Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices

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Les matrices
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Chapitre no 2
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)
Chap. préc. :Les torseurs
Chap. suiv. :Les tenseurs
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Sommaire

Introduction des « matrices » en mathématiques[modifier | modifier le wikicode]

Matrice.svg

......En mathématiques, les «~matrices~» sont des tableaux rectangulaires de nombres servant à interpréter en termes calculatoires les résultats théoriques de l'algèbre linéaire [1] et des applications linéaires [2].

......Une matrice avec [3], [4] tels qu'au moins un des nombres est de [5] est un tableau rectangulaire de lignes et colonnes, le terme générique de la matrice définie sur [6], noté [7] occupant la case de la ième ligne et la jème colonne,
......la matrice étant encore notée [8] voir ci-contre ;

......les appellations suivantes sont utilisées pour les cas particuliers de matrices :

  • matrice nulle si ,
  • matrice colonne si ,
  • matrice ligne si ,
  • matrice carrée si ,
  • matrice triangulaire supérieure pour une matrice carrée telle que et ,
  • matrice triangulaire inférieure pour une matrice carrée telle que et ,
  • matrice diagonale pour une matrice carrée telle que [9] et [10] et
  • matrice identité notée pour une matrice diagonale telle que .

Dans toute la suite du chapitre, nous nous intéressons sauf avis contraire à des matrices définies sur .

Opérations sur les matrices[modifier | modifier le wikicode]

Transposition de matrices[modifier | modifier le wikicode]


Matrix transpose.gif

......Exemple : soit la matrice de dimension (ou taille) , la matrice transposée de est la matrice de dimension (ou taille) s'écrivant , elle s'obtient pratiquement par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale [13] de la matrice ou en permutant lignes et colonnes de la matrice de départ,
......Exemple : la matrice transposée de redonnant la matrice soit  ;
......Exemple : ci-contre une animation permettant de visualiser la formation de la matrice transposée [14] de la matrice [14] et son itération c.-à-d. de visualiser la formation de la matrice transposée [14] de la matrice [14]

Addition de matrices et multiplication par un scalaire[modifier | modifier le wikicode]

......Ces opérations sont définies sur l'«~ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [15] définies sur » et noté «».

Addition de matrices de même dimension (ou taille)[modifier | modifier le wikicode]

......Sur «» on définit la loi de composition interne «~addition de matrices~» notée «» définie selon

,  ;

......l'ensemble «» muni de l'addition «» est un groupe abélien (ou commutatif) [16], en effet la loi de composition interne possède les propriétés nécessaires :

  • elle est associative ,
  • elle est commutative ,
  • elle admet la matrice nulle comme élément neutre et
  • telle que un opposé vérifiant car .

Multiplication par un scalaire[modifier | modifier le wikicode]

......Sur «» on définit la loi de composition externe «~multiplication par un scalaire de » notée «» [17] définie selon

, ou
,  ;

......cette loi de composition externe «~multiplication par un scalaire de » définie sur le groupe abélien (ou commutatif) [16] «» et notée «» possède les propriétés suivantes :

  • elle est distributive par rapport à l'addition de ,
  • elle est distributive par rapport à l'addition de soit encore ,
  • elle est associative mixte par rapport à la multiplication dans et
  • telle que l'élément neutre de la multiplication dans noté est neutre pour «» .

Conséquence sur l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

Structure d'espace vectoriel de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

......L'ensemble «» muni de l'addition «» étant un groupe abélien (ou commutatif) [16] et
......la loi de composition externe «~multiplication par un scalaire de » étant

  • distributive par rapport à l'addition de et
  • distributive par rapport à l'addition de ainsi qu'
  • associative mixte par rapport à la multiplication dans et enfin
  • telle que l'élément neutre de la multiplication dans est neutre pour la loi de composition externe,

......on en déduit que «» est un -espace vectoriel et on démontre que la dimension de cet espace [18] est .

Base canonique de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée et décomposition d'une matrice sur la base canonique[modifier | modifier le wikicode]

......Tout élément de est décomposable de façon unique sur sa base canonique composée des « matrices » dans tous les éléments sont nuls à l'exception de l'élément d'indices qui vaut , ce qui peut encore s'écrire, en utilisant le symbole de Kronecker [19] , avec pour et ,

......la décomposition de la matrice [8] sur la base canonique s'écrivant soit,

......en reprenant l'exemple de dimension (ou taille) , les six vecteurs de la base canonique étant

, , , , et ,

......la décomposition de sur sa base canonique s'écrit .

