Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices, généralités

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Introduction des « matrices » en mathématiques

     En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres servant à interpréter en termes calculatoires les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et des applications linéaires.

     Une matrice $\;m\times n$ $\;{\big \{}$avec $\;\left(m\,,\,n\right)\in \left[\mathbb {N} ^{*}\right]^{2}\;$ tels qu'au moins un des nombres est $\;\neq \;$ de $\;1\;$${\big \}}\;$ est un tableau rectangulaire de $\;m\;$ lignes et $\;n\;$ colonnes, le terme générique de la matrice $\;\left[A\right]\;$ définie sur $\;\mathbb {R} \;$, noté $\;a_{i,\,j}\;$ occupant la case de la i^ème ligne et la j^ème colonne,
     la matrice étant encore notée $\;\left(a_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m\,,\,1\leqslant j\leqslant n}\;$ $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$ ;

     les appellations suivantes sont utilisées pour les cas particuliers de matrices :

• « matrice nulle si $\;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\;$»,
• « matrice colonne si $\;n=1$»,
• « matrice ligne si $\;m=1\;$»,
• « matrice carrée si $\;m=n\neq 1\;$»,
• « matrice triangulaire supérieure pour une matrice carrée telle que $\;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;j>i\;$ et $\;\exists \;\left(i,\,j\leqslant i\right)\;:\;a_{i,\,j}\neq 0\;$»,
• « matrice triangulaire inférieure pour une matrice carrée telle que $\;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;j<i\;$ et $\;\exists \;\left(i,\,j\geqslant i\right)\;:\;a_{i,\,j}\neq 0\;$»,
• « matrice diagonale pour une matrice carrée telle que $\;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;j\neq i\;$ et $\;\exists \;j\;:\;a_{j,\,j}\neq 0\;$ » et
• « matrice identité notée $\;\left[I\right]\;$ pour une matrice diagonale telle que $\;\forall \;j\;:\;i_{j,\,j}=1\;$».

Dans toute la suite du chapitre, nous nous intéressons $\;{\big (}$sauf avis contraire${\big )}\;$ à des matrices définies sur $\;\mathbb {R}$.

Opérations sur les matrices

Transposition de matrices

Définition

     Soit une matrice «$\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m\,,\,1\leqslant j\leqslant n}\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$», on appelle « matrice transposée de $\;\left[A\right]\;$» « la matrice notée $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(n\,,\,m\right)\;$» telle que
«$\;^{t\!}\left[A\right]=\left(a_{j,\,i}\right)_{1\leqslant j\leqslant n\,,\,1\leqslant i\leqslant m}\;$».

     Exemple : soit la matrice $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\,,\,2\right)$, la matrice transposée de $\;\left[A\right]\;$ est la matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(2\,,\,3\right)\;$ s'écrivant $\;^{t\!}\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&3&5\\2&4&6\end{array}}\right]$, elle s'obtient pratiquement par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice $\;\left[A\right]$ $\;{\big (}$ou en permutant lignes et colonnes de la matrice de départ${\big )}$,
     Exemple : la matrice transposée de $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ redonnant la matrice $\;\left[A\right]\;$ soit $\;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[A\right]\right\rbrace =\;\left[A\right]$ ;
     Exemple : ci-contre une animation permettant de visualiser la formation de la matrice transposée $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ de la matrice $\;\left[A\right]\;$ et son itération $\;{\Big (}$c'est-à-dire de visualiser la formation de la matrice transposée $\;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[A\right]\right\rbrace \;$ de la matrice $\;^{t\!}\left[A\right]\;$${\Big )}\;\ldots$

Addition de matrices et multiplication par un scalaire

     Ces opérations sont définies sur l'« ensemble des matrices de dimension $\;{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ définies sur $\;\mathbb {R} \;$» et noté «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$».

Addition de matrices de même dimension (ou taille)

     Sur «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» on définit la loi de composition interne « addition de matrices » notée «$\;+\;$» $\;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;{\overset {+}{\rightarrow }}\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ définie selon

«$\;\forall \;\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)\,,\,\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;\in \;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;$», «$\;\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)\,,\,\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;{\overset {+}{\rightarrow }}\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+b_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ;

     l'ensemble «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» muni de l'addition «$\;+\;$» est un groupe abélien (ou commutatif), en effet la loi de composition interne possède les propriétés nécessaires :

• elle est associative «$\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left\lbrace \left(b_{i,\,j}\right)+\left(c_{i,\,j}\right)\right\rbrace =\left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}+c_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+b_{i,\,j}+c_{i,\,j}\right)=\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace +\left(c_{i,\,j}\right)\;$»,
• elle est commutative «$\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+b_{i,\,j}\right)=\left(b_{i,\,j}+a_{i,\,j}\right)=\left(b_{i,\,j}\right)+\left(a_{i,\,j}\right)\;$»,
• elle admet la matrice nulle comme élément neutre «$\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left(0_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+0_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}\right)\;$» et
• elle est telle que «$\;\forall \;\left(a_{i,\,j}\right)\;$ $\;\exists \,!\;$ un opposé $\;\left({a'}_{i,\,j}\right)\;$ vérifiant $\;{a'}_{i,\,j}=-a_{i,\,j}\;$» car «$\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left({a'}_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+{a'}_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}-a_{i,\,j}\right)=\left(0_{i,\,j}\right)\;$».

