Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Tenseur d'inertie d'un solide

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Introduction au « tenseur d'inertie » en mécanique du solide

......Le «~tenseur d'inertie~» d'un solide précise le positionnement des points matériels dans le référentiel spatial lié au solide dans le but d'étudier dynamiquement un mouvement rotatoire du solide autour d'une position fixe dans le référentiel de ce dernier ;

......pour cela on introduit d'abord la notion de «~tenseur d'inertie~» d'un point matériel dépendant de la masse et de la position de ce dernier dans le référentiel d'étude afin d'étudier dynamiquement son mouvement autour d'une position fixe dans le référentiel choisi,

......le «~tenseur d'inertie~» d'un solide dans le référentiel spatial lié au solide étant alors la somme des «~tenseurs d'inertie~» de tous les points matériels du solide .

Tenseur d'inertie d'un point matériel

Définition du tenseur d'inertie d'un point matériel

Tenseur d'inertie d'un point matériel relativement à un référentiel d'espace

......Soit un point matériel $\;M\;$ de masse inerte $\;m\;$ que l'on repère relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$, on appelle «~tenseur d'inertie du point matériel $\;M\;(m)\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe «~le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}\;$ défini par $\;{\mathcal {I}}=\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta -m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$» dans laquelle

• $\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$ $\;{\big [}{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant «$\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$» $\;{\big (}\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants${\big )}{\big ]}$,
• $\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ et
• $\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker .

......Remarque : Le «~tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}\;$ du point matériel $\;M\;(m)\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe est donc la somme de $\;2\;$ tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants,
......Remarque : le 1^er «$\;\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta \;$» étant le produit d'un scalaire positif et du tenseur contravariant de Kronecker ,
......Remarque : le 2^nd «$\;-m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$» étant le produit d'un scalaire négatif et du carré tensoriel du vecteur position.

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

......Avec $\;W\;$ la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée, le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants a pour base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ et les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants intervenant dans le tenseur d'inertie du point matériel $\;M\;$ sont :

• pour le 1^er «$\;{\mathcal {I}}_{1}=\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta \;$», la composante sur $\;{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\;$ est $\;{\mathcal {I}}_{1,\,i,\,j}=m\,\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,\delta _{i,\,j},\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}$ $\;{\bigg (}\delta _{i,\,j}=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;$ étant le symbole de Kronecker ${\bigg )}\;$ et
• pour le 2^nd «$\;{\mathcal {I}}_{2}=-m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$», la composante sur $\;{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\;$ est $\;{\mathcal {I}}_{2,\,i,\,j}=-m\,r_{i}\;r_{j},\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}\;$ avec $\;\left[{\begin{array}{c}r_{x}=x\\r_{y}=y\\r_{z}=z\end{array}}\right]\;$ d'où

......en en faisant la somme on obtient $\;{\mathcal {I}}_{i,\,j}=m\left[\left(\sum \limits _{l\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace }r_{l}^{2}\right)\delta _{i,\,j}-r_{i}\;r_{j}\right],\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}\;$ avec $\;\left[{\begin{array}{c}r_{x}=x\\r_{y}=y\\r_{z}=z\end{array}}\right]\;$ soit, en explicitant chaque composante :

$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,x}-x^{2}\right]=m\left(y^{2}+z^{2}\right)$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,y}}}\;-x\;y\right]=-m\;x\;y$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,z}}}\;-x\;z\right]=-m\;x\;z$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,x}}}\;-y\;x\right]=-m\;x\;y$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,y}-y^{2}\right]=m\left(x^{2}+z^{2}\right)$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,z}}}\;-y\;z\right]=-m\;y\;z$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,x}}}\;-z\;x\right]=-m\;x\;z$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,y}}}\;-z\;y\right]=-m\;y\;z$ et
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,z}-z^{2}\right]=m\left(x^{2}+y^{2}\right)$.

