Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les tenseurs et leurs composantes, notion de contraction tensorielle et notation d'Einstein

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Composantes d'un tenseur

     Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels construits à partir d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel $\;E\;$ et de son dual $\;E^{*}\;$» ,
         Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons ces espaces vectoriels « euclidiens » avec
         Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons $\bullet \;$la multiplication scalaire définie sur $\;E\;$ notée «$\;\cdot _{E}\;$» puis
         Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons $\bullet \;$une forme bilinéaire non dégénérée définie sur $\;E^{*}\times E$, notée
         Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$» et appelée « crochet de dualité » construite à l'aide de
         Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons $\color {transparent}{\bullet }\;$la multiplication scalaire sur $\;E\;$ telle que
         Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\forall \;\left({\vec {u}}\cdot _{E}\;\in \,E^{*}\,,\,{\vec {x}}\;\in \,E\right)\;$», «$\;\langle {\vec {u}}\cdot _{E}\,,\,{\vec {x}}\rangle ={\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\;\in \mathbb {R} \;$»
         Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons $\color {transparent}{\bullet }\;$${\Big [}$«$\;{\vec {u}}\cdot _{E}\;$» élément de $\;E^{*}\;$ en correspondance avec $\;{\vec {u}}\;$ de $\;E{\Big ]}$.

     Remarque de terminologie : bien que la règle en mathématiques soit de parler de « coordonnées de vecteur » et donc de « coordonnées de tenseur »,
     Remarque de terminologie : nous remplaçons ici ces termes par « composantes de vecteur » et donc par « composantes de tenseur »,
     Remarque de terminologie : nous remplaçons ici réservant les termes « coordonnées » pour les points d'un espace affine $\;\ldots$

Définition d'une base de l'espace vectoriel tridimensionnel et de celle de son dual

     Soit «$\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ une base orthonormée du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ tridimensionnel euclidien »,
     Soit «$\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ vecteurs base tels que «$\;{\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}=\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$» $\;{\big (}$dans lequel $\;\delta _{i\,,\,j}\;$ est le symbole de Kronecker ${\big )}$ ;
     Soit « à cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ nous faisons correspondre, par utilisation du crochet de dualité entre $\;E\;$ et son dual $\;E^{*}\;$,
     Soit « à cette base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ nous faisons correspondre, une famille de $\;3\;$ covecteurs de $\;E^{*}$, ainsi,
     Soit « aux « vecteurs $\;\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$» de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$, on associe les « covecteurs $\;\left({b'}_{\!1}={\vec {b}}_{1}\cdot _{E}\,,\,{b'}_{\!2}={\vec {b}}_{2}\cdot _{E}\,,\,{b'}_{\!3}={\vec {b}}_{3}\cdot _{E}\right)\;$ de $\;E^{*}\;$»
       Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, on associe les « covecteurs définis par crochets de dualité entre chacun d'entre eux et chaque vecteur de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ :
       Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, on associe les « covecteurs définis par «$\;\langle {b'}_{\!i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\rangle ={\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}=\delta _{i,\,j}\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$» d'où
     Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, l'« unicité des covecteurs $\;\left({b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right)\;$ construits à partir de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$»  ;
     Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, de plus « ces covecteurs $\;\left({b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right)\;$ forment une famille libre de $\;E^{*}\;$» en effet,
     Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, de plus considérant la « forme linéaire nulle $\;\alpha _{1}\;{b'}_{\!1}+\alpha _{2}\;{b'}_{\!2}+\alpha _{3}\;{b'}_{\!3}=0_{E^{*}}\;$ de $\;E\;$» et appliquant cette forme linéaire à chaque $\;{\vec {b}}_{j}$, $\Rightarrow$
     Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, de plus «$\;0_{E^{*}}({\vec {b}}_{j})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;{b'}_{\!i}({\vec {b}}_{j})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;\langle {b'}_{\!i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\rangle =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;\delta _{i\,,\,j}=\alpha _{j}\;$» avec «$\;0_{E^{*}}({\vec {b}}_{j})=0$
     Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, de plus «$\;\color {transparent}{0_{E^{*}}({\vec {b}}_{j})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;{b'}_{\!i}({\vec {b}}_{j})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;\langle {b'}_{\!i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\rangle =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;\delta _{i\,,\,j}=\alpha _{j}}\;$» $\;\forall \;j\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$»
     Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, de plus d'où «$\;\alpha _{j}=0,\;\;\forall \;j\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$» c.-à-d. «$\;\alpha _{1}\;{b'}_{\!1}+\alpha _{2}\;{b'}_{\!2}+\alpha _{3}\;{b'}_{\!3}=0_{E^{*}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left(\alpha _{1}=0\,,\,\alpha _{2}=0\,,\,\alpha _{3}=0\right)\;$» C.Q.F.D. ,
     Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, enfin « ces covecteurs $\;\left({b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right)\;$ forment une famille génératrice de $\;E^{*}\;$» car de nombre d'éléments égal à la dimension de $\;E^{*}$,
     Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, on conclut donc que «$\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right\rbrace \;$ forme une base de $\;E^{*}\;$».

     Pour affirmer le caractère euclidien du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel $\;E^{*}$, il faut définir la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{*}}\;$» en précisant les composantes de covecteurs sur la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;E^{*}\;$ selon
     Pour affirmer le caractère euclidien du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel tridimensionnel $\;\color {transparent}{E^{*}}$, il faut définir la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{E^{*}}}\;$» «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi =\varphi _{1}\;{b'}_{\!1}+\varphi _{2}\;{b'}_{\!2}+\varphi _{3}\;{b'}_{\!3}\;\in \;E^{*},\;\;\left(\varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\,,\,\varphi _{3}\right)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\\\psi =\psi _{1}\;{b'}_{\!1}+\psi _{2}\;{b'}_{\!2}+\psi _{3}\;{b'}_{\!3}\;\in \;E^{*},\;\;\left(\psi _{1}\,,\,\psi _{2}\,,\,\psi _{3}\right)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\end{array}}\right\rbrace$» $\Rightarrow$
     Pour affirmer le caractère euclidien du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel tridimensionnel $\;\color {transparent}{E^{*}}$, il faut définir la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{E^{*}}}\;$» «$\;\varphi \cdot _{E^{*}}\psi =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varphi _{i}\;\psi _{i}\;$» définition contenant le caractère orthonormé
     Pour affirmer le caractère euclidien du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel tridimensionnel $\;\color {transparent}{E^{*}}$, il faut définir la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{E^{*}}}\;$» de la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ car «$\;{b'}_{\!i}\cdot _{E^{*}}{b'}_{\!j}=\delta _{i\,,\,j}\;$» $\;{\big (}$symbole de Kronecker ${\big )}$.

