Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Tenseur d'inertie d'un solide

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Tenseur d'inertie d'un solide
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Chapitre no 5
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)
Chap. préc. :Les tenseurs
Chap. suiv. :Notion d'angle solide
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Introduction au « tenseur d'inertie » en mécanique du solide[modifier | modifier le wikicode]

     Le « tenseur d'inertie » d'un solide[1] précise le positionnement des points matériels dans le référentiel spatial lié au solide[1] dans le but d'étudier dynamiquement un mouvement rotatoire du solide[1] autour d'une position fixe dans le référentiel de ce dernier ;

     pour cela on introduit d'abord la notion de « tenseur d'inertie » d'un point matériel dépendant de la masse et de la position de ce dernier dans le référentiel d'étude afin d'étudier dynamiquement son mouvement autour d'une position fixe dans le référentiel choisi,

     le « tenseur d'inertie » d'un solide[1] dans le référentiel spatial lié au solide[1] étant alors la somme des « tenseurs d'inertie » de tous les points matériels du solide[1].

Tenseur d'inertie d'un point matériel[modifier | modifier le wikicode]

Définition du tenseur d'inertie d'un point matériel[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : Le « tenseur d'inertie du point matériel » dans le référentiel d'étude dont est un point fixe est donc la somme de tenseurs d'ordre contravariants,
     Remarque : le 1er «» étant le produit d'un scalaire positif et du tenseur contravariant de Kronecker[5],
     Remarque : le 2nd «» étant le produit d'un scalaire négatif et du carré tensoriel du vecteur position.

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

     Avec la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et sa base orthonormée, le -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre contravariants a pour base orthonormée et les composantes des deux tenseurs d'ordre contravariants intervenant dans le tenseur d'inertie du point matériel sont :

  • pour le 1er «», la composante sur est étant le symbole de Kronecker[6] et
  • pour le 2nd «», la composante sur est avec d'où

     en en faisant la somme on obtient avec soit, en explicitant chaque composante :

,
,
,
,
,
,
,
et
.

Matrice d'inertie d'un point matériel ainsi que les moments et produits d'inertie du point[modifier | modifier le wikicode]

     Tout tenseur d'ordre du -espace vectoriel nonadimensionnel peut être représenté, avec choix d'une base orthonormée de , par une matrice carrée ,
     Tout tenseur d'ordre la représentation par matrice en supposant que le numéro de ligne corresponde à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs est sans ambiguïté en effet les composantes du tenseur d'inertie du point matériel étant invariantes par permutation des indices, nous obtenons une matrice symétrique et aurions eu la même matrice en ayant supposé que le numéro de ligne correspondît à la place du 2ème indice dans son ensemble ordonné de valeurs  ;

     Tout tenseur d'ordre la matrice carrée représentant le tenseur d'inertie du point matériel dans la base orthonormée de est appelée matrice d'inertie du point matériel et notée ou simplement en absence d'ambiguïté, elle s'écrit

 ;

     parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du point matériel on distingue :

  • les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du point par rapport à un axe privilégié plus précisément
          « moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
          « moment d'inertie de par rapport à l'axe » et
          « moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
  • l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du point dans un plan privilégié plus précisément
          « produit d'inertie de dans le plan »,
          « produit d'inertie de dans le plan » et
          « produit d'inertie de dans le plan »,

     soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du point selon

.

Tenseur d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable)[modifier | modifier le wikicode]

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

     Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée du -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre contravariants étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et sa base orthonormée, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, d'ajouter les composantes des tenseurs d'inertie de chaque point matériel [7] sur ce vecteur de base, ce qui donne :

,
,
,
,
,
,
,
et
.

Matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

     Tout tenseur d'ordre du -espace vectoriel nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de , par une matrice carrée et
 Tout le tenseur d'inertie d'un solide étant la somme des tenseurs d'inertie des points matériels le composant qui sont des tenseurs d'ordre étant donc lui-même un tenseur d'ordre ,
 Tout le tenseur d'inertie d'un solide est aussi représenté par une matrice , laquelle est la somme des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des points matériels du solide nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs [8] ;

 Tout le tenseur d'inertie d'un solide la matrice carrée représentant le tenseur d'inertie du solide [9] dans la base orthonormée de est appelée matrice d'inertie du solide et notée ou simplement en absence d'ambiguïté, elle s'écrit

 ;

     parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide on distingue :

  • les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
          « moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
          « moment d'inertie de par rapport à l'axe » et
          « moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
  • l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
          « produit d'inertie de dans le plan »,
          « produit d'inertie de dans le plan » et
          « produit d'inertie de dans le plan »,

     soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon

.

Axes principaux d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Caractère « autoadjoint » de l'endomorphisme représenté par la matrice d'inertie d'un solide, matrice autoadjointe[modifier | modifier le wikicode]

     Toute matrice carrée à cœfficients réels représentant un endomorphisme[10] du -espace vectoriel la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien modélisant l'espace physique, il existe donc un endomorphisme du -espace vectoriel représenté par la matrice d'inertie du solide étudié c'est-à-dire

avec la base choisie orthonormée « de », «[11] tel que »[12] ;

     le caractère « symétrique » de la matrice d'inertie du solide représentant l'endomorphisme de dans la base de ce dernier confère
     le caractère « autoadjoint »[13] à l'endomorphisme associé est un « endomorphisme autoadjoint de » ssi «, »[14], raison pour laquelle une « matrice symétrique à cœfficients réels » est encore appelée « matrice autoadjointe »[15].

Caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème

     D'après le théorème spectral en dimension finie pour les matrices, on peut donc affirmer que la matrice d'inertie du solide est diagonalisable.

Définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

     Comme nous l'avons vu en conclusion du paragraphe « caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide » plus haut dans ce chapitre, la nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie du solide relativement à un référentiel lié à ce dernier, dans la base orthonormée du -espace vectoriel tridimensionnel euclidien direction de l'espace affine modélisant l'espace physique le caractère diagonalisable de cette matrice,
     il est donc possible de choisir une nouvelle base orthonormée de pour que la matrice d'inertie du solide soit transformée en diagonale ;
     les axes passant par le point et respectivement orientés par définissent les « axes principaux d'inertie du solide issus de point fixe de ce dernier» ;
     les éléments diagonaux de à savoir , et sont appelés « moments principaux d'inertie du solide relativement aux axes respectifs », leurs valeurs dépendent de la répartition des points matériels du solide autour des axes principaux d'inertie de ce dernier ;

     la matrice d'inertie du solide dans un référentiel lié à et « relativement axes principaux d'inertie de ce dernier issus du point , point fixe de », s'écrit, avec «, et moments principaux d'inertie de », selon

«».

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie[modifier | modifier le wikicode]

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)[modifier | modifier le wikicode]

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

     Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée du -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre contravariants étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et sa base orthonormée, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire « la somme continue[21] » des composantes des tenseurs d'inertie de chaque « pseudo-point »[22],[7] sur ce vecteur de base avec  :

[23],
[23],
[23],
[23],
[23],
[23],
[23],
[23] et
[23].

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

     Tout tenseur d'ordre du -espace vectoriel nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de , par une matrice carrée et
 Tout le tenseur d'inertie du solide étant « la somme continue[21] » des tenseurs d'inertie des « pseudo-points »[22] le composant qui sont des tenseurs d'ordre étant donc lui-même un tenseur d'ordre ,
 Tout le tenseur d'inertie d'un solide est aussi représenté par une matrice , laquelle est « la somme continue[21] » des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des « pseudo-points »[22] du solide nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs [8] ;

 Tout le tenseur d'inertie d'un solide la matrice carrée représentant le tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée de est appelée matrice d'inertie du solide et notée ou simplement en absence d'ambiguïté, elle s'écrit

«»[23] ;

     parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide on distingue :

  • les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
         [23] « moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
         [23] « moment d'inertie de par rapport à l'axe » et
         [23] « moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
  • l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
         [23] « produit d'inertie de dans le plan »,
         [23] « produit d'inertie de dans le plan » et
         [23] « produit d'inertie de dans le plan »,

     soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon

.

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion surfacique finie[modifier | modifier le wikicode]

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)[modifier | modifier le wikicode]

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

     Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée du -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre contravariants étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et sa base orthonormée, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire « la somme continue[24] » des composantes des tenseurs d'inertie de chaque « pseudo-point »[25],[7] sur ce vecteur de base, ce qui donne :

[26],
[26],
[26],
[26],
[26],
[26],
[26],
[26] et
[26].

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

     Tout tenseur d'ordre du -espace vectoriel nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de , par une matrice carrée et
 Tout le tenseur d'inertie du solide étant « la somme continue[24] » des tenseurs d'inertie des « pseudo-points »[25] le composant qui sont des tenseurs d'ordre étant donc lui-même un tenseur d'ordre ,
 Tout le tenseur d'inertie d'un solide est aussi représenté par une matrice , laquelle est « la somme continue[24] » des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des « pseudo-points »[25] du solide nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs [8] ;

 Tout le tenseur d'inertie d'un solide la matrice carrée représentant le tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée de est appelée matrice d'inertie du solide et notée ou simplement en absence d'ambiguïté, elle s'écrit

«»[26] ;

     parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide on distingue :

  • les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
         [26] « moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
         [26] « moment d'inertie de par rapport à l'axe » et
         [26] « moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
  • l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
         [26] « produit d'inertie de dans le plan »,
         [26] « produit d'inertie de dans le plan » et
         [26] « produit d'inertie de dans le plan »,

     soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon

.

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion linéique finie[modifier | modifier le wikicode]

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)[modifier | modifier le wikicode]

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

     Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée du -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre contravariants étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et sa base orthonormée, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire « la somme continue[27] » des composantes des tenseurs d'inertie de chaque « pseudo-point »[28],[7] sur ce vecteur de base, ce qui donne :

[29],
[29],
[29],
[29],
[29],
[29],
[29],
[29] et
[29].

