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Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices, généralités

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Introduction des « matrices » en mathématiques[modifier | modifier le wikicode]

Matrice.svg

     En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres servant à interpréter en termes calculatoires les résultats théoriques de l'algèbre linéaire [1] et des applications linéaires [2].

     Une matrice avec [3], [4] tels qu'au moins un des nombres est de [5] est un tableau rectangulaire de lignes et colonnes, le terme générique de la matrice définie sur [6], noté [7] occupant la case de la ième ligne et la jème colonne,
     la matrice étant encore notée [8] voir ci-contre ;

     les appellations suivantes sont utilisées pour les cas particuliers de matrices :

  • « matrice nulle si »,
  • « matrice colonne si »,
  • « matrice ligne si »,
  • « matrice carrée si »,
  • « matrice triangulaire supérieure pour une matrice carrée telle que et »,
  • « matrice triangulaire inférieure pour une matrice carrée telle que et »,
  • « matrice diagonale pour une matrice carrée telle que [9] et [10] » et
  • « matrice identité notée pour une matrice diagonale telle que ».
Dans toute la suite du chapitre, nous nous intéressons sauf avis contraire à des matrices définies sur .

Opérations sur les matrices[modifier | modifier le wikicode]

Transposition de matrices[modifier | modifier le wikicode]

Matrix transpose.gif

     Exemple : soit la matrice de dimension ou taille , la matrice transposée de est la matrice de dimension ou taille s'écrivant , elle s'obtient pratiquement par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale [13] de la matrice ou en permutant lignes et colonnes de la matrice de départ,
     Exemple : la matrice transposée de redonnant la matrice soit  ;
     Exemple : ci-contre une animation permettant de visualiser la formation de la matrice transposée [14] de la matrice [14] et son itération c.-à-d. de visualiser la formation de la matrice transposée [14] de la matrice [14]

Addition de matrices et multiplication par un scalaire[modifier | modifier le wikicode]

     Ces opérations sont définies sur l'« ensemble des matrices de dimension ou de taille [15] définies sur » et noté «».

Addition de matrices de même dimension (ou taille)[modifier | modifier le wikicode]

     Sur «» on définit la loi de composition interne « addition de matrices » notée «» définie selon

«», «» ;

     l'ensemble «» muni de l'addition «» est un groupe abélien (ou commutatif) [16], en effet la loi de composition interne possède les propriétés nécessaires :

  • elle est associative «»,
  • elle est commutative «»,
  • elle admet la matrice nulle comme élément neutre «» et
  • elle est telle que « un opposé vérifiant » car «».

Multiplication par un scalaire[modifier | modifier le wikicode]

     Sur «» on définit la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » notée «» [17] définie selon

«», «» ou
«», «» ;

     cette loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » définie sur le groupe abélien (ou commutatif) [16] «» et notée «» possède les propriétés suivantes :

  • elle est « distributive par rapport à l'addition de » « »,
  • elle est « distributive par rapport à l'addition de » «»,
  • elle est « associative mixte par rapport à la multiplication dans » «» et
  • elle est telle que « l'élément neutre de la multiplication dans noté est neutre pour “” » «».

Conséquence sur l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

Structure d'espace vectoriel de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

     L'ensemble «» muni de l'addition «» étant un groupe abélien (ou commutatif) [16] et
     la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » étant

  • « distributive par rapport à l'addition de ainsi que
  • « distributive par rapport à l'addition de »,
  • « associative mixte par rapport à la multiplication dans » et
  • « telle que l'élément neutre de la multiplication dans est neutre pour la loi de composition externe »,

     on en déduit que «» est un «-espace vectoriel » et on démontre que « la dimension de cet espace [18] est ».

Base canonique de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée et décomposition d'une matrice sur la base canonique[modifier | modifier le wikicode]

     Tout élément de est décomposable de façon unique sur sa base canonique composée des « matrices » dans tous les éléments sont nuls à l'exception de l'élément d'indices qui vaut , ce qui peut encore s'écrire, en utilisant le symbole de Kronecker [19] , avec pour et ,

     la décomposition de la matrice [8] sur la base canonique s'écrivant

«» soit,

     en reprenant l'exemple de dimension ou taille , les six vecteurs de la base canonique étant

, , , , et ,

     la décomposition de sur sa base canonique s'écrit .

Multiplication matricielle à droite (ou à gauche)[modifier | modifier le wikicode]

Définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)[modifier | modifier le wikicode]

Description du mode opératoire de la multiplication à droite de la matrice par la matrice

     La multiplication matricielle à droite d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension ou de taille [15] définies sur
     La multiplication matricielle à droite est une loi de composition externe nécessitant l'intervention d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension ou de taille [20] définies sur ,
     La multiplication matricielle à droite le résultat de cette multiplication matricielle à droite étant une matrice de l'ensemble des matrices de dimension ou de taille [21] soit, en notant «» la multiplication matricielle à droite, la définition de la loi de composition externe suivante telle que

« pour et », «» ou
«» avec «»,
voir mode opératoire de la multiplication matricielle à droite ci-contre.