Multiplication par un scalaire

     Sur «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» on définit la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\mathbb {R} \;$» notée «$\;\cdot \;$» $\;\mathbb {R} \times M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ définie selon

«$\;\forall \;\lambda \;\in \;\mathbb {R} ,\;\;\forall \;\left(a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», «$\;\left\lbrace \lambda \,,\,\left(a_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;\lambda \cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou
«$\;\forall \;\lambda \;\in \;\mathbb {R} ,\;\;\forall \;\left(a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», «$\;\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)\,,\,\lambda \right\rbrace \;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;\left(a_{i,\,j}\right)\cdot \lambda =\left(a_{i,\,j}\;\lambda \right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ;

     cette loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\mathbb {R} \;$» définie sur le groupe abélien (ou commutatif) «$\;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace \;$» et notée «$\;\cdot \;$» possède les propriétés suivantes :

• elle est « distributive par rapport à l'addition de $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» «$\;\lambda \cdot \left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace =\lambda \cdot \left(a_{i,\,j}\right)+\lambda \cdot \left(b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)+\left(\lambda \;b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}+\lambda \;b_{i,\,j}\right)$ $=\left(\lambda \left\lbrace a_{i,\,j}+b_{i,\,j}\right\rbrace \right)\;$»,
• elle est « distributive par rapport à l'addition de $\;\mathbb {R} \;$» «$\;\left\lbrace \lambda +\mu \right\rbrace \cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\lambda \cdot \left(a_{i,\,j}\right)+\mu \cdot \left(b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)+\left(\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}+\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\left\lbrace \lambda +\mu \right\rbrace \;a_{i,\,j}\right)\;$»,
• elle est « associative mixte par rapport à la multiplication dans $\;\mathbb {R} \;$» «$\;\left\lbrace \lambda \;\mu \right\rbrace \cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\lambda \cdot \left\lbrace \mu \cdot \left(a_{i,\,j}\right)\right\rbrace =\lambda \cdot \left(\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\left\lbrace \lambda \;\mu \right\rbrace \;a_{i,\,j}\right)\;$» et
• elle est telle que « l'élément neutre de la multiplication dans $\;\mathbb {R} \;$ noté $\;1_{\mathbb {R} }\;$ est neutre pour “$\;\cdot \;$” » «$\;1_{\mathbb {R} }\cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\left(1_{\mathbb {R} }\;a_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}\right)\;$».

Conséquence sur l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée

Structure d'espace vectoriel de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée

     L'ensemble «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» muni de l'addition «$\;+\;$» étant un groupe abélien (ou commutatif) et
     la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\mathbb {R} \;$» étant

• « distributive par rapport à l'addition de $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ ainsi que
• « distributive par rapport à l'addition de $\;\mathbb {R} \;$»,
• « associative mixte par rapport à la multiplication dans $\;\mathbb {R}$» et
• « telle que l'élément neutre de la multiplication dans $\;\mathbb {R} \;$ est neutre pour la loi de composition externe »,

     on en déduit que «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» est un «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel » et on démontre que « la dimension de cet espace est $\;m\times n\;$».

Base canonique de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée et décomposition d'une matrice sur la base canonique

     Tout élément de $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ est décomposable de façon unique sur sa base canonique composée des «$\;m\;n\;$ matrices $\;\left[E\right]_{p,\,q}\;$» $\;{\bigg \{}$dans $\;\left[E\right]_{p,\,q}\;$ tous les éléments sont nuls à l'exception de l'élément d'indices $_{p,\,q}\;$ qui vaut $\;1$, ce qui peut encore s'écrire, en utilisant le symbole de Kronecker $\;\delta _{k,\,l}=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;k\neq l\\1\;{\text{si }}\;k=l\end{array}}\right\rbrace$, $\;\left[E\right]_{p,\,q}=\left(e_{i,\,j}^{p,\,q}\right)_{p,\,q}\;$ avec $\;e_{i,\,j}^{p,\,q}=\delta _{i,\,p}\;\delta _{j,\,q}\;$ pour $\;i\in \left[\left[1\,,\,m\right]\right]\;$ et $\;j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]{\bigg \}}$,

     la décomposition de la matrice $\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m\,,\,1\leqslant j\leqslant n}\;$ sur la base canonique s'écrivant

«$\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m\,,\,1\leqslant j\leqslant n}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left[E\right]_{p,\,q}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left(e_{i,\,j}^{p,\,q}\right)_{p,\,q}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left(\delta _{i,\,p}\;\delta _{j,\,q}\right)_{p,\,q}\;$» soit,

     en reprenant l'exemple $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\,,\,2\right)$, les six vecteurs de la base canonique étant

$\;\left[E\right]_{1,\,1}=\left[{\begin{array}{c}1&0\\0&0\\0&0\end{array}}\right]$, $\;\left[E\right]_{1,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&1\\0&0\\0&0\end{array}}\right]$, $\;\left[E\right]_{2,\,1}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\1&0\\0&0\end{array}}\right]$, $\;\left[E\right]_{2,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&1\\0&0\end{array}}\right]$, $\;\left[E\right]_{3,\,1}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&0\\1&0\end{array}}\right]\;$ et $\;\left[E\right]_{3,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&0\\0&1\end{array}}\right]$,

     la décomposition de $\;\left[A\right]\;$ sur sa base canonique s'écrit $\;\left[A\right]=1\cdot \left[E\right]_{1,\,1}+2\cdot \left[E\right]_{1,\,2}+3\cdot \left[E\right]_{2,\,1}+4\cdot \left[E\right]_{2,\,2}+5\cdot \left[E\right]_{3,\,1}+6\cdot \left[E\right]_{3,\,2}$.

Multiplication matricielle à droite (ou à gauche)

Définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)

Description du mode opératoire de la multiplication à droite de la matrice $\;\left[A\right]\in M_{4,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ par la matrice $\;\left[B\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$

     La multiplication matricielle à droite d'une matrice de l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ définies sur $\;\mathbb {R} \;$
     La multiplication matricielle à droite est une loi de composition externe nécessitant l'intervention d'une matrice de l'ensemble $\;M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\;\left(n\,,\,p\right)\;$ définies sur $\;\mathbb {R}$,
     La multiplication matricielle à droite le résultat de cette multiplication matricielle à droite étant une matrice de l'ensemble $\;M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,p\right)\;$ soit, en notant «$\;\times \;$» la multiplication matricielle $\;{\big (}$à droite${\big )}$, la définition de la loi de composition externe suivante $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\times M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;{\overset {\times }{\rightarrow }}\;M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ telle que

« pour $\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et $\;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», «$\;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou
«$\;\left(a_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m\,,\,1\leqslant j\leqslant n}\times \left(b_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant n\,,\,1\leqslant j\leqslant p}=\left(c_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m\,,\,1\leqslant j\leqslant p}\;$» avec «$\;c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;$»,
voir mode opératoire de la multiplication matricielle à droite ci-contre.

