Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices carrées, leur réduction et inversion sous conditions

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Les matrices carrées, leur réduction et inversion sous conditions
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Chapitre no 3
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)
Chap. préc. :Les matrices, généralités
Chap. suiv. :Les tenseurs
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Réduction d'une matrice carrée[modifier | modifier le wikicode]

Définition de la réduction d'une matrice carrée[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Une « matrice carrée de dimension ou taille »[1] étant, quelle que soit la matrice , « la matrice d'un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension dans une base particulière de »[2] c'est-à-dire telle que «»,
     Préliminaire : il est possible d'« envisager une nouvelle base de de matrice de passage de la base initiale à cette nouvelle base »[3] pour que « la matrice de l'endomorphisme du -espace vectoriel dans cette nouvelle base [2], à savoir , soit la plus simple possible »[4] c'est-à-dire
     Préliminaire : il est possible de trouver la matrice telle que «[5] soit la plus simple possible »[4] ;

     Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme du -espace vectoriel dans cette nouvelle base à savoir » est « une matrice carrée particulière de dimension ou taille identique à » et
     Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme du -espace vectoriel dans la base initiale à savoir » est « la matrice carrée d'origine de dimension ou taille identique à »,

     Préliminaire : le fait que « soit plus simple que »[4] a pour conséquence que « la matrice carrée particulière de dimension ou taille est plus simple que la matrice carrée d'origine de dimension ou taille »[4],
     Préliminaire : cette simplification lorsqu'elle est poussée à son maximum possible[4] correspond à la « réduction de la matrice ».

Notion de déterminant d'une matrice carrée[modifier | modifier le wikicode]

     « Une matrice carrée de dimension ou taille » étant « la juxtaposition des matrices coordonnées de la famille de -uplets ” du -espace vectoriel dans la base canonique de ce dernier »[7] avec « dans lequel est le symbole de Kronecker »[8] on définit
     « Une matrice carrée le « déterminant de la matrice carrée » comme le « déterminant de la famille de ses -uplets ” dans la base canonique de », ce dernier se calculant selon la « formule de Leibniz »[9]

«» avec
« une permutation de » ensemble des permutations des éléments de ,
« étant le jème élément de la permutation » soit «» et
« la signature de la permutation » soit «»,
« une permutation étant si le nombre d'inversions c'est-à-dire quand est à est »[10].

     Remarque : la « formule de Leibniz »[9] permet de définir le déterminant d'une matrice carrée mais ce n'est pas la façon la plus efficace pour le calculer, nous allons néanmoins l'utiliser sur deux exemples de matrice carrée de dimension ou taille pour préciser cette méthode :

     Remarque : 1er exemple : [11] ;
     Remarque : 1er exemple : lister tout d'abord les six permutations de colonnes numérotées de à en déterminant la signature de chacune [12] puis évaluer chaque produit associé à une permutation [13] soit finalement
     Remarque : 1er exemple :  ;

     Remarque : 2ème exemple : [11] ;
     Remarque : 2ème exemple : lister tout d'abord les six permutations de colonnes numérotées de à en déterminant la signature de chacune [14] puis évaluer chaque produit associé à une permutation [15] soit finalement
     Remarque : 2ème exemple : .

Évaluation pratique du déterminant d'une matrice carrée par formule de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Notion de comatrice d'une matrice carrée[modifier | modifier le wikicode]

     Soit « la matrice carrée de dimension ou taille », on appelle

  • « cofacteur d'indice de la matrice » « le scalaire défini par » dans laquelle
          « est la matrice carrée de dimension ou taille déduite de en remplaçant la jème colonne par une colonne constituée uniquement de à l'exception du cœfficient de la ième ligne remplacé par » soit «» et
          « la sous-matrice carrée de dimension ou taille déduite de en supprimant la ième ligne et la jème colonne » soit « » « définit un mineur de » puis
  • « comatrice de la matrice de ses cofacteurs » : «».

Formule de Laplace pour évaluer le déterminant d'une matrice carrée[modifier | modifier le wikicode]

     On peut calculer le déterminant de la matrice en le développant en fonction des cœfficients d'une seule colonne ou d'une seule ligne et des cofacteurs correspondants.

     Cette formule est dite « formule de Laplace »[16], elle permet de « ramener le calcul d'un déterminant d'ordre à celui de de déterminants d'ordre ».

     Formules de développement du déterminant « d'ordre » :

  • par rapport à la colonne  : «»[17] ;
  • par rapport à la ligne  : «»[17].

Retour sur les deux exemples exposés précédemment[modifier | modifier le wikicode]

     Retour sur le 1er exemple : [11] ;
      Retour sur le 1er exemple : le plus simple est de développer selon la 1ère colonne ou la 1ère ligne[18] par formule de Laplace[16] soit
     Retour sur le 1er exemple : selon la 1ère colonne : dans lequel et d'où en accord avec le résultat trouvé précédemment ;
     Retour sur le 1er exemple : selon la 1ère ligne : dans lequel et d'où identique au résultat trouvé précédemment.

     Retour sur le 2ème exemple : [11] ;
      Retour sur le 2ème exemple : le plus simple est de développer selon la 1ère colonne ou la 1ère ligne[18] par formule de Laplace[16] soit
     Retour sur le 2ème exemple : selon la 1ère colonne : dans lequel et d'où en accord avec le résultat trouvé précédemment ;
     Retour sur le 2ème exemple : selon la 1ère ligne : dans lequel et d'où identique au résultat trouvé précédemment.

     Conclusion : on constate que l'utilisation de la formule de Laplace[16] pour évaluer le déterminant d'une matrice carrée fait intervenir un calcul toujours plus simple que la formule de définition de Leibniz[9] et ceci même si la colonne ou la ligne selon laquelle le développement est fait ne contient pas de zéros

Quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n[modifier | modifier le wikicode]

     Démonstrations : Soit « la matrice carrée de dimension ou taille » et « son déterminant », nous nous proposons d'effectuer successivement les démonstrations des principales propriétés énoncées ci-dessus[21].

     Démonstrations : Propriété 1 : Supposons que l'« on déplace la colonne devant la 1ère colonne » et
     Démonstrations : Propriété 1 : comparons le « nouveau déterminant » au « déterminant initial » en développant, selon la formule de Laplace[16], « le nouveau déterminant selon la nouvelle 1ère colonne » et « le déterminant initial selon la jème colonne », on obtient
     Démonstrations : Propriété 1 : «» pour l'un et «» pour l'autre, établissant effectivement que «».

     Démonstrations : Propriété 2 : Supposons « la colonne identique à la colonne » et
     Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant par utilisation de la formule de Laplace[16] selon la 1ère ligne soit « » soit, sachant que «» et que « » résultant du passage de la 1ère colonne après la (j - 1)ème une multiplication par «»[22] d'où «» expression dans laquelle « les déterminants de dimension ou taille ont encore deux colonnes identiques et » par itération du processus précédent, « la nullité de tous ces déterminants » «».

     Démonstrations : Propriété 3 : « Multipliant la colonne par le scalaire » nous obtenons le « nouveau déterminant » soit, en développant suivant la jème colonne par formule de Laplace[16] « » s'identifiant effectivement, après factorisation par , à «».

     Démonstrations : Propriété 4 : « Ajoutons à la colonne une C.L[19]. des autres colonnes » et
     Démonstrations : Propriété 4 : évaluons le nouveau déterminant «» soit, en développant suivant la kème colonne par formule de Laplace[16] «» ou, en explicitant chaque cofacteur, « », c'est-à-dire
     Démonstrations : Propriété 4 : une somme dans laquelle tous les cofacteurs sont ceux de la matrice d'où sa réécriture selon
     Démonstrations : Propriété 4 : «»,
     Démonstrations : Propriété 4 : « la 1ère somme étant le développement de selon la kème colonne » et
     Démonstrations : Propriété 4 : « la 2ème pouvant être réécrite selon » où « chaque facteur entre accolades est le développement selon la kème colonne du déterminant d'une matrice dans laquelle la kème colonne a été substituée par la jème» soit «» car « tous les étant des déterminants de matrices avec deux colonnes identiques les colonnes et sont nuls »[23] et par suite
     Démonstrations : Propriété 4 : «».

     Démonstrations : Propriété 5 : Soit « la relation de liaison entre colonnes de la matrice »[20] dont on souhaite évaluer le déterminant,
     Démonstrations : Propriété 4 : ce dernier étant inchangé si on ajoute à la colonne «» la C.L. des autres colonnes «»[24] on obtient alors
     Démonstrations : Propriété 4 : «» par développement selon la 1ère colonne.

