Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices carrées, leur réduction et inversion sous conditions

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Réduction d'une matrice carrée

Définition de la réduction d'une matrice carrée

     Préliminaire : Une « matrice carrée $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» étant, quelle que soit la matrice $\;\left[A\right]$, « la matrice d'un endomorphisme $\;\varphi \;$ d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ dans une base particulière $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» c.-à-d. telle que «$\;\left[A\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$»,
     Préliminaire : il est possible d'« envisager une nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;E\;$ de matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à cette nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» pour que « la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans cette nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$, à savoir $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)$, soit la plus simple possible » c.-à-d.
     Préliminaire : il est possible de trouver la matrice $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ telle que «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$ soit la plus simple possible »  ;

     Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans cette nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à savoir $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$» est « une matrice carrée particulière $\;\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ identique à $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$» et
     Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à savoir $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$» est « la matrice carrée d'origine $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ identique à $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$»,

     Préliminaire : le fait que «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[B\right]\;$ soit plus simple que $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;$» a pour conséquence que « la matrice carrée particulière $\;\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ est plus simple que la matrice carrée d'origine $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» ,
     Préliminaire : cette simplification $\;{\big (}$lorsqu'elle est poussée à son maximum possible${\big )}\;$ correspond à la « réduction de la matrice $\;\left[A\right]\;$».

Définition de la réduction d'une matrice carrée

     « Réduire la matrice carrée $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» identifiable à « la matrice d'un endomorphisme $\;\varphi \;$ d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ dans une base particulière $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» c.-à-d. à «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;$» c'est
     « Réduire la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]\;}$ « faire un changement de bases de $\;E\;$ avec une matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» tel que « la nouvelle matrice $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ dans la base particulière $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» soit « la plus simple possible » « relativement à la matrice initiale $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ dans la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$», c'est donc
     « Réduire la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]\;}$ « trouver une matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» telle que «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ soit la plus simple possible $\;/\;$ à $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$», ou, telle que «$\;\left[B\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ soit la plus simple possible $\;/\;$ à $\;\left[A\right]\;$».

Définition (équivalente) de la réduction d'une matrice carrée

     « Réduire la matrice carrée $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» c'est donc aussi
     « Réduire la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]\;}$ « trouver une matrice $\;\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ semblable à la matrice initiale $\;\left[A\right]\;$, la plus simple possible relativement à cette dernière ».

Notion de déterminant d'une matrice carrée

     « Une matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» étant « la juxtaposition des matrices coordonnées $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right]_{1\leqslant j\leqslant n}\!\!\in \;M_{n,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de la famille de $\;n\;$ “$\;n$-uplets ” $\;\left(a_{1,\,j},\,\cdots \,a_{i,\,j},\,\cdots \,a_{n,\,j}\right)_{1\leqslant j\leqslant n}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ dans la base canonique $\;\left\lbrace E\right\rbrace =\left\lbrace e_{1},\cdots e_{i},\cdots e_{n}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant n}\;$ de ce dernier » avec «$\;e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\leqslant k\leqslant m}\;$ dans lequel $\;\delta _{k,\,i}=\left\lbrace {\begin{array}{c}0\;\;{\text{si }}k\neq i\\1\;\;{\text{si }}k=i\end{array}}\right\rbrace \;$ est le symbole de Kronecker » on définit
     « Une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ le « déterminant de la matrice carrée $\;\left[A\right]\;$» comme le « déterminant de la famille de ses $\;n\;$ “$n$-uplets ” $\;x_{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}=\left(a_{1,\,j},\,\cdots \,a_{i,\,j},\,\cdots \,a_{n,\,j}\right)\;$ dans la base canonique de $\;\mathbb {R} ^{n}\;$», ce dernier se calculant selon la « formule de Leibniz »

