Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications du vecteur surface élémentaire, des intégrales surfaciques, du volume élémentaire et des intégrales volumiques

Calcul d'une intégrale surfacique définie sur une demi-sphère

     Soit la demi-sphère de centre $\;O$, de rayon $\;2\;$ unités de longueur, située au-dessus du plan $\;xOy\;$ c.-à-d. «$\;(S)\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{+}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\right\rbrace \;$».
     Soit la demi-sphère de centre $\;\color {transparent}{O}$, de rayon $\;\color {transparent}{2}\;$ unités de longueur, située au-dessus du plan $\;\color {transparent}{xOy}\;$ Calculer l'intégrale surfacique «$\displaystyle \iint _{(S)}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,z\;dS\;$».

Solution

     On choisit le repérage sphérique pour localiser le point générique $\;M\,(2\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;$ de la demi-sphère $\;(S)\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=2\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\\y=2\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\\z=2\;\cos(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\theta \in \left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\\\varphi \in \left[0\,,\,2\,\pi \right[\end{array}}\right\rbrace$, le vecteur surface élémentaire étant «$\;{\overrightarrow {dS}}=$ $2^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}\;$» d'où «$\displaystyle \iint _{(S)}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,z\;dS=\displaystyle \iint _{(S)}\left[4\;\sin ^{2}(\theta )\;\cos ^{2}(\varphi )+4\;\sin ^{2}(\theta )\;\sin ^{2}(\varphi )\right]\,2\;\cos(\theta )\;dS=\displaystyle \iint _{(S)}8\;\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;dS\;$ $=\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}8\;\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;4\;\sin(\theta )\;\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\varphi \right\rbrace d\theta \;$» soit «$\displaystyle \iint _{(S)}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,z\;dS=64\;\pi \displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{3}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta =64\;\pi \;\left[{\dfrac {\sin ^{4}(\theta )}{4}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}=16\;\pi \;$».

 

Calcul d'une intégrale surfacique définie sur un tuyau cylindrique de révolution fermé à ses extrémités

     Soit le tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;Oz$, de rayon $\;3\;$ unités de longueur, fermé par deux bases situées en $\;z=0\;$ et $\;z=2\;$ unités de longueur c.-à-d.
     Soit le tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;\color {transparent}{Oz}$, de rayon $\;\color {transparent}{3}\;$ «$\;({\mathcal {T}})\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\;{\bigg \vert }\;\left(x^{2}+y^{2}=9\,,\,z\in \left[0\,,\,2\right]\right)\;\cup \;\left(z=0\,,\,{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leqslant 2\right)\;\cup \;\left(z=2\,,\,{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leqslant 2\right)\right\rbrace \;$».
     Soit le tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;\color {transparent}{Oz}$, de rayon $\;\color {transparent}{3}\;$ Calculer l'intégrale surfacique «$\;{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint _{({\mathcal {T}})}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\;dS\end{array}}\;$».

Solution

     On choisit le repérage cylindrique pour localiser le point générique $\;M\,(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;$ du tuyau cylindrique de révolution fermé à ses extrémités $\;({\mathcal {T}})\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=\rho \;\cos(\theta )\\y=\rho \;\sin(\theta )\\z=z\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\theta \in \left[0\,,\,2\;\pi \right]\\z\in \left[0\,,\,2\right[\end{array}}\right\rbrace$, le vecteur surface élémentaire pour la surface latérale du tuyau $\;\rho =3\;$ unités de longueur étant «$\;{\overrightarrow {dS}}_{\text{lat}}=3\;d\theta \;dz\;{\vec {u}}_{\rho }\;$» et pour la base supérieure $\;z=2\;$ unités de longueur «$\;{\overrightarrow {dS}}_{\text{sup}}=\rho \;d\theta \;d\rho \;{\vec {u}}_{z}\;$» ainsi que pour la base inférieure $\;z=0\;$ «$\;{\overrightarrow {dS}}_{\text{inf}}=\rho \;d\theta \;d\rho \;(-{\vec {u}}_{z})\;$» , $\;({\mathcal {T}})\;$ étant orienté vers l'extérieur d'où «$\;{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint _{({\mathcal {T}})}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\;dS\end{array}}=\displaystyle \iint _{({\mathcal {T}}_{\text{lat}})}(9+z^{2})\;dS_{\text{lat}}+\displaystyle \iint _{({\mathcal {T}}_{\text{sup}})}(\rho ^{2}+4)\;dS_{\text{sup}}+\displaystyle \iint _{({\mathcal {T}}_{\text{inf}})}\rho ^{2}\;dS_{\text{inf}}=$ $\displaystyle \iint _{({\mathcal {T}}_{\text{lat}})}(9+z^{2})\;3\;d\theta \;dz+\displaystyle \iint _{({\mathcal {T}}_{\text{sup}})}(\rho ^{2}+4)\;\rho \;d\theta \;d\rho +\displaystyle \iint _{({\mathcal {T}}_{\text{inf}})}\rho ^{2}\;\rho \;d\theta \;d\rho =\displaystyle \int _{0}^{2}(27+3\;z^{2})\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\theta \right\rbrace \;dz+\displaystyle \int _{0}^{3}(2\;\rho ^{3}+4\;\rho )\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\theta \right\rbrace \;d\rho =6\;\pi \;\left[9\;z+{\dfrac {z^{3}}{3}}\right]_{0}^{2}+4\;\pi \;\left[{\dfrac {\rho ^{4}}{4}}+2\;{\dfrac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{3}\;$» d'où «$\;{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint _{({\mathcal {T}})}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\;dS\end{array}}$ $=6\;\pi \,\left[18+{\dfrac {8}{3}}\right]+4\;\pi \,\left[{\dfrac {81}{4}}+9\right]\;$» soit finalement «$\;{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint _{({\mathcal {T}})}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\;dS\end{array}}=241\;\pi \;$».

 

Calculs d'aires

Calcul de l'aire de la surface latérale de l'intersection de deux cylindres de révolution de même rayon et d'axe se coupant perpendiculairement

     Considérant un 1^er cylindre de révolution de rayon $\;R\;$ et d'axe $\;x'x\;$ soit «$\;({\mathcal {C}}_{1})\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\;{\bigg \vert }\;y^{2}+z^{2}\leqslant R^{2}\,,\,\forall \;x\in \left]-\infty \,,\,+\infty \right[\right\rbrace \;$» et
     Considérant un 2^nd cylindre de révolution de rayon $\;R\;$ et d'axe $\;y'y\;$ soit «$\;({\mathcal {C}}_{2})\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\;{\bigg \vert }\;x^{2}+z^{2}\leqslant R^{2}\,,\,\forall \;y\in \left]-\infty \,,\,+\infty \right[\right\rbrace \;$»,
     Considérant un 2^nd cylindre de révolution de rayon $\;\color {transparent}{R}\;$ et d'axe $\;\color {transparent}{y'y}\;$ calculer l'aire de la surface latérale de l'intersection de ces deux cylindres.