     De même on définit la multiplication matricielle à gauche d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension ou de taille [15] définies sur
     De même on définit la multiplication matricielle à gauche comme loi de composition externe nécessitant l'intervention d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension ou de taille [22] définies sur ,
     De même on définit la multiplication matricielle à gauche le résultat de cette multiplication matricielle à gauche étant une matrice de l'ensemble des matrices de dimension ou de taille [23] soit, en notant «» la multiplication matricielle à gauche, la définition de la loi de composition externe suivante telle que

« pour et », «» ou
«» avec «»,
le mode opératoire de la multiplication matricielle à gauche est le même que celui décrit dans le schéma ci-dessus
à condition de permuter la position de avec celle de .

     Exemple : soit la matrice à multiplier à droite par la matrice , on obtient la matrice telle que [24] ;

     Exemple : le choix des dimensions ou tailles des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice par la matrice soit aussi possible, on obtient alors la matrice telle que [25] ;

     Exemple : on vérifie que «» est de «», les dimensions ou tailles étant d'ailleurs différentes [26], [27].

Relation de transposition d'un produit matriciel[modifier | modifier le wikicode]

     Démonstration : soit « et »,
     Démonstration : « le produit matriciel est une matrice » selon «» avec «» ;

     Démonstration : « la matrice transposée de s'écrit alors » avec «» ;

     Démonstration : « la matrice transposée de s'écrivant » avec «» et
     Démonstration : «         celle transposée de s'écrivant » avec «», on en déduit

     Démonstration : « le produit matriciel » tel que «» établissant que «» et par suite

«».

Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée et conséquence sur la structure de cet ensemble[modifier | modifier le wikicode]

Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

     Toute matrice de l'ensemble des matrices carrées de dimension ou taille fixée [28] pouvant être multipliée à droite ou à gauche par n'importe matrice de , « la multiplication matricielle à droite ou à gauche définie sur » devient alors « une loi de composition interne » possédant les propriétés suivantes :

  • « associativité de la multiplication matricielle » c.-à-d. «»,
  • « distributivité de la multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle » soit «»,
  • « distributivité de la multiplication matricielle à droite relativement à l'addition matricielle » soit «» et
  • « existence d'un élément neutre de la multiplication matricielle “la matrice identité ” » c.-à-d. « et ».

     « La multiplication matricielle n'est pas commutative » c.-à-d. qu'usuellement «» voir la note « 27 » plus haut dans ce chapitre.

Structure de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

     L'ensemble des matrices carrées de dimension ou taille fixée étant un cas particulier de l'ensemble des matrices de dimension ou taille fixée pour lequel il a été démontré que, muni de l'addition «», c'est un groupe abélien (ou commutatif) [16], [29], on en déduit que

« est aussi un groupe abélien (ou commutatif) » [16], [29],

     de plus la multiplication matricielle étant « associative, distributive à gauche et à droite relativement à l'addition matricielle, et possédant un élément neutre »,

ces propriétés ajoutées à la structure de groupe abélien (ou commutatif) [16], [29] de confère à une structure d'« anneau unitaire » non commutatif [30] ;

     ensuite ayant établi, avec les propriétés de la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » [31], que l'ensemble des matrices de dimension ou taille fixée est un -espace vectoriel [29], on en déduit que

« l'ensemble des matrices carrées de dimension ou taille fixée est aussi un -espace vectoriel » ;

     enfin la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » suivant, relativement à la multiplication matricielle de , «, », cette propriété, ajoutée à la structure d'espace vectoriel et à celle d'anneau unitaire que possède

confère à « une structure d'algèbre associative unitaire sur le corps ».

Interprétations linéaires de matrices[modifier | modifier le wikicode]

1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

Interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un « m-uplet » dans une base de Rm[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant l'ensemble avec [32] en tant que -espace vectoriel ainsi que « la base canonique de cet espace avec » dans lequel « est le symbole de Kronecker » [19], nous pouvons définir

  • une « correspondance bijective entre chaque élément de la base canonique de et chaque matrice colonne de l'ensemble des matrices colonnes » et par suite,
  • une « correspondance bijective entre chaque -uplet de et la matrice colonne de l'ensemble des matrices colonnes »,
    « la matrice colonne définissant la matrice coordonnée canonique du -uplet de ».

     Considérant « une autre base non canonique de » [33] on établit une « correspondance bijective »


     « entre chaque élément de la base non canonique de et la matrice colonne de l'ensemble » avec « le projeté de sur » [33] et
     « entre le -uplet de dont la décomposition basique est et la matrice colonne de l'ensemble » [34],

« la matrice colonne définissant la matrice coordonnée dans la base de ,
                                                                                du -uplet de de décomposition basique » [34].