Multiplication matricielle à droite (ou à gauche)[modifier | modifier le wikicode]

Définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)[modifier | modifier le wikicode]

Description du mode opératoire de la multiplication à droite de la matrice par la matrice

......La multiplication matricielle à droite d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [15] définies sur est une loi de composition externe nécessitant l'intervention d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [20] définies sur , le résultat de cette multiplication matricielle à droite étant une matrice de l'ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [21] soit, en notant «» la multiplication matricielle (à droite), la définition de la loi de composition externe suivante telle que

pour et , ou
avec ,
voir mode opératoire de la multiplication matricielle à droite ci-contre.

......De même on peut définir la multiplication matricielle à gauche d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [15] définies sur comme loi de composition externe nécessitant l'intervention d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [22] définies sur , le résultat de cette multiplication matricielle à gauche étant une matrice de l'ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [23] soit, en notant «» la multiplication matricielle (à gauche), la définition de la loi de composition externe suivante telle que

pour et , ou
avec ,
le mode opératoire de la multiplication matricielle à gauche est le même que celui décrit dans le schéma ci-dessus
à condition de permuter la position de avec celle de .

......Exemple : soit la matrice à multiplier à droite par la matrice , on obtient la matrice telle que [24] ;

......Exemple : le choix des dimensions (ou tailles) des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice par la matrice soit aussi possible, on obtient alors la matrice telle que [25] ;

......Exemple : on vérifie que est de , les dimensions (ou tailles) étant différentes.

Relation de transposition d'un produit matriciel[modifier | modifier le wikicode]


......Démonstration : soit et , le produit matriciel est une matrice selon avec  ;

......Démonstration : la matrice transposée de s'écrit alors avec  ;

......Démonstration : la matrice transposée de s'écrivant avec et
.......Démonstration : la ~ celle transposée de s'écrivant avec ,

......Démonstration : on en déduit le produit matriciel tel que soit encore établissant que et par suite .

Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée et conséquence sur la structure de cet ensemble[modifier | modifier le wikicode]

Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

......Toute matrice de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée [26] pouvant être multipliée à droite ou à gauche par n'importe matrice de , la multiplication matricielle à droite ou à gauche définie sur devient alors une loi de composition interne possédant les propriétés suivantes :

  • associativité de la multiplication matricielle ,
  • distributivité de la multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle ,
  • distributivité de la multiplication matricielle à droite relativement à l'addition matricielle et
  • existence d'un élément neutre de la multiplication matricielle «~la matrice identité » et .

......La multiplication matricielle n'est pas commutative c.-à-d. qu'usuellement .

Structure de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

......L'ensemble des matrices carrées de dimension ou taille fixée étant un cas particulier de l'ensemble des matrices de dimension ou taille fixée pour lequel il a été démontré que, muni de l'addition «», c'est un groupe abélien (ou commutatif) [16], [27],

......on en déduit que est aussi un groupe abélien (ou commutatif) [16], [27],

......de plus la multiplication matricielle étant associative, distributive à gauche et à droite relativement à l'addition matricielle, et possédant un élément neutre, ces propriétés ajoutées à la structure de groupe abélien (ou commutatif) [16], [27] de confère à une structure d'«~anneau unitaire~» non commutatif [28] ;

......ensuite ayant établi, avec les propriétés de la loi de composition externe «~multiplication par un scalaire de » [29], que l'ensemble des matrices de dimension ou taille fixée est un -espace vectoriel [27], on en déduit que l'ensemble des matrices carrées de dimension ou taille fixée est aussi un -espace vectoriel ;

......enfin la loi de composition externe «~multiplication par un scalaire de » ayant, relativement à la multiplication matricielle de , la propriété , , cette propriété, ajoutée à la structure d'espace vectoriel et à celle d'anneau unitaire que possède confère à « une structure d'algèbre associative unitaire sur le corps ».