Solution

     $\;({\mathcal {C}}_{1})\;$ et $\;({\mathcal {C}}_{2})\;$ étant de même rayon et d'axes respectifs $\;x'x\;$ et $\;y'y\;$ se rencontrant perpendiculairement, ont pour plan de symétrie commun $\;xOy\;$ $\Rightarrow$ $\;xOy\;$ est un plan de symétrie de leur intersection,
 $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{1})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{2})}\;$ étant de même rayon et d'axes respectifs $\;\color {transparent}{x'x}\;$ et $\;\color {transparent}{y'y}\;$ ils se déduisent l'un l'autre par rotation d'axe $\;z'z\;$ et d'angle $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ $\Rightarrow$ leur intersection est invariante par cette même rotation d'où
     $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{1})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{2})}\;$ étant de même rayon et d'axes respectifs $\;\color {transparent}{x'x}\;$ et $\;\color {transparent}{y'y}\;$ $\;({\mathcal {C}}_{1})\,\cap \,({\mathcal {C}}_{2})\;$ étant invariant par rotation d'axe $\;z'z\;$ et d'angle $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ ainsi que par symétrie par rapport au plan $\;xOy\;$
     $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{1})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{2})}\;$ étant de même rayon et d'axes respectifs $\;\color {transparent}{x'x}\;$ et $\;\color {transparent}{y'y}\;$ $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{1})\,\cap \,({\mathcal {C}}_{2})}\;$ est composé de $\;8\;$ expansions tridimensionnelles se déduisant entre elles par rotation d'axe $\;z'z\;$ et d'angle $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ ainsi que
         $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{1})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{2})}\;$ étant de même rayon et d'axes respectifs $\;\color {transparent}{x'x}\;$ et $\;\color {transparent}{y'y}\;$ $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{1})\,\cap \,({\mathcal {C}}_{2})}\;$ est composé de $\;\color {transparent}{8}\;$ expansions tridimensionnelles se déduisant entre elles par symétrie par rapport au plan $\;xOy\;$ d'où
     l'aire $\;{\mathcal {A}}\;$ de la surface latérale de $\;({\mathcal {C}}_{1})\,\cap \,({\mathcal {C}}_{2})\;$ est donc $\;8\;$ fois l'aire de $\;(S_{\text{lat}}):=\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\mathbb {R} _{+}^{3}\;{\bigg \vert }\;y\leqslant {\sqrt {R^{2}-z^{2}}}\;,\;x={\sqrt {R^{2}-z^{2}}}\right\rbrace \;$  ;
     pour la calculer on substitue les paramètres $\;\left(y\,,\,z\right)\;$ par $\;\left(\rho \,,\,\theta \right)\;$ selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y=\rho \;\cos(\theta )\\z=\rho \;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;(S_{\text{lat}}):=\left\lbrace (x,\,\rho ,\,\theta )\;\in \;\mathbb {R} _{+}^{2}\times \left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;{\bigg \vert }\;\rho \;\cos(\theta )\leqslant {\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}\;\sin ^{2}(\theta )}}\;,\;x={\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}\;\sin ^{2}(\theta )}}\right\rbrace \;$ dont le vecteur surface élémentaire se détermine par $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}={\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ avec $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ vecteurs déplacement élémentaire de $\;M\;\left(x={\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}\;\sin ^{2}(\theta )}}\,,\,y=\rho \;\cos(\theta )\,,\,z=\rho \;\sin(\theta )\right)\;$ dans le plan tangent à $\;(S_{\text{lat}})\;$ par exemple «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}{\overrightarrow {dM_{1}}}\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta }d\rho \;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta }d\rho \;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta }d\rho \;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {-\rho \,\sin ^{2}(\theta )}{\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}}\;{\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d\rho \\{\overrightarrow {dM_{2}}}\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho }d\theta \;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho }d\theta \;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho }d\theta \;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {-\rho ^{2}\,\sin(\theta )\,\cos(\theta )}{\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}}\;{\vec {u}}_{x}-\rho \;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+\rho \;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$», on en déduit le vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS_{M}}}=\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&{\overrightarrow {dM_{1}}}&\wedge &{\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dS_{M}}}\\{\vec {u}}_{x}&|&{\dfrac {-\rho \,\sin ^{2}(\theta )}{\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}}\;d\rho &&{\dfrac {-\rho ^{2}\,\sin(\theta )\,\cos(\theta )}{\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}}\;d\theta &&\rho \;\cos ^{2}(\theta )-\sin[\theta )\left[-\rho \;\sin ^{2}(\theta )\right]\;d\rho \;d\theta &=&\rho \;d\rho \;d\theta \\{\vec {u}}_{y}&|&\cos(\theta )\;d\rho &^{+}{\searrow }&-\rho \;\sin(\theta )\;d\theta &&&&0\\{\vec {u}}_{z}&|&\sin(\theta )\;d\rho &_{-}{\nearrow }&\rho \;\cos(\theta )\;d\theta &&&&{\dfrac {\rho ^{2}\,\sin(\theta )}{\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}}\;d\rho \;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ soit
«$\;{\overrightarrow {dS_{M}}}=\left[\rho \;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {\rho ^{2}\,\sin(\theta )}{\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}}\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d\rho \;d\theta \;$» d'où la valeur absolue de l'aire élémentaire $\;\vert dS_{M}\vert =\Vert {\overrightarrow {dS_{M}}}\Vert ={\sqrt {\rho ^{2}+{\dfrac {\rho ^{4}\,\sin ^{2}(\theta )}{R^{2}-\rho ^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}}}\,\vert d\rho \vert \;\vert d\theta \vert ={\dfrac {\rho \;R}{\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}}\,\vert d\rho \vert \;\vert d\theta \vert \;$ soit, en définissant la positivité de $\;dS_{M}\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ de $\;\rho \;$ et de $\;\theta$, «$\;dS_{M}={\dfrac {\rho \;R}{\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\rho \;d\theta \;$» ;
     l'aire $\;{\mathcal {A}}\;$ de la surface latérale de $\;({\mathcal {C}}_{1})\,\cap \,({\mathcal {C}}_{2})\;$ étant $\;8\;$ fois l'aire de $\;(S_{\text{lat}}):=\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\mathbb {R} _{+}^{3}\;{\bigg \vert }\;y\leqslant {\sqrt {R^{2}-z^{2}}}\;,\;x={\sqrt {R^{2}-z^{2}}}\right\rbrace \;$ , noue en déduisons «$\;{\mathcal {A}}=8\;\displaystyle \iint \limits _{(S_{\text{lat}})}dS_{M}\;$ $=8\;R\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[\displaystyle \int _{0}^{R}{\dfrac {\rho \,d\rho }{\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}}\right]d\theta \right\rbrace =4\;R\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[\displaystyle \int _{0}^{R^{2}}{\dfrac {du}{\sqrt {R^{2}-u\,\sin ^{2}(\theta )}}}\right]d\theta \right\rbrace \;$ $=4\;R\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[\displaystyle \int _{0}^{R^{2}\sin ^{2}(\theta )}{\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\;{\dfrac {dv}{\sqrt {R^{2}-v}}}\right]d\theta \right\rbrace \;$ ou, en sortant $\;{\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\;$ de l'intégration sur $\;v\;$ ${\mathcal {A}}=4\;R\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[\displaystyle \int _{0}^{R^{2}\sin ^{2}(\theta )}{\dfrac {dv}{\sqrt {R^{2}-v}}}\right]{\dfrac {d\theta }{\sin ^{2}(\theta )}}\right\rbrace =4\;R\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[-2\;{\sqrt {R^{2}-v}}\right]_{0}^{R^{2}\sin ^{2}(\theta )}{\dfrac {d\theta }{\sin ^{2}(\theta )}}\right\rbrace =8\;R^{2}\,\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\dfrac {1-\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}\;d\theta =8\;R^{2}\,\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\dfrac {2\,\sin ^{2}\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}{4\,\sin ^{2}\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,\cos ^{2}\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;d\theta =8\;R^{2}\,\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\dfrac {d\theta }{2\;\cos ^{2}\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$ $=8\;R^{2}\,\left[\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}\;$» soit finalement «$\;{\mathcal {A}}=8\;R^{2}\;$».