Nouveau retour sur les deux exemples exposés précédemment[modifier | modifier le wikicode]

     On se propose d'utiliser la propriété « le déterminant d'une matrice carrée est inchangé si on ajoute à une colonne une C.L[19]. des autres même propriété en remplaçant colonne par ligne» de façon à introduire le plus de zéros possible dans une même colonne ou une même ligne de la matrice sans changer la valeur de son déterminant, puis
     On se propose d'évaluer ce dernier en le développant selon cette colonne ou cette ligne ou d'utiliser au préalable une des autres proriétés.

     Retour sur le 1er exemple : [11] ;
     Retour sur le 1er exemple : modifier la colonne en lui ajoutant la C.L[19]. «» des colonnes et d'où par utilisation de la propriété « si on multiplie une des colonnes de la matrice carrée par le scalaire , le déterminant de la matrice est multiplié par le scalaire » et enfin, par utilisation de la propriété « le déterminant d'une matrice carrée avec deux colonnes identiques est nul », « » en accord avec les résultats trouvés précédemment ;
     Retour sur le 1er exemple : modifier la ligne en lui ajoutant la C.L[19]. «» des lignes et d'où par utilisation de la propriété « si on multiplie une des lignes de la matrice carrée par le scalaire , le déterminant de la matrice est multiplié par le scalaire » et enfin, par utilisation de la propriété « le déterminant d'une matrice carrée avec deux lignes identiques est nul », « » identique aux résultats trouvés précédemment.

     Retour sur le 2ème exemple : [11] ;
     Retour sur le 2ème exemple : modifier la colonne en lui ajoutant la C.L[19]. «» des colonnes et d'où soit, en développant selon la 1ère ligne, «» identique aux résultats trouvés précédemment ;
     Retour sur le 2ème exemple : modifier la ligne en lui ajoutant la C.L[19]. «» des lignes et d'où soit, en développant selon la 1ère colonne, «» en accord avec les résultats trouvés précédemment.

Déterminant d'un endomorphisme[modifier | modifier le wikicode]

Déterminant des matrices d'un endomorphisme suivant la base choisie dans l'espace vectoriel de définition[modifier | modifier le wikicode]

     Soit « un -espace vectoriel de dimension dans lequel on définit une base » et
     Soit « un endomorphisme de », on peut associer à ce dernier « une matrice de l'endomorphisme dans le couple de bases notée »[2] puis
     Soit « un endomorphisme de », on peut définir « le déterminant de cette matrice »[25] c'est-à-dire « le déterminant de la matrice de l'endomorphisme dans le couple de bases » avec la question sous-jacente : le déterminant dépend-il de la base choisie ? ;

     considérant « une nouvelle base de » et « la matrice de passage de la base initiale de à la nouvelle base de »[3], on définit
     considérant « la matrice de l'endomorphisme dans le nouveau couple de bases »[2] à « la celle du même endomorphisme dans le couple initial de bases » par

«»[5] et
nous en déduisons « le déterminant de la matrice de l'endomorphisme dans le nouveau couple de bases » selon
«».

Déterminant d'un produit de matrices de même dimension (ou taille)[modifier | modifier le wikicode]

     On admet que « le déterminant d'un produit de matrices carrées de même dimension ou taille est égal au produit des déterminants de chaque matrice »[26] soit

«, ».

     Conséquence : « Deux matrices inverses l'une de l'autre ont des déterminants inverses l'un de l'autre » en effet
     Conséquence : « étant la matrice inverse de », on a «»[27] avec « » d'une part et
           Conséquence : « étant la matrice inverse de », on a «» avec « » d'autre part d'où

«».

Indépendance du déterminant des matrices d'un endomorphisme par rapport à la base choisie dans l'espace vectoriel de définition, définition du déterminant d'un endomorphisme[modifier | modifier le wikicode]

     « Les matrices de l'endomorphisme du -espace vectoriel » respectivement « dans le couple de bases » et « dans celui » étant liées par

«»[5]
dans laquelle « est la matrice de passage de la base à la base de »[3]

     nous en déduisons, en prenant le déterminant de la matrice du membre de gauche et celui du produit matriciel du membre de droite,

«» ou,

     en utilisant les résultats sur le déterminant du produit de matrices du membre de droite et sur le déterminant d'une matrice inverse voir le paragraphe « déterminant d'un produit de matrices de même dimension (ou taille) » plus haut dans ce chapitre,

«» soit
«» c'est-à-dire
l'indépendance du déterminant des matrices de l'endomorphisme de par rapport à la base choisie dans ce dernier.

     Propriété : Si on considère « une famille de vecteurs du -espace vectoriel dans la base » de ce dernier et
     Propriété : Si on considère « son image par l'endomorphisme de à savoir dans la même base » ainsi que
     Propriété : Si on considère « le déterminant de chaque famille dans la base de » plus pécisément

  • « le déterminant de la famille de ces vecteurs dans la base de » noté «»[28] et
  • « le déterminant de la famille de ces vecteurs images dans la base de » noté «»[29],

     Propriété : « le déterminant de l'endomorphisme de » est « le scalaire vérifiant

»[30].

     Conséquence : « Deux matrices semblables étant des matrices d'un même endomorphisme d'un -espace vectoriel dans des couples de bases différents » et « ces dernières ayant même déterminant » définissant le déterminant de l'endomorphisme on en déduit que « deux matrices semblables ont même déterminant » ;

     Conséquence : réciproquement « deux matrices de même dimension ou taille qui ont même déterminant pouvant être considérées comme deux matrices d'un même endomorphisme d'un -espace vectoriel dans des couples de bases différents »[31] on en déduit que « deux matrices de même dimension ou taille ayant même déterminant sont semblables ».

Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant l'« endomorphisme du -espace vectoriel de dimension », on appelle

  • « valeur propre de l'endomorphisme » un « scalaire » tel que « vérifiant » ;
  • « vecteur propre de l'endomorphisme » un « vecteur » tel que « vérifiant », on dit alors que « est un vecteur propre associé à la valeur propre » ;
  • « sous-espace propre de l'endomorphisme » un « sous-espace vectoriel constitué de l'ensemble des vecteurs propres associés à une valeur propre auquel on a adjoint le vecteur nul », on dit alors que « est le sous-espace propre associé à la valeur propre ».

Polynôme caractéristique d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n[modifier | modifier le wikicode]

     On appelle « polynôme caractéristique de la matrice carrée de », le « polynôme d'indéterminée »[32] défini par

«»[33],
« étant le polynôme [34] », cœfficient d'indice de la matrice «».

     Le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée de » est de la forme

«»,
avec «» c'est-à-dire « la somme des mineurs principaux d'ordre de »[35]
où « est une partie à éléments[36] de l'ensemble des entiers naturels ».

     Remarques : « le cœfficient constant » vaut « avec c'est-à-dire le déterminant de la matrice » ;

     Remarques : « le cœfficient de » est égal à « dans laquelle c'est-à-dire la trace de la matrice »[37].

     Exemples : 1er exemple, déterminer le « polynôme caractéristique de la matrice » c'est-à-dire « » avec [37],[38] et [35] d'où « le polynôme caractéristique de la matrice est » ;

     Exemples : 2ème exemple, déterminer le « polynôme caractéristique de la matrice » c'est-à-dire « » avec [37],[39] et [35] d'où « le polynôme caractéristique de la matrice est ».

Polynôme caractéristique d'un endomorphisme[modifier | modifier le wikicode]

     Soit « un -espace vectoriel de dimension dans lequel on définit une base » et
     Soit « un endomorphisme de », on peut associer à ce dernier « une matrice de l'endomorphisme dans le couple de bases notée »[2] puis
     Soit un endomorphisme de , on peut définir « le polynôme caractéristique de cette matrice »[33], « étant le polynôme [34] », cœfficient d'indice de la matrice «».

     Propriété : « le polynôme caractéristique de la matrice représentant l'endomorphisme dans la base de » c'est-à-dire « » est « indépendant du choix de la base » en effet,
     Propriété : soit une autre base de on définit « la matrice de l'endomorphisme dans le couple de bases » et
     Propriété : soit une autre base de on définit « le polynôme caractéristique de cette matrice »,
     Propriété : le lien entre les deux matrices étant «»[5] avec «» la matrice de passage de la base à la base [3],
     Propriété : on en déduit, par report dans «» et
     Propriété : on en déduit, par l'utilisation de «» « »[40],
     Propriété : on en déduit, «» ce qui se réécrit selon
     Propriété : on en déduit, « » soit finalement,
     Propriété : on en déduit, « » sachant que le déterminant d'un produit de matrices est le produit de ses déterminants[41], ou encore,
     Propriété : on en déduit, avec «», « » C.Q.F.D[42]..

