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Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Les matrices carrées, leur réduction, applications
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices carrées, leur réduction, applications », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
1ère définition [1] : « Réduire la matrice carrée ![{\displaystyle \;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d52bdc12a6c2615a464f35ca23c8baf1537317f)
de dimension 
ou taille
» identifiable à
1ère définition : « Réduire « la matrice d'un endomorphisme 
d'un 
-espace vectoriel 
de dimension dans une base particulière 
de » c.-à-d.
1ère définition : « Réduire « la matrice d'un endomorphisme 
«![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/033af87eae5156a128bbe93e0b6f9793f41642d6)
» c'est
1ère définition : « faire un changement de bases de avec une matrice de passage ![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40536214879b7071120527abd0ad38347abebc98)
de la base initiale à la nouvelle base 
»
1ère définition : « faire un changement de bases de 
tel que « la nouvelle matrice ![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77958e7f899e569428f6a907728a058f78969e80)
de l'endomorphisme de
1ère définition : « faire un changement de bases de tel que « la nouvelle matrice dans la base particulière soit simplifiée au mieux à l'instar de
1ère définition : « faire un changement de bases de tel que « la matrice initiale ![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff99da233a25805dc77e57efdbbb01bad631592f)
de l'endomorphisme 
de
1ère définition : « faire un changement de bases de tel que « la matrice initiale ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38cf40f40260df0d7573cf5e89100fa8053927df)
dans la base initiale » [2], c'est donc
1ère définition : « trouver une matrice de passage de la base initiale à la nouvelle base de » telle que
1ère définition : « trouver une matrice de passage ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c1a987770b67a63093655fc291956ef69eb380)
«![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c06184b2b26603eea8a7036b369ba316a327eb1)
soit la plus
1ère définition : « trouver une matrice de passage «
simple possible [2] par rapport à 
» ou, telle que
1ère définition : « trouver une matrice de passage «![{\displaystyle \;\left[B\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c382aacb683b3b00e56374fd87f29ee98d637f9)
soit simplifiée au mieux [2] 
à ![{\displaystyle \;\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2911291b192c80e3aed908c7f5667327115c33ec)
».
Définition équivalente [1] : « Réduire la matrice carrée de dimension ou taille »
Définition équivalente : « Réduire la matrice carrée ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725908a9d0d60f8f8facdc7e0d7bed860421257d)
c'est donc aussi « trouver une matrice ![{\displaystyle \;\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8f204597707545b4b82dca7f69ea275289c3d1)
semblable à la matrice initiale [3],
Définition équivalente : « Réduire la matrice carrée c'est donc aussi « trouver une matrice ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d1f0283c76b06cc08d11fae77e3b6134ed34da)
la plus simple possible [2] relativement à la matrice initiale ».
Nous essaierons tout d'abord d'obtenir la réduction de la matrice carrée étudiée sous la forme la plus simple c.-à-d. sous forme diagonale [2] ce qui n'est possible que sous conditions.
« Diagonaliser une matrice carrée » de dimension ou taille représentant un endomorphisme du -espace vectoriel de dimension
« Diagonaliser une matrice carrée ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[A\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c825a52dedbfabb1f4d70979fb7b99e8da6475d)
» c'est faire un changement de bases de caractérisé par la matrice de passage de la base initiale vers la nouvelle base [4]
« Diagonaliser une matrice carrée » c'est faire un changement de bases de tel que la nouvelle matrice 
de l'endomorphisme de dans la base [5] soit « diagonale » ;
« Diagonaliser une matrice carrée » c'est aussi trouver une matrice ![{\displaystyle \;\left[P\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd272409461d80e3a9acc88c6328805e2989d65)
inversible pour que la matrice soit semblable à une matrice ![{\displaystyle \;\left[D\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fc1192dea96a4470587c8efc28440029f2fce5)
[3] diagonale c.-à-d.
« Diagonaliser une matrice carrée » c'est aussi trouver inversible telle que ![{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95e727c312ecf4736c5023febcd6aa543ade367)
soit une matrice diagonale ![{\displaystyle \;\left[D\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596c75df1f74a905737a9e32ebc0cd3e573974f5)
.
Supposons la « matrice ![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba9fd4d9b16bc4e71f4a935d0276ae88d81e27c3)
diagonalisable » et
introduisons son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\right)=X^{n}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{n-1}+f_{2}(\left[A\right])\;X^{n-2}-\cdots +(-1)^{n}\;f_{n}(\left[A\right])\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ec4f4ce886c581ca8779cceb586dcfede4e8ca)
» [6] avec
introduisons son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{k}(\left[A\right])=\sum _{I\,\subset \,\left\lbrace 1,\,\dots ,\,n\right\rbrace }^{\mathrm {card} (I)=k}\mathrm {\det } \!\left(A_{I,\,I}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76160dda5c5ced44ff42f642b22f87ca41b5d6b1)
» c.-à-d. la somme des mineurs principaux d'ordre 
de [7] où
introduisons son polynôme caractéristique «
est une partie à éléments [8] de l'ensemble des entiers naturels 
»
introduisons son polynôme caractéristique dont, plus particulièrement, 
«![{\displaystyle \;f_{n}(\left[A\right])=\mathrm {det} \!\left(A\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96433bc6d9a0bb9eb00689d6f83a8e4ebb45980)
» c.-à-d. le déterminant de la matrice [9] et
introduisons son polynôme caractéristique dont, plus particulièrement, «![{\displaystyle \;f_{1}(\left[A\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}a_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(A\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f812425f02f4a661e371d6c5bc654704f77bd07)
» c.-à-d. la trace de la matrice [10] ;
considérons « l'endomorphisme du -espace vectoriel de dimension que la matrice représente dans le couple de bases 
»
considérons « l'endomorphisme du 
-espace vectoriel de dimension 
où «
est une base choisie dans » [11],
considérons « l'endomorphisme du -espace vectoriel de dimension 
étant tel que «» et
considérons « son polynôme caractéristique 
» défini comme celui de la matrice le représentant dans le couple de bases [12]
considérons « son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\varphi }(X)=p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\right)=X^{n}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{n-1}+f_{2}(\left[A\right])\;X^{n-2}-\cdots +(-1)^{n}\;f_{n}(\left[A\right])\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787a1081d3daaf5802f1bb8a2c6f1c5e06ebdc2d)
» ;
« les valeurs propres 
de l'endomorphisme [13] étant les racines de son polynôme caractéristique » [14] vérifient «![{\displaystyle \;p_{\varphi }(\lambda )=\mathrm {det} \!\left(\lambda \,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\right)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5877b050813fcf65f2b61264b5cab9fac2e087)
» ou
« les valeurs propres 
de l'endomorphisme étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient «![{\displaystyle \;\lambda ^{n}-f_{1}(\left[A\right])\;\lambda ^{n-1}+f_{2}(\left[A\right])\;\lambda ^{n-2}-\cdots +(-1)^{n}\;f_{n}(\left[A\right])=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810396419521da755890ce79fe999977300656d4)
» c.-à-d.
« les valeurs propres de l'endomorphisme étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « une équation polynomiale ou algébrique
à cœfficients réels de degré »,
« les valeurs propres de l'endomorphisme étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « le nombre maximal de racines réelles de cette équation polynomiale étant » 
« les valeurs propres de l'endomorphisme étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « il y a au maximum valeurs propres de l'endomorphisme » [15],
« les valeurs propres de l'endomorphisme étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « chaque valeur propre pouvant être « simple ou algébriquement multiple » [16].
Conditionadmisepour qu'une matricesoit diagonalisable : ssi la somme des multiplicités géométriques [16] de ses valeurs propres [15] est égale à sa dimensionou taille
,
Condition
admise
pour qu'une matricesoit diagonalisable : les racines de son polynôme caractéristique sont toutes réelles en étant simples ou
Conditionadmisepour qu'une matricesoit diagonalisable : les racines de son polynôme caractéristique sont toutes réelles en étant à multiplicités algébrique et géométrique égales [16].
Nous proposons trois exemples de tentative de diagonalisation de matrice carrée de dimension ou taille 
, chacun des exemples soulignant un aspect particulier de la méthode à utiliser :
Nous proposons trois exemples de tentative de diagonalisation 1er exemple, le polynôme caractéristique a deux racines réelles distinctes matrice diagonalisable,
Nous proposons trois exemples de tentative de diagonalisation 2nd exemple, le polynôme caractéristique a une racine réelle double matrice non diagonalisable et
Nous proposons trois exemples de tentative de diagonalisation 3ème exemple, le polynôme caractéristique n'a pas de racines réelles matrice non diagonalisable.
Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 diagonalisable, à polynôme caractéristique ayant deux racines réelles simples
[modifier | modifier le wikicode] Soit la matrice carrée ![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&-2\\2&-2\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69472d867f4ab26fed6829da5bd6562d0e7e91a0)
que l'on se propose de diagonaliser si toutefois elle l'est ;
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[A\right]}(X)=X^{2}-f_{1}(\left[A\right])\;X+f_{2}(\left[A\right])\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe6b2f6b05654d706aa7839c682be0e12937e3c)
» avec
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{2}(\left[A\right])=\mathrm {det} \!\left(A\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc537aee16c4fbbd1b6fb8e8a1abb1b37fceb82d)
» c.-à-d. le déterminant de la matrice [9] soit «
» et
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{1}(\left[A\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]}a_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(A\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27c1bfa360009bac2e02de0e2d20e389c1bcb06)
» c.-à-d. la trace de la matrice [10] soit «
» d'où
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[A\right]}(X)=X^{2}-X-2\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72b78446b0afa31cf234314521b7e2b2f4c6886)
» ;
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » de discriminant 
« l'existence de deux valeurs propres simples 
»,
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique [16] de chaque valeur propre simple étant 
[17], [18] condition de diagonalisation de la matrice vérifiée à savoir
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « la somme des multiplicités géométriques [16] en cas de valeurs propres réelles égale à la dimension ou taille de la matrice » [19] ;
on poursuit en « déterminant le vecteur propre à un facteur multiplicatif près 
associé à chaque valeur propre 
», avec 
la base où représente l'endomorphisme étudié,
on poursuit « pour 
» le vecteur propre 
de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ba93ed156a23fb3a4243cdd59bd32d0f083bde)
dans la base » doit vérifier «![{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[X_{1}\right]=\lambda _{1}\left[X_{1}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade019df19d745346c27475df69349c4a7bec688)
» soit
on poursuit « pour 
» ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c}3&-2\\2&-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe4481a1ee378811a857b1516b288789922c195)
ou ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c}3&-2\\2&-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c14ab18951253d0ce6d76ea86b684f5ccc37f47)
[20] 
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c}3-2&-2\\2&-2-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8cbe2ed853d232fbf8f7d59821fdefb371fd633)
on poursuit « pour » 
[21] 
valeurs parmi lesquelles on choisit arbitrairement «![{\displaystyle \;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}=2\\x_{2,\,1}=1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b3e7e13eeb4d90ecd63d545c5143f94a4bcda1)
» et
on poursuit « pour 
» le vecteur propre 
de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[X_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}\\x_{2,\,2}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd3b2eaf1ee5c64194e976b55499cf98760755a)
dans la base » doit vérifier «![{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[X_{2}\right]=\lambda _{2}\left[X_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d1b5c2e4eaceac24a31246d73abac5dcf91118)
» soit
on poursuit « pour 
» ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c}3&-2\\2&-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}\\x_{2,\,2}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}\\x_{2,\,2}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acd596b784bf3e55ac615d63bf0d31396e04f66)
ou ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c}3&-2\\2&-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}\\x_{2,\,2}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}\\x_{2,\,2}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c11deee81be15b6695f33a4a292e22b92da11d)
[20] ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c}3+1&-2\\2&-2+1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}\\x_{2,\,2}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68bd542156b0d1b9ade365e08920c09d8eff824d)
on poursuit « pour » 
[21] 
valeurs parmi lesquelles on choisit arbitrairement «![{\displaystyle \;\left[X_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}=1\\x_{2,\,2}=2\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b4cb57a8eb8ace15c3c3b76ad78ebf05245e1e)
» ;
on en déduit « la matrice de passage de la base vers la base 
des vecteurs propres de l'endomorphisme » [4] la matrice le représentant y étant diagonale[22] soit
on en déduit «![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7522266c649a9b8ab76a100df33a83d014848d17)
![{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}=2\!\!&x_{1,\,2}=1\\x_{2,\,1}=1\!\!&x_{2,\,2}=2\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667a0feca20037e4bd27e81c28f043176ee8fc8a)
» [23] puis
on en déduit « sa matrice inverse ![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ad0504c43dc2ece71af908eedbab91a8d3b980)
définie par ![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[I_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec876f53261ad1da41bca9ebe262e0c08bd2094)
où ![{\displaystyle \;\left[I_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b152884fda1f7d8d133d120cbedc0c2c1e0f867)
est la matrice identité de dimension , soit, en posant ![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/032f74798467964bf2a09f7a86be38122addb240)
» telle que
on en déduit « sa matrice inverse ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53f161cc157059b94eb51df897b89745bf2e591)
définie par ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}2&1\\1&2\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab812643bbd5d4c5397bcf0695b99b1175f77949)
ou, en développant le produit matriciel [24], le système de 
équations algébriques linéaires à inconnues
on en déduit « sa matrice inverse définie par 
[25] 
«![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {2}{3}}&-{\dfrac {1}{3}}\\-{\dfrac {1}{3}}&{\dfrac {2}{3}}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1002d866e2a3566e563256f4557710ba3311b906)
» ;
enfin on réalise « le changement de bases de vers la base des vecteurs propres de l'endomorphisme pour que la matrice de ce dernier dans la nouvelle base soit diagonale »
enfin on réalise « le changement de bases de 
vers la base 
selon la formule «![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace X\right\rbrace ,\left\lbrace X\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e3c86c88a774a0b9d0a216d1a2cd12d2ed23f8)
» [5] soit,
enfin on réalise « le changement de bases de vers la base avec «![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2ae03b7909a6733b822013aadf89642a75a68f)
» et «![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace X\right\rbrace ,\left\lbrace X\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[D\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/222e83429ba2be4f942b112d96f77e8e74cad277)
la matrice diagonale cherchée »,
enfin on réalise « le changement de bases de vers la base selon la formule «![{\displaystyle \;\left[D\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83df1281c29c06734ced937c9cb06b65a578d5ba)
» dans lequel
enfin on réalise « le changement de bases de vers la base avec «![{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c c}3&-2\\2&-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}2&1\\1&2\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}4&-1\\2&-2\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f541479c5cf6d3606388236eed707adb123cc94)
» [24]
enfin on réalise « le changement de bases de vers la base avec «![{\displaystyle \;\left[D\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {2}{3}}&-{\dfrac {1}{3}}\\-{\dfrac {1}{3}}&{\dfrac {2}{3}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}4&-1\\2&-2\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}2&0\\0&-1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0593eb0b420ce30c6fce0067744ccf52107097de)
» [24] soit
enfin on réalise « le changement de bases de vers la base avec «![{\displaystyle \;\left[D\right]=\left[{\begin{array}{c}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba492ae767f0c3974ad05b61402275ecccdaa82)
» « matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres
enfin on réalise « le changement de bases de vers la base avec «![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[D\right]=\left[{\begin{array}{c}\lambda _{1}&0\end{array}}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e6f068c386157f22df47e55713318b005bc5de)
» « de l'endomorphisme représenté par » [22], [26].
Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double
[modifier | modifier le wikicode] Soit la matrice carrée ![{\displaystyle \;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b890b386e95d7eaf060251eaa4160f80e37b7a6f)
que l'on se propose de diagonaliser si toutefois elle l'est ;
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[B\right]}(X)=X^{2}-f_{1}(\left[B\right])\;X+f_{2}(\left[B\right])\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f476b9ad21a3fdb97ad786b748d9278d6e355689)
» avec
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{2}(\left[B\right])=\mathrm {det} \!\left(B\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ac085376c2790f65b72ea3bd9df2bff5c8ca64)
» c.-à-d. le déterminant de la matrice ![{\displaystyle \;\left[B\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2685fb2a2f23773ecad215b0e700233b3b1820e0)
[9] soit «
» et
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{1}(\left[B\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]}b_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(B\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee2048590fb384e64432cdb392a4bfd00a82e3c)
» c.-à-d. la trace de la matrice [10] soit «
» d'où
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[B\right]}(X)=X^{2}-4\;X+4\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde1cf1597f7e014ad6b2bb2999c2120c9522e3c)
» ;
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » de discriminant réduit 
« l'existence d'une unique valeur propre double 
»,
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique [16] de cette seule valeur propre double [27] étant en fait 
à sa multiplicité algébrique [28] est donc égale à 
,
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « la somme des multiplicités géométriques [16] en cas de valeurs propres réelles est à la dimension ou taille de la matrice » [19]
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » c.-à-d. la condition de diagonalisation de la matrice n'est pas vérifiée n'est pas diagonalisable [19].
La tentative de diagonalisation ayant échouée nous pourrions nous arrêter ici, mais néanmoins
nous poursuivons pour déterminer le sous-espace vectoriel propre de dimension [29] associé à la valeur propre double 
on poursuit en « déterminant le vecteur propre à un facteur multiplicatif près 
associé à la valeur propre 
» [29], avec la base où représente l'endomorphisme étudié,
on poursuit « pour » le vecteur propre 
de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[X_{d}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0edba3b39bcf4c0054e9a7c9aff062af33025bb5)
dans la base » doit vérifier «![{\displaystyle \;\left[B\right]\times \left[X_{d}\right]=\lambda _{d}\left[X_{d}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7c75a800bfdbad42e6881a1aa924a06b57723a)
» soit
on poursuit « pour 
» ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2446aeb6b86492c7f15b342a3b06ce35229cc671)
ou ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6489b4f3c881169f3b3c77e1c4f5d8062ba945ea)
[20] ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c}3-2&-1\\1&1-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148c920319e20d10da5110628712dd381e5e3696)
on poursuit « pour » 
[21] 
valeurs parmi lesquelles on choisit arbitrairement «![{\displaystyle \;\left[X_{d}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}=1\\x_{2,\,d}=1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9fabd5aa77b304d5c921add3db0237d1e101dc)
».
Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant pas de racines réelles
[modifier | modifier le wikicode] Soit la matrice carrée ![{\displaystyle \;\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&1\\-3&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f705daf4a71844c7c2d1843e7e8774ec2222880)
que l'on se propose de diagonaliser si toutefois elle l'est ;
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[C\right]}(X)=X^{2}-f_{1}(\left[C\right])\;X+f_{2}(\left[C\right])\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c636960eadd9e122ebd009e1e74615fb5be507be)
» avec
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{2}(\left[C\right])=\mathrm {det} \!\left(C\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa52a5bfda794096c5c0519197a882016d9534b2)
» c.-à-d. le déterminant de la matrice ![{\displaystyle \;\left[C\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949c243767f9dd0e047dc2aca5523bc68b245364)
[9] soit «
» et
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{1}(\left[C\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]}c_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(C\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e35735b3aaf337211ed369bba6a67a460ffd04)
» c.-à-d. la trace de la matrice [10] soit «
» d'où
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[C\right]}(X)=X^{2}-4\;X+6\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c35a05e9cb97910f8d8655a17caebb259498843)
» ;
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » de discriminant réduit 
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « l'absence de valeurs propres réelles de l'endomorphisme que la matrice représente dans la base 
du
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « l'absence de valeurs propres réelles de l'endomorphisme que la matrice 
-espace vectoriel définition et image de l'endomorphisme »,
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » c.-à-d. la condition de diagonalisation de la matrice n'est pas vérifiée ![{\displaystyle \;\left[C\right]==\left[{\begin{array}{c c}3&1\\-3&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb31b9394fd9e5045501845cc914d65591c4c7ba)
n'est pas diagonalisable [19].
La méthode de diagonalisation d'une matrice carrée de dimension ou taille fixée
La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension ou taille, revoir les exemples de tentative de diagonalisation de matrices de dimension ou taille 
plus haut dans ce chapitre c.-à-d.
La méthode de diagonalisation étant indépendante « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 diagonalisable, à polynôme caractéristique ayant deux racines réelles simples »,
La méthode de diagonalisation étant indépendante « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double » et
La méthode de diagonalisation étant indépendante « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant pas de racines réelles »,
La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension ou taille
, nous n'exposerons que deux exemples pour lesquels la dimension ou taille 
apporte une nouveauté ;
La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension ou taille, les matrices des deux exemples suivants ayant « même polynôme caractéristique »
La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension ou taille, les matrices représentent chacune « un endomorphisme sur un même -espace vectoriel dans une même base
La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension ou taille, les matrices représentent chacune « ayant mêmes valeurs propres » mais
La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension ou taille, les matrices représentent chacune « à sous-espaces vectoriels propres associés aux valeurs propres différents »,
La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension ou taille, le polynôme caractéristique commun des matrices des deux exemples exposés ci-après
La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension ou taille, le polynôme caractéristique commun ayant deux racines réelles, une double et une simple mais
La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension ou taille, le polynôme caractéristique commun la matrice du 1er exemple est non diagonalisable [30] et
La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension ou taille, le polynôme caractéristique commun celle du 2ème exemple est diagonalisable [31].
Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double et une simple
[modifier | modifier le wikicode] Soit la matrice carrée ![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf6d28e4f954965f89d131b39e0b2d9aa81582f)
que l'on se propose de diagonaliser si toutefois elle l'est ;
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[A\right]}(X)=X^{3}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{2}+f_{2}(\left[A\right])\;X-f_{3}(\left[A\right])\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82031fa79d92533c95c21da283864c9cff2e8634)
» avec
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{3}(\left[A\right])=\mathrm {det} \!\left(A\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/604995ab6f1052b48b03841967b86a197beba849)
» c.-à-d. le déterminant de la matrice [9] soit
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;\color {transparent}{f_{3}(\left[A\right])=}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc0876a7221a9fa2b46211e80b78486703a74dd)
«
» [32],
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{1}(\left[A\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}a_{i,\,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3d720cdb1755a1b7a0a2749b37b23e0f71e137)
» c.-à-d. la trace de la matrice [10] soit «
» et
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{2}(\left[A\right])=\sum _{I\,\subset \,\left\lbrace 1,\,\dots ,\,3\right\rbrace }^{\mathrm {card} (I)=2}\mathrm {\det } \!\left(A_{I,\,I}\right)=\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 1,\,2\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 1,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 2,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 2\,,\,3\right\rbrace }\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f76914ec339f326fb775bf6c7c57922c4c9e858)
» c.-à-d.
