Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle et expressions des champs qui en découlent

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

L'espace physique considéré dans ce chapitre est $($sauf avis contraire$)$ « orienté à droite ».

     Introduction : Une 1^ère notion de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” et de quelques champs qui en découlent
     Introduction : Une 1^ère notion a été donnée au chap.$19$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct de cet opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$» ainsi que
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct des opérateurs construits à partir de lui
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct des opérateurs “nabla scalaire ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot$»,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct des opérateurs “nabla vectoriel ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge$» et
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct des opérateurs “nabla scalaire nabla” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$ ou ${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2$», puis
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct des champs vectoriel ou scalaire qui en découlent :
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct des champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire $U(M)$
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct des champ vectoriel noté «$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[U\right](M)$»,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct des champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct des champ scalaire noté «$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{A}(M)$»,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct des champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct des champ vectoriel noté «$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge \overrightarrow{A}(M)$» et
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct des champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire $U(M)$
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$d'abord de faire un rappel succinct des champ scalaire noté «$\Delta \left[U\right](M)={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[U\right](M)$»,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$ensuite de présenter une représentation matricielle de ces champs vectoriels ou scalaires appliqués à des fonctions scalaire ou vectorielle et
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$ensuite de prolonger aux fonctions vectorielles l'application des opérateurs scalaires linéaires “dM scalaire nabla” et “vitesse scalaire nabla”
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$ensuite de prolonger aux fonctions vectorielles s'appliquant initialement aux fonctions scalaires,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$ensuite d'introduire la notion de champ laplacien vectoriel appliqué à une fonction vectorielle et
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$ensuite de vérifier, ou non, l'identification du champ laplacien vectoriel d'une fonction vectorielle dans chaque repérage
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ$ensuite de vérifier, ou non, avec l'image de la fonction vectorielle par l'opérateur scalaire linéaire “nabla scalaire nabla”.

Rappel succinct de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla”, des opérateurs qui en découlent et des principaux champs vectoriels ou scalaires appliqués à des fonctions scalaire ou vectorielle de l'espace

Opérateurs linéaires du 1^er ordre “nabla”, “nabla scalaire ...”, “nabla vectoriel ...”, opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla”

Opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”

Définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”

     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”, noté $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$, est un opérateur vectoriel linéaire tel que l'opérateur scalaire “vecteur déplacement élémentaire scalaire nabla” «$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$» est identique à l'opérateur scalaire “différenciation” «$d\left[\right]$» soit

«$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]=d\left[\right]$».

     Définition équivalente dans les principaux repérages : $\succ$repérage cartésien, «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]=\{{\overrightarrow{u}}_x{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}+{\overrightarrow{u}}_y{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}+{\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}\}\left[\right]$» ;

     Définition équivalente dans les principaux repérages : $\succ$repérage cylindro-polaire, «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]=\{{\overrightarrow{u}}_{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+{\overrightarrow{u}}_{\theta }\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+{\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}\left[\right]$» ;

     Définition équivalente dans les principaux repérages : $\succ$repérage sphérique, «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]=\{{\overrightarrow{u}}_r{\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }+{\overrightarrow{u}}_{\theta }\frac{1}{r}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }+{\overrightarrow{u}}_{\phi }\frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }\}\left[\right]$».

Opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...”

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot$» est construit à partir $\bullet$de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” et
      L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot$» est construit à partir $\bullet$de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire »,
   L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot$» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :
         L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot$» il est défini $\succ$en repérage cartésien «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{\text{?}}=\{{\overrightarrow{u}}_x{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}+{\overrightarrow{u}}_y{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}+{\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}\}\cdot \overrightarrow{\text{?}}$»,
         L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot$» il est défini $\succ$en repérage cylindro-polaire «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{\text{?}}=\{{\overrightarrow{u}}_{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+{\overrightarrow{u}}_{\theta }\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+{\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}\cdot \overrightarrow{\text{?}}$» et
         L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot$» il est défini $\succ$en repérage sphérique «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{\text{?}}=\{{\overrightarrow{u}}_r{\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }+{\overrightarrow{u}}_{\theta }\frac{1}{r}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }+{\overrightarrow{u}}_{\phi }\frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }\}\cdot \overrightarrow{\text{?}}$».

Opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...”

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge$» est construit à partir $\bullet$de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” et
      L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge$» est construit à partir $\bullet$de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication vectorielle »,
   L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge$» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :
         L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge$» il est défini $\succ$en repérage cartésien «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge \overrightarrow{\text{?}}=\{{\overrightarrow{u}}_x{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}+{\overrightarrow{u}}_y{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}+{\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}\}\wedge \overrightarrow{\text{?}}$»,
         L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge$» il est défini $\succ$en repérage cylindro-polaire «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge \overrightarrow{\text{?}}=\{{\overrightarrow{u}}_{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+{\overrightarrow{u}}_{\theta }\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+{\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}\wedge \overrightarrow{\text{?}}$» et
         L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge$» il est défini $\succ$en repérage sphérique «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge \overrightarrow{\text{?}}=\{{\overrightarrow{u}}_r{\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }+{\overrightarrow{u}}_{\theta }\frac{1}{r}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }+{\overrightarrow{u}}_{\phi }\frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }\}\wedge \overrightarrow{\text{?}}$».

Opérateur linéaire du 2^ème ordre “nabla scalaire nabla”

     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2$» est construit à partir $\bullet$de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” et
      L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2$» est construit à partir $\bullet$de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire »,
   L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2$» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :
         L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2$» il est défini $\succ$en repérage cartésien «${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[\right]={\{{\overrightarrow{u}}_x{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}+{\overrightarrow{u}}_y{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}+{\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}\}}^2\left[\right]$»,
         L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2$» il est défini $\succ$en repérage cylindro-polaire «${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[\right]={\{{\overrightarrow{u}}_{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+{\overrightarrow{u}}_{\theta }\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+{\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}}^2\left[\right]$» et
         L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2$» il est défini $\succ$en repérage sphérique «${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[\right]={\{{\overrightarrow{u}}_r{\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }+{\overrightarrow{u}}_{\theta }\frac{1}{r}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }+{\overrightarrow{u}}_{\phi }\frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }\}}^2\left[\right]$».

Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire, champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle, champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle et champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire

Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ «$U\stackrel{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}{\to }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[U\right]$» c.-à-d. un champ vectoriel de l'espace noté «$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)$ définissant
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ «$U\stackrel{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}{\to }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[U\right]$» c.-à-d. le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire $U(M)$», soit
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ «$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[U\right](M)$» avec «$U$ fonction scalaire différentiable de l'espace » d'où
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type de repérage utilisé, les composantes de «$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[U\right](M)$» :
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage cartésien «$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)=$
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage ${\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)}_{y,z}(M){\overrightarrow{u}}_x+{\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)}_{x,z}(M){\overrightarrow{u}}_y+{\left(\frac{\partial U}{\partial z}\right)}_{x,y}(M){\overrightarrow{u}}_z$»,
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage cylindro-polaire «$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)=$
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage ${\left(\frac{\partial U}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }+\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial U}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }+{\left(\frac{\partial U}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M){\overrightarrow{u}}_z$» et
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage sphérique «$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)=$
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage ${\left(\frac{\partial U}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }(M){\overrightarrow{u}}_r+\frac{1}{r}{\left(\frac{\partial U}{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }+\frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial U}{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }$» ;
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ ces composantes de «$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)$» selon le type de repérage utilisé sont en accord avec la « définition
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ intrinsèque du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » rappelée ci-dessous :

Définition intrinsèque du champ vectoriel gradient de la fonction scalaire $U(M)$

     Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire $U(M)$ noté «$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)$» est le champ vectoriel
     Le champ vectoriel tel que « sa circulation élémentaire » est égale à « la différentielle de la fonction scalaire $U(M)$» soit

«$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)\cdot \overrightarrow{dM}=dU(M)$».

     Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive $f(M,t)$ en raison du mouvement du milieu environnant $\{$caractérisé par le vecteur vitesse ${\overrightarrow{V}}_M(t)$ du point où le transport est considéré$\}$,
           Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive $f(M,t)$ on dit qu'il y a « advection de la grandeur scalaire $f(M,t)$» et
           Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive $f(M,t)$ on caractérise le transport de $f(M,t)$ par « son champ scalaire d'advection “${\overrightarrow{V}}_M(t)\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}[f(M,t)]$” s'écrivant encore
           Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive $f(M,t)$ on caractérise le transport de $f(M,t)$ par « son champ scalaire d'advection “${\overrightarrow{V}}_M(t)\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}[f(M,t)]$” ».

Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ «$\overrightarrow{A}\stackrel{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot }{\to }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{A}$» c.-à-d. un champ scalaire de l'espace noté «$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ définissant
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ «$\overrightarrow{A}\stackrel{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot }{\to }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{A}$» c.-à-d. le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$», soit
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ «$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{A}(M)$» avec «$\overrightarrow{A}$ fonction vectorielle différentiable de l'espace » d'où
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type de repérage utilisé, l'expression de «$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{A}(M)$» :
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage cartésien «$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=$
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage ${\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)+{\left(\frac{\partial A_y}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)+{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)$»,
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage cylindro-polaire «$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=$
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en $\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial \left[\rho A_{\rho }\right]}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M)+\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M)+{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M)$» et
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage sphérique «$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial \left[r^2{A}_r\right]}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }+\cdots$
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en $\cdots \frac{1}{r\sin (\theta )}{\left\{\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\theta }]}{\partial \theta }\right\}}_{r,\phi }+\frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }$» ;
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ ces expressions de «$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ intrinsèque du champ scalaire divergence de la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$»
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ intrinsèque du champ scalaire divergence de la fonction vectorielle de l'esp rappelée ci-dessous :

Définition intrinsèque du champ scalaire divergence de la fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$

     Le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$ noté «$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$» est le champ scalaire en $M$ égal au
     Le champ scalaire « quotient du flux élémentaire de $\overrightarrow{A}(M)$ “$\delta \Phi (\overrightarrow{A})$” à travers une surface élémentaire fermée $(\delta 𝒮)$ entourant $M$
     Le champ scalaire « quotient sur le volume élémentaire “$d{𝒱}_M$” mesurant l'intérieur de $(\delta 𝒮)$» soit

«$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\frac{[\delta \Phi (\overrightarrow{A})}{[d{𝒱}_M}$»     ou     «$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\frac{[{\text{∯}}_{(\delta 𝒮)}\overrightarrow{A}(M)\cdot {\overrightarrow{d^{2}S}}_{\text{lat.}}}{[d{𝒱}_M}$» où
«${\overrightarrow{d^{2}S}}_{\text{lat.}}$ est le vecteur surface élémentaire générique de la surface élémentaire fermée $(\delta 𝒮)$ entourant $M$ et orienté vers l'extérieur »,
« l'intérieur de cette surface élémentaire fermée $(\delta 𝒮)$ étant de volume $d{𝒱}_M^{;}$».

Champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ «$\overrightarrow{A}\stackrel{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge }{\to }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge \overrightarrow{A}$» c.-à-d. un champ vectoriel de l'espace noté «$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ définissant
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ «$\overrightarrow{A}\stackrel{\overrightarrow{\wedge }\cdot }{\to }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge \overrightarrow{A}$» c.-à-d. le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$», soit
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ «$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge \overrightarrow{A}(M)$» avec «$\overrightarrow{A}$ fonction vectorielle différentiable de l'espace » d'où
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type de repérage utilisé, les composantes de «$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge \overrightarrow{A}(M)$» :
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage cartésien «$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=$
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage $\left\{\begin{array}{c}[{\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)-{\left(\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)]\text{sur}{\overrightarrow{u}}_x\\ [{\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)-{\left(\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)]\text{sur}{\overrightarrow{u}}_y\\ [{\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)-{\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)]\text{sur}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$»,
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage cylindro-polaire «$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=$
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en $\left\{\begin{array}{cc}[\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial A_z}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M)-{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M)]& \text{sur}{\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ [{\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M)-{\left(\frac{\partial A_z}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M)]& \text{sur}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \frac{1}{\rho }[{\left(\frac{\partial \left[\rho A_{\theta }\right]}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M)-{\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M)]& \text{sur}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$» et
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage sphérique «$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=$
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en $\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{r\sin (\theta )}\{{\left(\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }-{\left(\frac{\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }\}& \text{sur}{\overrightarrow{u}}_r\\ \frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial \left[A_r\right]}{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }-\frac{1}{r}{\left(\frac{\partial \left[r{A}_{\phi }\right]}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }& \text{sur}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \frac{1}{r}\{{\left(\frac{\partial \left[r{A}_{\theta }\right]}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }-{\left(\frac{\partial \left[A_r\right]}{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }\}& \text{sur}{\overrightarrow{u}}_{\phi }\end{array}\right\}$» ;
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ ces composantes de «$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$» selon le type de repérage sont en accord avec la
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ « définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle de l'espace »
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ « définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de la fonction vect rappelée ci-dessous :

Définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$

     Le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$ noté «$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$» est le champ vectoriel défini en $M$ dont
     Le champ vectoriel « le flux à travers une surface élémentaire ouverte $(\delta 𝒮)$ entourant $M$ “$\delta \Phi \left(\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right]\right)$” est égal à
     Le champ vectoriel « la circulation du champ $\overrightarrow{A}(M)$ le long du contour fermé $(\delta \mathrm{\Gamma })$ limitant la surface $(\delta 𝒮)$ “$\delta 𝒞(\overrightarrow{A})$” » soit

«$\delta \Phi \left(\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right]\right)=\delta 𝒞(\overrightarrow{A})$»     ou     «$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)\cdot \overrightarrow{dS}={\oint }_{(\delta \Gamma )}\overrightarrow{A}(M)\cdot \overrightarrow{d^{2}M}$»,
«$(\delta \mathrm{\Gamma })$ étant le contour élémentaire fermé limitant la surface élémentaire ouverte centrée en $M$ et de vecteur surface élémentaire $\overrightarrow{dS}$»,
«$\overrightarrow{d^{2}M}$ étant le vecteur déplacement élémentaire générique du contour élémentaire fermé $(\delta \mathrm{\Gamma })$»,
« l'orientation du contour fermé $(\delta \mathrm{\Gamma })$ étant définie en accord avec celle de la surface ouverte $(\delta S)$».

Champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace

     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ «$U\stackrel{{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2}{\to }{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[U\right]$» c.-à-d. un champ scalaire de l'espace noté «$\Delta \left[U\right](M)$ définissant
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ «$U\stackrel{{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2}{\to }{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[U\right]$» c.-à-d. le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $U(M)$», soit
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ «$\Delta \left[U\right](M)={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[U\right](M)$» avec «$U$ fonction scalaire différentiable de l'espace » $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type de repérage utilisé, l'expression de «$\Delta \left[U\right](M)={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[U\right](M)$» :
L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage cartésien «$\Delta \left[U\right](M)=$
L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage ${\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}\right)}_{y,z}(M)+{\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}\right)}_{x,z}(M)+{\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}\right)}_{x,y}(M)$»,
L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage cylindro-polaire «$\Delta \left[U\right](M)=\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial \left[\rho {\left(\frac{\partial U}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}\right]}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+\cdots$
L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage $\cdots +\frac{1}{{\rho }^2}{\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial {\theta }^2}\right)}_{\rho ,z}+{\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}\right)}_{\rho ,\theta }$» et
L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en repérage sphérique «$\Delta \left[U\right](M)=\frac{1}{[r^2}\frac{\partial \left[r^2\frac{\partial U}{\partial r}\right]}{[\partial r}(M)+\cdots$
L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ suivant le type $\succ$en $\cdots \frac{1}{r^2\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )\frac{\partial U}{\partial \theta }]}{\partial \theta }(M)+\frac{1}{r^2{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^{2}U}{\partial {\phi }^2}(M)$» ;
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ ces expressions de «$\Delta \left[U\right](M)$» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ intrinsèque du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace »
          L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ $\Rightarrow$ intrinsèque du champ scalaire laplacien de la fonction scalaire de l'esp rappelée ci-dessous :

Définition intrinsèque du champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $U(M)$

     Le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $U(M)$ noté «$\Delta \left[U\right](M)$»
         Le champ scalaire laplacien est « le champ scalaire divergence du champ vectoriel gradient de la fonction scalaire $U(M)$ soit
         Le champ scalaire laplacien est «$\Delta \left[U\right](M)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left\{\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right]\right\}(M)$».

Représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien

     Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs sont représentables par des matrices, nous distinguons
     Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre $0$ pour les 1^ers « invariants » $[$donc représentables par une matrice de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$$]$ et
     Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre $1$ pour les 2^nds « contravariants » $[$représentables, après choix d'une base du $ℝ$-espace vectoriel les contenant,
                  Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre $1$ pour les 2^nds « contravariants » $[$représentables, par une matrice colonne de dimension $($ou taille$)$ $(3\times 1)$
                  Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre $1$ pour les 2^nds « contravariants » $[$les éléments de la colonne étant les composantes du vecteur représenté sur la base choisie$]$.
     Introduction : Admettant que les opérateurs scalaires et vectoriels sont aussi des opérateurs tensoriels représentables par des matrices d'opérateurs, nous en déduisons
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$» en matrice colonne s'écrivant $\bullet$en cartésien «${\left[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\right]}_{\text{cart}}=$ $\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{u}}_x{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}\\ {\overrightarrow{u}}_y{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}\\ {\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}\end{array}\right]\text{»},$
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$» en matrice colonne s'écrivant $\bullet$en cylindro-polaire «${\left[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\right]}_{\text{cyl}}=\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{u}}_{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}\\ \frac{{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}\\ {\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\end{array}\right]$» et
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$» en matrice colonne s'écrivant $\bullet$en sphérique «${\left[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\right]}_{\text{sph}}=\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{u}}_r{\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }\\ \frac{{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{r}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }\\ \frac{{\overrightarrow{u}}_{\phi }}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }\end{array}\right]$» ;
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot$» en matrice ligne s'écrivant $\bullet$en cartésien «${[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot ]}_{\text{cart}}=$
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot$» en matrice ligne s'écrivant $\bullet$en cartésien $[{\overrightarrow{u}}_x\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z},{\overrightarrow{u}}_y\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z},{\overrightarrow{u}}_z\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}]$»,
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot$» en matrice ligne s'écrivant $\bullet$en cylindro-polaire «${[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot ]}_{\text{cyl}}=$
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot$» en matrice ligne s'écrivant $\bullet$en $[{\overrightarrow{u}}_{\rho }\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z},{\overrightarrow{u}}_{\theta }\cdot \frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z},{\overrightarrow{u}}_z\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }]$» et
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot$» en matrice ligne s'écrivant $\bullet$en sphérique «${[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot ]}_{\text{sph}}=$
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot$» en matrice ligne s'écrivant $\bullet$$[{\overrightarrow{u}}_r\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi },{\overrightarrow{u}}_{\theta }\cdot \frac{1}{r}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi },{\overrightarrow{u}}_{\phi }\cdot \frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }]$» ;
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge$» en matrice carrée de dimension $($ou taille$)$ $(3\times 3)$ s'écrivant
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire $\bullet$en cartésien «${[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge ]}_{\text{cart}}=\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{0}\wedge & {\overrightarrow{u}}_z\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}& {\overrightarrow{u}}_y\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}\\ {\overrightarrow{u}}_z\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}& \overrightarrow{0}\wedge & {\overrightarrow{u}}_x\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}\\ {\overrightarrow{u}}_y\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}& {\overrightarrow{u}}_x\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}& \overrightarrow{0}\wedge \end{array}\right]$»,
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire $\bullet$en cylindro-polaire $\text{«}{[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge ]}_{\text{cyl}}=\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{0}\wedge & {\overrightarrow{u}}_z\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }& {\overrightarrow{u}}_{\theta }\wedge \frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}\\ {\overrightarrow{u}}_z\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }& \overrightarrow{0}\wedge & {\overrightarrow{u}}_{\rho }\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}\\ {\overrightarrow{u}}_{\theta }\wedge \frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}& \frac{{\overrightarrow{u}}_{\rho }}{\rho }\wedge {\left(\frac{\partial \{\rho }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}& \overrightarrow{0}\wedge \end{array}\right]\text{» et}$
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire $\bullet$en sphérique «${[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge ]}_{\text{sph}}=\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{0}\wedge & {\overrightarrow{u}}_{\phi }\wedge \frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }& \frac{{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\sin (\theta )}\wedge \frac{1}{r}{\left(\frac{\partial [\sin (\theta )}{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }\\ {\overrightarrow{u}}_{\phi }\wedge \frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }& \overrightarrow{0}\wedge & \frac{{\overrightarrow{u}}_r}{r}\wedge {\left(\frac{\partial \{r}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }\\ {\overrightarrow{u}}_{\theta }\wedge \frac{1}{r}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }& \frac{{\overrightarrow{u}}_r}{r}\wedge {\left(\frac{\partial \{r}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }& \overrightarrow{0}\wedge \end{array}\right]$» ;
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2$» en matrice de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$ s'écrivant
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire $\bullet$en cartésien «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{cart}}={[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot ]}_{\text{cart}}\times {\left[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\right]}_{\text{cart}}={\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\right)}_{y,z}+{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)}_{x,z}+{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\right)}_{x,y}$»,
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire $\bullet$en cylindro-polaire «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{cyl}}={[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot ]}_{\text{cyl}}\times {\left[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\right]}_{\text{cyl}}=[{\overrightarrow{u}}_{\rho }\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z},{\overrightarrow{u}}_{\theta }\cdot \frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z},{\overrightarrow{u}}_z\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }]\times \left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{u}}_{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}\\ \frac{{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}\\ {\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\end{array}\right]$
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{cyl}}$ $\bullet$$\stackrel{\dots }{=}\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial \left[\rho {\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}\right]}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+\frac{1}{{\rho }^2}{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}\right)}_{\rho ,z}+{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\right)}_{\rho ,\theta }$» et
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire $\bullet$en sphérique «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{sph}}={[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot ]}_{\text{sph}}\times {\left[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\right]}_{\text{sph}}$
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire $\bullet$en sphérique «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{sph}}$ $\stackrel{\dots }{=}[{\overrightarrow{u}}_r\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi },{\overrightarrow{u}}_{\theta }\cdot \frac{1}{r}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi },{\overrightarrow{u}}_{\phi }\cdot \frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }]\times \left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{u}}_r{\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }\\ \frac{{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{r}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }\\ \frac{{\overrightarrow{u}}_{\phi }}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }\end{array}\right]$
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire $\bullet$en sphérique «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{sph}}$ $\stackrel{\dots }{=}\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left[r^2\frac{\partial }{\partial r}\right]}{\partial r}+\frac{1}{r^2\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )\frac{\partial }{\partial \theta }]}{\partial \theta }+\frac{1}{r^2{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}$».