«$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=\mathrm {det} _{\left\lbrace E\right\rbrace }\!\left(x_{1},\,\cdots \,x_{j},\,\cdots \,x_{n}\right)=\sum \limits _{\sigma \,\in \,S_{n}}\left[\varepsilon (\sigma )\;\prod \limits _{j=1}^{n}a_{\sigma (j),\,j}\right]\;$» avec
«$\;\sigma \;$ une permutation de $\;S_{n}\;$» $\;{\Big (}$ensemble des permutations des éléments de $\;\left[\left[1\,,\,n\right]\right]{\Big )}$,
«$\;\sigma (j)\;$ étant le j^ème élément de la permutation $\;\sigma \;$» soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\left[1\,,\,n\right]\right]\!\!&{\text{:}}\!\!&1\!\!&\cdots \!\!&j\!\!&\cdots \!\!&n\\\sigma \!\!&{\text{:}}\!\!&\sigma (1)\!\!&\cdots \!\!&\sigma (j)\!\!&\cdots \!\!&\sigma (n)\end{array}}\right\rbrace \;$» et
«$\;\varepsilon (\sigma )\;$ la signature de la permutation $\;\sigma \;$» soit «$\;\varepsilon (\sigma )=\left\lbrace {\begin{array}{l}+1\;\;{\text{si }}\;\sigma \;{\text{est paire}}\\-1\;\;{\text{si }}\;\sigma \;{\text{est impaire}}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
« une permutation $\;\sigma \;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{paire}}\\{\text{impaire}}\end{array}}\right\rbrace \;$ si le nombre d'inversions $\;{\big [}$c.-à-d. quand $\;\sigma (j)\;$ est $\;>\;$ à $\;\sigma (i>j){\big ]}\;$ est $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{pair}}\\{\text{impair}}\end{array}}\right\rbrace \;$» .

     Remarque : la « formule de Leibniz » permet de définir le déterminant d'une matrice carrée mais ce n'est pas la façon la plus efficace pour le calculer, nous allons néanmoins l'utiliser sur deux exemples de matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\,,\,3\right)\;$ pour préciser cette méthode :

     Remarque : $\;\succ \;$1^er exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;\;$ ;
     Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$1^er exemple : lister tout d'abord les six $\;{\big (}3\,!{\big )}\;$ permutations de colonnes numérotées de $\;1\;$ à $\;3\;$ en déterminant la signature de chacune $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma _{1}{\text{ :}}\!\!&1&2&3&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{2}{\text{ :}}\!\!&1&3&2&{\text{:}}\!\!&-1\\\sigma _{3}{\text{ :}}\!\!&2&1&3&{\text{:}}\!\!&-1\\\sigma _{4}{\text{ :}}\!\!&2&3&1&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{5}{\text{ :}}\!\!&3&1&2&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{6}{\text{ :}}\!\!&3&2&1&{\text{:}}\!\!&-1\end{array}}\right\rbrace \;$ puis évaluer chaque produit associé à une permutation $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sigma _{1}{\text{ :}}\!\!&+0\times 4\times 8&=+0\\\sigma _{2}{\text{ :}}\!\!&-0\times 5\times 7&=-0\\\sigma _{3}{\text{ :}}\!\!&-1\times 3\times 8&=-24\\\sigma _{4}{\text{ :}}\!\!&+1\times 5\times 6&=+30\\\sigma _{5}{\text{ :}}\!\!&+2\times 3\times 7&=+42\\\sigma _{6}{\text{ :}}\!\!&-2\times 4\times 6&=-48\end{array}}\right\rbrace \;$ soit finalement
     Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$1^er exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;=+0-0-24+30+42-48=0$ ;

