {u}}_{y})\!\!&=&\!\!d\;{\vec {u}}_{x}+b\;{\vec {u}}_{y}+f\;{\vec {u}}_{z}\\\varphi ({\vec {u}}_{z})\!\!&=&\!\!e\;{\vec {u}}_{x}+f\;{\vec {u}}_{y}+c\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;}
{
φ
(
w
→
)
=
φ
(
w
x
u
→
x
+
w
y
u
→
y
+
w
z
u
→
z
)
=
w
x
φ
(
u
→
x
)
+
w
y
φ
(
u
→
y
)
+
w
z
φ
(
u
→
z
)
φ
(
v
→
)
=
φ
(
v
x
u
→
x
+
v
y
u
→
y
+
v
z
u
→
z
)
=
v
x
φ
(
u
→
x
)
+
v
y
φ
(
u
→
y
)
+
v
z
φ
(
u
→
z
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{r c l c l}\varphi ({\vec {w}})\!\!&=&\!\!\varphi (w_{x}\;{\vec {u}}_{x}+w_{y}\;{\vec {u}}_{y}+w_{z}\;{\vec {u}}_{z})\!\!&=&\!\!w_{x}\;\varphi ({\vec {u}}_{x})+w_{y}\;\varphi ({\vec {u}}_{y})+w_{z}\;\varphi ({\vec {u}}_{z})\\\varphi ({\vec {v}})\!\!&=&\!\!\varphi (v_{x}\;{\vec {u}}_{x}+v_{y}\;{\vec {u}}_{y}+v_{z}\;{\vec {u}}_{z})\!\!&=&\!\!v_{x}\;\varphi ({\vec {u}}_{x})+v_{y}\;\varphi ({\vec {u}}_{y})+v_{z}\;\varphi ({\vec {u}}_{z})\end{array}}\right\rbrace \;}
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
multipliant scalairement
φ
(
w
→
)
{\displaystyle \;\varphi ({\vec {w}})\;}
v
→
{\displaystyle \;{\vec {v}}\;}
φ
(
v
→
)
{\displaystyle \;\varphi ({\vec {v}})\;}
w
→
{\displaystyle \;{\vec {w}}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
{
v
→
⋅
φ
(
w
→
)
=
w
x
[
v
→
⋅
φ
(
u
→
x
)
]
+
w
y
[
v
→
⋅
φ
(
u
→
y
)
]
+
w
z
[
v
→
⋅
φ
(
u
→
z
)
]
w
→
⋅
φ
(
v
→
)
=
v
x
[
w
→
⋅
φ
(
u
→
x
)
]
+
v
y
[
w
→
⋅
φ
(
u
→
y
)
]
+
v
z
[
w
→
⋅
φ
(
u
→
z
)
]
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})\!\!&=&\!\!w_{x}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{x})\right]+w_{y}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{y})\right]+w_{z}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{z})\right]\\{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {v}})\!\!&=&\!\!v_{x}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{x})\right]+v_{y}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{y})\right]+v_{z}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{z})\right]\end{array}}\right\rbrace \;}
distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle dans
W
{\displaystyle \;W\;}
euclidien
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
autres propriétés (2ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
}
{\displaystyle {\big \}}\;}
{
v
→
⋅
φ
(
w
→
)
=
w
x
[
v
x
a
+
v
y
d
+
v
z
e
]
+
w
y
[
v
x
d
+
v
y
b
+
v
z
f
]
+
w
z
[
v
x
e
+
v
y
f
+
v
z
c
]
w
→
⋅
φ
(
v
→
)
=
v
x
[
w
x
a
+
w
y
d
+
w
z
e
]
+
v
y
[
w
x
d
+
w
y
b
+
w
z
f
]
+
v
z
[
w
x
e
+
w
y
f
+
w
z
c
]
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})\!\!&=&\!\!w_{x}\left[v_{x}\;a+v_{y}\;d+v_{z}\;e\right]+w_{y}\left[v_{x}\;d+v_{y}\;b+v_{z}\;f\right]+w_{z}\left[v_{x}\;e+v_{y}\;f+v_{z}\;c\right]\\{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {v}})\!\!&=&\!\!v_{x}\left[w_{x}\;a+w_{y}\;d+w_{z}\;e\right]+v_{y}\left[w_{x}\;d+w_{y}\;b+w_{z}\;f\right]+v_{z}\left[w_{x}\;e+w_{y}\;f+w_{z}\;c\right]\end{array}}\right\rbrace \;}
{
φ
(
u
→
x
)
,
φ
(
u
→
y
)
,
φ
(
u
→
z