Construction d'une base pour chaque produit tensoriel d'espaces vectoriels formé à partir d'un espace vectoriel tridimensionnel et de son dual

Bases pour les espaces vectoriels dont les éléments sont des tenseurs d'ordre deux

     « Les $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels contenant les tenseurs d'ordre $\;2\;$ sont de dimension $\;3^{2}=9\;$» $\;{\big [}\!\Leftrightarrow$ « toute famille libre de $\;9\;$ tenseurs d'ordre $\;2\;$ sera une base de l'espace vectoriel considéré »${\big ]}$, ce sont :

• pour «$\;E\otimes E\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants » , on choisit pour base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}=\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\right)\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ^{2},\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$» ,
• pour «$\;E^{*}\otimes E^{*}\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;2\;$ covariants » , on choisit pour base «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}=\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{\left({b'}_{\!i}\,,\,{b'}_{\!j}\right)\,\in \,\left\lbrace B'\right\rbrace ^{2},\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$» et
• pour «$\;E\otimes E^{*}$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;2\;$ “ mixtes ” » , choix pour base la famille libre «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$ $=\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{b'}_{\!j}\right)\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace \,\times \,\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$» .

Bases pour les espaces vectoriels dont les éléments sont des tenseurs d'ordre p

     « Les $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels contenant les tenseurs d'ordre $\;p>2\;$ sont de dimension $\;3^{\,p}\;$» $\;{\big [}\!\Leftrightarrow$ « toute famille libre de $\;3^{\,p}\;$ tenseurs d'ordre $\;p\;$ sera une base de l'espace vectoriel en question »${\big ]}\;$ :

• pour «$\;E^{\,\otimes \,p}\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$ contravariants » , on choisit pour base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}=\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{{\vec {b}}_{i_{k}}\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\forall \,i_{k}\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right],\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» ,
• pour «$\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,p}\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$ covariants » , on choisit pour base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}=\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{{b'}_{\!i_{k}}\,\in \,\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\forall \,i_{k}\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right],\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» et
• pour «$\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)},\;k\,\in \left[\left[1\,,\,(p-1)\right]\right]\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$ “ mixtes ” $\;k$-contravariant et $\;(p-k)$-covariant  » choix pour base la famille libre
              pour «$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)},\;k\,\in \left[\left[1\,,\,(p-1)\right]\right]}\;$ «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}=$ $\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l l|}\,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ,&\!\!\forall \,i_{l}\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right],&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\,\\\,{b'}_{\!i_{m}}\,\in \,\left\lbrace B'\right\rbrace ,&\!\!\forall \,i_{m}\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right],&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\,\end{array}}\;$» .

Définition des composantes d'un tenseur d'un produit tensoriel d'espaces vectoriels formé à partir d'un espace vectoriel tridimensionnel et de son dual

Composantes d'un tenseur d'ordre deux

     Il s'agit des « composantes d'un tenseur décomposé sur la base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel auquel il appartient » soit :

• pour un « tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;\in E\otimes E\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {T}}\;$ sur cette base selon
  pour un tenseur «$\;{\mathcal {T}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {T}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;9\;$ composantes de $\;{\mathcal {T}}$ «$\;\left({\mathcal {T}}_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», qualifiées de « contravariantes » ,
• pour un « tenseur $\;{\mathcal {S}}\;$ d'ordre $\;2\;$ covariant $\;\in E^{*}\otimes E^{*}\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {S}}\;$ sur cette base selon
  pour un tenseur «$\;{\mathcal {S}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {S}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {b'}_{i}\otimes {b'}_{j}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;9\;$ composantes de $\;{\mathcal {S}}$ «$\;\left({\mathcal {S}}_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», qualifiées de « covariantes » et
• pour un « tenseur $\;{\mathcal {R}}\;$ d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” $\;\in E\otimes E^{*}\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {R}}\;$ sur cette base selon
  pour un tenseur «$\;{\mathcal {R}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {R}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;9\;$ composantes de $\;{\mathcal {R}}$ «$\;\left({\mathcal {R}}_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», qualifiées de “ mixtes ” .

Composantes d'un tenseur d'ordre p

     Il s'agit des « composantes d'un tenseur décomposé sur la base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel auquel il appartient » soit :

• pour un « tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ d'ordre $\;p\;$ contravariant $\;\in E^{\,\otimes \,p}\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {T}}\;$ sur cette base selon
  pour un tenseur «$\;{\mathcal {T}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {T}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{p}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;3^{\,p}$ composantes «$\;\left({\mathcal {T}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\;\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}$», qualifiées de « contravariantes » ,
• pour un «tenseur $\;{\mathcal {S}}\;$ d'ordre $\;p\;$ covariant $\;\in \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,p}\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {S}}\;$ sur cette base selon
  pour un tenseur «$\;{\mathcal {S}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {b'}_{\!i_{1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;3^{\,p}$ composantes «$\;\left({\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\;\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}$», qualifiées de « covariantes » et
• pour un « tenseur $\;{\mathcal {R}}\;$ d'ordre $\;p\;$ « mixte » $\;k$-contravariant et $\;(p-k)$-covariant $\;\in E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)},\;k\,\in \left[\left[1\,,\,(p-1)\right]\right]\;$»
         pour un « tenseur $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ d'ordre $\;\color {transparent}{p}\;$ « mixte » avec «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$» choisie comme base, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {R}}\;$ sur cette base selon
  pour un tenseur «$\;{\mathcal {R}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \,{b'}_{\!i_{(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$
  pour un tenseur «$\;3^{\,p}$ composantes «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\qquad \in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}$», qualifiées de “ mixtes «$\;k$-contravariantes et $\;(p-k)$-covariantes  ».