     Remarque : $\;\succ \;$2^ème exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;\;$ ;
     Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$2^ème exemple : lister tout d'abord les six $\;{\big (}3\,!{\big )}\;$ permutations de colonnes numérotées de $\;1\;$ à $\;3\;$ en déterminant la signature de chacune $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma _{1}{\text{ :}}\!\!&1&2&3&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{2}{\text{ :}}\!\!&1&3&2&{\text{:}}\!\!&-1\\\sigma _{3}{\text{ :}}\!\!&2&1&3&{\text{:}}\!\!&-1\\\sigma _{4}{\text{ :}}\!\!&2&3&1&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{5}{\text{ :}}\!\!&3&1&2&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{6}{\text{ :}}\!\!&3&2&1&{\text{:}}\!\!&-1\end{array}}\right\rbrace \;$ puis évaluer chaque produit associé à une permutation $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sigma _{1}{\text{ :}}\!\!&+0\times 5\times 8&=+0\\\sigma _{2}{\text{ :}}\!\!&-0\times 3\times 7&=-0\\\sigma _{3}{\text{ :}}\!\!&-1\times 4\times 8&=-32\\\sigma _{4}{\text{ :}}\!\!&+1\times 3\times 6&=+18\\\sigma _{5}{\text{ :}}\!\!&+2\times 4\times 7&=+56\\\sigma _{6}{\text{ :}}\!\!&-2\times 5\times 6&=-60\end{array}}\right\rbrace \;$ soit finalement
     Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$2^ème exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;=+0-0-32+18+56-60=-18$.

Évaluation pratique du déterminant d'une matrice carrée par formule de Laplace

Notion de comatrice d'une matrice carrée

     Soit « la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$», on appelle

• « cofacteur d'indice $\;_{i,\,j}\;$ de la matrice $\;\left[A\right]\;$» « le scalaire défini par $\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)=(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$» dans laquelle
       $\;\succ \;$ «$\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]\;$ est la matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ déduite de $\;\left[A\right]\;$ en remplaçant la j^ème colonne par une colonne constituée uniquement de $\;0\;$ à l'exception du cœfficient de la i^ème ligne remplacé par $\;1\;$» soit «$\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{1,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{i,\,j}}}\rightsquigarrow 1\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{n,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et
       $\;\succ \;$ «$\;\left[A_{i,\,j}\right]\;$ la sous-matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n-1\;$ déduite de $\;\left[A\right]\;$ en supprimant la i^ème ligne et la j^ème colonne » soit «$\;\left[A_{i,\,j}\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i-1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,j-1}\!\!&a_{i-1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,n}\\a_{i+1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,j-1}\!\!&a_{i+1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]$ $\in \;M_{n-1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$ définit un mineur de $\;\left[A\right]\;$» puis
• « comatrice de $\;\left[A\right]\;$ la matrice de ses cofacteurs » : «$\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$».

Formule de Laplace pour évaluer le déterminant d'une matrice carrée

     On peut calculer le déterminant de la matrice $\;\left[A\right]\;\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ en le développant en fonction des cœfficients d'une seule colonne $\;{\big (}$ou d'une seule ligne${\big )}\;$ et des cofacteurs correspondants.

     Cette formule est dite « formule de Laplace » , elle permet de « ramener le calcul d'un déterminant d'ordre $\;n\;$ à celui de $\;n\;$ de déterminants d'ordre $\;n-1\;$».

     Formules de développement du déterminant «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$ d'ordre $\;n\;$»  :

• par rapport à la colonne $\;j$ : «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;{\begin{array}{|c c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i-1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,j-1}\!\!&a_{i-1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,n}\;\\\;a_{i+1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,j-1}\!\!&a_{i+1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$»  ;
• par rapport à la ligne $\;i$ : «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=\sum _{j=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;{\begin{array}{|c c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i-1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,j-1}\!\!&a_{i-1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,n}\;\\\;a_{i+1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,j-1}\!\!&a_{i+1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$» .

