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Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices carrées, leur réduction et inversion sous conditions

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Les matrices carrées, leur réduction et inversion sous conditions
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Chapitre no 3
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)
Chap. préc. :Les matrices, généralités
Chap. suiv. :Les tenseurs
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Réduction d'une matrice carrée[modifier | modifier le wikicode]

Définition de la réduction d'une matrice carrée[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Une « matrice carrée de dimension ou taille » [1] étant, quelle que soit la matrice , « la matrice d'un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension dans une base particulière de » [2] c.-à-d. telle que «»,
     Préliminaire : il est possible d'« envisager une nouvelle base de de matrice de passage de la base initiale à cette nouvelle base » [3] pour que « la matrice de l'endomorphisme du -espace vectoriel dans cette nouvelle base [2], à savoir , soit la plus simple possible » [4] c.-à-d.
     Préliminaire : il est possible de trouver la matrice telle que «[5] soit la plus simple possible » [4] ;

     Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme du -espace vectoriel dans cette nouvelle base à savoir » est « une matrice carrée particulière de dimension ou taille identique à » et
     Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme du -espace vectoriel dans la base initiale à savoir » est « la matrice carrée d'origine de dimension ou taille identique à »,

     Préliminaire : le fait que « soit plus simple que » [4] a pour conséquence que « la matrice carrée particulière de dimension ou taille est plus simple que la matrice carrée d'origine de dimension ou taille » [4],
     Préliminaire : cette simplification lorsqu'elle est poussée à son maximum possible[4] correspond à la « réduction de la matrice ».

Notion de déterminant d'une matrice carrée[modifier | modifier le wikicode]

     « Une matrice carrée de dimension ou taille » étant « la juxtaposition des matrices coordonnées de la famille de -uplets ” du -espace vectoriel dans la base canonique de ce dernier » [7] avec « dans lequel est le symbole de Kronecker » [8] on définit
     « Une matrice carrée le « déterminant de la matrice carrée » comme le « déterminant de la famille de ses -uplets ” dans la base canonique de », ce dernier se calculant selon la « formule de Leibniz » [9]

«» avec
« une permutation de » ensemble des permutations des éléments de ,
« étant le jème élément de la permutation » soit «» et
« la signature de la permutation » soit «»,
« une permutation étant si le nombre d'inversions c.-à-d. quand est à est » [10].

     Remarque : la « formule de Leibniz » [9] permet de définir le déterminant d'une matrice carrée mais ce n'est pas la façon la plus efficace pour le calculer, nous allons néanmoins l'utiliser sur deux exemples de matrice carrée de dimension ou taille pour préciser cette méthode :

     Remarque : 1er exemple : [11] ;
     Remarque : 1er exemple : lister tout d'abord les six permutations de colonnes numérotées de à en déterminant la signature de chacune [12] puis évaluer chaque produit associé à une permutation [13] soit finalement
     Remarque : 1er exemple :  ;

     Remarque : 2ème exemple : [11] ;
     Remarque : 2ème exemple : lister tout d'abord les six permutations de colonnes numérotées de à en déterminant la signature de chacune [14] puis évaluer chaque produit associé à une permutation [15] soit finalement
     Remarque : 2ème exemple : .

Évaluation pratique du déterminant d'une matrice carrée par formule de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Notion de comatrice d'une matrice carrée[modifier | modifier le wikicode]

     Soit « la matrice carrée de dimension ou taille », on appelle

  • « cofacteur d'indice de la matrice » « le scalaire défini par » dans laquelle
          « est la matrice carrée de dimension ou taille déduite de en remplaçant la jème colonne par une colonne constituée uniquement de à l'exception du cœfficient de la ième ligne remplacé par » soit «» et
          « la sous-matrice carrée de dimension ou taille déduite de en supprimant la ième ligne et la jème colonne » soit « » « définit un mineur de » puis
  • « comatrice de la matrice de ses cofacteurs » : «».

Formule de Laplace pour évaluer le déterminant d'une matrice carrée[modifier | modifier le wikicode]

     On peut calculer le déterminant de la matrice en le développant en fonction des cœfficients d'une seule colonne ou d'une seule ligne et des cofacteurs correspondants.

     Cette formule est dite « formule de Laplace » [16], elle permet de « ramener le calcul d'un déterminant d'ordre à celui de de déterminants d'ordre ».

     Formules de développement du déterminant « d'ordre »  :

  • par rapport à la colonne  : «» [17] ;
  • par rapport à la ligne  : «» [17].

