Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les tenseurs, définition à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels

**Les tenseurs, définition à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)

Chapitre n^o 7
Chap. préc. :	Les tenseurs, 1ères définitions et divers types de tenseurs d'ordre inférieur à 3
Chap. suiv. :	Les tenseurs et leurs composantes, notion de contraction tensorielle et notation d'Einstein

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Les tenseurs, définition à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels
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Produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimension finie

Bien que les définitions qui suivent restent valables pour des espaces vectoriels de dimension finie quelconque, nous nous plaçons dans les conditions usuelles d'utilisation en physique c.-à-d. des $ℝ$ -espaces vectoriels isomorphes à ${ℝ^{3}}^{p}$ avec $p \in ℕ^{*} \dots$

Définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels

Produit tensoriel de deux vecteurs

Soit deux

ℝ

-espaces vectoriels tridimensionnels

E

et

F

, ainsi qu'un couple de vecteurs quelconques

(\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F

, on appelle « produit tensoriel de ces deux vecteurs » « l'application linéaire de

E \times F

dans

ℝ

, notée

{\vec{u} \otimes \vec{v}}

», telle que
«

\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F

,

{\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) \in ℝ

»,
«

\cdot_{E}

et

\cdot_{F}

étant les multiplications scalaires respectivement définies sur

E

et

F

» ^[1].

     Remarque 1 : À partir du « vecteur $\vec{u} \in E$ » et de « la multiplication scalaire $\cdot_{E}$ définie sur $E$ » ^[1], on construit le « covecteur $\vec{u} \cdot_{E} \in E^{*}$ » ^[2] et
     Remarque 1 : À partir on en déduit l'« image d'un élément quelconque $\vec{x} \in E$ par la forme linéaire $\vec{u} \cdot_{E} \in E^{*}$ définie comme le scalaire $(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x})$ »,
     Remarque 1 : à partir du « vecteur $\vec{v} \in F$ » et de « la multiplication scalaire $\cdot_{F}$ définie sur $F$ » ^[1], on construit le « covecteur $\vec{v} \cdot_{F} \in F^{*}$ » ^[3] et
     Remarque 1 : à partir on en déduit l'« image d'un élément quelconque $\vec{y} \in F$ par la forme linéaire $\vec{v} \cdot_{F} \in F^{*}$ définie comme le scalaire $(\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})$ » ;
     Remarque 1 : en utilisant les deux observations précédentes, l'« application linéaire de $E \times F$ dans $ℝ$ “ ${\vec{u} \otimes \vec{v}}$ ” » peut être considérée comme la « composition de deux applications linéaires »
     Remarque 1 : $≻$ « la 1^ère de $E \times F$ dans $F$ » étant la « composition de la forme linéaire $\vec{u} \cdot_{E}$ de $E$ appliquée sur $\vec{x}$ du couple $(\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ dont l'image est $\vec{u} \cdot_{E} \vec{x} \in ℝ$ et
     Remarque 1 : $≻$ « la 1^ère de $E \times F$ dans $F$ » étant la « composition de l'homothétie de rapport $\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}$ de $F$ appliquée sur $\vec{y}$ du couple $(\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ dont l'image est $(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) \vec{y} \in F$ » soit
     Remarque 1 : $≻$ « la 1^ère de $E \times F$ dans $F$ » étant la « $(\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F \overset{\vec{u} \cdot_{E} \in E^{*}}{⟶} {(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}), \vec{y}} \in ℝ \times F \overset{ℋ_{F}}{\to} (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) \vec{y} \in F$ » ^[4] suivi de
     Remarque 1 : $≻$ « la 2^nde forme linéaire $\vec{v} \cdot_{F}$ de $F$ », « appliquée sur $(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) \vec{y} \in F$ et donnant $\vec{v} \cdot_{F} [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) \vec{y}] = (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) \in ℝ$ » soit
     Remarque 1 : $≻$ « la 2^nde forme linéaire $\vec{v} \cdot_{F}$ de $F$ », « appliquée sur« $(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) \vec{y} \in F \overset{\vec{v} \cdot_{F} \in F^{*}}{⟶} \vec{v} \cdot_{F} [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) \vec{y}] = (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) \in ℝ$ »
     Remarque 1 : $≻$ « la 2^nde forme linéaire $\vec{v} \cdot_{F}$ de $F$ », « appliquée sur« $(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) \vec{y} \in F \overset{\vec{v} \cdot_{F} \in F^{*}}{⟶}$ c.-à-d. l'image définitive ${\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) \in ℝ$ » ;

     Remarque 1' : « la 1^ère application linéaire ci-dessus de $E \times F$ dans $F$ étant construite à l'aide de la forme linéaire $\vec{u} \cdot_{E} \in E^{*}$ » et
     Remarque 1' : « la 2^nde application linéaire ci-dessusde $F$ dans $ℝ$ étant la forme linéaire $\vec{v} \cdot_{F} \in F^{*}$ », on en déduit que
     Remarque 1' : « l'application linéaire de $E \times F$ dans $ℝ$ “ ${\vec{u} \otimes \vec{v}}$ ” » est une « forme bilinéaire $(?_{1} | ?_{2})$ de $E \times F$ » construite en utilisant un élément particulier $(\vec{u} \cdot_{E}, \vec{v} \cdot_{F}) \in E^{*} \times F^{*}$ et
     Remarque 1' : « l'application linéaire de $E \times F$ dans $ℝ$ “ ${\vec{u} \otimes \vec{v}}$ ” » est une « forme bilinéaire $(?_{1} | ?_{2})$ de $E \times F$ » définie selon « $(?_{1} | ?_{2}) = (\vec{u} \cdot_{E} ?_{1}) (\vec{v} \cdot_{F} ?_{2})$ » $\Rightarrow$
     Remarque 1' : « l'application linéaire de $E \times F$ dans $ℝ$ “ ${\vec{u} \otimes \vec{v}}$ ” » est une « $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ $(\vec{x}, \vec{y}) \overset{(?_{1} | ?_{2})}{\to} (\vec{x} | \vec{y}) = (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) = {\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) \in ℝ$ » ;
     Remarque 1' : réciproquement on admet que « toute forme bilinéaire $(?_{1} | ?_{2})$ de $E \times F$ » peut être mise sous la forme d'une « application linéaire de $E \times F$ dans $ℝ$ du type “ ${\vec{u} \otimes \vec{v}}$ ” »
     Remarque 1' : réciproquement on admet que « toute forme bilinéaire $(?_{1} | ?_{2})$ de $E \times F$ » ${$ avec $(\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F$ couple particulier caractérisant la forme bilinéaire $(?_{1} | ?_{2})}$ ;
     Remarque 1' : nous en déduisons que l'ensemble des formes bilinéaires de $E \times F$ noté « $ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ » ^[5] est isomorphe ^[6] à
     Remarque 1' : nous en déduisons que l'ensemble des applications linéaires de $E \times F$ dans $ℝ$ du type “ ${\vec{u} \otimes \vec{v}}$ ” avec $(\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F$ ».

     Conséquence : Sur l'ensemble des formes bilinéaires de $E \times F$ c.-à-d. « $ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ) := {\vec{u} \otimes \vec{v}, \forall (\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F}$ » ^[7], on définit :
     Conséquence : $▸$ une addition « $+$ » telle que « $\forall (\vec{u} \otimes \vec{v}, \vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}}) \in {ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)}^{2}$ , $(\vec{u} \otimes \vec{v}, \vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}}) \overset{+}{\to} \vec{u} \otimes \vec{v} + \vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}} \in ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ » ^[5], vérifiant
     Conséquence : $▸$ une addition « $+$ » telle que « $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , ${\vec{u} \otimes \vec{v} + \vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}}} (\vec{x}, \vec{y}) = [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) + (\vec{u^{'}} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v^{'}} \cdot_{F} \vec{y})] \in ℝ$ » ;
     Conséquence : $▸$ cette addition ayant les propriétés suivantes : $≻$ associative « $(\vec{u} \otimes \vec{v} + \vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}}) + \vec{u^{″}} \otimes \vec{v^{″}} = \vec{u} \otimes \vec{v} + (\vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}} + \vec{u^{″}} \otimes \vec{v^{″}}) = \vec{u} \otimes \vec{v} + \vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}} + \vec{u^{″}} \otimes \vec{v^{″}}$ »,
     Conséquence : $▸$ cette addition ayant les propriétés suivantes : $≻$ admettant un élément neutre « $0_{ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)} = {\begin{matrix} \vec{u} \otimes {\vec{0}}_{F} \forall \vec{u} \in E \\ ou \\ {\vec{0}}_{E} \otimes \vec{v} \forall \vec{v} \in F \end{matrix}}$ » ^[5] c.-à-d. tel que « $\vec{u} \otimes \vec{v} + 0_{ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)} = \vec{u} \otimes \vec{v}$ » ^[8],
     Conséquence : $▸$ cette addition ayant les propriétés suivantes : $≻$ tout élément « $\vec{u} \otimes \vec{v}$ » admet un opposé « $- (\vec{u} \otimes \vec{v}) = (- \vec{u}) \otimes \vec{v} = \vec{u} \otimes (- \vec{v})$ » c.-à-d. tel que
     Conséquence : $▸$ cette addition ayant les propriétés suivantes : $≻$ tout élément « $\vec{u} \otimes \vec{v}$ » admet un opposé « $\vec{u} \otimes \vec{v} + [- (\vec{u} \otimes \vec{v})] = 0_{ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)}$ » ^[9] et
     Conséquence : $▸$ cette addition ayant les propriétés suivantes : $≻$ commutative c.-à-d. tel que « $\vec{u} \otimes \vec{v} + \vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}} = \vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}} + \vec{u} \otimes \vec{v}$ »,
     Conséquence : $▸$ cette addition ayant les propriétés suivantes : $≻$ on en déduit que « $ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ ^[5] muni de l'addition a une structure de groupe abélien » ^[10]^, ^[11] ;
     Conséquence : $▸$ une loi de composition externe « $\cdot$ » telle que « $\forall λ \in ℝ$ et $\forall \vec{u} \otimes \vec{v} \in ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ ^[5], $(λ, \vec{u} \otimes \vec{v}) \overset{\cdot}{\to} λ \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v}) \in ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ » ^[5], vérifiant
     Conséquence : $▸$ une loi de composition externe « $\cdot$ » telle que « $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , ${λ \cdot [\vec{u} \otimes \vec{v}]} (\vec{x}, \vec{y}) = λ [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] \in ℝ$ » ;
     Conséquence : $▸$ une loi de composition externe « $\cdot$ » ayant les propriétés suivantes : $≻$ distributive à gauche par rapport à l'addition de $ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ ^[5] c.-à-d. tel que
     Conséquence : $▸$ une loi de composition externe « $\cdot$ » ayant les propriétés suivantes : $≻$ distributive à gauche par rapport à l'addition « $λ \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v} + \vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}}) = λ \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v}) + λ \cdot (\vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}})$ » ^[12] et
     Conséquence : $▸$ une loi de composition externe « $\cdot$ » ayant les propriétés suivantes : $≻$ distributive à droite par rapport à l'addition définie sur $ℝ$ c.-à-d. tel que
     Conséquence : $▸$ une loi de composition externe « $\cdot$ » ayant les propriétés suivantes : $≻$ distributive à droite par rapport à l'addition « $(λ + μ) \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v}) = λ \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v}) + μ \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v})$ » ^[13],
     Conséquence : $▸$ une loi de composition externe « $\cdot$ » ayant les propriétés suivantes : $≻$ associative mixte $($ par rapport à la multiplication dans $ℝ)$ c.-à-d. tel que
      Conséquence : $▸$ une loi de composition externe « $\cdot$ » ayant les propriétés suivantes : $≻$ associative mixte « $(λ μ) \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v}) = λ \cdot [μ \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v})]$ » ^[14] et
     Conséquence : $▸$ une loi de composition externe « $\cdot$ » ayant les propriétés suivantes : $≻$ admettant l'élément neutre multiplicatif de $ℝ$ , noté « $1_{ℝ}$ », comme neutre à gauche pour « $\cdot$ » c.-à-d. tel que
     Conséquence : $▸$ une loi de composition externe « $\cdot$ » ayant les propriétés suivantes : $≻$ admettant l'élément neutre multiplicatif de $ℝ$ , noté « $1_{ℝ}$ », « $1_{ℝ} \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v}) = (\vec{u} \otimes \vec{v})$ » ^[15],
     Conséquence : $▸$ une loi de composition externe « $\cdot$ » ayant les propriétés suivantes : $≻$ on en déduit, avec la structure de groupe abélien ^[10]^, ^[11] muni de l'addition pour $ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ ^[5], que
     Conséquence : $▸$ une loi de composition externe « $\cdot$ » ayant les propriétés suivantes : $≻$ on en déduit, « $ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ ^[5] a une structure de $\underline{ℝ}$ -espace vectoriel » ^[16].

     Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ ^[1] à savoir « $\cdot_{E}$ et $\cdot_{F}$ » étant des formes bilinéaires particulières sur $E \times E$ et sur $F \times F$
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ peuvent être remplacées par n'importe quelle forme bilinéaire non dégénérée définie sur $E \times E$ et sur $F \times F$
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ $[$ de façon plus générale une forme bilinéaire « $f : E \times F \to ℝ$ » est non dégénérée
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ $[$ « si les espaces singuliers à droite et à gauche ^[17] se réduisent respectivement à ${{\vec{0}}_{F}}$ et ${{\vec{0}}_{E}}$ » $]$ ,
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ « $\cdot_{E}$ et $\cdot_{F}$ » étant des formes bilinéaires non dégénérées particulières sur $E \times E$ et sur $F \times F$ ^[18] ;
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ les formes bilinéaires non dégénérées définies sur $E \times E$ et $F \times F$
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ les formes bilinéaires non dégénérées sont alors respectivement notées $⟨ ?_{E^{*}}, ? ⟩$ et $⟨ ?_{F^{*}}, ? ⟩$ ^[19] ;
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ avec ce remplacement, le produit tensoriel « ${\vec{u} \otimes \vec{v}}$ » est l'application linéaire de $E \times F$ dans $ℝ$ telle que
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ avec ce remplacement, « $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , ${\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = ⟨ {\vec{u}}_{E^{*}}, \vec{x} ⟩ ⟨ {\vec{v}}_{F^{*}}, \vec{y} ⟩ \in ℝ$ » ^[19] avec
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ avec ce remplacement, « $({\vec{u}}_{E^{*}}, {\vec{v}}_{F^{*}}) \in E^{*} \times F^{*}$ les formes linéaires associées à $(\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F$ » ;
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ sous cet aspect « ${\vec{u} \otimes \vec{v}}$ » est toujours une forme bilinéaire de $E \times F$ construite à l'aide d'un couple particulier
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ sous cet aspect « ${\vec{u} \otimes \vec{v}}$ » est toujours une forme bilinéaire de $E \times F$ construite à l'aide de $E^{*} \times F^{*}$ car
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ sous cet aspect « $⟨ ?_{E^{*}}, ? ⟩$ ^[19] étant une forme bilinéaire non dégénérée de $E \times E$ » $\Rightarrow$
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ sous cet aspect « pour $\vec{u} \in E$ , $⟨ {\vec{u}}_{E^{*}}, ? ⟩$ ^[19] est une forme linéaire de $E$ donc $\in E^{*}$ s'appliquant à $\vec{x} \in E$ et
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ sous cet aspect « $⟨ ?_{F^{*}}, ? ⟩$ ^[19] étant une forme bilinéaire non dégénérée de $F \times F$ » $\Rightarrow$
         Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $E$ et $F$ sous cet aspect « pour $\vec{v} \in F$ , $⟨ {\vec{v}}_{F^{*}}, ? ⟩$ ^[19] est une forme linéaire de $F$ donc $\in F^{*}$ s'appliquant à $\vec{y} \in F$ .

Produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels

On appelle « produit tensoriel des deux

ℝ

-espaces vectoriels tridimensionnels

E

et

F

» noté «

E \otimes_{ℝ} F

» ^[20]
On appelle « l'ensemble des produits tensoriels de tous les couples de vecteurs de

E \times F

» soit mathématiquement «

E \otimes_{ℝ} F := {\vec{u} \otimes \vec{v}, \forall (\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F}

»,
«

E \otimes_{ℝ} F

» étant un

ℝ

-espace vectoriel de dimension

3^{2} = 9

.