Retour sur les deux exemples exposés précédemment

     Retour sur le 1^er exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;\;$ ;
      Retour sur le 1^er exemple : le plus simple est de développer selon la 1^ère colonne ou la 1^ère ligne par formule de Laplace soit
     Retour sur le 1^er exemple : $\;\succ \;$ selon la 1^ère colonne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\cancel {0\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&7\;\\\;5&8\;\end{array}}}}\;-1\;\;{\begin{array}{|c c|}\;3&6\;\\\;5&8\;\end{array}}+2\;\;{\begin{array}{|c c|}\;3&6\;\\\;4&7\;\end{array}}\;$ dans lequel $\;{\begin{array}{|c c|}\;3&6\;\\\;5&8\;\end{array}}=$ $3\times 8-5\times 6=-6\;$ et $\;{\begin{array}{|c c|}\;3&6\;\\\;4&7\;\end{array}}=3\times 7-4\times 6=$ $-3\;$ d'où $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=-1\times (-6)+2\times (-3)=0\;$ en accord avec le résultat trouvé précédemment ;
     Retour sur le 1^er exemple : $\;\succ \;$ selon la 1^ère ligne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\cancel {0\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&7\;\\\;5&8\;\end{array}}}}\;-3\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&7\;\\\;2&8\;\end{array}}+6\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&4\;\\\;2&5\;\end{array}}\;$ dans lequel $\;{\begin{array}{|c c|}\;1&7\;\\\;2&8\;\end{array}}=$ $1\times 8-2\times 7=-6\;$ et $\;{\begin{array}{|c c|}\;1&4\;\\\;2&5\;\end{array}}=1\times 5-2\times 4=-3\;$ d'où $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=-3\times (-6)+6\times (-3)=0\;$ identique au résultat trouvé précédemment.

     Retour sur le 2^ème exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;\;$ ;
      Retour sur le 2^ème exemple : le plus simple est de développer selon la 1^ère colonne ou la 1^ère ligne par formule de Laplace soit
     Retour sur le 2^ème exemple : $\;\succ \;$ selon la 1^ère colonne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\cancel {0\;\;{\begin{array}{|c c|}\;5&7\;\\\;3&8\;\end{array}}}}\;-1\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;3&8\;\end{array}}+2\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;5&7\;\end{array}}\;$ dans lequel $\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;3&8\;\end{array}}=$ $4\times 8-3\times 6=14\;$ et $\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;5&7\;\end{array}}=4\times 7-5\times 6=$ $-2\;$ d'où $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=-1\times 14+2\times (-2)=-18\;$ en accord avec le résultat trouvé précédemment ;
     Retour sur le 2^ème exemple : $\;\succ \;$ selon la 1^ère ligne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\cancel {0\;\;{\begin{array}{|c c|}\;5&7\;\\\;3&8\;\end{array}}}}\;-4\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&7\;\\\;2&8\;\end{array}}+6\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&5\;\\\;2&3\;\end{array}}\;$ dans lequel $\;{\begin{array}{|c c|}\;1&7\;\\\;2&8\;\end{array}}=$ $1\times 8-2\times 7=-6\;$ et $\;{\begin{array}{|c c|}\;1&5\;\\\;2&3\;\end{array}}=1\times 3-2\times 5=-7\;$ d'où $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=-4\times (-6)+6\times (-7)=-18\;$ identique au résultat trouvé précédemment.

     Conclusion : on constate que l'utilisation de la formule de Laplace pour évaluer le déterminant d'une matrice carrée fait intervenir un calcul toujours plus simple que la formule de définition de Leibniz et ceci même si la colonne $\;{\big (}$ou la ligne${\big )}\;$ selon laquelle le développement est fait ne contient pas de zéros $\;\ldots$

Quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n

Énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n

Propriétés du déterminant d'une matrice carrée

     $\;\succ \;1\;$ Le déterminant d'une matrice carrée dans laquelle on ramène la j^ème colonne devant la 1^ère est multipliée par le scalaire $\;(-1)^{(j-1)}$ $\;{\big (}$même propriété en remplaçant colonne par ligne${\big )}$.

     $\;\succ \;2\;$ Le déterminant d'une matrice carrée avec deux colonnes identiques est nul $\;{\big (}$même propriété en remplaçant colonne par ligne${\big )}$.

     $\;\succ \;3\;$ Le déterminant d'une matrice carrée est multiplié par le scalaire $\;\alpha \;$ si on multiplie une des colonnes de la matrice par le scalaire $\;\alpha$ $\;{\big (}$même propriété en remplaçant colonne par ligne${\big )}$.

     $\;\succ \;4\;$ Le déterminant d'une matrice carrée est inchangé si on ajoute à une colonne une C.L. des autres $\;{\big (}$même propriété en remplaçant colonne par ligne${\big )}$.