Produit scalaire de deux vecteurs de l'ensemble des tenseurs d'ordre p contravariants, covariants ou « k-contravariants et (p - k)-covariants » formé à partir d'un même espace vectoriel et de son dual, conséquence sur la base choisie

Rappel sur les bases de l'espace vectoriel tridimensionnel euclidien et de son dual

     Ayant choisi une « base orthonormée $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ tridimensionnel euclidien », telle que «$\;{\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}=\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$»
       Ayant choisi une « base orthonormée $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ tridimensionnel euclidien », telle que «$\;\color {transparent}{{\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}}$ $\;{\big (}\delta _{i\,,\,j}\;$ étant le symbole de Kronecker ${\big )}$, puis
     Ayant construit une « base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E^{*}\;$ tridimensionnel euclidien, dual de $\;E\;$ » avec «$\;{b'}_{\!i}\left({\vec {b}}_{j}\right)=\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$»
          Ayant construit une « base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right\rbrace }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E^{*}}\;$ tridimensionnel euclidien, dual de $\;\color {transparent}{E}\;$ » avec «$\;\color {transparent}{{b'}_{\!i}\left({\vec {b}}_{j}\right)}$ $\;{\big (}\delta _{i\,,\,j}\;$ étant le symbole de Kronecker ${\big )}$, on a ensuite
     Ayant défini la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{*}}\;$» sur $\;E^{*}\;$ selon «$\;\varphi \cdot _{E^{*}}\psi =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varphi _{i}\;\psi _{i}\;$» avec «$\;\left(\varphi \,,\,\psi \right)\;\in \;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{2}\;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi =\varphi _{1}\;{b'}_{\!1}+\varphi _{2}\;{b'}_{\!2}+\varphi _{3}\;{b'}_{\!3},\;\;\left(\varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\,,\,\varphi _{3}\right)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\\\psi =\psi _{1}\;{b'}_{\!1}+\psi _{2}\;{b'}_{\!2}+\psi _{3}\;{b'}_{\!3},\;\;\left(\psi _{1}\,,\,\psi _{2}\,,\,\psi _{3}\right)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     Ayant défini la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{E^{*}}}\;$» sur $\;\color {transparent}{E^{*}}\;$ ce qui a permis de conclure au caractère orthonormé de la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ car «$\;{b'}_{\!i}\cdot _{E^{*}}{b'}_{\!j}=\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$» .

Produits scalaires de deux vecteurs du même ensemble des tenseurs d'ordre 2 contravariants, covariants ou mixtes et déduction du caractère orthonormé des bases y étant définies

• Dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;E^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants  » de base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», on définit
       Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,2}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{\,\otimes \,2}}\;$» entre deux vecteurs $\;\left({\mathcal {T}}\,,\,{\mathcal {T}}'\right)\;$ de $\;E^{\,\otimes \,2}$ tels que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {T}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {T}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \\{\mathcal {T}}'=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{{\mathcal {T}}'}_{\!i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$
       Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,2}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{E^{\,\otimes \,2}}}\;$» par «$\;{\mathcal {T}}\cdot _{E^{\,\otimes \,2}}{\mathcal {T}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,2}}^{\left(i_{1},\,i_{2}\right)}{\mathcal {T}}_{i_{1},\,i_{2}}\;{{\mathcal {T}}'}_{\!i_{1},\,i_{2}}\;$» d'où
       Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,2}}\;$ le produit scalaire entre deux vecteurs de base «$\;\left({\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right)\,\cdot _{E^{\,\otimes \,2}}\left({\vec {b}}_{i'}\otimes {\vec {b}}_{j'}\right)=\delta _{i\,,\,i'}\;\delta _{j\,,\,j'}\;$» et par suite
       Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,2}}\;$ le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E^{\,\otimes \,2}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
• dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ covariants  » de base «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», on définit
       Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$» entre vecteurs quelconques $\;\left({\mathcal {S}}\,,\,{\mathcal {S}}'\right)\;$ de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}$ tels que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {S}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {S}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \\{\mathcal {S}}'=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{{\mathcal {S}}'}_{\!i,\,j}\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$
       Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}}\;$» par «$\;{\mathcal {S}}\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}{\mathcal {S}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,2}}^{\left(i_{1},\,i_{2}\right)}{\mathcal {S}}_{i_{1},\,i_{2}}\;{{\mathcal {S}}'}_{\!i_{1},\,i_{2}}\;$» d'où
       Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$ le produit scalaire entre deux vecteurs de base «$\;\left({b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right)\,\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\left({b'}_{\!i'}\otimes {b'}_{\!j'}\right)=\delta _{i\,,\,i'}\;\delta _{j\,,\,j'}\;$» et par suite
       Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$ le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
• dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;E\otimes E^{*}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ “ mixtes ” » de base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», on définit
             Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E\otimes E^{*}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E\,\otimes \,E^{*}}\;$» entre vecteurs quelconques $\;\left({\mathcal {R}}\,,\,{\mathcal {R}}'\right)\;$ de $\;E\otimes E^{*}$ tels que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {R}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {R}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \\{\mathcal {R}}'=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{{\mathcal {R}}'}_{\!i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$
             Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E\otimes E^{*}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{E\,\otimes \,E^{*}}}\;$» par «$\;{\mathcal {R}}\cdot _{E\,\otimes \,E^{*}}{\mathcal {R}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,2}}^{\left(i_{1},\,i_{2}\right)}{\mathcal {R}}_{i_{1},\,i_{2}}\;{{\mathcal {R}}'}_{\!i_{1},\,i_{2}}\;$» d'où
             Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E\otimes E^{*}}\;$ le produit scalaire entre deux vecteurs de base «$\;\left({\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right)\,\cdot _{E\,\otimes \,E^{*}}\left({\vec {b}}_{i'}\otimes {b'}_{\!j'}\right)=\delta _{i\,,\,i'}\;\delta _{j\,,\,j'}\;$» et par suite
             Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E\otimes E^{*}}\;$ le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E\otimes E^{*}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier.