     Conséquence : Deux matrices semblables pouvant être considérées comme représentant le même endomorphisme dans la mesure où elles sont liées par la relation et inversible telle que ont même polynôme caractéristique[44].

Lien entre valeurs propres d'un endomorphisme et son polynôme caractéristique[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif »[45] en effet
     Préliminaire : considérant « une base de » et « son image dans par l'endomorphisme »,

     Préliminaire : « si est non injectif», « tel que »[45] ou encore « » c'est-à-dire « l'existence d'une relation de liaison entre les images de la base à savoir avec non tous nuls »[46] ce qui entraîne la « nullité du déterminant de l'endomorphisme » c'est-à-dire « »[47],

     Préliminaire : « si » pour toute base de , on en déduit « l'existence d'une relation de liaison entre les images de la base à savoir avec non tous nuls »[48] « avec non tous nuls » établissant « tel que » c'est-à-dire le caractère « non injectif » de l'endomorphisme .

     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme sont les scalaires » tels que « vérifiant » ou
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme sont les scalaires » tels que « vérifiant » ou encore,
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme sont les scalaires » tels que « vérifiant » en notant « l'endomorphisme de », soit, en « décomposant sur la base de selon », « vérifiant c'est-à-dire vérifiant » ce qui assure une « relation de liaison entre les vecteurs de appartenant à la famille » « la nullité du déterminant de la matrice de l'endomorphisme dans le couple de bases »[47] c'est-à-dire «» « la nullité du déterminant de l'endomorphisme »[49] c'est-à-dire « » assurant que « la valeur propre de l'endomorphisme est une racine de son polynôme caractéristique » ;

     Justification : réciproquement, « les racines du polynôme caractéristique de l'endomorphisme ” » vérifiant « » ou, vérifiant « la nullité du déterminant de l'endomorphisme de »[49], on en déduit « le caractère non injectif de l'endomorphisme de »[50] ce qui se traduit par « vérifiant » ou encore « vérifiant » assurant que « est une valeur propre de l'endomorphisme de vecteur propre associé ».

Méthodes de réduction de matrices carrées[modifier | modifier le wikicode]

     Nous essaierons tout d'abord d'obtenir la réduction de la matrice carrée étudiée sous la forme la plus simple c'est-à-dire sous forme diagonale[4] ce qui n'est possible que sous conditions.

Tentative de diagonalisation d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n[modifier | modifier le wikicode]

     « Diagonaliser une matrice carrée » de dimension ou taille représentant un endomorphisme du -espace vectoriel de dimension
     « Diagonaliser une matrice carrée » c'est faire un changement de bases de caractérisé par la matrice de passage de la base initiale vers la nouvelle base [3] tel que la nouvelle matrice de l'endomorphisme de dans la base [5] soit « diagonale » ;
     « Diagonaliser une matrice carrée » c'est aussi trouver une matrice inversible pour que la matrice soit semblable à une matrice [6] diagonale c'est-à-dire trouver inversible telle que soit une matrice diagonale .

Condition pour qu'une matrice carrée de dimension (ou taille) n soit diagonalisable[modifier | modifier le wikicode]

     Supposons la « matrice diagonalisable » et introduisons son polynôme caractéristique

«» avec
«» c'est-à-dire la somme des mineurs principaux d'ordre de [35]
« est une partie à éléments[36] de l'ensemble des entiers naturels »
dont, plus particulièrement,
«» c'est-à-dire le déterminant de la matrice [25] et
«» c'est-à-dire la trace de la matrice [37] ;

     considérons « l'endomorphisme du -espace vectoriel de dimension que la matrice représente dans le couple de bases » où « est une base choisie dans »[2], étant tel que «» et
     considérons « son polynôme caractéristique » défini comme celui de la matrice le représentant dans le couple de bases [51]

«» ;

     « les valeurs propres de l'endomorphisme étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient donc «» ou

«»
c'est-à-dire « une équation polynomiale ou algébrique à cœfficients réels de degré »,

     « le nombre maximal de racines réelles de cette équation polynomiale étant », on en déduit qu'« il y a au maximum valeurs propres de l'endomorphisme »[52],
     « le nombre maximal de racines réelles de cette équation polynomiale étant », chaque valeur propre pouvant être « simple ou algébriquement multiple »[53].

     On admet que la matrice est diagonalisable ssi la somme des multiplicités géométriques[53] de ses valeurs propres[52] est égale à sa dimension ou taille ceci a pour conséquence que les racines du polynôme caractéristique sont toutes réelles en étant simples ou à multiplicités algébrique et géométrique égales[53].

Exposé de la méthode de diagonalisation sur une matrice carrée de dimension (ou taille) 2[modifier | modifier le wikicode]

     Nous proposons trois exemples de tentative de diagonalisation de matrice carrée de dimension ou taille , chacun des exemples soulignant un aspect particulier de la méthode à utiliser :

     dans le 1er exemple le polynôme caractéristique a deux racines réelles distinctes et la matrice est diagonalisable,
     dans le 2ème  exem le polynôme caractéristique a une racine réelle double et
     dans le 3ème  exem le polynôme caractéristique n'a pas de racines réelles,
     dans ces deux derniers cas la matrice est non diagonalisable.

Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 diagonalisable, à polynôme caractéristique ayant deux racines réelles simples[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la matrice que l'on se propose de diagonaliser si toutefois elle l'est ;

     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» avec
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» c'est-à-dire le déterminant de la matrice [25] soit « » et
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» c'est-à-dire la trace de la matrice [37] soit «» d'où
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» ;

     ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » de discriminant « l'existence de deux valeurs propres simples », la multiplicité géométrique[53] de chaque valeur propre simple étant [54],[55] on constate que la condition de diagonalisation de la matrice est vérifiée à savoir « la somme des multiplicités géométriques en cas de valeurs propres réelles égale à la dimension ou taille de la matrice »[56] ;

     on poursuit en « déterminant le vecteur propre à un facteur multiplicatif près associé à chaque valeur propre », en notant la base dans laquelle représente l'endomorphisme étudié, soit
      pour on a « de matrice coordonnée dans la base » devant vérifier « » soit ou [57] valeurs parmi lesquelles on choisit arbitrairement «» et
      pour on a « de matrice coordonnée dans la base » devant vérifier « » soit ou [57] valeurs parmi lesquelles on choisit arbitrairement «» ;

     on en déduit « la matrice de passage de la base vers la base des vecteurs propres de l'endomorphisme »[3] la matrice le représentant y étant diagonale à savoir « » puis

     on en déduit « sa matrice inverse » telle que donnant, en développant le produit matriciel, le système d'où l'expression de la matrice inverse «» ;

     enfin on réalise « le changement de bases de vers la base des vecteurs propres de l'endomorphisme pour que la matrice de ce dernier dans la nouvelle base soit diagonale » selon la formule «»[5] soit,
     enfin on réalise avec «» et « la matrice diagonale cherchée », « » dans lequel « » «» dont le développement donne « » c'est-à-dire « la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres de l'endomorphisme représenté par »[58].

Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la matrice que l'on se propose de diagonaliser si toutefois elle l'est ;

     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» avec
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» c'est-à-dire le déterminant de la matrice [25] soit « » et
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» c'est-à-dire la trace de la matrice [37] soit «» d'où
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» ;

     ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » de discriminant réduit « l'existence d'une unique valeur propre double », la multiplicité géométrique[53] de cette seule valeur propre double[59] étant strictement à sa multiplicité algébrique[60] est donc égale à , on constate que la condition de diagonalisation de la matrice à savoir « la somme des multiplicités géométriques en cas de valeurs propres réelles égale à la dimension ou taille de la matrice » n'est pas vérifiée[56] et par suite que n'est pas diagonalisable,

     mais on retient que « l'endomorphisme que la matrice représente dans la base du -espace vectoriel définition et image de l'endomorphisme » possède « une valeur propre double à laquelle s'associe un sous-espace vectoriel propre de dimension », dont on va expliciter un vecteur propre ;

     pour on a « de matrice coordonnée dans la base » devant vérifier «» soit ou [57] valeurs parmi lesquelles on choisit arbitrairement «».

Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant pas de racines réelles[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la matrice que l'on se propose de diagonaliser si toutefois elle l'est ;

     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» avec
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» c'est-à-dire le déterminant de la matrice [25] soit « » et
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» c'est-à-dire la trace de la matrice [37] soit «» d'où
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» ;

     ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » de discriminant réduit « l'absence de valeurs propres réelles de l'endomorphisme que la matrice représente dans la base du -espace vectoriel définition et image de l'endomorphisme » établissant que cette matrice n'est pas diagonalisable[56].

Exposé de la méthode de diagonalisation sur une matrice carrée de dimension (ou taille) 3[modifier | modifier le wikicode]

     La méthode de diagonalisation d'une matrice carrée de dimension ou taille étant indépendante de la dimension ou taille de la matrice, nous n'exposerons que deux exemples pour lesquels la dimension ou taille apporte une nouveauté,

     ces deux matrices ayant « même polynôme caractéristique » représentent chacun « un endomorphisme sur un même -espace vectoriel dans une même base ayant mêmes valeurs propres » mais étant « tel que les sous-espaces vectoriels propres associés aux valeurs propres sont différents », l'un étant représenté par une matrice non diagonalisable et l'autre par une matrice diagonalisable.

Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double et une simple[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la matrice que l'on se propose de diagonaliser si toutefois elle l'est ;

     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» avec
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «»[25] soit «»[61],
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique « » c'est-à-dire la trace de la matrice [37] soit «» et
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» c'est-à-dire la somme des mineurs principaux d'ordre de [35] est une partie à éléments[36] de l'ensemble des entiers naturels soit «» d'où
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» ;

     ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir découvert une « racine évidente » et avoir « factorisé le polynôme caractéristique par en effectuant la division euclidienne de par selon les puissances »

     ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement la réécriture du polynôme caractéristique de la matrice selon «» ou, en reconnaissant l'identité remarquable «», la forme entièrement factorisée du polynôme caractéristique «» établissant « l'existence d'une valeur propre simple et d'une valeur propre double », la multiplicité géométrique[53] de la valeur propre simple étant [54],[55], il ne reste qu'à déterminer celle de la valeur propre double pour savoir si la condition de diagonalisation de la matrice à savoir « la somme des multiplicités géométriques en cas de valeurs propres réelles égale à la dimension ou taille de la matrice »[56] est réalisée ;

     ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » pour cela « on cherche le(s) vecteur(s) propre(s) à un facteur multiplicatif près associé à la valeur propre double », en notant la base dans laquelle représente l'endomorphisme étudié soit, avec « de matrice coordonnée dans la base » devant vérifier «» soit ou, en regroupant dans un même membre, correspondant au système de équations algébriques linéaires à inconnues suivant [62] soit, en substituant par [63], , l'équation étant une C.L[19]. de et selon la solution générale vérifiant définit « un seul vecteur propre à un facteur multiplicatif près de matrice coordonnée dans la base associé à la valeur propre double » et par suite,
     ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique[53] de cette valeur propre double est entraînant que « la somme des multiplicités géométriques des valeurs propres égale à diffère de la dimension ou taille de la matrice égale à »[56] d'où le caractère « non diagonalisable » de la matrice ,

     mais on retient que « l'endomorphisme que la matrice représente dans la base du -espace vectoriel définition et image de l'endomorphisme » possède

  • une valeur propre double multiplicité algébrique à laquelle s'associe le sous-espace vectoriel propre de dimension multiplicité géométrique généré par le vecteur propre[64] de matrice coordonnée dans la base et
  • une valeur propre simple dont on va expliciter un vecteur propre « de matrice coordonnée dans la base », celle-ci devant vérifier « » soit ou correspondant au système de équations algébriques linéaires à inconnues suivant [62] soit, en substituant par [63], , l'équation étant une C.L[19]. de et selon la solution générale vérifiant définit pour « vecteur propre à un facteur multiplicatif près de matrice coordonnée dans la base associé à la valeur propre simple ».
Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 diagonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double et une simple[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la matrice que l'on se propose de diagonaliser si toutefois elle l'est ;

     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» avec
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «»[25] soit «»[61],
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique « » c'est-à-dire la trace de la matrice [37] soit «» et
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» c'est-à-dire la somme des mineurs principaux d'ordre de [35] est une partie à éléments[36] de l'ensemble des entiers naturels soit «» d'où
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» ;

     ensuite « le polynôme caractéristique de étant le même que celui de du paragraphe précédent, ses racines sont les mêmes » d'où l'existence d'« une valeur propre simple » et d'« une valeur propre double », la multiplicité géométrique[53] de la valeur propre simple étant [54],[55], il ne reste qu'à déterminer celle de la valeur propre double pour savoir si la condition de diagonalisation de la matrice à savoir « la somme des multiplicités géométriques en cas de valeurs propres réelles égale à la dimension ou taille de la matrice »[56] est réalisée ;

     ensuite pour cela « on cherche le(s) vecteur(s) propre(s) à un facteur multiplicatif près associé à la valeur propre double », en notant la base dans laquelle représente l'endomorphisme étudié soit, avec « de matrice coordonnée dans la base » devant vérifier «» soit ou, en regroupant dans un même membre, correspondant au système de équations algébriques linéaires à inconnues suivant [62] soit, en remarquant que les équations sont identiques à une seule de solution générale vérifiant définissant « deux vecteurs propres distincts chacun à un facteur multiplicatif près par exemple de matrice coordonnée et de matrice coordonnée dans la base associé à la valeur propre double » et par suite,
     ensuite la multiplicité géométrique[53] de cette valeur propre double est entraînant que « la somme des multiplicités géométriques des valeurs propres égale à est la dimension ou taille de la matrice égale à »[56] d'où le caractère « diagonalisable » de la matrice  ;

     pour être complet il convient de former « la matrice de passage de la base vers la base des vecteurs propres de l'endomorphisme représenté par » et pour cela
     pour être complet il convient de déterminer le vecteur propre [64] associé à la valeur propre simple soit « de matrice coordonnée, dans la base , », celle-ci devant vérifier «» soit ou correspondant au système de équations algébriques linéaires à inconnues suivant [62] soit, en substituant par [63], , l'équation étant une “ C.L[19]. de et ” selon “ la solution générale vérifiant définit « pour vecteur propre à un facteur multiplicatif près de matrice coordonnée dans la base associé à la valeur propre simple » ;

     pour être complet on en déduit « la matrice de passage de la base vers la base des vecteurs propres de l'endomorphisme »[3] la matrice le représentant y étant diagonale à savoir «» puis

     pour être complet on en déduit « sa matrice inverse » telle que donnant, en développant le produit matriciel, le système de équations algébriques linéaires à inconnues suivant [62] ou, en éliminant « et au profit de par »[65], « et au profit de par »[65] ainsi que « et au profit de par »[65] un système de équations algébriques linéaires aux inconnues , soit dont on déduit et par suite l'expression de la matrice de passage inverse «» ;

     pour être complet on réalise « le changement de bases de vers la base des vecteurs propres de l'endomorphisme pour que la matrice de ce dernier dans la nouvelle base soit diagonale » selon la formule «»[5] soit,
     pour être complet on réalise avec «» et « la matrice diagonale cherchée », « » où « » « » c'est-à-dire « la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres de l'endomorphisme représenté par »[58].

Tentative de trigonalisation d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n[modifier | modifier le wikicode]

     « Trigonaliser[66] une matrice carrée » de dimension ou taille représentant un endomorphisme du -espace vectoriel de dimension
           « Trigonaliser une matrice carrée » c'est faire un changement de bases de avec une matrice de passage de la base initiale à la nouvelle base [3] tel que la nouvelle matrice de l'endomorphisme de dans la base particulière [5] soit « triangulaire » ;
           « Trigonaliser une matrice carrée » c'est aussi trouver une matrice inversible pour que la matrice soit semblable à une matrice [6] triangulaire c'est-à-dire trouver inversible telle que soit une matrice triangulaire [67].