     De même on définit la multiplication matricielle à gauche d'une matrice de l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ définies sur $\;\mathbb {R} \;$
     De même on définit la multiplication matricielle à gauche comme loi de composition externe nécessitant l'intervention d'une matrice de l'ensemble $\;M_{q,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\;\left(q\,,\,m\right)\;$ définies sur $\;\mathbb {R}$,
     De même on définit la multiplication matricielle à gauche le résultat de cette multiplication matricielle à gauche étant une matrice de l'ensemble $\;M_{q,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\;\left(q\,,\,n\right)\;$ soit, en notant «$\;\times \;$» la multiplication matricielle $\;{\big (}$à gauche${\big )}$, la définition de la loi de composition externe suivante $\;M_{q,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\times M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;{\overset {\times }{\rightarrow }}\;M_{q,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ telle que

« pour $\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et $\;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)\in M_{q,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», «$\;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{q,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou
«$\;\left(b_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant q\,,\,1\leqslant j\leqslant m}\times \left(a_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m\,,\,1\leqslant j\leqslant n}=\left(d_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant q\,,\,1\leqslant j\leqslant n}\;$» avec «$\;d_{i,\,j}=\sum \limits _{l=\left[\left[1,\,m\right]\right]}b_{i,\,l}\;a_{l,\,j}\;$»,
le mode opératoire de la multiplication matricielle à gauche est le même que celui décrit dans le schéma ci-dessus
à condition de permuter la position de $\;\left[A\right]\;$ avec celle de $\;\left[B\right]$.

     Exemple : soit la matrice $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ à multiplier à droite par la matrice $\;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)$, on obtient la matrice $\;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{3,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ telle que $\;\left[C\right]=$ $\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}23&29&35\\53&67&81\\83&105&127\end{array}}\right]\;$ ;

     Exemple : le choix des dimensions $\;{\big (}$ou tailles${\big )}\;$ des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice $\;\left[A\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ par la matrice $\;\left[B\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ soit aussi possible, on obtient alors la matrice $\;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{2,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ telle que $\;\left[D\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]$ $=\left[{\begin{array}{c}89&116\\98&128\end{array}}\right]\;$ ;

     Exemple : on vérifie que «$\;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{2,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» est $\;\neq \;$ de «$\;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{3,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», les dimensions $\;{\big (}$ou tailles${\big )}\;$ étant $\;{\big (}$d'ailleurs${\big )}\;$ différentes.

Relation de transposition d'un produit matriciel

Transposée d'un produit matriciel

     « La matrice $\;\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ étant obtenue par $\;\left[A\right]\times \left[B\right]\;$ dans laquelle $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[A\right]\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\\\left[B\right]\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     « sa transposée $\;^{t\!}\left[C\right]\in M_{p,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ vérifie $\;^{t\!}\left[C\right]=\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\,^{t\!}\left[B\right]\in M_{p,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\\\,^{t\!}\left[A\right]\in M_{n,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;$», soit encore «$\;^{t\!}\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace =\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]\;$».

     Démonstration : soit «$\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m\,,\,1\leqslant j\leqslant n}\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et $\;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant n\,,\,1\leqslant j\leqslant p}\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»,
     Démonstration : « le produit matriciel $\;\left[A\right]\times \left[B\right]\;$ est une matrice $\;\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» selon «$\;\left(a_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m\,,\,1\leqslant j\leqslant n}\times \left(b_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant n\,,\,1\leqslant j\leqslant p}=\left(c_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m\,,\,1\leqslant j\leqslant p}\;$» avec «$\;c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;$» ;

     Démonstration : « la matrice transposée de $\;\left[C\right]\;$ s'écrit alors $\;^{t\!}\left[C\right]=\left({c'}_{j,\,i}\right)_{1\leqslant j\leqslant p\,,\,1\leqslant i\leqslant m}\;$» avec «$\;{c'}_{j,\,i}=c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;$» ;

     Démonstration : « la matrice transposée de $\;\left[B\right]\;$ s'écrivant $\;^{t\!}\left[B\right]=\left({b'}_{j,\,i}\right)_{1\leqslant j\leqslant p\,,\,1\leqslant i\leqslant n}\;$» avec «$\;{b'}_{j,\,i}=b_{i,\,j}\;$» et
     Démonstration : «         celle transposée de $\;\left[A\right]\;$ s'écrivant $\;^{t\!}\left[A\right]=\left({a'}_{j,\,i}\right)_{1\leqslant j\leqslant n\,,\,1\leqslant i\leqslant m}\;$» avec «$\;{a'}_{j,\,i}=a_{i,\,j}\;$», on en déduit

     Démonstration : « le produit matriciel $\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\left[D\right]=\left(d_{j\,i}\right)_{1\leqslant j\leqslant p\,,\,1\leqslant i\leqslant m}\;$» tel que «$\;d_{j,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}{b'}_{j,\,k}\;{a'}_{k,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}b_{k,\,j}\;a_{i,\,k}={c'}_{j,\,i}\;$» établissant que «$\;\left[D\right]=\;^{t\!}\left[C\right]\;$» et par suite

«$\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\;^{t\!}\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace \;$».

Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée et conséquence sur la structure de cet ensemble

Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée

     Toute matrice de l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée pouvant être multipliée à droite $\;{\big (}$ou à gauche${\big )}\;$ par n'importe matrice de $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)$, « la multiplication matricielle à droite $\;{\big (}$ou à gauche${\big )}\;$ définie sur $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» devient alors « une loi de composition interne $\;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;{\overset {\times }{\rightarrow }}\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» possédant les propriétés suivantes :

• « associativité de la multiplication matricielle » c'est-à-dire «$\;\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace \times \left[C\right]=\left[A\right]\times \left\lbrace \left[B\right]\times \left[C\right]\right\rbrace \;$»,
• « distributivité de la multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle » soit «$\;\left[A\right]\times \left\lbrace \left[B\right]+\left[C\right]\right\rbrace =\left[A\right]\times \left[B\right]+\left[A\right]\times \left[C\right]\;$»,
• « distributivité de la multiplication matricielle à droite relativement à l'addition matricielle » soit «$\;\left\lbrace \left[A\right]+\left[B\right]\right\rbrace \times \left[C\right]=\left[A\right]\times \left[C\right]+\left[B\right]\times \left[C\right]\;$» et
• « existence d'un élément neutre de la multiplication matricielle “la matrice identité $\;\left[I\right]\;$” » c'est-à-dire «$\;\left[A\right]\times \left[I\right]=\left[A\right]\;$ et $\;\left[I\right]\times \left[A\right]=\left[A\right]\;$».

     « La multiplication matricielle n'est pas commutative » c'est-à-dire qu'usuellement «$\;\left[A\right]\times \left[B\right]\neq \left[B\right]\times \left[A\right]\;$» $\;{\big (}$voir la note « ²⁷ » plus haut dans ce chapitre${\big )}$.

Structure de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée

     L'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée étant un cas particulier de l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ fixée pour lequel il a été démontré que, muni de l'addition «$\;+\;$», c'est un groupe abélien (ou commutatif), on en déduit que

«$\;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace \;$ est aussi un groupe abélien (ou commutatif) »,

     de plus la multiplication matricielle étant « associative, distributive à gauche et à droite relativement à l'addition matricielle, et possédant un élément neutre »,

ces propriétés ajoutées à la structure de groupe abélien (ou commutatif) de $\;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace \;$ confère à $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ une structure d'« anneau unitaire » non commutatif ;

     ensuite ayant établi, avec les propriétés de la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\mathbb {R} \;$», que l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ fixée est un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel, on en déduit que

« l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée est aussi un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel » ;

     enfin la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\mathbb {R} \;$» suivant, relativement à la multiplication matricielle de $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)$, «$\;\forall \;\lambda \in \mathbb {R} ,\;\;\forall \;\left\lbrace \left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right\rbrace \in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}$, $\;\lambda \;\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace =$ $\left\lbrace \lambda \;\left[A\right]\right\rbrace \times \left[B\right]=\left[A\right]\times \left\lbrace \lambda \;\left[B\right]\right\rbrace \;$», cette propriété, ajoutée à la structure d'espace vectoriel et à celle d'anneau unitaire que possède $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$

confère à «$\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ une structure d'algèbre associative unitaire sur le corps $\;\mathbb {R} \;$».

Interprétations linéaires de matrices

1^ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels

Interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un « m-uplet » dans une base de R^m

     Considérant l'ensemble $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ avec $\;m\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$ en tant que $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel ainsi que « la base canonique $\;\left\lbrace e_{1},\cdots e_{i},\cdots e_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de cet espace avec $\;e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\leqslant k\leqslant m}\;$» dans lequel «$\;\delta _{k,\,i}=\left\lbrace {\begin{array}{c}0\;\;{\text{si }}k\neq i\\1\;\;{\text{si }}k=i\end{array}}\right\rbrace \;$ est le symbole de Kronecker », nous pouvons définir

• une « correspondance bijective entre chaque élément $\;e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\leqslant k\leqslant m}\;$ de la base canonique de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ et chaque matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}\delta _{1,\,i}\\\cdots \\\delta _{k,\,i}\\\cdots \\\delta _{m,\,i}\end{array}}\right]_{1\leqslant k\leqslant m}\;$ de l'ensemble des matrices colonnes $\;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et par suite,
• une « correspondance bijective entre chaque $\;m$-uplet $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ et la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de l'ensemble des matrices colonnes $\;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», « la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\leqslant i\leqslant m}\;$ définissant la matrice coordonnée canonique du $\;m$-uplet $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$».

     Considérant « une autre base $\;{\big (}$non canonique${\big )}$ $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$» on établit une « correspondance bijective »

     $\;\succ \;$« entre chaque élément $\;b_{i}\;$ de la base $\;{\big (}$non canonique${\big )}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ et la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}b_{1,\,i}\\\cdots \\b_{k,\,i}\\\cdots \\b_{m,\,i}\end{array}}\right]_{1\leqslant k\leqslant m}\;$ de l'ensemble $\;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» $\;{\big [}$avec «$\;b_{k,\,i}\;$ le projeté de $\;b_{i}\;$ sur $\;e_{k}\;$»${\big ]}\;$ et
     $\;\succ \;$« entre le $\;m$-uplet de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ dont la décomposition basique est $\;\sum \limits _{1\leqslant i\leqslant m}\alpha _{i}\;b_{i}\;$ et la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de l'ensemble $\;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»,

« la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\leqslant i\leqslant m}\;$ définissant la matrice coordonnée dans la base $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}$,
                                                                                du $\;m$-uplet de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ de décomposition basique $\;\sum \limits _{1\leqslant i\leqslant m}\alpha _{i}\;b_{i}\;$».

1^ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice coordonnée d'une famille de n « m-uplets » dans une base de R^m

     Ayant précédemment défini une correspondance bijective « entre le $\;m$-uplet $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ et
     Ayant précédemment défini une correspondance bijective « entre sa matrice coordonnée canonique $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\leqslant i\leqslant m}\in \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou
     Ayant précédemment défini une correspondance bijective « entre le $\;m$-uplet $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\;$ tel que $\;\sum \limits _{1\leqslant i\leqslant m}\alpha _{i}\;b_{i}\;$ dans la base $\;{\big (}$non canonique${\big )}$ $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ et
     Ayant précédemment défini une correspondance bijective « entre sa matrice coordonnée $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\leqslant i\leqslant m}\in \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ dans la base $\;{\big (}$non canonique${\big )}$ $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$»,

     on prolonge cette correspondance bijective « entre les familles de $\;n\;$ «$\;m$-uplets » de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$ et
     on prolonge cette correspondance bijective « entre l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$» soit