Produits scalaires de deux vecteurs du même ensemble des tenseurs d'ordre p contravariants, covariants ou « k-contravariants et (p - k)-covariants », déduction du caractère orthonormé des bases y étant définies

• Dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel $\;E^{\,\otimes \,p}\;$ des tenseurs d'ordre $\;p\;$ contravariants  » de base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$», on définit
        Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,p}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{\,\otimes \,p}}\;$» entre vecteurs quelconques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {T}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {T}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{p}}\right\rbrace \\{\mathcal {T}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{{\mathcal {T}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{p}}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$ de $\;E^{\,\otimes \,p}\;$
        Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,p}}\;$ la multiplication scalaire par «$\;{\mathcal {T}}\cdot _{E^{\,\otimes \,p}}{\mathcal {T}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {T}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;{{\mathcal {T}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;$» d'où
        Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,p}}\;$ le produit scalaire entre deux vecteurs de base de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre $\;p\;$ contravariants
        Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,p}}\;$ le produit scalaire «$\;\left({\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{p}}\right)\,\cdot _{E^{\,\otimes \,p}}\left({\vec {b}}_{{i'}_{\!1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{{i'}_{\!k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{{i'}_{\!p}}\right)=\delta _{i_{1}\,,\,{i'}_{\!1}}\;\cdots \;\delta _{i_{k}\,,\,{i'}_{\!k}}\;\cdots \;\delta _{i_{p}\,,\,{i'}_{\!p}}\;$» et par suite
        Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,p}}\;$ le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» de $\;E^{\,\otimes \,p}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
• dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$ des tenseurs d'ordre $\;p\;$ covariants  » de base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$», on définit
        Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$» entre vecteurs $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {S}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {b'}_{\!i_{1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \\{\mathcal {S}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{{\mathcal {S}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {b'}_{\!i_{1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$ de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$
        Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$ la multiplication scalaire «$\;{\mathcal {S}}\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}{\mathcal {S}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;{{\mathcal {S}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;$» d'où
        Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$ le produit scalaire entre deux vecteurs de base de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre $\;p\;$ covariants
        Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$ le produit scalaire «$\;\left({b'}_{\!i_{1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right)\,\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\left({b'}_{\!{i'}_{\!1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!{i'}_{\!k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!{i'}_{\!p}}\right)=\delta _{i_{1}\,,\,{i'}_{\!1}}\;\cdots \;\delta _{i_{k}\,,\,{i'}_{\!k}}\;\cdots \;\delta _{i_{p}\,,\,{i'}_{\!p}}\;$» et par suite
        Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$ le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
• dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel “$\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$” des tenseurs d'ordre $\;p\;$ “ mixtes ” $\;k$-contravariants et $\;(p-k)$-covariants  »
                      dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” de base «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$», on définit
                      dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$» entre deux vecteurs quelconques $\;\left({\begin{array}{c}{\mathcal {R}}\\{\mathcal {R}}'\end{array}}\right)\;$ de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$
                      dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” de composantes respectives sur $\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \,{b'}_{\!i_{(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \;$
                      dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” de composantes $\left({\begin{array}{c}{\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\\{{\mathcal {R}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\end{array}}\right)_{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}$, multiplication scalaire définie par
                      dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” «$\;{\mathcal {R}}\cdot _{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}{\mathcal {R}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\begin{array}{c}\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\right.\\\left.i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)\end{array}}{\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\;{{\mathcal {R}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\;$» d'où
                      dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” le produit scalaire entre deux vecteurs de base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$
                      dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” le produit scalaire des tenseurs d'ordre $\;p\;$ “ mixtes ” $\;k$-contravariants et $\;(p-k)$-covariants
  dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel $\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \,{b'}_{\!i_{(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \,\cdot _{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\left\lbrace {\vec {b}}_{{i'}_{\!1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{{i'}_{\!l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{{i'}_{\!k}}\,\otimes \,{b'}_{\!{i'}_{\!(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!{i'}_{\!m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!{i'}_{\!p}}\right\rbrace$
  dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \,{b'}_{\!i_{(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace }$ $=\delta _{i_{1}\,,\,{i'}_{\!1}}\;\cdots \;\delta _{i_{l}\,,\,{i'}_{\!l}}\;\cdots \;\delta _{i_{k}\,,\,{i'}_{\!k}}\;\cdots \;\delta _{i_{(k+1)}\,,\,{i'}_{\!(k+1)}}\;\cdots \;\delta _{i_{m}\,,\,{i'}_{\!m}}\;\cdots \;\delta _{i_{p}\,,\,{i'}_{\!p}}\;$ et par suite
                      dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$» de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$
                      dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” le caractère orthonormé de la base ainsi que le caractère euclidien de ce dernier.

Contraction tensorielle

     L'opération « contraction tensorielle » a pour effet, quand celle-ci est définie, de diminuer de $\;2\;$ l'ordre d'un tenseur, la C.N. pour qu'une « contraction tensorielle » soit définissable sur un tenseur
           L'opération « contraction tensorielle » a pour effet, quand celle-ci est définie, de diminuer de $\;\color {transparent}{2}\;$ l'ordre d'un tenseur, la C.N. est que ce dernier soit d'ordre $\;p\geqslant 2\;$ mais cette C.N. n'est pas S. $\;\ldots$

Introduction à la contraction tensorielle

     Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion de « crochet de dualité » $\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$, forme bilinéaire non dégénérée définie sur $\;E^{*}\times E\;$ et
        Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion de « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$, construite $\bullet \;$à l'aide de la multiplication scalaire sur $\;E\;$ telle que «$\;\forall \;\left({\vec {x'}}\!\cdot _{E}\,\in E^{*}\,,\,{\vec {x}}\in E\right)$,
        Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion de « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$, construite $\color {transparent}{\bullet }\;$$\langle {\vec {x'}}\!\cdot _{E}\,,\,{\vec {x}}\rangle ={\vec {x'}}\!\cdot _{E}\,{\vec {x}}\;\in \mathbb {R} \;$» ${\Big [}$«$\;{\vec {x'}}\!\cdot _{E}\;$» élément de $\;E^{*}\;$ associé à $\;{\vec {x'}}\in E{\Big ]}\;$ ou,
        Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion de « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$, construite $\bullet \;$telle que «$\;\forall \;\left(\varphi \in E^{*}\,,\,{\vec {x}}\in E\right)$, $\;\langle \varphi \,,\,{\vec {x}}\rangle =\varphi ({\vec {x}})\;\in \mathbb {R} \;$»
        Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion de « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$, construite $\color {transparent}{\bullet }\;$${\big [}\varphi \;$ élément quelconque de $\;E^{*}\;$ étant, par définition, une forme linéaire de $\;E{\big ]}$ ;

     Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le « crochet de dualité » $\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ étant une forme bilinéaire $\;{\big (}$non dégénérée${\big )}\;$ de $\;E^{*}\times E\;$
        Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” de $\;E^{*}\otimes E\;$ , noté «$\;\delta \;$» et appelé
        Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un « tenseur de Kronecker » , s'exprimant en fonction de la base orthonormée
                    Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un « tenseur de Kronecker » «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E\otimes E^{*}\;$ selon
        Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un «$\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle =\delta =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!i}\;$» ou
                           Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un « tenseur de Kronecker », s'exprimant en fonction de la base orthonormée
                    Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un « tenseur de Kronecker » «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E^{*}\otimes E$, selon
        Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un «$\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle =\delta =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{b'}_{\!i}\otimes {\vec {b}}_{i}\;$»
                     Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un «$\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }$ dont l'action $\bullet \;$sur un couple de $\;E^{*}\times E\;$ engendre un scalaire ou
                     Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un «$\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }$ dont l'action $\bullet \;$sur un couple de tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariant et
                     Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un «$\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }$ dont l'action $\color {transparent}{\bullet }\;$contravariant engendre un tenseur d'ordre $\;0$.

     Nous nous proposons de déterminer un opérateur qui aurait une action analogue à celle du « crochet de dualité » ${\big (}$ou « tenseur de Kronecker » ${\big )}\;$ mais
     Nous nous proposons de déterminer un opérateur qui aurait une action analogue à celle du « crochet de dualité » sur un tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” a priori non explicité à l'aide
     Nous nous proposons de déterminer un opérateur qui aurait une action analogue à celle du « crochet de dualité » d'un couple de tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariant et contravariant
     Nous nous proposons de déterminer un opérateur qui aurait une action analogue à celle du « crochet de dualité » $\color {transparent}{\neq }\;$ d'un couple de tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ comme $\;\left(\varphi \,,\,{\vec {x}}\right)\in E^{*}\times E$,
     Nous nous proposons de déterminer un opérateur qui aurait une action analogue à celle du « crochet de dualité » transformant le tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” en tenseur d'ordre $\;0$.

Contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre deux mixte

     Préliminaire : D'une part nous avons vu, au paragraphe « introduction à la contraction tensorielle » et à la note « ³⁴ » plus haut dans ce chapitre,
     Préliminaire : D'une part nous avons vu, que l'image du « crochet de dualité » $\;{\big \{}$ou « tenseur de Kronecker » “ mixte ” ${\big \}}\;$
     Préliminaire : D'une part nous avons vu, que l'image du « crochet de dualité » d'un couple de tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariant et contravariant comme $\;\left(\varpi \,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{*}\times E\;$
     Préliminaire : D'une part nous avons vu, que l'image du « crochet de dualité » s'écrit «$\;\langle \varpi \,,\,{\vec {y}}\rangle =\delta (\varpi \,,\,{\vec {y}})=\varpi ({\vec {y}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varpi _{i}\;y_{i}\;$» avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varpi _{i}\\y_{i}\end{array}}\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$ composantes de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varpi \;\in E^{*}\\{\vec {y}}\;\in E\end{array}}\right\rbrace \;$ sur les
     Préliminaire : D'une part nous avons vu, que l'image du « crochet de dualité » s'écrit «$\;\color {transparent}{\langle \varpi \,,\,{\vec {y}}\rangle =\delta (\varpi \,,\,{\vec {y}})=\varpi ({\vec {y}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varpi _{i}\;y_{i}}\;$» avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\varpi _{i}\\y_{i}\end{array}}\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}}\;$ vecteurs de base respectifs $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{b'}_{\!i}\\{\vec {b}}_{i}\end{array}}\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}$ ;
     Préliminaire : d'autre part les $\;9\;$ composantes du tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” $\;\varpi \otimes {\vec {y}}\;\in E^{*}\otimes E\;$ sur les vecteurs de base orthonormée «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E^{*}\otimes E$
                    Préliminaire : d'autre part les $\;\color {transparent}{9}\;$ composantes du tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ “ mixte ” s'écrivant «$\;\left(\varpi _{i}\;y_{j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» ${\Bigg (}$car «$\;\varpi \otimes {\vec {y}}=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varpi _{i}\;{b'}_{\!i}\right]\otimes \left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,3}y_{j}\;{\vec {b}}_{j}\right]$
                     Préliminaire : d'autre part les $\;\color {transparent}{9}\;$ composantes du tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ “ mixte ” s'écrivant «$\;\color {transparent}{\left(\varpi _{i}\;y_{j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}}$» $\color {transparent}{\Bigg (}$car «$\;\color {transparent}{\varpi \otimes {\vec {y}}}$ $=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}\varpi _{i}\;y_{j}\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \;$»${\Bigg )}$, nous remarquons que
     Préliminaire : d'autre part l'image du « crochet de dualité » du couple $\;\left(\varpi \,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{*}\times E\;$ «$\;\langle \varpi \,,\,{\vec {y}}\rangle \;$» c.-à-d. «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varpi _{i}\;y_{i}\;$»
     Préliminaire : d'autre part l'image du « crochet de dualité » utilise $\;3\;$ des $\;9\;$ composantes du tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” $\;\varpi \otimes {\vec {y}}\;\in E^{*}\otimes E\;$ plus précisément
     Préliminaire : d'autre part l'image du « crochet de dualité » utilise «$\;\left(\varpi _{i}\;y_{j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» sur les vecteurs de base orthonormée de $\;E^{*}\otimes E\;$ d'où
     Préliminaire : la définition de la contraction tensorielle du tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” $\;\varpi \otimes {\vec {y}}\;\in E^{*}\otimes E\;$ selon «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varpi _{i}\;y_{i}\;$»
                    Préliminaire : la définition de la contraction tensorielle du tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ “ mixte ” identifiant le tenseur contracté d'ordre $\;0\;$ avec l'image du « crochet de dualité » du couple $\;\left(\varpi \,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{*}\times E$.

Contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre deux mixte

     Réaliser la contraction tensorielle de $\;{\mathcal {R}}\;$ un tenseur d'ordre $\;2\;$ « mixte » de $\,E^{*}\otimes E$ $\;{\big [}$ou de $\,E\otimes E^{*}{\big ]}\;$ ayant pour composantes sur la base de l'espace considéré «$\;\left({\mathcal {R}}_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» c'est lui associer le tenseur d'ordre $\;0\;$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\mathcal {R}}_{i,\,i}\;\in \;\mathbb {R} \;$».

Contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre p mixte

     Pour que l'opération de contraction tensorielle définie sur $\;E^{*}\otimes E\;$ se généralise à $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$ , il faut que l'ordre $\;p\;$ du tenseur à contracter soit $\;\geqslant 2\;$ et
                                     Pour que l'opération de contraction tensorielle définie sur $\;\color {transparent}{E^{*}\otimes E}\;$ se généralise à $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}$, il suffit que ce tenseur soit « mixte » c.-à-d. que $\;k\in \left[\left[1\,,\,(p-1)\right]\right]$.

Contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre p mixte

     Réaliser une contraction tensorielle du tenseur $\;{\mathcal {R}}\;$ d'ordre $\;p\;$ « mixte » du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel “$\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$” ,
     Réaliser une contraction tensorielle du tenseur $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ de composantes sur la base orthonormée de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$
     Réaliser une contraction tensorielle du tenseur $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ de composantes sur «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$»,
     Réaliser une contraction tensorielle du tenseur $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ de composantes «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,j_{(k+1)},\,\cdots \,j_{m},\,\cdots \,j_{p}}\right)_{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$»
     Réaliser une contraction tensorielle c'est lui associer un tenseur d'ordre $\;(p-2)\;$ de “$\;E^{\,\otimes \,(k-1)}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k-1)}\;$” , de
     Réaliser une contraction tensorielle c'est lui associer un tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{(p-2)}\;$ composantes sur la base orthonormée de ce dernier
     Réaliser une contraction tensorielle «$\;\left\lbrace {\overset {s\,\in \,\left[\left[1\,,\,(l-1)\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(l+1)\,,\,k\right]\right]}{\underset {t\,\in \,\left[\left[(k+1)\,,\,(m-1)\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(m+1)\,,\,p\right]\right]}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{s}}\otimes {b'}_{\!j_{t}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{s}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,s\,\in \left[\left[1\,,\,l-1\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(l+1)\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{t}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,t\,\in \left[\left[(k+1)\,,\,(m-1)\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(m+1)\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$» , soit «$\;\left(\sum \limits _{=\,1\,..\,3}^{i_{l}\,=\,j_{m}}{\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{s},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,j_{(k+1)},\,\cdots \,j_{t},\,\cdots \,j_{m},\,\cdots \,j_{p}}\right)_{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{s}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,s\,\in \left[\left[1\,,\,l-1\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(l+1)\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{t}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,t\,\in \left[\left[(k+1)\,,\,(m-1)\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(m+1)\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$» .

     Remarque : La contraction tensorielle peut être poursuivie tant que le tenseur contracté n'est pas purement contravariant ou purement covariant $\;\ldots$

Produit contracté de deux tenseurs

     Le produit contracté de deux tenseurs est le résultat de leur produit tensoriel suivi d'une contraction tensorielle entre le 1^er tenseur et le 2^nd,
Le produit contracté de deux tenseurs il n'est faisable que $\bullet \;$si les deux tenseurs sont d'ordre $\;\geqslant 2\;$ et « mixtes » ou
Le produit contracté de deux tenseurs il n'est faisable que $\bullet \;$si l'un des deux tenseurs est d'ordre $\;\geqslant 1\;$ contravariant ou covariant , l'autre étant d'ordre $\;\geqslant 2\;$ « mixte » ou encore
Le produit contracté de deux tenseurs il n'est faisable que $\bullet \;$si les deux tenseurs sont d'ordre $\;\geqslant 1$, l'un étant contravariant et l'autre covariant  ;

     le produit contracté entre un tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ et un tenseur $\;{\mathcal {S}}$ $\;{\big (}$quand il est faisable${\big )}\;$ est noté $\;{\mathcal {T}}\odot {\mathcal {S}}\;$,
     le produit contracté si le tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ est d'ordre $\;p\;$ et le tenseur $\;{\mathcal {S}}\;$ d'ordre $\;q$, le tenseur $\;{\mathcal {T}}\odot {\mathcal {S}}\;$ est d'ordre $\;p+q-2$.

     Remarque : la contraction tensorielle nécessitant de préciser au préalable les composantes du tenseur à contracter sur la base de l'espace vectoriel le contenant ,
     Remarque : il faut donc ici $\bullet \;$préciser les composantes du 1^er tenseur sur la base de son espace vectoriel ainsi que celles du 2^ème tenseur sur la base adéquate et,
     Remarque : il faut donc ici $\bullet \;$utiliser la règle suivante : « par défaut, la contraction tensorielle entre deux tenseurs est faite
     Remarque : il faut donc ici $\color {transparent}{\bullet }\;$utiliser la règle suivante : « par défaut, la contraction tensorielle entre le dernier indice des composantes du 1^er tenseur et
     Remarque : il faut donc ici $\color {transparent}{\bullet }\;$utiliser la règle suivante : « par défaut, la contraction tensorielle entre le 1^er indice des composantes de nature différente du 2^nd tenseur  » $\;\ldots$