Divers produits tensoriels de deux espaces vectoriels tridimensionnels formés à partir de ces derniers ou de leurs duals

Notion d'espace bidual

     Soit « $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3$ »,
     Soit « $E^{*}$ le dual de $E$ $[$ c.-à-d. l'ensemble des formes linéaires définies sur $E]$ »,
     nous nous proposons de préciser la signification à donner à
     Soit « ${(E^{*})}^{*}$ le bidual de $E$ $[$ l'existence de ${(E^{*})}^{*}$ étant assurée car $E^{*}$ est lui-même un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3]$ » ;

     pour cela introduisons d'abord la forme bilinéaire non dégénérée $⟨ ?, ? ⟩$ appelée « crochet de dualité » définie sur $E^{*} \times E$ selon
   pour cela introduisons d'abord la forme bilinéaire non dégénérée « $⟨ ?, ? ⟩ : E^{*} \times E \to ℝ$ , $(χ, \vec{x}) \to ⟨ χ, \vec{x} ⟩ := χ (\vec{x})$ » puis,
     pour cela définissons une application linéaire « $ι$ de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ » telle que
     pour cela définissons une application linéaire « $\forall χ \in E^{*}$ et $\forall \vec{x} \in E$ , $⟨ ι (\vec{x}), χ ⟩ = ⟨ χ, \vec{x} ⟩$ » ^[21] $= χ (\vec{x}) \in ℝ$ ;
     pour cela nous en déduisons que « $\forall \vec{x} \in E$ , $ι (\vec{x}) \in {(E^{*})}^{*}$ est la forme linéaire définie sur $E^{*}$ » qui,
     pour cela nous en déduisons que « à toute forme linéaire $χ \in E^{*}$ définie sur $E$ » associe « $χ (\vec{x}) \in ℝ$ » c.-à-d.
   pour cela nous en déduisons que « $\forall \vec{x} \in E$ , « $ι (\vec{x}) \in {(E^{*})}^{*}$ » est telle que « ${ι (\vec{x})} [χ] = χ (\vec{x})$ » « $\forall \vec{x} \in E$ et $\forall χ \in E^{*}$ ».

     Propriété : Dans la mesure où le $ℝ$ -espace vectoriel $E$ est de dimension finie, l'application linéaire « $ι$ » de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ définit « un isomorphisme de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ » en effet
     Propriété : si le « crochet de dualité » $⟨ ?, ? ⟩$ défini sur $E^{*} \times E$ est construit à l'aide de la multiplication scalaire sur $E$ ^[1] c.-à-d. « $\cdot_{E}$ »,
     Propriété : si le « crochet de dualité » $⟨ ?, ? ⟩$ défini sur $E^{*} \times E$ il y a une correspondance bijective entre éléments de $E$ et de $E^{*}$ définie selon « $\vec{u} \in E$ $⟼$ $\vec{u} \cdot_{E} \in E^{*}$ » et
     Propriété : si le « crochet de dualité » $⟨ ?, ? ⟩$ défini sur $E^{*} \times E$ il y a une correspondance bijective entre éléments de $E^{*}$ et de ${(E^{*})}^{*}$     selon « ${\vec{u}}^{*} \in E^{*}$ $⟼$ ${\vec{u}}^{*} \cdot_{E^{*}} \in {(E^{*})}^{*}$ » ^[22],
     Propriété : si le « crochet de dualité » $⟨ ?, ? ⟩$ défini sur $E^{*} \times E$ on en déduit le caractère bijectif de l'application linéaire « $ι$ » de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ » par construction, cette application se réécrivant
     Propriété : si le « crochet de dualité » $⟨ ?, ? ⟩$ défini sur $E^{*} \times E$ « $(\vec{x} \in E, {\vec{u}}^{*} \in E^{*}) ⟼ ({\vec{u}}^{*} \in E^{*}, ι (\vec{x}) = {({\vec{x}}^{*})}^{*} \in {(E^{*})}^{*})$ » ^[23] telle que « $⟨ ι (\vec{x}), {\vec{u}}^{*} ⟩ = ⟨ {\vec{u}}^{*}, \vec{x} ⟩ = \vec{u} \cdot_{E} \vec{x} \in ℝ$ » ^[22].
     Propriété : En conclusion, « ${(E^{*})}^{*}$ le bidual de $E$ » étant isomorphe à « $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3$ », et
     Propriété : En conclusion, admettant que cet isomorphisme est indépendant de tout choix de bases dans $E$ et ${(E^{*})}^{*}$ ^[24] nous pouvons les identifier ^[25]

Les quatre produits tensoriels de deux espaces vectoriels tridimensionnels formés à partir de ces derniers ou de leurs duals

     Soit « ${E, F}$ deux $ℝ$ -espaces vectoriels de dimension $3$ » et
     Soit « ${E^{*} = L_{ℝ} (E, ℝ), F^{*} = L_{ℝ} (F, ℝ)}$ ^[26] leur dual respectif ^[2]^, ^[3], chacun constituant « un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3$ »,
     à partir de ces espaces vectoriels et en utilisant les « crochets de dualité $⟨ ?, ? ⟩_{E}$ et $⟨ ?, ? ⟩_{F}$ ^[27] respectivement définis sur $E^{*} \times E$ ${$ ou sur ${(E^{*})}^{*} \times E^{*}$ identifié à $E \times E^{*}}$ et
          à partir de ces espaces vectoriels et en utilisant les « crochets de dualité $⟨ ?, ? ⟩_{E}$ et $⟨ ?, ? ⟩_{F}$ respectivement définis sur $F^{*} \times F$ ${$ ou sur ${(F^{*})}^{*} \times F^{*}$ identifié à $F \times F^{*}}$ » selon, par exemple,
     à partir de ces espaces vectoriels et en utilisant les « ${\begin{matrix} ⟨ ?, ? ⟩_{E} : E^{*} \times E \to ℝ, (ϖ, \vec{x}) \to ⟨ ϖ, \vec{x} ⟩ := ϖ (\vec{x}) \\ ⟨ ?, ? ⟩_{F} : F^{*} \times F \to ℝ, (ω, \vec{y}) \to ⟨ ω, \vec{y} ⟩ := ω (\vec{y}) \end{matrix}}$ », on peut former les quatre produits tensoriels ci-dessous :

$E \otimes F = ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E \times F$ ^[5] : « $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , avec $(\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F$ $\mapsto$ $(ϖ, ω) \in E^{*} \times F^{*}$ , on a
     $E \otimes F = ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E \times F$ : « $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , avec ${\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = ⟨ ϖ, \vec{x} ⟩_{E} ⟨ ω, \vec{y} ⟩_{F} = ϖ (\vec{x}) ω (\vec{y})$ », ou
     $E \otimes F = ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E \times F$ : si les « crochets de dualité sont définis à l'aide de la multiplication scalaire sur $E$ et sur $F$ »,
     $E \otimes F = ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E \times F$ : « $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , avec $(\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F$ $\mapsto$ $(\vec{u} \cdot_{E}, \vec{v} \cdot_{F}) \in E^{*} \times F^{*}$ , on a
     $E \otimes F = ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E \times F$ : « $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , avec ${\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = ⟨ \vec{u} \cdot_{E}, \vec{x} ⟩_{E} ⟨ \vec{v} \cdot_{F}, \vec{y} ⟩_{F} = (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})$ » ^[28] ;
$E^{*} \otimes F = ℒ_{2} (E \times F^{*}, ℝ)$ ^[29] ensemble des formes bilinéaires de $E^{*} \times F$ ^[5] : « $\forall (χ, \vec{y}) \in E^{*} \times F$ , avec $(ϖ, \vec{v}) \in E^{*} \times F$ $\mapsto$ $(ϖ^{*}, ω) \in {(E^{*})}^{*} \times F^{*}$ ^[30], on a
         $E^{*} \otimes F = ℒ_{2} (E \times F^{*}, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E^{*} \times F$ : « $\forall (χ, \vec{y}) \in E^{*} \times F$ , avec ${ϖ \otimes \vec{v}} (χ, \vec{y}) = ⟨ ϖ^{*}, χ ⟩_{E^{*}} ⟨ ω, \vec{y} ⟩_{F} = ϖ^{*} (χ) ω (\vec{y})$ », ou
          $E^{*} \otimes F = ℒ_{2} (E \times F^{*}, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E^{*} \times F$ : si les « crochets de dualité sont définis à l'aide de la multiplication scalaire sur $E^{*}$ ou sur $F$ »,
          $E^{*} \otimes F = ℒ_{2} (E \times F^{*}, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E^{*} \times F$ : « $\forall (χ, \vec{y}) \in E^{*} \times F$ , avec $(ϖ, \vec{v}) \in E^{*} \times F$ $\mapsto$ $(ϖ \cdot_{E^{*}}, \vec{v} \cdot_{F}) \in {(E^{*})}^{*} \times F^{*}$ , on a
          $E^{*} \otimes F = ℒ_{2} (E \times F^{*}, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E^{*} \times F$ : « $\forall (χ, \vec{y}) \in E^{*} \times F$ , avec ${ϖ \otimes \vec{v}} (χ, \vec{y}) = ⟨ ϖ \cdot_{E^{*}}, χ ⟩_{E^{*}} ⟨ \vec{v} \cdot_{F}, \vec{y} ⟩_{F} = (ϖ \cdot_{E^{*}} χ) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})$ » ;
$E \otimes F^{*} = ℒ_{2} (E^{*} \times F, ℝ)$ ^[31] ensemble des formes bilinéaires de $E \times F^{*}$ ^[5] : « $\forall (\vec{x}, ψ) \in E \times F^{*}$ , avec $(\vec{u}, ω) \in E \times F^{*}$ $\mapsto$ $(ϖ, ω^{*}) \in E^{*} \times {(F^{*})}^{*}$ ^[32], on a
         $E \otimes F^{*} = ℒ_{2} (E^{*} \times F, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E \times F^{*}$ : « $\forall (\vec{x}, ψ) \in E \times F^{*}$ , avec ${\vec{u} \otimes ω} (\vec{x}, ψ) = ⟨ ϖ, \vec{x} ⟩_{E} ⟨ ω^{*}, ψ ⟩_{F^{*}} = ϖ (\vec{x}) ω^{*} (ψ)$ », ou
          $E \otimes F^{*} = ℒ_{2} (E^{*} \times F, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E \times F^{*}$ : si les « crochets de dualité sont définis à l'aide de la multiplication scalaire sur $E$ ou sur $F^{*}$ »,
          $E \otimes F^{*} = ℒ_{2} (E^{*} \times F, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E \times F^{*}$ : « $\forall (\vec{x}, ψ) \in E \times F^{*}$ , avec $(\vec{u}, ω) \in E \times F^{*}$ $\mapsto$ $(\vec{u} \cdot_{E}, ω \cdot_{F^{*}}) \in E^{*} \times {(F^{*})}^{*}$ , on a
          $E \otimes F^{*} = ℒ_{2} (E^{*} \times F, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E \times F^{*}$ : « $\forall (\vec{x}, ψ) \in E \times F^{*}$ , avec ${\vec{u} \otimes ω} (\vec{x}, ψ) = ⟨ \vec{u} \cdot_{E}, \vec{x} ⟩_{E} ⟨ ω \cdot_{F^{*}}, ψ ⟩_{F^{*}} = (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (ω \cdot_{F^{*}} ψ)$ » ;
$E^{*} \otimes F^{*} = ℒ_{2} (E \times F, ℝ)$ ^[29]^, ^[31] ensemble des formes bilinéaires de $E^{*} \times F^{*}$ ^[5] : « $\forall (χ, ψ) \in E^{*} \times F^{*}$ , avec $(ϖ, ω) \in E^{*} \times F^{*}$ $\mapsto$ $(ϖ^{*}, ω^{*}) \in {(E^{*})}^{*} \times {(F^{*})}^{*}$ ^[30]^, ^[32], on a
                $E^{*} \otimes F^{*} = ℒ_{2} (E \times F, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E^{*} \times F^{*}$ : « $\forall (χ, ψ) \in E^{*} \times F^{*}$ , avec ${ϖ \otimes ω} (χ, ψ) = ⟨ ϖ^{*}, χ ⟩_{E^{*}} ⟨ ω^{*}, ψ ⟩_{F^{*}}$ », ou
                $E^{*} \otimes F^{*} = ℒ_{2} (E \times F, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E^{*} \times F^{*}$ : si les « crochets de dualité » sont définis à l'aide de la multiplication scalaire sur $E^{*}$ ou sur $F^{*}$ ,
                $E^{*} \otimes F^{*} = ℒ_{2} (E \times F, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E^{*} \times F^{*}$ : « $\forall (χ, ψ) \in E^{*} \times F^{*}$ , avec $(ϖ, ω) \in E^{*} \times F^{*}$ $\mapsto$ $(ϖ \cdot_{E^{*}}, ω \cdot_{F^{*}}) \in {(E^{*})}^{*} \times {(F^{*})}^{*}$ , on a
                 $E^{*} \otimes F^{*} = ℒ_{2} (E \times F, ℝ)$ ensemble des formes bilinéaires de $E^{*} \times F^{*}$ : « $\forall (χ, ψ) \in E^{*} \times F^{*}$ , avec ${ϖ \otimes ω} (χ, ψ) = ⟨ ϖ \cdot_{E^{*}}, χ ⟩_{E^{*}} ⟨ ω \cdot_{F^{*}}, ψ ⟩_{F^{*}} = (ϖ \cdot_{E^{*}} χ) (ω \cdot_{{F^{*}}} ψ)$ ».

Propriétés de la multiplication tensorielle d'espaces vectoriels (tridimensionnels)

     Les vecteurs d'un $ℝ$ -espace vectoriel $F$ étant des tenseurs d'ordre $1$ contravariants de $F$ et
     les covecteurs du $ℝ$ -espace vectoriel dual $F^{*}$ des tenseurs d'ordre $1$ covariants de $F$ ,
     le produit tensoriel de deux vecteurs ^[28] introduit la notion de « multiplication tensorielle sur les tenseurs d'ordre 1 »,
          le produit tensoriel de deux vecteurs introduit la notion de « loi de composition externe sur les $ℝ$ -espaces vectoriels des tenseurs d'ordre $1$ possédant les propriétés des sous-paragraphes suivants :

Associativité de la multiplication tensorielle

     « $\forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \in E \times F \times G$ » où ${E, F, G}$ sont $3$ $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels ^[33], on a : « ${\vec{u} \otimes \vec{v}} \otimes \vec{w} = \vec{u} \otimes {\vec{v} \otimes \vec{w}}$ ou $= \vec{u} \otimes \vec{v} \otimes \vec{w}$ » ^[34] en effet
     « $\forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \in E \times F \times G$ » $\forall (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \in E \times F \times G$ , $[{\vec{u} \otimes \vec{v}} \otimes \vec{w}] (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) = {\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) (\vec{w} \cdot_{G} \vec{z}) = [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] (\vec{w} \cdot_{G} \vec{z})$ soit encore,
      « $\forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \in E \times F \times G$ » $\forall (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \in E \times F \times G$ , d'après l'associativité de la multiplication des scalaires,
     « $\forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \in E \times F \times G$ » $\forall (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \in E \times F \times G$ , $[{\vec{u} \otimes \vec{v}} \otimes \vec{w}] (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ $= (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) [(\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) (\vec{w} \cdot_{G} \vec{z})] = [\vec{u} \otimes {\vec{v} \otimes \vec{w}}] (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ ;

cette propriété étant vraie pour tout vecteur de chaque $ℝ$ -espace vectoriel considéré, on en déduit « ${E \otimes F} \otimes G = E \otimes {F \otimes G} = E \otimes F \otimes G$ » ^[33]^, ^[34] dans laquelle
cette propriété étant vraie pour tout vecteur de chaque $ℝ$ -espace vectoriel considéré, on en déduit « $E \otimes F \otimes G = ℒ_{3} (E \times F \times G, ℝ)$ est l'ensemble des formes trilinéaires de $E \times F \times G$ » ^[33].

En itérant la propriété d'associativité on peut affirmer « ${E_{1} \otimes \dots \otimes E_{i} \otimes \dots \otimes E_{k}}_{1 < i < k} = ⨂_{i = 1 .. k} E_{i} = ℒ_{k} ({E_{1} \times \dots \times E_{i} \times \dots \times E_{k}}_{1 < i < k}, ℝ)$ » ^[33] avec
En itérant la propriété d'associativité on peut affirmer « $ℒ_{k} ({E_{1} \times \dots \times E_{i} \times \dots \times E_{k}}_{1 < i < k}, ℝ) = ℒ_{k} (\prod_{i = 1 .. k} E_{i}, ℝ)$ l'ensemble des formes k-linéaires de $\prod_{i = 1 .. k} E_{i}$ » ^[33].