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;\color {transparent}{f_{2}(\left[A\right])=}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597f42b8e0780824cbca1613b742140152ae0192)
la somme des mineurs principaux d'ordre de [7] où est une partie à éléments [8] de l'ensemble des entiers naturels
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique « la somme des mineurs principaux d'ordre 
de où 
est une partie à éléments de l'ensemble 
soit
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{2}(\left[A\right])={\begin{array}{|c c|}\;1&1\;\\\;3&1\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;1&-1\;\\\;1&1\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;1&1\;\\\;1&1\;\end{array}}=(-2)+(2)+0=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959567a89bed4df3d827d869744e7cee4be2606d)
» d'où
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[A\right]}(X)=X^{3}-3\;X^{2}+4\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b1c63503629822add8e844eb726fd25613e5bc)
» ;
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir découvert une « racine évidente 
» et
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir « factorisé le polynôme caractéristique par 
en effectuant la division euclidienne de 
par
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir « factorisé le polynôme caractéristique par 
en effectuant la division euclidienne selon les puissances 
» :
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement la réécriture du polynôme caractéristique de la matrice selon «![{\displaystyle \;p_{\left[A\right]}(X)=\left(X+1\right)\left(X^{2}-4\;X+4\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9404d20b1e8f52a38ff3f07d2431b4a53efc6b5d)
» ou,
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement en reconnaissant l'identité remarquable «
»,
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement la forme entièrement factorisée du polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[A\right]}(X)=\left(X+1\right)\left(X-2\right)^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe557e88c269e004c83bca13892f6866f18db69f)
»
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « l'existence d'une valeur propre réelle simple 
et d'une valeur propre réelle double »,
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique [16] de la valeur propre simple étant [17], [18], il ne reste qu'à déterminer celle de la valeur propre double
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de la valeur propre simple étant 
, pour savoir si la matrice est diagonalisable [19] ;
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique [16] de la valeur propre double [27] étant en fait à sa multiplicité algébrique
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de la valeur propre double 
voir sous-paragraphe « détermination de vecteur(s) propre(s) » ci-après,
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique est donc égale à d'où
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « la somme des multiplicités géométriques [16] des valeurs propres toutes réelles est à la dimension ou taille de la matrice » [19]
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » c.-à-d. condition de diagonalisation de la matrice non vérifiée n'est pas diagonalisable [19] ;
nous devons poursuivre pour déterminer le sous-espace vectoriel propre associé à la valeur propre double de dimension ou [33] on poursuit en « déterminant le(s) vecteur(s) propre(s) à un facteur multiplicatif près associé(s) à la valeur propre double » [33] avec 
on poursuit en « déterminant le(s) vecteur(s) propre(s) à un facteur multiplicatif près 
associé(s) à la valeur propre double » avec la base où représente l'endomorphisme étudié,
on poursuit « pour » tout vecteur propre 
de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[X_{d}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85446e2a1cc3fa7ddb679646f7a4be17e032c014)
dans la base » doit vérifier «![{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[X_{d}\right]=\lambda _{d}\left[X_{d}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd8185fe66ed322441f422552096e4785c65356)
» soit
on poursuit « pour » ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1075a79f82aef8c1d81733dfb6ee290686ed716f)
ou ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb699feba7b3c56457abdf1899c1638b147e7d43)
[34] ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c c}1-2&1&-1\\3&1-2&1\\1&1&1-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f61ad38d7e4030bdcae3d9311cfbd530b82f62)
on poursuit « pour » 
[35] soit, en substituant 
par 
[36], 
,
on poursuit « pour » l'équation 
étant une C.L. [37] de «
» et «
» selon «![{\displaystyle \;({\mathfrak {2}})={\dfrac {3}{2}}\left[({\mathfrak {3}})-({\mathfrak {1}})\right]-{\dfrac {1}{2}}\left[({\mathfrak {3}})+({\mathfrak {1}})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef383b0511f4c9ca3323fc2e01eb3fb583c38615)
» [38],
on poursuit « pour » le système de équations algébriques linéaires à inconnues se réduit au système de équations algébriques linéaires à inconnues suivant
on poursuit « pour » le système de 
équations algébriques linéaires à inconnues se réduit au système «
»
on poursuit « pour » la solution générale vérifie 
définissant « un seul vecteur propre à un facteur multiplicatif près associé à la valeur propre double 
,
on poursuit « pour » la solution générale vérifie 
définissant « un seul vecteur propre 
de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[X_{d}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82148c274f14e4ecd294925ad276824a442aab65)
dans la base » d'où
on poursuit « pour » le sous-espace vectoriel propre associé à la valeur propre double étant de dimension , la multiplicité géométrique [16] de cette dernière est C.Q.F.V. [39]
on poursuit « pour » « la somme des multiplicités géométriques [16] des valeurs propres 
étant égale à 
diffère de la dimension ou taille 
de la matrice » [19]
on poursuit « pour » d'où le caractère « non diagonalisable » de la matrice ![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77db079dc16a2b1816aae64cc6dfb5c0c3ecbd1e)
.
Ayant établi que la matrice carrée est non diagonalisable, nous pourrions nous arrêter ici, mais néanmoins
nous poursuivons pour déterminer le sous-espace vectoriel propre de dimension [40] associé à la valeur propre simple 
on poursuit donc en « déterminant le vecteur propre [41] 
associé à la valeur propre simple » [40] avec la base où représente l'endomorphisme étudié,
on poursuit donc « pour » le vecteur propre 
de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a6598c9e0e0a5e5a9fc1aa32a1e6e15217439c)
dans la base » doit vérifier «» soit
on poursuit donc « pour 
» ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7440f5e1f2438e3bdf16ab298b926f8b7c1b4d5b)
ou ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58100316fc6aa2d3e3a3fb0b80e301069f7d2d22)
[34] ou, en regroupant dans le membre de gauche,
on poursuit donc « pour » ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c c}1-(-1)&1&-1\\3&1-(-1)&1\\1&1&1-(-1)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685e9303934872f70b256cd21c0079c675914152)
[35] soit,
on poursuit donc « pour » en substituant 
par 
[36], 
,
on poursuit donc « pour » l'équation 
étant une C.L. [37] de «
» et «
» selon ![{\displaystyle \;({\mathfrak {3}}')={\dfrac {1}{3}}\left[({\mathfrak {2}}')+({\mathfrak {1}}')\right]+{\dfrac {2}{3}}\left[({\mathfrak {2}}')-2\;({\mathfrak {1}}')\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3369ead538224650900ecb5e6d637bc20fe8f6ec)
[38],
on poursuit donc « pour » le système de équations algébriques linéaires à inconnues se réduit au système de équations algébriques linéaires à inconnues suivant
on poursuit donc « pour » «
» la solution générale vérifiant 
définit pour « vecteur propre [41]
on poursuit donc « pour » «
» 
» de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[X_{1}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bb8e366ba45026f5fee4af633271566e7adcaf)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}3\\-5\\1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2185433da817101e6d8db1a7bd2a698435262309)
dans la base
on poursuit donc « pour » «» 
» associé à la valeur propre simple » C.Q.F.D. [42].
Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 diagonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double et une simple
[modifier | modifier le wikicode] Soit la matrice carrée ![{\displaystyle \;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ef0ba3e4da963064014dc175a7512008fd72fb)
que l'on se propose de diagonaliser si toutefois elle l'est ;
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[B\right]}(X)=X^{3}-f_{1}(\left[B\right])\;X^{2}+f_{2}(\left[B\right])\;X-f_{3}(\left[B\right])\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e45f94f93b1dabef37181611aeace6340f05c9)
» avec
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{3}(\left[B\right])=\mathrm {det} \!\left(B\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ef6498dc6b26d4b3cd9c7e0214bc5189e0a3fc)
» c.-à-d. le déterminant de la matrice [9] soit
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;\color {transparent}{f_{3}(\left[B\right])=}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b694cdcb663da6e9fcb95049fb29c10a55986318)
«
» [32],
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{1}(\left[B\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}b_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(B\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1aac1f882bfdab1e7414151e38787b03f65847)
» c.-à-d. la trace de la matrice [10] soit «
» et
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{2}(\left[B\right])=\sum _{I\,\subset \,\left\lbrace 1,\,\dots ,\,3\right\rbrace }^{\mathrm {card} (I)=2}\mathrm {\det } \!\left(B_{I,\,I}\right)=\mathrm {det} \!\left(B_{\left\lbrace 1,\,2\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(B_{\left\lbrace 1,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(B_{\left\lbrace 2,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 2\,,\,3\right\rbrace }\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc87a596d9e241e5ccf0f945f70e88d48013e791)
» c.-à-d.
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;\color {transparent}{f_{2}(\left[B\right])=}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44b7c4f0a449835543f27c80573baf34e1ad9a8)
la somme des mineurs principaux d'ordre de [7] où est une partie à éléments [8] de l'ensemble des entiers naturels
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique « la somme des mineurs principaux d'ordre de ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[B\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb04d4a35c7bf9af1c0bad1428a432be28bbd718)
où est une partie à éléments de l'ensemble soit
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{2}(\left[B\right])={\begin{array}{|c c|}\;5&3\;\\\;-5&-3\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;5&-3\;\\\;1&1\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;-3&5\;\\\;1&1\;\end{array}}=0+8+(-8)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a414e49bbfa304fb47a3a562e130c885e3e49c89)
» d'où
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[B\right]}(X)=X^{3}-3\;X^{2}+4\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab5ea052896b4f6589ae1ee3a8045a08c757906)
» ;
ensuite « le polynôme caractéristique de étant le même que celui de du paragraphe précédent, ses racines sont les mêmes » : « une valeur propre réelle simple » et
ensuite « le polynôme caractéristique de étant le même que celui de du paragraphe précédent, ses racines sont les mêmes » : « une valeur propre réelle double »,
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique [16] de la valeur propre simple étant [17], [18], il ne reste qu'à déterminer celle de la valeur propre double
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de la valeur propre simple étant , pour savoir si la matrice est diagonalisable [19] ;
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique [16] de la valeur propre double [27] étant en fait 
à sa multiplicité algébrique
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de la valeur propre double voir sous-paragraphe « détermination de vecteur(s) propre(s) » ci-après,
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique est donc égale à d'où
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « la somme des multiplicités géométriques [16] des valeurs propres toutes réelles est à la dimension ou taille de la matrice » [19]
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » c.-à-d. la condition de diagonalisation de la matrice est vérifiée est diagonalisable [19] ;
on poursuit en « déterminant le(s) vecteur(s) propre(s) [41] associé(s) à la valeur propre double » [33] avec la base où représente l'endomorphisme étudié,
on poursuit « pour » tout vecteur propre de matrice coordonnée dans la base » doit vérifier «» soit
on poursuit « pour » ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c17c8df66fd1236336a68a9d4a6d33d4afc9cc)
ou ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc8457c5300d4a824989d8eeaf1616cbbfb9e4c)
[34] ou, en regroupant dans le membre de gauche,
on poursuit « pour » ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c c}5-2&3&-3\\-5&-3-2&5\\1&1&1-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e174ebfef8cf6e99207fceb0e3b0849902eb6a60)
[35] soit, en remarquant que 
,
on poursuit « pour » les équations sont identiques [43], le système de équations algébriques linéaires homogène à inconnues
on poursuit « pour » les équations sont identiques, le système se réduit à une équation algébrique linéaire homogène à inconnues 
, de solution générale
on poursuit « pour » les équations sont identiques, le système se réduit à une équation vérifiant 
définissant « deux vecteurs propres [41] distincts
on poursuit « pour » les équations sont identiques, le système se réduit à une équation vérifiant 
définissant « associés à la valeur propre double »,
on poursuit « pour » les équations sont identiques, le système se réduit à une équation par exemple «
de composantes 
dans la base c.-à-d.
on poursuit « pour » les équations sont identiques, le système se réduit à une équation par exemple «
de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[{X}_{d_{1}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2211122db33ae9514311c1dadaa6fcd0a26c894e)
et
on poursuit « pour » les équations sont identiques, le système se réduit à une équation par exemple «
de composantes 
dans la base c.-à-d.