Condition pour qu'une matrice carrée de dimension (ou taille) n soit trigonalisable[modifier | modifier le wikicode]

     Supposons la « matrice trigonalisable » et introduisons son polynôme caractéristique

«» avec
«» c'est-à-dire la somme des mineurs principaux d'ordre de [35]
« est une partie à éléments[36] de l'ensemble des entiers naturels »
dont, plus particulièrement,
«» c'est-à-dire le déterminant de la matrice [25] et
«» c'est-à-dire la trace de la matrice [37] ;

     considérons « l'endomorphisme du -espace vectoriel de dimension que la matrice représente dans le couple de bases » où « est une base choisie dans »[2], étant tel que «» et
     considérons « son polynôme caractéristique » défini comme celui de la matrice le représentant dans le couple de bases [51]

«» ;

     « les valeurs propres de l'endomorphisme étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient donc «» ou

«»
c'est-à-dire « une équation polynomiale ou algébrique à cœfficients réels de degré »,

     « le nombre maximal de racines réelles de cette équation polynomiale étant », on en déduit qu'« il y a au maximum valeurs propres de l'endomorphisme »[52],
     « le nombre maximal de racines réelles de cette équation polynomiale étant », chaque valeur propre pouvant être « simple ou algébriquement multiple »[53].

     On admet que la matrice est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé sur le corps des réels c'est-à-dire ssi son polynôme caractéristique est entièrement factorisable en polynômes du 1er degré définis sur .

     Remarques : « si les racines du polynôme caractéristique de la matrice sont toutes réelles et simples », « la matrice est diagonalisable » la multiplicité géométrique[53] d'une valeur propre simple étant égale à sa multiplicité algébrique[53] c'est-à-dire [54],[55] et la somme des multiplicités algébriques égale au degré du polynôme caractéristique scindé sur , la condition de diagonalisation[56] est donc bien vérifiée ;

     Remarques : dans le cas d'« une matrice carrée à polynôme caractéristique scindé sur », une « condition nécessaire pour que la matrice ne soit pas diagonalisable est l'existence d'une valeur propre non simple c'est-à-dire à multiplicité algébrique[53] à », « la condition devenant suffisante si la multiplicité géométrique[53] de la valeur propre est à sa multiplicité algébrique »[53], dans ce cas « la matrice n'est que trigonalisable ».

Exposé de la méthode de trigonalisation sur une matrice carrée de dimension (ou taille) 2[modifier | modifier le wikicode]

     Sur les trois exemples de tentative de diagonalisation de matrice carrée de dimension ou taille , un seul le 1er exemple correspond à une matrice diagonalisable, nous reprenons donc les deux autres :

     dans le 2ème exemple, le polynôme caractéristique a une racine réelle double mais la multiplicité géométrique[53] de la valeur propre n'étant que de la matrice n'est pas diagonalisable, elle est toutefois trigonalisable car son polynôme caractéristique est scindé sur [68] et
     dans le 3ème exemple, le polynôme caractéristique n'a pas de racines réelles, il n'est donc pas scindé sur et la matrice n'est pas trigonalisable[68].

Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable mais trigonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double[modifier | modifier le wikicode]

     Comme nous l'avons établi dans le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double » plus haut dans ce chapitre, la matrice n'est pas diagonalisable ;

     son polynôme caractéristique établi dans le même paragraphe étant «» se réécrit «» établissant qu'« il est scindé sur » et par suite que la matrice est trigonalisable[68] ;

     « l'endomorphisme qu'elle représente dans la base du -espace vectoriel possède donc une valeur propre double à laquelle s'associe un sous-espace vectoriel propre de dimension dont le vecteur propre générateur[64] explicité dans la base voir le paragraphe précité est de matrice coordonnée dans la base » ;

     dans le but de trigonaliser , il faut « compléter la base » permettant d'obtenir « la matrice de passage de la base vers la nouvelle base »[3] «» et par suite
     dans le but de trigonaliser , il faut « compléter la base » permettant d'obtenir « la matrice triangulaire représentant l'endomorphisme dans cette nouvelle base » ;

     dans le but de trigonaliser , il faut « compléter la base » le choix de 2ème vecteur de base est arbitraire avec évidemment pour condition de ne pas être colinéaire à , « on choisit par exemple de matrice coordonnée dans la base » d'où
     dans le but de trigonaliser , il faut « compléter la base » l'expression de la « matrice de passage » ;

     dans le but de trigonaliser , il faut « compléter la base » de cette dernière on déduit « la matrice de passage inverse  » en formant donnant, en développant le produit matriciel, le système d'où l'expression de la matrice inverse «» ;

     dans le but de trigonaliser , on en déduit la matrice triangulaire en formant «»[5] soit, en développant le produit des deux dernières matrices, « ».

     Remarques : l'élément non diagonal de la matrice triangulaire dépend du choix du 2ème vecteur de la base par exemple « si on choisit de matrice coordonnée dans la base », « la matrice de passage de la base vers la base »[3] s'écrit «» «»[69] et « » soit, en développant le produit des deux dernières matrices «» ;

     Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base conduit à l'obtention d'une matrice triangulaire supérieure avec les deux éléments diagonaux égaux à la valeur propre double,
     Remarques : si on inverse l'ordre des deux vecteurs de la base on obtient une matrice triangulaire inférieure en effet
     Remarques : si on inverse l'ordre des deux vecteurs de la base « si », on établit que «»[70] et « » soit, en développant le produit des deux dernières matrices «».

     Remarques : En conclusion, s'il n'existe qu'« une et une seule matrice diagonale semblable à une matrice diagonalisable »[6],
     Remarques : En conclusion, il existe « autant de matrices trigonales supérieures ou inférieures semblables à une matrice trigonalisable[6] qu'il y a de façon de choisir les vecteurs de la base autres que le(s) vecteur(s) propre(s) associé(s) à la ou au(x) valeur(s) propre(s) de la matrice trigonalisable ».

Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non trigonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant pas de racines réelles[modifier | modifier le wikicode]

     Comme nous l'avons établi dans le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant pas de racines réelles » plus haut dans ce chapitre, la matrice n'est pas diagonalisable ;

     son polynôme caractéristique établi dans le même paragraphe étant «» de discriminant réduit « n'a aucune racine réelle » établissant qu'« il n'est pas scindé sur » et par suite que la matrice n'est pas trigonalisable[68].

Exposé de la méthode de trigonalisation sur une matrice carrée de dimension (ou taille) 3[modifier | modifier le wikicode]

     Sur les deux exemples de tentative de diagonalisation de matrice carrée de dimension ou taille , un seul le 2ème exemple correspond à une matrice diagonalisable, nous reprenons donc l'autre en en ajoutant un 3ème pour une présentation plus complète :

     dans le 1er exemple, le polynôme caractéristique a une racine réelle simple et une double mais la multiplicité géométrique[53] de la valeur propre double n'étant que de la matrice n'est pas diagonalisable en étant toutefois trigonalisable car son polynôme caractéristique est scindé sur [68] et
     dans le 3ème exemple à ajouter, le polynôme caractéristique n'a qu'une racine réelle simple, il n'est donc pas scindé sur et la matrice n'est pas trigonalisable[68].

Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non diagonalisable mais trigonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double et une simple[modifier | modifier le wikicode]

     Comme nous l'avons établi dans le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double et une simple » plus haut dans ce chapitre, la matrice n'est pas diagonalisable ;

     son polynôme caractéristique établi dans le même paragraphe étant «» se réécrit «» établissant qu'« il est scindé sur » et par suite que la matrice est trigonalisable[68] ;

     « l'endomorphisme qu'elle représente dans la base du -espace vectoriel » possède donc

  • « une valeur propre simple à laquelle s'associe le vecteur propre [64] de matrice coordonnée dans la base voir le paragraphe précité» et
  • « une valeur propre double à laquelle s'associe un sous-espace vectoriel propre de dimension dont le vecteur propre générateur[64] explicité dans la base voir le paragraphe précité est de matrice coordonnée dans la base » ;

     dans le but de trigonaliser , il faut « compléter la base » permettant d'obtenir « la matrice de passage de la base vers la base »[3] «» et par suite
     dans le but de trigonaliser , il faut « compléter la base » permettant d'obtenir « la matrice triangulaire représentant l'endomorphisme dans cette nouvelle base » ;

     dans le but de trigonaliser , il faut « compléter la base » le choix de 3ème vecteur de base est arbitraire avec évidemment pour condition de ne pas être une C.L[19]. de et , « on choisit par exemple de matrice coordonnée dans la base » d'où
     dans le but de trigonaliser , il faut « compléter la base » l'expression de la « matrice de passage » ;

     dans le but de trigonaliser , il faut « compléter la base » de cette dernière on déduit « la matrice de passage inverse » en formant donnant, en développant le produit matriciel, le système de équations algébriques linéaires à inconnues [62] [65] [63] d'où l'expression de la matrice inverse «» ;

     dans le but de trigonaliser , on en déduit la matrice triangulaire «»[5] soit, en développant le produit des deux dernières matrices «».