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

     Tout tenseur d'ordre du -espace vectoriel nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de , par une matrice carrée et
 Tout le tenseur d'inertie du solide étant « la somme continue[27] » des tenseurs d'inertie des « pseudo-points »[28] le composant qui sont des tenseurs d'ordre étant donc lui-même un tenseur d'ordre ,
 Tout le tenseur d'inertie d'un solide est aussi représenté par une matrice , laquelle est « la somme continue[27] » des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des « pseudo-points »[28] du solide nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs [8] ;

 Tout le tenseur d'inertie d'un solide la matrice carrée représentant le tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée de est appelée matrice d'inertie du solide et notée ou simplement en absence d'ambiguïté, elle s'écrit

«»[29] ;

     parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide on distingue :

  • les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
         [29] « moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
         [29] « moment d'inertie de par rapport à l'axe » et
         [29] « moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
  • l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
         [29] « produit d'inertie de dans le plan »,
         [29] « produit d'inertie de dans le plan » et
         [29] « produit d'inertie de dans le plan »,

     soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon

.

Axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « axes principaux d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels » plus haut dans le chapitre l'exposé de ce dernier se faisant sur les matrices et non sur la façon dont celles-ci ont été obtenues peut être reproduit sans aucune modification pour un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie[modifier | modifier le wikicode]

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :
  • « Boule[30] , homogène, de rayon , de centre et de masse »[31], « tout axe passant par son centre est axe principal d'inertie »[32] « le moment principal d'inertie correspondant étant »[33].
  • « Cylindre de révolution[34] , homogène, de rayon , de longueur , de centre et de masse »[35],
           Cylindre de révolution , « l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie »[36], « le moment principal d'inertie correspondant étant »[37] et
           Cylindre de révolution , « tout axe passant par son centre et à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie »[36], « le moment principal d'inertie correspondant étant »[38].

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie[modifier | modifier le wikicode]

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :
  • « Sphère[30] , homogène, de rayon , de centre et de masse »[39], « tout axe passant par son centre est axe principal d'inertie »[40], « le moment principal d'inertie correspondant étant »[41].
  • « Tuyau cylindrique de révolution[34] , homogène, de rayon , de longueur , de centre , ouvert aux deux extrémités et de masse »[42],
           Tuyau cylindrique de révolution , « l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie »[43], « le moment principal d'inertie correspondant étant »[44] et
           Tuyau cylindrique de révolution , « tout axe passant par son centre et à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie »[43], « le moment principal d'inertie correspondant étant »[45].
  • « Disque[46] , homogène, de rayon , de centre et de masse »[47],
           Disque , « l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe du disque est axe principal d'inertie »[48], « le moment principal d'inertie correspondant étant »[49] et
           Disque , « tout axe passant par son centre et à l'axe du disque c'est-à-dire tout support de diamètre est aussi axe principal d'inertie »[48], « le moment principal d'inertie correspondant étant »[50].

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie[modifier | modifier le wikicode]

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :
  • « Cercle[46] , homogène, de rayon , de centre et de masse »,
           Cercle , « l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe du cercle est axe principal d'inertie »[51], « le moment principal d'inertie correspondant étant »[52] et
           Cercle , « tout axe passant par son centre et à l'axe du cercle c'est-à-dire tout support de diamètre est aussi axe principal d'inertie »[51], « le moment principal d'inertie correspondant étant »[53].
  • Tige rectiligne , homogène, de longueur , de centre d'inertie et de masse ,
    Tige rectiligne,« l'axe passant par son centre d'inertie et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme axe principal d'inertie »[54], mais « le moment principal d'inertie correspondant étant nul »[55] cette valeur nulle de fait qu'en pratique l'axe n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de et
    Tige rectiligne,« tout axe passant par son centre et à l'axe de la tige c'est-à-dire tout support de médiatrice est axe principal d'inertie »[54], « le moment principal d'inertie correspondant étant »[56].

Méthode d'évaluation de moments principaux d'inertie d'un solide (système continu indéformable d'expansion spatiale finie) utilisant les éléments de symétrie de la répartition massique de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

     Si un solide système continu indéformable d'expansion volumique, surfacique ou linéique finie est de répartition massique identique par symétrie relativement à deux axes principaux d'inertie distincts, les moments principaux d'inertie du solide relativement à ces deux axes sont égaux ;

     pour utiliser cette propriété l'idéal est de trouver une identité de répartition de masse par symétrie relativement à

  • trois axes principaux d'inertie respectivement perpendiculaires et issus d'un même point[57] c'est-à-dire de trouver un repère principal d'inertie ayant le point pour origine ou, à défaut,
  • deux axes principaux d'inertie perpendiculaires, issus d'un même point[57], le moment principal d'inertie relativement au 3ème axe du repère principal d'inertie étant connu

     Exemples (liste non exhaustive) :

