Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Notion de champs tensoriels, recherche d'une méthode compacte pour déterminer la variation d'un champ vectoriel

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     Introduction : Une 1^ère notion de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” et de quelques champs qui en découlent
     Introduction : Une 1^ère notion a été donnée au chap.$19\;$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ \;$de faire un rappel succinct de cet opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” noté «$\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» ainsi que
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\color {transparent}{\succ }\;$de faire un rappel succinct de l'opérateur construit à partir de lui et utile pour ce chapitre
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\color {transparent}{\succ }\;$de faire un rappel succinct des opérateurs “nabla scalaire nabla” noté «$\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$ ou $\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[\,\right]\;$», puis
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\color {transparent}{\succ }\;$de faire un rappel succinct des champs vectoriel ou scalaire qui en découlent :
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\color {transparent}{\succ }\;$de faire un rappel succinct des champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire $\;U(M)\;$
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\color {transparent}{\succ }\;$de faire un rappel succinct des champ vectoriel noté «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;$» et
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\color {transparent}{\succ }\;$de faire un rappel succinct des champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire $\;U(M)\;$
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\color {transparent}{\succ }\;$de faire un rappel succinct des champ scalaire noté «$\;\Delta \left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;$»,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ \;$de rappeler la représentation matricielle de ces champs vectoriel ou scalaire
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\color {transparent}{\succ }\;$de rappeler la représentation matricielle de ces champs appliqués à une fonction scalaire,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ \;$de rappeler le prolongement de l'application du champ scalaire laplacien à une fonction vectorielle,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\color {transparent}{\succ }\;$de rappeler la notion de champ laplacien vectoriel appliqué à une fonction vectorielle et
         Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\color {transparent}{\succ }\;$de rappeler la notion de champ laplacien vectoriel son identification, en cartésien seulement,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\color {transparent}{\succ }\;$de rappeler à l'image de la fonction vectorielle par l'opérateur scalaire linéaire “nabla scalaire nabla” , puis
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons $\succ \;$d'introduire la notion de champ tensoriel en prolongeant celles de champs scalaire et vectoriel.

Rappel sur les opérateurs linéaires “nabla” et “nabla scalaire nabla”, sur les champs vectoriel gradient et scalaire laplacien agissant sur une fonction scalaire, sur leur représentation matricielle et leur prolongement dans leur action sur une fonction vectorielle

Opérateurs linéaires du 1^er ordre “nabla” et du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla”

Opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”

Définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”

     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”, noté $\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]$, est un opérateur vectoriel linéaire tel que l'opérateur scalaire “vecteur déplacement élémentaire scalaire nabla” «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$» est identique à l'opérateur scalaire “différenciation” «$\;d\left[\;\right]\;$» soit

«$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$» .

     Définition équivalente dans les principaux repérages : $\succ \;$repérage cartésien , «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[\;\right]\;$» ;

     Définition équivalente dans les principaux repérages : $\succ \;$repérage cylindro-polaire , «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$» ;

     Définition équivalente dans les principaux repérages : $\succ \;$repérage sphérique , «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$».

Opérateur linéaire du 2^ème ordre “nabla scalaire nabla”

     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «$\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[\,\right]\;$» est construit à partir $\bullet \;$de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” et
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[\,\right]}\;$» est construit à partir $\bullet \;$de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire » ,
   L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[\,\right]}\;$» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :
   L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[\,\right]}\;$» il est défini $\succ \;$en repérage cartésien «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace ^{2}\left[\;\right]\;$» ,
   L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[\,\right]}\;$» il est défini $\succ \;$en repérage cylindro-polaire «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace ^{2}\left[\;\right]\;$» et
   L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[\,\right]}\;$» il est défini $\succ \;$en repérage sphérique «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace ^{2}\!\left[\;\right]\;$» .

Champ vectoriel gradient et champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire

Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ $\Rightarrow$ «$\;U\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right]\;$» c.-à-d. un champ vectoriel de l'espace noté «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ définissant
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{U\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right]}\;$» c.-à-d. le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire $\;U(M)\;$», soit
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;$» avec «$\;U\;$ fonction scalaire différentiable de l'espace » d'où
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type de repérage utilisé, les composantes de «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;$» :
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type $\succ \;$en repérage cartésien «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=$
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type $\color {transparent}{\succ }\;$en repérage $\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» ,
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type $\succ \;$en repérage cylindro-polaire «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=$
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type $\color {transparent}{\succ }\;$en repérage $\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type $\succ \;$en repérage sphérique «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=$
L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type $\color {transparent}{\succ }\;$en repérage $\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$»  ;
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ ces composantes de «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» selon le type de repérage utilisé sont en accord avec la « définition
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ intrinsèque du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » rappelée ci-dessous :

Définition intrinsèque du champ vectoriel gradient de la fonction scalaire $U(M)$

     Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire $\;U(M)\;$ noté «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» est le champ vectoriel
     Le champ vectoriel tel que « sa circulation élémentaire » est égale à « la différentielle de la fonction scalaire $\;U(M)\;$» soit

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» .

Champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace

     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ $\Rightarrow$ «$\;U\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}^{2}}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right]\;$» c.-à-d. un champ scalaire de l'espace noté «$\;\Delta \!\left[U\right](M)\;$ définissant
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{U\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}^{2}}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right]}\;$» c.-à-d. le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $\;U(M)\;$», soit
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\Delta \!\left[U\right]\!(M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\!\left[U\right]\!(M)\;$» avec «$\;U$ fonction scalaire différentiable de l'espace » $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type de repérage utilisé, l'expression de «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;$» :
L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type $\succ \;$en repérage cartésien «$\;\Delta \!\left[U\right](M)=$
L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type $\color {transparent}{\succ }\;$en repérage $\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$» ,
L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type $\succ \;$en repérage cylindro-polaire «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+\cdots$
L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type $\color {transparent}{\succ }\;$en repérage $\cdots +{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;$» et
L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type $\succ \;$en repérage sphérique «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\dfrac {1}{\color {transparent}{\Big [}\!\!\color {black}r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right]}{\color {transparent}{\Big [}\!\!\color {black}\partial r}}(M)+\cdots$
L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ suivant le type $\color {transparent}{\succ }\;$en $\cdots {\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}(M)\;$»  ;
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ ces expressions de «$\;\Delta \!\left[U\right](M)\;$» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ intrinsèque du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace »
          L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ intrinsèque du champ scalaire laplacien de la fonction scalaire de l'esp rappelée ci-dessous :

Définition intrinsèque du champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $U(M)$

     Le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $\;U(M)\;$ noté «$\;\Delta \!\left[U\right](M)\;$»
         Le champ scalaire laplacien est « le champ scalaire divergence du champ vectoriel gradient de la fonction scalaire $\;U(M)\;$ soit
         Le champ scalaire laplacien est «$\;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \!(M)\;$».

Rappel de la représentation matricielle des champs vectoriel gradient et scalaire laplacien d'une fonction scalaire

     Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs sont représentables par des matrices, nous distinguons
     Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre $\;0\;$ pour les 1^ers « invariants » ${\big [}$donc représentables par une matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$${\big ]}\;$ et
     Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre $\;1\;$ pour les 2^nds « contravariants » ${\big [}$représentables, après choix d'une base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel les contenant,
                  Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ pour les 2^nds « contravariants » $\color {transparent}{\big [}$représentables, par une matrice colonne de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\times 1\right)\;$
                  Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ pour les 2^nds « contravariants » $\color {transparent}{\big [}$les éléments de la colonne étant les composantes du vecteur représenté sur la base choisie${\big ]}$.
     Introduction : Admettant que les opérateurs scalaires et vectoriels sont aussi des opérateurs tensoriels représentables par des matrices d'opérateurs, nous en déduisons
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» en matrice colonne s'écrivant $\bullet \;$en cartésien «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=$ $\left[\!{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\!\right]\;{\text{»}},$
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» en matrice colonne s'écrivant $\bullet \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]\;$» et
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» en matrice colonne s'écrivant $\bullet \;$en sphérique «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\varphi }}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]\;$» ;
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[\,\right]\;$» en matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$ s'écrivant
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire $\bullet \;$en cartésien «$\;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cart}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\;$» ,
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire $\bullet \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cyl}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]$
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$${\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;$» et
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire $\bullet \;$en sphérique «$\;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{sph}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}$
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire $\color {transparent}{\bullet }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}}$ ${\overset {\ldots }{\;=\;}}\;\left[{\vec {u}}_{r}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\varphi }}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]$
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire $\color {transparent}{\bullet }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}}$ ${\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial }{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\;$» .