Interprétations linéaires de matrices[modifier | modifier le wikicode]

1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

Interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un « m-uplet » dans une base de Rm[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant l'ensemble avec [30] en tant que -espace vectoriel ainsi que la base canonique de cet espace avec dans lequel est le symbole de Kronecker [19], nous pouvons définir

  • une correspondance bijective entre chaque élément de la base canonique de et chaque matrice colonne de l'ensemble des matrices colonnes et par suite,
  • une correspondance bijective entre chaque -uplet de et la matrice colonne de l'ensemble des matrices colonnes ,
    la matrice colonne définissant la matrice coordonnée canonique du -uplet de .

......Considérant une autre base non canonique de [31] on établit une correspondance bijective


...... entre chaque élément de la base non canonique de et la matrice colonne de l'ensemble et
...... entre le -uplet de dont la décomposition basique est et la matrice colonne de l'ensemble ,

la matrice colonne définissant la matrice coordonnée dans la base de ,
du -uplet de de décomposition basique [31].

1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice coordonnée d'une famille de n « m-uplets » dans une base de Rm[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant précédemment défini une correspondance bijective entre le -uplet de et
......Ayant précédemment défini une correspondance bijective entre sa matrice coordonnée canonique ou
......Ayant précédemment défini une correspondance bijective entre le -uplet décomposé selon dans la base non canonique de [31] et
......Ayant précédemment défini une correspondance bijective entre sa matrice coordonnée dans la base non canonique de ,

......on prolonge cette correspondance bijective entre les familles de «-uplets~» de et
......on prolonge cette correspondance bijective entre l'ensemble des matrices de dimension ou taille soit

......à l'élément de la famille de «-uplets~» de on associe la matrice de dimension ou taille , matrice résultant de la juxtaposition des matrices coordonnées canoniques des «-uplets~» et appelée matrice coordonnée canonique de la famille des «-uplets~» ;

......si on adopte une base non canonique de , on a la correspondance bijective suivante :

......à l'élément de la famille de «-uplets~» de , chaque -uplet étant décomposé selon sur la base de , on associe la matrice de dimension ou taille résultant de la juxtaposition des matrices coordonnées des «-uplets~» , appelée matrice coordonnée de la famille des «-uplets~» dans la base de .

......Définition : On appelle rang de la matrice la dimension du sous-espace vectoriel de généré par les «-uplets~» , on établit que le rang de la matrice est .

Matrice de passage entre deux bases de Rm, réécriture de la matrice coordonnée d'un « m-uplet » par changement de base de Rm[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant le -uplet de décomposé dans une base de selon et la matrice coordonnée du -uplet dans la base puis

......Consile même -uplet de décomposé dans une autre base de selon et la matrice coordonnée du -uplet dans la base ,

......nous cherchons la relation permettant de passer de la matrice coordonnée du -uplet dans la base à la matrice coordonnée du même -uplet dans la base
......nous cherchons à partir de la connaissance de la décomposition de la base sur la base , matérialisée par une matrice carrée de dimension ou taille appelée «~matrice de passage de la base dans la base » et obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de la décomposition de chaque élément de la base dans la base [32] ;

......avec la matrice de passage de la base dans la base , nous établissons que la matrice coordonnée du -uplet dans la base se déduit de la matrice coordonnée du -uplet dans la base par

[32] ;

......inversement la relation permettant de passer de la matrice coordonnée du -uplet dans la base à la matrice coordonnée du même -uplet dans la base se détermine sans difficulté dans la mesure où il est toujours possible d'établir, à partir de la décomposition de la base sur la base , celle de la base sur la base c.-à-d. produire la «~matrice de passage de la base dans la base », notée en effet cette matrice résulte de l'inversion de la «~matrice de passage de la base dans la base » [33] et par suite
......inversement la relation permettant de passer de la matrice coordonnée du -uplet dans la base à la matrice coordonnée du même -uplet dans la base s'écrit

[32].