  • Boule[30] , homogène, de rayon , de centre et de masse [31], les axes issus de son centre formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de étant identique par symétrie relativement à chacun de ces axes, on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit de valeur commune ou, en les ajoutant, «»[23] ou « »[23] avec , rayon polaire de repérage sphérique de pôle ou, adoptant la forme semi-intégrée de l'élément de volumique tenant compte du fait que la fonction à intégrer ne dépend par de [58] « d'où » et, en fonction de [31], «».
  • Sphère[30] , homogène, de rayon , de centre et de masse [39], les axes issus de son centre formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de étant identique par symétrie relativement à chacun de ces axes, on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit de valeur commune ou, en les ajoutant, «»[26] ou «»[26] , rayon polaire de repérage sphérique de pôle «» d'où «».
  • Tuyau cylindrique de révolution[34] , homogène, de rayon , de longueur , de centre , ouvert aux deux extrémités et de masse [42], les axes issus de son centre formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de étant identique par symétrie relativement aux axes , on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit de valeur commune ou, en les ajoutant au 3ème moment d'inertie relativement à , « »[26] soit, avec , coordonnées en repérage cylindro-polaire de pôle et d'axe , «»[26] où, la fonction à intégrer étant indépendante de , on adopte la forme semi-intégrée de l'élément d'aire [59] soit « » ou, en fonction de [42], «» ;
         Tuyau cylindrique de révolution , il reste à évaluer directement «»[26] revoir la note « 44 » plus haut dans ce chapitre « par définition de la masse », on en déduit «» «».
  • Disque[46] , homogène, de rayon , de centre et de masse [47], les axes issus de son centre formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de étant identique par symétrie relativement aux axes , on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit de valeur commune ou, en les ajoutant au 3ème moment d'inertie relativement à l'axe du disque, « somme s'écrivant encore »[26] soit, avec , coordonnées en repérage cylindro-polaire de pôle et d'axe , « »[26] où, la fonction à intégrer étant indépendante de , on adopte la forme semi-intégrée de l'élément d'aire [59] soit « » ou encore, en fonction de [47], «» ;
         Disque , il reste à évaluer directement «»[26] revoir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre « par définition de la masse », on en déduit «» «».
  • Cercle[46] , homogène, de rayon , de centre et de masse , les axes issus de son centre formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de étant identique par symétrie relativement aux axes , on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit de valeur commune ou, en les ajoutant au 3ème moment d'inertie relativement à l'axe du cercle, « somme s'écrivant encore »[29] soit, avec , coordonnées en repérage cylindro-polaire de pôle et d'axe , « [29] par définition de la masse » ;
         Cercle , il reste à évaluer directement «[29] par définition de la masse », on en déduit «» « ».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 et 1,5 Au sens de la mécanique des systèmes de points matériels c'est-à-dire un système de points matériels indéformable.
  2. Voir le paragraphe « construction de tenseurs d'ordre deux » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 et 3,4 étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien utilisé en physique
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 et 4,4 La note ci-dessous est rédigée à partir du vecteur mais elle reste applicable au vecteur  ;
       le carré scalaire est aussi un « crochet de dualité » défini sur c'est-à-dire une forme bilinéaire non dégénérée construite ici à l'aide de la multiplication scalaire sur direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien telle qu’au vecteur on associe le covecteur “un covecteur de , lequel est le dual de , étant encore une forme linéaire de ce dernier, le « crochet de dualité » entre le covecteur “” et le vecteur étant défini par , de façon plus générale le « crochet de dualité » entre un covecteur c'est-à-dire une forme linéaire de et un vecteur s'évalue selon soit, en « notant le covecteur “” associé au vecteur », la réécriture du carré scalaire selon « » ;
       d'autre part on a défini dans le paragraphe « produit contracté de deux tenseurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » le produit contracté d'un tenseur d'ordre covariant et d'un tenseur d'ordre contravariant que l'on note le produit contracté de ces deux tenseurs d'ordre s'obtient en formant leur produit tensoriel l'espace des tenseurs d'ordre monocovariant et monocontravariant et en contractant ce tenseur d'ordre c'est-à-dire en déterminant les composantes de ce tenseur à présenter en matrice et en en prenant la trace c'est-à-dire en faisant la somme de ses éléments diagonaux ce qui donne un tenseur d'ordre c'est-à-dire un scalaire, soit ici comme cela a été établi dans le 1er exemple du paragraphe précité « produit contracté de deux tenseurs » ;
       en conclusion le carré scalaire est égal au produit contracté du covecteur et du vecteur soit .
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 et 5,5 Le tenseur contravariant de Kronecker est, comme les deux autres tenseurs de Kronecker également notés l'un étant covariant et l'autre “ mixte ” c'est-à-dire monocontravariant et monocovariant, un tenseur d'ordre ,
       il est défini relativement à la base orthonormée de l'espace vectoriel auquel il appartient voir la note « 93 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » par , ce tenseur d'ordre contravariant étant aussi une forme bilinéaire de ,