     on prolonge cette correspondance bijective à « l'élément $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,n}\,\cdots a_{i,\,n}\cdots a_{m,\,n}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\end{array}}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\;$ de la famille de $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$» on associe
     on prolonge cette correspondance bijective à « la matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)$ $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{m,\,1}&\cdots &a_{m,\,j}&\cdots &a_{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\leqslant i\leqslant m\\1\leqslant j\leqslant n\end{array}}\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ ${\big [}$matrice résultant de la juxtaposition des $\;n\;$ matrices coordonnées canoniques des “$\;m$-uplets ”${\big ]}\;$ appelée matrice coordonnée canonique de la famille des $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” » ;

     si on considère « une base $\;{\big (}$non canonique${\big )}$ $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$», on a la « correspondance bijective suivante »

     si on considère « une base $\;\color {transparent}{\big (}$non canonique$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}}\;$ de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;$», à « l'élément $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,n}\,\cdots a_{i,\,n}\cdots a_{m,\,n}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\end{array}}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\;$ de la famille de $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$ pour laquelle chaque $\;m$-uplet est décomposé selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum \limits _{1\leqslant i\leqslant m}\alpha _{i,\,1}\;b_{i}\\\vdots \\\sum \limits _{1\leqslant i\leqslant m}\alpha _{i,\,j}\;b_{i}\\\vdots \\\sum \limits _{1\leqslant i\leqslant m}\alpha _{i,\,n}\;b_{i}\end{array}}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\;$ sur la base $\;{\big (}$non canonique${\big )}$ $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$», on associe
     si on considère « une base $\;\color {transparent}{\big (}$non canonique$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}}\;$ de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;$», à « la matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\cdots &\alpha _{1,\,j}&\cdots &\alpha _{1,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{i,\,1}&\cdots &\alpha _{i,\,j}&\cdots &\alpha _{i,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{m,\,1}&\cdots &\alpha _{m,\,j}&\cdots &\alpha _{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\leqslant i\leqslant m\\1\leqslant j\leqslant n\end{array}}\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)$ $\;{\big [}$résultant de la juxtaposition des $\;n\;$ matrices coordonnées $\;{\big (}$non canoniques${\big )}\;$ des “$\;m$-uplets ”${\big ]}$, appelée matrice coordonnée ${\underline {\big (}}$non canonique${\underline {\big )}}$ de la famille des $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” dans la base $\;{\big (}$non canonique${\big )}$ $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$».

Définition

     On appelle « rang de la matrice $\;\left[D\right]=\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\cdots &\alpha _{1,\,j}&\cdots &\alpha _{1,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{i,\,1}&\cdots &\alpha _{i,\,j}&\cdots &\alpha _{i,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{m,\,1}&\cdots &\alpha _{m,\,j}&\cdots &\alpha _{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\leqslant i\leqslant m\\1\leqslant j\leqslant n\end{array}}\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»
     « la dimension du sous-espace vectoriel de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$ généré par les $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,n}\,\cdots a_{i,\,n}\cdots a_{m,\,n}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\end{array}}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}$, $\;{\Big \{}$avec $\;\left[D\right]\;$ matrice coordonnée $\;{\big (}$non canonique${\big )}\;$ de la famille des $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” dans la base $\;{\big (}$non canonique${\big )}$ $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}$, le “$\;m$-uplet ” $\;\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\;$ étant $\;=\;$ à $\;\sum \limits _{1\leqslant i\leqslant m}\alpha _{i,\,j}\;b_{i}{\Big \}}\;$»,
     on établit que « le rang de la matrice est $\;\leqslant \min \left[m,\,n\right]\;$».

Matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un « m-uplet » par changement de base de R^m

     Considérant « le “$\;m$-uplet ” $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ décomposé dans une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ selon $\;\sum \limits _{1\leqslant i\leqslant m}\alpha _{i}\;b_{i}\;$» et
     Considérant « la matrice coordonnée $\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\leqslant i\leqslant m}\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» puis

Considér« le même “$\;m$-uplet ” $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ décomposé dans une autre base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ selon $\;\sum \limits _{1\leqslant i\leqslant m}\beta _{i}\;c_{i}\;$» et
     Considérant « la matrice coordonnée $\;\left[X'\right]=\left[{\begin{array}{c}\beta _{1}\\\cdots \\\beta _{i}\\\cdots \\\beta _{m}\end{array}}\right]_{1\leqslant i\leqslant m}\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$»,

     nous cherchons « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée $\;\left[X\right]\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la matrice coordonnée $\;\left[X'\right]\;$ du même “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$»
     nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ sur la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace$, matérialisée par une matrice carrée $\;\left[P\right]\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;m\;$ appelée « matrice de passage de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» $\;{\Big \{}$matrice $\;\left[P\right]\;$ obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de la décomposition de chaque élément de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$${\Big \}}$ ;

     nous cherchons « la relation avec la matrice $\;\left[P\right]\;$ de passage de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace$, nous établissons que « la matrice coordonnée $\;\left[X'\right]\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» se déduit de « la matrice coordonnée $\;\left[X\right]\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» par

«$\;\left[X'\right]=\left[P\right]\times \left[X\right]\;$» ;

          inversement « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée $\;\left[X'\right]\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la matrice coordonnée $\;\left[X\right]\;$ du même “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» se détermine sans difficulté majeure car,
          inversement « la relation à partir de la décomposition de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ sur la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ on déduit aisément celle de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ sur la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace$, décomposition matérialisée par la « matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$», notée $\;\left[P\right]^{-1}\;$ $\;{\Big \{}$en effet cette matrice résulte de l'inversion de la « matrice $\;\left[P\right]\;$ de passage de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$»${\Big \}}\;$ et par suite
          inversement « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée $\;\left[X'\right]\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la matrice coordonnée $\;\left[X\right]\;$ du même “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» s'écrit

«$\;\left[X\right]=\left[P\right]^{-1}\times \left[X'\right]\;$».