Le corps des réels, élément « neutre » de la multiplication tensorielle

     « $ℝ$ étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0}$ », on peut, avec un « $ℝ$ -espace vectoriel $E$ de dimension $3$ »,
     « $ℝ$ étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0}$ », on peut, définir deux produits tensoriels $∙$ « $ℝ \otimes E = {a \otimes \vec{v}, \forall (a, \vec{v}) \in ℝ \times E}$ » avec le produit tensoriel « $a \otimes \vec{v}$ » défini selon
     « $ℝ$ étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0}$ », on peut, définir deux produits tensoriels $∙$ « $\forall (λ, \vec{y}) \in ℝ \times E$ , ${a \otimes \vec{v}} (λ, \vec{y}) = ⟨ a, λ ⟩_{ℝ} ⟨ \vec{v}, \vec{y} ⟩_{E}$ ^[35]^, ^[36] $= (a λ) (\vec{v} \cdot_{E} \vec{y}) \in ℝ$ »
     « $ℝ$ étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0}$ », on peut, définir deux produits tensoriels $∙$ s'écrivant encore « $(a \vec{v}) \cdot_{E} (λ \vec{y})$ » ou, en posant ${\begin{matrix} \vec{v^{'}} = a \vec{v} \in E & unique \\ \vec{y^{'}} = λ \vec{y} \in E & quelconque \end{matrix}}$ ,
     « $ℝ$ étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0}$ », on peut, définir deux produits tensoriels $∙$ se réécrivant « $\vec{v^{'}} \cdot_{E} \vec{y^{'}}$ » c.-à-d. tel que « $\forall (λ, \vec{y}) \in ℝ \times E$ , ${a \otimes \vec{v}} (λ, \vec{y}) = \vec{v^{'}} \cdot_{E} \vec{y^{'}}$ »
     « $ℝ$ étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0}$ », on peut, définir deux produits tensoriels $∙$ l'unicité de $\vec{v^{'}}$ $\Rightarrow$ « $ℝ \otimes E$ canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe à $E$ » ^[24] et
     « $ℝ$ étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0}$ », on peut, définir deux produits tensoriels $∙$ l'unicité de $\vec{v^{'}}$ $\Rightarrow$ « ce qui permet l'identification entre « $ℝ \otimes E$ et $E$ » ;
     « $ℝ$ étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0}$ », on peut, définir deux produits tensoriels $∙$ « $E \otimes ℝ = {\vec{u} \otimes b, \forall (\vec{u}, b) \in E \times ℝ}$ » avec le produit tensoriel « $\vec{u} \otimes b$ » défini selon
     « $ℝ$ étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0}$ », on peut, définir deux produits tensoriels $∙$ « $\forall (\vec{x}, μ) \in E \times ℝ$ , ${\vec{u} \otimes b} (\vec{x}, μ) = ⟨ \vec{u}, \vec{x} ⟩_{E} ⟨ b, μ ⟩_{ℝ}$ ^[35]^, ^[36] $= (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (b μ) \in ℝ$ »
     « $ℝ$ étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0}$ », on peut, définir deux produits tensoriels $∙$ s'écrivant encore « $(b \vec{u}) \cdot_{E} (μ \vec{x})$ » ou, en posant ${\begin{matrix} \vec{u^{'}} = b \vec{u} \in E & unique \\ \vec{x^{'}} = μ \vec{x} \in E & quelconque \end{matrix}}$ ,
     « $ℝ$ étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0}$ », on peut, définir deux produits tensoriels $∙$ se réécrivant « $\vec{u^{'}} \cdot_{E} \vec{x^{'}}$ » c.-à-d. tel que « $\forall (\vec{x}, μ) \in E \times ℝ$ , ${\vec{u} \otimes b} (\vec{x}, μ) = \vec{u^{'}} \cdot_{E} \vec{x^{'}}$ »
     « $ℝ$ étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0}$ », on peut, définir deux produits tensoriels $∙$ l'unicité de $\vec{u^{'}}$ $\Rightarrow$ « $E \otimes ℝ$ canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe à $E$ » ^[24] et
     « $ℝ$ étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0}$ », on peut, définir deux produits tensoriels $∙$ l'unicité de $\vec{u^{'}}$ $\Rightarrow$ « ce qui permet l'identification entre « $E \otimes ℝ$ et $E$ ».

     Propriété : Notant l'« identification de deux $ℝ$ -espaces vectoriels canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes par le symbole $\underset{isom.}{\overset{can.}{=}}$ », nous en déduisons « ${\begin{matrix} ℝ \otimes E \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} E (𝔡) \\ E \otimes ℝ \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} E (𝔢) \end{matrix}}$ »,
     Propriété : la relation $(𝔡)$ traduisant que $ℝ$ est l'élément « neutre » de la multiplication tensorielle à gauche des $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels et
     Propriété : la relation $(𝔢)$ traduisant que $ℝ$ est l'élément « neutre » de la multiplication tensorielle à droite des $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels.

     Remarque : $ℝ$ élément « neutre » de la multiplication tensorielle des $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} ℝ \otimes E \otimes F \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} E \otimes F \\ E \otimes F \otimes ℝ \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} E \otimes F \end{matrix}}$ ${$ avec $E$ et $F$ : $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels $}$ ,
     Remarque : toutefois un réel quelconque n'est usuellement pas élément neutre de sa multiplication tensorielle avec le produit tensoriel de deux vecteurs quelconques de $E$ et $F$ c.-à-d.
     Remarque : toutefois un réel quelconque n'est usuellement pas élément neutre « $\forall (a, \vec{u}, \vec{v}) \in ℝ \times E \times F$ », « $a \otimes \vec{u} \otimes \vec{v} \neq \vec{u} \otimes \vec{v}$ » ^[37]
     Remarque : toutefois un réel quelconque n'est usuellement pas élément neutre « $\forall (a, \vec{u}, \vec{v}) \in ℝ \times E \times F$ », « $\vec{u} \otimes \vec{v} \otimes a \neq \vec{u} \otimes \vec{v}$ » ^[38].

Puissance tensorielle d'un espace vectoriel tridimensionnel

     Le carré tensoriel du $ℝ$ -espace vectoriel $E$ de dimension $3$ résultant de la multiplication tensorielle de $E$ par lui-même est défini par « $E \otimes E = {\vec{u} \otimes \vec{v}, \forall (\vec{u}, \vec{v}) \in E \times E}$ »
     Le carré tensoriel du $ℝ$ -espace vectoriel $E$ de dimension $3$ dans lequel le produit tensoriel « $\vec{u} \otimes \vec{v}$ » suit « $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times E$ , ${\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{E} \vec{y}) \in ℝ$ » ^[39],
     le carré tensoriel du $ℝ$ -espace vectoriel $E$ noté « $E^{\otimes 2}$ » ou encore $($ mais plus rarement $)$ « $⨂_{2} E$ »
     le carré tensoriel du $ℝ$ -espace vectoriel $E$ est aussi l'ensemble des formes bilinéaires définies sur $E \times E$ c.-à-d. « $ℒ_{2} (E^{*} \times E^{*}, ℝ)$ » ^[5] ;

     la $k$ ^ème puissance tensorielle du $ℝ$ -espace vectoriel $E$ de dimension $3$ notée « $E^{\otimes k}$ » ou plus rarement « $⨂_{k} E$ » $[$ avec $k ⩾ 3]$
     la $k$ ^ème puissance tensorielle du $ℝ$ -espace vectoriel $E$ de dimension $3$ se définit à partir de la $(k - 1)$ ^ème puissance tensorielle notée « $E^{\otimes (k - 1)}$ » ou plus rarement « $⨂_{(k - 1)} E$ »
     la $k$ ^ème puissance tensorielle du $ℝ$ -espace vectoriel $E$ de dimension $3$ se définit selon « $E^{\otimes k} = E^{\otimes (k - 1)} \otimes E$ » $[$ ou « $⨂_{k} E = ⨂_{(k - 1)} E \otimes E$ » $]$ ,
     la $k$ ^ème puissance tensorielle du $ℝ$ -espace vectoriel $E$ de dimension $3$ c'est aussi l'ensemble des formes k-linéaires de $\prod_{k} E$ soit « $ℒ_{k} (\prod_{k} E^{*}, ℝ)$ » ^[5].

     Remarque : Pour que « $E^{\otimes k} = ⨂_{k} E = ℒ_{k} (\prod_{k} E^{*}, ℝ)$ » soit définie $\forall k \in ℕ$ , il reste à préciser la signification pour $k = 1$ et $k = 0$ :
     Remarque : $∙$ pour $k = 1$ , on pose « $E^{\otimes 1} = E$ » de façon à ce que $E^{\otimes 1} = ℒ (E^{*}, ℝ) = {(E^{*})}^{*}$ canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe à $E$ ^[29] ;
     Remarque : $∙$ pour $k = 0$ , on pose « $E^{\otimes 0} = ℝ$ » pour que $E^{\otimes 0}$ soit l'élément « neutre » de la puissance tensorielle.
     Remarque : Avec toutes ces définitions on en déduit les deux propriétés suivantes « ${\begin{matrix} E^{\otimes k} \otimes E^{\otimes l} = E^{\otimes (k + l)} \\ {E^{\otimes k}}^{\otimes l} = E^{\otimes (k l)} \end{matrix}} \forall (k, l) \in ℕ^{2}$ ».

Dualité du produit tensoriel d'espaces vectoriels

On admet que « la dualisation commute avec la multiplication tensorielle d'espaces vectoriels de dimension $3$ » ^[40] à savoir,
On admet que si $E$ et $F$ sont deux $ℝ$ -espaces vectoriels quelconques de dimension $3$ , on a « ${E \otimes F}^{*} = E^{*} \otimes F^{*}$ » ;

on admet la « généralisation de la propriété ci-dessus à un nombre fini d'espaces vectoriels de dimension $3$ » soit
on admet « ${⨂_{i = 1 .. n} E_{i}}^{*} = ⨂_{i = 1 .. n} E_{i}^{*}$ » dans laquelle $E_{i}, \forall i \in [[1, n]]$ sont des $ℝ$ -espaces vectoriels de dimension $3$ .

Définition de tenseurs à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels tridimensionnels

Rappel sur la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels tridimensionnels

     Considérant « deux $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels $E$ et $F$ », nous avons défini le « produit tensoriel de $E$ et $F$ noté $E \otimes F$ » plus haut dans ce chapitre ^[41]
     Considérant « deux $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels $E$ et $F$ », comme « ensemble des éléments $\vec{u} \otimes \vec{v}, \forall (\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F$ » avec
     Considérant « deux $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels $E$ et $F$ », « $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , ${\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = ⟨ \vec{u}, \vec{x} ⟩_{E} ⟨ \vec{v}, \vec{y} ⟩_{F} \in ℝ$ »
     Considérant « deux $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels $E$ et $F$ », dans laquelle ${\begin{matrix} ⟨ ?_{1}, ?_{2} ⟩_{E} \\ ⟨ ?_{3}, ?_{4} ⟩_{F} \end{matrix}}$ ^[27] sont des formes bilinéaires non dégénérées de ${\begin{matrix} E \times E \\ F \times F \end{matrix}}$ ^[42] $[$ comme par exemple
     Considérant « deux $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels $E$ et $F$ », dans laquelle la multiplication scalaire ${\begin{matrix} (?_{1} \cdot_{E} ?_{2}) \\ (?_{3} \cdot_{F} ?_{4}) \end{matrix}}$ définie sur ${\begin{matrix} E \\ F \end{matrix}}$ ^[1] dans le cas où ces derniers sont euclidiens $]$ ;
     Considérant « deux $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels $E$ et $F$ », de plus le « produit tensoriel $E \otimes F$ » est canoniquement isomorphe à l'ensemble des formes bilinéaires définies sur $E \times F$ soit
     Considérant « deux $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels $E$ et $F$ », de plus le « $E \otimes F \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ » ^[5]^, ^[43] ${\begin{matrix} E^{*} \\ F^{*} \end{matrix}$ étant les duaux respectifs de $\begin{matrix} E \\ F \end{matrix}}$ ;
     Considérant « deux $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels $E$ et $F$ », la « forme bilinéaire définie sur $E \times F$ » avec $(\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F$
     Considérant « deux $ℝ$ -espaces vectoriels tridimensionnels $E$ et $F$ », la « $\vec{u} \otimes \vec{v} \in E \otimes F$ » définit le « produit tensoriel entre vecteurs de $E$ et $F$ » ^[28].

Construction des 1^ers tenseurs à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels

Rappel des tenseurs d'ordre zéro et un

Les tenseurs d'ordre $0$ ou $1$ sont introduits uniquement dans le cadre de $ℝ$ -espaces vectoriels de dimension $3$ et de leur dual, ces derniers seront notés $E$ et $E^{*}$ .

     Tenseurs d'ordre $0$ : « Tout scalaire $($ c.-à-d. tout élément de $ℝ$ qui est un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $1 = 3^{0})$ est un tenseur d'ordre $0$ »,
       Tenseurs d'ordre $0$ : « Tout scalaire il n'est ni contravariant ni covariant ^[44]^, ^[45]^, ^[46] mais « invariant » ^[47] ;
     Tenseurs d'ordre $0$ : « l'ensemble des tenseurs d'ordre $0$ » est « $ℝ = E^{\otimes 0}$ » ^[48] $[ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3^{0} = 1]$ .

Tenseurs d'ordre $1$ : $∙$ « Tout vecteur $($ c.-à-d. tout élément du $ℝ$ -espace vectoriel $E$ de dimension $3 = 3^{1})$ est un tenseur d'ordre $1$ contravariant » ^[44]^, ^[49]^, ^[50] ;
Tenseurs d'ordre $1$ : $∙$ « l'ensemble des tenseurs d'ordre $1$ contravariants » ^[49] est « $E = E^{\otimes 1}$ » ^[48] $[ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3^{1} = 3]$ .

     Tenseurs d'ordre $1$ : $∙$ « Tout covecteur $($ c.-à-d. tout élément du dual $E^{*}$ du $ℝ$ -espace vectoriel $E$ de dimension $3 = 3^{1})$ » est un « tenseur d'ordre $1$ covariant » ^[44]^, ^[51]^, ^[52],
       Tenseurs d'ordre $1$ : $∙$ « Tout covecteur c'est aussi une forme linéaire de $E$ ^[52] ;
     Tenseurs d'ordre $1$ : $∙$ « l'ensemble des tenseurs d'ordre $1$ covariants » ^[51] est « $E^{*} = {E^{*}}^{\otimes 1}$ » ^[48] $[ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3^{1} = 3]$ .

Construction de tenseurs d'ordre deux

Les tenseurs d'ordre $2$ sont construits ci-dessous comme produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre $1$ , donc comme élément d'un produit tensoriel de deux $ℝ$ -espaces vectoriels choisis parmi ${E, E^{*}}$ :

     Tenseurs d'ordre $2$ contravariants ^[44]^, ^[49] : « Tout élément de $E \otimes E$ est un tenseur d'ordre $2$ contravariant » ^[44]^, ^[49],
                  Tenseurs d'ordre $2$ contravariants : « Tout élément de $E \otimes E$ c'est aussi le « produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre $1$ contravariants » ^[44]^, ^[49]^, ^[53] ;
                  Tenseurs d'ordre $2$ contravariants : « l'ensemble des tenseurs d'ordre $2$ contravariants » ^[44]^, ^[49] est « $E \otimes E = E^{\otimes 2}$ » ^[48] $[ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3^{2} = 9]$ .
     Tenseurs d'ordre $2$ covariants ^[44]^, ^[51] : « Tout élément de $E^{*} \otimes E^{*}$ est un tenseur d'ordre $2$ covariant » ^[44]^, ^[51],
                  Tenseurs d'ordre $2$ covariants : « Tout élément de $E^{*} \otimes E^{*}$ c'est aussi le « produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre $1$ covariants » ^[44]^, ^[49]^, ^[54],
                  Tenseurs d'ordre $2$ covariants : « Tout élément de $E^{*} \otimes E^{*}$ ou encore une « forme bilinéaire de $E^{*} \times E^{*}$ » $[$ avec $E^{*} \otimes E^{*} \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{2} ({E^{*}}^{*} \times {E^{*}}^{*}, ℝ) \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{2} (E \times E, ℝ)$ ^[43] $]$ ^[55] ;
                  Tenseurs d'ordre $2$ covariants : « l'ensemble des tenseurs d'ordre $2$ covariants » ^[44]^, ^[51] est « $E^{*} \otimes E^{*} = {E^{*}}^{\otimes 2}$ » ^[48] $[ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3^{2} = 9]$ .
     Tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” ^[56]^, ^[57]^, ^[58] : $∙$ « Tout élément de $E \otimes E^{*}$ est un tenseur d'ordre $2$ “ mixte ” » ^[56]^, ^[57]^, ^[58],
                         Tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” : $∙$ « Tout élément de $E \otimes E^{*}$ c'est aussi le « produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre $1$ l'un contravariant ^[44]^, ^[49] et l'autre covariant ^[44]^, ^[51] » ^[59],
                         Tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” : $∙$ « Tout élément de $E \otimes E^{*}$ ou encore une « forme bilinéaire de $E \times E^{*}$ » $[$ avec $E \otimes E^{*} \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{2} (E^{*} \times {E^{*}}^{*}, ℝ) \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{2} (E^{*} \times E, ℝ)$ ^[43] $]$ ^[60] ;
                         Tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” : $∙$ « l'ensemble des tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” » ^[56]^, ^[57] $($ contravariant à gauche ^[44]^, ^[49] et covariant à droite ^[44]^, ^[51] $)$ est « $E \otimes E^{*}$ »
                                      Tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” : $∙$ « l'ensemble des tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” » $[ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3^{2} = 9]$ .
     Tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” ^[56]^, ^[57]^, ^[58] : $∙$ « Tout élément de $E^{*} \otimes E$ est un tenseur d'ordre $2$ “ mixte ” » ^[56]^, ^[57]^, ^[58],
                         Tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” : $∙$ « Tout élément de $E^{*} \otimes E$ c'est aussi le « produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre $1$ l'un covariant ^[44]^, ^[51] et l'autre contravariant ^[44]^, ^[49] » ^[61],
                         Tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” : $∙$ « Tout élément de $E^{*} \otimes E$ ou encore une « forme bilinéaire de $E^{*} \times E$ » $[$ avec $E^{*} \otimes E \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{2} ({E^{*}}^{*} \times E^{*}, ℝ) \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{2} (E \times E^{*}, ℝ)$ ^[43] $]$ ^[60] ;
                         Tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” : $∙$ « l'ensemble des tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” » ^[56]^, ^[57] $($ covariant à gauche ^[44]^, ^[51] et contravariant à droite ^[44]^, ^[49] $)$ est « $E^{*} \otimes E$ »
                                      Tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” : $∙$ « l'ensemble des tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” » $[ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3^{2} = 9]$ .
                         Tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” : $∙$ Remarque : la multiplication dans $ℝ$ étant commutative, « tout tenseur d'ordre $2$ “ mixte ” ^[56]^, ^[57] de $E^{*} \otimes E$ est aussi
                         Tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” : $∙$ Remarque : la multiplication dans $ℝ$ étant commutative, « un tenseur d'ordre $2$ “ mixte ” ^[56]^, ^[57] de $E \otimes E^{*}$ » ^[62] et réciproquement d'où
                         Tenseurs d'ordre $2$ “ mixtes ” : $∙$ Remarque : « $E^{*} \otimes E$ est donc canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe ^[6] à $E \otimes E^{*}$ ».