     Exemples : $\succ \;$soit «$\;\varphi \;$ un tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant de $\;E^{*}\;$» $\;{\big [}$ou une forme linéaire de $\;E{\big ]}\;$ et
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$soit «$\;{\vec {x}}\;$ un tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant de $\;E\;$» $\;{\big [}$ou un vecteur de $\;E{\big ]}$,
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\varphi \odot {\vec {x}}\;$ est un tenseur d'ordre $\;0\;$» défini par «$\;\varphi \odot {\vec {x}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varphi _{i}\;x_{i}=\varphi ({\vec {x}})\;\in \;\mathbb {R} \;$»  ;
     Exemples : $\succ \;$soit «$\;\delta =\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!i}\;$ le “ tenseur de Kronecker ” , d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” de $\;E\otimes E^{*}\;$ » $\;{\big [}$ou une forme bilinéaire $\;{\big (}$non dégénérée${\big )}\;$ de $\;E\times E^{*}\;$${\big ]}$,
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$soit «$\;{\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\;\in \;E^{\,\otimes \,2}\;$ le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant  » construit à partir du couple $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{2}$,
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace \;$ des deux tenseurs ci-dessus est le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant  »
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\color {transparent}{\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace }\;$ des deux tenseurs ci-dessus est résultant de la contraction tensorielle du tenseur d'ordre $\;4\;$ “ mixte ” «$\;\delta \otimes \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace \;$
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\color {transparent}{\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace }\;$ des deux tenseurs ci-dessus est résultant de la contraction tensorielle du tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{4}\;$ tri-contravariant et mono-covariant  »
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\color {transparent}{\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace }\;$ des deux tenseurs ci-dessus est résultant de la contraction tensorielle de composantes «$\;\left\lbrace \left(\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\delta _{i\,,\,i_{1}}\;\delta _{i\,,\,i_{2}}\right)x_{i_{3}}\;y_{i_{4}}\right\rbrace _{\begin{array}{|c|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3\\l\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,4\,\right]\right]\end{array}}\;$» sur la base
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\color {transparent}{\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace }\;$ des deux tenseurs ci-dessus est résultant de la contraction tensorielle de composantes «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\otimes {b'}_{\!i_{2}}\otimes {\vec {b}}_{i_{3}}\otimes {\vec {b}}_{i_{4}}\right\rbrace _{\begin{array}{|c|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3\\l\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,4\,\right]\right]\end{array}}\;$»,
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\color {transparent}{\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace }\;$ des deux tenseurs ci-dessus est résultant de la contraction tensorielle étant faite sur les indices «$\;_{i_{2}}\;$» et «$\;_{i_{3}}\;$» $\Rightarrow$
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\color {transparent}{\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace }\;$ des deux tenseurs ci-dessus est les composantes de $\;\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace \;$ dans la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\otimes {\vec {b}}_{i_{2}}\right\rbrace _{\begin{array}{|c|}1\,\leqslant \,i_{1}\,\leqslant \,3\\1\,\leqslant \,i_{2}\,\leqslant \,3\end{array}}\;$»
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\color {transparent}{\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace }\;$ des deux tenseurs ci-dessus est les composantes de $\;\color {transparent}{\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace }\;$ sont «$\;\left\lbrace \left(\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\delta _{i\,,\,i_{1}}\;x_{i}\right)y_{i_{2}}\right\rbrace _{\begin{array}{|c|}1\,\leqslant \,i_{1}\,\leqslant \,3\\1\,\leqslant \,i_{2}\,\leqslant \,3\end{array}}\;$» soit encore
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\color {transparent}{\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace }\;$ des deux tenseurs ci-dessus est les composantes de $\;\color {transparent}{\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace }\;$ sont «$\;\left(x_{i_{1}}\;y_{i_{2}}\right)_{1\,\leqslant \,i_{1}\,\leqslant \,3,\;1\,\leqslant \,i_{2}\,\leqslant \,3}\;$» dont on déduit
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\color {transparent}{\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace }\;$ des deux tenseurs ci-dessus est les composantes de«$\;\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace ={\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\;$» .

Notation d'Einstein, convention de sommation d'Einstein

     La notation d'Einstein a pour but de mettre concrètement en évidence la différence entre composantes contravariantes et covariantes d'un tenseur et
           La notation d'Einstein a pour but de mettre concrètement en évidence la différence entre vecteurs de base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien et ceux de son dual ;
     simultanément utilisée avec la notation d'Einstein , la convention de sommation d'Einstein permet de simplifier l'écriture de formules du type «$\;\sum \limits _{i}a_{i}\;b_{i}\;$»
                 simultanément utilisée avec la notation d'Einstein, la convention de sommation d'Einstein permet en introduisant la notion d'« indice muet » correspondant à l'indice sur lequel est faite la sommation.