Matrice d'inertie d'un point matériel ainsi que les moments et produits d'inertie du point

......Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel peut être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$, par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3$, la représentation par matrice $\;{\big (}$en supposant que le numéro de ligne corresponde à la place du 1^er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace {\big )}\;$ est sans ambiguïté $\;{\big (}$en effet les composantes du tenseur d'inertie du point matériel $\;M\;$ étant invariantes par permutation des indices, nous obtenons une matrice symétrique et aurions eu la même matrice en ayant supposé que le numéro de ligne correspondît à la place du 2^ème indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace {\big )}$ ;

......la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du point matériel ${\underline {M}}\;$ et notée $\;\left[J(M)\right]$ $\;{\big (}$ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté${\big )}$, elle s'écrit

$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}m\left(y^{2}+z^{2}\right)&-m\;x\;y&-m\;x\;z\\-m\;x\;y&m\left(x^{2}+z^{2}\right)&-m\;y\;z\\-m\;x\;z&-m\;y\;z&m\left(x^{2}+y^{2}\right)\end{array}}\right]$ ;

......parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du point matériel $\;M\;$ on distingue :

• les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du point par rapport à un axe privilégié plus précisément
  ......$\;\succ \;J_{Ox}=m\left(y^{2}+z^{2}\right)\;$ «~moment d'inertie de $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$»,
  ......$\;\succ \;J_{Oy}=m\left(x^{2}+z^{2}\right)\;$ «~moment d'inertie de $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$» et
  ......$\;\succ \;J_{Oz}=m\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$ «~moment d'inertie de $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$»,
• l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du point dans un plan privilégié plus précisément
  ......$\;\succ \;I_{xy}=m\;x\;y\;$ «~produit d'inertie de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$»,
  ......$\;\succ \;I_{xz}=m\;x\;z\;$ «~produit d'inertie de $\;M\;$ dans le plan $\;xOz\;$» et
  ......$\;\succ \;I_{yz}=m\;y\;z\;$ «~produit d'inertie de $\;M\;$ dans le plan $\;yOz$»,

......soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du point $\;M\;$ selon

$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]$.

Tenseur d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable)

Tenseur d'inertie d'un solide relativement au référentiel d'espace qui lui est lié

......Soit un solide $\;({\mathcal {S}})\;$ composé de $\;N\;$ points matériels $\;M_{k}\;$ de masse $\;m_{k}\;$ repérés relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide par leur vecteur position $\;{\overrightarrow {OM_{k}}}={\vec {r}}_{k}$, on appelle «~tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe «~la somme des $\;N\;$ tenseurs d'inertie de chaque point matériel $\;M_{k}\,\left(m_{k}\right)\;$» soit le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {I}}(M_{k})\;$ dans laquelle $\;{\mathcal {I}}(M_{k})=\left(m_{k}\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -m_{k}\;{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}\;$ avec

• $\;{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}_{k}\otimes {\vec {r}}_{k}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}_{k}$ $\;{\big [}{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant «$\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$» $\;{\big (}\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants${\big )}{\big ]}$,
• $\;{\vec {r}}_{k}^{2}={\vec {r}}_{k}\cdot {\vec {r}}_{k}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}_{k}\;$ et
• $\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker .

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

......Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants $\;{\big (}W\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée${\big )}$, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, d'ajouter les composantes des $\;N\;$ tenseurs d'inertie de chaque point matériel $\;M_{k}\;\left(m_{k}\right)\;$ sur ce vecteur de base, ce qui donne :

$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}$ et
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)$.

Matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

......Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$, par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et le tenseur d'inertie d'un solide étant la somme des tenseurs d'inertie des points matériels le composant est un tenseur d'ordre $\;2$, il est donc aussi représenté par une matrice $\;3\,{\text{x}}\,3$, laquelle est la somme des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des points matériels du solide $\;{\big (}$nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1^er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;$${\big )}$ ;

......la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big (}$ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté${\big )}$, elle s'écrit

$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}\\-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}&\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}\\-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}&\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{array}}\right]$ ;

......parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :

• les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
  ......$\;\succ \;J_{Ox}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)\;$ «~moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$»,
  ......$\;\succ \;J_{Oy}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)\;$ «~moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$» et
  ......$\;\succ \;J_{Oz}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\;$ «~moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$»,
• l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
  ......$\;\succ \;I_{xy}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}\;$ «~produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOy\;$»,
  ......$\;\succ \;I_{xz}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}\;$ «~produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOz\;$» et
  ......$\;\succ \;I_{yz}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}\;$ «~produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;yOz\;$»,

......soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ selon

$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]$.