Représentation matricielle du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ étant l'image de $\;U(M)\;$ par l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” c.-à-d.
     Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ étant «$\;U(M)\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right](M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» nous en déduisons,
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ ${\big (}$en utilisant celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” ${\big )}\;$ en matrice colonne :
     suivant le type de repérage choisi $\bullet \;$en cartésien ${\text{« }}\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace U\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]{\text{ »,}}$
     suivant le type de repérage choisi $\bullet \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace U\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» et
     suivant le type de repérage choisi $\bullet \;$en sphérique «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace U\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$».

Représentation matricielle du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace

     Le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ étant l'image de $\;U(M)\;$ par l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” c.-à-d.
          Le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ étant «$\;U(M)\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}^{2}}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}^{2}\left[U\right](M)=\Delta \left[U\right](M)\;$» nous en déduisons,
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire $\;\Delta \left[U\right](M)\;$ ${\big \{}$en utilisant celle de l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla”
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire $\;\color {transparent}{\Delta \left[U\right](M)}\;$ $\color {transparent}{\big \{}$en utilisant celle de l'opérateur scalaire linéaire en matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$${\big \}}\;$
      suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire $\;\color {transparent}{\Delta \left[U\right](M)}\;$ en matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$ :
     suivant le type de repérage choisi $\bullet \;$en cartésien «$\;\left[\Delta \left\lbrace U\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cart}}\!\left\lbrace U(M)\right\rbrace =\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;$» ,
     suivant le type de repérage choisi $\bullet \;$en cylindro-polaire «$\;\left[\Delta \left\lbrace U\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}\!\left\lbrace U(M)\right\rbrace ={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$» et
     suivant le type de repérage choisi $\bullet \;$en sphérique «$\;\left[\Delta \left\lbrace U\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}\!\left\lbrace U(M)\right\rbrace ={\dfrac {1}{\color {transparent}{\Big [}\!\!\color {black}r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right]}{\color {transparent}{\Big [}\!\!\color {black}\partial r}}(M)+{\dfrac {1}{\color {transparent}{\Big [}\!\!\color {black}r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right]}{\color {transparent}{\Big [}\!\!\color {black}\partial \theta }}(M)+{\dfrac {1}{\color {transparent}{\Big [}\!\!\color {black}r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}U}{\color {transparent}{\Big [}\!\!\color {black}\partial \varphi ^{2}}}(M)\;$» .

Rappel du prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire "nabla scalaire nabla" aux fonctions vectorielles de l'espace

     Introduction : ayant décrit l'application directe de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre "nabla scalaire nabla" «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[\,\right]\;$» aux fonctions scalaires différentiables de l'espace
     Introduction : ayant décrit en « l'image de la fonction scalaire différentiable de l'espace $\;U(M)\;$ par l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” » c.-à-d.
     Introduction : ayant décrit en « le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $\;U(M)\;$ «$\;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \!(M)\;$» selon
         Introduction : ayant décrit en « le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\left[U\right](M)\;$» ,
     Introduction : nous nous proposons de rappeler une signification à l'application directe de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre "nabla scalaire nabla" «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[\,\right]\;$»
     Introduction : nous nous proposons de rappeler une signification à l'application directe à la fonction vectorielle différentiable de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ puis
     Introduction : nous nous proposons de rappeler la comparaison du résultat obtenu à celui établi par « définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel  » en repérage cartésien .

Définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel d'une fonction vectorielle de l'espace

Définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle ${\vec {A}}(M)$

     Le champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ noté «$\;{\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$»
         Le champ laplacien vectoriel est « la différence entre le champ vectoriel gradient du champ scalaire divergence de $\;{\vec {A}}(M)\;$ et
         Le champ laplacien bectoriel est « la différence entre le champ vectoriel rotationnel du champ vectoriel rotationnel de $\;{\vec {A}}(M)\;$»
  Le champ laplacien vectoriel est soit «$\;{\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)-{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\;$».

Identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage cartésien

     Préliminaire : cette identification a été établie en travaillant sur leurs représentations matricielles en cartésien.

     Représentation matricielle, en cartésien, du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle$\;{\vec {A}}(M)\;$défini intrinsèquement : ${\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)-{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\;$,
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ \;$le champ scalaire $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ étant représenté matriciellement en matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$ c.-à-d. en fonction scalaire s'écrivant
     Représentation matricielle, en cartésien, $\color {transparent}{\succ }\;$le champ scalaire $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)}\;$ étant représenté matriciellement $\left[\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cart}}=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;$ et
     Représentation matricielle, en cartésien, $\color {transparent}{\succ }\;$le champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ représenté en matrice colonne $\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace U\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ nous en déduisons
     Représentation matricielle, en cartésien, $\color {transparent}{\succ }\;$le champ vectoriel gradient du champ scalaire divergence de $\;{\vec {A}}(M)\;$ représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en cartésien, $\color {transparent}{\succ }\;$le champ «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right\rbrace \right]_{\text{cart}}\;$
     Représentation matricielle, en cartésien, $\color {transparent}{\succ }\;$le champ «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}}$ $=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}$
     Représentation matricielle, en cartésien, $\color {transparent}{\succ }\;$le champ «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}}$ $=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y\,\partial x}}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z\,\partial x}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x\,\partial y}}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z\,\partial y}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x\,\partial z}}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y\,\partial z}}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$
     Représentation matricielle, en cartésien, $\color {transparent}{\succ }\;$le champ «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}}$ $=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x\,\partial y}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x\,\partial z}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y\,\partial x}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y\,\partial z}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z\,\partial x}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z\,\partial y}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ ;
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ \;$le champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ étant représenté en matrice colonne «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\;{\vec {u}}_{x}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\;{\vec {u}}_{y}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$»
     Représentation matricielle, en cartésien, $\color {transparent}{\succ }\;$on y substitue les composantes cartésiennes de $\;{\vec {A}}(M)\;$ par celles de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ pour obtenir celles de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\;$ d'où
     Représentation matricielle, en cartésien, $\color {transparent}{\succ }\;$le champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\;$ représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en cartésien, $\color {transparent}{\succ }\;$le champ «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial x}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial x}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial y}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial y}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial z}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial z}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$
     Représentation matricielle, en cartésien, $\color {transparent}{\succ }\;$le champ «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}\color {transparent}}$ $=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial x}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial x}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial y}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial y}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial z}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial z}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» $\Rightarrow$ par soustraction
     Représentation matricielle, en cartésien, $\succ \;$le champ vectoriel $\;{\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ représenté en matrice colonne «$\;\left[{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}-\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}\;$» ou
     Représentation matricielle, en cartésien, $\color {transparent}{\succ }\;$le champ «$\;\left[{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x\,\partial y}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x\,\partial z}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y\,\partial x}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y\,\partial z}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z\,\partial x}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z\,\partial y}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]-\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial x}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial x}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial y}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial y}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial z}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial z}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$
     Représentation matricielle, en cartésien, $\color {transparent}{\succ }\;$le champ «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}}$ $=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ $=\left[{\begin{array}{c}\Delta \!\left\lbrace A_{x}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{x}\\\\\Delta \!\left\lbrace A_{y}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{y}\\\\\Delta \!\left\lbrace A_{z}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» .