Construction de tenseurs d'ordre quelconque

     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ contravariants ^[44]^, ^[49], covariants ^[44]^, ^[51] ou « mixtes » ^[56]^, ^[58]
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ à partir du $ℝ$ -espace vectoriel tridimensionnel $E$ , de son dual $E^{*}$ et de les notions de produit et de puissance tensoriel(le)s ^[41]^, ^[48] :
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « Tout élément de $E^{\otimes p}, p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ est un tenseur d'ordre $p$ contravariant » ^[44]^, ^[49],
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « Tout élément de $E^{\otimes p}, p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ c'est aussi le « produit tensoriel de $p$ tenseurs d'ordre $1$ contravariants » ^[44]^, ^[49] ;
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « l'ensemble des tenseurs d'ordre $p$ contravariants » ^[44]^, ^[49] est « $E^{\otimes p}$ » ^[48] $[ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3^{p}]$ .
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « Tout élément de ${E^{*}}^{\otimes p}, p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ est un tenseur d'ordre $p$ covariant » ^[44]^, ^[51], c'est aussi
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « Tout élément de ${E^{*}}^{\otimes p}, p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ est le « produit tensoriel de $p$ tenseurs d'ordre $1$ covariants » ^[44]^, ^[51]^, ^[63]
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « Tout élément de ${E^{*}}^{\otimes p}, p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ est ou encore, une « forme p-linéaire de ${(E^{*})}^{p}$ »
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « Tout élément de ${E^{*}}^{\otimes p}, p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ est ou encore, $[$ avec ${E^{*}}^{\otimes p} \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{p} ({[{E^{*}}^{*}]}^{p}, ℝ) \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{p} (E^{p}, ℝ)$ ^[43] $]$ ;
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « l'ensemble des tenseurs d'ordre $p$ covariants » ^[44]^, ^[51] est « ${E^{*}}^{\otimes p}$ » ^[48] $[ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3^{p}]$ .
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « Tout élément de $E^{\otimes k} \otimes {E^{*}}^{\otimes (p - k)}, k \in [[1, (p - 1)]]$ est un tenseur d'ordre $p$ “ mixte ” » ^[56]^, ^[58],
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « Tout élément de $E^{\otimes k} \otimes {E^{*}}^{\otimes (p - k)}, k \in [[1, (p - 1)]]$ c'est aussi le « produit tensoriel de
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « Tout élément de $E^{\otimes k} \otimes {E^{*}}^{\otimes (p - k)}, k \in [[1, (p - 1)]]$ c'est aussi le « $k$ tenseurs d'ordre $1$ contravariants ^[44]^, ^[49] et de
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « Tout élément de $E^{\otimes k} \otimes {E^{*}}^{\otimes (p - k)}, k \in [[1, (p - 1)]]$ c'est aussi le « $(p - k)$ tenseurs d'ordre $1$ covariants ^[44]^, ^[51] » ^[64]
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « Tout élément de $E^{\otimes k} \otimes {E^{*}}^{\otimes (p - k)}, k \in [[1, (p - 1)]]$ ou encore, une « forme p-linéaire de $E^{k} \times {E^{*}}^{(p - k)}$ » $[$ avec
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « Tout élément de $E^{\otimes k} \otimes {E^{*}}^{\otimes (p - k)}, k \in [[1, (p - 1)]]$ , $E^{\otimes k} \otimes {E^{*}}^{\otimes (p - k)} \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{p} ({E^{*}}^{k} \times {[{E^{*}}^{*}]}^{(p - k)}, ℝ)$
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « Tout élément de $E^{\otimes k} \otimes {E^{*}}^{\otimes (p - k)}, k \in [[1, (p - 1)]]$ , $E^{\otimes k} \otimes {E^{*}}^{\otimes (p - k)}$ $\underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{p} ({E^{*}}^{k} \times E^{(p - k)}, ℝ)$ ^[43] $]$ ;
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « l'ensemble des tenseurs d'ordre $p$ “ mixtes ” » ^[56]^, ^[58] est « $⋃_{k = 1 .. (p - 1)} E^{\otimes k} \otimes {E^{*}}^{\otimes (p - k)}$ » ^[48]
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « l'ensemble des tenseurs d'ordre $p$ $($ contravariant à gauche ^[44]^, ^[49] et covariant à droite ^[44]^, ^[51] $)$ ,
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ « $[$ chaque élément $E^{\otimes k} \otimes {E^{*}}^{\otimes (p - k)}$ de la réunion étant un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $3^{p}]$ .
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ Remarque : « un tenseur d'ordre $p$ “ mixte ” ^[56]^, ^[58] contravariant d'ordre partiel $k$ ^[44]^, ^[49] et
                  On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ Remarque : « un tenseur d'ordre $p$ “ mixte ” covariant d'ordre partiel $(p - k)$ ^[44]^, ^[51] »
                  On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ Remarque : « un tenseur d'ordre $p$ “ mixte ” est, compte-tenu de la commutativité de la multiplication dans $ℝ$ ,
                  On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ Remarque : « un tenseur d'ordre $p$ “ mixte ” est, « parfaitement défini dès que $k$ est fixé, quel que soit l'ordre d'apparition
                  On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ Remarque : « un tenseur d'ordre $p$ “ mixte ” est, « des $k$ espaces vectoriels $E$ et des $(p - k)$ duaux $E^{*}$ »
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ Remarque : $[$ « tous les produits tensoriels de $k$ espaces vectoriels $E$ et de $(p - k)$ duaux $E^{*}$ » sont
     On se propose de construire des tenseurs d'ordre $p \in ℕ^{*} ∖ {1, 2}$ $∙$ Remarque : $[$ « canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes ^[6] entre eux » quel que soit leur ordre d'apparition $]$ .