     $\;\succ \;5\;$ Le déterminant d'une matrice carrée dont les colonnes sont liées est nul $\;{\big (}$même propriété en remplaçant colonne par ligne${\big )}$.

     Démonstrations : Soit « la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» et « son déterminant $\;\mathrm {det} (A)=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$», nous nous proposons d'effectuer successivement les démonstrations des $\;5\;$ principales propriétés énoncées ci-dessus .

     Démonstrations : Propriété 1 : Supposons que l'« on déplace la colonne $\;C_{j\,\neq \,1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$ devant la 1^ère colonne $\;C_{1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\\\vdots \\a_{n,\,1}\end{array}}\right)\;$» et
     Démonstrations : Propriété 1 : comparons le « nouveau déterminant $\;\mathrm {det} (A')=\;{\begin{array}{|c c c c c c|}\;a_{1,\,j}\!\!&a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,j}\!\!&a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j-1}\!\!&a_{i,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,j}\!\!&a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» au « déterminant initial $\;\mathrm {det} (A)=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» en développant, selon la formule de Laplace , « le nouveau déterminant selon la nouvelle 1^ère colonne $\;{C'}_{1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$» et « le déterminant initial selon la j^ème colonne $\;C_{j}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$», on obtient
     Démonstrations : Propriété 1 : «$\;\mathrm {det} (A')=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A'\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}=a_{1,\,j}\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{2,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,j-1}\!\!&a_{2,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j-1}\!\!&a_{i,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;+\sum \limits _{i=2\,..\,n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+1}\;{\begin{array}{|c c c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&a_{1,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i-1,\,1}\!\!&a_{i-1,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,k-1}\!\!&a_{i-1,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,n}\;\\\;a_{i+1,\,1}\!\!&a_{i+1,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,k-1}\!\!&a_{i+1,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&a_{n,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,k-1}\!\!&a_{n,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» pour l'un et «$\;\mathrm {det} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}=a_{1,\,j}\;(-1)^{1+j}\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{2,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,j-1}\!\!&a_{2,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j-1}\!\!&a_{i,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;+\sum \limits _{i=2\,..\,n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;{\begin{array}{|c c c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&a_{1,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i-1,\,1}\!\!&a_{i-1,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,k-1}\!\!&a_{i-1,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,n}\;\\\;a_{i+1,\,1}\!\!&a_{i+1,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,k-1}\!\!&a_{i+1,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&a_{n,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,k-1}\!\!&a_{n,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» pour l'autre, établissant effectivement que «$\;\mathrm {det} (A')=(-1)^{j-1}\;\mathrm {det} (A)\;$».