 

Calcul de l'aire de la surface sphérique délimitée par la fenêtre de Viviani d'une sphère

     Considérant une sphère de rayon $\;2\;R\;$ et de centre $\;O\;$ soit «$\;({\mathcal {S}})\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\;{\bigg \vert }\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\;R^{2}\right\rbrace \;$» et
     Considérant un cylindre de révolution de rayon $\;R\;$ et d'axe $\;(\Delta )\;:=\,\left\lbrace z\;\in \;\mathbb {R} \;{\bigg \vert }\;x=0\;{\text{et}}\;y=R\right\rbrace \;$ soit «$\;({\mathcal {C}})\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\;{\bigg \vert }\;x^{2}+(y-R)^{2}=R^{2}\,,\,\forall \;z\in \left]-\infty \,,\,+\infty \right[\right\rbrace \;$»,
     Considérant une fenêtre de Viviani de la sphère $\;({\mathcal {S}})\;$ est une courbe algébrique gauche, fermée, intersection de la sphère $\;({\mathcal {S}})\;$ et de la surface latérale d'un cylindre de révolution du type $\;({\mathcal {C}})$ ;
          Considérant une fenêtre de Viviani de la sphère $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ calculer l'aire de la surface sphérique délimitée par la fenêtre de Viviani construite sur la sphère $\;({\mathcal {S}})$.

Solution

     La sphère $\;({\mathcal {S}})\;$ de centre $\;O\;$ et le cylindre de révolution $\;({\mathcal {C}})\;$ d'axe $\;(\Delta )\;:=\,\left\lbrace z\;\in \;\mathbb {R} \;{\bigg \vert }\;x=0\;{\text{et}}\;y=R\right\rbrace \;$ étant globalement symétriques par rapport aux plans $\;(xOy)\;$ et $\;(yOz);$ $\Rightarrow$ leur intersection c.-à-d.
     La sphère $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$ de centre $\;\color {transparent}{O}\;$ et le cylindre de révolution $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ d'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}\;$ $\;({\mathcal {F}})=({\mathcal {S}})\,\cap \,({\mathcal {C}})\;$ la surface sphérique délimitée par la fenêtre de Viviani est aussi symétrique par rapport aux plans $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}(xOy)\\{\text{et}}\\(yOz)\end{array}}\right\rbrace$,
       La sphère $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}$ de centre $\;\color {transparent}{O}\;$ et le cylindre de révolution $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ d'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}\;$ elle est donc constituée de $\;4\;$ portions de sphère se déduisant entre elles par symétries planes par rapport à $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}(xOy)\\{\text{ou}}\\(yOz)\end{array}}\right\rbrace$ ;
     la surface sphérique délimitée par la fenêtre de Viviani $\;({\mathcal {F}})\;$ est définie par $\;({\mathcal {F}}):=\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \;{\bigg \vert }\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\;R^{2}\;,\;x^{2}+(y-R)^{2}\leqslant R^{2}\right\rbrace \;$ et
           la surface sphérique délimitée par la fenêtre de Viviani $\;\color {transparent}{({\mathcal {F}})}\;$ son aire est égale à $\;4\;$ fois l'aire de $\;({\mathcal {F}}_{1/4}):=\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\mathbb {R} _{+}^{3}\;{\bigg \vert }\;z={\sqrt {4\;R^{2}-x^{2}-y^{2}}}\;,\;x\leqslant {\sqrt {R^{2}-(y-R)^{2}}}\right\rbrace \;$ ;
     pour la calculer on substitue les paramètres $\,\left(x\,,\,y\right)\,$ par $\,\left(\rho \,,\,\theta \right)\,$ selon $\,\left\lbrace {\begin{array}{c}x=\rho \;\cos(\theta )\\y=\rho \;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \,$ $\Rightarrow$ $\,({\mathcal {F}}_{1/4}):=\left\lbrace (\rho ,\,\theta ,\,z)\;\in \;\mathbb {R} _{+}\times \left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\times \mathbb {R} _{+}\;{\bigg \vert }\;z={\sqrt {4\;R^{2}-\rho ^{2}}}\;,\;\rho \,\cos(\theta )\leqslant {\sqrt {R^{2}-[\rho \,\sin(\theta )-R]^{2}}}\right\rbrace \;$ dont le vecteur surface élémentaire se détermine par $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}={\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ avec $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ vecteurs déplacement élémentaire de $\;M\;\left\lbrace x=\rho \;\cos(\theta )\,,\,y=\rho \;\sin(\theta )\,,\,z={\sqrt {4\;R^{2}-\rho ^{2}}}\right\rbrace \;$ dans le plan tangent à $\;({\mathcal {S}})\;$ par exemple «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}{\overrightarrow {dM_{1}}}\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta }d\rho \;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta }d\rho \;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta }d\rho \;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!\left[\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {-\rho }{\sqrt {4\,R^{2}-\rho ^{2}}}}\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d\rho \\{\overrightarrow {dM_{2}}}\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho }d\theta \;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho }d\theta \;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho }d\theta \;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!\left[-\rho \;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\rho \;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+0\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$», on en déduit le vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS_{M}}}=\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&{\overrightarrow {dM_{1}}}&\wedge &{\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dS_{M}}}\\{\vec {u}}_{x}&|&\cos(\theta )\;d\rho &&-\rho \;\sin(\theta )\;d\theta &&{\dfrac {\rho ^{2}\;\cos(\theta )}{\sqrt {4\,R^{2}-\rho ^{2}}}}\;d\rho \;d\theta &=&{\dfrac {\rho ^{2}\;\cos(\theta )}{\sqrt {4\,R^{2}-\rho ^{2}}}}\;d\rho \;d\theta \\{\vec {u}}_{y}&|&\sin(\theta )\;d\rho &^{+}{\searrow }&\rho \;\cos(\theta )\;d\theta &&&&{\dfrac {\rho ^{2}\;\sin(\theta )}{\sqrt {4\,R^{2}-\rho ^{2}}}}\;d\rho \;d\theta \\{\vec {u}}_{z}&|&{\dfrac {-\rho }{\sqrt {4\,R^{2}-\rho ^{2}}}}\;d\rho &_{-}{\nearrow }&0&&&&\rho \;d\rho \;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ soit «$\;{\overrightarrow {dS_{M}}}=\left[{\dfrac {\rho ^{2}\;\cos(\theta )}{\sqrt {4\,R^{2}-\rho ^{2}}}}\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {\rho ^{2}\;\sin(\theta )}{\sqrt {4\,R^{2}-\rho ^{2}}}}\;{\vec {u}}_{y}+\rho \;{\vec {u}}_{z}\right]\,d\rho \;d\theta \;$» d'où la valeur absolue de l'aire élémentaire $\;\vert dS_{M}\vert =\Vert {\overrightarrow {dS_{M}}}\Vert ={\sqrt {{\dfrac {\rho ^{4}\,\cos ^{2}(\theta )+\rho ^{4}\,\sin ^{2}(\theta )}{4\,R^{2}-\rho ^{2}}}+\rho ^{2}}}\;\vert d\rho \vert \;\vert d\theta \vert =\rho \;{\dfrac {2\;R}{\sqrt {4\,R^{2}-\rho ^{2}}}}\;\vert d\rho \vert \;\vert d\theta \vert \;$ soit, en définissant la positivité de $\;dS_{M}\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ de $\;\rho \;$ et de $\;\theta$, «$\;dS_{M}$ $={\dfrac {2\,R\;\rho }{\sqrt {4\,R^{2}-\rho ^{2}}}}\;d\rho \;d\theta \;$» ;
     l'aire $\;{\mathcal {A}}\;$ de la surface sphérique délimitée par la fenêtre de Viviani de $\;({\mathcal {S}})\;$ étant $\;4\;$ fois l'aire de $\,({\mathcal {F}}_{1/4}):=\left\lbrace (\rho ,\,\theta ,\,z)\;\in \;\mathbb {R} _{+}\times \left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\times \mathbb {R} _{+}\;{\bigg \vert }\;z={\sqrt {4\;R^{2}-\rho ^{2}}}\;,\;\rho \leqslant 2\;R\;\sin(\theta )\right\rbrace \;$ , noue en déduisons «$\;{\mathcal {A}}=4\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {F}}_{1/4})}dS_{M}\;$ $=8\;R\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[\displaystyle \int _{0}^{2\,R\,\sin(\theta )}{\dfrac {\rho \,d\rho }{\sqrt {4\,R^{2}-\rho ^{2}}}}\right]d\theta \right\rbrace =4\;R\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[\displaystyle \int _{0}^{4R^{2}\sin ^{2}(\theta )}{\dfrac {du}{\sqrt {4\,R^{2}-u}}}\right]d\theta \right\rbrace \;$ $=4\;R\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[-2\;{\sqrt {4\,R^{2}-u}}\right]_{0}^{4R^{2}\sin ^{2}(\theta )}d\theta \right\rbrace =$ $8\;R^{2}\,\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[1-\cos(\theta )\right]\,d\theta =8\;R^{2}\,\left[\theta -\sin(\theta )\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}=8\;R^{2}\,\left({\dfrac {\pi }{2}}-1\right)\;$» soit finalement «$\;{\mathcal {A}}=4\;R^{2}\,(\pi -2)\;$».