Axes principaux d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels

Caractère « autoadjoint » de l'endomorphisme représenté par la matrice d'inertie d'un solide, matrice autoadjointe

......Toute matrice carrée $\;3\;{\text{x}}\;3\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$ «~la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien modélisant l'espace physique~», il existe donc un endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$ représenté par la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étudié soit, avec la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de $\;W$, «$\;\left[J\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$»  ;

......le caractère «~symétrique~» de la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ représentant l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;W\;$ dans la base de ce dernier $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ choisie orthonormée confère à $\;\varphi \;$ le caractère «~autoadjoint~» $\;{\big [}\varphi \;$ est un «~endomorphisme autoadjoint de l'espace vectoriel euclidien $\;W\;$» ssi $\;\forall \;\left({\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\in W^{2}$, $\;{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})=\varphi ({\vec {v}})\cdot {\vec {w}}{\big ]}\;$, raison pour laquelle une «~matrice symétrique à cœfficients réels~» est encore appelée «~matrice autoadjointe~» .

Caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide

......D'après le théorème spectral en dimension finie $\;{\big (}$pour les endomorphismes${\big )}\;$ «~tout endomorphisme auto-adjoint d'un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormée et ses valeurs propres sont toutes réelles~» $\;{\big (}$théorème admis${\big )}$, de même

......d'après le théorème spectral en dimension finie $\;{\big (}$pour les matrices${\big )}\;$ «~toute matrice symétrique réelle $\;\left[A\right]\;$ est diagonalisable c'est-à-dire qu'il existe une matrice diagonale $\;\left[D\right]\;$ à cœfficients réels semblable à $\;\left[A\right]$ $\;{\big \{}$ou encore il existe une matrice orthogonale $\;\left[P\right]\;$ à cœfficients réels et une matrice diagonale $\;\left[D\right]\;$ également à cœfficients réels telles que $\;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[D\right]\times \left[P\right]^{-1}{\big \}}\;$» $\;{\big (}$théorème admis${\big )}$ ;

......d'après le dernier théorème spectral en dimension finie on peut donc affirmer que la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ est diagonalisable.

Définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier

......Comme nous l'avons vu dans le paragraphe précédent la nature «~réelle symétrique~» de la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement à un référentiel lié à ce dernier, dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\;W$, direction de l'espace affine modélisant l'espace physique, est diagonalisable,
......il est donc possible de choisir une nouvelle base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ pour que la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ soit transformée en $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ diagonale ;
......les axes $\;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$ passant par le point $\;O\;$ et respectivement orientés par $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;$ définissent les axes principaux d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ issus de $\;O$ $\;{\big (}$point fixe de ce dernier${\big )}$ ;
......les éléments diagonaux de $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ à savoir $\;J_{OX}$, $\;J_{OY}\;$ et $\;J_{OZ}\;$ sont appelés moments principaux d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement aux axes respectifs $\;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace$, leurs valeurs dépendent de la répartition des points matériels $\;M_{k}\,(m_{k})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ autour des axes principaux d'inertie de ce dernier ;

......la matrice d'inertie $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié à $\;({\mathcal {S}})\;$ et relativement axes principaux d'inertie $\;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$ de ce dernier issus du point $\;O$, point fixe de $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}$, s'écrit, avec $\;J_{OX}$, $\;J_{OY}\;$ et $\;J_{OZ}\;$ moments principaux d'inertie de $\;({\mathcal {S}})$, selon

$\;\left[{\mathcal {J}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{OX}&0&0\\0&J_{OY}&0\\0&0&J_{OZ}\end{array}}\right]$.