     Démonstrations : Propriété 2 : Supposons « la colonne $\;C_{j\,\neq \,1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$ identique à la colonne $\;C_{1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\\\vdots \\a_{n,\,1}\end{array}}\right)\;$» et
     Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant par utilisation de la formule de Laplace selon la 1^ère ligne soit «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\rightsquigarrow a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\rightsquigarrow a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\rightsquigarrow a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;=$ $\sum _{k=1}^{n}a_{1,\,k}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,k}=a_{1,\,1}\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{2,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,k}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,k}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,k}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;+\sum \limits _{k=2\,..\,j-1}^{k=j+1\,..\,n}a_{1,\,k}\;(-1)^{1+k}\;{\begin{array}{|c c c c c c|}\;a_{2,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,k-1}\!\!&a_{2,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,k-1}\!\!&a_{i,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,k-1}\!\!&a_{n,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;+\;a_{1,\,j}\;(-1)^{1+j}\;{\begin{array}{|c c c c c c|}\;a_{2,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,j-1}\!\!&a_{2,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j-1}\!\!&a_{i,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» soit, sachant que «$\;a_{1,\,j}=a_{1,\,1}\;$» et que «$\;{\begin{array}{|c c c c c c c|}\;a_{2,\,1}\!\!&a_{2,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,j-1}\!\!&a_{2,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&a_{i,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j-1}\!\!&a_{i,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&a_{n,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;=$ $(-1)^{j-2}\;{\begin{array}{|c c c c c c c|}\;a_{2,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,j-1}\!\!&a_{2,\,1}\!\!&a_{2,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j-1}\!\!&a_{i,\,1}\!\!&a_{i,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» résultant du passage de la 1^ère colonne après la (j - 1)^ème $\Rightarrow$ une multiplication par «$\;(-1)^{j-2}\;$» d'où «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=\;{\cancel {a_{1,\,1}\;\left\lbrace 1+(-1)^{(1+j)+(j-2)}\right\rbrace \;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{2,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,k}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,k}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,k}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;}}\;+\sum \limits _{k=2\,..\,j-1}^{k=j+1\,..\,n}a_{1,\,k}\;(-1)^{1+k}\;{\begin{array}{|c c c c c c|}\;a_{2,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,k-1}\!\!&a_{2,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,k-1}\!\!&a_{i,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,k-1}\!\!&a_{n,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» expression dans laquelle « les déterminants $\;{\begin{array}{|c c c c c c|}\;a_{2,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,k-1}\!\!&a_{2,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,k-1}\!\!&a_{i,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,k-1}\!\!&a_{n,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}_{\;k\,=\,2\,..\,j-1,\,j+1\,..\,n}\!\!$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n-1$ ont encore deux colonnes identiques $\;\left({\begin{array}{c}a_{2,\,1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\\\vdots \\a_{n,\,1}\end{array}}\right)\;$ et $\;\left({\begin{array}{c}a_{2,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,n}\end{array}}\right)\;$» $\Rightarrow$ par itération du processus précédent, « la nullité de tous ces déterminants » $\Rightarrow$ «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=0\;$».

     Démonstrations : Propriété 3 : « Multipliant la colonne $\;C_{j}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$ par le scalaire $\;\alpha \;$» nous obtenons le « nouveau déterminant $\;\mathrm {det} (A')=$ $\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\alpha \;a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\alpha \;a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\alpha \;a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» soit, en développant suivant la j^ème colonne par formule de Laplace «$\;\mathrm {det} (A')=\sum _{i=1}^{n}\alpha \;a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A'\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}=\alpha \;a_{1,\,j}\;(-1)^{1+j}\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{2,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,j-1}\!\!&a_{2,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j-1}\!\!&a_{i,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;+\cdots$ $+\alpha \;a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;{\begin{array}{|c c c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&a_{1,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i-1,\,1}\!\!&a_{i-1,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,j-1}\!\!&a_{i-1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,n}\;\\\;a_{i+1,\,1}\!\!&a_{i+1,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,j-1}\!\!&a_{i+1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&a_{n,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;+\cdots +\alpha \;a_{n,\,j}\;(-1)^{n+j}\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j-1}\!\!&a_{i,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n-1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n-1,\,j-1}\!\!&a_{n-1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n-1,\,n}\;\end{array}}\;$» s'identifiant effectivement, après factorisation par $\;\alpha$, à «$\;\alpha \;\mathrm {det} (A)\;$».