 

Aire d'une surface engendrée par la rotation du graphe d'une fonction continue positive d'une variable autour de l'axe des abscisses

     On considère la fonction continue de la variable $\;x\;$ définie sur l'intervalle $\;\left[a\,,\,b\right]\;$ à valeurs dans $\;\mathbb {R} _{+}\;$ soit $\;f\;:\;\left[a\,,\,b\right]\,\to \,\mathbb {R} _{+},\;x\;\mapsto \;f(x)\;$ et
     On considère $(\Sigma )\;$ la surface engendrée par la rotation du graphe de $\;f\;$ autour de l'axe $\;(Ox)$, soit $\;(\Sigma )\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\left[a\,,\,b\right]\times \mathbb {R} ^{2}\;{\Big \vert }\;{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}=f(x)\right\rbrace$.

Expression de l'aire de la surface en intégrale sur l'intervalle de définition de la fonction

     Démontrer que l'aire $\;{\mathcal {A}}\;$ de la surface $(\Sigma )\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;f\;$ autour de l'axe $\;(Ox)\;$ peut être calculé selon «$\;{\mathcal {A}}=2\;\pi \displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\;{\sqrt {1+(f')^{2}(x)}}\;dx\;$».

Solution

     La surface $\;(\Sigma )\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;f\;$ autour de l'axe $\;(Ox)\;$ est définie par $\;(\Sigma ):=\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\left[a\,,\,b\right]\times \mathbb {R} ^{2}\;{\bigg \vert }\;{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}=f(x)\right\rbrace \;$ et
      la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;\color {transparent}{f}\;$ autour de l'axe $\;\color {transparent}{(Ox)}\;$ son aire est définie par l'intégrale surfacique $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}dS_{M}\;$ avec $\;dS_{M}\;$ l'aire de la surface élémentaire au point générique $\;M\,\in \,(\Sigma )$ ;
      la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;\color {transparent}{f}\;$ autour de l'axe $\;\color {transparent}{(Ox)}\;$ pour traduire que $\;(\Sigma )\;$ est une surface de révolution autour de $\;(Ox)$, on substitue les paramètres $\;\left(y\,,\,z\right)\;$ par $\;\left(\rho \,,\,\theta \right)\;$ selon
      la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;\color {transparent}{f}\;$ autour de l'axe $\;\color {transparent}{(Ox)}\;$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}y=\rho \;\cos(\theta )\\z=\rho \;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;(\Sigma ):=\left\lbrace (x,\,\rho ,\,\theta )\;\in \;\left[a\,,\,b\right]\times \mathbb {R} _{+}\times \left[0\,,\,2\,\pi \right[\;{\bigg \vert }\;\rho =f(x)\right\rbrace \;$ dont le vecteur surface élémentaire
      la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;\color {transparent}{f}\;$ autour de l'axe $\;\color {transparent}{(Ox)}\;$ se détermine par $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}={\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ avec $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ vecteurs déplacement élémentaire du point $\;M\;$ générique de $\;(\Sigma )$
      la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;\color {transparent}{f}\;$ autour de l'axe $\;\color {transparent}{(Ox)}\;$ $M\;\left(x\,,\,y=f(x)\;\cos(\theta )\,,\,z=f(x)\;\sin(\theta )\right)$, $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ étant dans le plan tangent en $\;M\;$ à $\;(\Sigma )$, par exemple
      la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;\color {transparent}{f}\;$ autour de l'axe $\;\color {transparent}{(Ox)}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c}{\overrightarrow {dM_{1}}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {dx}{dx}}\,dx\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial x}}\right)_{\!\theta }dx\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial x}}\right)_{\!\theta }dx\;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!\left[{\vec {u}}_{x}+f'(x)\,\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+f'(x)\,\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\right]\,dx\\{\overrightarrow {dM_{2}}}\!\!&=&\!\!{\cancel {\left({\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\right)_{\!x}d\theta \;{\vec {u}}_{x}}}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\right)_{\!x}d\theta \;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\right)_{\!x}d\theta \;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!\left[-f(x)\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+f(x)\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$»,
      la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;\color {transparent}{f}\;$ autour de l'axe $\;\color {transparent}{(Ox)}\;$ on en déduit le vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS_{M}}}$
      la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;\color {transparent}{f}\;$ autour de l'axe $\;\color {transparent}{(Ox)}\;$ $=\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&{\overrightarrow {dM_{1}}}&\wedge &{\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dS_{M}}}\\{\vec {u}}_{x}&|&dx&&0&&f'(x)\;f(x)\;dx\;d\theta &=&f'(x)\;f(x)\;dx\;d\theta \\{\vec {u}}_{y}&|&f'(x)\;\cos(\theta )\;dx&^{+}{\searrow }&-f(x)\;\sin(\theta )\;d\theta &&&&-f(x)\;\cos(\theta )\;dx\;d\theta \\{\vec {u}}_{z}&|&f'(x)\;\sin(\theta )\;dx&_{-}{\nearrow }&f(x)\;\cos(\theta )\;d\theta &&&&-f(x)\;\sin(\theta )\;dx\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ soit
      la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;\color {transparent}{f}\;$ autour de l'axe $\;\color {transparent}{(Ox)}\;$ «$\;{\overrightarrow {dS_{M}}}=\left\lbrace f'(x)\;f(x)\;{\vec {u}}_{x}-f(x)\left[\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\right]\right\rbrace \,dx\;d\theta \;$» d'où la valeur absolue de l'aire élémentaire $\;\vert dS_{M}\vert =$
      la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;\color {transparent}{f}\;$ autour de l'axe $\;\color {transparent}{(Ox)}\;$ $\Vert {\overrightarrow {dS_{M}}}\Vert ={\sqrt {(f')^{2}(x)\;f^{2}(x)+f^{2}(x)\left[\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )\right]}}\,\vert dx\vert \;\vert d\theta \vert =f(x)\;{\sqrt {(f')^{2}(x)+1}}\;\vert dx\vert \;\vert d\theta \vert \;$ soit, en définissant la
      la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;\color {transparent}{f}\;$ autour de l'axe $\;\color {transparent}{(Ox)}\;$ positivité de $\;dS_{M}\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ de $\;x\;$ et de $\;\theta$, «$\;dS_{M}=f(x)\;{\sqrt {(f')^{2}(x)+1}}\;dx\;d\theta \;$» d'où
     l'aire de la surface $\;(\Sigma )\;$ engendrée par la rotation du graphe de $\;f\;$ autour de l'axe $\;(Ox)$, «$\;{\mathcal {A}}=\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}dS_{M}=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left\lbrace \displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\;{\sqrt {(f')^{2}(x)+1}}\;dx\right\rbrace d\theta =2\;\pi \;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\;{\sqrt {1+(f')^{2}(x)}}\;dx\;$» C.Q.F.D. .