       son application sur chaque couple de vecteurs de base orthonormée de conduit à « » en notant « le covecteur “” associé au vecteur », avec la multiplication scalaire définie sur notée «» soit encore « » étant le symbole de Kronecker et
       son application sur le couple , « » voir le paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 et 6,5 Leopold Kronecker (1823 - 1891) mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'équation quintique en utilisant la théorie des groupes.
  7. 7,0 7,1 7,2 et 7,3 Voir le paragraphe « détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels » plus haut dans ce chapitre.
  8. 8,0 8,1 8,2 et 8,3 Mais ce choix n'a aucune influence car les composantes du tenseur d'inertie du solide étant invariantes par permutation des indices, la matrice le représentant est symétrique et par suite nous aurions eu la même matrice en ayant supposé que le numéro de ligne correspondît à la place du 2ème indice dans son ensemble ordonné de valeurs
  9. Le solide est le système indéformable des points matériels .
  10. Voir le paragraphe « 2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C) cas où les deux espaces vectoriels sont confondus avec l'application linéaire étant alors un endomorphisme et » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  11. L'ensemble des endomorphismes de est un -espace vectoriel noté ou encore mais le plus souvent on se contente de .
  12. Voir les notations du paragraphe « 2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  13. Voir le paragraphe « décomposition spectrale de l'article Matrice symétrique de wikipédia » dans lequel il est précisé la prorpiété suivante « dans un espace euclidien, une matrice représentant un endomorphisme dans une base orthonormée est symétrique ssi l'endomorphisme est autoadjoint ».
  14. Soit la matrice carrée symétrique représentant l'endomorphisme de dans la base , les matrices colonnes de étant les composantes de sur la base d'où ou, par multiplication scalaire avec , c'est-à-dire le caractère « autoadjoint » de .
  15. La matrice adjointe d'une matrice à cœfficients réels est la matrice transposée de cette dernière cette notion n'introduit donc rien de nouveau pour une matrice à cœfficients réels ;
            par contre la matrice adjointe d'une matrice à cœfficients complexes est définie comme la matrice transconjuguée c'est-à-dire transposée de la conjuguée de cette dernière, elle se distingue de et son introduction a un intérêt évident ;
       une matrice autoadjointe à cœfficients réels étant telle que son adjointe se confond avec elle c'est-à-dire ou est donc aussi une matrice symétrique ;
            par contre si une matrice autoadjointe à cœfficients complexes est toujours telle que son adjointe se confond avec elle, cela s'écrit, en notant la matrice conjuguée de , ou ce qui nécessite les cœfficients diagonaux de réels et ses cœfficients non diagonaux symétriques par rapport à la diagonale principale deux à deux complexes conjugués.
  16. Voir le paragraphe « caractère auto-adjoint de l'endomorphisme représenté par la matrice d'inertie d'un solide, matrice auto-adjointe (définition d'un endomorphisme auto-adjoint dans le dernier paragraphe [entre crochets]) » plus haut dans ce chapitre.
  17. Le théorème spectral en dimension finie pour les endomorphismes reste applicable si ces derniers sont définis dans un espace hermitien ;
       un espace hermitien est un -espace vectoriel de dimension finie, muni d'une multiplication scalaire hermitienne c'est-à-dire une « application »
    • telle que «»,
    • sesquilinéaire à gauche c'est-à-dire semi-linéaire par rapport au 1er argument, le 2nd étant fixé «» étant le conjugué de ,
      sesquilinéaire à gauche c'est-à-dire linéaire par rapport au 2nd argument, le 1er étant fixé «»,
    • symétrique hermitienne c'est-à-dire «»,
    • positive c'est-à-dire «» et
    • définie c'est-à-dire «».
       Charles Hermite (1822 - 1901) mathématicien français connu pour ses travaux sur la théorie des nombres, les formes quadratiques, les polynômes othogonaux, les fonctions elliptiques et les équations différentielles, il fut aussi l'un des 1ers à utiliser les matrices ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.
  18. Voir le paragraphe « valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  19. Voir le paragraphe « tentative de diagonalisation d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  20. Une matrice orthogonale est une matrice carrée à cœfficients réels dans le cas présent unitaire c'est-à-dire telle que « » où est la matrice adjointe de ou encore, la matrice étant réelle, «» ;
       une matrice carrée est orthogonale ssi tous ses vecteurs colonnes sont orthogonaux entre eux et de norme unité, une matrice orthogonale représente donc une base orthonormée.
  21. 21,0 21,1 21,2 et 21,3 Par intégrale volumique voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  22. 22,0 22,1 22,2 et 22,3 Un « pseudo-point » appellation non normalisée d'une expansion tridimensionnelle est un élément de matière, centré en , de volume et de masse dans laquelle est la masse volumique du milieu en , on admet que l'on peut étendre aux « pseudo-points » les notions introduites sur les points
  23. 23,00 23,01 23,02 23,03 23,04 23,05 23,06 23,07 23,08 23,09 23,10 23,11 23,12 23,13 23,14 23,15 23,16 23,17 et 23,18 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  24. 24,0 24,1 24,2 et 24,3 Par intégrale surfacique voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  25. 25,0 25,1 25,2 et 25,3 Un « pseudo-point » (appellation non normalisée d'une expansion surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire et de masse dans laquelle est la masse surfacique du milieu en , on admet que l'on peut étendre aux « pseudo-points » les notions introduites sur les points