on poursuit « pour » les équations sont identiques, le système se réduit à une équation par exemple « de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[{X}_{d_{2}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2412518df1d3254513d9d33f11f158751e9f25c0)
» et par suite,
on poursuit « pour » les équations sont identiques, le système se réduit à une équation « la multiplicité géométrique [16] de cette valeur propre double est » et comme
on poursuit « pour » les équations sont identiques, le système se réduit à une équation « la multiplicité géométrique [16] de la valeur propre simple est » [17], [18]
on poursuit « pour » « la somme des multiplicités géométriques [16] des valeurs propres égale à 
est la dimension ou taille de la matrice égale à » [19] on en déduit
on poursuit « pour » le caractère « diagonalisable » de la matrice ![{\displaystyle \;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab458b29b6dad7c436e9648146db47f360bce28)
;
on poursuit « pour » pour être complet il convient de former « la matrice de passage de la base vers la base des vecteurs propres de l'endomorphisme représenté par » et pour cela
on poursuit « pour » pour être complet il convient de déterminer le vecteur propre [41] associé à la valeur propre simple ,
on poursuit en « déterminant le vecteur propre [41] associé à la valeur propre simple » avec la base où représente l'endomorphisme étudié,
on poursuit « pour » le vecteur propre « de matrice coordonnée, dans la base 
, » doit vérifier «![{\displaystyle \;\left[B\right]\times \left[X_{1}\right]=\lambda _{1}\left[X_{1}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d190706e08ee68aac9d4c7144d30058267f5eea)
» soit
on poursuit « pour » ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a21108f695f5daa8daec57760acac63808363ee)
ou ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95dba46d05269aa2dbda6a9da82d3ecc0f277a80)
[34] ou, en regroupant dans un même membre,
on poursuit « pour » ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c c}5-(-1)&3&-3\\-5&-3-(-1)&5\\1&1&1-(-1)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f70849ba437f417897df6ea9b61c1bc0eb50820)
[35] soit,
on poursuit « pour » en substituant 
par 
[36], ![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r c l l}15\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!9\;x_{2,\,1}\!\!&\!\!\!\!&\!\!\!\!&=&\!\!0&[3\;({\mathfrak {2}})+5\;({\mathfrak {1}})]\\-\;3\;x_{1,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&+&\!\!9\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&[3\;({\mathfrak {2}})+2\;({\mathfrak {1}})]\\x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!x_{2,\,1}\!\!&+&\!\!2\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {3}})\end{array}}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baea2869604eb3876f541a67ab8afc00c673cbf0)
, système dans lequel
on poursuit « pour » l'équation 
étant une “ C.L. [37] de ![{\displaystyle \;[3\;({\mathfrak {2}})+5\;({\mathfrak {1}})]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f4106438b75dfb8342fdf23d015fab0793fd1d)
et ![{\displaystyle \;[3\;({\mathfrak {2}})+2\;({\mathfrak {1}})]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b842b99cf6349fc452611f9c9bb13a4b542ae7)
” selon “
![{\displaystyle {\dfrac {1}{9}}\left[3\;({\mathfrak {2}})+5\;({\mathfrak {1}})\right]+{\dfrac {2}{9}}\left[3\;({\mathfrak {2}})+2\;({\mathfrak {1}})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd4d4b897e1fbf9f960b6e1db7692c42a8ccf97)
” [38]
on poursuit « pour » le système de équations algébriques linéaires homogène à inconnues se réduit au système de équations algébriques linéaires homogène à inconnues
on poursuit « pour » le système de équations algébriques linéaires homogène à inconnues se réduit ![{\displaystyle \left\lbrace {\begin{array}{r c r c r c l l}15\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!9\;x_{2,\,1}\!\!&\!\!\!\!&\!\!\!\!&=&\!\!0&[3\;({\mathfrak {2}})+5\;({\mathfrak {1}})]\\-\;3\;x_{1,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&+&\!\!9\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&[3\;({\mathfrak {2}})+2\;({\mathfrak {1}})]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cbf83504ca985f12674008733619bc9182df00)
on poursuit « pour » le système de équations algébriques linéaires homogène à inconnues se réduit de solution générale vérifiant et définissant
on poursuit « pour » le système de équations algébriques linéaires homogène à inconnues se réduit le « vecteur propre 
[41] associé à la valeur propre simple
on poursuit « pour » le système de équations algébriques linéaires homogène à inconnues se réduit le « vecteur propre 
associé à 
,
on poursuit « pour » le système de équations algébriques linéaires homogène à inconnues se réduit le « de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}3\\-5\\1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa853505911adb21f0081dd565318527c68bd60e)
dans la base » ;
on en déduit « la matrice de passage de la base vers la base 
des vecteurs propres de l'endomorphisme » [4] la matrice le représentant y étant diagonale[44] soit
on en déduit «![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}=3\!\!&x_{1,\,d_{1}}=1\!\!&{x'}_{1,\,d_{2}}=0\\x_{2,\,1}=-5\!\!&x_{2,\,d_{1}}=0\!\!&x_{2,\,d_{2}}=1\\x_{3,\,1}=1\!\!&x_{3,\,d_{1}}=1\!\!&x_{3,\,d_{2}}=1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265bc734b232acc013d4f0de0cbe682da193127e)
» [23] puis
on en déduit « sa matrice inverse définie par ![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[I_{3}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba5989be50a652faa732d5772e65e4cc13cc7b3)
où ![{\displaystyle \;\left[I_{3}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c5fe86998c3ec1569e4f0e64fe8599e0a14cb0)
est la matrice identité de dimension 
, soit, en posant ![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dadd0350e15fb2a1f9df5cacf966d7dbee566d76)
»,
on en déduit « sa matrice inverse définie par ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}3&1&0\\-5&0&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[I_{3}\right]=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b6fc4c88c2e01864ea895562e76dcf9fb2f43a)
ou, en développant le produit matriciel [24],
on en déduit « sa matrice inverse définie par le « système de 
équations algébriques linéaires à inconnues 
» [35] ou,
on en déduit « sa matrice inverse définie par en éliminant «
et 
au profit de 
par 
» [45], «
et 
au profit de 
par 
» [45]
on en déduit « sa matrice inverse définie par en éliminant et «
et 
au profit de 
par 
» [45], on obtient, après substitution,
on en déduit « sa matrice inverse définie par le système de équations algébriques linéaires aux inconnues 
, 
on en déduit « sa matrice inverse définie par 
soit 
d'où l'expression de la matrice de passage inverse
on en déduit « sa matrice inverse définie par «![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c c c}-{\dfrac {1}{3}}&-{\dfrac {1}{3}}&{\dfrac {1}{3}}\\2&1&-1\\-{\dfrac {5}{3}}&-{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a951f31ea7218b70a8b5d7bdcd1f8eadf670224d)
» ;
enfin on réalise « le changement de bases de vers base des vecteurs propres de l'endomorphisme pour que la matrice de ce dernier dans 
soit diagonale »
enfin on réalise « le changement de bases de vers 
selon la formule «» [5] soit,
enfin on réalise « le changement de bases de vers avec «![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[B\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00df95405599f731fbb12d51aa274c131a173a0)
» et « la matrice diagonale cherchée »,
enfin on réalise « le changement de bases de vers selon la formule «![{\displaystyle \;\left[D\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1281be3f6173a7993c01949636d643b662ad86a3)
» dans lequel
enfin on réalise « le changement de bases de vers avec «![{\displaystyle \;\left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}3&1&0\\-5&0&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}-3&2&0\\5&0&2\\-1&2&2\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd0195e0b9b47cbc818b38f13ba46ea7257d09c)
» [24]
enfin on réalise « le changement de bases de vers avec «![{\displaystyle \;\left[D\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}-{\dfrac {1}{3}}&-{\dfrac {1}{3}}&{\dfrac {1}{3}}\\2&1&-1\\-{\dfrac {5}{3}}&-{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}-3&2&0\\5&0&2\\-1&2&2\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2ff387c5ecfd5e91f50e620487fc20522640f9)
enfin on réalise « le changement de bases de vers avec «![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[D\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e59c790b20289f43855ee00624c03eac9d0b68)
![{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a007fa9b2283c142411548d3ba2e381d69e461)
[24] ![{\displaystyle \;=\left[{\begin{array}{c}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{d}&0\\0&0&\lambda _{d}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b07f8281c66d561dd536157aa9667de97f05a936)
» c.-à-d.
enfin on réalise « le changement de bases de vers « la matrice diagonale à éléments diagonaux aux valeurs propres de l'endomorphisme représenté par » [26].
Nous essaierons ensuite d'obtenir la réduction de la matrice carrée non diagonalisable étudiée sous la forme la plus simple c.-à-d. sous forme triangulaire [2] ce qui n'est possible que sous conditions.
« Trigonaliser [46] une matrice carrée » de dimension ou taille représentant un endomorphisme du -espace vectoriel de dimension
« Trigonaliser une matrice carrée » c'est faire un changement de bases de caractérisé par la matrice de passage de la base initiale vers la nouvelle base [4]
« Trigonaliser une matrice carrée » c'est faire un changement de bases de tel que la nouvelle matrice de l'endomorphisme de dans la base [5]
« Trigonaliser une matrice carrée » c'est faire un changement de bases de tel que la nouvelle matrice 
soit « triangulaire » ;
« Trigonaliser une matrice carrée » c'est aussi trouver une matrice inversible pour que la matrice soit semblable à une matrice ![{\displaystyle \;\left[T\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc950ff5f1d04708006d7fdd7ae88b926814c406)
[3] triangulaire c.-à-d.
« Trigonaliser une matrice carrée » c'est aussi trouver inversible telle que soit une mattrice triangulaire [47].
Supposons la « matrice trigonalisable » et
introduisons son polynôme caractéristique «» [6] avec
introduisons son polynôme caractéristique «» c.-à-d. la somme des mineurs principaux d'ordre de [7] où
introduisons son polynôme caractéristique « est une partie à éléments [8] de l'ensemble des entiers naturels »
introduisons son polynôme caractéristique dont, plus particulièrement, «» c.-à-d. le déterminant de la matrice [9] et
introduisons son polynôme caractéristique dont, plus particulièrement, «» c.-à-d. la trace de la matrice [10] ;
considérons « l'endomorphisme du -espace vectoriel de dimension que la matrice représente dans le couple de bases »
considérons « l'endomorphisme du -espace vectoriel de dimension où « est une base choisie dans » [11],
considérons « l'endomorphisme du -espace vectoriel de dimension étant tel que «» et
considérons « son polynôme caractéristique » défini comme celui de la matrice le représentant dans le couple de bases [12]
considérons « son polynôme caractéristique «» ;
« les valeurs propres de l'endomorphisme [13] étant les racines de son polynôme caractéristique » [14] vérifient «» ou
« les valeurs propres de l'endomorphisme étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient «» c.-à-d.
« les valeurs propres de l'endomorphisme étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « une équation polynomiale ou algébrique à cœfficients réels de degré »,
« les valeurs propres de l'endomorphisme étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « le nombre maximal de racines réelles de cette équation polynomiale étant »
« les valeurs propres de l'endomorphisme étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « il y a au maximum valeurs propres de l'endomorphisme » [15],
« les valeurs propres de l'endomorphisme étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « chaque valeur propre pouvant être « simple ou algébriquement multiple » [16].
Conditionadmisepour qu'une matricesoit trigonalisable : ssi son polynôme caractéristique est scindé sur le corps des réels c.-à-d.
Conditionadmisepour qu'une matricesoit trigonalisable : ssi son polynôme caractéristique est entièrement factorisable en polynômes du 1er degré définis sur .
Remarques : « si les racines du polynôme caractéristique de la matrice sont toutes réelles et simples », « la matrice est diagonalisable » [48] mais aussi
Remarques : « si les racines le polynôme caractéristique de la matrice est scindé sur 
[49] d'où condition de trigonalisation de la matrice vérifiée [50] ;
Remarques : dans le cas d'« une matrice à polynôme caractéristique scindé sur [49] », « une C.N. [51] pour que la matrice ne soit pas diagonalisable
Remarques : dans le cas d'« une matrice à polynôme caractéristique scindé sur 
», « une C.N. est l'existence d'une valeur propre non simple c.-à-d. à multiplicité algébrique [16] 
à »,
Remarques : dans le cas d'« une matrice à polynôme caractéristique scindé sur », « la C. étant S. [52] si la multiplicité géométrique [16] de la valeur propre est à sa multiplicité algébrique » [16],
Remarques : dans le cas d'« une matrice à polynôme caractéristique scindé sur », « la C. étant S. si dans ce cas « la matrice n'est que trigonalisable ».
Sur les trois exemples de tentative de diagonalisation de matrice carrée de dimension ou taille ,
Sur les trois exemples un seul le 1er exemple correspond à une matrice diagonalisable [53], nous reprenons donc les deux autres :
Sur les trois exemples dans le 2ème exemple, la matrice n'est pas diagonalisable, son polynôme caractéristique ayant une racine réelle double dont la multiplicité géométrique [16] n'est que de [54],
Sur les trois exemples dans le 2ème exemple, elle est toutefois trigonalisable car son polynôme caractéristique est scindé sur [49], [55] de même
Sur les trois exemples dans le 3ème exemple, la matrice n'est pas diagonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant pas de racines réelles [56],
Sur les trois exemples dans le 3ème exemple, elle n'est pas non plus trigonalisable car son polynôme caractéristique n'est pas scindé sur [49], [55].
Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable mais trigonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double
[modifier | modifier le wikicode] Soit la matrice carrée à polynôme caractéristique «» [57] admettant une racine double de multiplicité géométrique [16] [57] donc
Soit la matrice carrée ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c}1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de48f49c2ff744ce8d3505cdf8031bf7e1a142e3)
matrice non diagonalisable [57] mais,
Soit la matrice carrée son polynôme caractéristique «» étant scindé sur [49], la matrice ![{\displaystyle \;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1846171eb7aab5b067840ac931fdc637c01bddcb)
est trigonalisable [55] ;
Soit « l'endomorphisme que la matrice représente dans la base du -espace vectoriel possède une valeur propre double à laquelle s'associe
Soit « l'endomorphisme que la matrice représente dans la base 
du -espace vectoriel possède un sous-espace vectoriel propre de dimension [58], [57] dont
Soit « l'endomorphisme que la matrice représente dans la base du -espace vectoriel possède le vecteur propre générateur [41] est 
Soit « l'endomorphisme que la matrice représente dans la base du -espace vectoriel possède de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[X_{d}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0104813640ec03cf9ce228452fbadf4d894ff14)
dans la base » [57] ;
pour trigonaliser ![{\displaystyle \;\left[B\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed7fe503d42ccb4bfd3045f4168ce99f94b2a1a8)
, il faut « compléter la base 
» permettant d'obtenir « la matrice de passage de la base vers la nouvelle base » [4] «» et par suite
pour trigonaliser ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[B\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c3df871624bfe41bc056844df1de2a1e8c295d1)
, il faut « compléter la base 
» permettant d'obtenir « la matrice triangulaire représentant l'endomorphisme dans cette nouvelle base » ;
pour trigonaliser , il faut « compléter la base » le choix du 2ème vecteur de base 
est arbitraire avec évidemment pour condition de ne pas être colinéaire à 
,
pour trigonaliser , il faut « compléter la base » « on choisit par exemple 
de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[{X'}_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1a0d2ae467d6aee7aa4e2a4ab95ab68c72c4f3)
dans la base » d'où
pour trigonaliser , il faut « compléter la base » l'expression de la « matrice de passage ![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&1\\1&0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bd9db1c07187332919d42d8ca648c9a205ed11)
» [23] ;
de la matrice de passage on déduit « la matrice de passage inverse ![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77941349247c0b2b1edeeabb43a8043a21c00618)
» en formant ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&1\\1&0\end{array}}\right]=\left[I_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7220f639415ac8015cfe626696ea75d86b8a5f78)
soit,
de la matrice de passage ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&1\end{array}}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/634b4ec524d6082ce1434ff6b13be5981466533c)
en développant le produit matriciel [24], le système de équations algébriques linéaires à inconnues 
d'où
de la matrice de passage on déduit « l'expression de la matrice de passage inverse «![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}0&1\\1&-1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b670e35169f4078267e4019866753db1c0725617)
» ;
on en déduit la matrice triangulaire en formant «![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}0&1\\1&-1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&1\\1&0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a44f4a52deada9827c429120ee1b5338dc207f)
» [5] soit, en développant le produit des deux dernières matrices [24],
on en déduit la matrice triangulaire ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[T\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728a1baae6301bcd9ba9d3d7ec28db68eb886bbe)
en formant «![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f129ae613e210bbc22a132f39dd046770d221a)
![{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}0&1\\1&-1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c}2&3\\2&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8930e566f1357ef5d6b15d1839e3a880a63448)
puis, en réitérant le développement du produit de ces deux matrices,
on en déduit la matrice triangulaire en formant « «![{\displaystyle \;\left[T\right]=\left[{\begin{array}{c c}2&1\\0&2\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691438c5438cd06cc7708c261414c8010a0fe6e8)
».
Remarques : l'élément non diagonal de la matrice triangulaire dépend du choix du 2ème vecteur de la base en effet
Remarques : l'élément non diagonal « choisissant 
de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[{X'}_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dade4a0eb5d7779d25376eb81d5b16d0e28e47d5)
dans la base » [59],
Remarques : l'élément non diagonal « choisissant 
« la matrice de passage de la base vers la base » [4] s'écrit «![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0\\1&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d651bd151de8bdb5e7fb6f11505fe9cf72ac42e)
» [23] d'où
Remarques : l'élément non diagonal « choisissant « la matrice inverse pour passer de la base vers la base 
![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}1&0\\-1&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb362ff0bda027532156543445176653b66a2b4)
» [60] et
Remarques : l'élément non diagonal « choisissant «![{\displaystyle \;\left[T\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0\\-1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&0\\1&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daca7cc789b5de1498674ee3229e3fa30916ff1e)
» [5] soit,
Remarques : l'élément non diagonal « choisissant en développant le produit des deux dernières matrices [24] ![{\displaystyle \;\left[T\right]=\left[{\begin{array}{c}1&0\\-1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c}2&-1\\2&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ebcee0667c9c733675f0366ca3adc64f3c22cb)
puis,
Remarques : l'élément non diagonal « choisissant en réitérant le développement du produit de ces deux matrices, «![{\displaystyle \;\left[T\right]=\left[{\begin{array}{c c}2&-1\\0&2\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124a5cbfeca81763f525c70f4d051f88a7ff172c)
» C.Q.F.V. [39] ;
Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base une matrice triangulaire supérieure avec les deux éléments diagonaux égaux à la valeur propre double,
Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base 
si on inverse l'ordre des deux vecteurs de on obtient une matrice triangulaire inférieure en effet
Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base si on inverse l'ordre des deux vecteurs de « si ![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd3e74743d60e9ead0f14e3287c1703c72312145)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}1&1\\0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8cb5dde876b1aa2c180a59368e0c97d61b32b0)
» [23] «![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}1&-1\\0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665c4357fd3e4cfe3e4c4be3b02feaba72f54636)
» [61] et
Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base si on inverse l'ordre des deux vecteurs de «![{\displaystyle \;\left[T\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84547ff8449782a1eeff11e744ba5754f0c3bc4)
Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base si on inverse l'ordre des deux vecteurs de «![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[T\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66cc80c4227d1bfa88b2696d33729f1dc62f28aa)
![{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}1&-1\\0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&1\\0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c5b06b050b7a75150357cfe58b8c599ac442555)
» soit,
Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base si on inverse l'ordre des deux vecteurs de en développant le produit des deux dernières matrices [24]
Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base si on inverse l'ordre des deux vecteurs de «![{\displaystyle \;\left[T\right]=\left[{\begin{array}{c}1&-1\\0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c}3&2\\1&2\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286b48fc5925944a72fc64f8e0cbaed170ace2e1)
» puis,
Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base si on inverse l'ordre des deux vecteurs de en réitérant le développement du produit de ces deux matrices,
Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base si on inverse l'ordre des deux vecteurs de «![{\displaystyle \;\left[T\right]=\left[{\begin{array}{c c}2&0\\1&2\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e575f70d0826b4274c0d62033c485431c57952)
» C.Q.F.V. [39].
Remarques : En conclusion, s'il n'existe qu'« une et une seule matrice diagonale semblable à une matrice diagonalisable » [3],
Remarques : En conclusion, il existe « autant de matrices triangulaires
supérieures ou inférieures![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
semblables à une matrice trigonalisable[3]
Remarques : En conclusion, il existe « autant qu'il y a de façon de choisir les vecteurs de la baseautres que le(s) vecteur(s) propre(s) associé(s) à la 
ou au(x)![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
valeur(s) propre(s) de la matrice ».
Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non trigonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant pas de racines réelles
[modifier | modifier le wikicode] Soit la matrice carrée à polynôme caractéristique «» [62] de discriminant réduit
Soit la matrice carrée ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c38e3ee4623659a3a046038ac3cb26647b8f4d)
à polynôme caractéristique n'admettant donc aucune racine réelle [62] la matrice ![{\displaystyle \;\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&1\\-3&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3304771174ebdda1b2d01ed4cd9cb2de5c97a1)
est non diagonalisable [62] de plus,
Soit la matrice carrée ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c}1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc6034ed04f432779e21eccd4ca5d7c8148b03f)
son polynôme caractéristique «» n'étant pas scindé sur [49], la matrice est non trigonalisable [55].
Sur les deux exemples de tentative de diagonalisation de matrice carrée de dimension ou taille ,
Sur les deux exemples un seul le 2ème exemple correspond à une matrice diagonalisable [63], nous reprenons donc l'autre :
Sur les deux exemples dans le 1er exemple, la matrice est non diagonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine réelle simple et une double dont la multiplicité géométrique [16] n'est que de [64],
Sur les deux exemples dans le 1er exemple, elle est toutefois trigonalisable car son polynôme caractéristique est scindé sur [49], [55] ;
pour être complet nous ajouterons un 3ème exemple de matrice carrée de dimension ou taille non diagonalisable à polynôme caractéristique n'ayant qu'une racine réelle simple [19],
pour être complet nous ajouterons un 3ème exemple de matrice carrée de dimension ou taille non diagonalisable ce polynôme caractéristique n'est donc pas scindé sur [49]
pour être complet nous ajouterons un 3ème exemple de matrice carrée de dimension ou taille non diagonalisable la matrice n'est pas trigonalisable [55].
Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non diagonalisable mais trigonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double et une simple
[modifier | modifier le wikicode] Soit la matrice carrée à polynôme caractéristique «» [65] se réécrivant «» [65] et
Soit la matrice carrée ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b682f25ad7d923db57871bcfbbf3d3b0470fcdf)
à polynôme caractéristique admettant une racine double de multiplicité géométrique [16] [65] et une simple donc
Soit la matrice carrée matrice non diagonalisable [65] mais,
Soit la matrice carrée son polynôme caractéristique étant scindé sur [49], la matrice ![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5805d5e8e580d4b2b8511bfd96f4361ad1baa767)
est trigonalisable [55] ;
Soit « l'endomorphisme que la matrice représente dans la base 
du -espace vectoriel possède une valeur propre double à laquelle s'associe
Soit « l'endomorphisme que la matrice représente dans la base 
du -espace vectoriel possède un sous-espace vectoriel propre de dimension [58], [65] dont
Soit « l'endomorphisme que la matrice représente dans la base du -espace vectoriel possède le vecteur propre générateur [41] est
Soit « l'endomorphisme que la matrice représente dans la base du -espace vectoriel possède de matrice coordonnée dans la base [65] et
Soit « l'endomorphisme que la matrice représente dans la base du -espace vectoriel possède une valeur propre simple à laquelle s'associe
Soit « l'endomorphisme que la matrice représente dans la base du -espace vectoriel possède un vecteur propre [41]
Soit « l'endomorphisme que la matrice représente dans la base du -espace vectoriel possède de matrice coordonnée dans la base » [65] ;
pour trigonaliser ![{\displaystyle \;\left[A\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37edfa82eb1fe40a86db4c29e816f0fbd3c87606)
, il faut « compléter la base 
» permettant d'obtenir « la matrice de passage de la base vers la nouvelle base » [4] «» et par suite
pour trigonaliser ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[A\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e006644dba5ce102ecda69b1912ebaaa828d72)
, il faut « compléter la base 
» permettant d'obtenir « la matrice triangulaire représentant l'endomorphisme dans cette nouvelle base » ;
pour trigonaliser , il faut « compléter la base » le choix du 3ème vecteur de base 
est arbitraire avec évidemment pour condition de ne pas être une C.L. [37] de et 
,
pour trigonaliser , il faut « compléter la base » « on choisit par exemple 
de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[{X'}_{3}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed83cf9b668ab50a6733bc170c48c3c25bd480d0)
dans la base » d'où
pour trigonaliser , il faut « compléter la base » l'expression de la « matrice de passage ![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}3&0&1\\-5&1&0\\1&1&0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b62f8bef8fb20afeed3c7051bb9d1f885991cc0)
» [23] ;
de la matrice de passage on déduit « la matrice de passage inverse ![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d54dd204009db0cefece035678aece5864a59fb)
» par ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}3&0&1\\-5&1&0\\1&1&0\end{array}}\right]=\left[I_{3}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3112d7a62e8f865083f43ef098a7bdfb721032)
de la matrice de passage ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}3&0&1\\-5&1&0\\1&1&0\end{array}}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f8c398690f70fec93774cb1e27a989cca733f8)
on déduit « la matrice de passage inverse ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb1dc7f137799721ce39c53a9e3d537a81d9107)
» par ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}3&0&1\\-5&1&0\\1&1&0\end{array}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed420673556d8a4e27628f30b2dc6027bcac73e)
![{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9644e78f16c5a217b1e23f580f3c686bdf60952e)
soit,
de la matrice de passage ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}3&0&1\end{array}}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ede4f3b90415ccd9bbc41193f6a22a7a168eea1)
en développant le produit matriciel [24], le système de équations algébriques linéaires à inconnues 
[35]
de la matrice de passage en développant le produit matriciel, 
[45] ![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c}a\!\!&=&\!\!0\!\!&\\b\!\!&=&\!\!0\!\!&\\c\!\!&=&\!\!1\!\!&\\-6\;d\!\!&=&\!\!1\!\!&[({\mathfrak {1}})-({\mathfrak {2}})]\\6\;g\!\!&=&\!\!1\!\!&[({\mathfrak {1}})+5\;({\mathfrak {2}})]\\6\;e\!\!&=&\!\!1\!\!&[({\mathfrak {5}})-({\mathfrak {4}})]\\6\;h\!\!&=&\!\!5\!\!&[5\;({\mathfrak {5}})+({\mathfrak {4}})]\\6\;f\!\!&=&\!\!3\!\!&[({\mathfrak {8}})-({\mathfrak {7}})]\\6\;i\!\!&=&\!\!-3\!\!&[5\;({\mathfrak {8}})+({\mathfrak {7}})]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a30405706b328a74f26b4ece6d621a4785330a)
[36] d'où
de la matrice de passage on déduit « l'expression de la matrice de passage inverse «![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}0&-{\dfrac {1}{6}}&{\dfrac {1}{6}}\\0&{\dfrac {1}{6}}&{\dfrac {5}{6}}\\1&{\dfrac {1}{2}}&-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93483ee9468443901c1817524138e43c4552f5ec)
» ;
on en déduit la matrice triangulaire en formant «![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}0&-{\dfrac {1}{6}}&{\dfrac {1}{6}}\\0&{\dfrac {1}{6}}&{\dfrac {5}{6}}\\1&{\dfrac {1}{2}}&-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}3&0&1\\-5&1&0\\1&1&0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9e684ad2462d8d63ff631573ef7ac2bc49a620)
» [5] soit,
on en déduit la matrice triangulaire en formant « en développant le produit des deux dernières matrices [24],
on en déduit la matrice triangulaire en formant « ![{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}0&-{\dfrac {1}{6}}&{\dfrac {1}{6}}\\0&{\dfrac {1}{6}}&{\dfrac {5}{6}}\\1&{\dfrac {1}{2}}&-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c c}-3&0&1\\5&2&3\\-1&2&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d521b44c1d8605664eaa182308013bc69a0a2d9)
puis, en réitérant le développement du produit de ces deux matrices,
on en déduit la matrice triangulaire en formant « «![{\displaystyle \;\left[T\right]=\left[{\begin{array}{c c c}-1&0&-{\dfrac {1}{3}}\\0&2&{\dfrac {4}{3}}\\0&0&2\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f45707c84c763f38381086d9972f8c158d0c42f)
».
Remarques : voir le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable mais trigonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double (remarques) »
Remarques : voir le paragraphe plus haut dans le chapitre, toutes les observations faites dans le sous paragraphe « remarques » du paragraphe ci-dessus pouvant être réitérées ici :
Remarques : les éléments non diagonaux de la matrice triangulaire dépendent du choix du 3ème vecteur de la base ;
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base une matrice triangulaire supérieure avec les trois éléments diagonaux égaux aux valeurs propres,
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base une matrice triangulaire supérieure avec le 1er élément diagonal étant égal à la valeur propre simple car
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base une matrice triangulaire supérieure avec le 1er le vecteur propre associé est mis en 1er vecteur de et
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base une matrice triangulaire supérieure avec les 2nd et 3ème éléments diagonaux étant les mêmes
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base une matrice triangulaire supérieure avec les 2nd et 3ème éléments diagonaux égaux à la valeur propre double car
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base une matrice triangulaire supérieure avec les 2nd et 3ème l'unique vecteur propre associé [66] est mis
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base une matrice triangulaire supérieure avec les 2nd et 3ème l'unique vecteur propre en 2nd vecteur de 
;
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base une matrice triangulaire inférieure avec les trois éléments diagonaux égaux aux valeurs propres,
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base une matrice triangulaire inférieure avec le 1er élément diagonal étant égal à la valeur propre simple si
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base une matrice triangulaire inférieure avec le 1er le vecteur propre associé est mis en 2nd vecteur de et
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base une matrice triangulaire inférieure avec les 2nd et 3ème éléments diagonaux étant les mêmes
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base une matrice triangulaire inférieure avec les 2nd et 3ème éléments diagonaux égaux à la valeur propre double si
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base une matrice triangulaire inférieure avec les 2nd et 3ème l'unique vecteur propre associé [66] est mis
Remarques : mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base une matrice triangulaire inférieure avec les 2nd et 3ème l'unique vecteur propre en 3ère vecteur de .
Remarques : En conclusion, s'il n'existe qu'« une et une seule matrice diagonale semblable à une matrice diagonalisable » [3],
Remarques : En conclusion, il existe « autant de matrices triangulairessupérieures ou inférieuressemblables à une matrice trigonalisable[3]
Remarques : En conclusion, il existe « autant qu'il y a de façon de choisir les vecteurs de la baseautres que le(s) vecteur(s) propre(s) associé(s) à la ou au(x) valeur(s) propre(s) de la matrice ».
Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non trigonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant qu'une racine simple réelle
[modifier | modifier le wikicode] Soit la matrice carrée ![{\displaystyle \;\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&-1&-4\\1&2&5\\1&1&0\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8077d74a6cd99d97784259a961b8123eea3fca)
que l'on se propose de réduire sur par diagonalisation ou trigonalisation si toutefois l'une ou l'autre des méthodes est applicable ;
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[C\right]}(X)=X^{3}-f_{1}(\left[C\right])\;X^{2}+f_{2}(\left[C\right])\;X-f_{3}(\left[C\right])\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35e0b837001a9ab3f4e5527a094cdb8072fe14d)
» avec
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{3}(\left[C\right])=\mathrm {det} \!\left(C\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458ef26c5e9d466c595d5dbce7a68073a2c890d6)
» c.-à-d. le déterminant de la matrice [9] soit
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique « «
» [32],
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{1}(\left[C\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}c_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(C\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981c6c03339a96fb445f4ed68e6d6b0f47e5e685)
» c.-à-d. la trace de la matrice [10] soit «
» et
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{2}(\left[C\right])=\sum _{I\,\subset \,\left\lbrace 1,\,\dots ,\,3\right\rbrace }^{\mathrm {card} (I)=2}\mathrm {\det } \!\left(C_{I,\,I}\right)=\mathrm {det} \!\left(C_{\left\lbrace 1,\,2\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(C_{\left\lbrace 1,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(C_{\left\lbrace 2,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 2\,,\,3\right\rbrace }\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e361bad66da9eb28eda839c5451411a0d62d599)
» c.-à-d.
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique « la somme des mineurs principaux d'ordre de [7] où est une partie à éléments [8] de l'ensemble des entiers naturels
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique « la somme des mineurs principaux d'ordre de où est une partie à éléments de l'ensemble soit
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;f_{2}(\left[C\right])={\begin{array}{|c c|}\;1&-1\;\\\;1&2\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;1&-4\;\\\;1&0\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;2&5\;\\\;1&0\;\end{array}}=3+4+(-5)=2\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ed5f400aa33873a61cab02cd1c47b54d2b6e8)
» d'où
tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «![{\displaystyle \;p_{\left[C\right]}(X)=X^{3}-3\;X^{2}+2\;X+6\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae682078f77f36684afbb3332468e8a9c64ec02)
» ;
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir découvert une « racine évidente » et
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir « factorisé le polynôme caractéristique par d'après la division euclidienne de 
par
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir « factorisé le polynôme caractéristique par en effectuant la division euclidienne selon les puissances » ;
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement la réécriture du polynôme caractéristique de la matrice selon «![{\displaystyle \;p_{\left[C\right]}(X)=\left(X+1\right)\left(X^{2}-4\;X+6\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c286c6043c51ae2084014a73f6e8d1ce9dcb02d)
» ;
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement le polynôme du 2ème degré 
de discriminant réduit 
sans racines réelles d'où
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement la forme factorisée du polynôme caractéristique restant «»
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement « l'existence d'une seule valeur propre réelle simple de multiplicité géométrique [16] [17], [18] » d'où
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « la multiplicité géométrique [16] de l'unique valeur propre réelle simple étant à la dimension ou taille de la matrice » [19] c.-à-d.
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la condition de diagonalisation de la matrice non vérifiée n'est pas diagonalisable [19] ;
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » de plus « le polynôme caractéristique de la matrice ![{\displaystyle \;\left[C\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499b28cd32dfd0f8d98606eff52a7ed2d58905fe)
, ![{\displaystyle \;p_{\left[C\right]}(X)=\left(X+1\right)\left(X^{2}-4\;X+6\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe24729b1874976501c57574c234cf05769b1a16)
, n'étant pas scindé sur [49] » c.-à-d.
ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » de plus la condition de trigonalisation de la matrice non vérifiée n'est pas trigonalisable [55].