Réécriture de la matrice coordonnée d'une famille de « m-uplets » par changement de base de Rm[modifier | modifier le wikicode]

......La matrice coordonnée d'une famille de «~m-uplets~» de dans la base de «» s'obtenant par juxtaposition des matrices coordonnées de chaque «~m-uplet~» dans la base de «» et

......la relation permettant de réécrire la matrice coordonnée d'un «~m-uplet~» dans la base de «» consistant à multiplier à gauche la matrice coordonnée du «~m-uplet~» dans la base de «» par la matrice de passage de la base à la base on en déduit aisément que

......la matrice coordonnée de la famille des «~m-uplets~» de dans la base de notée «» s'obtient selon la relation

 ;

......inversement la matrice coordonnée de la famille des «~m-uplets~» de dans la base de notée «» s'obtient selon la relation

.

2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n dans un autre espace vectoriel de dimension m[modifier | modifier le wikicode]


......Remarques : On constate qu'une application du -espace vectoriel dans le -espace vectoriel est linéaire ssi elle respecte les C.L. [34] à savoir ssi et , .

......Remarques : L'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel dans le -espace vectoriel est noté [35] et
.......Remarques : L'ens celui des applications linéaires bijectives c.-à-d. des isomorphismes de dans noté [36] ;

......Remarques : l'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel dans lui-même c.-à-d. des endomorphismes de est noté simplement [37] et
......Remarques : L'ens celui des applications linéaires bijectives du -espace vectoriel dans lui-même c.-à-d. des automorphismes de noté [38] et est encore appelé «~groupe linéaire de » ;

......Remarques : l'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel dans le corps corps de construction de l'espace vectoriel dans lequel l'application linéaire alors appelée «~forme linéaire~» est définie est noté et définit l'«~espace dual de » étant donc l'ensemble des formes linéaires de [39].

2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant deux -espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux

  • un 1er -espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de ,
  • un 2ème -espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de et

......Considérant une «~application linéaire de dans »,

......on appelle «~matrice de l'application linéaire du -espace vectoriel de dimension de base dans le -espace vectoriel de dimension de base », la matrice de dimension ou taille notée telle que

de matrice coordonnée dans la base de [40], on associe
de matrice coordonnée dans la base de [40]
se déterminant par .

......Propriétés : à toute application linéaire d'un -espace vectoriel de dimension de base dans un -espace vectoriel de dimension de base on peut associer une et une seule matrice d'application linéaire de dimension ou taille ,
......Propriétés : la jème colonne de est alors la matrice coordonnée de dans la base de  ;

......Propriétés : la matrice appelée «~matrice de l'application linéaire dans le couple de bases » et notée vérifie

et sa matrice coordonnée dans la base de ,
la matrice coordonnée de dans la base de , notée s'évalue par
.

......Propriétés : On déduit que l'application de l'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel de dimension dans le -espace vectoriel de dimension dans l'ensemble des matrices de dimension ou taille qui, à chaque application linéaire fait correspondre la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases c.-à-d. est un isomorphisme d'espaces vectoriels [41].

Exemple d'un automorphisme du plan vectoriel, la similitude directe de rapport et d'angle

......Exemple : La similitude directe de rapport et d'angle est un automorphisme du -espace vectoriel euclidien de dimension  ;
......Exemple : avec le choix de la base canonique pour décrire les vecteurs de du domaine de définition de l'automorphisme et
......Exemple : avec le choix de la même base canonique pour les images par l'automorphisme des vecteurs de ,
......Exemple : la matrice de l'automorphisme de dans le couple de bases s'écrit

 ;

......Exemple : ainsi un vecteur de composantes dans la base canonique et de matrice coordonnée
......Exemple : ainsi a pour image, par similitude directe , le vecteur de composantes dans la base canonique et de matrice coordonnée soit ce qu'on vérifie aisément sur le diagramme ci-dessus.

Matrice de la composée de deux applications linéaires, la 1ère d'un espace vectoriel E de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel F de dimension m de base C et la 2ème de l'espace vectoriel F de dimension m de base C dans un espace vectoriel G de dimension p de base D[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant trois -espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux

  • un 1er -espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de ,
  • un 2ème -espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de ,
  • un 3ème -espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de ainsi que

......Considérant deux «~applications linéaires de dans et de dans »,

......on appelle «~matrice composée de l'application linéaire du -espace vectoriel de dimension de base dans le -espace vectoriel de dimension de base avec pour -espace vectoriel intermédiaire de dimension de base », la matrice de dimension ou taille notée telle que

étant la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases et