Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices carrées, leur inversion sous conditions

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Condition d'existence de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée

     Il existe un nombre important de conditions équivalentes pour traduire qu'une matrice carrée $\;\left[A\right]\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}\;$ fixée est inversible,
     Il existe un nombre important parmi toutes ces conditions $\;{\big (}$admises${\big )}\;$ nous retiendrons celle-ci :

« la matrice carrée $\;\left[A\right]\;$ est inversible » ssi « son déterminant $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)\;$ est $\;\neq 0\;$».

Formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée

Rappel sur la notion de comatrice d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée

     Soit « la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$», nous avons défini,

     Soit « la comatrice de $\;\left[A\right]$, notée $\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace$, comme la matrice de ses cofacteurs $\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»,

     Soit « la comatrice de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, notée $\;\color {transparent}{\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace }$, comme la matrice de « le cofacteur d'indice$\;_{i,\,j}\;$ de la matrice $\;\left[A\right]\;$ étant le scalaire $\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)=(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$» où
     Soit « la comatrice de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, notée $\;\color {transparent}{\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace }$, comme la matrice de « le cofacteur d'indice$\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ $\succ \;$«$\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]\;$ est la matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$
     Soit « la comatrice de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, notée $\;\color {transparent}{\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace }$, comme la matrice de « le cofacteur d'indice$\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{A'}_{i,\,j}\right]}\;$ est la matrice déduite de $\;\left[A\right]\;$ en remplaçant la j^ème colonne par une colonne constituée de $\;0$
     Soit « la comatrice de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, notée $\;\color {transparent}{\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace }$, comme la matrice de « le cofacteur d'indice$\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{A'}_{i,\,j}\right]}\;$ est la matrice déduite de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ à l'exception du cœfficient de la i^ème ligne remplacé par $\;1\;$» soit
     Soit « la comatrice de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, notée $\;\color {transparent}{\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace }$, comme la matrice de « le cofacteur d'indice$\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{1,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{i,\,j}}}\rightsquigarrow 1\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{n,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et
     Soit « la comatrice de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, notée $\;\color {transparent}{\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace }$, comme la matrice de « le cofacteur d'indice$\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ $\succ \;$«$\;\left[A_{i,\,j}\right]\;$ la sous-matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n-1\;$
     Soit « la comatrice de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, notée $\;\color {transparent}{\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace }$, comme la matrice de « le cofacteur d'indice$\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[A_{i,\,j}\right]}\;$ la sous-matrice déduite de $\;\left[A\right]\;$ en supprimant la i^ème ligne et la j^ème colonne » soit
     Soit « la comatrice de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, notée $\;\color {transparent}{\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace }$, comme la matrice de « le cofacteur d'indice$\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\left[A_{i,\,j}\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i-1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,j-1}\!\!&a_{i-1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,n}\\a_{i+1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,j-1}\!\!&a_{i+1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]$ $\in \;M_{n-1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»,
     Soit « la comatrice de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, notée $\;\color {transparent}{\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace }$, comme la matrice de « le cofacteur d'indice$\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ $\succ \;$«$\;\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)\;$ définissant un des $\;n^{2}\;$ mineurs d'ordre $\;n-1\;$ de $\;\left[A\right]\;$»
     Soit « la comatrice de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, notée $\;\color {transparent}{\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace }$, comme la matrice de « le cofacteur d'indice$\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)}\;$ définissant un des ${\big (}n\;$mineurs étant principaux d'ordre $\;n-1{\big )}$.

Explicitation de la formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée

Formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée inversible

     Soit $\;\left[A\right]\;$ une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ inversible,
     Soit $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ appelant « matrice complémentaire de $\;\left[A\right]\;$ la matrice transposée de la comatrice » c.-à-d. «$\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \;$»,
     Soit $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ la formule de Laplace de détermination de l'inverse de la matrice carrée $\;\left[A\right]$ $\;{\big (}$formule admise${\big )}\;$ s'écrit selon
          Soit $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ la formule de Laplace «$\;\left[A\right]^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \;$».

Application de la formule de Laplace pour déterminer l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) 2 ou 3

Cas d'une matrice carrée de dimension (ou taille) 2

La liste des exemples proposés ci-dessous est bien sûr non exhaustive, elle correspond aux exemples rencontrés au chap.$4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

1^er exemple

     Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}2\!\!&1\\1\!\!&2\end{array}}\right]$ : $\succ \;$tout d'abord vérifions que cette matrice est inversible, son déterminant valant $\;\mathrm {det} \!\left[P\right]=\;{\begin{array}{|c c|}\;2\!\!&1\;\\\;1\!\!&2\;\end{array}}=2\times 2-1\times 1=3\neq 0\;$,
     Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}2\!\!&1\\1\!\!&2\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$ensuite évaluons la comatrice de $\;\left[P\right]\;$ soit $\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}=2\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{1,\,2}=-1\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{2,\,1}=-1\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{2,\,2}=2\end{array}}\right]\;$,
     Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}2\!\!&1\\1\!\!&2\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$puis formons la matrice complémentaire de $\;\left[P\right]\;$ soit $\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}2\!\!&-1\\-1\!\!&2\end{array}}\right]\;$ et
     Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}2\!\!&1\\1\!\!&2\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$enfin déduisons la matrice inverse par formule de Laplace «$\;\left[P\right]^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(P\right)}}\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {2}{3}}\!\!&-{\dfrac {1}{3}}\\-{\dfrac {1}{3}}\!\!&{\dfrac {2}{3}}\end{array}}\right]\;$».

2^nd exemple

     Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}1\!\!&1\\1\!\!&0\end{array}}\right]$ : $\succ \;$tout d'abord vérifions que cette matrice est inversible, son déterminant valant $\;\mathrm {det} \!\left[P\right]=\;{\begin{array}{|c c|}\;1\!\!&1\;\\\;1\!\!&0\;\end{array}}=1\times 0-1\times 1=-1\neq 0\;$,
     Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}1\!\!&1\\1\!\!&0\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$ensuite évaluons la comatrice de $\;\left[P\right]\;$ soit $\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}=0\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{1,\,2}=-1\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{2,\,1}=-1\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{2,\,2}=1\end{array}}\right]\;$,
     Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}1\!\!&1\\1\!\!&0\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$puis formons la matrice complémentaire de $\;\left[P\right]\;$ soit $\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}0\!\!&-1\\-1\!\!&1\end{array}}\right]\;$ et
     Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}1\!\!&1\\1\!\!&0\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$enfin déduisons la matrice inverse par formule de Laplace «$\;\left[P\right]^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(P\right)}}\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}0\!\!&1\\1\!\!&-1\end{array}}\right]\;$».

Cas d'une matrice carrée de dimension (ou taille) 3

La liste des exemples proposés ci-dessous est bien sûr non exhaustive, elle correspond aux exemples rencontrés au chap.$4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

1^er exemple

     Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}3\!\!&1\!\!&0\\-5\!\!&0\!\!&1\\1\!\!&1\!\!&1\end{array}}\right]$ : $\succ \;$tout d'abord vérifions que cette matrice est inversible, son déterminant $\;\mathrm {det} \!\left[P\right]={\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&1\!\!&0\;\\\;-5\!\!&0\!\!&1\;\\\;1\!\!&1\!\!&1\;\end{array}}\;$ valant
                Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}3\!\!&1\!\!&0\end{array}}\right]}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$tout d'abord vérifions que cette matrice est inversible, son déterminant $\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left[P\right]=}$ $3\times (-1)-(-5)\times 1+1\times 1\;$ $=3\neq 0\;$,
            Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}3\!\!&1\!\!&0\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$ensuite évaluons la comatrice de $\;\left[P\right]$, $\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}=-1\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{1,\,2}=+6\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{1,\,3}=-5\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{2,\,1}=-1\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{2,\,2}=+3\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{2,\,3}=-2\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{3,\,1}=+1\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{3,\,2}=-3\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{3,\,3}=+5\end{array}}\right]\;$,
            Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}3\!\!&1\!\!&0\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$puis formons la matrice complémentaire de $\;\left[P\right]\;$ soit $\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}-1\!\!&-1\!\!&+1\\+6\!\!&+3\!\!&-3\\-5\!\!&-2\!\!&+5\end{array}}\right]\;$ et
            Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}3\!\!&1\!\!&0\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$enfin déduisons la matrice inverse par formule de Laplace «$\;\left[P\right]^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(P\right)}}\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}-{\dfrac {1}{3}}\!\!&-{\dfrac {1}{3}}\!\!&+{\dfrac {1}{3}}\\+2\!\!&+1\!\!&-1\\-{\dfrac {5}{3}}\!\!&-{\dfrac {2}{3}}\!\!&+{\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right]\;$».