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace \varphi ({\vec {u}}_{x})\,,\,\varphi ({\vec {u}}_{y})\,,\,\varphi ({\vec {u}}_{z})\right\rbrace \;}
v
→
⋅
φ
(
w
→
)
=
w
→
⋅
φ
(
v
→
)
{\displaystyle \;{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})={\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {v}})\;}
autoadjoint » de
φ
{\displaystyle \;\varphi }
↑ La matrice adjointe
[
A
]
∗
{\displaystyle \;\left[A\right]^{*}\;}
matrice
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
matrice transposée
t
[
A
]
{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]\;}
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
matrice à cœfficients réels
}
{\displaystyle {\big \}}\;}
{
{\displaystyle {\big \{}}
matrice adjointe
[
A
]
∗
{\displaystyle \;\left[A\right]^{*}\;}
matrice
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
transposée de la conjuguée
)
{\displaystyle {\big )}\;}
t
[
A
]
{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]\;}
}
{\displaystyle {\big \}}}
matrice autoadjointe à cœfficients réels étant telle que son adjointe se confond avec elle c.-à-d.
[
A
]
∗
=
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]^{*}=\left[A\right]\;}
t
[
A
]
=
[
A
]
{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]=\left[A\right]\;}
matrice symétrique
{
{\displaystyle {\big \{}}
matrice autoadjointe à cœfficients complexes est toujours telle que son adjointe se confond avec elle, cela s'écrit, en notant
[
A
]
¯
{\displaystyle \;{\overline {\left[A\right]}}\;}
matrice conjuguée de
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]}
[
A
]
∗
=
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]^{*}=\left[A\right]\;}
t
[
A
]
¯
=
[
A
]
{\displaystyle \;^{t}{\overline {\left[A\right]}}=\left[A\right]\;}
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
}
{\displaystyle {\big \}}}
↑ Plus généralement une « matrice symétrique à cœfficients réels » représentant un endomorphisme autoadjoint sera dite autoadjointe.
↑ Un endomorphisme
ϖ
{\displaystyle \;\varpi \;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel euclidien
W
{\displaystyle \;W}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
direction de l'espace affine modélisant l'espace physique
)
{\displaystyle {\big )}\;}
autoadjoint ssi «
∀
(
v
→
,
w
→
)
∈
W
2
{\displaystyle \;\forall \;\left({\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\in W^{2}}
v
→
⋅
ϖ
(
w
→
)
=
ϖ
(
v
→
)
⋅
w
→
{\displaystyle \;{\vec {v}}\cdot \varpi ({\vec {w}})=\varpi ({\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;}
endomorphisme auto-adjoint est encore valable sur un
C
{\displaystyle \;\mathbb {C} }
espace vectoriel de dimension finie quelconque à condition qu'une multiplication scalaire hermitienne y soit définissable, le
C
{\displaystyle \;\mathbb {C} }
espace vectoriel de dimension finie est alors dit hermitien :multiplication scalaire hermitienne définie sur un espace hermitien
H
{\displaystyle \;H\;}
(
|
)
:
H
×
H
↦
C
{\displaystyle \;\left(\;\vert \;\right)\;:\;H\,\times \,H\mapsto \mathbb {C} \;}
telle que «
∀
(
x
,
y
)
∈
H
×
H
,
(
x
,
y
)
⟼
(
?
|
?
)
(
x
|
y
)
∈
C
{\displaystyle \;\forall \left(x\,,\,y\right)\,\in H\times H,\;\left(x\,,\,y\right)\,{\overset {\left({\text{?}}\,\vert {\text{?}}\right)}{\longmapsto }}\left(x\,\vert y\,\right)\in \mathbb {C} \;}
sesquilinéaire à gauche c.-à-d. semi-linéaire par rapport au 1er argument, le 2nd étant fixé «
∀
λ
∈
C
,
(
λ
x
|
y
)
=
λ
∗
(
x
|
y
)
{\displaystyle \;\forall \;\lambda \,\in \mathbb {C} ,\;\left(\lambda \;x\,\vert y\,\right)=\lambda ^{*}\,\left(x\,\vert y\,\right)\;}
[
λ
∗
{\displaystyle \;{\big [}\lambda ^{*}\;}
λ
]
{\displaystyle \;\lambda {\big ]}}
sesquilinéaire à gauche c.-à-d. linéaire par rapport au 2nd argument, le 1er étant fixé «
∀
λ
∈
C
,
(
x
|
λ
y
)
=
λ
(
x
|
y
)
{\displaystyle \;\forall \;\lambda \,\in \mathbb {C} ,\;\left(x\,\vert \lambda \;y\,\right)=\lambda \,\left(x\,\vert y\,\right)\;}
symétrique hermitienne c.-à-d. «
∀
(
x
,
y
)
∈
H
×
H
,
(
y
,
x
)
=
(
x
,
y
)
∗
{\displaystyle \;\forall \left(x\,,\,y\right)\,\in H\times H,\;\left(y\,,\,x\right)=\left(x\,,\,y\right)^{*}\;}
positive c.-à-d. «
∀
x
∈
H
,
(
x
,
x
)
∈
R
+
{\displaystyle \;\forall \,x\,\in H,\;\left(x\,,\,x\right)\in \mathbb {R} _{+}\;}
définie c.-à-d. «
(
x
,
x
)
=
0
→
x
=
0
{\displaystyle \;\left(x\,,\,x\right)=0\rightarrow x=0\;}
Charles Hermite (1822 - 1901)théorie des nombres , les formes quadratiques , les polynômes othogonaux , les fonctions elliptiques et les équations différentielles , il fut aussi l'un des 1ers à utiliser les matrices ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.
↑ Le théorème spectral en dimension finie pour les endomorphismes reste applicable si ces derniers sont définis dans un espace hermitien
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
31
}
{\displaystyle {\big \}}}
↑ Voir le paragraphe « valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme » du chap.
3
{\displaystyle 3}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « tentative de diagonalisation d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n » du chap.
4
{\displaystyle 4}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ 35,0 35,1 Deux matrices carrées
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
[
B
]
{\displaystyle \;\left[B\right]\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
semblables s'il existe une matrice carrée
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
inversible telle que «
[
A
]
=
[
P
]
×
[
B
]
×
[
P
]
−
1
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\times \left[P\right]^{-1}\;}
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image (cas particulier) » du chap.
2
{\displaystyle 2}
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »
}
{\displaystyle {\big \}}}
↑ Une matrice orthogonale
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
matrice carrée
(
3
x
3
{\displaystyle \;{\big (}3\;{\text{x}}\;3\;}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
unitaire c.-à-d. telle que «
[
P
]
∗
×
[
P
]
=
{\displaystyle \;\left[P\right]^{*}\times \left[P\right]=}
[
P
]
×
[
P
]
∗
=
[
I
3
]
{\displaystyle \left[P\right]\times \left[P\right]^{*}=\left[I_{3}\right]\;}
[
P
]
∗
{\displaystyle \;\left[P\right]^{*}\;}
matrice adjointe de
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
matrice transposée de la matrice conjuguée
[
P
]
¯
{\displaystyle \;{\overline {\left[P\right]}}\;}
[
P
]
∗
=
t
[
P
]
¯
{\displaystyle \;\left[P\right]^{*}=\;^{t}{\overline {\left[P\right]}}\;}
matrice à cœfficients réels
[
P
]
∗
=
t
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]^{*}=\;^{t}\left[P\right]\;}
matrice orthogonale
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
matrice carrée
(
3
x
3
)
{\displaystyle \;{\big (}3\;{\text{x}}\;3{\big )}\;}
unitaire c.-à-d. telle que «
t
[
P
]
×
[
P
]
=
[
P
]
×
t
[
P
]
=
[
I
3
]
{\displaystyle \;^{t}\left[P\right]\times \left[P\right]=\left[P\right]\times \;^{t}\left[P\right]=\left[I_{3}\right]\;}
matrice carrée est orthogonale ssi tous ses vecteurs colonnes sont orthogonaux entre eux et de norme unité, une matrice orthogonale représente donc une base orthonormée .
↑ Voir le paragraphe « caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide » plus haut dans ce chapitre.