Représentation matricielle du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ étant l'image de $U(M)$ par l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” c.-à-d.
     Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ étant «$U(M)\stackrel{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}{\to }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[U\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)$» nous en déduisons,
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)$ $($en utilisant celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”$)$ en matrice colonne :
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en cartésien $\text{« }{[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{U\right\}(M)]}_{\text{cart}}=\left[\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)}_{y,z}(M){\overrightarrow{u}}_x\\ {\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)}_{x,z}(M){\overrightarrow{u}}_y\\ {\left(\frac{\partial U}{\partial z}\right)}_{x,y}(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]\text{ »,}$
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en cylindro-polaire «${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{U\right\}(M)]}_{\text{cyl}}=\left[\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial U}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ \frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial U}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ {\left(\frac{\partial U}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$» et
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en sphérique «${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{U\right\}(M)]}_{\text{sph}}=\left[\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial U}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }(M){\overrightarrow{u}}_r\\ \frac{1}{r}{\left(\frac{\partial U}{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial U}{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }\end{array}\right]$».

Représentation matricielle du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace

     Le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ étant l'image de $\overrightarrow{A}(M)$ par l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire …” c.-à-d.
     Le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ étant «$\overrightarrow{A}(M)\stackrel{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot }{\to }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{A}(M)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$» nous en déduisons,
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ $($en utilisant celle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” en matrice ligne et
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ $($en utilisant celle du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ en matrice colonne$)$
      suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ en matrice de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$ par multiplication matricielle :
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en cartésien «${[\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{cart}}={[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot ]}_{\text{cart}}\times {[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cart}}=[{\overrightarrow{u}}_x\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z},{\overrightarrow{u}}_y\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z},{\overrightarrow{u}}_z\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}]\times \left[\begin{array}{c}{A}_x(M){\overrightarrow{u}}_x\\ A_y(M){\overrightarrow{u}}_y\\ A_z(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en cartésien «${[\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{cart}}$ $\stackrel{\dots }{=}{\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)+{\left(\frac{\partial A_y}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)+{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)$»,
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en cylindro-polaire «${[\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{cyl}}={[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot ]}_{\text{cyl}}\times {[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}=[{\overrightarrow{u}}_{\rho }\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z},{\overrightarrow{u}}_{\theta }\cdot \frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z},{\overrightarrow{u}}_z\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}]\times \left[\begin{array}{c}{A}_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ A_z(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en cylindro-polaire «${[\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{cyl}}$ $\stackrel{\dots }{=}\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial \left[\rho A_{\rho }\right]}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M)+\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M)+{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M)$» et
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en sphérique «${[\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{sph}}={[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot ]}_{\text{sph}}\times {[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{sph}}=[{\overrightarrow{u}}_r\cdot {\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi },{\overrightarrow{u}}_{\theta }\cdot \frac{1}{r}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi },{\overrightarrow{u}}_{\phi }\cdot \frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }]\times \left[\begin{array}{c}{A}_r(M){\overrightarrow{u}}_r\\ A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ A_{\phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }\end{array}\right]$
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en sphérique «${[\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{sph}}$ $\stackrel{\dots }{=}\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial \left[r^2{A}_r\right]}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }(M)+\frac{1}{r\sin (\theta )}{\left\{\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\theta }]}{\partial \theta }\right\}}_{r,\phi }(M)+\frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }(M)$».

Représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace

     Le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ étant l'image de $\overrightarrow{A}(M)$ par l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” c.-à-d.
     Le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ étant «$\overrightarrow{A}(M)\stackrel{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge }{\to }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge \overrightarrow{A}(M)=\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$» nous en déduisons,
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ $\{$en utilisant celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” en matrice carrée
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ $\{$en utilisant celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla de dimension $($ou taille$)$ $(3\times 3)$ et
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ $\{$en utilisant celle du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$ en matrice colonne$\}$
      suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ en matrice colonne par multiplication matricielle :
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en cartésien «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{cart}}={[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge ]}_{\text{cart}}\times {[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cart}}=\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{0}\wedge & {\overrightarrow{u}}_z\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}& {\overrightarrow{u}}_y\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}\\ {\overrightarrow{u}}_z\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}& \overrightarrow{0}\wedge & {\overrightarrow{u}}_x\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}\\ {\overrightarrow{u}}_y\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}& {\overrightarrow{u}}_x\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}& \overrightarrow{0}\wedge \end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{A}_x(M){\overrightarrow{u}}_x\\ \\ A_y(M){\overrightarrow{u}}_y\\ \\ A_z(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en cartésien «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{cart}}$ $\stackrel{\dots }{=}\left[\begin{array}{c}[{\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)-{\left(\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)]{\overrightarrow{u}}_x\\ [{\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)-{\left(\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)]{\overrightarrow{u}}_y\\ [{\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)-{\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)]{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$»,
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en cylindro-polaire $\text{«}{[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{cyl}}={[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge ]}_{\text{cyl}}\times {[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}=\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{0}\wedge & {\overrightarrow{u}}_z\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }& {\overrightarrow{u}}_{\theta }\wedge \frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}\\ {\overrightarrow{u}}_z\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }& \overrightarrow{0}\wedge & {\overrightarrow{u}}_{\rho }\wedge {\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}\\ {\overrightarrow{u}}_{\theta }\wedge \frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}& \frac{{\overrightarrow{u}}_{\rho }}{\rho }\wedge {\left(\frac{\partial \{\rho }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}& \overrightarrow{0}\wedge \end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{A}_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ \\ A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \\ A_z(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en cylindro-polaire «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{cyl}}$ $\stackrel{\dots }{=}\left[\begin{array}{c}\{\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial A_z}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M)-{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ \{{\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M)-{\left(\frac{\partial A_z}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \frac{1}{\rho }\{{\left(\frac{\partial \left[\rho A_{\theta }\right]}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M)-{\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M)\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$» et
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en sphérique «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{sph}}={[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge ]}_{\text{sph}}\times {[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{sph}}$
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en sphérique «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{sph}}$ $\stackrel{\dots }{=}\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{0}\wedge & {\overrightarrow{u}}_{\phi }\wedge \frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }& \frac{{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\sin (\theta )}\wedge \frac{1}{r}{\left(\frac{\partial [\sin (\theta )}{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }\\ {\overrightarrow{u}}_{\phi }\wedge \frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }& \overrightarrow{0}\wedge & \frac{{\overrightarrow{u}}_r}{r}\wedge {\left(\frac{\partial \{r}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }\\ {\overrightarrow{u}}_{\theta }\wedge \frac{1}{r}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }& \frac{{\overrightarrow{u}}_r}{r}\wedge {\left(\frac{\partial \{r}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }& \overrightarrow{0}\wedge \end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{A}_r(M){\overrightarrow{u}}_r\\ \\ A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \\ A_{\phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }\end{array}\right]$
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en sphérique «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{sph}}$ $\stackrel{\dots }{=}\left[\begin{array}{c}\frac{1}{r\sin (\theta )}\{{\left(\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }(M)-{\left(\frac{\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }(M)\}{\overrightarrow{u}}_r\\ \{\frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial \left[A_r\right]}{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }(M)-\frac{1}{r}{\left(\frac{\partial \left[r{A}_{\phi }\right]}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \frac{1}{r}\{{\left(\frac{\partial \left[r{A}_{\theta }\right]}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }(M)-{\left(\frac{\partial \left[A_r\right]}{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\phi }\end{array}\right]$».

Représentation matricielle du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace

     Le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ étant l'image de $U(M)$ par l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” c.-à-d.
          Le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire de l'espace $U(M)$ étant «$U(M)\stackrel{{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2}{\to }{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[U\right](M)=\Delta \left[U\right](M)$» nous en déduisons,
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire $\Delta \left[U\right](M)$ $\{$en utilisant celle de l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla”
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire $\Delta \left[U\right](M)$ $\{$en utilisant celle de l'opérateur scalaire linéaire en matrice de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$$\}$
      suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire $\Delta \left[U\right](M)$ en matrice de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$ :
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en cartésien «${[\Delta \left\{U\right\}(M)]}_{\text{cart}}={\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{cart}}\{U(M)\}={\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}\right)}_{y,z}(M)+{\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}\right)}_{x,z}(M)+{\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}\right)}_{x,y}(M)$»,
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en cylindro-polaire «${[\Delta \left\{U\right\}(M)]}_{\text{cyl}}={\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{cyl}}\{U(M)\}=\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial \left[\rho {\left(\frac{\partial U}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}\right]}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M)+\frac{1}{{\rho }^2}{\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial {\theta }^2}\right)}_{\rho ,z}(M)+{\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}\right)}_{\rho ,\theta }(M)$» et
     suivant le type de repérage choisi $\bullet$en sphérique «${[\Delta \left\{U\right\}(M)]}_{\text{sph}}={\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{sph}}\{U(M)\}=\frac{1}{[r^2}\frac{\partial \left[r^2\frac{\partial U}{\partial r}\right]}{[\partial r}(M)+\frac{1}{[r^2\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )\frac{\partial U}{\partial \theta }]}{[\partial \theta }(M)+\frac{1}{[r^2{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^{2}U}{[\partial {\phi }^2}(M)$».

Prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire "nabla" aux fonctions vectorielles de l'espace et conséquences

     Introduction : ayant décrit l'application directe de l'opérateur linéaire "nabla" «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$» aux fonctions scalaires de l'espace
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants $\bullet$le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire $U(M)$ de l'espace «$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[U\right](M)$» ainsi que
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants $\bullet$le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant $▸$le champ scalaire différentielle de la fonction scalaire $U(M)$
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants $\bullet$le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant $▸$«$d\left[U\right](M)=\{\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\}\left[U\right](M)=\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)$»
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants $\bullet$le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant $▸$le champ scalaire d'advection de la grandeur scalaire intensive $f(M,t)$
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants $\bullet$le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant $▸$«${\overrightarrow{V}}_M(t)\cdot \mathrm{\nabla }[f(M,t)]={\overrightarrow{V}}_M(t)\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}[f(M,t)]$» avec ${\overrightarrow{V}}_M(t)$ le vecteur
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants $\bullet$le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant $▸$vitesse du point $M$ du milieu environnant où le transport est considéré et
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants $\bullet$le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $U(M)$ de l'espace «$\Delta \left[U\right](M)={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[U\right](M)$»,
     Introduction : nous nous proposons de donner une signification à l'application directe de l'opérateur linéaire "nabla" «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$» aux fonctions vectorielles de l'espace.