1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice coordonnée d'une famille de n « m-uplets » dans une base de Rm[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant précédemment défini une correspondance bijective « entre le -uplet de et
     Ayant précédemment défini une correspondance bijective « entre sa matrice coordonnée canonique » ou
     Ayant précédemment défini une correspondance bijective « entre le -uplet tel que dans la base non canonique de [34] et
     Ayant précédemment défini une correspondance bijective « entre sa matrice coordonnée dans la base non canonique de »,

     on prolonge cette correspondance bijective « entre les familles de «-uplets » de et
     on prolonge cette correspondance bijective « entre l'ensemble des matrices de dimension ou taille » soit

     on prolonge cette correspondance bijective à « l'élément de la famille de -uplets ” de » on associe
     on prolonge cette correspondance bijective à « la matrice de dimension ou taille matrice résultant de la juxtaposition des matrices coordonnées canoniques des “-uplets ” appelée matrice coordonnée canonique de la famille des -uplets ” » ;

     si on considère « une base non canonique de », on a la « correspondance bijective suivante »

     si on considère « une base non canonique de », à « l'élément de la famille de -uplets ” de pour laquelle chaque -uplet est décomposé selon sur la base non canonique de », on associe
     si on considère « une base non canonique de », à « la matrice de dimension ou taille résultant de la juxtaposition des matrices coordonnées non canoniques des “-uplets ”, appelée matrice coordonnée non canonique de la famille des -uplets ” dans la base non canonique de ».

Matrice de passage entre deux bases de Rm, réécriture de la matrice coordonnée d'un « m-uplet » par changement de base de Rm[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant « le “-uplet ” de décomposé dans une base de selon » et
     Considérant « la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base » puis

Considér« le même “-uplet ” de décomposé dans une autre base de selon » et
     Considérant « la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base »,

     nous cherchons « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base à la matrice coordonnée du même “-uplet ” dans la base »
     nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base sur la base , matérialisée par une matrice carrée de dimension ou taille appelée « matrice de passage de la base à la base » matrice obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de la décomposition de chaque élément de la base dans la base [35] ;

     nous cherchons « la relation avec la matrice de passage de la base à la base , nous établissons que « la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base » se déduit de « la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base » par

«» [36] ;

          inversement « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base à la matrice coordonnée du même “-uplet ” dans la base » se détermine sans difficulté majeure car,
          inversement « la relation à partir de la décomposition de la base sur la base on déduit aisément celle de la base sur la base , décomposition matérialisée par la « matrice de passage de la base à la base », notée [37] en effet cette matrice résulte de l'inversion de la « matrice de passage de la base à la base » [38] et par suite
          inversement « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base à la matrice coordonnée du même “-uplet ” dans la base » s'écrit

«» [39].

Réécriture de la matrice coordonnée d'une famille de « m-uplets » par changement de base de Rm[modifier | modifier le wikicode]

     « La matrice coordonnée d'une famille de -uplets ” de dans la base de notée » s'obtenant par « juxtaposition des matrices coordonnées de chaque “-uplet ” dans la base de à savoir » soit «» et la relation permettant de réécrire

     « la matrice coordonnée d'un “-uplet ” dans la base de à savoir » consistant à multiplier à gauche « la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base de à savoir » par « la matrice de passage de la base à la base » selon «» on en déduit aisément que

     « la matrice coordonnée de la famille des -uplets ” de dans la base de , » s'obtient selon la relation

«» ;

     inversement « la matrice coordonnée de la famille des -uplets ” de dans la base de , » s'obtient à l'aide de « la matrice de passage de la base à la base » selon la relation

«».

2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n dans un autre espace vectoriel de dimension m[modifier | modifier le wikicode]

     Remarques : On constate qu'« une application du -espace vectoriel dans le -espace vectoriel est linéaire » ssi elle respecte les C.L. [40] à savoir
     Remarques : On constate qu'« une application du -espace vectoriel dans le -espace vectoriel est linéaire » ssi «, ».

     Remarques : L'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel dans le -espace vectoriel est noté «» [41] et
     Remarques : L'ens. celui des applications linéaires bijectives c.-à-d. des isomorphismes de dans est      noté «» [42] ;

     Remarques : l'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel dans lui-même c.-à-d. des endomorphismes de est noté «»[43] et
     Remarques : l'ens. celui des applications linéaires bijectives du -espace vectoriel dans c.-à-d. des automorphismes de  noté «» [44] et encore appelé « groupe linéaire de » ;

     Remarques : l'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel dans le corps corps de construction de l'espace vectoriel dans lequel l'application linéaire alors appelée « forme linéaire » est définie est noté et définit l'« espace dual de » étant donc l'ensemble des formes linéaires de [45].

2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant deux -espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux

  • un « 1er -espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de »,
  • un « 2ème -espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de » et

     Considérant une « application linéaire de dans » :

     Propriétés : « à toute application linéaire d'un -espace vectoriel de dimension de base dans un -espace vectoriel de dimension de base » on peut associer « une et une seule matrice d'application linéaire de dimension ou taille » dans laquelle
     Propriétés : « à toute application linéaire « la jème colonne de est la matrice coordonnée de dans la base de [46] c.-à-d. » la décomposition de dans la base