  26. 26,00 26,01 26,02 26,03 26,04 26,05 26,06 26,07 26,08 26,09 26,10 26,11 26,12 26,13 26,14 26,15 26,16 26,17 26,18 26,19 26,20 26,21 26,22 26,23 et 26,24 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  27. 27,0 27,1 27,2 et 27,3 Par intégrale curviligne voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  28. 28,0 28,1 28,2 et 28,3 Un « pseudo-point » (appellation non normalisée d'une expansion linéique est un élément de matière, centré en , de longueur et de masse dans laquelle est la masse linéique du milieu en , on admet que l'on peut étendre aux « pseudo-points » les notions introduites sur les points
  29. 29,00 29,01 29,02 29,03 29,04 29,05 29,06 29,07 29,08 29,09 29,10 29,11 29,12 29,13 29,14 29,15 29,16 29,17 29,18 et 29,19 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  30. 30,0 30,1 30,2 et 30,3 On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».
  31. 31,0 31,1 et 31,2 Le volume d'une boule de rayon étant , voir le paragraphe « exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  32. En effet, choisissant porté par comme axe de repérage sphérique de pôle , le point étant alors de coordonnées sphériques , on vérifie aisément que les produits d'inertie de dans les plans , et sont nuls on utilise , , et voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage sphérique » du chap., « expression en paramétrage sphérique (de l'élément de volume) » et « méthode (de calcul d'une intégrale volumique) se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle » du même chap. :
    • les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes des autres variables, l'intégrale volumique est le produit de intégrales sur un intervalle soit «», la dernière intégrale valant ,
    • produit de intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus soit «», la dernière intégrale valant ,
    • produit de intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus soit «», la dernière intégrale valant .
  33. En effet, choisissant porté par comme axe de repérage sphérique de pôle , le point étant alors de coordonnées sphériques , le moment principal d'inertie relativement à se calcule par , on utilise et voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique » du chap. et « expression en paramétrage sphérique (de l'élément de volume) » du chap. ;
       la fonction à intégrer ne dépendant pas de on peut prendre une forme semi-intégrée de l'élément de volume correspondant à l'intégration sur de à voir le paragraphe « présentation (de la notion de volume élémentaire semi-intégré) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit et les bornes d'intégration sur les deux intégrales restantes étant des constantes, ces intégrales simples ne sont pas emboîtées d'où voir le paragraphe « méthode se ramenant au calcul de trois intégrales (en fait deux ici) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » avec et dont on déduit soit, en tenant compte de l'expression de la masse de la boule , l'expression du moment principal d'inertie relativement à ,  ;
        étant maintenu porté par , les moments principaux d'inertie de relativement à ou sont égaux à celui relativement à la matrice d'inertie de s'écrit
    «» «» étant la matrice identité.
  34. 34,0 34,1 et 34,2 En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.
  35. Le volume d'un cylindre de révolution de rayon et de longueur étant , voir le paragraphe « exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  36. 36,0 et 36,1 En effet, choisissant porté par l'axe de révolution comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle , le point étant alors de coordonnées cylindro-polaires on vérifie aisément que les produits d'inertie de dans les plans , et sont nuls on utilise , et voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire » du chap., « expression en paramétrage cylindro-polaire (de l'élément de volume) » et « méthode (de calcul d'une intégrale volumique) se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle » du même chap. :
    • les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes des autres variables, l'intégrale volumique est le produit de intégrales sur un intervalle soit «», la dernière intégrale valant ,
    • produit de intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus soit « », la dernière intégrale valant ,
    • produit de intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus soit «», la dernière intégrale valant .
  37. En effet, choisissant porté par l'axe de révolution comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle , le point étant alors de coordonnées cylindro-polaires , le moment principal d'inertie relativement à se calcule par l'intégrale volumique , la distance de à étant , voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », le paragraphe « expression en paramétrage cylindro-polaire (de l'élément de volume) » du chap. ;
       la fonction à intégrer ne dépendant pas de et de on peut prendre une forme semi-intégrée de l'élément de volume correspondant à l'intégration sur de à et sur de à voir le paragraphe « présentation (de la notion de volume élémentaire semi-intégré, 3ème sous-paragraphe) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit d'où avec dont on déduit soit, en tenant compte de l'expression de la masse du cylindre , l'expression du moment principal d'inertie relativement à ,  ;
        étant maintenu porté par , les moments principaux d'inertie de relativement à ou sont égaux de valeur commune déterminée dans la note « 38 » plus bas dans ce chapitre la matrice d'inertie de s'écrit
    «».
    .
  38. En effet, choisissant comme axe passant par et à l'axe de révolution, puis utilisant a priori le repérage cartésien, le point étant alors de coordonnées cartésiennes , le moment principal d'inertie relativement à se calcule par l'intégrale volumique , la distance de à étant avec projeté orthogonal de sur  ;
       on utilise la méthode d'intégration du paragraphe « méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
    • en figeant tout d'abord et en intégrant sur de à puis