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 et ^1,5 Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^2,0 et ^2,1 L'espace $E^{*}$ étant le dual de $E$ c.-à-d. l'ensemble des formes linéaires définies sur $E$ , une forme linéaire sur $E$ étant un « covecteur de $E^{*}$ ».
↑ ^3,0 et ^3,1 L'espace $F^{*}$ étant le dual de $F$ c.-à-d. l'ensemble des formes linéaires définies sur $F$ , une forme linéaire sur $F$ étant un « covecteur de $F^{*}$ ».
↑ Dans la mesure où l'application « $(\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F \overset{\vec{u} \cdot_{E} \in E^{*}}{⟶} {(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}), \vec{y}} \in ℝ \times F$ » n'agit que sur le 1^er vecteur $\vec{x} \in E$ du couple $(\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ en laissant le 2^nd $\vec{y} \in F$ inchangé, cette application se limite effectivement à la forme linéaire $\vec{u} \cdot_{E}$ de $E$ appliquée sur $\vec{x} \in E$ selon « $\vec{x} \in E \overset{\vec{u} \cdot_{E} \in E^{*}}{⟶} (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) \in ℝ$ ».
↑ ^5,00 ^5,01 ^5,02 ^5,03 ^5,04 ^5,05 ^5,06 ^5,07 ^5,08 ^5,09 ^5,10 ^5,11 ^5,12 ^5,13 ^5,14 et ^5,15 Bien que ce soient des éléments de $E$ et $F$ qui sont en argument de la forme bilinéaire, ce sont leurs duaux $E^{*}$ et $F^{*}$ qui interviennent dans la construction de cette dernière d'où la notation « $ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ » ; même commentaire si on remplace l'un des $ℝ$ -espaces vectoriels $E$ ou $F$ par leur dual respectif $E^{*}$ ou $F^{*}$ $($ ou si on remplace les deux $)$ $\dots$
↑ ^6,0 ^6,1 et ^6,2 Si un isomorphisme est indépendant de tout choix de bases dans l'un et l'autre des espaces considérés, il est qualifié de « canonique (au sens de l'algèbre linéaire) » et il est alors possible d'identifier les deux espaces vectoriels, on admet que c'est le cas ici.
↑ Voir, plus haut dans ce paragraphe, la « conclusion de la remarque 1' » associée à la note « ⁵ » $\dots$
↑ En effet, avec $0_{ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)} = \vec{u} \otimes {\vec{0}}_{F} \forall \vec{u} \in E$ et un élément quelconque $(\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ $\Rightarrow$ « ${\vec{u} \otimes \vec{v} + \vec{u} \otimes {\vec{0}}_{F}} (\vec{x}, \vec{y}) = [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] + [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) ({\vec{0}}_{F} \cdot_{F} \vec{y})]$ » ou
En effet avec $0_{ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)} = {\vec{0}}_{E} \otimes \vec{v} \forall \vec{v} \in F$ et un élément quelconque $(\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ $\Rightarrow$ « ${\vec{u} \otimes \vec{v} + {\vec{0}}_{E} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] + ({\vec{0}}_{E} \cdot_{E} \vec{x}) [(\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})]$ ».
↑ En effet, avec $- (\vec{u} \otimes \vec{v}) = (- \vec{u}) \otimes \vec{v}$ et un élément quelconque $(\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ $\Rightarrow$ « ${\vec{u} \otimes \vec{v} + (- \vec{u}) \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) + (- \vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})]$ » soit,
   En effet en factorisant sur $ℝ$ par $(\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})$ , « ${\vec{u} \otimes \vec{v} + (- \vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) + (- \vec{u} \cdot_{E} \vec{x})] (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})$ » puis
   En effet en factorisant scalairement le 1^er facteur par $\vec{x}$ « ${\vec{u} \otimes \vec{v} + (- \vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = ([\vec{u} - \vec{u}] \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) = ({\vec{0}}_{E} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) = {{\vec{0}}_{E} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = 0_{ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)} (\vec{x}, \vec{y})$ » ${$ la factorisation scalaire étant l'opération inverse de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $[$ voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]}$ , enfin
   En effet ceci étant vrai $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , on en déduit « $\vec{u} \otimes \vec{v} + (- \vec{u}) \otimes \vec{v} = 0_{ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)}$ ».
   on obtiendrait une justification analogue en utilisant $- (\vec{u} \otimes \vec{v}) = \vec{u} \otimes (- \vec{v})$ et $\vec{u} \otimes {\vec{0}}_{F} = 0_{ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)} \dots$
↑ ^10,0 et ^10,1 Un groupe abélien est un groupe ${$ c.-à-d. un ensemble sur lequel est définie une opération $($ notée $+$ ici $)$ qui est une loi de composition interne, associative, ayant un élément neutre et tel que tout élément de l'ensemble possède un symétrique $}$ commutatif $[$ la commutativité n'étant pas nécessaire pour définir un groupe $]$ .
↑ ^11,0 et ^11,1 Niels Henrich Abel (1802 - 1829) mathématicien norvégien, connu pour ses travaux divers en analyse mathématique et aussi sur la résolution des équations en algèbre $\dots$
↑ En effet $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ on a « ${λ \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v} + \vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}})} (\vec{x}, \vec{y}) = λ [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) + (\vec{u^{'}} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v^{'}} \cdot_{F} \vec{y})] = λ [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] + λ [(\vec{u^{'}} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v^{'}} \cdot_{F} \vec{y})] =$ $λ \cdot {\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) + λ \cdot {\vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}}} (\vec{x}, \vec{y})$ ».
↑ En effet $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , « ${(λ + μ) \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v})} (\vec{x}, \vec{y}) = (λ + μ) [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] = λ [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] + μ [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] = λ \cdot {\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) + μ \cdot {\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y})$ ».
↑ En effet $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ on a « ${(λ μ) \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v})} (\vec{x}, \vec{y}) = (λ μ) [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] = λ [μ (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] = {λ \cdot [μ \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v})]} (\vec{x}, \vec{y})$ ».
↑ En effet $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ on a « ${1_{ℝ} \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v})} (\vec{x}, \vec{y}) = 1 [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] = (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) = {\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y})$ ».
↑ Un ensemble est un $ℝ$ -espace vectoriel s'il lui est associé une loi de composition interne $($ appelée « addition » $)$ avec lequel il constitue un groupe abélien et
Un ensemble est un $ℝ$ -espace vectoriel s'il lui est associé une loi de composition externe « multiplication par un élément de $ℝ$ » ayant les propriétés de distributivité à gauche relativement à l'addition de l'ensemble et à droite relativement à l'addition de $ℝ$ , d'associativité mixte et pour laquelle l'élément neutre multiplicatif de $ℝ$ est neutre à gauche pour la loi de composition externe.
↑ L'espace singulier à droite de la forme bilinéaire « $f : E \times F \to ℝ$ » est le sous-espace vectoriel $S_{d} (f)$ de $F$ défini selon « $S_{d} (f) = {\vec{y} \in F, \forall \vec{x} \in E, f (\vec{x}, \vec{y}) = 0}$ » $[$ c.-à-d. tel que l'image de la forme bilinéaire de n'importe quel élément de $E$ et d'un élément de $S_{d} (f)$ soit $0]$ ;
   L'espace singulier à droite cas particulier de la « multiplication scalaire sur $E$ forme bilinéaire $\cdot_{E} : E \times E \to ℝ$ » : « $S_{d} (\cdot_{E}) = {\vec{y} \in E, \forall \vec{x} \in E, \vec{x} \cdot_{E} \vec{y}) = 0} = {\vec{0}}_{E}$ » en effet seul $\vec{y} = {\vec{0}}_{E}$ donne un produit scalaire nul en étant multiplié scalairement à gauche par n'importe quel vecteur $\vec{x}$ .
   L'espace singulier à gauche de la forme bilinéaire « $f : E \times F \to ℝ$ » est le sous-espace vectoriel $S_{g} (f)$ de $E$ défini selon « $S_{g} (f) = {\vec{x} \in E, \forall \vec{y} \in F, f (\vec{x}, \vec{y}) = 0}$ » $[$ c.-à-d. tel que l'image de la forme bilinéaire de n'importe quel élément de $F$ et d'un élément de $S_{g} (f)$ soit $0]$ ;
   L'espace singulier à droite cas particulier de la « multiplication scalaire sur $E$ forme bilinéaire $\cdot_{E} : E \times E \to ℝ$ » : « $S_{g} (\cdot_{E}) = {\vec{x} \in E, \forall \vec{y} \in E, \vec{x} \cdot_{E} \vec{y}) = 0} = {\vec{0}}_{E}$ » en effet seul $\vec{x} = {\vec{0}}_{E}$ donne un produit scalaire nul en étant multiplié scalairement à droite par n'importe quel vecteur $\vec{y}$ .
↑ Voir la justification pour $\cdot_{E}$ dans la note « ¹⁷ » plus haut dans ce chapitre, celle pour $\cdot_{F}$ étant identique.
↑ ^19,0 ^19,1 ^19,2 ^19,3 ^19,4 et ^19,5 Cette notation $($ personnelle $)$ pour représenter une forme bilinéaire non dégénérée quelconque définie sur $E \times E$ $($ ou sur $F \times F)$ utilise la notion de crochet de dualité définie sur $E^{*} \times E$ $($ ou sur $F^{*} \times F)$ introduite dans le paragraphe « notion d'espace bidual » plus loin dans ce chapitre .
↑ Ou $E \otimes F$ en absence d'ambiguïté ;
« l'ensemble des formes bilinéaires de $E \times F$ noté $ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ » $[$ voir note « ⁵ » plus haut dans ce chapitre $]$ étant isomorphe à « l'ensemble des applications linéaires de $E \times F$ dans $ℝ$ du type “ ${\vec{u} \otimes \vec{v}}$ ” avec $(\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F$ » $($ c.-à-d. isomorphe à « $E \otimes_{ℝ} F$ » $)$ $[$ voir la « conclusion de la remarque 1' » associée à la note « ⁵ » plus haut dans ce paragraphe $]$ , on pourrait utiliser « $ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ à la place de $E \otimes_{ℝ} F$ » mais cela ne sera fait que très rarement $\dots$
↑ Pratiquement l'introduction de l'application linéaire « $ι$ » de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ permet de créer, à partir de $\vec{x} \in E$ , une forme linéaire $ι (\vec{x})$ sur $E^{*}$ et par suite,
Pratiquement à partir des trois variables ${\begin{matrix} \vec{x} \in E & (1) \\ χ \in E^{*} & (2) \\ ι (\vec{x}) \in {(E^{*})}^{*} & (3) \end{matrix}}$ $[ι (\vec{x})$ restant à définir $]$ , « $ι$ » est définie en identifiant le crochet de dualité $⟨ χ, \vec{x} ⟩ = ⟨ ?_{2}, ?_{1} ⟩$ déjà défini au crochet de dualité $⟨ ι (\vec{x}), χ ⟩ = ⟨ ?_{3}, ?_{2} ⟩$ restant à définir d'où la définition de « $ι$ » par identification des crochets de dualité $\dots$
↑ ^22,0 et ^22,1 La multiplication scalaire définie sur $E^{*}$ étant notée « $\cdot_{E^{*}}$ » et, dans le but de simplifier l'écriture, nous employons « ${\vec{u}}^{*} \in E^{*}$ pour la forme linéaire $\vec{u} \cdot_{E}$ définie sur $E$ ».
↑ La multiplication scalaire définie sur $E^{*}$ étant notée « $\cdot_{E^{*}}$ » et, dans le but de simplifier l'écriture, nous employons « ${\begin{matrix} {\vec{u}}^{*} \in E^{*} \\ {\vec{x}}^{*} \in E^{*} \end{matrix}}$ pour les formes linéaires ${\begin{matrix} \vec{u} \cdot_{E} \\ \vec{x} \cdot_{E} \end{matrix}}$ définies sur $E$ ».
↑ ^24,0 ^24,1 et ^24,2 Plus exactement deux espaces vectoriels entre lesquels on peut définir un isomorphisme indépendant de tout choix de bases dans l'un et l'autre de ces espaces sont dits « canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes »,
la raison pour laquelle $E$ et ${(E^{*})}^{*}$ sont canoniquement isomorphes est que le lien entre les deux est réalisé à l'aide du crochet de dualité entre $E$ et $E^{*}$ , lequel, dans le cas où ce dernier est construit à partir de la multiplication scalaire sur $E$ , est égal à un produit scalaire d'éléments de $E$ indépendant du choix de base dans $E$ .
↑ Quand il y a isomorphisme canonique entre deux espaces vectoriels $[$ voir note « ²⁴ » plus haut dans ce chapitre $]$ , il est possible de les identifier $[$ c'est donc le cas pour ${E^{*}}^{*}$ et $E]$ ,
par contre quand l'isomorphisme dépend des bases choisies dans chaque espace vectoriel, l'identification devient impossible $[$ on peut montrer $($ mais on l'admettra $)$ que c'est le cas pour $E^{*}$ et $E]$ .
↑ Le dual de $W$ étant l'ensemble des formes linéaires de $W$ est encore noté $L (W, ℝ)$ ou $L_{ℝ} (W, ℝ)$ ou encore ${E n d}_{ℝ} (W, ℝ)$ mais le plus souvent on se contente de $W^{*}$ .
↑ ^27,0 et ^27,1 Notation $($ personnelle $)$ pour représenter un crochet de dualité quelconque construits à partir de $E$ $($ ou à partir de $F)$ .
↑ ^28,0 ^28,1 et ^28,2 Voir le paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (produit tensoriel de deux vecteurs) » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^29,0 ^29,1 et ^29,2 Le bidual ${(E^{*})}^{*}$ étant identifié à $E$ $[$ voir le paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre $]$ .
↑ ^30,0 et ^30,1 Nous avons vu dans le paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre que le bidual ${(E^{*})}^{*}$ de $E$ pouvait être identifié avec ce dernier,
dans le cas prséent nous notons $ϖ^{*}$ l'élément de ${(E^{*})}^{*}$ associé à l'élément $ϖ$ de $E^{*}$ , $ϖ^{*} \in {(E^{*})}^{*}$ étant identifiable à un élément de $\vec{u} \in E$ .
↑ ^31,0 et ^31,1 Le bidual ${(F^{*})}^{*}$ étant identifié à $F$ $[$ voir le paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre $]$ .
↑ ^32,0 et ^32,1 Nous avons vu dans le paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre que le bidual ${(F^{*})}^{*}$ de $F$ pouvait être identifié avec ce dernier,
dans le cas présent nous notons $ω^{*}$ l'élément de ${(F^{*})}^{*}$ associé à l'élément $ω$ de $F^{*}$ , $ω^{*} \in {(F^{*})}^{*}$ étant identifiable à un élément de $\vec{v} \in F$ .
↑ ^33,0 ^33,1 ^33,2 ^33,3 et ^33,4 Ou, en remplaçant n'importe quel $ℝ$ -espace vectoriel tridimensionnel par son dual, remplacement total ou partiel $\dots$
↑ ^34,0 et ^34,1 La mise entre parenthèses $($ ou crochets ou accolades $)$ devenant inutile.
↑ ^35,0 et ^35,1 Notation $($ personnelle $)$ pour représenter un crochet de dualité quelconque construits à partir de $ℝ$ $($ ou à partir de $E)$ .
↑ ^36,0 et ^36,1 Le dual $ℝ^{*}$ de $ℝ$ est formé à l'aide de la multiplication $\times_{ℝ}$ $[$ usuellement omis ou noté $\times]$ $\Rightarrow$ le crochet de dualité correspondant « $⟨ ?_{1}, ?_{2} ⟩_{ℝ} = ⟨ ?_{1} \times_{ℝ}, ?_{2} ⟩ = (?_{1} \times_{ℝ} ?_{2}) \in ℝ$ » ;
le dual $E^{*}$ de $E$ est formé à l'aide de la multiplication scalaire $\cdot_{E}$ $\Rightarrow$ le crochet de dualité correspondant « $⟨ ?_{1}, ?_{2} ⟩_{E} = ⟨ ?_{1} \cdot_{E}, ?_{2} ⟩ = (?_{1} \cdot_{E} ?_{2}) \in ℝ$ » ;
le dual $F^{*}$ de $F$ est formé à l'aide de la multiplication scalaire $\cdot_{F}$ $\Rightarrow$ le crochet de dualité correspondant « $⟨ ?_{1}, ?_{2} ⟩_{F} = ⟨ ?_{1} \cdot_{F}, ?_{2} ⟩ = (?_{1} \cdot_{F} ?_{2}) \in ℝ$ ».
↑ En effet « $\forall (λ, \vec{x}, \vec{y}) \in ℝ \times E \times F$ », « ${a \otimes \vec{u} \otimes \vec{v}} (λ, \vec{x}, \vec{y}) = (a λ) (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})$ » $[$ voir la note « ³⁶ » plus haut dans ce chapitre pour la définition du dual correspondant à chaque espace vectoriel $]$ ou encore « ${a \otimes \vec{u} \otimes \vec{v}} (λ, \vec{x}, \vec{y}) = (a \vec{u} \cdot_{E} λ \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) = {a \vec{u} \otimes \vec{v}} (λ \vec{x}, \vec{y})$ » effectivement « $\neq$ de ${\vec{u} \otimes \vec{v}} (λ \vec{x}, \vec{y})$ sauf si $a = 1$ » ;
en conclusion « $a \otimes \vec{u} \otimes \vec{v} \neq \vec{u} \otimes \vec{v}$ pour $a \in ℝ ∖ {1}$ », mais « $1_{ℝ} \otimes \vec{u} \otimes \vec{v} = \vec{u} \otimes \vec{v}$ » c.-à-d. que « $1_{ℝ}$ est l'élément neutre de sa multiplication tensorielle à gauche avec le produit tensoriel $\vec{u} \otimes \vec{v}$ de $E \otimes F$ ».
↑ En effet « $\forall (\vec{x}, \vec{y}, λ) \in E \times F \times ℝ$ », « ${\vec{u} \otimes \vec{v} \otimes a} (\vec{x}, \vec{y}, λ) = (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) (a λ)$ » $[$ voir la note « ³⁶ » plus haut dans ce chapitre pour la définition du dual correspondant à chaque espace vectoriel $]$ ou encore « ${\vec{u} \otimes \vec{v} \otimes a} (\vec{x}, \vec{y}, λ) = (a \vec{u} \cdot_{E} λ \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) = {a \vec{u} \otimes \vec{v}} (λ \vec{x}, \vec{y})$ » effectivement « $\neq$ de ${\vec{u} \otimes \vec{v}} (λ \vec{x}, \vec{y})$ sauf si $a = 1$ » ;
en conclusion « $\vec{u} \otimes \vec{v} \otimes a \neq \vec{u} \otimes \vec{v}$ pour $a \in ℝ ∖ {1}$ », mais « $\vec{u} \otimes \vec{v} \otimes 1_{ℝ} = \vec{u} \otimes \vec{v}$ » c.-à-d. que « $1_{ℝ}$ est l'élément neutre de sa multiplication tensorielle à droite avec le produit tensoriel $\vec{u} \otimes \vec{v}$ de $E \otimes F$ ».
↑ Obtenue en choisissant comme forme bilinéaire non dégénérée de $E$ , celle formée à l'aide de la multiplication scalaire $\cdot_{E}$
↑ Considérons le produit tensoriel des deux $ℝ$ -espaces vectoriels $E$ et $F$ de dimension $3$ et
   Considérons leur produit tensoriel $E \otimes F$ défini aussi comme l'ensemble des formes bilinéaires de $E^{*} \times F^{*}$ soit $E \otimes F \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$
   Considérons leur produit tensoriel $E \otimes F$ $[$ l'« identification de deux $ℝ$ -espaces vectoriels canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes étant notée par le symbole $\underset{isom.}{\overset{can.}{=}}$ » $]$ ,
   on en déduit « le dual du produit tensoriel de $E$ et $F$ » $($ c.-à-d. la forme linéaire définie à partir de $E \otimes F)$ , par « ${E \otimes F}^{*} \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} L_{ℝ} [ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)]$ » ;
   or la « forme bilinéaire $\vec{u} \otimes \vec{v}$ avec $(\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F$ » est définie comme la « composition de deux formes linéaires, respectivement sur $E$ et sur $F$ » selon
   or la « forme bilinéaire $\vec{u} \otimes \vec{v}$ « $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , ${\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = ⟨ {\vec{u}}^{*}, \vec{x} ⟩_{E} ⟨ {\vec{v}}^{*}, \vec{y} ⟩_{F}$ » où ${\begin{matrix} ⟨ ?, ? ⟩_{E} \\ ⟨ ?, ? ⟩_{F} \end{matrix}}$ sont des crochets de dualité définis sur chaque espace vectoriel, c.-à-d. des formes bilinéaires non dégénérées définies sur ${\begin{matrix} E^{*} \times E \\ F^{*} \times F \end{matrix}}$ impliquant que ${\begin{matrix} ⟨ {\vec{u}}^{*}, ? ⟩_{E} \\ ⟨ {\vec{v}}^{*}, ? ⟩_{F} \end{matrix}}$ sont des formes linéaires sur ${\begin{matrix} E \\ F \end{matrix}}$ ${$ voir la note « ³⁵ » et le paragraphe « notion d'espace bidual (crochet de dualité) » plus haut dans le chapitre $}$ et où $({\vec{u}}^{*}, {\vec{v}}^{*}) \in E^{*} \times F^{*}$ est le couple associé à $(\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F$ par relation de dualité ; par suite
   or le « dual de la forme bilinéaire $\vec{u} \otimes \vec{v}$ » est la « composition des duaux des deux formes linéaires, respectivement sur $E$ et sur $F$ », c.-à-d. encore la « composition de deux formes linéaires sur $E^{*}$ et sur $F^{*}$ » ${$ en effet l'« ensemble des formes linéaires sur $E$ étant $L_{ℝ} (E)$ », son « dual s'écrit selon ${L_{ℝ} (E)}^{*} = L_{ℝ} [L_{ℝ} (E)] = L_{ℝ} (E^{*})$ » $}$ dont on tire que
   or le « dual de $\vec{u} \otimes \vec{v}$ est une forme bilinéaire de $E^{*} \times F^{*}$ » d'où « ${E \otimes F}^{*}$ c.-à-d. $L_{ℝ} [ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)]$ se réécrit ${E \otimes F}^{*} \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{2} ({E^{*}}^{*} \times {F^{*}}^{*}, ℝ)$ » $($ voir la note « ⁵ » plus haut dans ce chapitre $)$ soit finalement « ${E \otimes F}^{*} = E^{*} \otimes F^{*}$ » par définition de ce dernier.
↑ ^41,0 et ^41,1 Voir le paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (remarque 2) » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^43,0 ^43,1 ^43,2 ^43,3 ^43,4 et ^43,5 L'identification de deux $ℝ$ -espaces vectoriels canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes $($ voir les notes « ²⁴ » et « ²⁵ » plus haut dans ce chapitre $)$ étant notée $($ notation personnelle $)$ par le symbole $\underset{isom.}{\overset{can.}{=}}$ ».
↑ ^44,00 ^44,01 ^44,02 ^44,03 ^44,04 ^44,05 ^44,06 ^44,07 ^44,08 ^44,09 ^44,10 ^44,11 ^44,12 ^44,13 ^44,14 ^44,15 ^44,16 ^44,17 ^44,18 ^44,19 ^44,20 ^44,21 ^44,22 ^44,23 ^44,24 ^44,25 ^44,26 ^44,27 ^44,28 ^44,29 ^44,30 ^44,31 et ^44,32 Une grandeur est dite covariante lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et contravariante quand elle varie de façon contraire.
↑ C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur ne sont pas contravariantes.
↑ C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur ne sont pas covariantes.
↑ Voir le paragraphe « définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ ^48,0 ^48,1 ^48,2 ^48,3 ^48,4 ^48,5 ^48,6 ^48,7 et ^48,8 Voir le paragraphe « puissance tensorielle d'un espace vectoriel tridimensionnel » plus haut dans le chapitre.
↑ ^49,00 ^49,01 ^49,02 ^49,03 ^49,04 ^49,05 ^49,06 ^49,07 ^49,08 ^49,09 ^49,10 ^49,11 ^49,12 ^49,13 ^49,14 ^49,15 ^49,16 et ^49,17 C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur sont contravariantes.
↑ Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre un » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ ^51,00 ^51,01 ^51,02 ^51,03 ^51,04 ^51,05 ^51,06 ^51,07 ^51,08 ^51,09 ^51,10 ^51,11 ^51,12 ^51,13 ^51,14 et ^51,15 C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur sont covariantes.
↑ ^52,0 et ^52,1 Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre un » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Soit $(ϖ, ω) \in {E^{*}}^{2}$ un couple de tenseurs d'ordre $1$ covariants c.-à-d. un couple de formes linéaires de $E$ , le tenseur d'ordre $2$ covariant construit à partir des 1^ers est « $ϖ \otimes ω$ » tel que « $\forall (χ, ψ) \in {(E^{*})}^{2}$ , ${ϖ \otimes ω} (χ, ψ) = ⟨ ϖ^{*}, χ ⟩ ⟨ ω^{*}, ψ ⟩$ » $[$ on note $(ϖ^{*}, ω^{*})$ les éléments de ${(E^{*})}^{*}$ associés par dualité aux éléments $(ϖ, ω)$ de $E^{*}$ et par bidualité aux éléments $(\vec{u}, \vec{v})$ de $E$ , c.-à-d. qu'avec l'application linéaire « $ι$ de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ » on a « ${\begin{matrix} ι (\vec{u}) = ϖ^{*} \\ ι (\vec{v}) = ω^{*} \end{matrix}}$ » tel que « ${\begin{matrix} ⟨ ι (\vec{u}), χ ⟩ = ⟨ χ, \vec{u} ⟩ = χ (\vec{u}) \\ ⟨ ι (\vec{v}), ψ ⟩ = ⟨ ψ, \vec{v} ⟩ = ψ (\vec{v}) \end{matrix}}$ » $($ voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre $)]$ soit finalement « $\forall (χ, ψ) \in {(E^{*})}^{2}$ , ${ϖ \otimes ω} (χ, ψ) = χ (\vec{u}) ψ (\vec{v}) \in ℝ$ ».
↑ Ces définitions équivalentes étant en accord avec celle du paragraphe « définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ ^56,00 ^56,01 ^56,02 ^56,03 ^56,04 ^56,05 ^56,06 ^56,07 ^56,08 ^56,09 ^56,10 et ^56,11 Appellation personnelle pour traduire que le tenseur n'est ni covariant ni contravariant mais un mélange des deux, plus exactement un torseur d'ordre $p$ « mixte » est contravariant d'ordre partiel $l \in [[1, p [[$ et covariant d'ordre partiel $m = p - l \dots$
↑ ^57,0 ^57,1 ^57,2 ^57,3 ^57,4 ^57,5 ^57,6 et ^57,7 Le tenseur d'ordre $2$ « mixte » est donc contravariant d'ordre partiel $1$ et covariant d'ordre partiel $1 \dots$
↑ ^58,0 ^58,1 ^58,2 ^58,3 ^58,4 ^58,5 ^58,6 et ^58,7 C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur sont partiellement covariante et contravariante.
↑ Soit $(\vec{u}, ω) \in E \times E^{*}$ un couple de tenseurs d'ordre $1$ le 1^er contravariant et le 2^nd covariant c.-à-d. un couple de vecteur et forme linéaire de $E$ , le tenseur d'ordre $2$ “ mixte ” construit à partir des 1^ers est « $\vec{u} \otimes ω$ » tel que « $\forall (\vec{x}, ψ) \in E \times E^{*}$ , ${\vec{u} \otimes ω} (\vec{x}, ψ) = ⟨ {\vec{u}}^{*}, \vec{x} ⟩ ⟨ ω^{*}, ψ ⟩$ » $[$ on note $({\vec{u}}^{*}, ω^{*})$ le couple de $E^{*} \times {(E^{*})}^{*}$ associés par dualité au couple $(\vec{u}, ω)$ de $E \times E^{*}$ et le 2^ème élément du couple associé par bidualité à $\vec{v}$ de $E$ , c.-à-d. qu'avec l'application linéaire « $ι$ de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ » on a « $ι (\vec{v}) = ω^{*}$ » tel que « $⟨ ι (\vec{v}), ψ ⟩ = ⟨ ψ, \vec{v} ⟩ = ψ (\vec{v})$ » $($ voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre $)]$ soit finalement « $\forall (\vec{x}, ψ) \in E \times E^{*}$ , ${\vec{u} \otimes ω} (\vec{x}, ψ) = {\vec{u}}^{*} (\vec{x}) ψ (\vec{v}) \in ℝ$ » $[$ un exemple de forme linéaire de $E$ associée à $\vec{u} \in E$ étant ${\vec{u}}^{*} = \vec{u} \cdot_{E} \in E^{*}$ où $\cdot_{E}$ est la multiplication scalaire définie dans $E]$ .
↑ ^60,0 et ^60,1 Ces définitions équivalentes étant en accord avec celle du paragraphe « définition et propriété d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Soit $(ϖ, \vec{v}) \in E^{*} \times E$ un couple de tenseurs d'ordre $1$ le 1^er covariant et le 2^nd contravariant c.-à-d. un couple de forme linéaire et vecteur de $E$ , le tenseur d'ordre $2$ “ mixte ” construit à partir des 1^ers est « $ϖ \otimes \vec{v}$ » tel que « $\forall (χ, \vec{y}) \in E^{*} \times E$ , ${ϖ \otimes \vec{v}} (χ, \vec{y}) = ⟨ ϖ^{*}, χ ⟩ ⟨ {\vec{v}}^{*}, \vec{y} ⟩$ » $[$ on note $(ϖ^{*}, {\vec{v}}^{*})$ le couple de ${(E^{*})}^{*} \times E^{*}$ associés par dualité au couple $(ϖ, \vec{v})$ de $E^{*} \times E$ et le 1^er élément du couple associé par bidualité à $\vec{u}$ de $E$ , c.-à-d. qu'avec l'application linéaire « $ι$ de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ » on a « $ι (\vec{u}) = ϖ^{*}$ » tel que « $⟨ ι (\vec{u}), χ ⟩ = ⟨ χ, \vec{u} ⟩ = χ (\vec{u})$ » $($ voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre $)]$ soit finalement « $\forall (χ, \vec{y}) \in E^{*} \times E$ , ${ϖ \otimes \vec{v}} (χ, \vec{y}) = χ (\vec{u}) {\vec{v}}^{*} (\vec{y}) \in ℝ$ » $[$ un exemple de forme linéaire de $E$ associée à $\vec{v} \in E$ étant ${\vec{v}}^{*} = \vec{v} \cdot_{E} \in E^{*}$ où $\cdot_{E}$ est la multiplication scalaire définie dans $E]$ .
↑ En effet $(ϖ, \vec{v}) \in E^{*} \times E$ permet de construire « $ϖ \otimes \vec{v}$ » tel que « $\forall (χ, \vec{y}) \in E^{*} \times E$ , ${ϖ \otimes \vec{v}} (χ, \vec{y}) = χ (\vec{u}) {\vec{v}}^{*} (\vec{y}) \in ℝ$ » $($ voir la note « ⁶¹ » plus haut dans ce chapitre $)$ qui s'écrit encore, par commutativité de la multiplication dans $ℝ$ , « ${\vec{v}}^{*} (\vec{y}) χ (\vec{u}) = {\vec{v} \otimes ϖ} (\vec{y}, χ)$ » $($ voir la note « ⁵⁹ » plus haut dans ce chapitre après adaptation des notations $)$ d'où l'« identification de $\vec{v} \otimes ϖ$ appliqué à $(\vec{y}, χ)$ avec $ϖ \otimes \vec{v}$ appliqué à $(χ, \vec{y})$ » $\dots$ toutefois il ne faut pas en déduire la commutativité de la multiplication tensorielle entre $\vec{v}$ et $ϖ$ tout simplement parce que $\vec{v} \otimes ϖ$ et $ϖ \otimes \vec{v}$ ne s'appliquent pas sur les mêmes couples ordonnés d'éléments $\dots$
↑ Soit « $({ϖ_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ p}) \in {E^{*}}^{p}$ un $p$ -uplet de tenseurs d'ordre $1$ covariants » c.-à-d. « un $p$ -uplet de formes linéaires ${ϖ_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ p}$ de $E$ », « le tenseur d'ordre $p$ covariant » construit à partir des 1^ers est « $\underset{i = 1 .. p}{\otimes} ϖ_{i}$ » tel que « $\forall ({χ_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ p}) \in {E^{*}}^{p}$ , ${\underset{i = 1 .. p}{\otimes} ϖ_{i}} ({χ_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ p}) = \prod_{i = 1 .. p} ⟨ ϖ_{i}^{*}, χ_{i} ⟩$ » $[$ on note $ϖ_{i}^{*}$ l'élément de ${(E^{*})}^{*}$ associé par dualité à l'élément $ϖ_{i}$ de $E^{*}$ et par bidualité à l'élément ${\vec{u}}_{i}$ de $E$ , c.-à-d. qu'avec l'application linéaire « $ι$ de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ » on a « $ι ({\vec{u}}_{i}) = ϖ_{i}^{*}$ » tel que « $⟨ ι ({\vec{u}}_{i}), χ_{i} ⟩ = ⟨ χ_{i}, {\vec{u}}_{i} ⟩ = χ_{i} ({\vec{u}}_{i})$ » $($ voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre $)]$ soit finalement « $\forall ({χ_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ p}) \in {E^{*}}^{p}$ , ${\underset{i = 1 .. p}{\otimes} ϖ_{i}} ({χ_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ p}) = \prod_{i = 1 .. p} χ_{i} ({\vec{u}}_{i}) \in ℝ$ ».
↑ Soit « $({{\vec{u}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ω_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)}) \in E^{k} \times {E^{*}}^{(p - k)}$ un $p$ -uplet de tenseurs d'ordre $1$ $[$ les 1^ers contravariants, les 2^nds covariants $]$ » ou « un $p$ -uplet de vecteurs ${{\vec{u}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}$ et formes linéaires ${ω_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)}$ de $E$ », « le tenseur d'ordre $p$ “ mixte ” $($ contravariant à gauche et covariant à droite $)$ » construit à partir des 1^ers « ${\underset{i = 1 .. k}{\otimes} {\vec{u}}_{i}} \otimes {\underset{j = 1 .. (p - k)}{\otimes} ϖ_{j}}$ » est tel que « $\forall ({{\vec{x}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ψ_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)}) \in E^{k} \times {E^{*}}^{(p - k)}$ , ${[\underset{i = 1 .. k}{\otimes} {\vec{u}}_{i}] \otimes [\underset{j = 1 .. (p - k)}{\otimes} ω_{j}]} ({{\vec{x}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ψ_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)}) = [\prod_{i = 1 .. k} ⟨ {\vec{u}}_{i}^{*}, {\vec{x}}_{i} ⟩] [\prod_{j = 1 .. (p - k)} ⟨ ω_{j}^{*}, ψ_{j} ⟩]$ » $[$ on note $({{\vec{u}}_{i}^{*}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ω_{j}^{*}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)})$ les éléments de ${(E^{*})}^{k} \times {{[E^{*}]}^{*}}^{(p - k)}$ associés par dualité aux éléments $({{\vec{u}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ω_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)})$ de $E^{k} \times {E^{*}}^{(p - k)}$ , les $(p - k)$ derniers éléments étant associés par bidualité à $({{\vec{v}}_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)})$ de $E^{(p - k)}$ , c.-à-d. qu'avec l'application linéaire « $ι$ de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ » on a « $ι ({\vec{v}}_{j}) = ω_{j}^{*}$ » tel que « $⟨ ι ({\vec{v}}_{j}), ψ_{j} ⟩ = ⟨ ψ_{j}, {\vec{v}}_{j} ⟩ =$ $ψ_{j} ({\vec{v}}_{j})$ » $($ voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre $)]$ soit finalement « $\forall ({{\vec{x}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ψ_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)}) \in E^{k} \times {E^{*}}^{(p - k)}$ , ${[\underset{i = 1 .. k}{\otimes} {\vec{u}}_{i}] \otimes [\underset{j = 1 .. (p - k)}{\otimes} ω_{j}]} ({{\vec{x}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ψ_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)})$ $= [\prod_{i = 1 .. k} {\vec{u}}_{i}^{*} ({\vec{x}}_{i})] [\prod_{j = 1 .. (p - k)} ψ_{j} ({\vec{v}}_{j})] \in ℝ$ »
$[$ un exemple de forme linéaire de $E$ associée à ${\vec{u}}_{i} \in E$ étant ${\vec{u}}_{i}^{*} = {\vec{u}}_{i} \cdot_{E} \in E^{*}$ où $\cdot_{E}$ est la multiplication scalaire définie dans $E]$ .

Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)

Les tenseurs, 1ères définitions et divers types de tenseurs d'ordre inférieur à 3

Les tenseurs et leurs composantes, notion de contraction tensorielle et notation d'Einstein

[définition_intrinsèque_du_produit_scalaire-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 et ^1,5 Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[espace_dual-2] 2,0 et ^2,1 L'espace $E^{*}$ étant le dual de $E$ c.-à-d. l'ensemble des formes linéaires définies sur $E$ , une forme linéaire sur $E$ étant un « covecteur de $E^{*}$ ».

[espace_dual_-_bis-3] 3,0 et ^3,1 L'espace $F^{*}$ étant le dual de $F$ c.-à-d. l'ensemble des formes linéaires définies sur $F$ , une forme linéaire sur $F$ étant un « covecteur de $F^{*}$ ».

[4] Dans la mesure où l'application « $(\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F \overset{\vec{u} \cdot_{E} \in E^{*}}{⟶} {(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}), \vec{y}} \in ℝ \times F$ » n'agit que sur le 1^er vecteur $\vec{x} \in E$ du couple $(\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ en laissant le 2^nd $\vec{y} \in F$ inchangé, cette application se limite effectivement à la forme linéaire $\vec{u} \cdot_{E}$ de $E$ appliquée sur $\vec{x} \in E$ selon « $\vec{x} \in E \overset{\vec{u} \cdot_{E} \in E^{*}}{⟶} (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) \in ℝ$ ».

[notation_des_formes_bilinéaires-5] 5,00 ^5,01 ^5,02 ^5,03 ^5,04 ^5,05 ^5,06 ^5,07 ^5,08 ^5,09 ^5,10 ^5,11 ^5,12 ^5,13 ^5,14 et ^5,15 Bien que ce soient des éléments de $E$ et $F$ qui sont en argument de la forme bilinéaire, ce sont leurs duaux $E^{*}$ et $F^{*}$ qui interviennent dans la construction de cette dernière d'où la notation « $ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ » ; même commentaire si on remplace l'un des $ℝ$ -espaces vectoriels $E$ ou $F$ par leur dual respectif $E^{*}$ ou $F^{*}$ $($ ou si on remplace les deux $)$ $\dots$

[isomorphisme_canonique-6] 6,0 ^6,1 et ^6,2 Si un isomorphisme est indépendant de tout choix de bases dans l'un et l'autre des espaces considérés, il est qualifié de « canonique (au sens de l'algèbre linéaire) » et il est alors possible d'identifier les deux espaces vectoriels, on admet que c'est le cas ici.

[7] Voir, plus haut dans ce paragraphe, la « conclusion de la remarque 1' » associée à la note « ⁵ » $\dots$

[8] En effet, avec $0_{ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)} = \vec{u} \otimes {\vec{0}}_{F} \forall \vec{u} \in E$ et un élément quelconque $(\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ $\Rightarrow$ « ${\vec{u} \otimes \vec{v} + \vec{u} \otimes {\vec{0}}_{F}} (\vec{x}, \vec{y}) = [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] + [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) ({\vec{0}}_{F} \cdot_{F} \vec{y})]$ » ou
En effet avec $0_{ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)} = {\vec{0}}_{E} \otimes \vec{v} \forall \vec{v} \in F$ et un élément quelconque $(\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ $\Rightarrow$ « ${\vec{u} \otimes \vec{v} + {\vec{0}}_{E} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] + ({\vec{0}}_{E} \cdot_{E} \vec{x}) [(\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})]$ ».

[9] En effet, avec $- (\vec{u} \otimes \vec{v}) = (- \vec{u}) \otimes \vec{v}$ et un élément quelconque $(\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ $\Rightarrow$ « ${\vec{u} \otimes \vec{v} + (- \vec{u}) \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) + (- \vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})]$ » soit,
En effet en factorisant sur $ℝ$ par $(\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})$ , « ${\vec{u} \otimes \vec{v} + (- \vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) + (- \vec{u} \cdot_{E} \vec{x})] (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})$ » puis
En effet en factorisant scalairement le 1^er facteur par $\vec{x}$ « ${\vec{u} \otimes \vec{v} + (- \vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = ([\vec{u} - \vec{u}] \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) = ({\vec{0}}_{E} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) = {{\vec{0}}_{E} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = 0_{ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)} (\vec{x}, \vec{y})$ » ${$ la factorisation scalaire étant l'opération inverse de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $[$ voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]}$ , enfin
En effet ceci étant vrai $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , on en déduit « $\vec{u} \otimes \vec{v} + (- \vec{u}) \otimes \vec{v} = 0_{ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)}$ ».
on obtiendrait une justification analogue en utilisant $- (\vec{u} \otimes \vec{v}) = \vec{u} \otimes (- \vec{v})$ et $\vec{u} \otimes {\vec{0}}_{F} = 0_{ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)} \dots$

[groupe_abélien-10] 10,0 et ^10,1 Un groupe abélien est un groupe ${$ c.-à-d. un ensemble sur lequel est définie une opération $($ notée $+$ ici $)$ qui est une loi de composition interne, associative, ayant un élément neutre et tel que tout élément de l'ensemble possède un symétrique $}$ commutatif $[$ la commutativité n'étant pas nécessaire pour définir un groupe $]$ .

[Abel-11] 11,0 et ^11,1 Niels Henrich Abel (1802 - 1829) mathématicien norvégien, connu pour ses travaux divers en analyse mathématique et aussi sur la résolution des équations en algèbre $\dots$

[12] En effet $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ on a « ${λ \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v} + \vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}})} (\vec{x}, \vec{y}) = λ [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) + (\vec{u^{'}} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v^{'}} \cdot_{F} \vec{y})] = λ [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] + λ [(\vec{u^{'}} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v^{'}} \cdot_{F} \vec{y})] =$ $λ \cdot {\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) + λ \cdot {\vec{u^{'}} \otimes \vec{v^{'}}} (\vec{x}, \vec{y})$ ».

[13] En effet $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , « ${(λ + μ) \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v})} (\vec{x}, \vec{y}) = (λ + μ) [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] = λ [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] + μ [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] = λ \cdot {\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) + μ \cdot {\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y})$ ».

[14] En effet $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ on a « ${(λ μ) \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v})} (\vec{x}, \vec{y}) = (λ μ) [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] = λ [μ (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] = {λ \cdot [μ \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v})]} (\vec{x}, \vec{y})$ ».