Identification de l'opérateur scalaire linéaire du premier ordre “dM scalaire nabla” avec l'opérateur “différenciation” lorsqu'ils agissent sur une fonction vectorielle de l'espace

     Nous nous proposons d'étendre le domaine d'application de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla” «$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$» aux fonctions vectorielles différentiables de l'espace ;
     Nous nous proposons d'étendre le domaine d'application de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla” pour préciser la façon dont «$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$» agit sur la fonction vectorielle «$\overrightarrow{A}(M)$»
     Nous nous proposons d'étendre le domaine d'application de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla” pour préciser nous nous plaçons en repérage « cylindro-polaire » :

     Étude en repérage « cylindro-polaire » : le vecteur déplacement élémentaire du point $M$ de coordonnées $(\rho ,\theta ,z)$ s'écrivant «$\overrightarrow{dM}=d\rho {\overrightarrow{u}}_{\rho }+\rho d\theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }+dz{\overrightarrow{u}}_z$» et
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” s'exprimant selon «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]=\{{\overrightarrow{u}}_{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+{\overrightarrow{u}}_{\theta }\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+{\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}\left[\right]$» $\Rightarrow$
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla” s'écrit selon «$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]=\{d\rho {\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+\cancel{\rho }d\theta \cancel{\frac{1}{\rho }}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+dz{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}\left[\right]$»
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, en appliquant «$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$» au champ vectoriel «$\overrightarrow{A}(M)=A_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)+A_z(M){\overrightarrow{u}}_z$» nous en déduisons
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « l'image de $\overrightarrow{A}(M)$ par $\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$» définie comme le vecteur «$\{\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=$
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «$\{d\rho {\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+d\theta {\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+dz{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}[A_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)+A_z(M){\overrightarrow{u}}_z]$», soit
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « en faisant agir les dérivées partielles uniquement sur les composantes $(A_{\rho },A_{\theta },A_z)$ de $\overrightarrow{A}(M)$ $\Rightarrow$ une 1^ère série de termes
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «$\overrightarrow{\delta A_1}=\left\{\begin{array}{c}d\rho {\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)+d\rho {\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)+d\rho {\left(\frac{\partial A_z}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M){\overrightarrow{u}}_z+\cdots \\ \cdots d\theta {\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)+d\theta {\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)+d\theta {\left(\frac{\partial A_z}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M){\overrightarrow{u}}_z+\cdots \\ \cdots dz{\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)+dz{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)+dz{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M){\overrightarrow{u}}_z+\cdots \end{array}\right\}$
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «$\overrightarrow{\delta A_1}$ $=d{A}_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)+d{A}_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)+d{A}_z(M){\overrightarrow{u}}_z$» et
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « en faisant agir les dérivées partielles sur les vecteurs de base cylindro-polaire $({\overrightarrow{u}}_{\rho },{\overrightarrow{u}}_{\theta },{\overrightarrow{u}}_z)$ $\Rightarrow$ une 2^ème série de termes
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «$\overrightarrow{\delta A_2}=\left\{\begin{array}{c}d\rho A_{\rho }(M)\cancel{{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_{\rho }}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M)}+d\rho A_{\theta }(M)\cancel{{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M)}+d\rho A_z(M)\cancel{{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_z}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M)}+\cdots \\ \cdots d\theta A_{\rho }(M){\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_{\rho }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M)+d\theta A_{\theta }(M){\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M)+d\theta A_z(M)\cancel{{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_z}{\partial \theta }\right)}_{\theta ,z}(M)}+\cdots \\ \cdots dz{A}_{\rho }(M)\cancel{{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_{\rho }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M)}+dz{A}_{\theta }(M)\cancel{{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M)}+dz{A}_z(M)\cancel{{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_z}{\partial z}\right)}_{\theta ,\theta }(M)}+\cdots \end{array}\right\}$
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «$\overrightarrow{\delta A_2}$ $=A_{\rho }(M)d{\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)d{\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)$» $\{$ou encore «$\overrightarrow{\delta A_2}=d\theta A_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)-d\theta A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)$»$\}$ soit finalement
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «$\{\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=d{A}_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)+d{A}_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)+d{A}_z(M){\overrightarrow{u}}_z+A_{\rho }(M)d{\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)d{\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)$» ou
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « en reconnaissant dans le membre de droite la différentielle $d\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ de la fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$,
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « l'identification recherchée «$\{\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=d\left[\overrightarrow{A}\right](M)$» établie en repérage cylindro-polaire et valable quel que soit le repérage.

     Étude en repérage « cartésien » : la vérification ne présente aucune difficulté, les vecteurs de base cartésienne étant indépendants du point $M$ ;
     Étude en repérage « cartésien » : le vecteur déplacement élémentaire du point $M$ de coordonnées $(x,y,z)$ s'écrivant «$\overrightarrow{dM}=dx{\overrightarrow{u}}_x+dy{\overrightarrow{u}}_y+dz{\overrightarrow{u}}_z$» et
     Étude en repérage « cartésien » : l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” s'exprimant selon «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]=\{{\overrightarrow{u}}_x{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}+{\overrightarrow{u}}_y{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}+{\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}\}\left[\right]$» $\Rightarrow$
     Étude en repérage « cartésien » : l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla” s'écrit selon «$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]=\{dx{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}+dy{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}+dz{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}\}\left[\right]$»
     Étude en repérage « cartésien » : d'où, en appliquant «$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$» au champ vectoriel «$\overrightarrow{A}(M)=A_x(M){\overrightarrow{u}}_x+A_y(M){\overrightarrow{u}}_y+A_z(M){\overrightarrow{u}}_z$» nous en déduisons
     Étude en repérage « cartésien » : d'où, «$\{\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\{dx{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}+dy{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}+dz{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}\}[A_x(M){\overrightarrow{u}}_x+A_y(M){\overrightarrow{u}}_y+A_z(M){\overrightarrow{u}}_z]$
     Étude en repérage « cartésien » : d'où, «$\{\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ $=\left\{\begin{array}{c}dx{\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\right)}_{y,z}(M){\overrightarrow{u}}_x+dx{\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_{y,z}(M){\overrightarrow{u}}_y+dx{\left(\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)}_{y,z}(M){\overrightarrow{u}}_z+\cdots \\ \cdots dy{\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_{x,z}(M){\overrightarrow{u}}_x+dy{\left(\frac{\partial A_y}{\partial y}\right)}_{x,z}(M){\overrightarrow{u}}_y+dy{\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}\right)}_{x,z}(M){\overrightarrow{u}}_z+\cdots \\ \cdots dz{\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)}_{x,y}(M){\overrightarrow{u}}_x+dz{\left(\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)}_{x,y}(M){\overrightarrow{u}}_y+dz{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{x,y}(M){\overrightarrow{u}}_z+\cdots \end{array}\right\}$ ou encore
     Étude en repérage « cartésien » : d'où, «$\{\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ $=d{A}_x(M){\overrightarrow{u}}_x+d{A}_y(M){\overrightarrow{u}}_y+d{A}_z(M){\overrightarrow{u}}_z$» s'identifiant termes à termes à «$d\left[\overrightarrow{A}\right](M)$» C.Q.F.V..

     Étude en repérage « sphérique » : vérification plus délicate $($laissée à l'initiative du lecteur$)$ utilisant la même méthode de vérification qu'en cylindro-polaire.

     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : découle de celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$» en matrice colonne
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : découle multipliée matriciellement à gauche par celle de la forme linéaire «$\overrightarrow{dM}\cdot$» en matrice ligne $\Rightarrow$
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : représentation matricielle de «$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$» en matrice de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$ soit
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en cartésien «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cart}}={[\overrightarrow{dM}\cdot ]}_{\text{cart}}\times {\left[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\right]}_{\text{cart}}$
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en cartésien «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cart}}$ $=[dx{\overrightarrow{u}}_x\cdot ,dy{\overrightarrow{u}}_y\cdot ,dz{\overrightarrow{u}}_z\cdot ]\times \left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{u}}_x{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}\\ {\overrightarrow{u}}_y{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}\\ {\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}\end{array}\right]$
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en cartésien «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cart}}$ $=dx{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}+dy{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}+dz{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}$»,
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en cylindro-polaire «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}={[\overrightarrow{dM}\cdot ]}_{\text{cyl}}\times {\left[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\right]}_{\text{cyl}}$
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en cylindro-polaire «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}$ $=[d\rho {\overrightarrow{u}}_{\rho }\cdot ,\rho d\theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }\cdot ,dz{\overrightarrow{u}}_z\cdot ]\times \left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{u}}_{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}\\ {\overrightarrow{u}}_{\theta }\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}\\ {\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\end{array}\right]$
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en cylindro-polaire «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}$ $=d\rho {\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+\cancel{\rho }d\theta \cancel{\frac{1}{\rho }}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+dz{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }$»,
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en sphérique «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{sph}}={[\overrightarrow{dM}\cdot ]}_{\text{sph}}\times {\left[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\right]}_{\text{sph}}$
                       Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en sphérique « $=[dr{\overrightarrow{u}}_r\cdot ,rd\theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }\cdot ,r\sin (\theta )d\phi {\overrightarrow{u}}_{\phi }\cdot ]\times \left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{u}}_r{\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }\\ \frac{{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{r}{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }\\ \frac{{\overrightarrow{u}}_{\phi }}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }\end{array}\right]$
                             Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en sphérique « $=dr\frac{\partial }{\partial r}+\cancel{r}d\theta \cancel{\frac{1}{r}}\frac{\partial }{\partial \theta }+\cancel{r\sin (\theta )}d\phi \cancel{\frac{1}{r\sin (\theta )}}\frac{\partial }{\partial \phi }$».

     Représentation matricielle de l'image de la fonction vectorielle$\overrightarrow{A}(M)$par l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$$\{$ou représentation matricielle de la différentielle$d\overrightarrow{A}(M)$$\}$ :
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne résultant de l'action de la matrice d'opérateurs de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$ sur la matrice colonne représentant $\overrightarrow{A}(M)$» soit
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en cartésien, «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cart}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cart}}$ $=\{dx{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}+dy{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}+dz{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}\}\left[\begin{array}{c}{A}_x(M){\overrightarrow{u}}_x\\ A_y(M){\overrightarrow{u}}_y\\ A_z(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$ s'écrit encore
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en cartésien, «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cart}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cart}}=$ $d\left\{\left[\begin{array}{c}{A}_x(M){\overrightarrow{u}}_x\\ A_y(M){\overrightarrow{u}}_y\\ A_z(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]\right\}$
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en cartésien, «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cart}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cart}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{dx{\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\right)}_{y,z}+dy{\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_{x,z}+dz{\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)}_{x,y}\}{\overrightarrow{u}}_x\\ \{dx{\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_{y,z}+dy{\left(\frac{\partial A_y}{\partial y}\right)}_{x,z}+dz{\left(\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)}_{x,y}\}{\overrightarrow{u}}_y\\ \{dx{\left(\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)}_{y,z}+dy{\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}\right)}_{x,z}+dz{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{x,y}\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}d{A}_x{\overrightarrow{u}}_x\\ \\ d{A}_y{\overrightarrow{u}}_y\\ \\ d{A}_z{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$»,
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en cylindro-polaire, «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\{d\rho {\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+d\theta {\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+dz{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}\left[\begin{array}{c}{A}_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)\\ A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ A_z(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$ s'écrit encore
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en cylindro-polaire, «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}=$ $d\left\{\left[\begin{array}{c}{A}_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)\\ A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ A_z(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]\right\}$
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en cylindro-polaire, «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{d\rho {\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+d\theta {\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+dz{\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }+d\theta A_{\rho }\frac{d{\overrightarrow{u}}_{\rho }}{d\theta }\\ \{d\rho {\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+d\theta {\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+dz{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }+d\theta A_{\theta }\frac{d{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{d\theta }\\ \{d\rho {\left(\frac{\partial A_z}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+d\theta {\left(\frac{\partial A_z}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+dz{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en cylindro-polaire, «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\left[\begin{array}{c}d{A}_{\rho }{\overrightarrow{u}}_{\rho }+A_{\rho }d{\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ \\ d{A}_{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }+A_{\theta }d{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \\ d{A}_z{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$»,
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en sphérique, «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{sph}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{sph}}$ $=\{dr{\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }+d\theta {\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }+d\phi {\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }\}\left[\begin{array}{c}{A}_r(M){\overrightarrow{u}}_r(M)\\ A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ A_{\phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }(M)\end{array}\right]$ s'écrit encore
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en sphérique, «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}=$ $d\left\{\left[\begin{array}{c}{A}_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)\\ A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ A_{\phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }(M)\end{array}\right]\right\}$
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en sphérique, «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{dr\frac{\partial A_r}{\partial r}+d\theta \frac{\partial A_r}{\partial \theta }+d\phi \frac{\partial A_r}{\partial \phi }\}{\overrightarrow{u}}_r+A_r\{d\theta {\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_r}{\partial \theta }\right)}_{\phi }+d\phi {\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_r}{\partial \phi }\right)}_{\theta }\}\\ \{dr\frac{\partial A_{\theta }}{\partial r}+d\theta \frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }+d\phi \frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }+A_{\theta }\{d\theta {\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\partial \theta }\right)}_{\phi }+d\phi {\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\partial \phi }\right)}_{\theta }\}\\ \{dr\frac{\partial A_{\phi }}{\partial r}+d\theta \frac{\partial A_{\phi }}{\partial \theta }+d\phi \frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }\}{\overrightarrow{u}}_{\phi }+A_{\phi }d\phi \frac{d{\overrightarrow{u}}_{\phi }}{d\phi }\end{array}\right]$
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en sphérique, «${[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{sph}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{sph}}$ $=\left[\begin{array}{c}d{A}_r{\overrightarrow{u}}_r+A_{r}d{\overrightarrow{u}}_r\\ \\ d{A}_{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }+A_{\theta }d{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \\ d{A}_{\phi }{\overrightarrow{u}}_{\phi }+A_{\phi }d{\overrightarrow{u}}_{\phi }\end{array}\right]$».