     Remarques : toutes les observations faites dans le sous paragraphe « remarques » du paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable mais trigonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double » plus haut dans le chapitre peuvent être réitérées.

Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non trigonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant qu'une racine simple réelle[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la matrice que l'on se propose de réduire sur par diagonalisation ou trigonalisation si toutefois l'une ou l'autre des méthodes est applicable ;

     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» avec
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «»[25] soit «»[61],
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» c'est-à-dire la trace de la matrice [37] soit «» et
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» c'est-à-dire la somme des mineurs principaux d'ordre de [35] est une partie à éléments[36] de l'ensemble des entiers naturels soit «» d'où
     tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «» ;

     ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir découvert une « racine évidente » et avoir « factorisé le polynôme caractéristique par en effectuant la division euclidienne de par selon les puissances »

     ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement la réécriture du polynôme caractéristique de la matrice selon «» ;

     ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » le polynôme du 2ème degré étant de discriminant réduit n'a pas de racines réelles d'où « le polynôme caractéristique de la matrice , , n'étant pas scindé sur », n'est pas trigonalisable[68] et bien sûr non diagonalisable[71].

     Remarque : Toutefois on peut « utiliser l'existence d'une valeur propre simple et du vecteur propre[64] associé de l'endomorphisme représenté par la matrice dans la base du -espace vectoriel », pour « réduire la matrice sur par introduction d'une colonne n'ayant pour élément non nul que la valeur propre simple de l'endomorphisme » ;

     Remarque : pour cela on fait un « changement de base dans lequel l'un des vecteurs de la nouvelle base est le vecteur propre[64] de l'endomorphisme à savoir », les deux autres vecteurs de base et étant choisis de façon arbitraire avec évidemment comme condition que forment une famille libre de vecteurs[72] ;

     Remarque : pour cela on commence par déterminer le vecteur propre[64] associé à la valeur propre soit « de matrice coordonnée dans la base », celle-ci devant vérifier « » soit ou soit, après développement du produit matriciel, le système de équations algébriques linéaires à inconnues [62] ou, en substituant par [63], , l'équation étant une C.L[19]. de et selon la solution générale vérifiant définit pour « vecteur propre à un facteur multiplicatif près de matrice coordonnée dans la base associé à la valeur propre simple » ;

     Remarque : pour cela « choisissant pour [73] de la base » on en déduit « la matrice de passage de la base vers la base , »[3], puis

          Remarque : pour cela « choisissant pour de la base » on en déduit « la matrice de passage inverse » par donnant, en développant le produit matriciel, le système de équations algébriques linéaires à inconnues suivant [62] [65] d'où la matrice inverse « », d'où

          Remarque : pour cela « choisissant pour de la base » la matrice réduite dans par changement de bases , «[5] ».

Inversion d'une matrice carrée sous condition d'existence[modifier | modifier le wikicode]

Condition d'existence de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

     Il existe un nombre important de conditions équivalentes pour traduire qu'une matrice carrée de dimension ou taille fixée est inversible[74],
     Il existe un nombre important parmi toutes ces conditions admises nous retiendrons celle-ci :

« la matrice carrée est inversible » ssi « son déterminant est ».

Formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

Rappel sur la notion de comatrice d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

     Soit « la matrice carrée de dimension ou taille », nous avons défini, plus haut dans ce chapitre,

     Soit « la comatrice de , notée , comme la matrice de ses cofacteurs »[75],

     Soit « la comatrice de , notée , comme la matrice de « le cofacteur d'indice de la matrice étant le scalaire »[75] dans laquelle
     Soit « la comatrice de , notée , comme la matrice de ses « est la matrice carrée de dimension ou taille déduite de en remplaçant la jème colonne par une colonne constituée uniquement de à l'exception du cœfficient de la ième ligne remplacé par » soit «» et
     Soit « la comatrice de , notée , comme la matrice de ses « la sous-matrice carrée de dimension ou taille déduite de en supprimant la ième ligne et la jème colonne » soit « », « définissant un des mineurs de ».

Explicitation de la formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

Application de la formule de Laplace pour déterminer l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) 2 ou 3[modifier | modifier le wikicode]

Cas d'une matrice carrée de dimension (ou taille) 2[modifier | modifier le wikicode]

     1er exemple, matrice inverse de  : tout d'abord cette matrice est effectivement inversible car son déterminant vaut  ;
     1er exemple, matrice inverse de  : tout d'abord la comatrice de étant ,
     1er exemple, matrice inverse de  : tout d'abord la matrice complémentaire de est [78] d'où
     1er exemple, matrice inverse de  : tout d'abord en accord avec le résultat trouvé au paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 diagonalisable, à polynôme caractéristique ayant deux racines réelles simples » plus haut dans le chapitre.

     2ème exemple, matrice inverse de  : tout d'abord cette matrice est effectivement inversible car son déterminant vaut  ;
     2ème exemple, matrice inverse de  : tout d'abord la comatrice de étant ,
     2ème exemple, matrice inverse de  : tout d'abord la matrice complémentaire de est [78] d'où
     2ème exemple, matrice inverse de  : tout d'abord en accord avec le résultat trouvé au paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable mais trigonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double » plus haut dans le chapitre.

Cas d'une matrice carrée de dimension (ou taille) 3[modifier | modifier le wikicode]

     1er exemple, matrice inverse de  : tout d'abord cette matrice est effectivement inversible car son déterminant vaut  ;
     1er exemple, matrice inverse de  : tout d'abord la comatrice de étant ,
     1er exemple, matrice inverse de  : tout d'abord la matrice complémentaire de est d'où
     1er exemple, matrice inverse de  : tout d'abord en accord avec le résultat trouvé au paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 diagonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double et une simple » plus haut dans le chapitre.

     2ème exemple, matrice inverse de  : tout d'abord matrice effectivement inversible car son déterminant vaut  ;
     2ème exemple, matrice inverse de  : tout d'abord la comatrice de étant ,
     2ème exemple, matrice inverse de  : tout d'abord la matrice complémentaire de est d'où
     2ème exemple, matrice inverse de  : tout d'abord en accord avec le résultat trouvé au paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non diagonalisable mais trigonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double et une simple » plus haut dans le chapitre.