 

Application au calcul de l'aire de la sphère de centre O et de rayon R

     Déterminer la fonction $\;f\;$ dont le graphe en rotation autour de l'axe $\;(Ox)\;$ engendre la sphère de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R\;$ puis
     en appliquant la formule établie à la question précédente, retrouver l'aire de la sphère de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$.

Solution

     La sphère $\;({\mathcal {S}})\;$ de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R\;$ pouvant être définie selon $\;({\mathcal {S}}):=\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\;{\bigg \vert }\;y^{2}+z^{2}=R^{2}-x^{2}\right\rbrace \;$
     La sphère $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ de centre $\;\color {transparent}{O}\;$ et de rayon $\;\color {transparent}{R}\;$ peut être obtenue par rotation, autour de l'axe $\;(Ox)$, du demi-cercle de centre $\;O$, de rayon $\;R$, situé dans la partie positive du plan $\;(xOy)$,
     La sphère $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ de centre $\;\color {transparent}{O}\;$ et de rayon $\;\color {transparent}{R}\;$ ce demi-cercle étant le graphe de la fonction $\;f\;:\;\left[-R\,,\,+R\right]\,\to \,\mathbb {R} _{+},\;x\;\mapsto \;f(x)={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\;$ $\Rightarrow$
     La sphère $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ de centre $\;\color {transparent}{O}\;$ et de rayon $\;\color {transparent}{R}\;$ la sphère $\;({\mathcal {S}})\;$ étant encore définie selon $\;({\mathcal {S}})\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in \;\left[-R\,,\,+R\right]\times \mathbb {R} ^{2}\;{\Big \vert }\;{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}=f(x)={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right\rbrace \;$ on en déduit
     l'aire de la sphère $\;({\mathcal {S}})\;$ selon «$\;{\mathcal {A}}=2\;\pi \;\displaystyle \int _{-R}^{+R}f(x)\;{\sqrt {1+(f')^{2}(x)}}\;dx\;$» avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(x)={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\\f'(x)={\dfrac {-x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où «$\;{\mathcal {A}}=2\;\pi \;\displaystyle \int _{-R}^{+R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\;{\sqrt {1+{\dfrac {x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}}\;dx=2\;\pi \;\displaystyle \int _{-R}^{+R}R\;dx=4\;\pi \;R^{2}\;$» .

 

Application au calcul de l'aire d'un tore

     Dans le plan $\;(xOy)$, on considère le cercle de centre $\;(0\,,\,a)\;$ et de rayon $\;R\leqslant a$ ; déterminer l'équation implicite dont le cercle est le graphe,
     Dans le plan $\;\color {transparent}{(xOy)}$, on considère le cercle de centre $\;\color {transparent}{(0\,,\,a)}\;$ et de rayon $\;\color {transparent}{R\leqslant a}$ ; en déduire, suivant le signe de $\;y-a$, les fonctions implicites $\;f_{+}(x)\;$ et $\;f_{-}(x)\;$ solutions de l'équation implicite et
     Dans le plan $\;\color {transparent}{(xOy)}$, on considère le cercle de centre $\;\color {transparent}{(0\,,\,a)}\;$ et de rayon $\;\color {transparent}{R\leqslant a}$ ; en déduire, l'aire du tore obtenu en faisant tourner ce cercle autour de l'axe $\;(Ox)$.

Solution

     Le cercle de centre $\;(0\,,\,a)\;$ et de rayon $\;R\leqslant a\;$ du plan $\;(xOy)\;$ a pour équation cartésienne «$\;x^{2}+(y-a)^{2}=R^{2}\;$»,
  Le cercle de centre $\;\color {transparent}{(0\,,\,a)}\;$ et de rayon $\;\color {transparent}{R\leqslant a}\;$ du plan $\;\color {transparent}{(xOy)}\;$ il est le graphe de la fonction «$\;f_{+}\;:\;\left[-R\,,\,+R\right]\,\to \,\mathbb {R} _{+},\;x\;\mapsto \;f_{+}(x)=a+{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\;$» pour $\;y-a>0\;$ et
  Le cercle de centre $\;\color {transparent}{(0\,,\,a)}\;$ et de rayon $\;\color {transparent}{R\leqslant a}\;$ du plan $\;\color {transparent}{(xOy)}\;$ il est le graphe de la fonction «$\;f_{-}\;:\;\left[-R\,,\,+R\right]\,\to \,\mathbb {R} _{+},\;x\;\mapsto \;f_{-}(x)=a-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\;$» pour $\;y-a<0$ ;
     la rotation de l'association de ces deux graphes autour de l'axe $\;(Ox)\;$ engendrant le tore d'axe de révolution $\;(Ox)\;$ et de section méridienne le cercle de centre $\;(0\,,\,a)\;$ et de rayon $\;R\leqslant a$, nous en déduisons
     l'aire du tore par «$\;{\mathcal {A}}=2\;\pi \;\displaystyle \int _{-R}^{+R}f_{+}(x)\;{\sqrt {1+({f_{\!+}'})^{2}(x)}}\;dx+2\;\pi \;\displaystyle \int _{-R}^{+R}f_{-}(x)\;{\sqrt {1+({f_{\!-}'})^{2}(x)}}\;dx\;$» avec $\;f_{\!+}'(x)={\dfrac {-x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\;$ et $\;f_{\!-}'(x)={\dfrac {x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\;$ d'où
     l'aire du tore par «$\;{\mathcal {A}}=2\;\pi \;\displaystyle \int _{-R}^{+R}\left[a+{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right]\,{\sqrt {1+{\dfrac {x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}}\;dx+2\;\pi \;\displaystyle \int _{-R}^{+R}\left[a-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right]\,{\sqrt {1+{\dfrac {x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}}\;dx=4\;\pi \;a\;R\displaystyle \int _{-R}^{+R}{\dfrac {dx}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}=4\;\pi \;a\;R\displaystyle \int _{-1}^{+1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$» soit
     l'aire du tore par «$\;{\mathcal {A}}=4\;\pi \;a\;R\;\left[\arcsin(u)\right]_{-1}^{+1}\;$ $=4\;\pi \;a\;R\;\left[2\;{\dfrac {\pi }{2}}\right]=4\;\pi ^{2}\;a\;R\;$».