Réécriture de la matrice coordonnée d'une famille de « m-uplets » par changement de base de R^m

     « La matrice coordonnée d'une famille de $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ notée $\;\left[A\right]\;$» s'obtenant par « juxtaposition des matrices coordonnées de chaque “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ à savoir $\;\left[X_{j}\right]_{1\leqslant j\leqslant n}\;$» soit «$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}X_{1,\,1}&\cdots &X_{1,\,j}&\cdots &X_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{i,\,1}&\cdots &X_{i,\,j}&\cdots &X_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{m,\,1}&\cdots &X_{m,\,j}&\cdots &X_{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\leqslant i\leqslant m\\1\leqslant j\leqslant n\end{array}}\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et la relation permettant de réécrire

     « la matrice coordonnée d'un “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ à savoir $\;\left[{X'}_{\!j}\right]_{1\leqslant j\leqslant n}\;$» consistant à multiplier à gauche « la matrice coordonnée du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ à savoir $\;\left[X_{j}\right]_{1\leqslant j\leqslant n}\;$» par « la matrice de passage $\;\left[P\right]\;$ de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» selon «$\;\left[{X'}_{\!j}\right]_{1\leqslant j\leqslant n}=\left[P\right]\times \left[X_{j}\right]_{1\leqslant j\leqslant n}\;$» on en déduit aisément que

     « la matrice coordonnée de la famille des $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$ dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}$, $\;\left[A'\right]=\left[{\begin{array}{c}{X'}_{\!1,\,1}&\cdots &{X'}_{\!1,\,j}&\cdots &{X'}_{\!1,\,n}\\&&\vdots &&\\{X'}_{\!i,\,1}&\cdots &{X'}_{\!i,\,j}&\cdots &{X'}_{\!i,\,n}\\&&\vdots &&\\{X'}_{\!m,\,1}&\cdots &{X'}_{\!m,\,j}&\cdots &{X'}_{\!m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\leqslant i\leqslant m\\1\leqslant j\leqslant n\end{array}}\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» s'obtient selon la relation

«$\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;\left[A'\right]&=&\left[P\right]&\times &\left[A\right]\;\\\;{\text{dans }}\,\left\lbrace C\right\rbrace &&{\begin{array}{c}{\text{de }}\,\left\lbrace C\right\rbrace \;\\\;{\text{à }}\,\left\lbrace B\right\rbrace \end{array}}&&{\text{dans }}\,\left\lbrace B\right\rbrace \;\end{array}}\;$» ;

     inversement « la matrice coordonnée de la famille des $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}$, $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}X_{1,\,1}&\cdots &X_{1,\,j}&\cdots &X_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{i,\,1}&\cdots &X_{i,\,j}&\cdots &X_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{m,\,1}&\cdots &X_{m,\,j}&\cdots &X_{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\leqslant i\leqslant m\\1\leqslant j\leqslant n\end{array}}\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» s'obtient à l'aide de « la matrice de passage $\;\left[P\right]^{-1}\;$ de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» selon la relation

«$\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;\left[A\right]&=&\left[P\right]^{-1}&\times &\left[A'\right]\;\\\;{\text{dans }}\,\left\lbrace B\right\rbrace &&{\begin{array}{c}{\text{de }}\,\left\lbrace B\right\rbrace \;\\\;{\text{à }}\,\left\lbrace C\right\rbrace \end{array}}&&{\text{dans }}\,\left\lbrace C\right\rbrace \;\end{array}}\;$».

2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels

Définition d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n dans un autre espace vectoriel de dimension m

Application linéaire entre deux espaces vectoriels sur le corps des réels

     Considérant deux $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels $\;E\;$ et $\;F$, une « application linéaire de $\;E\;$ dans $\;F\;$» est
     Considérant deux $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espaces vectoriels $\;\color {transparent}{E}\;$ et $\;\color {transparent}{F}$, une « application $\;\varphi \;$ : $\;E\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;F\;$ additive et homogène » c'est-à-dire «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\;\in E^{2}$, $\;\varphi \!\left(x+y\right)=\varphi \!\left(x\right)+\varphi \!\left(y\right)\;$» $\;{\big [}$additivité${\big ]}\;$ et
«$\;\forall \;\lambda \;\in \;\mathbb {R} \;$ et $\;\forall \;x\;\in E$, $\;\varphi \!\left(\lambda \;x\right)=\lambda \;\varphi \!\left(x\right)\;$» $\;{\big [}$homogénéité${\big ]}$.

     Remarques : On constate qu'« une application du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ est linéaire » ssi elle respecte les C.L. à savoir
     Remarques : On constate qu'« une application du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ dans le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{F}\;$ est linéaire » ssi «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \;\left(\lambda _{i}\right)_{i\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;\in \mathbb {R} ^{p}\\\forall \;\left(x_{i}\right)_{i\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;\in E^{p}\end{array}}\right\rbrace$, $\;\varphi \!\left(\sum _{i}^{\left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\lambda _{i}\;x_{i}\right)=\sum _{i}^{\left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\lambda _{i}\;\varphi \!\left(x_{i}\right)\;$».

     Remarques : L'ensemble des applications linéaires du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ est noté «$\;L\!\left(E\,,\,F\right)\;$» et
     Remarques : L'ens. celui des applications linéaires bijectives $\;{\big [}$c'est-à-dire des isomorphismes de $\;E\;$ dans $\;F{\big ]}\;$ est      noté «$\;\mathrm {Isom} \!\left(E\,,\,F\right)\;$» ;

     Remarques : l'ensemble des applications linéaires du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans lui-même $\;{\big [}$c'est-à-dire des endomorphismes de $\;E{\big ]}\;$ est noté «$\;L\!\left(E\right)\;$» et
     Remarques : l'ens. celui des applications linéaires bijectives du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans $\;E$ $\;{\big [}$c'est-à-dire des automorphismes de $\;E{\big ]}\;$  noté «$\;GL\!\left(E\right)\;$» et encore appelé « groupe linéaire de $\;E\;$» ;

     Remarques : l'ensemble des applications linéaires du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans le corps $\;\mathbb {R}$ $\;{\big [}$corps de construction de l'espace vectoriel dans lequel l'application linéaire $\;{\big (}$alors appelée « forme linéaire »${\big )}\;$ est définie${\big ]}\;$ est noté $\;E^{*}\;$ et définit l'« espace dual de $\;E\;$» $\;{\big [}E^{*}\;$ étant donc l'ensemble des formes linéaires de $\;E\;$${\big ]}$.