     Représentation matricielle, en cartésien, de l'image de la fonction vectorielle$\;{\vec {A}}(M)\;$par l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” :
     Représentation matricielle, en cartésien, l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” $\;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\,\right]\;$ étant représenté matriciellement en matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$ c.-à-d.
     Représentation matricielle, en cartésien, l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” $\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}^{2}\left[\,\right]}\;$ étant représenté matriciellement $\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cart}}=\left\lbrace \!\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\!\!+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\!\!+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\!\right\rbrace \;$,
     Représentation matricielle, en cartésien, son action sur la matrice colonne représentant $\;{\vec {A}}(M)\;$ conduit à une image représentée matriciellement en matrice colonne soit
     Représentation matricielle, en cartésien, son action «$\;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]$
     Représentation matricielle, en cartésien, son action «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}}$ $=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}\Delta \!\left\lbrace A_{x}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{x}\\\Delta \!\left\lbrace A_{y}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{y}\\\Delta \!\left\lbrace A_{z}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» .

     Conclusion : « les représentations matricielles de $\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$ et de $\;{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$ en repérage cartésien étant les mêmes » $\Rightarrow$ «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)={\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$» .

     Remarque : les composantes cartésiennes du laplacien vectoriel de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ sont les laplaciens scalaires des composantes cartésiennes de la fonction vectorielle !

En complément, notion de champ tensoriel d'ordre deux contravariant de l'espace, application à un champ vectoriel de l'opérateur linéaire “nabla” et notion de champ tensoriel gradient d'un champ vectoriel

Notion de champ tensoriel d'ordre deux contravariant de l'espace

     Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariants  : on appelle « tenseur d'ordre deux contravariant » , avec le choix d'une base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel,
            Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariants : on appelle « chaque tenseur d'ordre deux représenté par une matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1}&v_{1}&w_{1}\\x_{2}&v_{2}&w_{2}\\x_{3}&v_{3}&w_{3}\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$
            Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariants : on appelle « chaque tenseur d'ordre deux représenté par résultant de la juxtaposition de trois matrices colonne associées à
            Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariants : on appelle « chaque tenseur d'ordre deux représenté par résultant de la juxtaposition de trois vecteurs $\;{\big (}$ou tenseur d'ordre $\;1\;$
            Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariants : on appelle « chaque tenseur d'ordre deux représenté par résultant de la juxtaposition de trois vecteurs $\;\color {transparent}{\big (}$contravariant ${\big )}$ ;
                           Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariant : notant $\;W\;$ le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel direction de l'espace affine tridimensionnel ,
                           Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariant : un « tenseur d'ordre deux contravariant » est défini, de façon plus élaborée, comme
                           Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariant : un « élément quelconque du carré tensoriel de $\;W\;$ noté “$\;W^{\,\otimes \,2}\;$” » $\;{\big (}\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{2}=9{\big )}\;$ d'où
                           Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariant : la représentativité matricielle d'un élément quelconque de $\;W^{\,\otimes \,2}$, avec choix d'une base de $\;W$,
                           Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariant : la représentativité matricielle d'un élément quelconque de $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}$, par une matrice carrée de $\;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$.

Définition intrinsèque d'un champ (ou fonction) tensoriel(le) d'ordre deux contravariant(e) de l'espace

     Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;{\mathcal {F}}\;$ de $\;M$, point de l'espace affine tridimensionnel, est défini selon
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, «$\;M\;{\overset {\mathcal {F}}{\rightarrow }}\;{\mathcal {F}}(M)\,\in \,W^{\,\otimes \,2},\;\forall \;M\in {\mathcal {E}}\;$» , avec
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, «$\;W\;$ direction de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}\;$» et
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, «$\;W^{\,\otimes \,2}\;$ carré tensoriel de $\;W\;$» c.-à-d.
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, « un tenseur d'ordre deux contravariant , exemple
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, « une famille de $\;3\;$ champs vectoriels de $\;M\;$ équivalent à
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, « une famille de $\;3\;$ champs tensoriels d'ordre un
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, « une famille de $\;\color {transparent}{3}\;$ champs contravariants de $\;M$,
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, « une famille le domaine de valeur de chacun d'eux étant $\;W$.

     Avec choix d'une base «$\;\left\lbrace {\mathcal {B}}\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1},\;{\vec {b}}_{2},\;{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$» de «$\;W\;$ direction de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}\;$» , tout point $\;M\;$ est caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées $\;(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;$ tel que
              Avec choix d'une base $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\mathcal {B}}\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1},\;{\vec {b}}_{2},\;{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ de «$\;\color {transparent}{W}\;$ direction de l'espace affine $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;$» , $\;O\;$ étant un point fixe de $\;{\mathcal {E}}\;$ choisi comme origine du repérage, «$\;{\overrightarrow {OM}}=x_{1}\,{\vec {b}}_{1}+x_{2}\,{\vec {b}}_{2}+x_{3}\,{\vec {b}}_{3}\;$» et
              Avec choix d'une base $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\mathcal {B}}\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1},\;{\vec {b}}_{2},\;{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ de «$\;\color {transparent}{W}\;$ direction de l'espace affine $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;$» , «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\right)\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ^{2},\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$» constituant une base de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$» , la caractérisation
              Avec choix d'une base $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\mathcal {B}}\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1},\;{\vec {b}}_{2},\;{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ de «$\;\color {transparent}{W}\;$ direction de l'espace affine $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;$» , du tenseur d'ordre deux contravariant $\;{\mathcal {F}}(M)\;$ se fait par un nonuplet $\;{\big (}$ou $\;9$-uplet${\big )}\;$ de réels
              Avec choix d'une base $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\mathcal {B}}\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1},\;{\vec {b}}_{2},\;{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ de «$\;\color {transparent}{W}\;$ direction de l'espace affine $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;$» , correspondant à ses $\;9\;$ composantes contravariantes $\;\left\lbrace {\mathcal {F}}_{i,\,j}(M)\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;$ telles que
              Avec choix d'une base $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\mathcal {B}}\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1},\;{\vec {b}}_{2},\;{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ de «$\;\color {transparent}{W}\;$ direction de l'espace affine $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;$» , «$\;{\mathcal {F}}(M)=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {F}}_{i,\,j}(M)\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \;$», chacune des composantes étant une fonction scalaire de $\;{\mathcal {E}}$.

Définition d'un champ (ou d'une fonction) tensoriel(le) d'ordre deux contravariant(e) de l'espace à partir de ses composantes

     Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;{\mathcal {F}}\;$ de $\;M$, point de l'espace affine tridimensionnel, est défini selon
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, «$\;(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;{\overset {\mathcal {F}}{\rightarrow }}\;{\mathcal {F}}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\,\in \,W^{\,\otimes \,2}\;$
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, «$\;\forall \;(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\;$ coordonnées de $\;M\;$» avec
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, «$\;W\;$ direction de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}\;$» de base $\;\left\lbrace {\mathcal {B}}\right\rbrace =\;$
                                    Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, «$\;\color {transparent}{W}\;$ direction de l'espace affine $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;$» de $\left\lbrace {\vec {b}}_{1},\;{\vec {b}}_{2},\;{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ et
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, «$\;W^{\,\otimes \,2}\;$ carré tensoriel de $\;W\;$» avec base de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{\mathcal {F}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}$, «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\right)\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ^{2},\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$» , d'où
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;{\mathcal {F}}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;$ défini par ses $\;9\;$ composantes contravariantes
                               Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;\color {transparent}{{\mathcal {F}}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})}\;$ défini par ${\mathcal {F}}_{i,\,j}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3}),\;\;\left(i\,,\,j\right)\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]^{2}$, tel que
                            Un champ tensoriel d'ordre deux contravariant «$\;{\mathcal {F}}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {F}}_{i,\,j}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \;$» ;
     la définition du champ tensoriel $\;{\mathcal {F}}\;$ d'ordre deux contravariant de l'espace est alors équivalente à
               celle des neuf champs scalaires ${\mathcal {F}}_{i,\,j}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3}),\;\;\left(i\,,\,j\right)\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]^{2}\;$ de l'espace correspondant à ses composantes soit
               pour chacun d'eux «$\;\left\lbrace (x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;\;{\overset {{\mathcal {F}}_{i,\,j}}{\longrightarrow }}\;\;{\mathcal {F}}_{i,\,j}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\in \mathbb {R} ,\;\;\forall \,(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;$» .