     Démonstrations : Propriété 4 : « Ajoutons à la colonne $\;C_{k}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,k}\\\vdots \\a_{i,\,k}\\\vdots \\a_{n,\,k}\end{array}}\right)\;$ une C.L. $\;\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;C_{j}=\left({\begin{array}{c}\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{1,\,j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$ des autres colonnes » et
     Démonstrations : Propriété 4 : évaluons le nouveau déterminant «$\;\mathrm {det} (A')=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» soit, en développant suivant la k^ème colonne par formule de Laplace «$\;\mathrm {det} (A')=\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\right)\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A'\right]\right\rbrace \right)_{i,\,k}\;$» ou, en explicitant chaque cofacteur, «$\;\mathrm {det} (A')=\left(a_{1,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{1,\,j}\right)\,(-1)^{1+k}\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{2,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,k-1}\!\!&a_{2,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{2,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,k-1}\!\!&a_{i,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,k-1}\!\!&a_{n,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;+\cdots$ $+\left(a_{i,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\right)\,(-1)^{i+k}\;{\begin{array}{|c c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,k-1}\!\!&a_{1,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i-1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,k-1}\!\!&a_{i-1,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,n}\;\\\;a_{i+1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,k-1}\!\!&a_{i+1,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,k-1}\!\!&a_{n,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;+\cdots$ $+\left(a_{n,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{n,\,j}\right)\,(-1)^{n+k}\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,k-1}\!\!&a_{1,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,k-1}\!\!&a_{i,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n-1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n-1,\,k-1}\!\!&a_{n-1,\,k+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n-1,\,n}\;\end{array}}\;$», c.-à-d.
     Démonstrations : Propriété 4 : une somme dans laquelle tous les cofacteurs sont ceux de la matrice $\;\left[A\right]\;$ d'où sa réécriture selon
     Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\mathrm {det} (A')=\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\right)\,\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,k}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,k}\,\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,k}+\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\right\rbrace \left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,k}\;$»,
     Démonstrations : Propriété 4 : « la 1^ère somme étant le développement de $\;\mathrm {det} \!(A)\;$ selon la k^ème colonne » et
     Démonstrations : Propriété 4 : « la 2^ème pouvant être réécrite selon $\;\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\left\lbrace \sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,k}\right\rbrace \;$» où « chaque facteur entre accolades est le développement selon la k^ème colonne du déterminant d'une matrice $\;\left[A\right]_{k\,\rightsquigarrow \,j\,\neq \,k}\;$ dans laquelle la k^ème colonne a été substituée par la j^ème» soit «$\;\sum \limits _{j\,\in \,\left[[\left[[1,\,n\right]\right]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;\mathrm {det} \!\left(A\right)_{k\,\rightsquigarrow \,j\,\neq \,k}=0\;$» car « tous les $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)_{k\,\rightsquigarrow \,j\,\neq \,k}\;$ étant des déterminants de matrices avec deux colonnes identiques $\;{\big (}$les colonnes $\;_{j}\;$ et $\;_{k}{\big )}\;$ sont nuls » et par suite
     Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\mathrm {det} (A')=\mathrm {det} (A)\;$».

     Démonstrations : Propriété 5 : Soit «$\;C_{1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;C_{j}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{n,\,j}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\\vdots \\0\\\vdots \\0\end{array}}\right)\;$ la relation de liaison entre colonnes de la matrice $\;\left[A\right]\;$» dont on souhaite évaluer le déterminant,
     Démonstrations : Propriété 4 : ce dernier étant inchangé si on ajoute à la colonne «$\;_{1}\;$» la C.L. $\;\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;C_{j}\;$ des autres colonnes «$\;_{\forall \,j\,\neq \,1}\;$» on obtient alors
     Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\mathrm {det} (A)=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c c c c|}\;0\!\!&a_{1,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;0\!\!&a_{i,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;0\!\!&a_{n,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;=0\;$» $\;{\big (}$par développement selon la 1^ère colonne${\big )}$.

Nouveau retour sur les deux exemples exposés précédemment

     On se propose d'utiliser la propriété $\;4\;$ « le déterminant d'une matrice carrée est inchangé si on ajoute à une colonne une C.L. des autres $\;{\big (}$même propriété en remplaçant colonne par ligne${\big )}\;$» de façon à introduire le plus de zéros possible dans une même colonne $\;{\big (}$ou une même ligne${\big )}\;$ de la matrice sans changer la valeur de son déterminant, puis
     On se propose d'évaluer ce dernier en le développant selon cette colonne ou cette ligne $\;{\big (}$ou d'utiliser au préalable une des autres proriétés${\big )}$.

     Retour sur le 1^er exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;\;$ ;
     Retour sur le 1^er exemple : $\;\succ \;$ modifier la colonne $\;\left(C_{3}\right)\;$ en lui ajoutant la C.L. «$\;0\;C_{1}-2\;C_{2}=-2\;C_{2}\;$» des colonnes $\;\left(C_{1}\right)\;$ et $\;\left(C_{2}\right)\;$ d'où $\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6-2\times 3\;\\\;1&4&7-2\times 4\;\\\;2&5&8-2\times 5\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&0\;\\\;1&4&-1\;\\\;2&5&-2\;\end{array}}\;$