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie relativement au référentiel d'espace qui lui est lié

......Soit un solide $\;({\mathcal {S}})$, modélisé par un milieu continu de matière d'expansion tridimensionnelle finie $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, de masse volumique $\;\mu (M)\;$ pour $\;M\in \left({\mathcal {V}}\right)\;$ repéré relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$, on appelle «~tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe «~la somme continue des tenseurs d'inertie de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$» , soit le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\mathcal {I}}(M)\;$ dans laquelle $\;d{\mathcal {I}}(M)=\left(dm\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -dm\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ avec

• $\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$ $\;{\big [}{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant «$\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$» $\;{\big (}\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants${\big )}{\big ]}$,
• $\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ et
• $\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker .

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

......Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants $\;{\big (}W\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée${\big )}$, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire «~la somme continue ~» des composantes des tenseurs d'inertie de chaque «~pseudo-point $\;M\;\left(dm\right)\;$» sur ce vecteur de base, ce qui donne, avec $\;d{\mathcal {V}}_{M}=dx\;dy\;dz$ :

$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ et
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$.

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

......Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$, par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et le tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant «~la somme continue ~» des tenseurs d'inertie des «~pseudo-points~» le composant est un tenseur d'ordre $\;2$, il est donc aussi représenté par une matrice $\;3\,{\text{x}}\,3$, laquelle est «~la somme continue ~» des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des «~pseudo-points~» du solide $\;{\big (}$nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1^er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;$${\big )}$ ;

......la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big (}$ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté${\big )}$, elle s'écrit

$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\end{array}}\right]$ ;

......parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :

• les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
  ......$\;\succ \;J_{Ox}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ «~moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$»,
  ......$\;\succ \;J_{Oy}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ «~moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$» et
  ......$\;\succ \;J_{Oz}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ «~moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$»,
• l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
  ......$\;\succ \;I_{xy}=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ «~produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOy\;$»,
  ......$\;\succ \;I_{xz}=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ «~produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOz\;$» et
  ......$\;\succ \;I_{yz}=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ «~produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;yOz\;$»,

......soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ selon

$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]$.

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion surfacique finie

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion surfacique finie relativement au référentiel d'espace qui lui est lié

......Soit un solide $\;({\mathcal {S}})$, modélisé par un milieu continu de matière d'expansion surfacique finie $\;\left(S\right)$, de masse surfacique $\;\sigma (M)\;$ pour $\;M\in \left(S\right)\;$ repéré relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$, on appelle «~tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe «~la somme continue des tenseurs d'inertie de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$» , soit le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=$ $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}d{\mathcal {I}}(M)\;$ dans laquelle $\;d{\mathcal {I}}(M)=\left(dm\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -dm\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ avec

• $\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$ $\;{\big [}{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant «$\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$» $\;{\big (}\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants${\big )}{\big ]}$,
• $\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ et
• $\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker .

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

......Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre 2 contravariants $\;{\big (}W\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée${\big )}$, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire «~la somme continue ~» des composantes des tenseurs d'inertie de chaque «~pseudo-point $\;M\;\left(dm\right)\;$» sur ce vecteur de base, ce qui donne :

$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\;$ et
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;$.

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

......Tout tenseur d'ordre 2 du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$, par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et le tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant «~la somme continue ~» des tenseurs d'inertie des «~pseudo-points~» le composant est un tenseur d'ordre $\;2$, il est donc aussi représenté par une matrice $\;3\,{\text{x}}\,3$, laquelle est «~la somme continue ~» des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des «~pseudo-points~» du solide $\;{\big (}$nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1^er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;$${\big )}$ ;

......la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big (}$ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté${\big )}$, elle s'écrit

$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}&-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}&-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\\-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}&\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}&-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\\-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}&-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}&\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\end{array}}\right]$ ;

......parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :

• les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
  ......$\;\succ \;J_{Ox}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$ «~moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$»,
  ......$\;\succ \;J_{Oy}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$ «~moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$» et
  ......$\;\succ \;J_{Oz}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;$ «~moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$»,
• l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
  ......$\;\succ \;I_{xy}=\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}\;$ «~produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOy\;$»,
  ......$\;\succ \;I_{xz}=\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\;$ «~produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOz\;$» et
  ......$\;\succ \;I_{yz}=\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\;$ «~produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;yOz\;$»,

......soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ selon

$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]$.