    • en laissant figé et en intégrant sur de à et enfin
    • en intégrant sur de à soit
       , l'intégration sur se faisant par le changement de variable d'où , ce qui s'intègre en passant à l'angle double selon et en utilisant soit et finalement, en tenant compte de l'expression de la masse du cylindre , l'expression du moment principal d'inertie relativement à , l'expression de étant la même ;
       rappel : l'expression du moment principal d'inertie relativement à l'axe a été déterminée dans la note « 37 » plus haut dans ce chapitre et on trouve également dans cette note « 37 » la matrice d'inertie de .
  39. 39,0 et 39,1 L'aire de la surface d'une sphère de rayon étant , voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  40. En effet, choisissant porté par comme axe de repérage sphérique de pôle , le point étant alors de coordonnées sphériques , on vérifie aisément que les produits d'inertie de dans les plans , et sont nuls on utilise , , et voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage sphérique » du chap., « expressions en paramétrage sphérique (de l'aire élémentaire d'une sphère) » et « les grandes lignes de la méthode d'évaluation (d'une intégrale surfacique) » du même chap. :
    • les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes de l'autre, l'intégrale surfacique est le produit de intégrales sur un intervalle soit «», la dernière intégrale valant ,
    • produit de intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus soit «», la dernière intégrale valant ,
    • produit de intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus soit «», la dernière intégrale valant .
  41. En effet, choisissant porté par comme axe de repérage sphérique de pôle , le point étant alors de coordonnées sphériques , le moment principal d'inertie relativement à se calcule par , on utilise et voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique » du chap. et « expressions en paramétrage sphérique (de l'aire élémentaire d'une sphère) » du chap. ;
       la fonction à intégrer ne dépendant pas de la longitude on peut prendre une forme semi-intégrée de l'élément de surface correspondant à l'intégration sur de à soit voir le paragraphe « notion de surface élémentaire semi-intégrée (1er sous paragraphe) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », d'où dans laquelle soit, en tenant compte de l'expression de la masse de la sphère , l'expression du moment principal d'inertie relativement à ,  ;
        étant maintenu porté par , les moments principaux d'inertie de relativement à ou sont égaux à celui relativement à la matrice d'inertie de s'écrit
    «» «» étant la matrice identité.
    .
  42. 42,0 42,1 et 42,2 L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon et de longueur étant , voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  43. 43,0 et 43,1 En effet, choisissant porté par l'axe de révolution comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle , le point étant alors de coordonnées cylindro-polaires on vérifie aisément que les produits d'inertie de dans les plans , et sont nuls on utilise , et voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire » du chap., « expressions en paramétrage cylindro-polaire (de l'aire élémentaire de la surface d'un tuyau cylindrique) » et « les grandes lignes de la méthode d'évaluation (d'une intégrale surfacique) » du même chap. :
    • les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes de l'autre, l'intégrale surfacique est le produit de intégrales sur un intervalle soit «», la dernière intégrale valant ,
    • produit de intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus soit « », la dernière intégrale valant ,
    • produit de intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus soit «», la dernière intégrale valant .
  44. En effet, chaque pseudo-point c'est-à-dire chaque élément de matière, centré en , d'aire et de masse étant à la même distance de l'axe , le moment principal d'inertie de relativement à défini selon se réécrit  ;
        étant maintenu porté par , les moments principaux d'inertie de relativement à ou sont égaux de valeur commune déterminée dans la note « 45 » plus bas dans ce chapitre la matrice d'inertie de s'écrit
    «».
    .
  45. En effet, choisissant comme axe passant par et à l'axe de révolution, puis utilisant a priori le repérage cylindro-polaire de pôle et d'axe , le point étant alors de coordonnées cylindro-polaires , le moment principal d'inertie relativement à se calcule par l'intégrale surfacique la distance de à étant avec projeté orthogonal de sur et ensuite,
       par la méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on évalue l'intégrale surfacique
    • en figeant tout d'abord et en intégrant sur de à puis
    • en intégrant sur de à soit
        dans laquelle s'intègre en passant à l'angle double selon soit et finalement, en tenant compte de l'expression de la masse du tuyau cylindrique , l'expression du moment principal d'inertie relativement à ,  ;
       rappel : l'expression du moment principal d'inertie relativement à l'axe a été déterminée dans la note « 44 » plus haut dans ce chapitre et on trouve également dans cette note « 44 » la matrice d'inertie de .
  46. 46,0 46,1 46,2 et 46,3 On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.
  47. 47,0 47,1 et 47,2 L'aire de la surface d'un disque de rayon étant , voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  48. 48,0 et 48,1 En effet, choisissant porté par l'axe de révolution comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle , le point étant alors de coordonnées cylindro-polaires on vérifie aisément que les produits d'inertie de dans les plans , et sont nuls on utilise , et voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire » du chap., « expressions en paramétrage cylindro-polaire (de l'aire élémentaire d'un disque) » et « les grandes lignes de la méthode d'évaluation (d'une intégrale surfacique) » du même chap. :