     3ème exemple, matrice inverse de  : tout d'abord cette matrice est effectivement inversible car son déterminant vaut  ;
     3ème exemple, matrice inverse de  : tout d'abord la comatrice de étant ,
     3ème exemple, matrice inverse de  : tout d'abord la matrice complémentaire de est d'où
     3ème exemple, matrice inverse de  : tout d'abord en accord avec le résultat trouvé au paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non trigonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant qu'une racine simple réelle » plus haut dans le chapitre.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Voir le paragraphe « introduction des matrices en mathématiques (matrice carrée) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 et 2,6 Voir le paragraphe « 2ème interprétation linéaire d'une dimension (ou taille) (m, n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de basess (B, C) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » appliqué au cas où l'espace vectoriel image est identique à l'espace vectoriel antécédent l'application linéaire étant alors appelée « endomorphisme », avec choix d'une même base dans l'espace vectoriel commun.
  3. 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 et 3,11 Voir le paragraphe « matrice de passage entre deux bases de Rm, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de Rm » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » prolongé au cas d'un espace vectoriel quelconque de dimension .
  4. 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 et 4,09 Les éléments de l'ensemble des matrices carrées de dimension ou taille peuvent être classés en sous-ensemble de simplicité croissante selon :
    • une matrice carrée sans éléments nuls est à considérer comme faisant partie du sous-ensemble des moins simples,
    • une matrice carrée avec quelques éléments nuls sans être triangulaire supérieure ou inférieure est plus simple qu'une matrice carrée sans éléments nuls,
    • une matrice triangulaire supérieure ou inférieure est plus simple qu'une matrice carrée avec quelques éléments nuls et
    • une matrice diagonale est plus simple qu'une matrice triangulaire supérieure ou inférieure.
  5. 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 et 5,10 Voir le paragraphe « changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image (cas particulier) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 et 6,4 On rappelle voir le paragraphe « changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image (cas particulier) » plus haut dans ce chapitre que « deux matrices » sont semblables » ssi
    « inversible » telle que « ».
  7. Voir le paragraphe « 1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice coordonnée d'une famille de n “ m-uplets ” dans une base de Rm » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » dans le cas où .
  8. Leopold Kronecker (1823 - 1891) mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'équation quintique en utilisant la théorie des groupes.
  9. 9,0 9,1 et 9,2 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) polymathe allemand entre autres philosophe, logicien, mathématicien, scientifique dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal calcul différentiel et calcul intégral dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton ainsi que l'introduction des notations connues de nos jours sous le nom de notations de Leibniz
       Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal partagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  10. Par exemple la permutation est telle que
    • est à d'où une 1ère inversion,
    • est à , et d'où trois autres inversions,
    • est à d'où une autre inversion et
    • étant à pas d'autre inversion
       soit au total cinq inversions, la permutation est donc impaire et sa signature vaut .
  11. 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 et 11,5 Un déterminant de matrice est souvent noté en remplaçant par des barres verticales se substituant aux crochets utilisés pour représenter une matrice voir 2ème représentation
  12. En effet dans la 1ère permutation aucune inversion d'où permutation paire,
       En effet dans la 2ème permutation une inversion d'où permutation impaire,
       En effet dans la 3ème permutation une inversion d'où permutation impaire,
       En effet dans la 4ème permutation deux inversions d'où permutation paire,
       En effet dans la 5ème permutation deux inversions d'où permutation paire et
       En effet dans la 6ème permutation trois inversions d'où permutation impaire.
  13. En effet la 1ère permutation a pour signature et le produit s'évalue par ,
       En effet la 2ème permutation a pour signature et le produit s'évalue par ,
       En effet la 3ème permutation a pour signature et le produit s'évalue par ,
       En effet la 4ème permutation a pour signature et le produit s'évalue par ,
       En effet la 5ème permutation a pour signature et le produit s'évalue par et
       En effet la 6ème permutation a pour signature et le produit s'évalue par .
  14. Identiques à celles du 1er exemple.
  15. En effet la 1ère permutation a pour signature et le produit s'évalue par ,
       En effet la 2ème permutation a pour signature et le produit s'évalue par ,
       En effet la 3ème permutation a pour signature et le produit s'évalue par ,
       En effet la 4ème permutation a pour signature et le produit s'évalue par ,
       En effet la 5ème permutation a pour signature et le produit s'évalue par et
       En effet la 6ème permutation a pour signature et le produit s'évalue par .
  16. 16,0 16,1 16,2 16,3 16,4 16,5 16,6 16,7 et 16,8 Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la théorie des probabilités ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de Newton sur la vitesse du son sous-estime cette dernière.
       Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais : voir la note « 55 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
  17. 17,0 et 17,1 « étant le déterminant du mineur de la matrice dans laquelle la ième ligne et la jème colonne ont été supprimées ».
  18. 18,0 et 18,1 La raison étant que cette colonne ou cette ligne contient au moins un zéro.
  19. 19,00 19,01 19,02 19,03 19,04 19,05 19,06 19,07 19,08 19,09 19,10 et 19,11 Combinaison Linéaire.
  20. 20,0 et 20,1 Appelant le vecteur dont les composantes dans la base canonique d'un -espace vectoriel sont la jème colonne de la matrice carrée, les colonnes de la matrice carrée sont liées si tel que .
  21. Liste non exhaustive
  22. D'après la propriiété de ce paragraphe.
  23. D'après la propriété de ce paragraphe.
  24. D'après la propriété de ce paragraphe.
  25. 25,0 25,1 25,2 25,3 25,4 25,5 25,6 25,7 et 25,8 Voir le paragraphe « notion de déterminant d'une matrice carrée » plus haut dans ce chapitre.
  26. Voir le paragraphe « conséquences » du chap. intitulé « Déterminant » de la leçon « Matrice » du cours « Mathématiques en MPSI », les grandes lignes de la démonstration étant rappelées ci-après :
       Soit « une matrice carrée fixée de dimension ou taille c'est-à-dire », on définit, pour la démonstration, l'« application de dans » selon
    «, » ;
       d'une part « si une colonne quelconque de est multipliée par le scalaire », il en est de même, de par la définition du produit matriciel à gauche voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », de la colonne du produit matriciel et par suite
       d'une part « si une colonne quelconque de est multipliée par le scalaire », « est aussi multiplié par le scalaire » d'après la « propriété du paragraphe énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n » plus haut dans ce chapitre,
       d'une part « si une colonne quelconque de est multipliée par le scalaire », ce qui prouve que l'image de par l'application c'est-à-dire dépend linéairement de chaque colonne de la matrice antécédent c'est le même comportement que l'application de dans définie selon «, » ;
       d'autre part « si deux colonnes et de sont identiques », il en est de même, de par la définition du produit matriciel à gauche voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », des deux colonnes et du produit matriciel et par suite
       d'autre part « si deux colonnes et de sont identiques », «» d'après la « propriété du paragraphe énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n » plus haut dans ce chapitre,
       d'autre part « si deux colonnes et de sont identiques », ce qui prouve que l'image d'une matrice ayant deux colonnes identiques par l'application est nulle c'est-à-dire pour ayant deux colonnes identiques c'est le même comportement que l'application de dans définie selon «, » ;
       de ces deux propriétés précédentes de l'application «» identiques à celle de l'application «» on déduit la proportionnalité des deux applications c'est-à-dire «» ou « avec restant à déterminer » ;
       appliquant «» à quelconque de , on obtient «» ou, d'après les définitions de et , «» soit, en particulier pour matrice identité de , «» ou, avec et , «» soit finalement
    «» «» ou
                              «».
  27. étant la matrice identité de voir le paragraphe « introduction des matrices en mathématiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » avec ajout de l'indice pour préciser la taille.
  28. C.-à-d. « le déterminant de la matrice » celle-ci étant la matrice coordonnée de la famille des vecteurs dans la base de , matrice notée voir le paragraphe « 1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice coordonnée d'une famille de n m-uplets dans une base de Rm » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » dans lequel d'une part et les -uplets de remplacés par des vecteurs de l'espace vectoriel de dimension d'autre part.
  29. Ce dernier étant encore le déterminant de la matrice «» celle-ci étant la matrice coordonnée de la famille des vecteurs dans la base de , matrice notée voir le paragraphe « 1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice coordonnée d'une famille de n m-uplets dans une base de Rm » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » dans lequel d'une part et les -uplets de remplacés par des vecteurs de l'espace vectoriel de dimension d'autre part.
  30. Ce résultat se déduisant de «» voir le paragraphe « 2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » dans lequel les deux espaces vectoriels ainsi que leur base sont confondus avec simplification des notations consistant à ne pas répéter la même base de l'espace commun “définition et image” suivi de l'utilisation de la propriété « le déterminant d'un produit de matrices est le produit des déterminants de chacune d'elles » exposée plus haut dans ce chapitre et le fait que « le déterminant des matrices d'un endomorphisme est indépendant de la base utilisée »