2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)

     Considérant deux $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux

• un « 1^er $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\;$ de $\;E\;$»,
• un « 2^ème $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ avec choix d'une base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;F\;$» et

     Considérant une « application linéaire $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ dans $\;F\;$» :

Matrice d'application linéaire d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel E dans un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel F

     On appelle « matrice de l'application linéaire $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ dans le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ de base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$»,
     On appelle « la matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ notée $\;\left[A\right]\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» telle que «$\;\forall \;x\in E\;$ de matrice coordonnée $\;\left[X\right]\in M_{n,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$»,
on associe
«$\;\varphi (x)\in F\;$ de matrice coordonnée $\;\left[X'\right]\in M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;F\;$»
se déterminant par «$\;\left[X'\right]=\left[A\right]\times \left[X\right]\;$».

     Propriétés : « à toute application linéaire $\;\varphi \;$ d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\;$ dans un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ de base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =$ $\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$» on peut associer « une et une seule matrice d'application linéaire $\;\left[A\right]\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$» dans laquelle
     Propriétés : « à toute application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ « la j^ème colonne de $\;\left[A\right]\;$ est la matrice coordonnée de $\;\varphi (b_{j})\;$ dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;F\;$ c'est-à-dire $\;\left[{\begin{array}{c}\varphi (b_{j})_{1}\\\cdots \\\varphi (b_{j})_{i}\\\cdots \\\varphi (b_{j})_{m}\end{array}}\right]_{1\leqslant i\leqslant m}\;$» $\;{\bigg \{}$la décomposition de $\;\varphi (b_{j})\;$ dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ étant «$\;\varphi (b_{j})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,m}\varphi (b_{j})_{i}\;c_{i}\;$»${\bigg \}}$ ;

     Propriétés : « à toute application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ la matrice $\;\left[A\right]\;$ appelée « matrice de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» et notée «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$» vérifie

                                        «$\;\forall \;x\in E\;$» et «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;$ sa matrice coordonnée dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$»,
                                        « la matrice coordonnée de $\;\varphi (x)\;$ dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;F$, notée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$» s'évalue par
                                        «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]&=&\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)&\times &\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\\\in M_{m\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in M_{m\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in M_{n\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Propriétés : On déduit que « l'application de l'ensemble $\;L\!\left(E\,,\,F\right)\;$ des applications linéaires du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ dans le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ dans l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$» $\;{\Big \{}$application qui, à « chaque application linéaire $\;\varphi \;\in L\!\left(E\,,\,F\right)\;$» fait correspondre « la matrice de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$ c'est-à-dire $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»${\Big \}}\;$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Exemple d'un automorphisme du plan vectoriel, la similitude directe $\;{\mathcal {S}}\;$ de rapport $\;{\sqrt {2}}\;$ et d'angle $\;45\;{\text{°}}$

     Exemple : La similitude directe $\;{\mathcal {S}}\;$ de rapport $\;{\sqrt {2}}\;$ et d'angle $\;45\;{\text{°}}\;$ est un automorphisme du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel euclidien $\;E\;$ de dimension $\;2$ ;
     Exemple : avec le choix de la base canonique $\;\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace =\left(e_{1}\,,\,e_{2}\right)\;$ pour décrire les vecteurs de $\;E\;$ du domaine de définition de l'automorphisme $\;{\mathcal {S}}\;$ et
     Exemple : avec le choix de la même base canonique $\;\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace =\left(e_{1}\,,\,e_{2}\right)\;$ pour les images par l'automorphisme $\;{\mathcal {S}}\;$ des vecteurs de $\;E\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\mathcal {S}}(e_{1})\!\!\!&={\sqrt {2}}\,\left[\cos(45\,{\text{°}})\;e_{1}+\sin(45\,{\text{°}})\;e_{2}\right]\!\!\!&=\;\;e_{1}+e_{2}\\{\mathcal {S}}(e_{2})\!\!\!&={\sqrt {2}}\,\left[\cos(135\,{\text{°}})\;e_{1}+\sin(135\,{\text{°}})\;e_{2}\right]\!\!\!&=-e_{1}+e_{2}\end{array}}\right\rbrace$,
     Exemple : la matrice de l'automorphisme $\;{\mathcal {S}}\;$ de $\;E\;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace ,\,\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace \right)\;$ s'écrit

$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace ,\,\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace }\!\left({\mathcal {S}}\right)=\left[{\begin{array}{c}1&-1\\1&1\end{array}}\right]$ ;

     Exemple : ainsi un vecteur $\;x\;\in E\;$ de composantes $\;\left(a\,,\,b\right)\;$ dans la base canonique $\;\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace \;$ et de matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace }\!\left(x\right)=\left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]\;$
     Exemple : ainsi un vecteur $\;\color {transparent}{x\;\in E}\;$ a pour image, par similitude directe $\;{\mathcal {S}}$, le vecteur $\;{\mathcal {S}}(x)\;\in E\;$ de composantes $\;\left(a'\,,\,b'\right)\;$ dans la base canonique $\;\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace \;$ et de matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace }\!\left[{\mathcal {S}}(x)\right]=$ $\left[{\begin{array}{c}1&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}a-b\\a+b\end{array}}\right]\;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a'=a-b\\b'=a+b\end{array}}\right\rbrace \;$ ce qu'on vérifie aisément sur le diagramme ci-contre.