 

Calcul du flux d'un champ vectoriel à travers une portion de cylindre parabolique

     On considère le champ de vecteurs de l'espace tridimensionnel défini en $\;M\;(x\,,\,y\,,\,z)\;$ selon $\;{\overrightarrow {F}}(M)=3\,z^{2}\;{\vec {u}}_{x}+6\,{\vec {u}}_{y}+6\,x\,z\;{\vec {u}}_{z}\;$ et
     On considère la portion de cylindre parabolique $\;(\Sigma )\;$ d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=u\\y=u^{2}\\z=v\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left(u\,,\,v\right)\in \left[0\,,\,2\right]\times \left[0\,,\,3\right]$,
     On considère la portion de cylindre parabolique $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ calculer le flux du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ à travers la portion de cylindre parabolique $\;(\Sigma )$, flux noté $\;\Phi _{1}\;$ puis
          On considère la portion de cylindre parabolique $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ calculer le flux du champ de vecteurs $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {F}}(M)}\;$ à travers la portion de cylindre parabolique $\;(\Sigma )\;$ obtenue en permutant $\;u\;$ et $\;v\;$, flux noté $\;\Phi _{2}$.

Solution

     $\bullet \;$Le flux du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ à travers la portion de cylindre parabolique $\;(\Sigma )\;$ est défini par «$\;\Phi _{1}=\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$» avec «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}={\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}\;$», $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ étant dans le plan tangent en $\;M\;$ à $\;(\Sigma )$, par exemple «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c}{\overrightarrow {dM_{1}}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {dx}{du}}\,du\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dy}{du}}\,du\;{\vec {u}}_{y}+{\cancel {{\dfrac {dz}{du}}\,du\;{\vec {u}}_{z}}}\!\!&=&\!\!\left[{\vec {u}}_{x}+2\,u\;{\vec {u}}_{y}\right]\,du\\{\overrightarrow {dM_{2}}}\!\!&=&\!\!{\cancel {{\dfrac {dx}{dv}}\,dv\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dy}{dv}}\,dv\;{\vec {u}}_{y}}}+{\dfrac {dz}{dv}}\,dv\;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!{\vec {u}}_{z}\;\,dv\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&{\overrightarrow {dM_{1}}}&\wedge &{\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dS_{M}}}\\{\vec {u}}_{x}&|&du&&0&&2\;u\;du\;dv&=&2\;u\;du\;dv\\{\vec {u}}_{y}&|&2\;u\;du&^{+}{\searrow }&0&&&&-du\;dv\\{\vec {u}}_{z}&|&0&_{-}{\nearrow }&dv&&&&0\end{array}}\right\rbrace \;$ soit «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=\left[2\;u\;{\vec {u}}_{x}-{\vec {u}}_{y}\right]\,du\;dv\;$» ;
     $\color {transparent}{\bullet }\;$le champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)=3\,z^{2}\;{\vec {u}}_{x}+6\,{\vec {u}}_{y}+6\,x\,z\;{\vec {u}}_{z}\;$ pour $\;M\,\in \,(\Sigma )$, surface d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=u\\y=u^{2}\\z=v\end{array}}\right\rbrace$, se réécrivant $\;{\overrightarrow {F}}(M)=3\,v^{2}\;{\vec {u}}_{x}+6\,{\vec {u}}_{y}+6\,u\,v\;{\vec {u}}_{z}$, on en déduit le flux élémentaire du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ «$\;\delta \Phi _{1}={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\left[3\,v^{2}\;{\vec {u}}_{x}+6\,{\vec {u}}_{y}+6\,u\,v\;{\vec {u}}_{z}\right]\cdot \left[\left\lbrace 2\;u\;{\vec {u}}_{x}-{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;du\;dv\right]=\left[6\;u\;v^{2}-6\right]\;du\;dv\;$» et le calcul du flux du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ à travers la portion de cylindre parabolique $\;(\Sigma )$, «$\;\Phi _{1}=\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=6\;\displaystyle \int _{0}^{3}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2}u\;du\right\rbrace \;v^{2}\;dv-6\;\displaystyle \int _{0}^{3}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2}du\right\rbrace \;dv=6\;\left[{\dfrac {u^{2}}{2}}\right]_{0}^{2}\;\left[{\dfrac {v^{3}}{3}}\right]_{0}^{3}-6\;\left[u\right]_{0}^{2}\;\left[v\right]_{0}^{3}=72\;$».
     $\bullet \;$La portion de cylindre parabolique $\;(\Sigma )\;$ d'équations cartésiennes paramétriques identiques aux précédentes après permutation entre $\;u\;$ et $\;v\;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=v\\y=v^{2}\\z=u\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left(u\,,\,v\right)\in \left[0\,,\,3\right]\times \left[0\,,\,2\right]\;$ a pour vecteur surface élémentaire en $\;M\,\in \,(\Sigma )\;$ «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}={\overrightarrow {{dM'}_{\!1}}}\wedge {\overrightarrow {{dM'}_{\!2}}}\;$», $\;{\overrightarrow {{dM'}_{\!1}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {{dM'}_{\!2}}}\;$ étant dans le plan tangent en $\;M\;$ à $\;(\Sigma )$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c}{\overrightarrow {{dM'}_{\!1}}}\!\!&=&\!\!{\cancel {{\dfrac {dx}{du}}\,du\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dy}{du}}\,du\;{\vec {u}}_{y}}}+{\dfrac {dz}{du}}\,du\;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!{\vec {u}}_{z}\;\,du\\{\overrightarrow {{dM'}_{\!2}}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {dx}{dv}}\,dv\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dy}{dv}}\,dv\;{\vec {u}}_{y}+{\cancel {{\dfrac {dz}{dv}}\,dv\;{\vec {u}}_{z}}}\!\!&=&\!\!\left[{\vec {u}}_{x}+2\,v\;{\vec {u}}_{y}\right]\,dv\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}$ $=\left[{\vec {u}}_{y}-2\;v\;{\vec {u}}_{x}\right]\,du\;dv\;$» , d'où le flux du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ à travers la portion de cylindre parabolique $\;(\Sigma )\;$ résultant de la permutation entre $\;u\;$ et $\;v\;$, $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ se réécrivant avec $\;M\,\in \,(\Sigma )$, $\;{\overrightarrow {F}}(M)=3\,u^{2}\;{\vec {u}}_{x}+6\,{\vec {u}}_{y}+6\,v\,u\;{\vec {u}}_{z}$, «$\;\Phi _{2}=\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}\delta \Phi _{2}\;$» avec $\;\delta \Phi _{2}={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\left[3\,u^{2}\;{\vec {u}}_{x}+6\,{\vec {u}}_{y}+6\,v\,u\;{\vec {u}}_{z}\right]\cdot \left[-2\;v\;{\vec {u}}_{x}+{\vec {u}}_{y}\right]\,du\;dv\;$ $=\left[-6\,u^{2}\,v+6\right]\,du\;dv\;$ d'où «$\;\Phi _{2}=\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}\delta \Phi _{2}$ $=-6\;\displaystyle \int _{0}^{3}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2}v\;dv\right\rbrace \;u^{2}\;du+6\;\displaystyle \int _{0}^{3}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2}dv\right\rbrace \;du=-6\;\left[{\dfrac {v^{2}}{2}}\right]_{0}^{2}\;\left[{\dfrac {u^{3}}{3}}\right]_{0}^{3}+6\;\left[v\right]_{0}^{2}\;\left[u\right]_{0}^{3}=-72\;$».