     Un champ tensoriel d'ordre deux de l'espace s'identifie aux $\;9\;$fonctions scalaires des$\;3\;$coordonnées du point de l'espace correspondant aux $9\;$composantes du champ tensoriel .

Indices des composantes du tenseur des contraintes $\;{\mathcal {C}}(M)\;$ défini en $\;M\;$ quelconque $\;{\big (}$centre du cube élémentaire${\big )}$

     Exemple de champ tensoriel $\;{\big (}$en mécanique des milieux continus ${\big )}$ :
      Exemple de champ tensoriel « tenseur des contraintes $\;{\mathcal {C}}(M)\;$» représenté par la matrice carrée « des contraintes »
      Exemple de champ tensoriel « tenseur des contraintes $\;\color {transparent}{{\mathcal {C}}(M)}\;$» représenté par la de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;3\;$ égale, avec
      Exemple de champ tensoriel choix de la base $\;\left\lbrace {\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ${\big (}$direction de l'espace affine tridimensionnel $\;{\mathcal {E}}\;$${\big )}$, à
      Exemple de champ tensoriel «$\;\left[{\mathcal {C}}(M)\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\sigma _{1,\,1}(M)\!&\!\ \sigma _{1,\,2}(M)\!&\!\sigma _{1,\,3}(M)\\\sigma _{2,\,1}(M)\!&\!\sigma _{2,\,2}(M)\!&\!\sigma _{2,\,3}(M)\\\sigma _{3,\,1}(M)\!&\!\sigma _{3,\,2}(M)\!&\!\sigma _{3,\,3}(M)\end{array}}\right]\;\in \,M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» dans laquelle
      Exemple de champ tensoriel « le cœfficient $\;\sigma _{i,\,j}(M)\;$ de la i^ème ligne et j^ème colonne » est
      Exemple de champ tensoriel « la composante sur ${\vec {e}}_{i}$ de la force surfacique que l'environnement exerce sur la face élémentaire $_{j}$
      Exemple de champ tensoriel « la composante sur $\color {transparent}{{\vec {e}}_{i}}$ de la force surfacique que l'environnement exerce sur d'aire $\;d^{2}S_{j}\;$» soit
      Exemple de champ tensoriel «$\;\sigma _{i,\,j}(M)={\dfrac {{\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{j})\cdot {\vec {e}}_{i}}{d^{2}S_{j}}}\;$» $\;{\big (}M_{j}\;$ étant le centre de la face élémentaire $\;_{j}{\big )}\;$ $\Rightarrow$
      Exemple de champ tensoriel « la colonne $\;_{j}\;$» de la matrice « des contraintes » représente
      Exemple de champ tensoriel « la colonne $\;\color {transparent}{_{j}}\;$» « le vecteur force surfacique exercé sur la face élémentaire $\;_{j}\;$ d'aire $\;d^{2}S_{j}\;$ par
      Exemple de champ tensoriel « la colonne $\;\color {transparent}{_{j}}\;$» « le vecteur force surfacique exercé sur la face élémentaire $\;\color {transparent}{_{j}}\;$ l'environnement »
      Exemple de champ tensoriel « la colonne « ou «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\sigma _{i,\,j}(M)\,{\vec {e}}_{i}={\dfrac {{\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{j})}{d^{2}S_{j}}}\;$» ;
      Exemple de champ tensoriel on démontre que la matrice « des contraintes » est « symétrique » pour un milieu continu localement au repos c.-à-d. que
      Exemple de champ tensoriel on démontre que «$\;\sigma _{i,\,j}(M)=\sigma _{j,\,i}(M)\;\;\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left[\left[1\,,\,3\right]\right]^{2}\;$» .

Application de l'opérateur linéaire “nabla” à un champ vectoriel, notion de champ tensoriel gradient d'un champ vectoriel

     Introduction : $\bullet \;$ayant rappelé, en début de chapitre, la signification de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» appliqué aux fonctions scalaires de l'espace ainsi que
     Introduction : $\color {transparent}{\bullet }\;$ayant rappelé, au cours du chapitre, celle du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire $\;U(M)\;$ noté «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;$» et
     Introduction : $\color {transparent}{\bullet }\;$ayant rappelé, dans le chap.$19$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
     Introduction : $\color {transparent}{\bullet }\;$ayant rappelé, dans le chap.$\color {transparent}{19}$ $\succ \;$le champ scalaire différentielle de la fonction scalaire $\;U(M)$ «$\;d\left[U\right](M)\;$ $=\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[U\right](M)={\overrightarrow {dM}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» de même que
     Introduction : $\color {transparent}{\bullet }\;$ayant rappelé, dans le chap.$13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »,
     Introduction : $\color {transparent}{\bullet }\;$ayant rappelé, dans le chap.$\color {transparent}{13}$ $\succ \;$le champ scalaire d'advection de la grandeur scalaire intensive $\;f(M,\,t)\;$ «$\;\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \!\left[f(M,\,t)\right]={\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[f(M,\,t)\right]\;$»
     Introduction : $\color {transparent}{\bullet }\;$ayant rappelé, dans le chap.$\color {transparent}{13}$ $\color {transparent}{\succ }\;$le champ scalaire d'advection où $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ est le vecteur vitesse du point $\;M\;$ du milieu environnant où le transport est considéré,
     Introduction : $\bullet \;$nous nous proposons de prolonger l'application de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» aux fonctions vectorielles de l'espace ainsi que
     Introduction : $\color {transparent}{\bullet }\;$nous nous proposons de prolonger la définition du champ scalaire d'advection à une grandeur vectorielle intensive $\;{\vec {A}}(M,\,t)\;$ et
     Introduction : $\color {transparent}{\bullet }\;$nous nous proposons de rappeler, très succinctement, la définition de la différentielle d'une fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=d\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$».