Champ d'advection d'une fonction vectorielle de l'espace

     Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”${\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$» à partir de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”«$\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$» :
     Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla” le « vecteur vitesse du point $M$ à l'instant $t$ “${\overrightarrow{V}}_M(t)$” » étant lié
     Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla” au « vecteur déplacement élémentaire de $M$ à partir de l'instant $t$ pendant la durée élémentaire $dt$ “$\overrightarrow{dM}(t)$” » par
     Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla” au «${\overrightarrow{V}}_M(t)=\frac{\overrightarrow{dM}(t)}{dt}$» c.-à-d. que ${\overrightarrow{V}}_M(t)$ s'obtient en divisant $\overrightarrow{dM}(t)$ par $dt$ $\Rightarrow$
     Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla” l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla” s'obtient en multipliant par $\frac{1}{dt}$
     Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla” l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla” soit «${\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]=\frac{1}{dt}\{\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]\}$ $=\frac{1}{dt}d\left\{\right\}$».

     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”${\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en cartésien «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cart}}=\frac{1}{dt}{[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cart}}$
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”${\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en cartésien «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cart}}$ $=\frac{1}{dt}\{dx{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}+dy{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}+dz{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}\}$
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”${\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en cartésien «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cart}}$ $=\dot{x}{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}+\dot{y}{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}+\dot{z}{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}$»,
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”${\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en cylindro-polaire «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}=\frac{1}{dt}{[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}$
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”${\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en cylindro-polaire «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}$ $=\frac{1}{dt}\{d\rho {\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+d\theta {\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+dz{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}$
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”${\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en cylindro-polaire «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}$ $=\dot{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+\dot{\theta }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+\dot{z}{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }$»,
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”${\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en sphérique «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{sph}}=\frac{1}{dt}{[\overrightarrow{dM}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{sph}}$
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”${\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en sphérique «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{sph}}$ $=\frac{1}{dt}\{dr{\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }+d\theta {\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }+d\phi {\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }\}$
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”${\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$ : $\bullet$en sphérique «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{sph}}$ $=\dot{r}{\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }+\dot{\theta }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }+\dot{\phi }{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }$».

     Représentation matricielle de l'image de la fonction vectorielle$\overrightarrow{A}(M)$par l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”${\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[\right]$
     Représentation matricielle de l'image $\{$ou représentation matricielle du « champ d'advection${\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}[\overrightarrow{A}(M)]$» de la fonction vectorielle$\overrightarrow{A}(M)$$\}$ :
      Représentation matricielle de l'image en matrice colonne résultant de l'action de la matrice d'opérateurs de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$ sur la matrice colonne représentant $\overrightarrow{A}(M)$» soit
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en cartésien, «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cart}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cart}}$ $=\{\dot{x}{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}+\dot{y}{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}+\dot{z}{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}\}\left[\begin{array}{c}{A}_x(M){\overrightarrow{u}}_x\\ A_y(M){\overrightarrow{u}}_y\\ A_z(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$ s'écrit encore
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en cartésien, «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cart}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cart}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{\dot{x}{\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)+\dot{y}{\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)+\dot{z}{\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)\}{\overrightarrow{u}}_x\\ \{\dot{x}{\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)+\dot{y}{\left(\frac{\partial A_y}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)+\dot{z}{\left(\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)\}{\overrightarrow{u}}_y\\ \{\dot{x}{\left(\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)+\dot{y}{\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)+\dot{z}{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en cartésien, «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cart}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cart}}$ $=\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\{A_x(M)\}{\overrightarrow{u}}_x\\ {\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\{A_y(M)\}{\overrightarrow{u}}_y\\ {\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\{A_z(M)\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$»,
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en cylindro-polaire, «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\{\dot{\rho }{\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+\dot{\theta }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+\dot{z}{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}\left[\begin{array}{c}{A}_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)\\ A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ A_z(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$ s'écrit encore
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en cylindro-polaire, «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{\dot{\rho }{\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+\dot{\theta }{\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+\dot{z}{\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }+\dot{\theta }{A}_{\rho }\frac{d{\overrightarrow{u}}_{\rho }}{d\theta }\\ \{\dot{\rho }{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+\dot{\theta }{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+\dot{z}{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }+\dot{\theta }{A}_{\theta }\frac{d{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{d\theta }\\ \{\dot{\rho }{\left(\frac{\partial A_z}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+\dot{\theta }{\left(\frac{\partial A_z}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+\dot{z}{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en cylindro-polaire, «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{cyl}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\{A_{\rho }(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }+A_{\rho }(M)\dot{\theta }\frac{d{\overrightarrow{u}}_{\rho }}{d\theta }\\ {\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\{A_{\theta }(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\dot{\theta }\frac{d{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{d\theta }\\ {\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\{A_z(M)\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$,
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en sphérique, «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{sph}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{sph}}$ $=\{\dot{r}{\left(\frac{\partial }{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }+\dot{\theta }{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }+\dot{\phi }{\left(\frac{\partial }{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }\}\left[\begin{array}{c}{A}_r(M){\overrightarrow{u}}_r(M)\\ A_{\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ A_{\phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }(M)\end{array}\right]$ s'écrit encore
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en sphérique, «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{sph}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{sph}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{\dot{r}\frac{\partial A_r}{\partial r}+\dot{\theta }\frac{\partial A_r}{\partial \theta }+\dot{\phi }\frac{\partial A_r}{\partial \phi }\}{\overrightarrow{u}}_r+A_r\{\dot{\theta }{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_r}{\partial \theta }\right)}_{\phi }+\dot{\phi }{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_r}{\partial \phi }\right)}_{\theta }\}\\ \{\dot{r}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial r}+\dot{\theta }\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }+\dot{\phi }\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }+A_{\theta }\{\dot{\theta }{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\partial \theta }\right)}_{\phi }+\dot{\phi }{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\partial \phi }\right)}_{\theta }\}\\ \{\dot{r}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial r}+\dot{\theta }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \theta }+\dot{\phi }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }\}{\overrightarrow{u}}_{\phi }+A_{\phi }\dot{\phi }\frac{d{\overrightarrow{u}}_{\phi }}{d\phi }\end{array}\right]$
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne $\bullet$en sphérique, «${[{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}]}_{\text{sph}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{sph}}$ $=\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\{A_r(M)\}{\overrightarrow{u}}_r+A_r(M)\{\dot{\theta }{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_r}{\partial \theta }\right)}_{\phi }+\dot{\phi }{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_r}{\partial \phi }\right)}_{\theta }\}\\ {\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\{A_{\theta }(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\{\dot{\theta }{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\partial \theta }\right)}_{\phi }+\dot{\phi }{\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\partial \phi }\right)}_{\theta }\}\\ {\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\{A_{\phi }(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\phi }+A_{\phi }(M)\dot{\phi }\frac{d{\overrightarrow{u}}_{\phi }}{d\phi }\end{array}\right]$».

     Exemple, champ d'advection du champ des vecteurs vitesse d'un milieu environnant mobile «$\{{\overrightarrow{V}}_M(t)\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\}[{\overrightarrow{V}}_M(t)]$» : suivant le repérage utilisé nous obtenons
     Exemple, $\succ$en cartésien «$\{{\overrightarrow{V}}_M(t)\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\}[{\overrightarrow{V}}_M(t)]={\overrightarrow{V}}_M(t)\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}[V_{M,x}(t)]{\overrightarrow{u}}_x+{\overrightarrow{V}}_M(t)\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}[V_{M,y}(t)]{\overrightarrow{u}}_y+{\overrightarrow{V}}_M(t)\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}[V_{M,z}(t)]{\overrightarrow{u}}_z$»,
     Exemple, $\succ$en cylindro-polaire «$\{{\overrightarrow{V}}_M(t)\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\}[{\overrightarrow{V}}_M(t)]=\{{\overrightarrow{V}}_M(t)\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}[V_{M,\rho }(t)]-V_{M,\theta }(t)\dot{\theta }(t)\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }+\{{\overrightarrow{V}}_M(t)\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}[V_{M,\theta }(t)]+V_{M,\rho }(t)\dot{\theta }(t)\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }+{\overrightarrow{V}}_M(t)\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}[V_{M,z}(t)]{\overrightarrow{u}}_z$»,
     Exemple, $\succ$en sphérique «$\{{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\}\left[{\overrightarrow{V}}_M\right]=\{{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V_{M,r}\right]-V_{M,\theta }\dot{\theta }-V_{M,\phi }\sin (\theta )\dot{\phi }\}{\overrightarrow{u}}_r+\{{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V_{M,\theta }\right]+V_{M,r}\dot{\theta }-V_{M,\phi }\cos (\theta )\dot{\phi }\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\cdots$
Exemple,$\succ$en sphérique «$\{{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\}\left[{\overrightarrow{V}}_M\right]=\{{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V_{M,r}\right]-V_{M,\theta }\dot{\theta }-V_{M,\phi }\sin (\theta )\dot{\phi }\}{\overrightarrow{u}}_r$ $\cdots +\{{\overrightarrow{V}}_M\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V_{M,\phi }\right]+[V_{M,r}\sin (\theta )+V_{M,\theta }\cos (\theta )]\dot{\phi }\}{\overrightarrow{u}}_{\phi }$».

Prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire "nabla scalaire nabla" aux fonctions vectorielles de l'espace

     Introduction : ayant décrit l'application directe de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre "nabla scalaire nabla" «${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[\right]$» aux fonctions scalaires différentiables de l'espace
     Introduction : ayant décrit en « l'image de la fonction scalaire différentiable de l'espace $U(M)$ par l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” » c.-à-d.
     Introduction : ayant décrit en « le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $U(M)$ «$\Delta \left[U\right](M)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left\{\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right]\right\}(M)$» selon
         Introduction : ayant décrit en « le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $U(M)$ «$\Delta \left[U\right](M)={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[U\right](M)$»,
     Introduction : nous nous proposons de donner une signification à l'application directe de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre "nabla scalaire nabla" «${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[\right]$»
     Introduction : nous nous proposons de donner une signification à l'application directe à la fonction vectorielle différentiable de l'espace $\overrightarrow{A}(M)$ puis
     Introduction : nous nous proposons de comparer le résultat obtenu à celui établi par « définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel »
     Introduction : nous nous proposons de comparer dans les trois repérages cartésien, cylindro-polaire et sphérique $\dots$

Définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel d'une fonction vectorielle de l'espace

Définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$

     Le champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$ noté «$\overrightarrow{\Delta }\left[\overrightarrow{A}\right](M)$»
         Le champ laplacien vectoriel est « la différence entre le champ vectoriel gradient du champ scalaire divergence de $\overrightarrow{A}(M)$ et
         Le champ laplacien vectoriel est « la différence entre le champ vectoriel rotationnel du champ vectoriel rotationnel de $\overrightarrow{A}(M)$»
  Le champ laplacien vectoriel est soit «$\overrightarrow{\Delta }\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right]\right\}(M)-\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right]\right\}(M)$».

Identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage cartésien

     Préliminaire : nous allons établir cette identification en travaillant sur leurs représentations matricielles en cartésien.