2^nd exemple

     Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}3\!\!&0\!\!&1\\-5\!\!&1\!\!&0\\1\!\!&1\!\!&0\end{array}}\right]$ : $\succ \;$vérifions d'abord que cette matrice est inversible, son déterminant $\;\mathrm {det} \!\left[P\right]={\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&0\!\!&1\;\\\;-5\!\!&1\!\!&0\;\\\;1\!\!&1\!\!&0\;\end{array}}\;$ valant
                Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}3\!\!&0\!\!&1\end{array}}\right]}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$vérifions d'abord que cette matrice est inversible, son déterminant $\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left[P\right]=}$ $3\times 0-(-5)\times (-1)+1\times (-1)\;$ $=-6\neq 0\;$,
            Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}3\!\!&0\!\!&1\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$ensuite évaluons la comatrice de $\;\left[P\right]$, $\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}=0\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{1,\,2}=0\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{1,\,3}=-6\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{2,\,1}=+1\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{2,\,2}=-1\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{2,\,3}=-3\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{3,\,1}=-1\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{3,\,2}=-5\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{3,\,3}=+3\end{array}}\right]\;$,
            Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}3\!\!&0\!\!&1\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$puis formons la matrice complémentaire de $\;\left[P\right]\;$ soit $\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}0\!\!&+1\!\!&-1\\0\!\!&-1\!\!&-5\\-6\!\!&-3\!\!&+3\end{array}}\right]\;$ et
            Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}3\!\!&0\!\!&1\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$enfin déduisons la matrice inverse par formule de Laplace «$\;\left[P\right]^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(P\right)}}\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}0\!\!&-{\dfrac {1}{6}}\!\!&+{\dfrac {1}{6}}\\0\!\!&+{\dfrac {1}{6}}\!\!&+{\dfrac {5}{6}}\\+1\!\!&+{\dfrac {1}{2}}\!\!&-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\;$».

3^ème exemple

     Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}1\!\!&0\!\!&0\\-2\!\!&1\!\!&0\\1\!\!&0\!\!&1\end{array}}\right]$ : $\succ \;$vérifions d'abord que cette matrice est inversible, son déterminant $\;\mathrm {det} \!\left[P\right]={\begin{array}{|c c c|}\;1\!\!&0\!\!&0\;\\\;-2\!\!&1\!\!&0\;\\\;1\!\!&0\!\!&1\;\end{array}}\;$ valant
                Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}1\!\!&0\!\!&0\end{array}}\right]}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$vérifions d'abord que cette matrice est inversible, son déterminant $\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left[P\right]=}$ $1\times 1-(-2)\times 0+1\times 0\;$ $=1\neq 0\;$,
            Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}1\!\!&0\!\!&0\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$ensuite évaluons la comatrice de $\;\left[P\right]$, $\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}=+1\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{1,\,2}=+2\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{1,\,3}=-1\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{2,\,1}=0\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{2,\,2}=+1\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{2,\,3}=0\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{3,\,1}=0\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{3,\,2}=0\!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)_{3,\,3}=+1\end{array}}\right]\;$,
            Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}1\!\!&0\!\!&0\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$puis formons la matrice complémentaire de $\;\left[P\right]\;$ soit $\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}+1\!\!&0\!\!&0\\+2\!\!&+1\!\!&0\\-1\!\!&0\!\!&+1\end{array}}\right]\;$ et
            Soit à déterminer la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}1\!\!&0\!\!&0\end{array}}\right]}$ : $\succ \;$enfin déduisons la matrice inverse par formule de Laplace «$\;\left[P\right]^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(P\right)}}\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}+1\!\!&0\!\!&0\\+2\!\!&+1\!\!&0\\-1\!\!&0\!\!&+1\end{array}}\right]\;$».