Application de l'opérateur linéaire “nabla” à un champ vectoriel

     Sachant que la représentation matricielle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» est la matrice colonne «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;$» en cartésien,
     Sachant que la représentation matricielle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est la matrice colonne «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;$» en cylindro-polaire ou
     Sachant que la représentation matricielle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est la matrice colonne «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;$» en sphérique dont nous déduisons
     Sachant que la représentation matri celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” projeté sur les trois directions du repérage «$\;\nabla \!\left[\,\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,3}\;$» c.-à-d.
     Sachant que la représentation matri celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” projeté en matrice colonne «$\;\left[\nabla \right]_{\text{cart}}=\left({\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\right)_{\text{cart}}^{i\,=\,1\,..\,3}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;$» en cartésien,
     Sachant que la représentation matri celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” projeté en matrice colonne «$\;\left[\nabla \right]_{\text{cyl}}=\left({\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\right)_{\text{cyl}}^{i\,=\,1\,..\,3}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]\;$» en cylindro-polaire ou
     Sachant que la représentation matri celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” projeté en matrice colonne «$\;\left[\nabla \right]_{\text{sph}}=\left({\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\right)_{\text{sph}}^{i\,=\,1\,..\,3}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]\;$» en sphérique et
     Sachant que la représentation matricielle d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ est la matrice colonne d'éléments de $\;W\;$ «$\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» en cartésien,
           Sachant que la représentation matricielle d'un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ est la matrice colonne d'éléments de $\;\color {transparent}{W}\;$ «$\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» en cylindro-polaire ou
           Sachant que la représentation matricielle d'un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ est la matrice colonne d'éléments de $\;\color {transparent}{W}\;$ «$\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\;{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$» en sphérique,
     nous nous proposons de définir l'image par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ par représentation matricielle et
   nous nous proposons de comme l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» est un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;{\big \{}$en effet
   nous nous proposons de comme l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est chaque composante vectorielle du champ vectoriel pouvant varier
   nous nous proposons de comme l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est relativement à chaque coordonnée de $\;M$, il y a donc $\;3\times 3=9\;$
   nous nous proposons de comme l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est grandeurs caractérisant la variation du champ vectoriel, ce qui correspond à
   nous nous proposons de comme l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est un champ tensoriel d'ordre deux ${\big \}}$ de représentation matricielle en
   nous nous proposons de comme l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est une matrice carrée d'éléments de $\;W\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;3\;$ et
   nous nous proposons de comme l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est celle-ci devant être obtenue par multiplication matricielle à droite
   nous nous proposons de comme l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est celle-ci d'une matrice colonne d'opérateurs de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\times 1\right)\;$
   nous nous proposons de comme l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est celle-ci par une matrice d'éléments de $\;W\;$ nécessairement
   nous nous proposons de comme l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est celle-ci par une matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 3\right)\;$ c.-à-d.
   nous nous proposons de comme l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est celle-ci par une matrice ligne d'éléments de $\;W\;$ correspondant à
   nous nous proposons de comme l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est celle-ci par la transposée de la matrice colonne de ces éléments de $\;W\;$
         nous nous proposons de comme l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]}\;$» est celle-ci par la transposée de représentant le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)$.

     Conclusion : La représentation matricielle de l'image par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$
     Conclusion : La représentation matricielle est la matrice carrée réelle associée à « la matrice carrée d'éléments de $\;W\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;3\;$ $\;\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]^{W}\,\in \,M_{3}(W)\;$»
     Conclusion : La représentation matricielle est la matrice carrée réelle associée à « obtenue par multiplication matricielle à droite de « la matrice colonne d'opérateurs $\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{repér. fix.}}\;$» par
     Conclusion : La représentation matricielle est la matrice carrée réelle associée à « obtenue par multiplication matricielle à droite de « la matrice transposée de la matrice colonne $\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repé. fix.}}\;$
     Conclusion : La représentation matricielle est la matrice carrée réelle associée à « obtenue par multiplication matricielle à droite de « d'éléments de $\;W\;$ représentant le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$» c.-à-d.
     Conclusion : La représentation matricielle est la matrice carrée réelle associée à « obtenue par multiplication matricielle à droite de « la matrice ligne $\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}\;$ d'éléments de $\;W\;$,
     Conclusion : La représentation matricielle est la matrice carrée réelle associée à « suivie de la transposition de la matrice carrée obtenue «$\;^{t}\!\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{repér. fix.}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}\right]\,\in \,M_{3}(W)\;$»
                   Conclusion : La représentation matricielle est la matrice carrée réelle associée à « suivie de la transposition de la matrice carrée obtenue « notée $\;\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]_{\text{repér. fix.}}^{W}\,\in \,M_{3}(W)\;$ et      Conclusion : La représentation matricielle est la matrice carrée réelle associée à « suivie de l'association de cette matrice carrée à la matrice carrée réelle «$\;\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]^{\mathbb {R} }\,\in \,M_{3}(\mathbb {R} )\;$» .
     Conclusion : En résumé on forme $\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{repér. fix.}}\;\times \;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}=\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{repér. fix.}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}\right]\,\in \,M_{3}(W)\;$ puis
     Conclusion : En résumé on transpose $\Rightarrow$ $\;^{t}\!\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{repér. fix.}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}\right]=\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]_{\text{repér. fix.}}^{W}\,\in \,M_{3}(W)\;$ et enfin
     Conclusion : En résumé on associe à cette dernière la matrice carrée réelle $\;\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]^{\mathbb {R} }\,\in \,M_{3}(\mathbb {R} )\;$ .

Champ tensoriel gradient d'une fonction vectorielle de l'espace

     Le champ tensoriel gradient de la fonction vectorielle de l'espace $\,{\vec {A}}(M)\,$ étant l'image de $\,{\vec {A}}(M)\,$ par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre $\,{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\,$ selon «$\;{\vec {A}}(M)\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$»,
     Le champ tensoriel gradient de la fonction vectorielle de l'espace $\,\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\,$ est un champ tensoriel d'ordre deux contravariant et
     Le champ tensoriel gradient de la fonction vectorielle de l'espace $\,\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\,$ est représenté matriciellement par une matrice carrée réelle de dimension $\,{\big (}$ou taille${\big )}$ $3$
     Le champ tensoriel gradient de la fonction vectorielle de l'espace $\,\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\,$ est représenté matriciellement par une matrice carrée réelle dont l'établissement suit les quatre étapes suivantes  :

Représentations matricielles du champ tensoriel gradient d'une fonction vectorielle de l'espace

     $\bullet \;$matrice ligne transposée de la matrice colonne représentant le champ vectoriel$\;{\vec {A}}(M)$ : $\blacktriangleright \;$en cartésien «$\;^{t}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}^{W}\;$ $=\left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\;,\;A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\;,\;A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$»,
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice ligne transposée de la matrice colonne représentant le champ vectoriel$\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}$ : $\blacktriangleright \;$en cylindro-polaire «$\;^{t}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}^{W}\;$ $=\left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\;,\;A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\;,\;A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]^{W}\;$» et
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice ligne transposée de la matrice colonne représentant le champ vectoriel$\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}$ : $\blacktriangleright \;$en sphérique «$\;^{t}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}^{W}\;$ $=\left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\;,\;A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\;,\;A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]^{W}\;$» ;

     $\bullet \;$matrice carrée d'éléments de$\;W\;$produit matriciel de la matrice colonne représentant l'opérateur$\;{\vec {\nabla }}\;$et de la matrice ligne associée au champ vectoriel$\;{\vec {A}}(M)$ :
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée d'éléments de$\;\color {transparent}{W}\;$ $\blacktriangleright \;$en cartésien «$\;\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}^{W}\right]=\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;\times \;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}^{W}\;$ $=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;\times \;\left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\;,\;A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\;,\;A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]$
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée d'éléments de$\;\color {transparent}{W}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cartésien «$\;\color {transparent}{\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}^{W}\right]}$ $=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\\\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\\\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$»,
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée d'éléments de$\;\color {transparent}{W}\;$ $\blacktriangleright \;$en cylindro-polaire «$\;\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}^{W}\right]=\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\times \;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}^{W}\;$ $=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]\;\times \;\left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\;,\;A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\;,\;A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]$
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée d'éléments de$\;\color {transparent}{W}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}^{W}\right]}$ $=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;{\vec {u}}_{z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {A_{\rho }}{\rho }}\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }}{\rho }}\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;{\vec {u}}_{z}\\\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée d'éléments de$\;\color {transparent}{W}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}^{W}\right]}$ $=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;{\vec {u}}_{z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {A_{\rho }}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {A_{\theta }}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\rho }&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;{\vec {u}}_{z}\\\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» et
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée d'éléments de$\;\color {transparent}{W}\;$ $\blacktriangleright \;$en sphérique «$\;\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}^{W}\right]=\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\times \;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}^{W}\;$ $=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]\;\times \;\left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\;,\;A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\;,\;A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]$
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée d'éléments de$\;\color {transparent}{W}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}^{W}\right]}$ $=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{r}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{\theta }&\cdots \\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}}{r}}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }}{r}}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }&\cdots \\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }&\cdots \end{array}}\right.\;$
                                                                                                              $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée d'éléments de$\;\color {transparent}{W}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}^{W}\right]}$ $\left.{\begin{array}{c c}\cdots &\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\cdots &{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\cdots &{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\,{\vec {u}}_{\varphi }+{\dfrac {A_{\varphi }}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\end{array}}\right]\;$
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée d'éléments de$\;\color {transparent}{W}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}^{W}\right]}$ $=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{r}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{\theta }&\cdots \\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}}{r}}\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {A_{\theta }}{r}}\;{\vec {u}}_{r}&\cdots \\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}}{r\,\sin(\theta )}}\;\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }}{r\,\sin(\theta )}}\;\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }&\cdots \end{array}}\right.\;$
                                                                 $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée d'éléments de$\;\color {transparent}{W}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}^{W}\right]}$ $\left.{\begin{array}{c c}\cdots &\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\cdots &{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\cdots &{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\,{\vec {u}}_{\varphi }-{\dfrac {A_{\varphi }}{r\,\sin(\theta )}}\,\left\lbrace \sin(\theta )\,{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \end{array}}\right]\;$»  ;

