Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications du vecteur surface élémentaire, des intégrales surfaciques, du volume élémentaire et des intégrales volumiques

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Applications du vecteur surface élémentaire, des intégrales surfaciques, du volume élémentaire et des intégrales volumiques
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Exercices no17
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chapitre du cours : Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Applications des divers repérages d'un point dans l'espace
Exo suiv. :Applications des intégrales impropres
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Exercice 17-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit la demi-sphère . Calculer .

Exercice 17-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit le cylindre fermé par les couvercles en et . Calculer .

Exercice 17-3[modifier | modifier le wikicode]

Calculer l'aire :

  • du solide intersection des deux cylindres et  ;
  • de la portion de sphère , où est le disque .
    Indication : remarquer que .
    Wikipédia possède un article à propos de « Fenêtre de Viviani ».

Exercice 17-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit une fonction continue, et la surface engendrée par la rotation du graphe de autour de l'axe  :
    .
    Montrer que l'aire de est .
  2. Calculer l'aire de la sphère de rayon .
  3. Dans le plan , on considère le cercle de centre et de rayon .
    Calculer l'aire du tore obtenu en faisant tourner ce cercle autour de l'axe .

Exercice 17-5[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient la surface paramétrée par et le champ de vecteurs . Calculer le flux de à travers .
  2. Même question en permutant les variables et  : .

Exercice 17-6[modifier | modifier le wikicode]

Calculer le flux de à travers dans les trois cas suivants :

  1. avec une normale orientée vers le haut et  ;
  2. avec une normale orientée vers le haut et  ;
  3. avec une normale orientée vers l'intérieur et .