  31. Car si les matrices étaient des matrices d'endomorphismes différents, leurs déterminants seraient les déterminants d'endomorphismes différents donc leurs déterminants seraient différents
  32. Un polynôme à une indéterminée à cœfficients dans est une suite à valeurs dans nulle à partir d'un certain rang ;
       la suite d'éléments de est notée,
    • sans utiliser l'indéterminée selon ou encore simplement ou,
    • en utilisant l'indéterminée selon
  33. 33,0 33,1 et 33,2 D'après la formule de Leibniz avec
        une permutation de ensemble des permutations des éléments de ,
        étant le jème élément de la permutation soit et
        la signature de la permutation soit , une permutation étant si le nombre d'inversions c'est-à-dire quand est à est voir la note « 10 » plus haut dans le chapitre pour un exemple d'évaluation de parité de permutation
       Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) polymathe allemand entre autres philosophe, logicien, mathématicien, scientifique dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal calcul différentiel et calcul intégral dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton ainsi que l'introduction des notations connues de nos jours sous le nom de notations de Leibniz
       Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal partagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  34. 34,0 34,1 et 34,2 est le symbole de Kronecker ;
       Leopold Kronecker (1823 - 1891) mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'équation quintique en utilisant la théorie des groupes.
  35. 35,0 35,1 35,2 35,3 35,4 35,5 35,6 et 35,7 « Un mineur de matrice est le déterminant d'une de ses sous-matrices carrées obtenue en ne gardant que certaines lignes et colonnes de façon à ce que le nombre soit le même» soit, en supposant qu'on ne garde que les lignes et ainsi que les colonnes et , on obtient le mineur , « le nombre commun de lignes et de colonnes définissant l'ordre du mineur » ici d'ordre  ;
       le mineur est dit « principal » si on ne garde que les lignes et colonnes de la matrice de même indice par exemple est un mineur principal d'ordre .
  36. 36,0 36,1 36,2 36,3 36,4 et 36,5 Le cardinal d'un ensemble fini ou dénombrable, noté , est le nombre d'éléments de cet ensemble.
  37. 37,00 37,01 37,02 37,03 37,04 37,05 37,06 37,07 37,08 37,09 et 37,10 étant donc la somme des cœfficients de la diagonale principale de la matrice .
  38. Voir, plus haut dans ce chapitre, le paragraphe « nouveau retour sur les deux exemples exposés précédemment (retour sur le 1er exemple) » pour la détermination la plus rapide de .
  39. Voir, plus haut dans ce chapitre, le paragraphe « nouveau retour sur les deux exemples exposés précédemment (retour sur le 2ème exemple) » pour la détermination la plus rapide de .
  40. On utilise la commutativité de la multiplication matricielle entre la matrice identité et n'importe quelle autre matrice de même dimension, la matrice identité étant l'élément neutre de la multiplication matricielle, la propriété de commutativité de la multiplication matricielle entre deux matrices quelconques de même dimension n'étant a priori pas réalisée
  41. Voir le paragraphe « déterminant d'un produit de matrices de même dimension (ou taille) » plus haut dans ce chapitre.
  42. Ce Qu'il Fallat Démontrer.
  43. Cette définition n'ayant un sens que si les matrices carrées représentant l'endomorphisme dans n'importe quelle base de ont même polynôme caractéristique c'est-à-dire indépendant de la base choisie, ce qui a été effectivement établi précédemment.
  44. La réciproque est néanmoins fausse « deux matrices carrées de même dimension ou taille ayant même polynôme caractéristique ne sont pas nécessairement semblables » voir 4ème propriété de l'article de Wikipédia sur les polynômes caractéristiques de matrices carrées de même dimension ou taille :
       exemple de matrices de ayant même polynôme caractéristique et n'étant pas semblables « et »,
       exemple de matrices de ayant même polynôme caractéristique et n'étant pas semblables elles ont même polynôme caractéristique «» le 1er étant défini selon «» et le 2nd selon «»
       exemple de matrices de ayant même polynôme caractéristique et n'étant pas semblables mais elles ne sont pas semblables car elles le seraient s'il existait une matrice inversible telle que «» soit, comme «», «» ce qui n'est pas puisque d'où inversible n'existe pas et par suite et ne sont pas semblables ;
       deux matrices carrées de dimension non semblables pouvant avoir même polynôme caractéristique, on en déduit que deux endomorphismes différents d'un même -espace vectoriel de dimension peuvent également avoir même polynôme caractéristique ;
       une conséquence de cette non-propriété est qu'un polynôme de degré ne caractérise ni une matrice carrée de dimension ou taille même à une similitude près, ni un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension
  45. 45,0 et 45,1 « Un endomorphisme sur le -espace vectoriel de dimension est non injectif » « si tel que » « » « tel que » ou, par contraposée,
                         « Un endomorphisme sur le -espace vectoriel de dimension est non injectif » « si tel que » « » «».
  46. En effet « » a pour contraposée « tel que ».
  47. 47,0 et 47,1 Voir le paragraphe « quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n (propriété 5) » plus haut dans le chapitre, « l'existence d'une relation de liaison entre les colonnes de la matrice entraînant la nullité de son déterminant ».
  48. En effet, si tel n'était pas le cas pourrait être choisie comme base de et serait la matrice de passage de la base à la base donc de déterminant ce qui est contraire à l'hypothèse initiale.
  49. 49,0 et 49,1 Voir le paragraphe « indépendance du déterminant des matrices d'un endomorphisme par rapport à la base choisie dans l'espace vectoriel de définition, définition du déterminant d'un endomorphisme » plus haut dans ce chapitre.
  50. Voir le préliminaire de ce paragraphe dans lequel il est démontré qu'un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif ».
  51. 51,0 et 51,1 Voir le paragraphe « polynôme caractéristique d'un endomorphisme » plus haut dans ce chapitre.
  52. 52,0 52,1 et 52,2 Par extension les valeurs propres de l'endomorphisme sont appelées « valeurs propres de la matrice carrée le représentant ».
  53. 53,00 53,01 53,02 53,03 53,04 53,05 53,06 53,07 53,08 53,09 53,10 53,11 53,12 53,13 53,14 53,15 et 53,16
       La multiplicité algébrique d'une valeur propre est son ordre de multiplicité dans le polynôme caractéristique,
       sa multiplicité géométrique d'une valeur propre   la dimension du sous-espace propre associé, celle-ci étant toujours à sa multiplicité algébrique.
  54. 54,0 54,1 54,2 et 54,3 En effet à chaque valeur propre on peut associer au moins un vecteur propre ce qui assure que la multiplicité géométrique d'une valeur propre est au minimum .
  55. 55,0 55,1 55,2 et 55,3 Comme la multiplicité géométrique est à sa multiplicité algébrique qui est pour une valeur propre simple, sa multiplicité géométrique vaut donc sa valeur minimale c'est-à-dire .
  56. 56,0 56,1 56,2 56,3 56,4 56,5 56,6 et 56,7 Voir le paragraphe « condition pour qu'une matrice carrée de dimension (ou taille) n soit diagonalisable » plus haut dans ce chapitre.
  57. 57,0 57,1 et 57,2 Les deux équations algébriques étant les mêmes à un facteur multiplicatif près car ce système des deux équations algébriques linéaires à deux inconnues homogène doit avoir une solution non triviale voir le paragraphe « condition d'existence de solutions non triviales » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la condition se réécrivant .
  58. 58,0 et 58,1 Ce résultat devant être donné directement sans nécessité de le vérifier.
  59. Comme la multiplicité géométrique est à sa multiplicité algébrique qui est pour une valeur propre double, sa multiplicité géométrique vaut théoriquement ou sa valeur minimale .
  60. En effet si la multiplicité géométrique de la seule valeur propre double était , la matrice serait semblable à , cela signifierait inversible de telle que ce qui est contraire à la structure non diagonale de d'où la multiplicité géométrique de la seule valeur propre double ne peut pas être , elle est donc à .
  61. 61,0 61,1 et 61,2 En développant selon la 1èer colonne voir la méthode exposée dans le paragraphe « retour sur les deux exemples exposés précédemment » plus haut dans ce chapitre.
  62. 62,0 62,1 62,2 62,3 62,4 62,5 62,6 et 62,7 Voir le paragraphe « interprétation matricielle (d'un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  63. 63,0 63,1 63,2 63,3 et 63,4 Voir le paragraphe « résolution par combinaison linéaire (d'un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  64. 64,0 64,1 64,2 64,3 64,4 64,5 64,6 et 64,7 À un facteur multiplicatif près.
  65. 65,0 65,1 65,2 65,3 et 65,4 Voir le paragraphe « résolution par substitution (d'un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  66. Ou triangulariser.
  67. Suivant le sens dans lequel on écrit les vecteurs colonnes de on obtient une matrice triangulaire supérieure ou inférieure.
  68. 68,0 68,1 68,2 68,3 68,4 68,5 68,6 et 68,7 Voir le paragraphe « condition pour qu'une matrice carrée de dimension (ou taille) n soit trigonalisable » plus haut dans ce chapitre.
  69. En effet de «» on déduit « » en formant donnant, en développant le produit matriciel, le système d'où l'expression de la matrice inverse «».
  70. En effet de «» on déduit « » en formant donnant, en développant le produit matriciel, le système d'où l'expression de la matrice inverse «».
  71. Une matrice diagonale pouvant être considérée comme un cas particulier de matrice triangulaire supérieure ou inférieure.
  72. C.-à-d. que .
  73. Ce qui est possible car ni ni n'est colinéaire au vecteur propre à un facteur multiplicatif près associé à la valeur propre de la matrice .
  74. Voir le paragraphe propriétés fondamentales de l'article matrice inversible de wikipédia.
  75. 75,0 75,1 et 75,2 Voir le paragraphe « notion de comatrice d'une matrice carrée » plus haut dans ce chapitre.
  76. Voir le paragraphe « condition d'existence de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée » plus haut dans ce chapitre.
  77. Voir le paragraphe « transposition de matrices » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  78. 78,0 et 78,1 La comatrice de étant symétrique, la matrice complémentaire de s'identifie à la comatrice.