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}r_{x}=x\\r_{y}=y\\r_{z}=z\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47071e97f7e3c5a1c532c074454f85801b34981b)
![{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{i,\,j}=m\left[\left(\sum \limits _{l\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace }r_{l}^{2}\right)\delta _{i,\,j}-r_{i}\;r_{j}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2146fc49602a4da06361e5398c36cf0a633929f1)
![{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,x}-x^{2}\right]=m\left(y^{2}+z^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d758731f2c5c3564cd0a14d40aa11bf59e8ca5)
![{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,y}}}\;-x\;y\right]=-m\;x\;y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d72424fcec67323c06426b1f4452e1099896a6)
![{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,z}}}\;-x\;z\right]=-m\;x\;z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb9c3567249bfc0d1dac51aebee2efcf395bc6f)
![{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,x}}}\;-y\;x\right]=-m\;x\;y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2de1409e8f70d238a6694b326696feca2d0bdb)
![{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,y}-y^{2}\right]=m\left(x^{2}+z^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b81f2b28333fa5d18e86dd1d6e7b12ee5f7ee8)
![{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,z}}}\;-y\;z\right]=-m\;y\;z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3722028503b2f94afb50395451f42fba435f0af1)
![{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,x}}}\;-z\;x\right]=-m\;x\;z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31910d1b69e099e41c5cd0fbeaa6e078844374ca)
![{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,y}}}\;-z\;y\right]=-m\;y\;z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c7e16dec25b1c7f59eb1c89a409ca15fef5edd)
![{\displaystyle \succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,z}-z^{2}\right]=m\left(x^{2}+y^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725f7775e17efa405f9f9ec65693f754d5386f88)
![{\displaystyle \;\left[J(M)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c839990179f4092baf8d66c053e3f39f558b1fe)
![{\displaystyle \;\left[J\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c256abc7bc9b06ecd87fc391381ee1c4b54d0b)
![{\displaystyle \;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}m\left(y^{2}+z^{2}\right)&-m\;x\;y&-m\;x\;z\\-m\;x\;y&m\left(x^{2}+z^{2}\right)&-m\;y\;z\\-m\;x\;z&-m\;y\;z&m\left(x^{2}+y^{2}\right)\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806907061e5d16a1d98db4127a050874672b3d7c)
![{\displaystyle \;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3ed4049a084defe291050c7b2c1461d98ff984)
![{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca35b4b251e31c0209af289bc536ef06ef242990)
![{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}\\-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}&\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}\\-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}&\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b492681380ff18c46306db3b22355ec45cedb8d7)
![{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}({\mathcal {S}})&-I_{xy}({\mathcal {S}})&-I_{xz}({\mathcal {S}})\\-I_{xy}({\mathcal {S}})&J_{Oy}({\mathcal {S}})&-I_{yz}({\mathcal {S}})\\-I_{xz}({\mathcal {S}})&-I_{yz}({\mathcal {S}})&J_{Oz}({\mathcal {S}})\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf939c599836f88f91431786bfaa96724072f7d)
![{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af58c37c500f8a2fd8447ebbacd69322a042088c)
![{\displaystyle \;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4947341b22102c376d712ec9c5f6336fbc01bd)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428060ea541fd97d47b8ad9718654e23b27c5968)
![{\displaystyle \,\left[A\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62fd1a4c9f4a8fd0c3fe0c4d9639adad3ab5adf)
![{\displaystyle \;\left[D\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fc1192dea96a4470587c8efc28440029f2fce5)
![{\displaystyle \,\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20eab28aa50c4808cfca5c639f4773d11bc60f0)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[A\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c825a52dedbfabb1f4d70979fb7b99e8da6475d)
![{\displaystyle \;\left[P\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd272409461d80e3a9acc88c6328805e2989d65)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[D\right]\times \left[P\right]^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5eeee98766aca178548bcbc0d6585f425782a54)
![{\displaystyle \;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99fcf15e266e7ba07b5af20be0c8cd04c6860e5e)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d6d5ae47040f12840436fa9c7acd99dcd49253)
![{\displaystyle \;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{OX}({\mathcal {S}})&0&0\\0&J_{OY}({\mathcal {S}})&0\\0&0&J_{OZ}({\mathcal {S}})\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4df65f2ca34172d58ab4d0442406e75b2ec78e3)