     Représentation matricielle, en cartésien, du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle$\overrightarrow{A}(M)$défini intrinsèquement : $\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right]\right\}(M)-\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right]\right\}(M)$,
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ scalaire $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ étant représenté matriciellement en matrice de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$ c.-à-d. en fonction scalaire s'écrivant
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ scalaire $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ étant représenté matriciellement ${[\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{cart}}={\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)+{\left(\frac{\partial A_y}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)+{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)$ et
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)$ représenté en matrice colonne ${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{U\right\}(M)]}_{\text{cart}}=\left[\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)}_{y,z}(M){\overrightarrow{u}}_x\\ {\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)}_{x,z}(M){\overrightarrow{u}}_y\\ {\left(\frac{\partial U}{\partial z}\right)}_{x,y}(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$ nous en déduisons
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ vectoriel gradient du champ scalaire divergence de $\overrightarrow{A}(M)$ représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cart}}={\left[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\{{\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)+{\left(\frac{\partial A_y}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)+{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)\}\right]}_{\text{cart}}$
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cart}}$ $={[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{{\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\right)}_{y,z}\right\}(M)]}_{\text{cart}}+{[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{{\left(\frac{\partial A_y}{\partial y}\right)}_{x,z}\right\}(M)]}_{\text{cart}}+{[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{x,y}\right\}(M)]}_{\text{cart}}$
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cart}}$ $=\left[\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x^2}(M){\overrightarrow{u}}_x\\ \frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial y\partial x}(M){\overrightarrow{u}}_y\\ \frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial z\partial x}(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial x\partial y}(M){\overrightarrow{u}}_x\\ \frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y^2}(M){\overrightarrow{u}}_y\\ \frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial z\partial y}(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial x\partial z}(M){\overrightarrow{u}}_x\\ \frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial y\partial z}(M){\overrightarrow{u}}_y\\ \frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2}(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cart}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x^2}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial x\partial y}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial x\partial z}(M)\}{\overrightarrow{u}}_x\\ \{\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial y\partial x}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y^2}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial y\partial z}(M)\}{\overrightarrow{u}}_y\\ \{\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial z\partial x}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial z\partial y}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2}(M)\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$ ;
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ étant représenté en matrice colonne «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{cart}}=\left[\begin{array}{c}[{\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)-{\left(\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)]{\overrightarrow{u}}_x\\ [{\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)-{\left(\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)]{\overrightarrow{u}}_y\\ [{\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)-{\left(\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)]{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$»
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$on y substitue les composantes cartésiennes de $\overrightarrow{A}(M)$ par celles de $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ pour obtenir celles de $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)$ d'où
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)$ représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cart}}=\left[\begin{array}{c}\{(\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y\partial x}-\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial y^2})-(\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial z^2}-\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z\partial x})\}{\overrightarrow{u}}_x\\ \{(\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z\partial y}-\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial z^2})-(\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x\partial y})\}{\overrightarrow{u}}_y\\ \{(\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x\partial z}-\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial x^2})-(\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial y^2}-\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y\partial z})\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cart}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{(\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y\partial x}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z\partial x})-(\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial z^2})\}{\overrightarrow{u}}_x\\ \{(\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z\partial y}+\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x\partial y})-(\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial x^2})\}{\overrightarrow{u}}_y\\ \{(\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x\partial z}+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y\partial z})-(\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial y^2})\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$» $\Rightarrow$ par soustraction
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ représenté en matrice colonne «${[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)]}_{\text{cart}}={[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cart}}-{[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cart}}$» ou
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)]}_{\text{cart}}=\left[\begin{array}{c}\{\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial x\partial z}\}{\overrightarrow{u}}_x\\ \{\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial y\partial x}+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial y\partial z}\}{\overrightarrow{u}}_y\\ \{\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial z\partial x}+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial z\partial y}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2}\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}\{(\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y\partial x}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z\partial x})-(\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial z^2})\}{\overrightarrow{u}}_x\\ \{(\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z\partial y}+\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x\partial y})-(\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial x^2})\}{\overrightarrow{u}}_y\\ \{(\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x\partial z}+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y\partial z})-(\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial y^2})\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)]}_{\text{cart}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x^2}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial y^2}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial z^2}(M)\}{\overrightarrow{u}}_x\\ \{\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial x^2}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y^2}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial z^2}(M)\}{\overrightarrow{u}}_y\\ \{\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial x^2}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial y^2}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2}(M)\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{c}\Delta \left\{A_x\right\}(M){\overrightarrow{u}}_x\\ \\ \Delta \left\{A_y\right\}(M){\overrightarrow{u}}_y\\ \\ \Delta \left\{A_z\right\}(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$».

     Représentation matricielle, en cartésien, de l'image de la fonction vectorielle$\overrightarrow{A}(M)$par l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” :
     Représentation matricielle, en cartésien, l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” ${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[\right]$ étant représenté matriciellement en matrice de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$ c.-à-d.
     Représentation matricielle, en cartésien, l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” ${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[\right]$ étant représenté matriciellement ${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{cart}}=\{{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\right)}_{y,z}+{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)}_{x,z}+{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\right)}_{x,y}\}$,
     Représentation matricielle, en cartésien, son action sur la matrice colonne représentant $\overrightarrow{A}(M)$ conduit à une image représentée matriciellement en matrice colonne soit
     Représentation matricielle, en cartésien, son action «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{cart}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cart}}=\{{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\right)}_{y,z}+{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)}_{x,z}+{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\right)}_{x,y}\}\left[\begin{array}{c}{A}_x(M){\overrightarrow{u}}_x\\ A_y(M){\overrightarrow{u}}_y\\ A_z(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     Représentation matricielle, en cartésien, son action «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{cart}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cart}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{{\left(\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x^2}\right)}_{y,z}(M)+{\left(\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial y^2}\right)}_{x,z}(M)+{\left(\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial z^2}\right)}_{x,y}(M)\}{\overrightarrow{u}}_x\\ \{{\left(\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial x^2}\right)}_{y,z}(M)+{\left(\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y^2}\right)}_{x,z}(M)+{\left(\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial z^2}\right)}_{x,y}(M)\}{\overrightarrow{u}}_y\\ \{{\left(\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial x^2}\right)}_{y,z}(M)+{\left(\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial y^2}\right)}_{x,z}(M)+{\left(\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2}\right)}_{x,y}(M)\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\left\{A_x\right\}(M){\overrightarrow{u}}_x\\ \mathrm{\Delta }\left\{A_y\right\}(M){\overrightarrow{u}}_y\\ \mathrm{\Delta }\left\{A_z\right\}(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$».

     Conclusion : « les représentations matricielles de ${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)$ et de $\overrightarrow{\Delta }\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)$ en repérage cartésien étant les mêmes » $\Rightarrow$ «${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)=\overrightarrow{\Delta }\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)$».

     Remarque : les composantes cartésiennes du laplacien vectoriel de la fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$ sont les laplaciens scalaires des composantes cartésiennes de la fonction vectorielle !

Tentative échouée d'identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage cylindro-polaire

     Préliminaire : nous allons tenter d'établir cette identification en travaillant sur leurs représentations matricielles en cylindro-polaire mais
     Préliminaire : nous allons échouer car, en fait, l'identification n'est valable qu'en représentation cartésienne.

     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle$\overrightarrow{A}(M)$défini intrinsèquement : $\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right]\right\}(M)-\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right]\right\}(M)$,
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ scalaire $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ étant représenté matriciellement en matrice de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$ c.-à-d. en fonction scalaire s'écrivant
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ scalaire $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ étant représenté matriciellement ${[\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{cyl}}=\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial \left[\rho A_{\rho }\right]}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}+{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }$ et
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)$ représenté en matrice colonne ${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{U\right\}(M)]}_{\text{cyl}}=\left[\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial U}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)\\ \frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial U}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ {\left(\frac{\partial U}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$ nous en déduisons
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ vectoriel gradient du champ scalaire divergence de $\overrightarrow{A}(M)$ représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cyl}}={\left[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\{\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial \left[\rho A_{\rho }\right]}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}(M)+\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}(M)+{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }(M)\}\right]}_{\text{cyl}}$
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cyl}}$ $={\left[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial \left[\rho A_{\rho }\right]}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}\right\}\right]}_{\text{cyl}}+{\left[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}\right\}\right]}_{\text{cyl}}+{\left[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{{\left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\right\}\right]}_{\text{cyl}}$
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial \left\{\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho A_{\rho }\right)}{\partial \rho }\right\}}{\partial \rho }{\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ \frac{1}{\rho }\frac{\partial \left\{\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho A_{\rho }\right)}{\partial \rho }\right\}}{\partial \theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \frac{\partial \left\{\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho A_{\rho }\right)}{\partial \rho }\right\}}{\partial z}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{\partial \left\{\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }\right\}}{\partial \rho }{\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ \frac{1}{\rho }\frac{\partial \left\{\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }\right\}}{\partial \theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \frac{\partial \left\{\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }\right\}}{\partial z}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{\partial \left\{\frac{\partial A_z}{\partial z}\right\}}{\partial \rho }{\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ \frac{1}{\rho }\frac{\partial \left\{\frac{\partial A_z}{\partial z}\right\}}{\partial \theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \frac{\partial \left\{\frac{\partial A_z}{\partial z}\right\}}{\partial z}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{\frac{\partial \left(\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho A_{\rho }\right)}{\partial \rho }\right)}{\partial \rho }(M)-\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }(M)+\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial \rho \partial \theta }(M)+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial \rho \partial z}(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)\\ \{\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2\left(\rho A_{\rho }\right)}{\partial \theta \partial \rho }(M)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\theta }^2}(M)+\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial \theta \partial z}(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ \{\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2\left(\rho A_{\rho }\right)}{\partial z\partial \rho }(M)+\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial z\partial \theta }(M)+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2}(M)\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$» ;
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ étant représenté en matrice colonne «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{cyl}}=\left[\begin{array}{c}\{\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial A_z}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}-{\left(\frac{\partial A_{\theta }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ \{{\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}\right)}_{\rho ,\theta }-{\left(\frac{\partial A_z}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \frac{1}{\rho }\{{\left(\frac{\partial \left[\rho A_{\theta }\right]}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}-{\left(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }\right)}_{\rho ,z}\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$»
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$on y substitue les composantes cylindro-polaires de $\overrightarrow{A}(M)$ par celles de $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ pour obtenir celles de $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)$ d'où
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)$ représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cyl}}=\left[\begin{array}{c}\{\frac{1}{\rho }\frac{\partial \{\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left[\rho A_{\theta }\right]}{\partial \rho }-\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }\}}{\partial \theta }-\frac{\partial [\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho }]}{\partial z}\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ \{\frac{\partial [\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_z}{\partial \theta }-\frac{\partial A_{\theta }}{\partial z}]}{\partial z}-\frac{\partial [\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho A_{\theta }\right)}{\partial \rho }-\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }]}{\partial \rho }\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \{\frac{1}{\rho }\frac{\partial [\rho \frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}-\rho \frac{\partial A_z}{\partial \rho }]}{\partial \rho }-\frac{1}{\rho }\frac{\partial [\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_z}{\partial \theta }-\frac{\partial A_{\theta }}{\partial z}]}{\partial \theta }\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{(\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial \theta \partial \rho }+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z\partial \rho })-(\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2{A}_{\rho }}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^2{A}_{\rho }}{\partial z^2})\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ \{(\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z\partial \theta }+\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_{\rho }}{\partial \rho \partial \theta }+\frac{1}{{\rho }^2}{A}_{\theta })-(\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\rho }^2}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \rho }+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta })\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \{(\frac{{\partial }^2{A}_{\rho }}{\partial \rho \partial z}+\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial \theta \partial z}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z})-(\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial {\rho }^2}+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial {\theta }^2}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_z}{\partial \rho })\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$» $\Rightarrow$
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ représenté en matrice colonne «${[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)]}_{\text{cyl}}={[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cyl}}-{[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{cyl}}$» ou
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)]}_{\text{cyl}}=\left[\begin{array}{c}\{\frac{\partial \left(\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho A_{\rho }\right)}{\partial \rho }\right)}{\partial \rho }-\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial \rho \partial \theta }+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial \rho \partial z}\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ \{\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2\left(\rho A_{\rho }\right)}{\partial \theta \partial \rho }+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\theta }^2}+\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial \theta \partial z}\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \{\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2\left(\rho A_{\rho }\right)}{\partial z\partial \rho }+\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial z\partial \theta }+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2}\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]-\cdots$
                         Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)]}_{\text{cyl}}$ $\cdots \left[\begin{array}{c}\{(\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial \theta \partial \rho }+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z\partial \rho })-(\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2{A}_{\rho }}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^2{A}_{\rho }}{\partial z^2})\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ \{(\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z\partial \theta }+\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_{\rho }}{\partial \rho \partial \theta }+\frac{1}{{\rho }^2}{A}_{\theta })-(\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\rho }^2}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \rho }+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta })\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \{(\frac{{\partial }^2{A}_{\rho }}{\partial \rho \partial z}+\frac{1}{\rho }\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial \theta \partial z}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z})-(\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial {\rho }^2}+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial {\theta }^2}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_z}{\partial \rho })\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{\frac{{\partial }^2{A}_{\rho }}{\partial {\rho }^2}(M)+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \rho }(M)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2{A}_{\rho }}{\partial {\theta }^2}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_{\rho }}{\partial z^2}(M)-\frac{A_{\rho }(M)}{{\rho }^2}-\frac{2}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)\\ \{\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\rho }^2}(M)+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \rho }(M)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\theta }^2}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial z^2}(M)-\frac{A_{\theta }(M)}{{\rho }^2}+\frac{2}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ \{\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_z}{\partial \rho }(M)+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial {\rho }^2}(M)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial {\theta }^2}(M)+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2}(M)\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{\mathrm{\Delta }\left[A_{\rho }\right](M)-\frac{A_{\rho }(M)}{{\rho }^2}-\frac{2}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)\\ \{\mathrm{\Delta }\left[A_{\theta }\right](M)-\frac{A_{\theta }(M)}{{\rho }^2}+\frac{2}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }(M)\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ \mathrm{\Delta }\left[A_z\right](M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$».