Notation d'Einstein

     La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, pour l'instant placés en bas à droite des grandeurs indexées, en ne se limitant pas à «$\;_{i}\;$» mais en autorisant également «$\;^{i}\;$»
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, suivant la propriété de la grandeur indexée,
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\bullet \;$« les vecteurs de base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\;E\;$ sont indexés en bas à droite » $\Rightarrow$
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les vecteurs de la base orthonormée $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$ sont donc notés «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$» ,
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\bullet \;$« les composantes contravariantes d'un vecteur de $\;E\;$ sont indexées en haut à droite » $\Rightarrow$
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes contravariantes du vecteur $\;{\vec {x}}\;$ de $\;E\;$ sont donc notées «$\;\left\lbrace x^{1}\,,\,x^{2}\,,\,x^{3}\right\rbrace \;$» ,
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\bullet \;$« la décomposition du vecteur $\;{\vec {x}}\;$ de $\;E\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de ce dernier »
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« la décomposition du vecteur $\;\color {transparent}{\vec {x}}\;$ s'écrit alors «$\;{\vec {x}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x^{i}\;{\vec {b}}_{i}\;$»  ;
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\bullet \;$« les covecteurs de base du dual $\;E^{*}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\;E\;$
              La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les covecteurs de base du dual $\;\color {transparent}{E^{*}}\;$ sont indexés en haut à droite » $\Rightarrow$
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les covecteurs de la base orthonormée $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;E^{*}\;$ sont donc notés «$\;\left\lbrace {b'}^{1}\,,\,{b'}^{2}\,,\,{b'}^{3}\right\rbrace \;$» ,
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\bullet \;$« les composantes covariantes d'un covecteur de $\;E^{*}\;$ sont indexées en bas à droite » $\Rightarrow$
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes covariantes du covecteur $\;\varphi \;$ de $\;E^{*}\;$ sont donc notées «$\;\left\lbrace \varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\,,\,\varphi _{3}\right\rbrace \;$» ,
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\bullet \;$« la décomposition du covecteur $\;\varphi \;$ de $\;E^{*}\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de ce dernier »
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« la décomposition du covecteur $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ s'écrit alors «$\;\varphi =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varphi _{i}\;{b'}^{i}\;$»  ;
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\bullet \;$« les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre $\;p\;$ de $\;E^{\,\otimes \,p}\;$
               La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes contravariantes sont indexées en haut à droite » $\Rightarrow$
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes contravariantes du tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ d'ordre $\;p\;$ de $\;E^{\,\otimes \,p}\;$
               La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes contravariantes sont donc notées «$\;\left({\mathcal {T}}^{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\;\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}\;$» ,
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\bullet \;$« les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre $\;p\;$ de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$
               La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes covariantes sont indexées en bas à droite » $\Rightarrow$
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes covariantes du tenseur $\;{\mathcal {S}}\;$ d'ordre $\;p\;$ de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$
               La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes covariantes sont donc notées «$\;\left({\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\;\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}\;$» ,
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\bullet \;$« les composantes “ mixtes ” $\;k$-contravariantes et $\;(p-k)$-covariantes
                  La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes “ mixtes ” d'un tenseur d'ordre $\;p\;$ de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,(p-k)}\;$
                  La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes “ mixtes ” sont indexées en haut à droite pour la partie contravariante et
                  La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes “ mixtes ” sont indexées en bas à droite pour la partie covariante $\Rightarrow$
           La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes “ mixtes ” $\;k$-contravariantes et $\;(p-k)$-covariantes
                  La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes “ mixtes ” du tenseur $\;{\mathcal {R}}\;$ d'ordre $\;p\;$ de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,(p-k)}\;$
                  La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices, plus exactement : $\color {transparent}{\bullet }\;$« les composantes “ mixtes ” sont donc notées «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}^{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k}}\right)_{\qquad \in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}\;$» .

Convention de sommation d'Einstein

     Avec la notation d'Einstein , les indices « muets » étant en positions opposées « haute » et « basse » à droite ,
                   Avec la notation d'Einstein la convention de sommation d'Einstein consiste à omettre le symbole de sommation «$\;\sum \limits _{i}\;$»,
                        Avec la notation d'Einstein la convention de sommation d'Einstein considérant qu'il fait double emploi avec la répétition, dans une formule, d'un indice commun en positions alternées
                        Avec la notation d'Einstein la convention de sommation d'Einstein ${\Big [}$ainsi les formules «$\;\sum \limits _{i}a^{i}\;b_{i}\;$» ou «$\;\sum \limits _{i}a_{i}\;b^{i}\;$» seront simplement écrites «$\;a^{i}\;b_{i}\;$» ou «$\;a_{i}\;b^{i}\;$»,
                        Avec la notation d'Einstein la convention de sommation d'Einstein $\color {transparent}{\Big [}$la répétition de l'indice commun en positions alternées entraînant la sommation sur cet indice ${\Big ]}\;$.

     Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein ${\big [}$en pratique, dès lors que la « notation » d'Einstein est utilisée, la « convention de sommation » l'est aussi ${\big ]}$ :
           Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein $\bullet \;$« décomposition du vecteur $\;{\vec {x}}\;$ de $\;E\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de ce dernier » : «$\;{\vec {x}}=x^{i}\;{\vec {b}}_{i},\;\;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$» ,
           Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein $\bullet \;$« décomposition du covecteur $\;\varphi \;$ de $\;E^{*}\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de ce dernier » : «$\;\varphi =\varphi _{i}\;{b'}^{i},\;\;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$»  ;
           Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein $\bullet \;$« contraction tensorielle de $\;{\mathcal {R}}\;$ tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” » de composantes, sur la base de $\;E\otimes E^{*}$, «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{2}}^{i_{1}}\right)_{1\,\leqslant \,i_{2}\,\leqslant \,3}^{1\,\leqslant \,i_{1}\,\leqslant \,3}\;$» :
           Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein $\color {transparent}{\bullet }\;$« contraction tensorielle de $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\mathcal {R}}_{i}^{i}\;$» correspondant à un tenseur d'ordre $\;0\;$ ou encore «$\;{\mathcal {R}}_{i}^{i},\;\;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$» ,
           Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein $\bullet \;$« contraction tensorielle de $\;{\mathcal {R}}\;$ tenseur d'ordre $\;p\;$ “ mixte ” $\;k$-contravariant et $\;(p-k)$-covariant  »
           Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein $\color {transparent}{\bullet }\;$« contraction tensorielle de $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ de composantes «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}^{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k}}\right)_{\qquad \in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}\;$»
           Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein $\color {transparent}{\bullet }\;$« contraction tensorielle de $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ sur la base de son espace vectoriel $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,(p-k)}\;$ ,
           Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein $\color {transparent}{\bullet }\;$« contraction tensorielle de $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ donnant « un tenseur d'ordre $\;(p-2)\;$ “ mixte $\;{\big (}$ou non${\big )}\;$” $\;(k-1)$-contravariant et
                 Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein $\color {transparent}{\bullet }\;$« contraction tensorielle de $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ donnant « un tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{(p-2)}\;$ “ mixte $\;\color {transparent}{\big (}$ou non$\color {transparent}{\big )}\;$” $\;(p-k-1)$-covariant  »
           Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein $\color {transparent}{\bullet }\;$« contraction tensorielle de $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ donnant « de composantes, sur la base de l'espace vectoriel $\;E^{\,\otimes \,(k-1)}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,(p-k-1)}\;$ ,            Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein $\color {transparent}{\bullet }\;$« contraction tensorielle de $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ «$\;\left({\mathcal {R}}_{\color {red}{i}\color {black},\,i_{(k+2)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}^{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{(k-1)},\,\color {red}{i}}\right)_{\qquad \qquad \in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{(k-1)},\,i_{(k+2)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}$, $\;\color {red}{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$» $\;\ldots$