![{\displaystyle {\big ]}{\Big \}}{\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8b2389fe1515473e6cded60236a184c5a1f8b7)
![{\displaystyle {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3562ad363226e09873d4861d879d5d4116de3287)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66db182569ce611ad5657fa5da1ec5458923531f)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}=\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdce9d26e9339b3bdf6d72adc7c806e0af4e160e)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf218fbc487e14f73cca7693c1e60d9fce5eb3c)
![{\displaystyle =\delta _{l,\,m}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;l\neq m\\1\;{\text{si }}\;l=m\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(l\,,\,m\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12005a685081d0d12a8e68fad21971199416edb3)
![{\displaystyle \;\left[J(M)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bfcf934ec697e30b0413256e46d13f79ab5fea8)
![{\displaystyle \;\left\lbrace M_{k}\;\left(m_{k}\right),\;k\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right],\;\left[M_{l}M_{m}\right]=cste\;\;\forall \;\left(l\,,\,m\right)\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]^{2}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13b9a4905c517381dfce8ef76c7cb8220daa426)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}a&d&e\\d&b&f\\e&f&c\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0cc68c07056f89e5277dfc9802dfdd622726b7)
![{\displaystyle \;\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2911291b192c80e3aed908c7f5667327115c33ec)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})\!\!&=&\!\!w_{x}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{x})\right]+w_{y}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{y})\right]+w_{z}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{z})\right]\\{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {v}})\!\!&=&\!\!v_{x}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{x})\right]+v_{y}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{y})\right]+v_{z}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{z})\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eac6ac76853f253016c4e9b0aa4bf863abea91d)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})\!\!&=&\!\!w_{x}\left[v_{x}\;a+v_{y}\;d+v_{z}\;e\right]+w_{y}\left[v_{x}\;d+v_{y}\;b+v_{z}\;f\right]+w_{z}\left[v_{x}\;e+v_{y}\;f+v_{z}\;c\right]\\{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {v}})\!\!&=&\!\!v_{x}\left[w_{x}\;a+w_{y}\;d+w_{z}\;e\right]+v_{y}\left[w_{x}\;d+w_{y}\;b+w_{z}\;f\right]+v_{z}\left[w_{x}\;e+w_{y}\;f+w_{z}\;c\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56729c877cc78ee055db3f6a6e6189bb3d312659)
![{\displaystyle \;\left[A\right]^{*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845e6903163529fd3c1d4e15879da0f6c22178e6)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2967515d639589e196defe98b1ff3581ea640c)
![{\displaystyle \;\left[A\right]^{*}=\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e65b32f29b56641ca6348d5b8e16b89bc19ddd0a)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]=\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ca7eb9b7d1508e7a643b4e05b9b8706299e283)
![{\displaystyle \;{\overline {\left[A\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1f129f7c23bc82c1d4330eddc6bbd1d0884c72)
![{\displaystyle \;\left[A\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37edfa82eb1fe40a86db4c29e816f0fbd3c87606)
![{\displaystyle \;^{t}{\overline {\left[A\right]}}=\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c92ae9935c78c31d516f092bd0039b8b2dfc7b)
![{\displaystyle \;\lambda {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c911753226e1c437d5648b95b9018134778ceb)
![{\displaystyle \;\left[B\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2685fb2a2f23773ecad215b0e700233b3b1820e0)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\times \left[P\right]^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b3f1db36eeb43e8b6b291d833db39389742b58)
![{\displaystyle \;\left[P\right]^{*}\times \left[P\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0cc03edeb70a703b81cb604be81f19a6c13209c)
![{\displaystyle \left[P\right]\times \left[P\right]^{*}=\left[I_{3}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a439704c0f0182246722709fa5970d9668098ac1)
![{\displaystyle \;\left[P\right]^{*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/447230493116f776b149e1697400fb6620d45717)
![{\displaystyle \;{\overline {\left[P\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5cba98e1fb00e50776ccf4a4bc55f6c0cfbce3c)
![{\displaystyle \;\left[P\right]^{*}=\;^{t}{\overline {\left[P\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33770d2381113fbd83766f0cb2e48d40251ce336)
![{\displaystyle \;\left[P\right]^{*}=\;^{t}\left[P\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e916efe7a4bb01d7021dffbb945259d417c6eb)
![{\displaystyle \;^{t}\left[P\right]\times \left[P\right]=\left[P\right]\times \;^{t}\left[P\right]=\left[I_{3}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd3bf7b8cc55103bf63600eababd5d4ba8e976ef)