     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, de l'image de la fonction vectorielle$\overrightarrow{A}(M)$par l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” :
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” ${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[\right]$ étant représenté matriciellement en matrice de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$ c.-à-d.
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” ${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[\right]$ étant ${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{cyl}}=\{\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial \left[\rho {\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}\right]}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+\frac{1}{{\rho }^2}{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}\right)}_{\rho ,z}+{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\right)}_{\rho ,\theta }\}$,
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, son action sur la matrice colonne représentant $\overrightarrow{A}(M)$ conduit à une image représentée matriciellement en matrice colonne soit
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, son action «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{cyl}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}=\{\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial \left[\rho {\left(\frac{\partial }{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}\right]}{\partial \rho }\right)}_{\theta ,z}+\frac{1}{{\rho }^2}{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}\right)}_{\rho ,z}+{\left(\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\right)}_{\rho ,\theta }\}\left[\begin{array}{c}{A}_{\rho }(M){\overrightarrow{u}}_{\rho }(M)\\ A_{\theta }(M){{\overrightarrow{u}}_{\theta }}^{\prime }M)\\ A_z(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, son action «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{cyl}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho \frac{\partial A_{\rho }}{\partial \rho }\right)}{\partial \rho }+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2{A}_{\rho }}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^2{A}_{\rho }}{\partial z^2}\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }+\frac{1}{{\rho }^2}\{2\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }\frac{d{\overrightarrow{u}}_{\rho }}{d\theta }+A_{\rho }\frac{d^2{\overrightarrow{u}}_{\rho }}{d{\theta }^2}\}\\ \{\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho \frac{\partial A_{\theta }}{\partial \rho }\right)}{\partial \rho }+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial z^2}\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }+\frac{1}{{\rho }^2}\{2\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }\frac{d{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{d\theta }+A_{\theta }\frac{d^2{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{d{\theta }^2}\}\\ \{\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho \frac{\partial A_z}{\partial \rho }\right)}{\partial \rho }+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2}\}{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, son action «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{cyl}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{cyl}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{\Delta \left(A_{\rho }\right)(M)-\frac{A_{\rho }(M)}{{\rho }^2}\}{\overrightarrow{u}}_{\rho }+\frac{2}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \{\Delta \left(A_{\theta }\right)(M)-\frac{A_{\theta }(M)}{{\rho }^2}\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }-\frac{2}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }{\overrightarrow{u}}_{\rho }\\ \Delta \left\{A_z\right\}(M){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right]$».

     Conclusion : « les représentations matricielles de ${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)$ et de $\overrightarrow{\Delta }\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)$ en repérage cylindro-polaire étant différentes » $\Rightarrow$ «${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)\ne \overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)$».

     Remarque : les composantes cylindro-polaires du laplacien vectoriel de la fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$ ne sont pas les laplaciens scalaires des composantes cylindro-polaires de la fonction vectorielle !

Tentative échouée d'identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage sphérique

     Préliminaire : nous allons tenter d'établir cette identification en travaillant sur leurs représentations matricielles en sphérique mais
     Préliminaire : nous allons échouer car, en fait, l'identification n'est valable qu'en représentation cartésienne.