     $\bullet \;$matrice transposée de la matrice carrée d'éléments de$\;W\;$produit matriciel de la matrice colonne représentant l'opérateur$\;{\vec {\nabla }}\;$et de la matrice ligne associée au champ vectoriel$\;{\vec {A}}(M)$ :
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice transposée $\blacktriangleright \;$en cartésien «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}^{W}=\;^{t}\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}^{W}\right]\;$
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice transposée $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cartésien «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}^{W}}$ $=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{x}\\\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{y}\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{z}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{z}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$»,
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice transposée $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cartésien «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}^{W}=}$ $\uparrow \;$représentation matricielle d'éléments de $\;W\;$ du champ tensoriel d'ordre deux contravariant «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$» en cartésien ;
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice transposée $\blacktriangleright \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}^{W}=\;^{t}\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}^{W}\right]\;$
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice transposée $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}^{W}}$ $=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }(M)+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\theta }(M)&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\rho }(M)&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{z}&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\;{\vec {u}}_{z}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» et
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice transposée $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}^{W}=}$ $\uparrow \;$représentation matricielle d'éléments de $\;W\;$ du champ tensoriel d'ordre deux contravariant «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$»
                                                                      $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice transposée $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire $\color {transparent}{\uparrow }\;$représentation matricielle d'éléments de $\;\color {transparent}{W}\;$ du champ tensoriel d'ordre deux contravariant en cylindro-polaire ;
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice transposée $\blacktriangleright \;$en sphérique «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}^{W}=\;^{t}\left[\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}^{W}\right]\;$
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice transposée $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}^{W}}$ $=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{r}&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}}{r}}\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}}{r\,\sin(\theta )}}\;\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {A_{\theta }}{r}}\;{\vec {u}}_{r}&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }}{r\,\sin(\theta )}}\;\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }\\\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{\varphi }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{\varphi }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\,{\vec {u}}_{\varphi }-{\dfrac {A_{\varphi }}{r\,\sin(\theta )}}\,\left\lbrace \sin(\theta )\,{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \end{array}}\right]\;$»
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice transposée $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}^{W}=}$ $\uparrow \;$représentation matricielle d'éléments de $\;W\;$ du champ tensoriel d'ordre deux contravariant «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$»
                                                                                $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice transposée $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique $\color {transparent}{\uparrow }\;$représentation matricielle d'éléments de $\;\color {transparent}{W}\;$ du champ tensoriel d'ordre deux contravariant en sphérique ;

     $\bullet \;$matrice carrée réelle représentant le champ tensoriel gradient de la fonction vectorielle$\;{\vec {A}}(M)\;$ :
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée réelle $\blacktriangleright \;$en cartésien «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}^{\cancel {\mathbb {R} }}\;$ $=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\end{array}}\right]\,\in \,M_{3}(\mathbb {R} )\;$»
          $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée réelle $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cartésien «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}^{\cancel {\mathbb {R} }}\;=}\;$ $\uparrow \;$représentation matricielle réelle du champ tensoriel d'ordre deux contravariant «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$» en cartésien ;
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée réelle $\blacktriangleright \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}^{\cancel {\mathbb {R} }}\;$ $=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\end{array}}\right]\,\in \,M_{3}(\mathbb {R} )\;$»
          $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée réelle $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}^{\cancel {\mathbb {R} }}\;=}\;$ $\uparrow \;$représentation matricielle réelle du champ tensoriel d'ordre deux contravariant
                    $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée réelle $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;=}\;$ $\color {transparent}{\uparrow }\;$représentation matricielle réelle du champ tensoriel d'ordre deux contravariant «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$» en cylindro-polaire ;
     $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée réelle $\blacktriangleright \;$en sphérique «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}^{\cancel {\mathbb {R} }}\;$ $=\left[\!{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r}}&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)-{\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r}}\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)-{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\varphi }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}+{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\theta }(M)\end{array}}\!\right]\in M_{3}(\mathbb {R} )\;$»
          $\color {transparent}{\bullet }\;$matrice carrée réelle $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}^{\cancel {\mathbb {R} }}\;=}\;$ $\uparrow \;$représentation matricielle réelle du champ tensoriel d'ordre deux contravariant «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$» en sphérique.

Propriété de la représentation matricielle réelle du champ tensoriel gradient d'une fonction vectorielle de l'espace

     Soit la représentation matricielle réelle du champ tensoriel d'ordre deux contravariant «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$» en repérage cartésien «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}^{\mathbb {R} }\;$» et
      Soit la représentation matricielle celle du vecteur déplacement élémentaire de $\;M$, point quelconque de l'espace, dans ce même repérage cartésien «$\;\left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{cart}}^{\mathbb {R} }\;$» ,
     Soit la représentation matricielle réelle nous vérifions la propriété «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{cart}}=\left[d\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}\;$» avec «$\;\left[d\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}\;$ matrice colonne réelle représentant
            Soit la représentation matricielle réelle nous vérifions la propriété «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{cart}}=\left[d\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}}\;$» avec « la différentielle du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$» en effet,
     Soit la représentation matricielle réelle nous vérifions la propriété «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}dx\\dy\\dz\end{array}}\right]\;$
    Soit la représentation matricielle réelle nous vérifions la propriété «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{cart}}}\;$ $=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\;dx+\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\;dy+\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;dz\\\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\;dx+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\;dy+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;dz\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\;dx+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\;dy+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;dz\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}dA_{x}(M)\\dA_{y}(M)\\dA_{z}(M)\end{array}}\right]\;$
    Soit la représentation matricielle réelle nous vérifions la propriété «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{cart}}}\;$ $=\left[d\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}\;$» C.Q.F.V. .

     Autres repérages : la propriété énoncée dans ce paragraphe reste VRAIE en repérage cylindro-polaire c.-à-d. «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}^{\mathbb {R} }\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{cyl}}^{\mathbb {R} }=\left[d\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}^{\mathbb {R} }\;$» en effet
     Autres repérages : $\succ \;$en repérage cylindro-polaire «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}d\rho \\\rho \,d\theta \\dz\end{array}}\right]\;$
     Autres repérages : $\color {transparent}{\succ }\;$en repérage cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{cyl}}}$ $=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\,d\rho +\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-A_{\theta }(M)\right\rbrace \,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,dz\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\,d\rho +\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+A_{\rho }(M)\right\rbrace \,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,dz\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,dz\end{array}}\right]$
     Autres repérages : $\color {transparent}{\succ }\;$en repérage cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{cyl}}}$ $=\left[{\begin{array}{c}dA_{\rho }(M)-A_{\theta }(M)\,d\theta \\dA_{\theta }(M)+A_{\rho }(M)\,d\theta \\dA_{z}(M)\end{array}}\right]\;$ $=\left[d\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}\;$» C.Q.F.V.  ;

     Autres repérages : la propriété énoncée dans ce paragraphe reste aussi VRAIE en repérage sphérique c.-à-d. «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}^{\mathbb {R} }\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{sph}}^{\mathbb {R} }=\left[d\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}^{\mathbb {R} }\;$» en effet
     Autres repérages : $\succ \;$en repérage sphérique «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{sph}}=\left[\!{\begin{array}{c c c}{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}(M)&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r}}&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}(M)-{\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r}}\\{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}(M)&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}(M)+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}(M)-{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\varphi }(M)\\{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}(M)&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}(M)&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}(M)+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}+{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\theta }(M)\end{array}}\!\right]\cdots \;$
                                                                                                                                                                                                                       Autres repérages : $\color {transparent}{\succ }\;$en repérage sphérique $\cdots \;\times \left[{\begin{array}{c}dr\\r\,d\theta \\r\,\sin(\theta )\,d\varphi \end{array}}\right]\;$
     Autres repérages : $\color {transparent}{\succ }\;$en repérage sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{sph}}}$ $=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}(M)\,dr+{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}(M)\,d\theta -A_{\theta }(M)\,d\theta +{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}(M)\,d\varphi -A_{\varphi }(M)\,\sin(\theta )\,d\varphi \\{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}(M)\,dr+{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}(M)\,d\theta +A_{r}(M)\,d\theta +{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}(M)\,d\varphi -A_{\varphi }(M)\,\cos(\theta )\,d\varphi \\{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}(M)\,dr+{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}(M)\,d\theta +{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}(M)\,d\varphi +A_{r}(M)\,\sin(\theta )\,d\varphi +A_{\theta }(M)\,\cos(\theta )\,d\varphi \end{array}}\right]\;$
     Autres repérages : $\color {transparent}{\succ }\;$en repérage sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{sph}}}$ $=\left[{\begin{array}{c}dA_{r}(M)-A_{\theta }(M)\,d\theta -A_{\varphi }(M)\,\sin(\theta )\,d\varphi \\dA_{\theta }(M)+A_{r}(M)\,d\theta -A_{\varphi }(M)\,\cos(\theta )\,d\varphi \\dA_{\varphi }(M)+A_{r}(M)\,\sin(\theta )\,d\varphi +A_{\theta }(M)\,\cos(\theta )\,d\varphi \end{array}}\right]\;$ $=\left[d\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}\;$» C.Q.F.V. .

Prolongement de l'applicabilité de la notion de champ tensoriel gradient à une fonction tensorielle d'ordre supérieur à 1

     Le champ gradient d'une fonction scalaire c.-à-d.
     Le champ gradient d'une fonction tensorielle d'ordre zéro
         Le champ gradient d'une fonction scalaire étant un champ vectoriel c.-à-d.
         Le champ gradient d'une fonction scalaire étant un champ tensoriel d'ordre un et
     le champ gradient d'une fonction vectorielle c.-à-d.
     le champ gradient d'une fonction tensorielle d'ordre un
           le champ gradient d'une fonction vectorielle étant un champ tensoriel d'ordre deux,
     nous pourrions généraliser selon « le champ gradient d'une fonction tensorielle d'ordre p$\;\in \;\mathbb {N} \;$est un champ tensoriel d'ordre p + 1 », par exemple
           nous pourrions généraliser selon « le champ gradient d'une fonction tensorielle d'ordre deux ${\big \{}$laquelle est représentable par une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;3{\big \}}\;$
            nous pourrions généraliser selon « le champ gradient d'une fonction tensorielle d'ordre deux est un champ tensoriel d'ordre trois ${\big \{}$lequel nécessiterait une représentation en tableau cubique ${\big \}}\;$.

Retour sur la recherche d'une façon plus compacte de traduire l'étude de la variation d'un champ vectoriel

     Dans le chap.$13$ intitulé « champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
     Dans le chap.$\color {transparent}{13}$ nous avons évoqué, dans la dernière note de bas de page ${\big [}$plus précisément la note « ²⁴ »${\big ]}$, une façon plus compacte de traduire l'étude de la variation d'un champ vectoriel, mais
     Dans le chap.$\color {transparent}{13}$ nous avons évoqué, dans la dernière note de bas de page $\color {transparent}{\big [}$plus précisément la note « ²⁴ »$\color {transparent}{\big ]}$, en vérifiant cette méthode uniquement en repérage cartésien
     Dans le chap.$\color {transparent}{13}$ nous avons évoqué, dans la dernière note de bas de page $\color {transparent}{\big [}$plus précisément la note « ²⁴ »$\color {transparent}{\big ]}$, ${\big [}$introduction d'un niveau plus élevé que $\;BAC+3\;$ évoquée à titre documentaire ${\big ]}$ ;
     peut-on prolonger le résultat trouvé en repérage cartésien dans le repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou sphérique${\big )}$ ?
     peut-on prolonger le résultat La réponse dépend de ce qu'on entend par étude de la variation du champ vectoriel,
     peut-on prolonger le résultat La réponse dépend souhaite-t-on étudier cette variation de façon $\bullet \;$« absolue » ${\big [}$dans ce cas il faut étudier la direction, le sens et la norme de $\;d{\vec {A}}(M)\;$${\big ]}\;$ ou
     peut-on prolonger le résultat La réponse dépend souhaite-t-on étudier cette variation de façon $\bullet \;$« relative » ${\big [}$dans ce cas il faut étudier le signe des différentielles des composantes cylindro-polaires
          peut-on prolonger le résultat La réponse dépend souhaite-t-on étudier cette variation de façon $\color {transparent}{\bullet }\;$« relative » $\color {transparent}{\big [}$dans ce cas il faut étudier le signe des différentielles $\;{\big (}$ou sphériques${\big )}\;$ de $\;{\vec {A}}(M)\;$${\big ]}$.

Recherche d'une façon plus compacte de traduire la variation « relative » d'un champ vectoriel de l'espace

     Comme indiqué en introduction du paragraphe « retour sur la recherche d'une façon plus compacte de traduire l'étude de la variation d'un champ vectoriel (variation relative) » plus haut dans ce chapitre,
     Comme indiqué en introduction du paragraphe « retour sur la recherche d'une façon plus compacte il faut étudier le signe des différentielles des composantes du champ vectoriel dans le repérage considéré :

     $\succ \;$en cartésien, pour un « champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$», étudier le signe des « différentielles des composantes sur $\,x'x$, $\,y'y\;$ et $\,z'z\,$ du champ vectoriel
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien, pour un « champ vectoriel $\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», $\left\lbrace {\begin{array}{l}dA_{x}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\\dA_{y}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\\dA_{z}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\end{array}}\right\rbrace \,$» ce qui revient à
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien, pour un « champ vectoriel $\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», étudier le signe de chaque élément de la matrice colonne réelle produit $\,\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]\,$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien, pour un « champ vectoriel $\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», et pour cela d'étudier le signe de chacune des neuf composantes cartésiennes de $\,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)$,
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien, pour un « champ vectoriel $\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», c.-à-d. du champ tensoriel gradient d'ordre deux contravariant du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien, pour un « champ vectoriel $\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», ou étudier le signe de chaque élément de la matrice colonne réelle produit $\,\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]$ avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien, pour un « champ vectoriel $\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», $\,{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\,$ la dérivée du champ vectoriel $\,{\vec {A}}(M)\,$ par rapport au vecteur position $\,{\vec {r}}={\overrightarrow {OM}}\,$ de $\,M\;$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien, pour un « champ vectoriel $\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», et pour cela il suffit d'étudier le signe de chacune des neuf composantes cartésiennes de $\,{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)$ ;