Ayant établi que la matrice carrée est non trigonalisable, nous pourrions nous arrêter ici, mais néanmoins
nous poursuivons pour déterminer le sous-espace vectoriel propre de dimension [40] associé à la valeur propre simple et
« réduire sur par introduction d'une colonne avec un seul élément non nul égal à la valeur propre simple de l'endomorphisme » ;
on poursuit en « déterminant le vecteur propre à un facteur multiplicatif près associé à la valeur propre simple » [40] avec
on poursuit en « déterminant le vecteur propre à un facteur multiplicatif près 
associé à la valeur propre simple » avec la base où représente l'endomorphisme étudié,
on poursuit en « pour » le vecteur propre de matrice coordonnée dans la base » doit vérifier «![{\displaystyle \;\left[C\right]\times \left[X_{1}\right]=\lambda _{1}\left[X_{1}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54519fe9307b9ea50e52fa2a56b0a233593a508c)
» soit
on poursuit en « pour » ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c c}1&-1&-4\\1&2&5\\1&1&0\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c36fe7fd6a49a4c75bf9a46786d74fcb99835bf)
ou ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c c}1&-1&-4\\1&2&5\\1&1&0\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3790e1da008e105d64a2e322783338b3d7b56f)
[34] ou, en regroupant dans le membre de gauche,
on poursuit en « pour » ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c c}1-(-1)&-1&-4\\1&2-(-1)&5\\1&1&0-(-1)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8c6c052afe8faeff5d7a364f705dda444761db)
soit, en développant le produit matriciel [24] 
[35] et
on poursuit en « pour » en substituant par 
[36], 
,
on poursuit en « pour » l'équation étant une C.L. [37] de «
» et «
» selon ![{\displaystyle \;({\mathfrak {3}})={\dfrac {1}{7}}\left[5\;({\mathfrak {1}})+4\;({\mathfrak {2}})\right]-{\dfrac {1}{7}}\left[3\;({\mathfrak {1}})+({\mathfrak {2}})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f2cf2e0f4a0b8effa407b075b8c0d46e089ad2)
[38],
on poursuit en « pour » le système de équations algébriques linéaires à inconnues se réduit au système de équations algébriques linéaires à inconnues suivant
on poursuit en « pour » «
» la solution générale vérifiant 
définit pour « vecteur propre [41]
on poursuit en « pour » «
» 
de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183e6d44a534039d045eee85df494565accca5aa)
dans la base
on poursuit en « pour » «» 
» associé à la valeur propre simple ».
pour réduire , il faut « compléter la base 
» permettant d'obtenir « la matrice de passage de la base vers la nouvelle base » [4] «» et par suite
pour réduire ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[C\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cba50ad9d96d1573690bbd25d44caf91caaaad9)
, il faut « compléter la base 
» permettant d'obtenir « la matrice réduite ![{\displaystyle \;\left[R\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2483daf6e84b7c23500efb5e1b690e908c1cfa7a)
représentant l'endomorphisme dans cette nouvelle base » ;
pour réduire , il faut « compléter la base » le choix des 2nd et 3ème vecteurs de base et est arbitraire avec évidemment pour condition de ne pas colinéaire à ,
pour réduire , il faut « compléter la base » « on choisit par exemple de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[{X'}_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949e985fe942f696188f8fb2d81d43766d6934a3)
et
pour réduire , il faut « compléter la base » « on choisit par exemple 
de matrice coordonnée ![{\displaystyle \;\left[{X'}_{3}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b645ad9cf8ac250965c12fc5a2cc91998ea0db3)
dans la base » d'où
pour réduire , il faut « compléter la base » l'expression de la « matrice de passage ![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\-2&1&0\\1&0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88989732198a0ae021c9e76df2e58d704b986ff6)
» [23] ;
de la matrice de passage on déduit « la matrice de passage inverse » par ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&0&0\\-2&1&0\\1&0&1\end{array}}\right]=\left[I_{3}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02da7921f5059600fb157e0800a420388c8a5357)
de la matrice de passage ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\-2&1&0\\1&0&1\end{array}}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d3324d3711473bf98b6db807296e06c16e15c7)
on déduit « la matrice de passage inverse » par ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&0&0\\-2&1&0\\1&0&1\end{array}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c441353ba1831fe473e7f08b4350ed24f108476)
soit,
de la matrice de passage ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\end{array}}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb50acb5eb64ee6db2a5b710f981c4257632c57)
en développant le produit matriciel [24], le système de équations algébriques linéaires à inconnues 
[35]
de la matrice de passage en développant le produit matriciel, 
[45] d'où l'expression de la matrice de passage inverse
de la matrice de passage on déduit « la matrice de passage inverse «![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\2&1&0\\-1&0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5597fc0bc11777c7dabea9a307c8c891744a6e0a)
» ;
on en déduit la matrice réduite en formant «![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[C\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\2&1&0\\-1&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c c}1&-1&-4\\1&2&5\\1&1&0\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&0&0\\-2&1&0\\1&0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd11a0d4fbe65c0defda1814795a06b2304592c4)
» [5] soit,
on en déduit la matrice réduite ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[R\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd12e9ba29306cb24641d0943cbd7377e46219a3)
en formant «![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[C\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217a9c5b2dd13381884e74e8c0b2ac08a16c6bdf)
en développant le produit des deux dernières matrices [24],
on en déduit la matrice réduite en formant « ![{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\2&1&0\\-1&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c c}-1&-1&-4\\2&2&5\\-1&1&0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4056ab2143ed2223c632db544e2618a9962d85ba)
puis, en réitérant le développement du produit de ces deux matrices,
on en déduit la matrice réduite en formant « «![{\displaystyle \;\left[R\right]=\left[{\begin{array}{c c c}-1&-1&-4\\0&0&-3\\0&2&4\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd5940d2ac6fb703355068157e4387455998b5f)
».
Remarque : le 1er élément diagonal de la matrice réduite est égal à la valeur propre simple [67] de l'endomorphisme représenté par la matrice dans la base du -espace vectoriel 
,
Remarque : les deux autres éléments de la 1ère colonne de la matrice réduite étant nuls [68],
Remarque : les deux autres éléments diagonaux de la matrice réduite dépendent uniquement du choix des deux autres vecteurs non propres de la base .
- ↑ 1,0 et 1,1 Voir le paragraphe « définition de la réduction d'une matrice carrée » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 et 2,5 Les éléments de l'ensemble des matrices carrées
de dimension ou taille peuvent être classés en sous-ensemble de simplicité croissante selon :
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 et 3,6 On rappelle que « deux matrices
![{\displaystyle \;\left(\left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right)\in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf5738bd9e0d2e2cda56528854faba9224dddf1)
» sont semblables » ssi
On rappelle que «![{\displaystyle \;\exists \;\left[P\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3081fabcd844e5d2b7bd3daa9d3396fe1f0793c)
inversible » telle que «![{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[P\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd153e6b448d2db6f2cb9bf08482b4cf52155a6)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\times \left[P\right]^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b3f1db36eeb43e8b6b291d833db39389742b58)
![{\displaystyle \;\left[B\right]=\left[P\right]^{-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6d1c316ba6ef0e6271a0497dfb6ef6f6726a19)
», voir le paragraphe « changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image (cas particulier) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 et 4,7 Voir le paragraphe « matrice de passage entre deux bases de Rm, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de Rm » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » prolongé au cas d'un espace vectoriel quelconque de dimension
.
- ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 et 5,7 Voir le paragraphe « changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image (cas particulier) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 6,0 et 6,1 Voir le paragraphe « polynôme caractéristique d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 et 7,4 « Un mineur de matrice
![{\displaystyle \;\left[A\right]\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed49eb5603af09da73a6900832c131172b285805)
est le déterminant d'une de ses sous-matrices carrées obtenue en ne gardant que certaines lignes et colonnes de façon à ce que le nombre soit le même» soit,
en supposant qu'on ne garde que les lignes et ainsi que les colonnes et de la matrice ![{\displaystyle \;\left[A\right]\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c989ff10e7c7446946a1f0b69d5fe26a9b10346)
, on obtient le mineur 
,
en supposant qu'on ne garde que les lignes et ainsi que les colonnes et le nombre commun de lignes et de colonnes définissant l'ordre du mineur » ici d'ordre 
;
le mineur est dit « principal » si on ne garde que les lignes et colonnes de la matrice de même indice par exemple 
est un mineur principal d'ordre .
- ↑ 8,0 8,1 8,2 8,3 et 8,4 Le cardinal d'un ensemble
fini ou dénombrable, noté 
, est le nombre d'éléments de cet ensemble.
- ↑ 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 et 9,7 Voir le paragraphe « notion de déterminant d'une matrice carrée » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 10,0 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 et 10,7
étant donc la somme des cœfficients de la diagonale principale de la matrice .
- ↑ 11,0 et 11,1 Voir le paragraphe « 2ème interprétation linéaire d'une dimension (ou taille) (m, n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de basess (B, C) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » appliqué au cas où l'espace vectoriel image est identique à l'espace vectoriel antécédent l'application linéaire étant alors appelée « endomorphisme », avec choix d'une même base dans l'espace vectoriel commun.
- ↑ 12,0 et 12,1 Voir le paragraphe « polynôme caractéristique d'un endomorphisme » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 13,0 et 13,1 Voir le paragraphe « valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 14,0 et 14,1 Voir le paragraphe « lien entre valeurs propres d'un endomorphisme et son polynôme caractéristique (encadré) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 15,0 15,1 et 15,2 Par extension les valeurs propres de l'endomorphisme sont appelées « valeurs propres de la matrice le représentant ».
- ↑ 16,00 16,01 16,02 16,03 16,04 16,05 16,06 16,07 16,08 16,09 16,10 16,11 16,12 16,13 16,14 16,15 16,16 16,17 16,18 16,19 16,20 16,21 16,22 16,23 16,24 16,25 16,26 et 16,27
La multiplicité algébrique d'une valeur propre est son ordre de multiplicité dans le polynôme caractéristique,
sa multiplicité géométrique d'une valeur propre la dimension du sous-espace propre associé, celle-ci étant toujours 
à sa multiplicité algébrique.
- ↑ 17,0 17,1 17,2 17,3 et 17,4 En effet à chaque valeur propre on peut associer au moins un vecteur propre ce qui assure que la multiplicité géométrique d'une valeur propre est au minimum .
- ↑ 18,0 18,1 18,2 18,3 et 18,4 La multiplicité géométrique est à sa multiplicité algébrique qui est pour une valeur propre simple, sa multiplicité géométrique vaut donc sa valeur minimale c.-à-d. .
- ↑ 19,00 19,01 19,02 19,03 19,04 19,05 19,06 19,07 19,08 19,09 19,10 19,11 19,12 19,13 et 19,14 Voir le paragraphe « condition pour qu'une matrice carrée de dimension (ou taille) n soit diagonalisable » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 20,0 20,1 et 20,2 On introduit la matrice identité
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527dbaa6740204a1267357cf27c471b7114391d9)
dans le membre de droite pour simplifier l'équation matricielle ; en effet, après regroupement de tous les termes dans le membre de gauche, on factorise matriciellement à droite par la matrice coordonnée et on obtient une équation matricielle homogène c.-à-d. sans 2nd membre.
La factorisation matricielle à gauche ou à droite étant l'opération inverse de la distributivité de la multiplication matricielle à gauche ou à droite relativement à l'addition matricielle, voir le paragraphe « particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée (2ème et 3ème propriétés) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 21,0 21,1 et 21,2 Les deux équations algébriques linéaires à deux inconnues étant les mêmes à un facteur multiplicatif près, ce système homogène a une infinité de solutions non triviales
voir le paragraphe « condition d'existence de solutions non triviales » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la condition 
se réécrivant ![{\displaystyle \;{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\gamma &\delta \end{array}}\;=0{\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd0d92636f598ed4702b411362de9dff33764317)
.
- ↑ 22,0 et 22,1 En effet
la décomposition de 
n'a aucune composante sur 
la matrice coordonnée de dans la base s'écrit ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\lambda _{1}\\0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fadecfb1049bb475778371d522e63d7fa68cc94c)
,
En effet 
la décomposition de 
n'a aucune composante sur la matrice coordonnée de dans la base s'écrit ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}0\\\lambda _{2}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f467e9762216ab653b861332bce6a6a5fc41f530)
d'où
En effet la matrice de l'endomorphisme dans la base de ses vecteurs propres 
, «
» obtenue en juxtaposant les matrices coordonnées de et dans la base s'écrit donc «![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace X\right\rbrace ,\,\left\lbrace X\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[{\begin{array}{c c}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4015795a85d7f3f7d4d60af23d17744c92ca2cf5)
».