     Représentation matricielle, en sphérique, du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle$\overrightarrow{A}(M)$défini intrinsèquement : $\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left[\overrightarrow{A}\right](M)=\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right]\right\}(M)-\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right]\right\}(M)$,
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$le champ scalaire $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ étant représenté matriciellement en matrice de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$ c.-à-d. en fonction scalaire s'écrivant
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$le champ scalaire $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ étant ${[\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{sph}}=\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial \left[r^2{A}_r\right]}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }+\frac{1}{r\sin (\theta )}{\left\{\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\theta }]}{\partial \theta }\right\}}_{r,\phi }+\frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }$ et
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$le champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U\right](M)$ représenté en matrice colonne ${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{U\right\}(M)]}_{\text{sph}}=\left[\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial U}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }(M){\overrightarrow{u}}_r(M)\\ \frac{1}{r}{\left(\frac{\partial U}{\partial \theta }\right)}_{r,\phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ \frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial U}{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }(M)\end{array}\right]$ nous en déduisons
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$le champ vectoriel gradient du champ scalaire divergence de $\overrightarrow{A}(M)$ représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{sph}}={\left[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\{\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial \left[r^2{A}_r\right]}{\partial r}\right)}_{\theta ,\phi }(M)+\frac{1}{r\sin (\theta )}{\left\{\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\theta }]}{\partial \theta }\right\}}_{r,\phi }(M)+\frac{1}{r\sin (\theta )}{\left(\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }\right)}_{r,\theta }(M)\}\right]}_{\text{sph}}$
Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$le champ «${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{sph}}$ $=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial \left\{\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^2{A}_r\right)}{\partial r}\right\}}{\partial r}(M){\overrightarrow{u}}_r(M)\\ \frac{1}{r}\frac{\partial \left\{\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^2{A}_r\right)}{\partial r}\right\}}{\partial \theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ \frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial \left\{\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^2{A}_r\right)}{\partial r}\right\}}{\partial \phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }(M)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{\partial \left\{\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\theta }]}{\partial \theta }\right\}}{\partial r}(M){\overrightarrow{u}}_r(M)\\ \frac{1}{r}\frac{\partial \left\{\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\theta }]}{\partial \theta }\right\}}{\partial \theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ \frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial \left\{\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\theta }]}{\partial \theta }\right\}}{\partial \phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }(M)\end{array}\right]\cdots$
Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$le cha«${[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{sph}}$ $=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial \left\{\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^2{A}_r\right)}{\partial r}\right\}}{\partial r}(M){\overrightarrow{u}}_r(M)\\ \frac{1}{r}\frac{\partial \left\{\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^2{A}_r\right)}{\partial r}\right\}}{\partial \theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ \frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial \left\{\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^2{A}_r\right)}{\partial r}\right\}}{\partial \phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }(M)\end{array}\right]$$\cdots +\left[\begin{array}{c}\frac{\partial \left\{\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }\right\}}{\partial r}(M){\overrightarrow{u}}_r(M)\\ \frac{1}{r}\frac{\partial \left\{\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }\right\}}{\partial \theta }(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ \frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial \left\{\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }\right\}}{\partial \phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }(M)\end{array}\right]$
Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$le champ </math> $=\left[\begin{array}{c}\{\frac{1}{r^2}[\frac{{\partial }^2\left(r^2{A}_r\right)}{\partial r^2}-4A_r-2r\frac{\partial A_r}{\partial r}]-\frac{1}{r^2\sin (\theta )}[\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\theta }]}{\partial \theta }+\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }-r\frac{{\partial }^2[\sin (\theta )A_{\theta }]}{\partial r\partial \theta }-r\frac{{\partial }^2{A}_{\phi }}{\partial r\partial \phi }]\}{\overrightarrow{u}}_r\\ \{\frac{1}{r^3}\frac{{\partial }^2\left(r^2{A}_r\right)}{\partial \theta \partial r}+\frac{1}{r^2\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }]}{\partial \theta }-\frac{1}{r^2{\sin }^2(\theta )}{A}_{\theta }-\frac{\cos (\theta )}{r^2{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{1}{r^2\sin (\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_{\phi }}{\partial \theta \partial \phi }\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \{\frac{1}{r^3\sin (\theta )}\frac{{\partial }^2\left(r^2{A}_r\right)}{\partial \phi \partial r}+\frac{1}{r^2{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }]}{\partial \theta }+\frac{1}{r^2{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_{\phi }}{\partial {\phi }^2}\}{\overrightarrow{u}}_{\phi }\end{array}\right]$» ;
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$le champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ étant représenté en matrice colonne «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)]}_{\text{sph}}=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{r\sin (\theta )}\{\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial \theta }-\frac{\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \phi }\}{\overrightarrow{u}}_r\\ \{\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial \left[A_r\right]}{\partial \phi }-\frac{1}{r}\frac{\partial \left[r{A}_{\phi }\right]}{\partial r}\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \frac{1}{r}\{\frac{\partial \left[r{A}_{\theta }\right]}{\partial r}-\frac{\partial \left[A_r\right]}{\partial \theta }\}{\overrightarrow{u}}_{\phi }\end{array}\right]$»
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$on y substitue les composantes sphériques de $\overrightarrow{A}(M)$ par celles de $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ pour obtenir celles de $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)$ d'où
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$le champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)$ représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$le «${[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{sph}}=\left[\begin{array}{c}\{\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial [\frac{\sin (\theta )}{r}\frac{\partial \left[r{A}_{\theta }\right]}{\partial r}-\frac{\sin (\theta )}{r}\frac{\partial A_r}{\partial \theta }]}{\partial \theta }-\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial [\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial A_r}{\partial \phi }-\frac{1}{r}\frac{\partial \left[r{A}_{\phi }\right]}{\partial r}]}{\partial \phi }\}{\overrightarrow{u}}_r\\ \{\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial [\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial \theta }-\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }]}{\partial \phi }-\frac{1}{r}\frac{\partial [\frac{\partial \left[r{A}_{\theta }\right]}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \theta }]}{\partial r}\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \{\frac{1}{r}\frac{\partial [\frac{1}{\sin (\theta )}\frac{\partial A_r}{\partial \phi }-\frac{\partial \left[r{A}_{\phi }\right]}{\partial r}]}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial [\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial \theta }-\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }]}{\partial \theta }\}{\overrightarrow{u}}_{\phi }\end{array}\right]$
               Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$le champ $=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{r^2}\{(\frac{{\partial }^2\left[r{A}_{\theta }\right]}{\partial \theta \partial r}+\frac{1}{\sin (\theta )}\frac{{\partial }^2\left[r{A}_{\phi }\right]}{\partial \phi \partial r}+\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}\frac{\partial \left[r{A}_{\theta }\right]}{\partial r})-(\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial {\theta }^2}+\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial {\phi }^2}+\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}\frac{\partial A_r}{\partial \theta })\}{\overrightarrow{u}}_r\\ \frac{1}{r^2}\{(\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2[\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial \phi \partial \theta }+r\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial r\partial \theta })-(\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\phi }^2}+r\frac{{\partial }^2\left[r{A}_{\theta }\right]}{\partial r^2})\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \frac{1}{r^2}\{(\frac{r}{\sin (\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial r\partial \phi }+\frac{\cos (\theta )}{{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial \theta }+\frac{1}{\sin (\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial \theta \partial \phi })\cdots \\ \cdots -(r\frac{{\partial }^2\left[r{A}_{\phi }\right]}{\partial r^2}+\frac{1}{\sin (\theta )}\frac{{\partial }^2[\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial {\theta }^2}+\frac{\cos (\theta )}{{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi })\}{\overrightarrow{u}}_{\phi }\end{array}\right]$» $\Rightarrow$
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$le champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left[\overrightarrow{A}\right](M)$ représenté en matrice colonne «${[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)]}_{\text{sph}}={[\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{sph}}-{[\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left\{\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{A}\right)\right\}(M)]}_{\text{sph}}$» ou
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$«${[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)]}_{\text{sph}}=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{r^2}\{[\frac{{\partial }^2\left(r^2{A}_r\right)}{\partial r^2}-4A_r-2r\frac{\partial A_r}{\partial r}]-\frac{1}{\sin (\theta )}[\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\theta }]}{\partial \theta }+\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }-r\frac{{\partial }^2[\sin (\theta )A_{\theta }]}{\partial r\partial \theta }-r\frac{{\partial }^2{A}_{\phi }}{\partial r\partial \phi }]-\cdots \\ \cdots [(\frac{{\partial }^2\left[r{A}_{\theta }\right]}{\partial \theta \partial r}+\frac{1}{\sin (\theta )}\frac{{\partial }^2\left[r{A}_{\phi }\right]}{\partial \phi \partial r}+\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}\frac{\partial \left[r{A}_{\theta }\right]}{\partial r})-(\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial {\theta }^2}+\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial {\phi }^2}+\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}\frac{\partial A_r}{\partial \theta })]\}{\overrightarrow{u}}_r\\ \frac{1}{r^2}\{\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2\left(r^2{A}_r\right)}{\partial \theta \partial r}+\frac{1}{\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }]}{\partial \theta }-\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}{A}_{\theta }-\frac{\cos (\theta )}{{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{1}{\sin (\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_{\phi }}{\partial \theta \partial \phi }-\left[\right(\cdots \\ \cdots \frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2[\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial \phi \partial \theta }+r\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial r\partial \theta })-(\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\phi }^2}+r\frac{{\partial }^2\left[r{A}_{\theta }\right]}{\partial r^2})]\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \frac{1}{r^2}\{\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{{\partial }^2\left(r^2{A}_r\right)}{\partial \phi \partial r}+\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }]}{\partial \theta }+\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_{\phi }}{\partial {\phi }^2}-[(\frac{\cos (\theta )}{{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial \theta }+\cdots \\ \cdots \frac{r}{\sin (\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial r\partial \phi }+\frac{1}{\sin (\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial \theta \partial \phi })-(r\frac{{\partial }^2\left[r{A}_{\phi }\right]}{\partial r^2}+\frac{1}{\sin (\theta )}\frac{{\partial }^2[\sin (\theta )A_{\phi }]}{\partial {\theta }^2}+\frac{\cos (\theta )}{{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi })]\}{\overrightarrow{u}}_{\phi }\end{array}\right]$
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$«${[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)]}_{\text{sph}}=$ matrice simplifiée par utilisation des développements du contenu de chaque ligne entre accolades selon
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$«${[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)]}_{\text{sph}}=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{r^2}\{[r^2\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial r^2}+2r\frac{\partial A_r}{\partial r}+\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial {\theta }^2}+\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial {\phi }^2}+\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}\frac{\partial A_r}{\partial \theta }]-[2A_r+2\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}{A}_{\theta }+\cdots \\ \cdots 2\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{2}{\sin (\theta )}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }\left]\right\}{\overrightarrow{u}}_r\\ \frac{1}{r^2}\{2\frac{\partial A_r}{\partial \theta }+\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\theta }^2}+\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\phi }^2}+2r\frac{\partial A_{\theta }}{\partial r}+r^2\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial r^2}-[\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}{A}_{\theta }+\cdots \\ \cdots 2\frac{\cos (\theta )}{{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }]\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\\ \frac{1}{r^2}\{\frac{2}{\sin (\theta )}\frac{\partial A_r}{\partial \phi }+2\frac{\cos (\theta )}{{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }+\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_{\phi }}{\partial {\phi }^2}+2r\frac{\partial A_{\phi }}{\partial r}+r^2\frac{{\partial }^2{A}_{\phi }}{\partial r^2}+\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \theta }+\cdots \\ \cdots \frac{{\partial }^2{A}_{\phi }}{\partial {\theta }^2}-\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}{A}_{\phi }\}{\overrightarrow{u}}_{\phi }\end{array}\right]$
     Représentation matricielle, en sphérique, $\succ$«${[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)]}_{\text{sph}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{\mathrm{\Delta }\left[A_r\right](M)-\frac{2}{r^2}[A_r(M)+\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}{A}_{\theta }(M)+\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }(M)+\frac{1}{\sin (\theta )}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }(M)]\}{\overrightarrow{u}}_r(M)\\ \{\mathrm{\Delta }\left[A_{\theta }\right](M)+\frac{1}{r^2}[2\frac{\partial A_r}{\partial \theta }(M)-\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}{A}_{\theta }(M)-2\frac{\cos (\theta )}{{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }(M)]\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }(M)\\ \{\mathrm{\Delta }\left[A_{\phi }\right](M)+\frac{1}{r^2}[\frac{2}{\sin (\theta )}\frac{\partial A_r}{\partial \phi }(M)+\frac{2\cos (\theta )}{{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }(M)-\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}{A}_{\phi }(M)]\}{\overrightarrow{u}}_{\phi }(M)\end{array}\right]$».

     Représentation matricielle, en sphérique, de l'image de la fonction vectorielle$\overrightarrow{A}(M)$par l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” :
     Représentation matricielle, en sphérique, l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” ${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[\right]$ étant représenté matriciellement en matrice de dimension $($ou taille$)$ $(1\times 1)$ c.-à-d.
   Représentation matricielle, en sphérique, l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” ${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left[\right]$ étant${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{sph}}=\{\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left[r^2\frac{\partial }{\partial r}\right]}{\partial r}+\frac{1}{r^2\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )\frac{\partial }{\partial \theta }]}{\partial \theta }+\frac{1}{r^2{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}\}$,
   Représentation matricielle, en sphérique, son action sur la matrice colonne représentant $\overrightarrow{A}(M)$ conduit à une image représentée matriciellement en matrice colonne soit
   Représentation matricielle, en sphérique, son action «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{sph}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{sph}}=\{\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left[r^2\frac{\partial }{\partial r}\right]}{\partial r}+\frac{1}{r^2\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )\frac{\partial }{\partial \theta }]}{\partial \theta }+\frac{1}{r^2{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}\}\left[\begin{array}{c}{A}_r(M){\overrightarrow{u}}_r(M)\\ A_{\theta }(M){{\overrightarrow{u}}_{\theta }}^{\prime }M)\\ A_{\phi }(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }(M)\end{array}\right]$
   Représentation matricielle, en sphérique, son action «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{sph}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{sph}}$ $=\left[\begin{array}{c}\{\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left[r^2\frac{\partial A_r}{\partial r}\right]}{\partial r}+\frac{1}{r^2\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )\frac{\partial A_r}{\partial \theta }]}{\partial \theta }+\frac{1}{r^2{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial {\phi }^2}\}{\overrightarrow{u}}_r\cdots \\ \cdots -\frac{1}{r^2}\{2A_r+\frac{\partial A_r}{\partial \theta }\}{\overrightarrow{u}}_r+\frac{1}{r^2}[1+\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}]\frac{\partial A_r}{\partial \theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }+\frac{2}{r^2\sin (\theta )}\frac{\partial A_r}{\partial \phi }{\overrightarrow{u}}_{\phi }\\ \{\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left[r^2\frac{\partial A_{\theta }}{\partial r}\right]}{\partial r}+\frac{1}{r^2\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }]}{\partial \theta }+\frac{1}{r^2{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\phi }^2}\}{\overrightarrow{u}}_{\theta }\cdots \\ \cdots -\frac{1}{r^2}\{[1+\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}]\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }{\overrightarrow{u}}_r+\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}[A_{\theta }+{\sin }^2(\theta )\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }]{\overrightarrow{u}}_{\theta }-\frac{2\cos (\theta )}{{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }{\overrightarrow{u}}_{\phi }\}\\ \{\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left[r^2\frac{\partial A_{\phi }}{\partial r}\right]}{\partial r}+\frac{1}{r^2\sin (\theta )}\frac{\partial [\sin (\theta )\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \theta }]}{\partial \theta }+\frac{1}{r^2{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2{A}_{\phi }}{\partial {\phi }^2}\}{\overrightarrow{u}}_{\phi }\cdots \\ \cdots -\frac{1}{r^2\sin (\theta )}\{2\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }{\overrightarrow{u}}_r+2\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }{\overrightarrow{u}}_{\theta }+\frac{1}{\sin (\theta )}{A}_{\phi }{\overrightarrow{u}}_{\phi }\}\end{array}\right]$,
   Représentation matricielle, en sphérique, son action «${\left[{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\right]}_{\text{sph}}{[\overrightarrow{A}(M)]}_{\text{sph}}$ $=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\left(A_r\right)(M){\overrightarrow{u}}_r-\frac{1}{r^2}\{2A_r+\frac{\partial A_r}{\partial \theta }\}{\overrightarrow{u}}_r+\frac{1}{r^2}[1+\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}]\frac{\partial A_r}{\partial \theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }+\frac{2}{r^2\sin (\theta )}\frac{\partial A_r}{\partial \phi }{\overrightarrow{u}}_{\phi }\\ \mathrm{\Delta }\left(A_{\theta }\right)(M){\overrightarrow{u}}_{\theta }-\frac{1}{r^2}\{[1+\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}]\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }{\overrightarrow{u}}_r+\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}[A_{\theta }+{\sin }^2(\theta )\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }]{\overrightarrow{u}}_{\theta }-\frac{2\cos (\theta )}{{\sin }^2(\theta )}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }{\overrightarrow{u}}_{\phi }\}\\ \mathrm{\Delta }\left(A_{\phi }\right)(M){\overrightarrow{u}}_{\phi }-\frac{1}{r^2\sin (\theta )}\{2\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }{\overrightarrow{u}}_r+2\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }{\overrightarrow{u}}_{\theta }+\frac{1}{\sin (\theta )}{A}_{\phi }{\overrightarrow{u}}_{\phi }\}\end{array}\right]$».

     Conclusion : « les représentations matricielles de ${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)$ et de $\overrightarrow{\Delta }\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)$ en repérage sphérique étant différentes » $\Rightarrow$ «${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)\ne \overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\left\{\overrightarrow{A}\right\}(M)$».

     Remarque : les composantes sphériques du laplacien vectoriel de la fonction vectorielle $\overrightarrow{A}(M)$ ne sont pas les laplaciens scalaires des composantes sphériques de la fonction vectorielle !