 

Calculs de flux de champs vectoriels à travers une portion de plan, de sphère ou de cône de révolution

Calcul du flux d'un champ vectoriel à travers une portion de plan

     On considère le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel défini en $\;M\;(x\,,\,y\,,\,z)\;$ selon $\;{\overrightarrow {F}}(M)=x^{2}\;{\vec {u}}_{x}+3\;y^{2}\;{\vec {u}}_{z}\;$ et
     On considère la portion de plan $\;(\Sigma )\;$ d'équation cartésienne $\;x+y+z=1$, portion de la région $\;(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} _{+}^{3}\;$ c.-à-d. $\;(\Sigma ):=\left\lbrace (x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} _{+}^{3}\mid z=1-x-y\right\rbrace$,
     On considère la portion de plan $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ calculer le flux du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ à travers cette portion de plan $\;(\Sigma )$, cette dernière étant orientée vers le haut.

Solution

     Le flux du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ à travers la portion de plan $\;(\Sigma )\;$ est défini par «$\;\Phi =\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$» avec «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}={\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}\;$», $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ étant dans le plan support de $\;(\Sigma )$, par exemple «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c}{\overrightarrow {dM_{1}}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {dx}{dx}}\,dx\;{\vec {u}}_{x}+{\cancel {{\dfrac {dy}{dx}}\,dx\;{\vec {u}}_{y}}}+{\dfrac {dz}{dx}}\,dx\;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!\left[{\vec {u}}_{x}-{\vec {u}}_{z}\right]\,dx\\{\overrightarrow {dM_{2}}}\!\!&=&\!\!{\cancel {{\dfrac {dx}{dy}}\,dy\;{\vec {u}}_{x}}}+{\dfrac {dy}{dy}}\,dy\;{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {dz}{dy}}\,dy\;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!\left[{\vec {u}}_{y}-{\vec {u}}_{z}\right]\,dy\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&{\overrightarrow {dM_{1}}}&\wedge &{\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dS_{M}}}\\{\vec {u}}_{x}&|&dx&&0&&dx\;dy&=&dx\;dy\\{\vec {u}}_{y}&|&0&^{+}{\searrow }&dy&&&&dx\;dy\\{\vec {u}}_{z}&|&-dx&_{-}{\nearrow }&-dy&&&&dx\;dy\end{array}}\right\rbrace \;$ $=\left[{\vec {u}}_{x}+{\vec {u}}_{y}+{\vec {u}}_{z}\right]\,dx\;dy\;$ effectivement orienté vers le haut pour $\;dx\;dy>0$ ;
     le champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)=x^{2}\;{\vec {u}}_{x}+3\;y^{2}\;{\vec {u}}_{z}\;$ pour $\;M\,\in \,(\Sigma )$, surface d'équations $\;z=1-x-y\;$ $\Rightarrow$ l'expression du flux élémentaire du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ «$\;\delta \Phi ={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=$ $\left[x^{2}\;{\vec {u}}_{x}+3\,y^{2}\;{\vec {u}}_{z}\right]\cdot \left[\left\lbrace {\vec {u}}_{x}+{\vec {u}}_{y}+{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;dx\;dy\right]=\left[x^{2}+3\,y^{2}\right]\;dx\;dy\;$» , le flux du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ à travers la portion de plan $\;(\Sigma )\;$ vérifiant $\;z=1-x-y\geqslant 0\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x\geqslant 0\\y\geqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$ se calculant par «$\;\Phi =\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \int _{0}^{1}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{(1-x)}(x^{2}+3\,y^{2})\;dy\right\rbrace \;dx=\displaystyle \int _{0}^{1}\left[x^{2}\;y+y^{3}\right]_{0}^{(1-x)}\;dx=\displaystyle \int _{0}^{1}\left[x^{2}\;(1-x)+(1-x)^{3}\right]\;dx=\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\;dx-\displaystyle \int _{0}^{1}x^{3}\;dx+\displaystyle \int _{0}^{1}(1-x)^{3}\;dx=\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\;dx\;$» , soit finalement «$\;\Phi =\left[{\dfrac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{1}={\dfrac {1}{3}}\;$».

 

Calcul du flux d'un champ vectoriel à travers un hémisphère

     On considère le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel défini en $\;M\;(x\,,\,y\,,\,z)\;$ selon $\;{\overrightarrow {F}}(M)=-y\;{\vec {u}}_{x}+x\;{\vec {u}}_{y}+3\;z\;{\vec {u}}_{z}\;$ et
     On considère la moitié de la sphère $\;(\Sigma )\;$ de centre $\;O\;$ et de rayon $\;4\;$ unités de longueur, d'équation cartésienne $\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$, moitié de la région $\;z\geqslant 0\;$ c.-à-d.
     On considère la moitié de la sphère $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ de centre $\;\color {transparent}{O}\;$ et de rayon $\;\color {transparent}{4}\;$ unités de longueur, $(\Sigma ):=\left\lbrace (x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{+}\mid z={\sqrt {16-x^{2}-y^{2}}}\right\rbrace$,
     On considère la moitié de la sphère $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ calculer le flux du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ à travers cette moitié de sphère $\;(\Sigma )$, cette dernière étant orientée vers le haut.

Solution

     Le flux du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ à travers la moitié de sphère $\;(\Sigma )\;$ est défini par «$\;\Phi =\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$» avec «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}={\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}\;$», $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ étant dans le plan tangent en $\;M\;$ de $\;(\Sigma )\;$ en posant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=4\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\\y=4\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\\z=4\;\cos(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$, par exemple «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c}{\overrightarrow {dM_{1}}}\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }\,d\theta \;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }\,d\theta \;{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {dz}{d\theta }}\,d\theta \;\;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!4\,\left[\cos(\theta )\;\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\;\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d\theta \\{\overrightarrow {dM_{2}}}\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\,d\varphi \;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\,d\varphi \;{\vec {u}}_{y}+{\cancel {{\dfrac {dz}{d\varphi }}\,d\varphi \;{\vec {u}}_{z}}}\!\!&=&\!\!4\,\left[-\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\right]\,d\varphi \end{array}}\right\rbrace \;$» d'où le calcul du vecteur surface élémentaire en $\;M\;$ de $\;(\Sigma )$ «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&{\overrightarrow {dM_{1}}}&\wedge &{\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dS_{M}}}\\{\vec {u}}_{x}&|&4\;\cos(\theta )\;\cos(\varphi )\,d\theta &&-4\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\,d\varphi &&16\;\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\varphi )\;d\theta \;d\varphi &=&16\;\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\varphi )\;d\theta \;d\varphi \\{\vec {u}}_{y}&|&4\;\cos(\theta )\;\sin(\varphi )\,d\theta &^{+}{\searrow }&4\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\;d\varphi &&&&16\;\sin ^{2}(\theta )\;\sin(\varphi )\;d\theta \;d\varphi \\{\vec {u}}_{z}&|&-4\;\sin(\theta )\;d\theta &_{-}{\nearrow }&0&&&&16\;\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \end{array}}\right\rbrace \;$ $=16\;\sin(\theta )\,\left[\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d\theta \;d\varphi \;$» effectivement orienté vers le haut pour $\;d\theta \;d\varphi >0\;$ car $\;\theta \,\in \,\left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]$ ;
     le champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)=-y\;{\vec {u}}_{x}+x\;{\vec {u}}_{y}+3\;z\;{\vec {u}}_{z}\;$ se réécrit pour $\;M\,\in \,(\Sigma )$, surface d'équation $\;z=4\;\cos(\theta )$, $\;{\overrightarrow {F}}(M)=-4\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+4\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}+12\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\;$ d'où le flux élémentaire du champ $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ «$\;\delta \Phi ={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\left[-4\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+4\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}+12\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\right]\cdot \left[16\;\sin(\theta )\,\left\lbrace \sin(\theta )\;\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace d\theta \;d\varphi \right]=$ $64\;\sin(\theta )\left[{\cancel {-\sin ^{2}(\theta )\;\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )+\sin ^{2}(\theta )\;\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )}}+3\;\cos ^{2}(\theta )\right]d\theta \;d\varphi \;$» soit «$\;\delta \Phi =192\;\sin(\theta )\;\cos ^{2}(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$» d'où le flux du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ à travers la moitié de sphère $\;(\Sigma )\;$ vérifiant $\;\theta \,\in \,\left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ se calculant par «$\;\Phi =\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=192\,\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(\theta )\;\cos ^{2}(\theta )\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\varphi \right\rbrace \;d\theta =384\;\pi \;\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =384\;\pi \;\left[-{\dfrac {\cos ^{3}(\theta )}{3}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}=128\;\pi \;$».