Retour sur les deux exemples exposés précédemment[modifier | modifier le wikicode]

     Retour sur le 1er exemple : [11] ;
      Retour sur le 1er exemple : le plus simple est de développer selon la 1ère colonne ou la 1ère ligne [18] par formule de Laplace [16] soit
     Retour sur le 1er exemple : selon la 1ère colonne : dans lequel et d'où en accord avec le résultat trouvé précédemment ;
     Retour sur le 1er exemple : selon la 1ère ligne : dans lequel et d'où identique au résultat trouvé précédemment.

     Retour sur le 2ème exemple : [11] ;
      Retour sur le 2ème exemple : le plus simple est de développer selon la 1ère colonne ou la 1ère ligne [18] par formule de Laplace [16] soit
     Retour sur le 2ème exemple : selon la 1ère colonne : dans lequel et d'où en accord avec le résultat trouvé précédemment ;
     Retour sur le 2ème exemple : selon la 1ère ligne : dans lequel et d'où identique au résultat trouvé précédemment.

     Conclusion : on constate que l'utilisation de la formule de Laplace [16] pour évaluer le déterminant d'une matrice carrée fait intervenir un calcul toujours plus simple que la formule de définition de Leibniz [9] et ceci même si la colonne ou la ligne selon laquelle le développement est fait ne contient pas de zéros

Quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n[modifier | modifier le wikicode]

     Démonstrations : Soit « la matrice carrée de dimension ou taille » et « son déterminant », nous nous proposons d'effectuer successivement les démonstrations des principales propriétés énoncées ci-dessus [21].

     Démonstrations : Propriété 1 : Supposons que l'« on déplace la colonne devant la 1ère colonne » et
     Démonstrations : Propriété 1 : comparons le « nouveau déterminant » au « déterminant initial » en développant, selon la formule de Laplace [16], « le nouveau déterminant selon la nouvelle 1ère colonne » et « le déterminant initial selon la jème colonne », on obtient
     Démonstrations : Propriété 1 : «» pour l'un et «» pour l'autre, établissant effectivement que «».

     Démonstrations : Propriété 2 : Supposons « la colonne identique à la colonne » et
     Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant par utilisation de la formule de Laplace [16] selon la 1ère ligne soit « » soit, sachant que «» et que « » résultant du passage de la 1ère colonne après la (j - 1)ème une multiplication par «» [22] d'où «» expression dans laquelle « les déterminants de dimension ou taille ont encore deux colonnes identiques et » par itération du processus précédent, « la nullité de tous ces déterminants » «».

     Démonstrations : Propriété 3 : « Multipliant la colonne par le scalaire » nous obtenons le « nouveau déterminant » soit, en développant suivant la jème colonne par formule de Laplace [16] « » s'identifiant effectivement, après factorisation par , à «».

     Démonstrations : Propriété 4 : « Ajoutons à la colonne une C.L. [19] des autres colonnes » et
     Démonstrations : Propriété 4 : évaluons le nouveau déterminant «» soit, en développant suivant la kème colonne par formule de Laplace [16] «» ou, en explicitant chaque cofacteur, « », c.-à-d.
     Démonstrations : Propriété 4 : une somme dans laquelle tous les cofacteurs sont ceux de la matrice d'où sa réécriture selon
     Démonstrations : Propriété 4 : «»,
     Démonstrations : Propriété 4 : « la 1ère somme étant le développement de selon la kème colonne » et
     Démonstrations : Propriété 4 : « la 2ème pouvant être réécrite selon » où « chaque facteur entre accolades est le développement selon la kème colonne du déterminant d'une matrice dans laquelle la kème colonne a été substituée par la jème» soit «» car « tous les étant des déterminants de matrices avec deux colonnes identiques les colonnes et sont nuls » [23] et par suite
     Démonstrations : Propriété 4 : «».

     Démonstrations : Propriété 5 : Soit « la relation de liaison entre colonnes de la matrice » [20] dont on souhaite évaluer le déterminant,
     Démonstrations : Propriété 4 : ce dernier étant inchangé si on ajoute à la colonne «» la C.L. des autres colonnes «» [24] on obtient alors
     Démonstrations : Propriété 4 : «» par développement selon la 1ère colonne.

Nouveau retour sur les deux exemples exposés précédemment[modifier | modifier le wikicode]

     On se propose d'utiliser la propriété « le déterminant d'une matrice carrée est inchangé si on ajoute à une colonne une C.L. [19] des autres même propriété en remplaçant colonne par ligne» de façon à introduire le plus de zéros possible dans une même colonne ou une même ligne de la matrice sans changer la valeur de son déterminant, puis
     On se propose d'évaluer ce dernier en le développant selon cette colonne ou cette ligne ou d'utiliser au préalable une des autres proriétés.

     Retour sur le 1er exemple : [11] ;
     Retour sur le 1er exemple : modifier la colonne en lui ajoutant la C.L. [19] «» des colonnes et d'où