    • les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes de l'autre, l'intégrale surfacique est le produit de intégrales sur un intervalle soit «», la dernière intégrale valant ,
    • «» car ,
    • «» car .
  49. En effet, choisissant le repérage polaire des points du disque, chaque pseudo-point c'est-à-dire chaque élément de matière, centré en , d'aire et de masse étant à la distance rayon polaire de de l'axe , le moment principal d'inertie de relativement à défini selon se réécrit, avec , selon car les bornes d'intégration étant des constantes, les intégrales simples ne sont pas emboîtées voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit, en tenant compte de l'expression de la masse du disque , l'expression du moment principal d'inertie relativement à ,  ;
        étant maintenu porté par , les moments principaux d'inertie de relativement à ou sont égaux de valeur commune déterminée dans la note « 50 » plus bas dans ce chapitre la matrice d'inertie de s'écrit
    «».
    .
  50. En effet, choisissant comme axe passant par et à l'axe du disque, puis utilisant a priori le repérage polaire de pôle et d'axe polaire , le point étant alors de coordonnées polaires , le moment principal d'inertie relativement à se calcule par l'intégrale surfacique dans laquelle la distance de à est , le contenu du 2ème crochet étant l'aire élémentaire  ;
       on utilise la méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
    • en figeant tout d'abord et en intégrant sur de à puis
    • en intégrant sur de à soit
        car les bornes d'intégration étant des constantes, les intégrales simples ne sont pas emboîtées voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle s'intègre en passant à l'angle double selon soit, en tenant compte de l'expression de la masse du disque , l'expression du moment principal d'inertie relativement à ,  ;
       rappel : l'expression du moment principal d'inertie relativement à l'axe a été déterminée dans la note « 49 » plus haut dans ce chapitre et on trouve également dans cette note « 49 » la matrice d'inertie de .
  51. 51,0 et 51,1 En effet, choisissant porté par l'axe du cercle comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle , le point étant alors de coordonnées cylindro-polaires on vérifie aisément que les produits d'inertie de dans les plans , et sont nuls on utilise , et voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire » du chap. et « méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. :
    • soit finalement «»,
    • «», car ,
    • «», car .
  52. En effet, chaque pseudo-point c'est-à-dire chaque élément de matière, centré en , de longueur et de masse étant à la même distance de l'axe , le moment principal d'inertie de relativement à défini selon se réécrit  ;
        étant maintenu porté par , les moments principaux d'inertie de relativement à ou sont égaux de valeur commune déterminée dans la note « 53 » plus bas dans ce chapitre la matrice d'inertie de s'écrit
    «».
    .
  53. En effet, choisissant comme axe passant par et à l'axe du cercle, puis utilisant a priori le repérage polaire de pôle et d'axe polaire , le point étant alors de coordonnées polaires , le moment principal d'inertie relativement à se calcule par l'intégrale curviligne dans laquelle la distance de à est , le contenu du 2ème crochet étant la longueur élémentaire  ;
       la méthode d'évaluation d'une intégrale curviligne consistant à paramétrer la courbe voir le paragraphe « méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et le paramétrage en étant déjà fait, il reste à préciser les bornes d'intégration sur à savoir de à soit dans laquelle s'intègre en passant à l'angle double selon soit, en tenant compte de l'expression de la masse du cercle , l'expression du moment principal d'inertie relativement à ,  ;
       rappel : l'expression du moment principal d'inertie relativement à l'axe a été déterminée dans la note « 52 » plus haut dans ce chapitre et on trouve également dans cette note « 52 » la matrice d'inertie de .
  54. 54,0 et 54,1 En effet, choisissant porté par le support de la tige comme axe de repérage cartésien d'origine , le point étant alors de coordonnées cartésiennes on vérifie aisément que les produits d'inertie de dans les plans , et sont nuls :
    • » car ,
    • «», car ,
    • «», car .
  55. En effet, chaque pseudo-point c'est-à-dire chaque élément de matière, centré en , de longueur et de masse étant à la même distance nulle de l'axe , le calcul du moment principal d'inertie de relativement à donne
  56. En effet, choisissant comme axe passant par et à l'axe de la tige, puis utilisant a priori le repérage cartésien d'origine , le point étant alors de cote , le moment principal d'inertie relativement à se calcule par l'intégrale curviligne , la distance de à étant et s'identifiant à  ;
       la méthode d'évaluation d'une intégrale curviligne consistant à paramétrer la courbe voir le paragraphe « méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et le paramétrage en étant déjà fait, il reste à préciser les bornes d'intégration sur de à ce qui donne ici soit, avec l'expression de la masse de la tige rectiligne , le moment principal d'inertie relativement à , «» ;
       compte-tenu du fait que la valeur nulle du moment dinertie de la tige rectiligne relativement à son support a été déterminée dans la note « 55 » plus haut dans ce chapitre, on en déduit l'expression de la matrice d'inertie de selon «».
  57. 57,0 et 57,1 En général ce point est le centre d'inertie du solide.
  58. Voir le paragraphe « présentation (de la notion de volume élémentaire semi-intégré, 1er sous-paragraphe) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  59. 59,0 et 59,1 Voir le paragraphe « notion de surface élémentaire semi-intégrée (3ème sous-paragraphe) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».