 

Calcul du flux d'un champ vectoriel à travers un tronc de cône de révolution

     On considère le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel défini en $\;M\;(x\,,\,y\,,\,z)\;$ selon $\;{\overrightarrow {F}}(M)=-a\;x\;{\vec {u}}_{x}+x\;y\;{\vec {u}}_{y}+z^{2}\;{\vec {u}}_{z}\;$ ${\big \{}a\;$ étant une longueur $\;>0{\big \}}\;$ et
     On considère la tranche du cône de révolution $\;(\Sigma )\;$ de sommet $\;O$, d'axe $\;z'z\;$ et de demi-angle au sommet $\;{\dfrac {\pi }{4}}$, d'équation cartésienne $\;z=x^{2}+y^{2}$, tronc de cône tel que $\;z\,\in \left[a\,;\,2\;a\right]\;$ c.-à-d.
     On considère la tranche du cône de révolution $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ de sommet $\;\color {transparent}{O}$, d'axe $\;\color {transparent}{z'z}\;$ et de demi-angle au sommet $\;\color {transparent}{\pi }\;$, $(\Sigma ):=\left\lbrace (x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{2}\times \left[1\,;\,2\right]\mid z={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right\rbrace$,
     On considère la tranche du cône de révolution $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ calculer le flux du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ à travers ce tronc de cône de révolution $\;(\Sigma )$, ce dernier étant orienté vers l'intérieur.

Solution

     Le flux du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ à travers le tronc de cône de révolution $\;(\Sigma )\;$ est défini par «$\;\Phi =\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$» avec «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}={\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}\;$», $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ étant dans le plan tangent en $\;M\;$ de $\;(\Sigma )\;$ en posant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=\rho \;\cos(\theta )\\y=\rho \;\sin(\theta )\\z=\rho \end{array}}\right\rbrace \;$, par exemple «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c}{\overrightarrow {dM_{1}}}\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta }\,d\rho \;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta }\,d\rho \;{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {dz}{d\rho }}\,d\rho \;\;{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!\left[\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+{\vec {u}}_{z}\right]\,d\rho \\{\overrightarrow {dM_{2}}}\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho }\,d\theta \;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho }\,d\theta \;{\vec {u}}_{y}+{\cancel {{\dfrac {dz}{d\theta }}\,d\theta \;{\vec {u}}_{z}}}\!\!&=&\!\!\left[-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]\,\rho \;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$» d'où le calcul du vecteur surface élémentaire en $\;M\;$ de $\;(\Sigma )$ «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&{\overrightarrow {dM_{1}}}&\wedge &{\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}&=&{\overrightarrow {dS_{M}}}\\{\vec {u}}_{x}&|&\cos(\theta )\;d\rho &&-\sin(\theta )\;\rho \;d\theta &&-\cos(\theta )\;\rho \;d\rho \;d\theta &=&-\rho \;\cos(\theta )\;d\rho \;d\theta \\{\vec {u}}_{y}&|&\sin(\theta )\;d\rho &^{+}{\searrow }&\cos(\theta )\;\rho \;d\theta &&&&-\rho \;\sin(\theta )\;d\rho \;d\theta \\{\vec {u}}_{z}&|&d\rho &_{-}{\nearrow }&0&&&&\rho \;d\rho \;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ $=\left[-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+{\vec {u}}_{z}\right]\;\rho \;d\rho \;d\theta \;$» effectivement orienté vers l'intérieur pour $\;d\rho \;d\theta >0\;$ ;
     le champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)=-a\;x\;{\vec {u}}_{x}+x\;y\;{\vec {u}}_{y}+z^{2}\;{\vec {u}}_{z}\;$ se réécrit pour $\;M\,\in \,(\Sigma )$, surface d'équation $\;z=\rho$, $\;{\overrightarrow {F}}(M)=-a\;\rho \;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\rho ^{2}\;\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+\rho ^{2}\;{\vec {u}}_{z}\;$ d'où le flux élémentaire du champ $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ «$\;\delta \Phi ={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\left[-a\;\rho \;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\rho ^{2}\;\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+\rho ^{2}\;{\vec {u}}_{z}\right]\cdot \left[\rho \,\left\lbrace -\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+{\vec {u}}_{z}\right\rbrace d\rho \;d\theta \right]=\left[a\;\rho ^{2}\;\cos ^{2}(\theta )-\rho ^{3}\;\cos(\theta )\;\sin ^{2}(\theta )+\rho ^{3}\right]\,d\rho \;d\theta \;$» d'où le flux du champ de vecteurs $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ à travers le tronc de cône de révolution $\;(\Sigma )\;$ vérifiant $\;\rho \,\in \,\left[a\,,\,2\;a\right]\;$ et $\;\theta \,\in \,\left[0\,,\,2\;\pi \right[\;$ «$\;\Phi =\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ est la somme de trois intégrales emboîtées selon $\;\Phi =$ $\displaystyle \int _{a}^{2\,a}a\;\rho ^{2}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\cos ^{2}(\theta )\;d\theta \right\rbrace \;d\rho -\displaystyle \int _{a}^{2\,a}\rho ^{3}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\cos(\theta )\;\sin ^{2}(\theta )\;d\theta \right\rbrace \;d\rho +\displaystyle \int _{a}^{2\,a}\rho ^{3}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\theta \right\rbrace \;d\rho \;$ $=\left\lbrace \left[a\;{\dfrac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{a}^{2\,a}\;\left[{\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\sin(2\,\theta )}{4}}\right]_{0}^{2\,\pi }\right\rbrace \;{\cancel {-\left\lbrace \left[{\dfrac {\rho ^{4}}{4}}\right]_{a}^{2\,a}\;\left[{\dfrac {\sin ^{3}(\theta )}{3}}\right]_{0}^{2\,\pi }\right\rbrace }}+\left\lbrace \left[{\dfrac {\rho ^{4}}{4}}\right]_{a}^{2\,a}\;\left[\theta \right]_{0}^{2\,\pi }\right\rbrace \;$ $\left\lbrace {\dfrac {7}{3}}\;a^{4}\;\pi \right\rbrace +\left\lbrace {\dfrac {15}{4}}\;a^{4}\;2\;\pi \right\rbrace ={\dfrac {59\;\pi }{6}}\;a^{4}\;$».