[15] En effet $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ on a « ${1_{ℝ} \cdot (\vec{u} \otimes \vec{v})} (\vec{x}, \vec{y}) = 1 [(\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})] = (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) = {\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y})$ ».

[espace_vectoriel-16] Un ensemble est un $ℝ$ -espace vectoriel s'il lui est associé une loi de composition interne $($ appelée « addition » $)$ avec lequel il constitue un groupe abélien et
Un ensemble est un $ℝ$ -espace vectoriel s'il lui est associé une loi de composition externe « multiplication par un élément de $ℝ$ » ayant les propriétés de distributivité à gauche relativement à l'addition de l'ensemble et à droite relativement à l'addition de $ℝ$ , d'associativité mixte et pour laquelle l'élément neutre multiplicatif de $ℝ$ est neutre à gauche pour la loi de composition externe.

[espace_singulier_à_droite_ou_à_gauche_d'une_forme_bilinéaire-17] L'espace singulier à droite de la forme bilinéaire « $f : E \times F \to ℝ$ » est le sous-espace vectoriel $S_{d} (f)$ de $F$ défini selon « $S_{d} (f) = {\vec{y} \in F, \forall \vec{x} \in E, f (\vec{x}, \vec{y}) = 0}$ » $[$ c.-à-d. tel que l'image de la forme bilinéaire de n'importe quel élément de $E$ et d'un élément de $S_{d} (f)$ soit $0]$ ;
L'espace singulier à droite cas particulier de la « multiplication scalaire sur $E$ forme bilinéaire $\cdot_{E} : E \times E \to ℝ$ » : « $S_{d} (\cdot_{E}) = {\vec{y} \in E, \forall \vec{x} \in E, \vec{x} \cdot_{E} \vec{y}) = 0} = {\vec{0}}_{E}$ » en effet seul $\vec{y} = {\vec{0}}_{E}$ donne un produit scalaire nul en étant multiplié scalairement à gauche par n'importe quel vecteur $\vec{x}$ .
L'espace singulier à gauche de la forme bilinéaire « $f : E \times F \to ℝ$ » est le sous-espace vectoriel $S_{g} (f)$ de $E$ défini selon « $S_{g} (f) = {\vec{x} \in E, \forall \vec{y} \in F, f (\vec{x}, \vec{y}) = 0}$ » $[$ c.-à-d. tel que l'image de la forme bilinéaire de n'importe quel élément de $F$ et d'un élément de $S_{g} (f)$ soit $0]$ ;
L'espace singulier à droite cas particulier de la « multiplication scalaire sur $E$ forme bilinéaire $\cdot_{E} : E \times E \to ℝ$ » : « $S_{g} (\cdot_{E}) = {\vec{x} \in E, \forall \vec{y} \in E, \vec{x} \cdot_{E} \vec{y}) = 0} = {\vec{0}}_{E}$ » en effet seul $\vec{x} = {\vec{0}}_{E}$ donne un produit scalaire nul en étant multiplié scalairement à droite par n'importe quel vecteur $\vec{y}$ .

[18] Voir la justification pour $\cdot_{E}$ dans la note « ¹⁷ » plus haut dans ce chapitre, celle pour $\cdot_{F}$ étant identique.

[notation_pour_une_forme_bilinéaire_non_dégénérée-19] 19,0 ^19,1 ^19,2 ^19,3 ^19,4 et ^19,5 Cette notation $($ personnelle $)$ pour représenter une forme bilinéaire non dégénérée quelconque définie sur $E \times E$ $($ ou sur $F \times F)$ utilise la notion de crochet de dualité définie sur $E^{*} \times E$ $($ ou sur $F^{*} \times F)$ introduite dans le paragraphe « notion d'espace bidual » plus loin dans ce chapitre .

[autre_notation_de_produit_tensoriel_de_2_espaces_vectoriels-20] Ou $E \otimes F$ en absence d'ambiguïté ;
« l'ensemble des formes bilinéaires de $E \times F$ noté $ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ » $[$ voir note « ⁵ » plus haut dans ce chapitre $]$ étant isomorphe à « l'ensemble des applications linéaires de $E \times F$ dans $ℝ$ du type “ ${\vec{u} \otimes \vec{v}}$ ” avec $(\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F$ » $($ c.-à-d. isomorphe à « $E \otimes_{ℝ} F$ » $)$ $[$ voir la « conclusion de la remarque 1' » associée à la note « ⁵ » plus haut dans ce paragraphe $]$ , on pourrait utiliser « $ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$ à la place de $E \otimes_{ℝ} F$ » mais cela ne sera fait que très rarement $\dots$

[21] Pratiquement l'introduction de l'application linéaire « $ι$ » de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ permet de créer, à partir de $\vec{x} \in E$ , une forme linéaire $ι (\vec{x})$ sur $E^{*}$ et par suite,
Pratiquement à partir des trois variables ${\begin{matrix} \vec{x} \in E & (1) \\ χ \in E^{*} & (2) \\ ι (\vec{x}) \in {(E^{*})}^{*} & (3) \end{matrix}}$ $[ι (\vec{x})$ restant à définir $]$ , « $ι$ » est définie en identifiant le crochet de dualité $⟨ χ, \vec{x} ⟩ = ⟨ ?_{2}, ?_{1} ⟩$ déjà défini au crochet de dualité $⟨ ι (\vec{x}), χ ⟩ = ⟨ ?_{3}, ?_{2} ⟩$ restant à définir d'où la définition de « $ι$ » par identification des crochets de dualité $\dots$

[simplification_d'écriture-22] 22,0 et ^22,1 La multiplication scalaire définie sur $E^{*}$ étant notée « $\cdot_{E^{*}}$ » et, dans le but de simplifier l'écriture, nous employons « ${\vec{u}}^{*} \in E^{*}$ pour la forme linéaire $\vec{u} \cdot_{E}$ définie sur $E$ ».

[simplification_d'écriture_-_bis-23] La multiplication scalaire définie sur $E^{*}$ étant notée « $\cdot_{E^{*}}$ » et, dans le but de simplifier l'écriture, nous employons « ${\begin{matrix} {\vec{u}}^{*} \in E^{*} \\ {\vec{x}}^{*} \in E^{*} \end{matrix}}$ pour les formes linéaires ${\begin{matrix} \vec{u} \cdot_{E} \\ \vec{x} \cdot_{E} \end{matrix}}$ définies sur $E$ ».

[canoniquement_isomorphes-24] 24,0 ^24,1 et ^24,2 Plus exactement deux espaces vectoriels entre lesquels on peut définir un isomorphisme indépendant de tout choix de bases dans l'un et l'autre de ces espaces sont dits « canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes »,
la raison pour laquelle $E$ et ${(E^{*})}^{*}$ sont canoniquement isomorphes est que le lien entre les deux est réalisé à l'aide du crochet de dualité entre $E$ et $E^{*}$ , lequel, dans le cas où ce dernier est construit à partir de la multiplication scalaire sur $E$ , est égal à un produit scalaire d'éléments de $E$ indépendant du choix de base dans $E$ .

[canoniquement_isomorphes_-_bis-25] Quand il y a isomorphisme canonique entre deux espaces vectoriels $[$ voir note « ²⁴ » plus haut dans ce chapitre $]$ , il est possible de les identifier $[$ c'est donc le cas pour ${E^{*}}^{*}$ et $E]$ ,
par contre quand l'isomorphisme dépend des bases choisies dans chaque espace vectoriel, l'identification devient impossible $[$ on peut montrer $($ mais on l'admettra $)$ que c'est le cas pour $E^{*}$ et $E]$ .

[autre_notation_d'un_dual-26] Le dual de $W$ étant l'ensemble des formes linéaires de $W$ est encore noté $L (W, ℝ)$ ou $L_{ℝ} (W, ℝ)$ ou encore ${E n d}_{ℝ} (W, ℝ)$ mais le plus souvent on se contente de $W^{*}$ .

[notation_personnelle_pour_noter_un_crochet_de_dualité-27] 27,0 et ^27,1 Notation $($ personnelle $)$ pour représenter un crochet de dualité quelconque construits à partir de $E$ $($ ou à partir de $F)$ .

[définition_du_produit_tensoriel_de_deux_vecteurs-28] 28,0 ^28,1 et ^28,2 Voir le paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (produit tensoriel de deux vecteurs) » plus haut dans ce chapitre.

[bidual_de_E-29] 29,0 ^29,1 et ^29,2 Le bidual ${(E^{*})}^{*}$ étant identifié à $E$ $[$ voir le paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre $]$ .

[identification_du_bidual_de_E_avec_E-30] 30,0 et ^30,1 Nous avons vu dans le paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre que le bidual ${(E^{*})}^{*}$ de $E$ pouvait être identifié avec ce dernier,
dans le cas prséent nous notons $ϖ^{*}$ l'élément de ${(E^{*})}^{*}$ associé à l'élément $ϖ$ de $E^{*}$ , $ϖ^{*} \in {(E^{*})}^{*}$ étant identifiable à un élément de $\vec{u} \in E$ .

[bidual_de_F-31] 31,0 et ^31,1 Le bidual ${(F^{*})}^{*}$ étant identifié à $F$ $[$ voir le paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre $]$ .

[identification_du_bidual_de_F_avec_F-32] 32,0 et ^32,1 Nous avons vu dans le paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre que le bidual ${(F^{*})}^{*}$ de $F$ pouvait être identifié avec ce dernier,
dans le cas présent nous notons $ω^{*}$ l'élément de ${(F^{*})}^{*}$ associé à l'élément $ω$ de $F^{*}$ , $ω^{*} \in {(F^{*})}^{*}$ étant identifiable à un élément de $\vec{v} \in F$ .

[ou_dual-33] 33,0 ^33,1 ^33,2 ^33,3 et ^33,4 Ou, en remplaçant n'importe quel $ℝ$ -espace vectoriel tridimensionnel par son dual, remplacement total ou partiel $\dots$

[mise_entre_parenthèses_inutile-34] 34,0 et ^34,1 La mise entre parenthèses $($ ou crochets ou accolades $)$ devenant inutile.

[notation_personnelle_pour_noter_un_crochet_de_dualité_-_bis-35] 35,0 et ^35,1 Notation $($ personnelle $)$ pour représenter un crochet de dualité quelconque construits à partir de $ℝ$ $($ ou à partir de $E)$ .

[choix_de_crochet_de_dualité_sur_R_et_E_(ou_F)-36] 36,0 et ^36,1 Le dual $ℝ^{*}$ de $ℝ$ est formé à l'aide de la multiplication $\times_{ℝ}$ $[$ usuellement omis ou noté $\times]$ $\Rightarrow$ le crochet de dualité correspondant « $⟨ ?_{1}, ?_{2} ⟩_{ℝ} = ⟨ ?_{1} \times_{ℝ}, ?_{2} ⟩ = (?_{1} \times_{ℝ} ?_{2}) \in ℝ$ » ;
le dual $E^{*}$ de $E$ est formé à l'aide de la multiplication scalaire $\cdot_{E}$ $\Rightarrow$ le crochet de dualité correspondant « $⟨ ?_{1}, ?_{2} ⟩_{E} = ⟨ ?_{1} \cdot_{E}, ?_{2} ⟩ = (?_{1} \cdot_{E} ?_{2}) \in ℝ$ » ;
le dual $F^{*}$ de $F$ est formé à l'aide de la multiplication scalaire $\cdot_{F}$ $\Rightarrow$ le crochet de dualité correspondant « $⟨ ?_{1}, ?_{2} ⟩_{F} = ⟨ ?_{1} \cdot_{F}, ?_{2} ⟩ = (?_{1} \cdot_{F} ?_{2}) \in ℝ$ ».

[37] En effet « $\forall (λ, \vec{x}, \vec{y}) \in ℝ \times E \times F$ », « ${a \otimes \vec{u} \otimes \vec{v}} (λ, \vec{x}, \vec{y}) = (a λ) (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y})$ » $[$ voir la note « ³⁶ » plus haut dans ce chapitre pour la définition du dual correspondant à chaque espace vectoriel $]$ ou encore « ${a \otimes \vec{u} \otimes \vec{v}} (λ, \vec{x}, \vec{y}) = (a \vec{u} \cdot_{E} λ \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) = {a \vec{u} \otimes \vec{v}} (λ \vec{x}, \vec{y})$ » effectivement « $\neq$ de ${\vec{u} \otimes \vec{v}} (λ \vec{x}, \vec{y})$ sauf si $a = 1$ » ;
en conclusion « $a \otimes \vec{u} \otimes \vec{v} \neq \vec{u} \otimes \vec{v}$ pour $a \in ℝ ∖ {1}$ », mais « $1_{ℝ} \otimes \vec{u} \otimes \vec{v} = \vec{u} \otimes \vec{v}$ » c.-à-d. que « $1_{ℝ}$ est l'élément neutre de sa multiplication tensorielle à gauche avec le produit tensoriel $\vec{u} \otimes \vec{v}$ de $E \otimes F$ ».

[38] En effet « $\forall (\vec{x}, \vec{y}, λ) \in E \times F \times ℝ$ », « ${\vec{u} \otimes \vec{v} \otimes a} (\vec{x}, \vec{y}, λ) = (\vec{u} \cdot_{E} \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) (a λ)$ » $[$ voir la note « ³⁶ » plus haut dans ce chapitre pour la définition du dual correspondant à chaque espace vectoriel $]$ ou encore « ${\vec{u} \otimes \vec{v} \otimes a} (\vec{x}, \vec{y}, λ) = (a \vec{u} \cdot_{E} λ \vec{x}) (\vec{v} \cdot_{F} \vec{y}) = {a \vec{u} \otimes \vec{v}} (λ \vec{x}, \vec{y})$ » effectivement « $\neq$ de ${\vec{u} \otimes \vec{v}} (λ \vec{x}, \vec{y})$ sauf si $a = 1$ » ;
en conclusion « $\vec{u} \otimes \vec{v} \otimes a \neq \vec{u} \otimes \vec{v}$ pour $a \in ℝ ∖ {1}$ », mais « $\vec{u} \otimes \vec{v} \otimes 1_{ℝ} = \vec{u} \otimes \vec{v}$ » c.-à-d. que « $1_{ℝ}$ est l'élément neutre de sa multiplication tensorielle à droite avec le produit tensoriel $\vec{u} \otimes \vec{v}$ de $E \otimes F$ ».

[forme_bilinéaire_non_dégénérée_particulière-39] Obtenue en choisissant comme forme bilinéaire non dégénérée de $E$ , celle formée à l'aide de la multiplication scalaire $\cdot_{E}$

[40] Considérons le produit tensoriel des deux $ℝ$ -espaces vectoriels $E$ et $F$ de dimension $3$ et
Considérons leur produit tensoriel $E \otimes F$ défini aussi comme l'ensemble des formes bilinéaires de $E^{*} \times F^{*}$ soit $E \otimes F \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)$
Considérons leur produit tensoriel $E \otimes F$ $[$ l'« identification de deux $ℝ$ -espaces vectoriels canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes étant notée par le symbole $\underset{isom.}{\overset{can.}{=}}$ » $]$ ,
on en déduit « le dual du produit tensoriel de $E$ et $F$ » $($ c.-à-d. la forme linéaire définie à partir de $E \otimes F)$ , par « ${E \otimes F}^{*} \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} L_{ℝ} [ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)]$ » ;
or la « forme bilinéaire $\vec{u} \otimes \vec{v}$ avec $(\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F$ » est définie comme la « composition de deux formes linéaires, respectivement sur $E$ et sur $F$ » selon
or la « forme bilinéaire $\vec{u} \otimes \vec{v}$ « $\forall (\vec{x}, \vec{y}) \in E \times F$ , ${\vec{u} \otimes \vec{v}} (\vec{x}, \vec{y}) = ⟨ {\vec{u}}^{*}, \vec{x} ⟩_{E} ⟨ {\vec{v}}^{*}, \vec{y} ⟩_{F}$ » où ${\begin{matrix} ⟨ ?, ? ⟩_{E} \\ ⟨ ?, ? ⟩_{F} \end{matrix}}$ sont des crochets de dualité définis sur chaque espace vectoriel, c.-à-d. des formes bilinéaires non dégénérées définies sur ${\begin{matrix} E^{*} \times E \\ F^{*} \times F \end{matrix}}$ impliquant que ${\begin{matrix} ⟨ {\vec{u}}^{*}, ? ⟩_{E} \\ ⟨ {\vec{v}}^{*}, ? ⟩_{F} \end{matrix}}$ sont des formes linéaires sur ${\begin{matrix} E \\ F \end{matrix}}$ ${$ voir la note « ³⁵ » et le paragraphe « notion d'espace bidual (crochet de dualité) » plus haut dans le chapitre $}$ et où $({\vec{u}}^{*}, {\vec{v}}^{*}) \in E^{*} \times F^{*}$ est le couple associé à $(\vec{u}, \vec{v}) \in E \times F$ par relation de dualité ; par suite
or le « dual de la forme bilinéaire $\vec{u} \otimes \vec{v}$ » est la « composition des duaux des deux formes linéaires, respectivement sur $E$ et sur $F$ », c.-à-d. encore la « composition de deux formes linéaires sur $E^{*}$ et sur $F^{*}$ » ${$ en effet l'« ensemble des formes linéaires sur $E$ étant $L_{ℝ} (E)$ », son « dual s'écrit selon ${L_{ℝ} (E)}^{*} = L_{ℝ} [L_{ℝ} (E)] = L_{ℝ} (E^{*})$ » $}$ dont on tire que
or le « dual de $\vec{u} \otimes \vec{v}$ est une forme bilinéaire de $E^{*} \times F^{*}$ » d'où « ${E \otimes F}^{*}$ c.-à-d. $L_{ℝ} [ℒ_{2} (E^{*} \times F^{*}, ℝ)]$ se réécrit ${E \otimes F}^{*} \underset{isom.}{\overset{can.}{=}} ℒ_{2} ({E^{*}}^{*} \times {F^{*}}^{*}, ℝ)$ » $($ voir la note « ⁵ » plus haut dans ce chapitre $)$ soit finalement « ${E \otimes F}^{*} = E^{*} \otimes F^{*}$ » par définition de ce dernier.

[définition_du_produit_tensoriel_de_deux_espaces_vectoriels-41] 41,0 et ^41,1 Voir le paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels » plus haut dans ce chapitre.

[remarque_2_sur_le_produit_tensoriel_de_deux_espaces_vectoriels-42] Voir le paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (remarque 2) » plus haut dans ce chapitre.

[symbole_signifiant_canoniquement_isomorphe-43] 43,0 ^43,1 ^43,2 ^43,3 ^43,4 et ^43,5 L'identification de deux $ℝ$ -espaces vectoriels canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes $($ voir les notes « ²⁴ » et « ²⁵ » plus haut dans ce chapitre $)$ étant notée $($ notation personnelle $)$ par le symbole $\underset{isom.}{\overset{can.}{=}}$ ».

[covariant_ou_contravariant-44] 44,00 ^44,01 ^44,02 ^44,03 ^44,04 ^44,05 ^44,06 ^44,07 ^44,08 ^44,09 ^44,10 ^44,11 ^44,12 ^44,13 ^44,14 ^44,15 ^44,16 ^44,17 ^44,18 ^44,19 ^44,20 ^44,21 ^44,22 ^44,23 ^44,24 ^44,25 ^44,26 ^44,27 ^44,28 ^44,29 ^44,30 ^44,31 et ^44,32 Une grandeur est dite covariante lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et contravariante quand elle varie de façon contraire.

[par_abus-n-45] C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur ne sont pas contravariantes.

[par_abus-n_-_bis-46] C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur ne sont pas covariantes.

[47] Voir le paragraphe « définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».

[puissance_tensorielle_d'un_espace_vectoriel_tridimensionnel-48] 48,0 ^48,1 ^48,2 ^48,3 ^48,4 ^48,5 ^48,6 ^48,7 et ^48,8 Voir le paragraphe « puissance tensorielle d'un espace vectoriel tridimensionnel » plus haut dans le chapitre.

[par_abus-p-49] 49,00 ^49,01 ^49,02 ^49,03 ^49,04 ^49,05 ^49,06 ^49,07 ^49,08 ^49,09 ^49,10 ^49,11 ^49,12 ^49,13 ^49,14 ^49,15 ^49,16 et ^49,17 C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur sont contravariantes.

[50] Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre un » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».

[par_abus-p_-_bis-51] 51,00 ^51,01 ^51,02 ^51,03 ^51,04 ^51,05 ^51,06 ^51,07 ^51,08 ^51,09 ^51,10 ^51,11 ^51,12 ^51,13 ^51,14 et ^51,15 C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur sont covariantes.

[2ème_type_de_tenseur_d'ordre_un-52] 52,0 et ^52,1 Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre un » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».

[53] Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».

[produit_tensoriel_de_2_tenseurs_d'ordre_1_covariants-54] Soit $(ϖ, ω) \in {E^{*}}^{2}$ un couple de tenseurs d'ordre $1$ covariants c.-à-d. un couple de formes linéaires de $E$ , le tenseur d'ordre $2$ covariant construit à partir des 1^ers est « $ϖ \otimes ω$ » tel que « $\forall (χ, ψ) \in {(E^{*})}^{2}$ , ${ϖ \otimes ω} (χ, ψ) = ⟨ ϖ^{*}, χ ⟩ ⟨ ω^{*}, ψ ⟩$ » $[$ on note $(ϖ^{*}, ω^{*})$ les éléments de ${(E^{*})}^{*}$ associés par dualité aux éléments $(ϖ, ω)$ de $E^{*}$ et par bidualité aux éléments $(\vec{u}, \vec{v})$ de $E$ , c.-à-d. qu'avec l'application linéaire « $ι$ de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ » on a « ${\begin{matrix} ι (\vec{u}) = ϖ^{*} \\ ι (\vec{v}) = ω^{*} \end{matrix}}$ » tel que « ${\begin{matrix} ⟨ ι (\vec{u}), χ ⟩ = ⟨ χ, \vec{u} ⟩ = χ (\vec{u}) \\ ⟨ ι (\vec{v}), ψ ⟩ = ⟨ ψ, \vec{v} ⟩ = ψ (\vec{v}) \end{matrix}}$ » $($ voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre $)]$ soit finalement « $\forall (χ, ψ) \in {(E^{*})}^{2}$ , ${ϖ \otimes ω} (χ, ψ) = χ (\vec{u}) ψ (\vec{v}) \in ℝ$ ».

[55] Ces définitions équivalentes étant en accord avec celle du paragraphe « définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».

[mixte-56] 56,00 ^56,01 ^56,02 ^56,03 ^56,04 ^56,05 ^56,06 ^56,07 ^56,08 ^56,09 ^56,10 et ^56,11 Appellation personnelle pour traduire que le tenseur n'est ni covariant ni contravariant mais un mélange des deux, plus exactement un torseur d'ordre $p$ « mixte » est contravariant d'ordre partiel $l \in [[1, p [[$ et covariant d'ordre partiel $m = p - l \dots$

[mixte_d'ordre_2-57] 57,0 ^57,1 ^57,2 ^57,3 ^57,4 ^57,5 ^57,6 et ^57,7 Le tenseur d'ordre $2$ « mixte » est donc contravariant d'ordre partiel $1$ et covariant d'ordre partiel $1 \dots$

[par_abus_-_ter-58] 58,0 ^58,1 ^58,2 ^58,3 ^58,4 ^58,5 ^58,6 et ^58,7 C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur sont partiellement covariante et contravariante.

[produit_tensoriel_de_2_tenseurs_d'ordre_1_l'un_contravariant_et_l'autre_covariant-59] Soit $(\vec{u}, ω) \in E \times E^{*}$ un couple de tenseurs d'ordre $1$ le 1^er contravariant et le 2^nd covariant c.-à-d. un couple de vecteur et forme linéaire de $E$ , le tenseur d'ordre $2$ “ mixte ” construit à partir des 1^ers est « $\vec{u} \otimes ω$ » tel que « $\forall (\vec{x}, ψ) \in E \times E^{*}$ , ${\vec{u} \otimes ω} (\vec{x}, ψ) = ⟨ {\vec{u}}^{*}, \vec{x} ⟩ ⟨ ω^{*}, ψ ⟩$ » $[$ on note $({\vec{u}}^{*}, ω^{*})$ le couple de $E^{*} \times {(E^{*})}^{*}$ associés par dualité au couple $(\vec{u}, ω)$ de $E \times E^{*}$ et le 2^ème élément du couple associé par bidualité à $\vec{v}$ de $E$ , c.-à-d. qu'avec l'application linéaire « $ι$ de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ » on a « $ι (\vec{v}) = ω^{*}$ » tel que « $⟨ ι (\vec{v}), ψ ⟩ = ⟨ ψ, \vec{v} ⟩ = ψ (\vec{v})$ » $($ voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre $)]$ soit finalement « $\forall (\vec{x}, ψ) \in E \times E^{*}$ , ${\vec{u} \otimes ω} (\vec{x}, ψ) = {\vec{u}}^{*} (\vec{x}) ψ (\vec{v}) \in ℝ$ » $[$ un exemple de forme linéaire de $E$ associée à $\vec{u} \in E$ étant ${\vec{u}}^{*} = \vec{u} \cdot_{E} \in E^{*}$ où $\cdot_{E}$ est la multiplication scalaire définie dans $E]$ .

[définitions_équivalentes_d'un_tenseur_d'ordre_2_mixte-60] 60,0 et ^60,1 Ces définitions équivalentes étant en accord avec celle du paragraphe « définition et propriété d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».

[produit_tensoriel_de_2_tenseurs_d'ordre_1_l'un_covariant_et_l'autre_contravariant-61] Soit $(ϖ, \vec{v}) \in E^{*} \times E$ un couple de tenseurs d'ordre $1$ le 1^er covariant et le 2^nd contravariant c.-à-d. un couple de forme linéaire et vecteur de $E$ , le tenseur d'ordre $2$ “ mixte ” construit à partir des 1^ers est « $ϖ \otimes \vec{v}$ » tel que « $\forall (χ, \vec{y}) \in E^{*} \times E$ , ${ϖ \otimes \vec{v}} (χ, \vec{y}) = ⟨ ϖ^{*}, χ ⟩ ⟨ {\vec{v}}^{*}, \vec{y} ⟩$ » $[$ on note $(ϖ^{*}, {\vec{v}}^{*})$ le couple de ${(E^{*})}^{*} \times E^{*}$ associés par dualité au couple $(ϖ, \vec{v})$ de $E^{*} \times E$ et le 1^er élément du couple associé par bidualité à $\vec{u}$ de $E$ , c.-à-d. qu'avec l'application linéaire « $ι$ de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ » on a « $ι (\vec{u}) = ϖ^{*}$ » tel que « $⟨ ι (\vec{u}), χ ⟩ = ⟨ χ, \vec{u} ⟩ = χ (\vec{u})$ » $($ voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre $)]$ soit finalement « $\forall (χ, \vec{y}) \in E^{*} \times E$ , ${ϖ \otimes \vec{v}} (χ, \vec{y}) = χ (\vec{u}) {\vec{v}}^{*} (\vec{y}) \in ℝ$ » $[$ un exemple de forme linéaire de $E$ associée à $\vec{v} \in E$ étant ${\vec{v}}^{*} = \vec{v} \cdot_{E} \in E^{*}$ où $\cdot_{E}$ est la multiplication scalaire définie dans $E]$ .

[62] En effet $(ϖ, \vec{v}) \in E^{*} \times E$ permet de construire « $ϖ \otimes \vec{v}$ » tel que « $\forall (χ, \vec{y}) \in E^{*} \times E$ , ${ϖ \otimes \vec{v}} (χ, \vec{y}) = χ (\vec{u}) {\vec{v}}^{*} (\vec{y}) \in ℝ$ » $($ voir la note « ⁶¹ » plus haut dans ce chapitre $)$ qui s'écrit encore, par commutativité de la multiplication dans $ℝ$ , « ${\vec{v}}^{*} (\vec{y}) χ (\vec{u}) = {\vec{v} \otimes ϖ} (\vec{y}, χ)$ » $($ voir la note « ⁵⁹ » plus haut dans ce chapitre après adaptation des notations $)$ d'où l'« identification de $\vec{v} \otimes ϖ$ appliqué à $(\vec{y}, χ)$ avec $ϖ \otimes \vec{v}$ appliqué à $(χ, \vec{y})$ » $\dots$ toutefois il ne faut pas en déduire la commutativité de la multiplication tensorielle entre $\vec{v}$ et $ϖ$ tout simplement parce que $\vec{v} \otimes ϖ$ et $ϖ \otimes \vec{v}$ ne s'appliquent pas sur les mêmes couples ordonnés d'éléments $\dots$

[produit_tensoriel_de_p_tenseurs_d'ordre_1_covariants-63] Soit « $({ϖ_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ p}) \in {E^{*}}^{p}$ un $p$ -uplet de tenseurs d'ordre $1$ covariants » c.-à-d. « un $p$ -uplet de formes linéaires ${ϖ_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ p}$ de $E$ », « le tenseur d'ordre $p$ covariant » construit à partir des 1^ers est « $\underset{i = 1 .. p}{\otimes} ϖ_{i}$ » tel que « $\forall ({χ_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ p}) \in {E^{*}}^{p}$ , ${\underset{i = 1 .. p}{\otimes} ϖ_{i}} ({χ_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ p}) = \prod_{i = 1 .. p} ⟨ ϖ_{i}^{*}, χ_{i} ⟩$ » $[$ on note $ϖ_{i}^{*}$ l'élément de ${(E^{*})}^{*}$ associé par dualité à l'élément $ϖ_{i}$ de $E^{*}$ et par bidualité à l'élément ${\vec{u}}_{i}$ de $E$ , c.-à-d. qu'avec l'application linéaire « $ι$ de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ » on a « $ι ({\vec{u}}_{i}) = ϖ_{i}^{*}$ » tel que « $⟨ ι ({\vec{u}}_{i}), χ_{i} ⟩ = ⟨ χ_{i}, {\vec{u}}_{i} ⟩ = χ_{i} ({\vec{u}}_{i})$ » $($ voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre $)]$ soit finalement « $\forall ({χ_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ p}) \in {E^{*}}^{p}$ , ${\underset{i = 1 .. p}{\otimes} ϖ_{i}} ({χ_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ p}) = \prod_{i = 1 .. p} χ_{i} ({\vec{u}}_{i}) \in ℝ$ ».

[produit_tensoriel_de_p_tenseurs_d'ordre_1_contravariants_et_covariants-64] Soit « $({{\vec{u}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ω_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)}) \in E^{k} \times {E^{*}}^{(p - k)}$ un $p$ -uplet de tenseurs d'ordre $1$ $[$ les 1^ers contravariants, les 2^nds covariants $]$ » ou « un $p$ -uplet de vecteurs ${{\vec{u}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}$ et formes linéaires ${ω_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)}$ de $E$ », « le tenseur d'ordre $p$ “ mixte ” $($ contravariant à gauche et covariant à droite $)$ » construit à partir des 1^ers « ${\underset{i = 1 .. k}{\otimes} {\vec{u}}_{i}} \otimes {\underset{j = 1 .. (p - k)}{\otimes} ϖ_{j}}$ » est tel que « $\forall ({{\vec{x}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ψ_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)}) \in E^{k} \times {E^{*}}^{(p - k)}$ , ${[\underset{i = 1 .. k}{\otimes} {\vec{u}}_{i}] \otimes [\underset{j = 1 .. (p - k)}{\otimes} ω_{j}]} ({{\vec{x}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ψ_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)}) = [\prod_{i = 1 .. k} ⟨ {\vec{u}}_{i}^{*}, {\vec{x}}_{i} ⟩] [\prod_{j = 1 .. (p - k)} ⟨ ω_{j}^{*}, ψ_{j} ⟩]$ » $[$ on note $({{\vec{u}}_{i}^{*}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ω_{j}^{*}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)})$ les éléments de ${(E^{*})}^{k} \times {{[E^{*}]}^{*}}^{(p - k)}$ associés par dualité aux éléments $({{\vec{u}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ω_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)})$ de $E^{k} \times {E^{*}}^{(p - k)}$ , les $(p - k)$ derniers éléments étant associés par bidualité à $({{\vec{v}}_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)})$ de $E^{(p - k)}$ , c.-à-d. qu'avec l'application linéaire « $ι$ de $E$ dans ${(E^{*})}^{*}$ » on a « $ι ({\vec{v}}_{j}) = ω_{j}^{*}$ » tel que « $⟨ ι ({\vec{v}}_{j}), ψ_{j} ⟩ = ⟨ ψ_{j}, {\vec{v}}_{j} ⟩ =$ $ψ_{j} ({\vec{v}}_{j})$ » $($ voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre $)]$ soit finalement « $\forall ({{\vec{x}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ψ_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)}) \in E^{k} \times {E^{*}}^{(p - k)}$ , ${[\underset{i = 1 .. k}{\otimes} {\vec{u}}_{i}] \otimes [\underset{j = 1 .. (p - k)}{\otimes} ω_{j}]} ({{\vec{x}}_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ k}, {ψ_{j}}_{1 ⩽ j ⩽ (p - k)})$ $= [\prod_{i = 1 .. k} {\vec{u}}_{i}^{*} ({\vec{x}}_{i})] [\prod_{j = 1 .. (p - k)} ψ_{j} ({\vec{v}}_{j})] \in ℝ$ »
$[$ un exemple de forme linéaire de $E$ associée à ${\vec{u}}_{i} \in E$ étant ${\vec{u}}_{i}^{*} = {\vec{u}}_{i} \cdot_{E} \in E^{*}$ où $\cdot_{E}$ est la multiplication scalaire définie dans $E]$ .

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