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion linéique finie

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion linéique finie relativement au référentiel d'espace qui lui est lié

......Soit un solide $\;({\mathcal {S}})$, modélisé par un milieu continu de matière d'expansion linéique finie $\;\left(\Gamma \right)$, de masse linéique $\;\lambda (M)\;$ pour $\;M\in \left(\Gamma \right)\;$ repéré relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$, on appelle «~tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe «~la somme continue des tenseurs d'inertie de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$» , soit le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=$ $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}d{\mathcal {I}}(M)\;$ dans laquelle $\;d{\mathcal {I}}(M)=\left(dm\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -dm\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ avec

• $\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$ $\;{\big [}{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant «$\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$» $\;{\big (}\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants${\big )}{\big ]}$,
• $\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ et
• $\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker .

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

......Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants $\;{\big (}W\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée${\big )}$, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire «~la somme continue ~» des composantes des tenseurs d'inertie de chaque «~pseudo-point $\;M\;\left(dm\right)\;$» sur ce vecteur de base, ce qui donne :

$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$,
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ et
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$.

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

......Tout tenseur d'ordre 2 du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$, par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et le tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant «~la somme continue ~» des tenseurs d'inertie des «~pseudo-points~» le composant est un tenseur d'ordre $\;2$, il est donc aussi représenté par une matrice $\;3\,{\text{x}}\,3$, laquelle est «~la somme continue ~» des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des «~pseudo-points~» du solide $\;{\big (}$nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1^er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;$${\big )}$ ;

......la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big (}$ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté${\big )}$, elle s'écrit

$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}&-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}&-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\\-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}&\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}&-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\\-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}&-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}&\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\end{array}}\right]$ ;

......parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :

• les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
  ......$\;\succ \;J_{Ox}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$ «~moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$»,
  ......$\;\succ \;J_{Oy}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$ «~moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$» et
  ......$\;\succ \;J_{Oz}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$ «~moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$»,
• l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
  ......$\;\succ \;I_{xy}=\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ «~produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOy\;$»,
  ......$\;\succ \;I_{xz}=\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ «~produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOz\;$» et
  ......$\;\succ \;I_{yz}=\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ «~produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;yOz\;$»,

......soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ selon

$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]$.

Axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie

......Voir le paragraphe «~axes principaux d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels~» plus haut dans le chapitre $\;{\big (}$l'exposé de ce dernier se faisant sur les matrices et non sur la façon dont celles-ci ont été obtenues peut être reproduit sans aucune modification${\big )}\;\ldots$

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique $\;\mu _{0}\;$ et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :

• Boule $\;\left({\mathcal {B}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}\;$, tout axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par son centre $\;G\;$ est axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m\;R^{2}\;$.
• Cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de longueur $\;H$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=\pi \;\mu _{0}\;R^{2}\;H\;$,
  ......Cylindre de révolution $\;\succ \;$l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$ et
  ......Cylindre de révolution $\;\succ \;$tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$.

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique $\;\sigma _{0}\;$ et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :

• Sphère $\;\left(S\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$, tout axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par son centre $\;G\;$ est axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}\;$.
• Tuyau cylindrique de révolution $\;\left({\mathcal {T}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de longueur $\;H$, de centre $\;G$, ouvert aux deux extrémités et de masse $\;m=$ $2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\;$,
  ......Tuyau cylindrique de révolution $\;\succ \;$l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=m\;R^{2}\;$ et
  ......Tuyau cylindrique de révolution $\;\succ \;$tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$.
• Disque $\;\left({\mathcal {D}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$,
  ......Disque $\;\succ \;$l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe du disque est axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$ et
  ......Disque $\;\succ \;$tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe du disque $\;{\big (}$c.-à-d. tout support de diamètre${\big )}\;$ est aussi axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}\;$.

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique $\;\lambda _{0}\;$ et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :

• Cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, homogène, de rayon $R$