Matrice de la composée de deux applications linéaires, la 1^ère d'un espace vectoriel E de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel F de dimension m de base C et la 2^ème de l'espace vectoriel F de dimension m de base C dans un espace vectoriel G de dimension p de base D

     Considérant trois $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux

• un « 1^er $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\;$ de $\;E\;$»,
• un « 2^ème $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ avec choix d'une base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ de $\;F\;$»,
• un « 3^ème $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;G\;$ de dimension $\;p\;$ avec choix d'une base $\;\left\lbrace D\right\rbrace =\left\lbrace d_{1},\cdots c_{k},\cdots d_{p}\right\rbrace _{1\leqslant k\leqslant p}\;$ de $\;G\;$» ainsi que

     Considérant deux « applications linéaires $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ dans $\;F\;$ et $\;\psi \;$ de $\;F\;$ dans $\;G\;$»,

     on appelle « matrice composée de l'application linéaire $\;\psi \circ \varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ dans le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;G\;$ de dimension $\;p\;$ de base $\;\left\lbrace D\right\rbrace \;$ avec pour $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel intermédiaire $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ de base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$»,
     On appelle « la matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(p\,,\,n\right)\;$ notée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace D\right\rbrace }\!\left(\psi \circ \varphi \right)\in M_{p,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» telle que

«$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ étant la matrice de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» et
«$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace D\right\rbrace }\!\left(\psi \right)\in M_{p,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ étant la matrice de l'application linéaire $\;\psi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace C\right\rbrace \,,\,\left\lbrace D\right\rbrace \right)\;$»,
« la matrice composée de l'application linéaire $\;\psi \circ \varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace D\right\rbrace \right)\;$» se détermine par
«$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace D\right\rbrace }\!\left(\psi \circ \varphi \right)&=&\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace D\right\rbrace }\!\left(\psi \right)&\times &\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\\\in \;M_{p,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in \;M_{p,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;$».

Changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image

     Considérant deux $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels avec définition de deux bases distinctes dans chacun d'eux

• un « 1^er $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ avec choix des deux bases distinctes $\;\left({\begin{array}{c}\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\\\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{1},\cdots {b'}_{j},\cdots {b'}_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\end{array}}\right)\;$ de $\;E\;$»,
• un « 2^ème $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ avec choix des deux bases distinctes $\;\left({\begin{array}{c}\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\\\left\lbrace C'\right\rbrace =\left\lbrace {c'}_{1},\cdots {c'}_{i},\cdots {c'}_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\end{array}}\right)\;$ de $\;F\;$» et

     Considérant une « application linéaire $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ dans $\;F\;$» ainsi que les matrices de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans différents couples de bases :

• « la matrice $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» et
• « la matrice $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B'\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C'\right\rbrace \right)\;$» ;

     on se propose de « déterminer la matrice $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» connaissant «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et « les matrices de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ ainsi que $\;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace C'\right\rbrace \;$», c'est-à-dire
     on se propose de « déterminer les conséquences sur la matrice de l'application linéaire $\;\varphi \;$ du changement simultané de la base dans laquelle les vecteurs de $\;E\;$ sont repérés et de celle dans laquelle ceux de $\;F\;$ le sont » ; on établit

«$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$»
dans laquelle «$\;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\;$ est la matrice inverse de $\;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }\;$».

     on se propose de Justification : Appliquant $\;\varphi \;$ à tout «$\;x\;\in \;E\;$ repéré dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\;$ par la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;$» on obtient «$\;\varphi (x)\;\in \;F\;$ repéré dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;$ par la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$» et
     on se propose de Justification : notant «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la matrice de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$», la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$ se déduit de celle $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;$ par «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;$» ;
     on se propose de Justification : notant «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$», la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;$ de $\;x\;\in \;E\;$ dans $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ est liée à celle $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$ de $\;x\;\in \;E\;$ dans $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ selon «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$» $\Rightarrow$ la réécriture de la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$ de $\;\varphi (x)\;\in \;F\;$ dans $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ en fonction de celle $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$ de $\;x\;\in \;E\;$ dans $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ selon «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\right\rbrace =\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$» par utilisation de l'associativité de la multiplication matricielle ;
     on se propose de Justification : notant «$\;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace C'\right\rbrace \;$», « celle de passage de la base $\;\left\lbrace C'\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ est l'inverse de la précédente c'est-à-dire $\;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et par suite la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$ de $\;\varphi (x)\;\in \;F\;$ dans $\;\left\lbrace C'\right\rbrace \;$ est liée à celle $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$ de $\;\varphi (x)\;\in \;F\;$ dans $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ selon «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]$ $=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$» $\Rightarrow$ l'expression de la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$ de $\;\varphi (x)\;\in \;F\;$ dans $\;\left\lbrace C'\right\rbrace \;$ en fonction de celle $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$ de $\;x\;\in \;E\;$ dans $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ selon «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times {\bigg \langle }\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x){\bigg \rangle }=\left\lbrace \left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)$» par utilisation de l'associativité de la multiplication matricielle ;
     on se propose de Justification : pour terminer, notant «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la matrice de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B'\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C'\right\rbrace \right)\;$», la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$ de $\;\varphi (x)\;\in \;F\;$ dans $\;\left\lbrace C'\right\rbrace \;$ se déduit de celle $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$ de $\;x\;\in \;E\;$ dans $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ par «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$» soit
     on se propose de Justification : pour terminer, par identification avec la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ valable $\;\forall \;x\;\in \;E$, «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$» C.Q.F.D..

     Cas particulier : Soit «$\;\varphi \;\in L(E)\;$ un endomorphisme du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ dans lequel on choisit deux bases distinctes $\;\left({\begin{array}{c}\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\\\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{1},\cdots {b'}_{j},\cdots {b'}_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\end{array}}\right)\;$» et
     Cas particulier : Soit «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$»,
     Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ dans chaque couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$ et $\;\left(\left\lbrace B'\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B'\right\rbrace \right)\;$» étant liées par

«$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace B'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$»

     Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$ sont qualifiées de « matrices semblables »

$\;{\Big \{}$« deux matrices $\;\left(\left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right)\in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;$ sont semblables »                    
ssi «$\;\exists \;\left[P\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ inversible » telle que «$\;\left[A\right]\times \left[P\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\;$
                                                                           $\Updownarrow$
                                                                                $\;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\times \left[P\right]^{-1}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[B\right]=\left[P\right]^{-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]\;$»${\Big \}}$.