- ↑ 23,0 23,1 23,2 23,3 23,4 23,5 et 23,6 « La matrice de passage de la base à la base s'obtient en juxtaposant les matrices colonnes de la décomposition de chaque élément de la base dans la base ,
voir le paragraphe « matrice de passage entre deux bases de Rm, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de Rm » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel on prolonge la notion de matrice coordonnée d'un “-uplet ” de 
dans la base 
de voir le paragraphe « interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un m-uplet dans une base de Rm » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à celle de matrice coordonnée d'un vecteur du -espace vectoriel de dimension 
dans la base 
.
- ↑ 24,00 24,01 24,02 24,03 24,04 24,05 24,06 24,07 24,08 24,09 24,10 24,11 24,12 24,13 et 24,14 Voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « résolution par combinaison linéaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 26,0 et 26,1 Ce résultat devant être donné directement sans nécessité de le vérifier.
- ↑ 27,0 27,1 et 27,2 Comme la multiplicité géométrique est à sa multiplicité algébrique qui est pour une valeur propre double, sa multiplicité géométrique vaut théoriquement ou sa valeur minimale .
- ↑ En effet si la multiplicité géométrique de la seule valeur propre double était , la matrice
![{\displaystyle \;\left[B\right]\,\in \,M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ee5370a3cdddadad5de70c90d8ab204df97432)
serait semblable à ![{\displaystyle \;\lambda _{d}\;\left[I_{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4d8f06f9080b06db224a60859da5430e83feb4)
, cela signifierait ![{\displaystyle \;\exists \;\left[P\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72edfc1960f6d1d304c051f6b01870aef186f1ab)
inversible de 
telle que ![{\displaystyle \;\lambda _{d}\;\left[I_{2}\right]=\left[P\right]^{-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70119427aa9ab5d2c0ee63bcb9d4059b88e79bd8)
voir la note «3 » plus haut dans ce chapitre ![{\displaystyle \;\left[P\right]\times \left\lbrace \lambda _{d}\;\left[I_{2}\right]\right\rbrace \times \left[P\right]^{-1}=\left[B\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3aed30c0a504e89b35813b7de0c17539ecc9412)
![{\displaystyle \;\left[B\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61160c9bc2d85cb40e222bd5c73ef9f98b38f6a)
![{\displaystyle \left\lbrace \lambda _{d}\;\left[I_{2}\right]\right\rbrace \times \left[P\right]\times \left[P\right]^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02dfc34949ad1d433c3ef8ff95557419d17c78ca)
voir le paragraphe « particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée (4ème propriété) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » la commutativité de la matrice identité dans la multiplication matricielle à gauche ou à droite ![{\displaystyle \;\left[B\right]=\lambda _{d}\;\left[I_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65efd844fecc726a4bd0fc6af58cdc30121db0dc)
ce qui est contraire à la structure non diagonale de d'où la multiplicité géométrique de la seule valeur propre double ne peut pas être , elle est donc à .
- ↑ 29,0 et 29,1 La dimension du sous-espace vectoriel propre est car la multiplicité géométrique de la valeur propre double est , il suffit donc de déterminer un vecteur propre associé à la valeur propre pour définir le sous-espace vectoriel propre.
- ↑ Voir le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double et une simple » plus bas dans ce chapitre.
- ↑ Voir le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 diagonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double et une simple » plus bas dans ce chapitre.
- ↑ 32,0 32,1 et 32,2 En développant selon la 1ère colonne voir la méthode exposée dans le paragraphe « retour sur les deux exemples exposés précédemment » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 33,0 33,1 et 33,2 La dimension du sous-espace vectoriel propre associé à la valeur propre double est égale à la multiplicité géométrique de la valeur propre double,
si la valeur commune est , il suffira de déterminer un vecteur propre associé à la valeur propre pour définir le sous-espace vectoriel propre,
si la valeur commune est , il est nécessaire de déterminer deux vecteurs propres non liés associé à la valeur propre pour définir le sous-espace vectoriel propre.
- ↑ 34,0 34,1 34,2 34,3 et 34,4 On introduit la matrice identité
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9289104cb53bd119b82fdbb0844b9e0be5474c01)
dans le membre de droite pour simplifier l'équation matricielle ; en effet, après regroupement de tous les termes dans le membre de gauche, on factorise matriciellement à droite par la matrice coordonnée et on obtient une équation matricielle homogène c.-à-d. sans 2nd membre.
La factorisation matricielle à gauche ou à droite étant l'opération inverse de la distributivité de la multiplication matricielle à gauche ou à droite relativement à l'addition matricielle, voir le paragraphe « particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée (2ème et 3ème propriétés) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 35,0 35,1 35,2 35,3 35,4 35,5 35,6 et 35,7 Voir le paragraphe « interprétation matricielle (d'un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 36,0 36,1 36,2 36,3 et 36,4 Voir le paragraphe « résolution par combinaison linéaire (d'un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 37,0 37,1 37,2 37,3 et 37,4 Combinaison Linéaire.
- ↑ 38,0 38,1 38,2 et 38,3 Les trois équations algébriques linéaires à trois inconnues n'étant pas indépendantes, ce système homogène a une infinité de solutions non triviales car, si on élimine l'équation C.L. des deux autres il reste un système homogène de deux équations algébriques linéaires à trois inconnues.
- ↑ 39,0 39,1 et 39,2 Ce Qu'il Fallait Vérifier.
- ↑ 40,0 40,1 40,2 et 40,3 La dimension du sous-espace vectoriel propre est car la multiplicité géométrique d'une valeur propre simple est , il suffit donc de déterminer un vecteur propre associé à la valeur propre pour définir le sous-espace vectoriel propre.
- ↑ 41,00 41,01 41,02 41,03 41,04 41,05 41,06 41,07 41,08 41,09 et 41,10 À un facteur multiplicatif près.
- ↑ Ce Qu'il Fallait Démontrer.
- ↑ Les trois équations algébriques linéaires à trois inconnues n'étant pas indépendantes, ce système homogène a une infinité de solutions non triviales car, si on élimine deux des trois équations
entre elles il reste une équation algébrique linéaire à trois inconnues homogène.
- ↑ En effet la décomposition de n'a aucune composante sur
et 
la matrice coordonnée de dans la base s'écrit ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\lambda _{1}\\0\\0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd5885cf74f9f48f64f7fb8570dccbdf928b320)
,
En effet 
la décomposition de 
n'a aucune composante sur et la matrice coordonnée de dans la base s'écrit ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}0\\\lambda _{d}\\0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7840adce2077d4282846cb336b7640cc8f3d928)
,
En effet 
la décomposition de 
n'a aucune composante sur et la matrice coordonnée de dans la base s'écrit ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}0\\0\\\lambda _{d}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98a7dc9fde9d82bb8cede9d699bcb09dec447ae)
En effet d'où la matrice de l'endomorphisme dans la base de ses vecteurs propres 
, «» obtenue en juxtaposant les matrices coordonnées de 
, et dans la base s'écrit donc «![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace X\right\rbrace ,\,\left\lbrace X\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[{\begin{array}{c c c}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{d}&0\\0&0&\lambda _{d}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0990dce9953289c26646c52da2867c834361ce)
».
- ↑ 45,0 45,1 45,2 45,3 et 45,4 Voir le paragraphe « résolution par substitution (d'un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Ou triangulariser.
- ↑ Suivant le sens dans lequel on écrit les vecteurs colonnes de on obtient une matrice triangulaire supérieure ou inférieure.
- ↑ En effet la multiplicité géométrique d'une valeur propre simple étant égale à sa multiplicité algébrique c.-à-d. voir la note « 16 » plus haut dans ce chapitreet la somme des multiplicités algébriques des valeurs propres simples égale au degré du polynôme caractéristique ce dernier étant scindé sur , c.-à-d. entièrement factorisable en polynômes du 1er degré, il en est de même de la somme des multiplicités géométriques des valeurs propres simples d'où la condition de diagonalisation de la matrice vérifiée voir le paragraphe « condition pour qu'une matrice carrée de dimension (ou taille) n soit diagonalisable » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 49,00 49,01 49,02 49,03 49,04 49,05 49,06 49,07 49,08 et 49,09 C.-à-d. entièrement factorisable en polynômes du 1er degré sur .
- ↑ Bien sûr la recherche du caractère trigonalisable d'une matrice carrée n'a de sens que si cette dernière n'est pas diagonalisable, aussi commence-t-on toujours par vérifier ou non son éventuel caractère diagonalisable.
- ↑ Condition Nécessaire.
- ↑ Condition
Suffisante.
- ↑ Voir le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 diagonalisable, à polynôme caractéristique ayant deux racines réelles simples » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Voir le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 55,0 55,1 55,2 55,3 55,4 55,5 55,6 et 55,7 Voir le paragraphe « condition pour qu'une matrice carrée de dimension (ou taille) n soit trigonalisable » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Voir le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant pas de racines réelles » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 57,0 57,1 57,2 57,3 et 57,4 Voir le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 58,0 et 58,1 La multiplicité géométrique de la valeur propre double étant revoir la note « 16 » plus haut dans ce chapitre.
- ↑
étant effectivement non colinéaire à 
.
- ↑ En effet de «» on déduit «
![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}\alpha '&\beta '\\\gamma '&\delta '\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71357330d8c1bbea4ade172dac92ffc5b4870d0f)
» en formant ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\alpha '&\beta '\\\gamma '&\delta '\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&0\\1&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af5ff4fab6a40b8437981ba262bf3bcee6442d3)
![{\displaystyle =\left[I_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fef411416914e74d91deb11b659be03b3b4ea70)
donnant, en développant le produit matriciel voir la note « 24 » plus haut dans ce chapitre, le système 
d'où l'expression de la matrice inverse «».
- ↑ En effet de «
![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&1\\0&1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c12667aa5eaffd4e5109928dceb06a9990924f2)
» on déduit «![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}\alpha ''&\beta ''\\\gamma ''&\delta ''\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09690062b239daaa1ad0fc8bec3e2d714469f582)
» en formant ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\alpha ''&\beta ''\\\gamma ''&\delta ''\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&1\\0&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41f8b214cfe6de2db759726d510b4fed0b5a83b)
donnant, en développant le produit matriciel voir la note « 24 » plus haut dans ce chapitre, le système 
d'où l'expression de la matrice inverse «».
- ↑ 62,0 62,1 et 62,2 Voir le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant pas de racines réelles » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Voir le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 diagonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double et une simple » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Voir le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double et une simple » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 65,0 65,1 65,2 65,3 65,4 65,5 et 65,6 Voir le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double et une simple » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 66,0 et 66,1 Il n'y a qu'un vecteur propre associé à la valeur propre double car la multiplicité géométrique de cette dernière voir la note « 16 » plus haut dans ce chapitre est .
- ↑ Il s'agit du 1er élément car le vecteur propre associé à la valeur propre simple de l'endomorphisme représenté par la matrice dans la base a été choisi comme 1er vecteur de la nouvelle base ;
si le vecteur propre associé à la valeur propre simple de l'endomorphisme représenté par la matrice dans la base avait été choisi comme 2nd ou 3ème vecteur de la nouvelle base , ce serait le 2nd ou 3ème élément diagonal de la matrice réduite qui serait égal à la valeur propre simple de l'endomorphisme.
- ↑ Il s'agit des deux autres éléments de la 1ère colonne car le vecteur propre associé à la valeur propre simple de l'endomorphisme représenté par la matrice dans la base a été choisi comme 1er vecteur de la nouvelle base ;
si le vecteur propre associé à la valeur propre simple de l'endomorphisme représenté par la matrice dans la base avait été choisi comme 2nd ou 3ème vecteur de la nouvelle base , ce serait les deux autres éléments de la 2ème ou 3ème colonne de la matrice réduite qui seraient nuls.
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf218fbc487e14f73cca7693c1e60d9fce5eb3c)