     $\succ \;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$», étudier le signe des « différentielles des composantes radiale, orthoradiale et axiale
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», étudier le signe des « différentielles des composantes du champ vectoriel $\,{\vec {A}}(M)$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», $\left\lbrace {\begin{array}{l}dA_{\rho }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\!\theta ,\,z}(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)\,dz\\dA_{\theta }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\!\theta ,\,z}(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)\,dz\\dA_{z}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\!\theta ,\,z}(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)\,dz\end{array}}\right\rbrace \;$»
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», revient à rechercher le signe des neuf dérivées partielles des composantes de $\;{\vec {A}}(M)$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», ${\big [}$trois dérivées partiales de $\,A_{\rho }(M)$, trois de $\,A_{\theta }(M)\,$ et trois de $\,A_{z}(M){\big ]}$ ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», définissant la dérivée du champ vectoriel $\,{\vec {A}}(M)\,$ par rapport à $\,{\vec {r}}={\overrightarrow {OM}}$, vecteur
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», position de $\,M$ en repérage cylindro-polaire avec sa représentation matricielle réelle,
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», on vérifie que la matrice colonne réelle produit $\,\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]$ s'identifie à
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», la matrice colonne réelle $\,\left[d{\vec {A}}(M)\right]\,$ différentielle du champ vectoriel $\,{\vec {A}}(M)$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», $\left[\!{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\,dz\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\,dz\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\,dz\end{array}}\!\right]=\left[\!{\begin{array}{c}dA_{\rho }(M)\\dA_{\theta }(M)\\dA_{z}(M)\end{array}}\!\right]\;$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», $\Leftarrow$ il suffit d'étudier le signe des neuf composantes cylindro-polaires de $\,{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\;$ ;

     $\succ \;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$», étudier le signe des « différentielles des composantes radiale, orthoradiale et longitudale
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», étudier le signe des « différentielles des composantes du champ vectoriel $\,{\vec {A}}(M)$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», $\left\lbrace {\begin{array}{l}dA_{r}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }\!\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\theta }\!\!(M)\,d\varphi \\dA_{\theta }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }\!\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\theta }\!\!(M)\,d\varphi \\dA_{\varphi }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }\!\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\theta }\!\!(M)\,d\varphi \end{array}}\right\rbrace \;$»
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», revient à rechercher le signe des neuf dérivées partielles des composantes de $\;{\vec {A}}(M)$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», ${\big [}$trois dérivées partiales de $\,A_{r}(M)$, trois de $\,A_{\theta }(M)\,$ et trois de $\,A_{\varphi }(M){\big ]}$ ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», définissant la dérivée du champ vectoriel $\,{\vec {A}}(M)\,$ par rapport à $\,{\vec {r}}={\overrightarrow {OM}}$, vecteur
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», position de $\,M$ en repérage sphérique avec sa représentation matricielle réelle,
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», on vérifie que la matrice colonne réelle produit $\,\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]$ s'identifie à
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», la matrice colonne réelle $\,\left[d{\vec {A}}(M)\right]\,$ différentielle du champ vectoriel $\,{\vec {A}}(M)$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», $\left[\!\!{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\,d\varphi \\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\,d\varphi \\\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\,d\varphi \end{array}}\!\!\right]=\left[\!{\begin{array}{c}dA_{r}(M)\\dA_{\theta }(M)\\dA_{\varphi }(M)\end{array}}\!\right]\;$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», $\Leftarrow$ il suffit d'étudier le signe des neuf composantes sphériques de $\,{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\;$.

Recherche d'une façon plus compacte de traduire la variation « absolue » d'un champ vectoriel de l'espace

     Comme indiqué en introduction du paragraphe « retour sur la recherche d'une façon plus compacte de traduire l'étude de la variation d'un champ vectoriel (variation absolue) » plus haut dans ce chapitre,
     Comme indiqué en introduction du paragraphe « retour sur la recherche d'une façon plus compacte il faut étudier le signe des composantes de la différentielle du champ vectoriel dans le repérage considéré
     Comme indiqué en introduction du paragraphe « retour sur la recherche d'une façon plus compacte ${\big \{}$et non le signe des différentielles des composantes du champ vectoriel
     Comme indiqué en introduction du paragraphe « retour sur la recherche d'une façon plus compacte $\color {transparent}{\big \{}$et non le signe des différentielles des composantes réservé à la variation relative du champ${\big \}}\;$ :

     $\succ \;$en cartésien, les vecteurs de base étant constants dans le repère considéré, l'étude de la variation absolue d'un champ vectoriel est identique à celle de la variation relative et par suite
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien, les vecteurs de base étant constants dans le repère considéré, le traitement est identique, il consiste à étudier le signe des neuf composantes de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)={\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\;$ ;

     $\succ \;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$», étudier le signe des « composantes de la différentielle du champ vectoriel $\,{\vec {A}}(M)$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», $d\left\lbrace {\vec {A}}(M)\right\rbrace =\left\lbrace {\begin{array}{l l}dA_{\rho }(M)-A_{\theta }(M)\,d\theta &{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\\dA_{\theta }(M)+A_{\rho }(M)\,d\theta &{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\\dA_{z}(M)&{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» revient à
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», rechercher le signe des trois composantes de $\;d\left\lbrace {\vec {A}}(M)\right\rbrace \;$ ou encore, avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», la différentielle de $\;{\vec {A}}(M)\;$ représentée matriciellement par la matrice colonne réelle
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», «$\;\left[d{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{cyl}}\;$» avec «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}\;$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», la matrice carrée réelle représentant le champ tensoriel gradient de $\;{\vec {A}}(M)\,$ et $\,\left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{cyl}}$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», la matrice colonne réelle représentant le vecteur déplacement élémentaire de $\;M\;$», à
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», rechercher « le signe des neuf éléments de $\,\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}\;$ c.-à-d.
     $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}\;$», $\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\end{array}}\right]\;$»  ;

     $\succ \;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$», étudier le signe des « composantes de la différentielle du champ vectoriel $\,{\vec {A}}(M)$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,}\;$», $d\left\lbrace {\vec {A}}(M)\right\rbrace =\left\lbrace {\begin{array}{l l}dA_{r}(M)-A_{\theta }(M)\,d\theta -A_{\varphi }(M)\,\sin(\theta )\,d\varphi &{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{r}(M)\\dA_{\theta }(M)+A_{r}(M)\,d\theta -A_{\varphi }(M)\,\cos(\theta )\,d\varphi &{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\\dA_{\varphi }(M)+A_{r}(M)\,\sin(\theta )\,d\varphi +A_{\theta }(M)\,\cos(\theta )\,d\varphi &{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\end{array}}\right\rbrace \;$»
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», revient à rechercher le signe des trois composantes de $\;d\left\lbrace {\vec {A}}(M)\right\rbrace \;$ ou encore, avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», la différentielle de $\;{\vec {A}}(M)\;$ représentée matriciellement par la matrice colonne réelle
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», «$\;\left[d{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}\!\times \!\left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{sph}}\;$ avec $\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», la matrice carrée réelle représentant le champ tensoriel gradient de $\;{\vec {A}}(M)\,$ et $\,\left[{\overrightarrow {dM}}\right]_{\text{cyl}}$
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», la matrice colonne réelle représentant le vecteur déplacement élémentaire de $\;M\;$», à
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)}\;$», rechercher « le signe des neuf éléments de $\,\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}\;$ c.-à-d.
     $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+}\;$», $\left[\!{\begin{array}{c c c}{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}(M)&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r}}\!\!\!\!\!\!\!&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}(M)-{\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r}}\\{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}(M)&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}(M)+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}\!\!\!\!\!\!\!&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}(M)-{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\varphi }(M)\\{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}(M)&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}(M)\!\!\!\!\!\!\!&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}(M)+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}+{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\theta }(M)\end{array}}\!\right]\;$» .

Remarque finale

     On remarquera néanmoins que ces deux façons se confondent en représentation cartésienne .